Penerapan Induksi Matematika Pada Pembuktian Deret Dan Keterbagian [PDF]

Citation preview

PENERAPAN INDUKSI MATEMATIKA PADA PEMBUKTIAN DERET DAN KETERBAGIAN



1. PENERAPAN INDUKSI MATEMATIKA PADA PEMBUKTIAN DERET Masih ingatkan kalian dengan materi barisan dan deret bilangan? Misal diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 1, 3, 5, 7, ... ,un maka u1 = 1 u2 = 3 u3 = 5 ... un = 2n – 1 Rumus untuk mencari un yaitu un = a + (n – 1)b dengan a = bilangan awal dan b = beda atau selisih antar suku



Kemudian ada jumlah barisan bilangan atau deret Sn, dengan Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un Rumus untuk mencari Sn yaitu 𝑆𝑛 =



1 2



𝑛(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)



dengan a = bilangan awal



dan b = beda atau selisih antar suku



Semoga kalian masih mengingat hal tersebut. Yang akan kita pelajari hari ini yaitu membuktikan kebenaran rumus 𝑆𝑛. Sebelum melakukan pembuktian jumlah barisan (deret), ada beberapa hal yang perlu dipahami terkait deret bilangan.



𝑃(2) = 𝑢1 + 𝑢2 = 𝑆2 𝑃(3) = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 = 𝑆3



MASALAH 1



Jawab



Ruas kiri 𝑃(1) = 𝑎



Atau 𝑃(1) = (𝑎 + (1 − 1)𝑏) = (𝑎 + (0)𝑏) = 𝑎



Ruas kanan 𝑃(1) =



1 2



(1)(2𝑎 + (1 − 1)𝑏) =



Ruas kiri = ruas kanan = a. Langkah dasar selesai.



1 2



(2𝑎 + (0)𝑏) =



1 2



(2𝑎) = 𝑎



=



1 2



(2𝑎𝑘 + 𝑏𝑘2 + 𝑏𝑘 + 2𝑎)



=



1 2



(2𝑎𝑘 + 2𝑎 + 𝑏𝑘2 + 𝑏𝑘)



=



1 2



(2𝑎(𝑘 + 1) + 𝑏𝑘2 + 𝑏𝑘)



=



1 2



(2𝑎(𝑘 + 1) + 𝑏𝑘(𝑘 + 1))



=



1 2



((𝑘 + 1)(2𝑎 + 𝑏𝑘))



=



1 2



(𝑘 + 1)(2𝑎 + 𝑘𝑏)



MASALAH 2



𝑘 ( ) =



𝑘



𝑎 𝑟 −1 +𝑎𝑟 (𝑟−1) 𝑟−1 𝑘



𝑘



𝑎 𝑟 −1)+𝑟 (𝑟−1)) = (( 𝑟−1



𝑘 ( =



𝑘



𝑘



𝑎 𝑟 −1+𝑟 (𝑟)−𝑟 𝑟−1



𝑘+1 ( ) =



𝑎 𝑟 −1 𝑟−1



)



MASALAH 3



Akan ditunjukkan bahwa 𝑃(𝑘 + 1) benar Dengan 2



2



2



2



2



2



𝑃(𝑘 + 1) = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 𝑘 + (𝑘 + 1) =



(𝑘+1)((𝑘+1)+1)(2(𝑘+1)+1) 6



=



(𝑘+1)(𝑘(2𝑘+1)+6(𝑘+1)) 6



=



(𝑘+1) 2𝑘 +𝑘+6𝑘+6 6



=



(𝑘+1) 2𝑘 +7𝑘+6 6



(



2



(



2



)



)



=



(



(𝑘+1)



1 2



)



(2𝑘+4)(2𝑘+3) 6



=



(𝑘+1)((𝑘+2)(2𝑘+3)) 6



=



(𝑘+1)(𝑘+2)(2𝑘+3) 6



=



(𝑘+1)((𝑘+1)+1)(2𝑘+2+1) 6



=



(𝑘+1)((𝑘+1)+1)(2(𝑘+1)+1) 6



2. PENERAPAN INDUKSI MATEMATIKA PADA PEMBUKTIAN KETERBAGIAN



Pernyataan tersebut dapat juga dinyatakan dengan a = bc, dengan c adalah suatu bilangan asli



Contoh : 12 habis dibagi 4 Pernyataan tersebut bersinonim dengan 12 kelipatan 4 4 faktor dari 12 4 membagi 12



dan dapat dinyatakan dengan 12 = 4(3)



SIFAT



MASALAH 4



MASALAH 5



LATIHAN SOAL