Pembuktian Rumus Ukuranpemusatan Data [PDF]

Citation preview

Pembuktian rumus Mean, Modus, dan Media data berkelompok. Oleh Fini Mulyani 06022682024009



Mean



Median Median adalah datum yang membagi data menjadi dua kelompok, 50 persen data kurang dari nilai median dan 50 persen data lebih besar dari median. Pada data tunggal, pencarian nilai median dilakukan dengan cara mengurutkan data dari nilai terkecil ke nilai terbesar. Kemudian nilai tengah data yang telah diurutkan itu merupakan nilai median. Bagaimana menentukan nilai median dari data berkelompok? Bagaimana penurunan formula nilai median untuk data berkelompok hingga menjadi rumus sebagai berikut:



di mana: Lo = tepi bawah dari kelas limit yang mengandung median, Me = nilai median, n = banyaknya data, Fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat median, f0 = frekuensi kelas yang memuat median, c = panjang intreval kelas. Perhatikan Tabel berikut: Kel as



Frekue nsi



F_Kumula tif



15 – 19



5



5



20 – 24



7



12



25 – 29



10



22



30



15



37



– 34



35 – 39



13



50



40 – 44



8



58



45 – 49



6



64



Bentuk histogram dari Tabel Di atas adalah:  



  Oleh karena banyaknya data 64, maka nilai median jatuh pada data ke-32. Garis merah horizontal menunjukkan posisi data ke-32 sementara garis hijau muda vertikal menunjukkan median data berkelompok dari data di atas. Jumlah kumulatif hingga kelas limit ketiga adalah



22. Berarti, posisi median berada pada data ke-10 (32 – 22) pada kelas limit keempat. Bilangan ini diperoleh dari (n/2 – Fk). Median data berkelompok dihitung berdasarkan interpolasi dari posisi data pada kelas limit yang mengandung median. Secara matematis, persamaannya dapat ditulis sebagai berikut.



Sehingga dengan manipulasi matematik akan diperoleh persamaan:



Di mana: Lu – Lo menyatakan panjang interval kelas c dan Fk* – Fk menunjukkan frekuensi kelas limit median f0. Dengan demikian, median data berkelompok yang dihasilkan sama dengan:



Modus



Pada data yang disajikan dalam bentuk distribusi frekuensi, menghitung modus dilakukan dengan pendekatan letak titik modus pada diagram batang distribusi frekuensi memanfaatkan korelasi diagram batang itu sendiri dengan sistem koordinat Cartesius. Berikut ini adalah gambar yang memperlihatkan penjelasan di atas.



 



Dapatkah kita menentukan absis untuk titik O ? Berdasarkan definisi dari para ahli statistik, O adalah titik yang absisnya didefinisikan sebagai modus pada data distribusi frekuensi. Titik O tentu saja terletak pada kelas dengan frekuensi paling besar dan merupakan titik potong antara dua garis, dalam hal ini y1 dan y2. Pertama-tama kita tentukan dulu persamaan garis y1 dan y2.



Kemudian, kita eliminasi kedua persamaan di atas dan melakukan beberapa pengubahan bentuk secara aljabar :