![Up 3 Matematika (Penerapan Barisan Dan Deret) [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/up-3-matematika-penerapan-barisan-dan-deret.jpg)
4 0 1 MB
i
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
Unit Pembelajaran 03
PENERAPAN BARISAN DAN DERET MATA PELAJARAN MATEMATIKA MADRASAH ALIYAH Penanggung Jawab Direktorat GTK Madrasah Direktorat Jenderal Pendidikan Islam Kementerian Agama Republik Indonesia Penyusun Darno Raharjo Juanda Kasim Wiwit Susanti Sigit Tri Guntoro Untung Trisna Suwaji Reviewer Abdur Rahman As’ari
Copyright © 2020 Direktorat Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah Hak CIpta Dilindungi Undang-undang Dilarang mengcopy sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Agama Republik Indonesia
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
ii
KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Undang–Undang Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen Pasal 1 ayat 1 menyatakan bahwa Guru adalah pendidik profesional dengan tugas utama mendidik,
mengajar,
membimbing,
mengarahkan,
melatih,
menilai,
dan
mengevaluasi peserta didik pada Pendidikan Anak Usia Dini jalur Pendidikan Formal, Pendidikan Dasar, dan Pendidikan Menengah. Agar dapat melaksanakan tugas utamanya dengan baik, seorang guru perlu meningkatkan kompetensi dan kinerjanya
secara
bertahap,
berjenjang,
dan
berkelanjutan
melalui
Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) guru. Untuk itu saya menyambut baik terbitnya modul ini sebagai panduan semua pihak dalam melaksanakan program PKB. Peningkatan Kompetensi Pembelajaran merupakan salah satu fokus upaya Kementerian Agama, Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan (GTK) dalam meningkatkan kualitas madrasah melalui pembelajaran berorientasi keterampilan berpikir tingkat tinggi, kontekstual, dan terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman. Program PKB dilakukan mengingat luasnya wilayah Indonesia dan kualitas pendidikan yang belum merata, sehingga peningkatan pendidikan dapat berjalan secara masif, merata, dan tepat sasaran. Modul ini dikembangkan mengikuti arah kebijakan Kementerian Agama yang menekankan pada pembelajaran berorientasi pada keterampilan berpikir tingkat tinggi atau higher order thinking skills (HOTS) dan terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman. Keterampilan berpikir tingkat tinggi adalah proses berpikir kompleks dalam menguraikan materi, membuat kesimpulan, membangun representasi, menganalisis, dan membangun hubungan dengan melibatkan aktivitas mental yang paling dasar. Sementara, nilai-nilai keislaman diintegrasikan dalam pembelajaran sebagai hidden curriculum sehingga tercipta generasi unggul sekaligus beriman dan bertakwa serta berakhlak mulia.
iii
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
Sasaran Program PKB ini adalah seluruh guru di wilayah NKRI yang tergabung dalam komunitas guru sesuai bidang tugas yang diampu di wilayahnya masing-masing. Komunitas guru dimaksud meliputi kelompok kerja guru (KKG), Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP), dan Musyawarah Guru Bimbingan Konseling (MGBK). Model pembelajaran yang digunakan dalam modul ini adalah melalui moda Tatap Muka In-On-In sehingga guru tidak harus meninggalkan tugas utamanya di madrasah sebagai pendidik. Semoga modul ini dapat digunakan dengan baik sebagaimana mestinya sehingga dapat menginspirasi guru dalam materi dan melaksanakan proses pembelajaran. Kami ucapkan terima kasih atas kerja keras dan kerja cerdas para penulis dan semua pihak terkait yang dapat mewujudkan Modul ini. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai dan memudahkan upaya yang kita lakukan. Aamiin. Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Jakarta,
Okttober 2020
An. Direktur Jenderal, Direktur Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah,
Muhmmad Zain
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
iv
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR................................................................................................................. iii DAFTAR ISI................................................................................................................................. v DAFTAR TABEL....................................................................................................................... vii DAFTAR GAMBAR................................................................................................................. viii 01 PENDAHULUAN ................................................................................................................... 1 A. Latar Belakang .................................................................................................................. 1 B. Tujuan .................................................................................................................................. 1 C. Manfaat .............................................................................................................................. 2 D. Sasaran .............................................................................................................................. 2 E. Petunjuk Penggunaan .................................................................................................... 3 02 TARGET KOMPETENSI ..................................................................................................... 6 A. Target Kompetensi Guru ............................................................................................... 6 B. Target Kompetensi Peserta Didik ............................................................................... 7 1. Kompetensi Dasar ........................................................................................................ 7 2. Indikator Pencapaian Kompetensi .......................................................................... 7 C. Materi dan Organisasi Pembelajaran ......................................................................... 8 04 KEGIATAN PEMBELAJARAN .......................................................................................... 9 A. Pengantar .......................................................................................................................... 9 B. Aplikasi dalam Kehidupan ............................................................................................. 9 C. Integrasi Keislaman........................................................................................................ 11 D. Bahan Bacaan ................................................................................................................ 12 a. Aplikasi Barisan dan Deret Aritmetika .................................................................. 12 b. Aplikasi Barisan dan Deret Geometri ................................................................... 15 E. Aktivitas Pembelajaran ................................................................................................ 23
v
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
1. Kegiatan In Learning Service-1 ( 4 JP) .................................................................. 23 2. Kegiatan On Job Training ( 6 JP) .......................................................................... 24 3. Kegiatan In Learning Service-2 ( 4 JP) ................................................................. 31 F. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) .......................................................................... 32 1. LKPD Aplikasi Barisan dan Deret Aritmetika ...................................................... 32 2. LKPD Aplikasi Barisan dan Deret Geometri....................................................... 34 3. LKPD Aplikasi Barisan dan Deret Geometri Tak Hingga ................................ 36 G. Pengembangan SOAL HOTS.................................................................................... 38 05 PENILAIAN ........................................................................................................................ 40 A. Tes Formatif ................................................................................................................... 40 B. Penilaian.......................................................................................................................... 44 1. Penilaian untuk Guru................................................................................................. 44 2. Penilaian untuk Peserta Didik ............................................................................... 46 06 PENUTUP .......................................................................................................................... 49 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ................................................................................... 50 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................ 51
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
vi
DAFTAR TABEL Tabel 1 Target Kompetensi Dasar Peserta Didik ............................................................. 7 Tabel 2 Materi dan Organisasi Pembelajaran .................................................................. 8 Tabel 3 Penyusutan Harga Mobil ....................................................................................... 10 Tabel 4 Desain Pembelajaran Aplikasi dan Deret Aritmetika ................................... 26 Tabel 5 Refleksi Pelaksanaan Pembelajaran On Job Training .................................. 31 Tabel 6 Kisi-Kisi Pengembangan Soal HOTS ................................................................ 38 Tabel 7 Instrumen Penilaian Diri Bagi Guru.................................................................... 44 Tabel 8 Instrumen Penilaian Guru oleh Asesor/Fasilitator ......................................... 45 Tabel 9 Instrumen Penilaian Diri bagi Peserta Didik ................................................... 46 Tabel 10 Instrumen Penilaian Peserta Didik oleh Guru ................................................47
vii
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
DAFTAR GAMBAR Gambar 1 Alur Tatap Muka In-On-In .................................................................................... 4 Gambar 2 Desain Ubin Lantai ............................................................................................. 13 Gambar 3 Trampolin: Ilustrasi Deret Geometri ................................................................17 Gambar 4 Ilustrasi Pantulan Bola Karet ............................................................................ 18 Gambar 5 Ilustrasi Lintasan Ayunan ................................................................................. 36
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
viii
01 PENDAHULUAN A. Latar Belakang Pendidikan merupakan proses yang sangat strategis dalam mencerdaskan kehidupan bangsa sehingga harus dilakukan secara profesional. Undang-Undang Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen Pasal 10 ayat (1) mengamanatkan bahwa guru yang profesional harus memiliki kompetensi pedagogik, kompetensi kepribadian,
kompetensi
sosial,
dan
kompetensi
profesional.
Keempat
kompetensi tersebut bersifat holistik dan merupakan suatu kesatuan yang menjadi ciri guru profesional. Agar dapat melaksanakan tugas profesinya dengan baik, seorang guru perlu meningkatkan kompetensi dan kinerjanya secara bertahap, berjenjang, dan berkelanjutan melalui Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) guru. Strategi pelaksanaan PKB guru madrasah yang ditempuh oleh Direktorat Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah adalah melalui KKG/MGMP/MGBK, Kantor Wilayah Kementerian Agama Provinsi, dan Kementerian Agama Pusat. Untuk mendukung program tersebut, diperlukan modul sebagai salah satu aternatif sumber bahan ajar bagi guru untuk mempelajari konten materi, merancang pembelajaran dan cara mengajarkannya, mengembangkan Lembar Kerja Peserta Didik, mengembangkan instrumen penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar. B. Tujuan Tujuan modul ini adalah: 1.
Meningkatkan kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional guru melalui kegiatan PKB.
2. Meningkatkan hasil Asesmen Kompetensi Guru (AKG). 3. Menfasilitasi sumber belajar guru dan peserta didik dalam mengembangkan kurikulum, mempersiapkan dan melaksanaan pembelajaran yang mendidik.
1
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
C. Manfaat Manfaat yang ingin dicapai: 1. Sebagai sumber belajar bagi guru dalam melaksanakan PKB untuk mencapai target kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional tertentu. 2. Sebagai sumber bagi guru dalam mengembangkan kurikulum, persiapan dan pelaksanaan pembelajaran yang mendidik. 3. Sebagai bahan malakukan asesmen mandiri guru dalam rangka peningkatan keprofesionalan. 4. Sebagai sumber dalam merencanakan dan melaksanakan penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar peserta didik. 5. Sebagai sumber belajar bagi peserta didik untuk mencapai target kompetensi dasar. D. Sasaran Adapun sasaran modul ini adalah: 1. Fasilitator nasional, provinsi, dan kabupaten/kota 2. Pengawas Madrasah 3. Kepala Madrasah 4. Ketua KKG/MGMP/MGBK 5. Guru 6. Peserta didik.
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
2
E. Petunjuk Penggunaan Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari dan mempraktikkan modul ini, ikutilah petunjuk belajar sebagai berikut: 1.
Bacalah dengan cermat bagian pendahuluan sampai Anda memahami benar tujuan mempelajari Unit Pembelajaran ini.
2.
Pelajarilah dengan seksama bagian target kompetensi sehingga Anda benarbenar memahami target kompetensi yang harus dicapai baik oleh diri Anda sendiri maupun oleh peserta didik.
3.
Kegiatan Pembelajaran untuk menyelesaikan setiap Unit Pembelajaran dilakukan melalui moda Tatap Muka In-On-In sebagai berikut: a. Kegiatan In Service Learning 1. Kegiatan ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk mengkaji materi dan melakukan kegiatan pembelajaran, meliputi: mempelajari konten materi ajar dan mendiskusikan materi ajar yang sulit atau berpeluang terjadi miskonsepsi, mendesain pembelajaran yang sesuai dengan daya dukung madrasah dan karakteristik peserta didik, mempelajari dan melengkapi LKPD, serta mempersiapkan intrumen penilaian proses dan hasil belajar. b. Kegiatan On Service Learning. Pada tahap ini, Anda dapat mengkaji kembali uraian materi secara mandiri dan melakukan aktivitas belajar di madrasah berdasarkan rancangan pembelajaran dan LKPD yang telah dipersiapkan. Buatlah catatan-catatan peluang dan hambatan yang ditemui selama pelaksanaan pembelajaran. Hasil kegiatan on baik berupa tugas lembar kerja maupun tugas lainnya dilampirkan sebagai bukti fisik bahwa Anda telah menyelesaikan seluruh tugas on yang ada pada Unit Pembelajaran. c. Kegiatan In Servive Learning 2. Tahap ini dilakukan secara tatap muka bersama
fasilitator
dan
teman
sejawat
untuk
melaporkan
dan
mendiskusikan hasil kegiatan on. Arahkan diskusi pada refleksi untuk perbaikan dan pengembangan pembelajaran. 4.
3
Ujilah capaian kompetensi Anda dengan mengerjakan soal yang tersedia.
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
5.
Lakukan penilaian mandiri sebagai refleksi ketercapaian target kompetensi. Dalam melaksanakan setiap kegiatan pada modul ini, Anda harus
mempertimbangkan prinsip kesetaraan dan inklusi sosial tanpa membedakan suku, ras, golongan, jenis kelamin, status sosial ekonomi, dan yang berkebutuhan khusus. Kesetaraan dan inklusi sosial ini juga diberlakukan bagi pendidik, tenaga kependidikan dan peserta didik. Dalam proses diskusi kelompok yang diikuti lakilaki dan perempuan, perlu mempertimbangkan kapan diskusi harus dilakukan secara terpisah baik laki-laki maupun perempuan dan kapan harus dilakukan bersama. Anda juga harus memperhatikan partisipasi setiap peserta didik dengan seksama, sehingga tidak mengukuhkan relasi yang tidak setara.
Gambar 1 Alur Tatap Muka In-On-In
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
4
Sebelum mempelajari atau mempraktikkan modul ini, ada beberapa perangkat pembelajaran, alat dan bahan yang harus disiapkan oleh guru dan peserta didik agar proses pembelajaran berjalan dengan baik. 1. Alat dan Bahan yang harus disiapkan oleh guru a.
Laptop
b. LCD c.
Buku paket/referensi
d. Lembar Kerja Peserta Didik e. Instrumen penilaian proses 2. Alat dan Bahan yang harus disiapkan oleh peserta didik a.
Buku paket/referensi
b. Alat tulis Unit Pembelajaran dalam modul ini dibagi dalam dua topik, dengan total alokasi waktu yang digunakan diperkirakan 14 Jam Pembelajaran: 1.
In Service Learning 1
: 4 JP
2. On Service Learning
: 6 JP
3. In Service Learning 2 : 4 JP
5
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
02 TARGET KOMPETENSI A. Target Kompetensi Guru Target kompetensi guru didasarkan pada Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia Nomor 16 Tahun 2007 Tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru. Dalam Unit Pembelajaran ini, target kompetensi yang dituangkan hanya yang terkait kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional. 1. Kompetensi Pedagogik - Menyusun rencana pembelajaran yang lengkap. - Melaksanakan pembelajaran yang mengembangkan berpikir kritis dan kreatif. - Memanfaatkan teknologi informasi dan komunikasi untuk kepentingan pembelajaran. - Mengevaluasi pelaksanaan pembelajaran dan hasil belajar peserta didik. 2. Kompetensi Profesional - Menguasai materi, struktur, konsep, dan pola pikir keilmuan berkaitan penerapan barisan dan deret. - Mampu menyelesaikan soal-soal yang disediakan dalam modul.
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
6
B. Target Kompetensi Peserta Didik Target
kompetensi
peserta
didik
dalam
Unit
Pembelajaran
ini
dikembangkan berdasarkan Kompetensi Dasar kelas XI semester 1 (satu) sesuai dengan permendikbud nomor 37 tahun 2018 Tentang Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Pelajaran Kurikulum 2013 Pada Pendidikan Dasar dan Pendidikan Menengah sebagai berikut: 1. Kompetensi Dasar a. Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri b. Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas) 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Tabel 1 Target Kompetensi Dasar Peserta Didik
No. 3. 6
Kompetensi Dasar Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri
Target Kompetensi Dasar 3.6.1 Membuat generalisasi (bentuk
3.6.2
3.6.3
3.6.4
3.6.5
4. 6
umum) suku ke-n dari suatu barisan aritmetika Membuat generalisasi (bentuk umum) suku ke-n dari suatu barisan geometri Membuat generalisasi (bentuk umum) jumlahan n suku pertama dari suatu barisan aritmetika Membuat generalisasi (bentuk umum) jumlahan suku ke-n dari suatu barisan geometri Membuat generalisasi (bentuk umum) jumlahan barisan geometri tak hingga
4.6.1 Mengidentifikasi terjadinya pola
pada masalah yang berkaitan dengan barisan bilangan
7
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
4.6.2 Memecahkan masalah yang 4.6.3 4.6.4
4.6.5 4.6.6
berkaitan dengan pertumbuhan Memecahkan masalah yang berkaitan dengan peluruhan Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bunga majemuk Memecahkan masalah yang berkaitan dengan anuitas Memecahkan masalah yang berkaitan barisan dan deret geometri tak hingga.
C. Materi dan Organisasi Pembelajaran Guna memudahkan guru dalam mempelajari modul ini, kita akan membaginya menjadi dua topik bahasan dengan alokasi waktu sebagai berikut: Tabel 2 Materi dan Organisasi Pembelajaran
Topik
Materi
1
Aplikasi Barisan dan Deret Aritmetika
2
Aplikasi Barisan dan Deret Geometri
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
Jumlah JP In - 1
On
In - 2
4
6
4
8
04 KEGIATAN PEMBELAJARAN A. Pengantar Unit Pembelajaran ini disusun sebagai salah satu aternatif sumber belajar bagi guru maupun peserta didik untuk memahami materi aplikasi barisan dan deret dengan target sesuai yang ditetapkan di dalamnya. Unit Pembelajaran ini dilengkapi aktivitas pembelajaran, lembar kegiatan peserta didik (LKPD), dan contoh kisi-kisi pengembangan intrumen penilaian HOTS dan latihan yang dapat dijadikan intrumen penilaian diri bagi guru sebelum melaksanakan Asesmen Kompetensi Guru (AKG). B. Aplikasi dalam Kehidupan Leonardo Fibonacci, dalam karya terbesarnya Liber Abaci yang diterbitkan pada tahun 1202 menjelaskan suatu teka teki yang membawanya kepada apa yang sekarang dikenal sebagai barisan bilangan Fibonacci. Barisan bilangan Fibonacci dapat ditemukan pada benda di sekitar kita seperti cangkang kerang, pohon dan cabangnya, putik bunga, dan mahkota bunga. Barisan bilangan Fibonacci memiliki pola 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, dan seterusnya. Bilangan ke-𝑛 (dengan 𝑛 bilangan bulat) pada deret ini dirumuskan sebagai penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya. 0, 𝐹(𝑛) = {1, 𝐹(𝑛 − 1) + 𝐹(𝑛 − 2),
jika 𝑛 = 0 jika 𝑛 = 1 lainnya
Pertumbuhan penduduk di suatu daerah dapat diprediksi untuk jangka waktu tertentu, harga barang yang semakin mengalami penyusutan tiap tahunnya, zat yang mengalami peluruhan dalam kurun waktu tertentu, panjang lintasan ayunan sampai berhenti, ataupun banyaknya tabungan yang dimiliki seseorang dalam waktu tertentu. Beberapa hal tersebut merupakan contoh penerapan barisan dan deret bilangan yang dapat kita temui dalam kehidupan ini. Secara umum
9
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
penerapan barisan dan deret bilangan dapat kita jumpai pada hal/aspek dengan pola tertentu. Penyusutan Harga Misalnya seseorang membeli mobil seharga Rp380.650.000,00. Nilai jual mobil tersebut akan berkurang sebesar 12% per tahun. Tabel berikut menunjukkan nilai jual mobil tersebut per tahun sampai dengan lima tahun setelah dibeli. Tabel 3 Penyusutan Harga Mobil
Tahun setelah pembelian
Nilai jual mobil (Rp)
0
Rp380.650.000,00
1
Rp334.972.000,00
2
Rp294.775.360,00
3
Rp259.402.317,00
4
Rp228.274.039,00
5
Rp200.881.154,00
Penyusutan nilai jual mobil merupakan contoh dari peluruhan eksponensial. Apabila suatu kuantitas berkurang dengan persentase tetap setiap periode waktu tertentu, maka banyaknya kuantitas (𝑦) setelah (𝑡) periode waktu dinyatakan dalam 𝑦 = 𝑎(1 − 𝑟)𝑡 , dengan 𝑎 adalah banyak kuantitas mula-mula dan 𝑟 adalah persentase pengurangan dalam desimal. Persentase pengurangan 𝑟 dinamakan tingkat peluruhan (rate of decay).
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
10
C. Integrasi Keislaman Segala sesuatu yanga ada di dunia telah Allah atur dengan sedemikian rupa. Salah satunya adalah yang berkaitan dengan perdagangan atau jual beli. Allah SWT telah menetapkan aturan dan hukum yang berkaitan dengan jual beli. Dalam Al Qur’an telah dijelaskan sebagai berikut:
َالر ب اَ ي أ ْك ُ ل ُ ونَ ا ل َّ ِذ ين ِ ال ْ م ِ َسَ ِم نَ ال ش َّ ي ْط ا نَُ ي ت خ ب َّ ط ُ هَُ ا ل َّ ِذ يَ ي ق ُ و مَُ ك م اَ إ ِ َّلَ ي ق ُ و ُم ونَ ل َۚ َالر ب اَ ِم ث ْ لَُ ال ْ ب ي ْ ُعَ إ ِ ن َّ م اَ ق ا ل ُ و اَ ب ِ أ ن َّ هُ ْمَ ذَٰ لِ ك ِ َۚ ََّالر ب اَ و ح َّر مَ ال ْ ب ي ْعَ ّللاَّ َُ و أ ح ل ِ َۚ َف م ْن َُف أ ُولَٰ ئ ِ كَ ع ادَ و م ْنَ َۚ ّللاَّ َِ إ ِ ل ىَ و أ ْم ُر هَُ س ل فَ م اَ ف ل هَُ ف ا ن ْ ت ه َٰىَ ر ب ِ هَِ ِم ْنَ م ْو ِع ظ ةَ ج اء ه َب ُ صحا ْ ارَ أ ِ َّ خ ا لِ د ُونَ ف ِ يه اَ ه ُ ْمَ َۚ ال ن “Orang-orang yang makan (mengambil) riba (bunga) tidak dapat berdiri melainkan seperti berdirinya orang yang kemasukan syaitan lantaran (tekanan) penyakit gila. Keadaan mereka yang demikian itu, adalah disebabkan mereka berkata (berpendapat), sesungguhnya jual beli itu sama dengan riba (bunga), padahal Allah telah menghalalkan jual beli dan mengharamkan riba (bunga). Orang-orang yang telah sampai kepadanya larangan dari Tuhannya, lalu terus berhenti (dari mengambil riba), maka baginya apa yang telah diambilnya dahulu (sebelum datang larangan); dan urusannya (terserah) kepada Allah. Orang yang kembali (mengambil riba/bunga), maka orang itu adalah penghuni-penghuni neraka; mereka kekal di dalamnya.” (Q.S. Al Baqarah: 275). Baik riba tersebut dilakukan dengan cara melebihkan atau melipatgandakan suatu barang atau uang dari kadar awal peminjamannnya. Salah satu contoh permasalahan di atas adalah bungan majemuk, yaitu bunga yang diberikan untuk sejumlah uang yang ditabungkan dalam jangka waktu tertentu. Berdasarkan hal tersebut tentu saja kembali pada keyakinan dan prinsip masing-masing individu. Sesungguhnya islam adalah ajaran yang universal dan sempurna. Hal tersebut terbukti dengan banyaknya muncul bank yang berbasis islam (bank syariah). Bank islam adalah lembaga keuangan yang berfungsi menghimpun dana untuk
11
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
disalurkan kepada orang atau lembaga yang membutuhkan dana tanpa sistem bunga. Beberapa pengganti sistem bunga dalam bank islam, diantaranya: wadi’ah, mudharobah, syirkah, murabahah, dan qard hasan.
D. Bahan Bacaan a. Aplikasi Barisan dan Deret Aritmetika Barisan dan deret aritmetika banyak kita temui di sekitar kita. Misal, seorang anak yang gemar menabung secara rutin setiap bulannya. Pada bulan pertama anak tersebut menabung sebesar Rp100.000,00. Pada bulan kedua anak tersebut menabung sebesar Rp150.000,00. Demikian seterusnya sehingga jumlah uang yang ditabung setiap bulan selalu berselisih Rp50.000,00 dengan bulan sebelumnya. Banyaknya jumlah uang setelah lima bulan dapat kita peroleh dengan menjumlahkan lima suku pertama, yaitu: Rp100.000,00 + Rp150.000,00 + Rp200.000,00 + Rp250.000,00 + Rp300.000, Untuk menentukan rumus jumlah setiap deret aritmetika, perhatikan deret berikut: 𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 + ⋯ + 𝑈𝑛 𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) + (𝑎 + 3𝑏) + ⋯ + (𝑎 + (𝑛 − 2)𝑏) + (𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) Dengan menuliskan ke bentuk yang lain: 𝑆𝑛 =
𝑎
+
(𝑎 + 𝑏)
+ ⋯ + (𝑎 + (𝑛 − 2)𝑏) + (𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)
𝑆𝑛 = (𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) + (𝑎 + (𝑛 − 2)𝑏) + ⋯ +
(𝑎 + 𝑏)
+
𝑎
---------------------------------------------------------------------------------------------------- + 2𝑆𝑛 = (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) + (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) + ⋯ + (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) + (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)
𝑛 kali
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
12
2𝑆𝑛 = 𝑛(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) 𝑛 𝑆𝑛 = (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) 2 𝑛
Bentuk 𝑆𝑛 = 2 (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) dapat dituliskan: 𝑛 (𝑎 + 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) 2 Mengingat 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 = 𝑈𝑛 , sehingga: 𝑛 𝑆𝑛 = (𝑎 + 𝑈𝑛 ) 2 𝑆𝑛 =
Contoh 1 Sebuah lantai didesain dalam bentuk trapesium dengan lebar 4 m di bagian dasarnya dan 2 m di bagian atasnya (perhatikan gambar).
Gambar 2 Desain Ubin Lantai
Pada lantai tersebut akan dipasang ubin berukuran 20 cm x 20 cm, sedemikian sehingga setiap baris ubin mengandung satu ubin lebih sedikit daripada baris ubin sebelumnya. Berapakah banyak ubin yang diperlukan? Perhatikan: Panjang lantai bagian bawah = 4 m = 400 cm, panjang lantai bagian atas =2 m, dan ukuran ubin = 20 cm x 20 cm. Banyaknya ubin yang mengisi baris paling bawah =
13
400 20
= 20.
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
Banyaknya ubin yang mengisi baris paling atas =
200 20
= 10.
Karena setiap baris ubin mengandung satu ubin lebih sedikit daripada baris ubin sebelumnya, maka: Banyak ubin di baris ke-2 = 19 ubin Banyak ubin di baris ke-3 = 18 ubin, dan seterusnya dengan banyak baris adalah 11 baris. Banyaknya ubin tiap baris membentuk deret aritmetika: 20 + 19 + 18 + ⋯ + 10 dengan 𝑎 = 20, 𝑏 = 1, dan 𝑈𝑛 = 10. Banyaknya ubin yang diperlukan: 𝑛 𝑆𝑛 = (𝑎 + 𝑈𝑛 ) 2 11 (20 + 10) = 165 𝑆11 = 2 Jadi, banyaknya ubin yang diperlukan adalah 165 ubin. Contoh 2 [MAT DAS UM UGM 2016 Kode 571] Bila pembayaran pinjaman sebesar Rp8.800.000,00 diangsur berturut-turut tiap bulan sebesar Rp250.000,00; Rp270.000,00; Rp290.000,00; Rp310.000,00; dan seterusnya, maka pinjaman akan lunas pada pembayaran bulan ke …. A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 E. 21 Permasalahan dari soal di atas dapat direpresentasikan: 250.000 + 270.000 + 290.000 + 310.000 + … + 𝑈𝑛 = 8.800.000 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 + ⋯ + 𝑈𝑛 = 8.800.000 yang ditanyakan pada soal itu adalah nilai 𝑛 itu sendiri.
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
14
Bentuk 250.000 + 270.000 + 290.000 + 310.000 + … + 𝑈𝑛 = 8.800.000 merupakan deret aritmetika dengan: 𝑎 = 250.000 dengan beda 𝑏 = 270.000 − 250.000 = 20.000 dan 𝑆𝑛 = 8.800.000 dengan demikian: 𝑛 2 𝑛 2 𝑛
(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)
= 𝑆𝑛
(2(250.000) + (𝑛 − 1)(20.000)) = 8.800.000 (500.000 + 20.000𝑛 − 20.000)
= 8.800.000
(20.000𝑛 + 480.000)
= 8.800.000
𝑛(10.000𝑛 + 240.000)
= 8.800.000
10.000𝑛2 + 240.000𝑛
= 8.800.000
10.000𝑛2 + 240.000𝑛
= 8.800.000
2 𝑛 2
𝑛2 + 24𝑛 − 880 = 0 (𝑛 + 44)(𝑛 − 20) = 0 𝑛 = −44 atau 𝑛 = 20 𝑛 menunjukkan waktu, jadi yang memenuhi adalah 20. Jadi, pinjaman akan lunas pada pembayaran ke-20
b. Aplikasi Barisan dan Deret Geometri Barisan dan deret geometri seringkali kita temukan dalam kehidupan sehari-hari. Misalkan Anda mengirimkan sebuah surat elektronik (surel) berisi kata-kata motivasi untuk dua orang teman pada Senin. Setiap teman yang menerima dan membaca surel pada Senin, selanjutnya mengirimkan surel tersebut untuk dua orang teman lagi pada Selasa. Dengan pola yang sama, setiap teman yang menerima dan membaca surel pada Selasa, selanjutnya mengirimkan surel tersebut untuk dua orang teman lagi pada Rabu. Demikian seterusnya. Perhatikan bahwa setiap hari, banyak orang yang menerima dan membaca surel tersebut adalah dua kali banyak orang yang menerima dan membaca surel tersebut pada hari sebelumnya. Pada Minggu, banyak orang, termasuk Anda yang
15
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
sudah membaca surel tersebut adalah sebanyak 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128. Bilangan-bilangan 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 membentuk barisan geometri dengan suku pertama 𝑎 = 1 dan perbandingan dua suku berurutan (rasio) 𝑟 = 2. Bentuk penjumlahan bilangan-bilangan 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 dinamakan deret geometri. Untuk menentukan hasil penjumlahan deret tersebut, dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari 8 suku pertama deret geometri 𝑆8 . 𝑆8 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 2𝑆8 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 ____________________________________________________ __ (1 − 2) 𝑆8 = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 − 256 𝑆8 =
1−256 1−2
= 255
Secara umum menjumlahkan 𝑛 suku pertama dari deret geometri 𝑆𝑛 : 𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎. 𝑟 + 𝑎. 𝑟 2 + 𝑎. 𝑟 3 + ⋯ + 𝑎. 𝑟 𝑛−1 𝑟. 𝑆𝑛 = 𝑎. 𝑟 + 𝑎. 𝑟 2 + 𝑎. 𝑟 3 + ⋯ + 𝑎. 𝑟 𝑛−1 + 𝑎. 𝑟 𝑛 ______________________________________________________________ ___ ___ (1 − 𝑟). 𝑆𝑛 = 𝑎 + 0 + 0 + ⋯ + 0 − 𝑎. 𝑟 𝑛 (1 − 𝑟). 𝑆𝑛 =
𝑎 − 𝑎. 𝑟 𝑛
(1 − 𝑟). 𝑆𝑛 =
𝑎(1 − 𝑟 𝑛 )
𝑆𝑛 =
𝑎(1−𝑟 𝑛 ) 1−𝑟
untuk 𝑟 ≠ 1
Deret Geometri Tak Hingga Trampolin merupakan salah satu wahana lompat-lompat yang menyenangkan untuk anak-anak dan dewasa. Ketinggian lompatan yang terjadi dalam permainan ini akan semakin rendah dari lompatan awal ke lompatan berikutnya. Perubahan ketinggian lompatan yang terjadi membentuk deret geometri jika perubahan yang terjadi antar lompatan tetap.
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
16
Gambar 3 Trampolin: Ilustrasi Deret Geometri
Seorang anak terayun di atas trampoli, pantulan pertama tinggi lintasan 3 meter. Pantulan kedua tinggi lintasan
4 5
dari tinggi lintasan mula-mula. Pantulan ketiga
4
tinggi lintasan 5 dari tinggi lintasan kedua. Demikian seterusnya sampai berhenti. Berapakah total tingggi lintasan anak tersebut? Total tinggi lintasan anak tersebut dapat dinyatakan dalam notasi penjumlahan sebagai berikut: 4 4 4 4 4 4 3 + (3) + . (3) + . . (3) + ⋯. 5 5 5 5 5 5 Bentuk di atas merupakan deret geometri tak hingga yang apabila diteruskan akan mendekati nol.
Untuk menentukan jumlah pada deret geometri tak hingga
tersebut, dapat menggunakan rumus: 𝑆𝑛 =
4 𝑛 5 4 1− 5
3(1−( ) )
karena 𝑛 → ∞, kita dapat menggunakan konsep limit: 4 𝑛 3 (1 − ( ) ) 5 𝑆∞ = lim 𝑆𝑛 = lim 4 𝑛→∞ 𝑛→∞ 1− 5
17
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
4 𝑛
𝑟 𝑛 = (5) akan menuju 0 ketika 𝑛 → ∞, 𝑆∞ =
3(1 − 0) 3 3 = = = 15 4 4 1 1− 1− 5 5 5
Jadi, total tinggi lintasannya adalah 15 m. Contoh 3. Sebuah bola karet dijatuhkan dari ketinggian 10 meter. Setiap kali memantul, tinggi pantulan bola tersebut adalah setengah dari ketinggian semula seperti pada gambar berikut. 10
5
5 2,5 2,5 1,25 1,25
Gambar 4 Ilustrasi Pantulan Bola Karet
Tentukan panjang lintasan yang ditempuh bola karet tersebut, jika a.
sampai pantulan ke-4,
b. sampai berhenti. Alternatif Penyelesaian: Perhatikan bahwa lintasan bola karet adalah turun (saat jatuh) dan naik (saat memantul). Jumlah jarak untuk masing-masing lintasan turun dan naik membentuk deret geometri tak hingga. Jumlah jarak untuk lintasan turun adalah 10 + 5 + 2,5 + 1,25 + ... Jumlah jarak untuk lintasan naik adalah 5 + 2,5 + 1,25 + ...
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
18
a.
total panjang lintasan yang ditempuh bola karet sampai pantulan ke-4 adalah dengan menjumlahkan panjang lintasan turun dan panjang lintasan naik,
+ 5 2,5 + + 2, 5 + 1 ,25 1 , 25 + 5+ S = 10 turun
naik
sehingga S = 10 + 2 (5 + 2,5 + 1,25) = 10 + 2.S3 = 10 + 2(8,75) = 27,5 Dengan demikian panjang lintasan bola karet tersebut sampai pantulan ke-4 adalah 27,5 meter. b. total panjang lintasan yang ditempuh bola karet sampai berhenti adalah dengan menjumlahkan panjang lintasan turun dan panjang lintasan naik,
+ 5+ 2, 5+ 2, 5 +1, ,25+ 25 + ... ... + 5+ S = 10 1 naik
turun
sehingga S = 10 + 2 (5 + 2,5 + 1,25 + ...) 5 + 2,5 + 1,25 + … merupakan deret geometri dengan: 𝑎 = 5 dan 𝑟 =
2,5 5
1
=2
Jumlah deret 5 + 2,5 + 1,25 + … 𝑆𝑛 =
𝑎(1−𝑟 𝑛 ) 1−𝑟
=
1 𝑛 2 1 1− 2
5(1−( ) )
karena 𝑛 → ∞, kita dapat menggunakan konsep limit: 1 𝑛 5 (1 − (2) ) 𝑆∞ = lim 𝑆𝑛 = lim 1 𝑛→∞ 𝑛→∞ 1−2 1 𝑛
𝑟 𝑛 = (2) akan menuju 0 ketika 𝑛 → ∞, 𝑆∞ =
5(1 − 0) 5 5 = = = 10 1 1 1 1−2 1−2 2
Jadi S = 10 + 2. S = 10 + 2.10 = 30. Maka panjang lintasan bola karet sampai berhenti adalah 30 meter.
19
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
Secara umum: 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑎. 𝑟 + 𝑎. 𝑟 2 + 𝑎. 𝑟 3 + ⋯ + 𝑎. 𝑟 𝑛−1 Jumlah 𝑛 suku pertama dari deret geometri 𝑆𝑛 =
𝑎(1−𝑟 𝑛 ) 1−𝑟
Pada deret geometri dengan banyaknya suku tak tentu disebut deret geometri tak hingga: 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ = 𝑎 + 𝑎. 𝑟 + 𝑎. 𝑟 2 + 𝑎. 𝑟 3 + ⋯ karena 𝑛 → ∞, kita dapat menggunakan konsep limit: 𝑆∞ = lim 𝑆𝑛 𝑛→∞
𝑎(1 − 𝑟 𝑛 ) 𝑆∞ = lim 𝑛→∞ 1−𝑟 𝑎 𝑎𝑟 𝑛 ) 𝑆∞ = lim ( − 𝑛→∞ 1 − 𝑟 1−𝑟 𝑎 𝑎𝑟 𝑛 𝑆∞ = lim − lim 𝑛→∞ 1 − 𝑟 𝑛→∞ 1 − 𝑟 𝑎 𝑎 𝑆∞ = − ( lim 𝑟 𝑛 ) 1 − 𝑟 1 − 𝑟 𝑛→∞ 𝑎 𝑆∞ = (1 − lim 𝑟 𝑛 ) 𝑛→∞ 1−𝑟 Terlihat bahwa nilai 𝑆∞ bergantung denga nada atau tidaknya nilai lim 𝑟 𝑛 . Ada 𝑛→∞
dua kemungkinan nilai lim 𝑟 𝑛 , yaitu: 𝑛→∞
1. Jika |𝑟| < 1 atau −1 < 𝑟 < 1 rasio 𝑟 merupakan pecahan
𝑎 𝑏
dengan
𝑎 < 𝑏, maka untuk 𝑛 → ∞
mengakibatkan lim 𝑟 𝑛 = 0
𝑛→∞
sehingga: 𝑎 (1 − lim 𝑟 𝑛 ) 𝑛→∞ 1−𝑟 𝑎 (1 − 0) 𝑆∞ = 1−𝑟 𝑎 𝑆∞ = 1−𝑟
𝑆∞ =
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
20
Deret geometri tak hingga di atas dikatakan mempunyai limit jumlah atau konvergen. 2. Jika |𝑟| > 1 atau 𝑟 < −1 atau 𝑟 > 1 rasio 𝑟 merupakan pecahan
𝑎 𝑏
dengan
𝑎 > 𝑏, maka untuk 𝑛 → ∞
mengakibatkan lim 𝑟 𝑛 = ±∞
𝑛→∞
sehingga: 𝑎 (1 − lim 𝑟 𝑛 ) 𝑛→∞ 1−𝑟 𝑎 (1 − ±∞) = ±∞ 𝑆∞ = 1−𝑟 Deret geometri tak hingga di atas dikatakan tidak mempunyai limit jumlah 𝑆∞ =
atau divergen. Contoh 4. [SIMAK UI 2019] Diberikan deret geometri 1 − (𝑎 + 3) + (𝑎 + 3)2 − (𝑎 + 3)3 + ⋯ = 2𝑎 + 9 dengan −4 < 𝑎 < −2. Jika 𝑎, −7, 𝑏 membentuk barisan geometri baru, nilai 2𝑎 + 𝑏 = ⋯. A. 7 B. 0 C. −7 D. −14 E. −21 1 − (𝑎 + 3) + (𝑎 + 3)2 − (𝑎 + 3)3 + ⋯ merupakan deret geometri tak hingga dengan 𝑎 = 1, 𝑟 = −(𝑎 + 3) dan 𝑆∞ = 2𝑎 + 9. dari: 𝑆∞
=
𝑎 1−𝑟 1
2𝑎 + 9 = 1−(−(𝑎+3))
21
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
1
2𝑎 + 9 = 𝑎+4 (2𝑎 + 9)(𝑎 + 4) = 1 2𝑎2 + 17𝑎 + 35 = 0 (2𝑎 + 7)(𝑎 + 5) = 0 7
𝑎 = − 2 atau 𝑎 = −5 7
karena −4 < 𝑎 < −2, maka yang memenuhi adalah 𝑎 = − 2 . deret baru: 7
𝑎, −7, 𝑏 = − 2 , −7, 𝑏 dengan rasio 𝑟 =
−7 −
7 2
=2
sehingga nilai 𝑏 = −7 𝑥 2 = −14 7
Jadi nilai 2𝑎 + 𝑏 = 2 (− 2) + (−14) = −21.
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
22
E. Aktivitas Pembelajaran 1. Kegiatan In Learning Service-1 ( 4 JP) Aktivitas ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk mengkaji materi dan melakukan kegiatan pembelajaran. Aktivitas 1: Berdiskusi dengan teman sejawat tentang: 1.
Model pembelajaran yang dapat digunakan untuk mengajarkan aplikasi barisan dan deret.
2. Bahan ajar yang tepat dalam pembelajaran aplikasi barisan dan deret. 3. Menyusun LKPD yang mengarahkan siswa agar berpikir kritis dan kreatif. Aktivitas 2: Membahas dan mendiskusikan soal HOTS UNBK 2019 yang terkait dengan penerapan barisan dan deret. Berdasarkan https://hasilun.puspendik.kemdikbud.go.id/ hasil rata-rata untuk soal di atas secara nasional sebesar 3,85 (dari skala penilaian 0-100). Dalam rangka memperingati hari kemerdekaan Republik Indonesia, Desa X mengadakan lomba mengambil kelereng dari wadah dengan aturan sebagai berikut: - Setiap tim terdiri dari 5 orang dan setiap anggota kelompok harus mengambil sesuai urutannya. - Pada pengambilan putaran pertama (5 orang secara bergantian) hanya diperbolehkan mengambil masing-masing satu kelereng. - Pada putaran kedua, orang pertama setiap kelompok mengambil 2 kelereng dan selalu bertambah 3 kelereng untuk peserta pada urutan berikutnya dalam kelompok tersebut. - Pada putaran selanjutnya, setiap anggota tim mengambil 3 kelereng lebih banyak dari anggota sebelumnya. Tim B beranggotakan Aldi, Budi, Cahyo, Deni, dan Endra (urutan pengambilan Aktivitas kelereng3:sesuai dengan urutan abjad awal nama). Bersamaan dengan habisnya wakktu, ternyata tim B berhasil mengumpulkan 350 kelereng. Banyak kelereng yang berhasil diambil pada pengambilan terakhir oleh salah seorang anggota Aktivitas 3: tim B adalah . . . kelereng. 1. Membahas bersama teman sejawat soal-soal (UN, SPBMPTN, AKG, dll) yang terkait dengan aplikasi barisan dan deret.
23
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
2. Bertukar pemikiran dengan teman sejawat cara menyelesaikan soal tersebut.
2. Kegiatan On Job Training ( 6 JP) Pada kegiatan ini, setiap guru mempraktikkan pembelajaran terhadap peserta didik di madrasah masing-masing sesuai dengan perangkat pembelajaran yang telah disempurnakan pada kegiatan in-1. Contoh model pembelajaran yang dapat digunakan adalah model Discovery Learning (DL) dengan sintak: 1)
Pemberian Stimulus (Stimulation) Pada tahap ini peserta didik dihadapkan pada sesuatu yang menimbulkan tanda tanya. Kemudian, dilanjutkan untuk tidak memberi generalisasi, agar timbul keinginan untuk menyelidiki sendiri. Di samping itu guru dapat memulai kegiatan PBM dengan mengajukan pertanyaan, anjuran membaca buku, dan aktivitas belajar lainnya yang mengarah pada persiapan pemecahan masalah.
2) Pernyataan/Identifikasi masalah (Problem Statement) Setelah dilakukan stimulasi langkah selanjutya adalah guru memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengidentifikasi sebanyak mungkin masalah-masalah yang relevan dengan materi pembelajaran, kemudian salah satunya dipilih dan dirumuskan dalam bentuk hipotesis. Permasalahan yang dipilih itu selanjutnya dirumuskan dalam bentuk pernyataan sebagai jawaban sementara atas pertanyaan yang diajukan. 3) Pengumpulan Data (Data Collection) Ketika eksplorasi berlangsung guru juga memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengumpulkan informasi sebanyak-banyaknya yang relevan untuk membuktikan benar atau tidaknya hipotesi. Pada tahap ini berfungsi untuk menjawab pertanyaan atau membuktikan benar tidaknya hipotesis. Dengan demikian peserta didik diberi kesempatan untuk mengumpulkan (collection) berbagai informasi yang relevan, membaca literatur, mengamati objek, wawancara dengan narasumber, melakukan uji coba sendiri dan sebagainya.
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
24
4) Pengolahan Data (Data Processing) Semua informasi hasil bacaan, wawancara, observasi, dan sebagainya, semuanya diolah, diacak, diklasifikasikan, ditabulasi, bahkan bila perlu dihitung dengan cara tertentu serta ditafsirkan pada tingkat kepercayaan tertentu. Data processing disebut juga dengan pengkodean/kategorisasi yang berfungsi sebagai pembentukan konsep dan generalisasi. Dari generalisasi tersebut peserta didik akan mendapatkan pengetahuan baru tentang alternatif jawaban/penyelesaian yang perlu mendapat pembuktian secara logis. 5) Pembuktian (Verification) Pada tahap ini peserta didik melakukan pemeriksaan secara cermat untuk membuktikan benar atau tidaknya hipotesis yang ditetapkan tadi dengan temuan alternatif, dihubungkan dengan hasil data processing. Berdasarkan hasil pengolahan dan tafsiran, atau informasi yang ada, pernyataan atau hipotesis yang telah dirumuskan terdahulu itu kemudian dicek, apakah terjawab atau tidak, apakah terbukti atau tidak. 6) Menarik Kesimpulan/Generalisasi (Generalization) Tahap ini merupakan proses penarikan sebuah kesimpulan yang dapat dijadikan prinsip umum dan berlaku untuk semua kejadian atau masalah yang sama, dengan memperhatikan hasil verifikasi. Berdasarkan hasil verifikasi maka dirumuskan prinsip-prinsip yang mendasari generalisasi. Setelah menarik kesimpulan peserta didik harus memperhatikan proses generalisasi yang menekankan pentingnya penguasaan pelajaran atas makna dan kaidah atau prinsip-prinsip yang luas yang mendasari pengalaman seseorang, serta pentingnya
proses
pengaturan
dan
generalisasi
dari
pengalaman-
pengalaman itu.
25
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
Kegiatan Pembelajaran ( 2 x 60 menit) Materi: Aplikasi Barisan dan Deret Aritmetika Tabel 4 Desain Pembelajaran Aplikasi dan Deret Aritmetika
LangkahLangkah Pembelajaran Pendahuluan
Aktivitas Peserta Didik - Menjawab salam, berdoa, membaca surat pendek
Aktivitas Guru - Memulai pembelajran dengan mengucap salam dan meminta salah satu peserta didik untuk memimpin doa dan membaca salah satu surat pendek sebelum belajar.
Waktu 10 menit
- Membagi peserta didik menjadi beberapa kelompok dengan tiap kelompok terdiri atas 4-5 peserta didik. - Memperhatikan dan memahami penjelasan guru
- Menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai. - Memberikan gambaran tentang pentingnya memahami konsep barisan dan deret aritmetika serta penerapannya.
Pemberian Stimulus (Stimulation)
- Mengamati masalah nyata terkait dengan barisan dan deret aritmetika yang diberikan.
Pernyataan/Iden - Mengidentifikasi tifikasi masalah masalah nyata tersebut
- Memberikan masalah nyata terkait dengan barisan dan deret aritmetika yang tertuang dalam LKPD, Buku Paket, dll.
100 menit
- Meminta peserta didik untuk mengidentifikasi masalah tersebut terkait konsep barisan dan deret
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
26
(Problem Statement) Pengumpulan Data (Data Collection)
aritmetika, rumus suku ke𝑛, jumlah 𝑛 suku pertama. - Berdiskusi tentang masalah yang ada dalam LKPD, Buku Paket, dll yang diberikan.
- Mengarahkan peserta didik untuk menemukan konsep barisan dan deret aritmetika, rumus suku ke𝑛, jumlah 𝑛 suku pertama.
- Mengajukan pertanyaanpertanyaan yang berkaitan dengan masalah yang ada dalam LKPD, Buku Paket, dll yang diberikan. Pengolahan Data (Data Processing)
Pembuktian (Verification)
27
- Memahami konsep - Meminta peserta didik barisan dan deret untuk memahami konsep aritmetika, rumus barisan dan deret aritmetika, rumus suku kesuku ke-𝑛, jumlah 𝑛 𝑛, jumlah 𝑛 suku pertama suku pertama dan mengaplikasikan dan mengaplikasikan dalam masalah nyata. dalam masalah nyata. - Mendefinisikan - Meminta tiap kelompok konsep barisan dan untuk mendefinisikan deret aritmetika, konsep barisan dan deret aritmetika, rumus suku kerumus suku ke-𝑛, 𝑛, jumlah 𝑛 suku pertama jumlah 𝑛 suku dan mengaplikasikan pertama dan dalam masalah nyata. mengaplikasikan dalam masalah nyata. - Memperhatikan dan mendorong semua peserta - Terlibat aktif dalam didik untuk terlibat diskusi diskusi kelompok dan mengarahkan jika ada kelompok yang melenceng jauh pekerjaannya.
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
Menarik Kesimpulan/ Generalisasi (Generalization)
- Salah satu kelompok - Salah satu kelompok diminta untuk diminta untuk mempresentasikan mempresentasikan hasil hasil diskusinya ke diskusinya ke depan kelas. depan kelas. Sementara kelompok lain, Sementara kelompok menanggapi dan lain, menanggapi dan menyempurnakan apa menyempurnakan yang dipresentasikan. apa yang dipresentasikan. - Menyimpulkan konsep barisan dan deret aritmetika, rumus suku ke-𝑛, jumlah 𝑛 suku pertama dan mengaplikasikan dalam masalah nyata.
Penutup
- Menyimak penjelasan yang diberikan
- Menyimpukan konsep barisan dan deret aritmetika, rumus suku ke𝑛, jumlah 𝑛 suku pertama dan mengaplikasikan dalam masalah nyata.
10 menit
Kegiatan Pembelajaran ( 4 x 60 menit) Materi: Aplikasi Barisan dan Deret Geometri Tabel 5. Desain Pembelajaran Aplikasi dan Deret Geometri
LangkahLangkah Pembelajaran Pendahuluan
Aktivitas Peserta Didik - Menjawab salam, berdoa, membaca surat pendek
Aktivitas Guru - Memulai pembelajran dengan mengucap salam dan meminta salah satu peserta didik untuk memimpin doa dan
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
Waktu 20 menit
28
membaca salah satu surat pendek sebelum belajar. - Membagi peserta didik menjadi beberapa kelompok dengan tiap kelompok terdiri atas 4-5 peserta didik.
- Memperhatikan dan memahami penjelasan guru
- Menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai. - Memberikan gambaran tentang pentingnya memahami konsep barisan dan deret geometri serta penerapannya.
Pemberian Stimulus (Stimulation)
- Mengamati masalah - Memberikan masalah nyata nyata terkait dengan terkait dengan barisan dan barisan dan deret deret geometri yang tertuang geometri yang diberikan. dalam LKPD, Buku Paket, dll.
Pernyataan/Iden tifikasi masalah (Problem Statement)
- Mengidentifikasi masalah nyata tersebut
Pengumpulan Data (Data Collection)
- Berdiskusi tentang masalah yang ada dalam LKPD, Buku Paket, dll yang diberikan.
Pengolahan Data
- Memahami konsep barisan dan deret geometri, rumus suku
29
- Meminta peserta didik untuk mengidentifikasi masalah tersebut terkait konsep barisan dan deret geometri, rumus suku ke-𝑛, jumlah 𝑛 suku pertama.
- Mengarahkan peserta didik untuk menemukan konsep barisan dan deret geometri, rumus suku ke-𝑛, jumlah 𝑛 suku pertama. - Mengajukan pertanyaanpertanyaan yang berkaitan dengan masalah yang ada dalam LKPD, Buku Paket, dll yang diberikan. - Meminta peserta didik untuk memahami konsep barisan dan deret geometri, rumus
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
200 menit
(Data Processing)
Pembuktian (Verification)
Menarik Kesimpulan/ Generalisasi (Generalization)
ke-𝑛, jumlah 𝑛 suku pertama dan mengaplikasikan dalam masalah nyata.
suku ke-𝑛, jumlah 𝑛 suku pertama dan mengaplikasikan dalam masalah nyata.
- Mendefinisikan konsep barisan dan deret geometri, rumus suku ke-𝑛, jumlah 𝑛 suku pertama dan mengaplikasikan dalam masalah nyata.
- Meminta tiap kelompok untuk mendefinisikan konsep barisan dan deret geometri, rumus suku ke-𝑛, jumlah 𝑛 suku pertama dan mengaplikasikan dalam masalah nyata.
- Terlibat aktif dalam diskusi kelompok
- Memperhatikan dan mendorong semua peserta didik untuk terlibat diskusi dan mengarahkan jika ada kelompok yang melenceng jauh pekerjaannya.
- Salah satu kelompok diminta untuk mempresentasikan hasil diskusinya ke depan kelas. Sementara kelompok lain, menanggapi dan menyempurnakan apa yang dipresentasikan.
- Salah satu kelompok diminta untuk mempresentasikan hasil diskusinya ke depan kelas. Sementara kelompok lain, menanggapi dan menyempurnakan apa yang dipresentasikan.
- Menyimpulkan konsep barisan dan deret geometri, rumus suku ke-𝑛, jumlah 𝑛 suku pertama dan mengaplikasikan dalam masalah nyata. Penutup
- Menyimak penjelasan yang diberikan
- Menyimpukan konsep barisan dan deret geometri, rumus suku ke-𝑛, jumlah 𝑛 suku pertama dan mengaplikasikan dalam masalah nyata.
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
20 menit
30
3. Kegiatan In Learning Service-2 ( 4 JP) Kegiatan ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk melaporkan dan mendiskusikan hasil kegiatan on. Agar hambatan selama pembelajaran terekam dengan baik, lakukan refleksi pelaksanaan pembelajaran dan tuliskan ke dalam lembar berikut: Tabel 5 Refleksi Pelaksanaan Pembelajaran On Job Training
No.
Refleksi Aktivitas Peserta Didik
Refleksi Aktivitas Guru
Hambatan Lain
1 2 3 dst Diskusikan hambatan pelaksanaan pembelajaran Anda dengan teman sejawat untuk mendapatkan pemecahan masalah guna perbaikan pembelajaran yang akan datang.
31
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
F. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) 1. LKPD Aplikasi Barisan dan Deret Aritmetika Nama Peserta didik
Kelas Hari/tanggal
: 1.................................................. 2.................................................. 3.................................................. 4.................................................. : ...................................................... : ......................................................
Tujuan Pembelajaran: Melalui diskusi kelompok, peserta didik dapat: 1. Membuat generalisasi (bentuk umum) suku ke-n dari suatu barisan aritmetika 2. Membuat generalisasi (bentuk umum) suku ke-n dari suatu barisan aritmetika 3. Membuat generalisasi (bentuk umum) jumlahan n suku pertama dari suatu barisan aritmetika Pengantar: Cermati setiap pertanyaan/instruksi yang diberikan pada LKPD ini. Berdiskusilah secara aktif dalam kelompokmu, kemudian isikan jawaban pada tempat yang disediakan. Diberikan salah satu permasalahan dalam kehidupan sehari–hari yang terkait dengan barisan dan deret aritmetika.
Suatu gedung pertunjukkan teater mempunyai 18 kursi penonton pada baris terdepan atau baris pertama. Pada baris kedua gedung tersebut mempunyai 22 kursi penonton. Pada baris ketiga Gedung tersebut mempunyai 26 kursi penonton. Pada baris keempat Gedung tersebut mempunyai 30 kursi penonton. Banyaknya baris kursi penonton pada Gedung itu sebanyak 15 baris.
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
32
Lembar Kerja Peserta Didik: 1. Lengkapi tabel berikut: Baris Kursi Penonton Baris ke-5 Baris ke-6 Baris ke-7 Baris ke-8
Banyak Kursi Penonton ………… ………… ………… …………
2. Berdasarkan data di atas, apakah barisan aritmetika? Mengapa? ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... 3. Berapakah banyaknya kursi penonton pada gedung teater tersebut? ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... 4. Presentasikan hasil diskusi kelompok di depan kelas, kelompok lain memberikan tanggapan dengan mengajukan pertanyaan ataupun memberikan masukkan.
33
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
2. LKPD Aplikasi Barisan dan Deret Geometri Nama Peserta didik
Kelas Hari/tanggal
: 1.................................................. 2.................................................. 3.................................................. 4.................................................. : ...................................................... : ......................................................
Tujuan Pembelajaran: Melalui diskusi kelompok, peserta didik dapat: 1. Membuat generalisasi (bentuk umum) suku ke-n dari suatu barisan geometri 2. Membuat generalisasi (bentuk umum) jumlahan suku ke-n dari suatu barisan geometri 3. Memecahkan masalah yang berkaitan barisan geometri Pengantar: Cermati setiap pertanyaan/instruksi yang diberikan pada LKPD ini. Berdiskusilah secara aktif dalam kelompokmu, kemudian isikan jawaban pada tempat yang disediakan. Diberikan salah satu permasalahan dalam kehidupan sehari–hari yang terkait dengan deret geometri.
Suatu wabah penyakit menyebar dengan cepat. Misalkan pada minggu pertama terdapat 5 orang yang terdiagnosis terjangkit penyakit tersebut. Selanjutnya setiap orang yang sudah terjangkit akan menularkan ke Lembar Kerja Peserta Didik: empat orang yang lain pada akhir minggu berikutnya. Pada akhir 1. minggu Misalkan, banyak orang yangbanyak terjangkitorang pada minggu 5 ke-10, berapa yang pertama sudah =terdiagnosis Lengkapi tabel berikut: terjangkit penyakit tersebut? Akhir Minggu ke-2 Minggu ke-3 Minggu ke-4 Minggu ke-5
Banyak Orang Yang Terjangkit ………… ………… ………… …………
2. Berdasarkan data di atas, apakah barisan geometri? Mengapa? ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... ....
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
34
................................. ........................................................................................................................ 3. banyak orang yang sudah terdiagnosis terjangkit penyakit pada akhir minggu ke-10 adalah ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... 4. Presentasikan hasil diskusi kelompok di depan kelas, kelompok lain memberikan tanggapan dengan mengajukan pertanyaan ataupun memberikan masukkan.
35
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
3. LKPD Aplikasi Barisan dan Deret Geometri Tak Hingga Nama Peserta didik
Kelas Hari/tanggal
: 1.................................................. 2.................................................. 3.................................................. 4.................................................. : ...................................................... : ......................................................
Tujuan Pembelajaran: Melalui diskusi kelompok, peserta didik dapat: 1. Membuat generalisasi (bentuk umum) jumlahan dari suatu deret geometri tak hingga 2. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan deret geometri Pengantar: Cermati setiap pertanyaan/instruksi yang diberikan pada LKPD ini. Berdiskusilah secara aktif dalam kelompokmu, kemudian isikan jawaban pada tempat yang disediakan. Diberikan salah satu permasalahan dalam kehidupan sehari–hari yang terkait dengan deret geometri tak hingga.
Sebuah ayunan mencapai lintasan pertama sejauh 90 cm, dan lintasan berikutnya hanya mencapai 85 dari lintasan sebelumnya. Tentukan panjang lintasan seluruhnya hingga ayunan berhenti.
Lembar Kerja Peserta Didik: 1. Perhatikan gambar.
Gambar 5 Ilustrasi Lintasan Ayunan
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
36
Lengkapi tabel berikut: Lintasan Ayunan Ke-1 Ke-2 Ke-3 Ke-4
Panjang Lintasan 90 cm ………… ………… …………
2.
Dari tabel di atas lintasan ayunan membentuk deret: 90 + . . . + . . . + . . . + . . . Deret apakah yang terbentuk? ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... 3. Berpakah total panjang lintasan ayunan yang ditempuh sampai berhenti? ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... ..................................................................................................................................................... .... 4. Presentasikan hasil diskusi kelompok di depan kelas, kelompok lain memberikan tanggapan dengan mengajukan pertanyaan ataupun memberikan masukkan.
37
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
G. Pengembangan SOAL HOTS HOTS singkatan dari Higher Order Thinking Skills yang artinya kemampuan berpikir tingkat tinggi. Soal model HOTS ini mendorong peserta didik untuk melakukan penalaran tingkat tinggi sehingga tidak terpaku hanya pada satu pola jawaban yang dihasilkan dari proses menghafal, tanpa mengetahui konsep ilmunya. HOTS merupakan salah satu tuntutan keterampilan dalam pembelajaran abad 21, yaitu berpikir kritis, kreatif, kolaboratif, dan komunikatif. Bagian ini menyajikan contoh kisi-kisi pengembangan penilaian HOTS sesuai dengan kompetensi, lingkup materi, dan indikator soal. Selanjutnya buatlah kisi-kisi yang lain dan kembangkan menjadi instrumen penilaian dari kisi tersebut dalam aktivitas In Learning Service-1. KISI-KISI SOAL HOTS Nama Madrasah : Madrasah Aliyah Mata Pelajaran
: Matematika
Alokasi Waktu
: ………………………….
Jumlah Soal
: ………………………….
Tahun Pelajaran : …………………………. Tabel 6 Kisi-Kisi Pengembangan Soal HOTS
Kompetensi Dasar
Lingkup Materi
Indikator KD
3.6 Menggeneralis
Barisan dan Deret
Peserta didik dapat menggener alisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri
asi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri
Indikator Soal Diberikan
No. Soal
Level Kognitif
Bentu k soal
1
L3
Uraian
masalah kontekstual tentang pertumbuhan, peserta didik diminta untuk dapat menganalisis
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
38
Barisan dan deret
Barisan dan deret
39
Peserta didik dapat menggener alisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri
Diberikan
Peserta didik dapat menggener alisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri
Diberikan
2
L3
Uraian
3
L3
Uraian
masalah kontekstual tentang peluruhan, didik diminta untuk dapat menganalisis
masalah kontekstual tentang bunga majemuk, didik diminta untuk dapat menganalisis
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
05 PENILAIAN
A. Tes Formatif 1. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah … buah A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 E. 80 2. Ahmad menabung sejumlah uang disebuah bank. Jenis tabungan yang dipilih Ahmad adalah tabungan dengan sistem bunga tunggal sebesar 3% per caturwulan. Jika setelah 3 tahun tabungan Ahmad menjadi Rp.25.400.000, maka besar tabungan awal Ahmad di bank tersebut adalah …. A. Rp20.000,00 B. Rp20.500,00 C. Rp21.000,00 D. Rp22.000,00 E. Rp22.500,00 3. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp.200.000.000. Jika setiap tahun harganya mengalami penyusutan 20% dari nilai tahun sebelumnya, maka harga mobil itu setelah dipakai selama 5 tahun adalah …. A. Rp65.000.000,00 B. Rp65.536.000,00
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
40
C. Rp66.536.000,00 D. Rp67.500.000,00 E. Rp68.500.000,00 4. Sebuah mobil berjalan dengan kecepatan 60 km/jam selama satu jam pertama. Pada jam kedua, kecepatan berkurang menjadi seperempatnya, demikian juga pada jam berikutnya. Jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut adalah …. A. 80 km B. 90 km C. 100 km D. 120 km E. 160 km 5. Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah 64, suku ke-4 deret tersebut adalah …. A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 E. 12 6. Salah satu contoh bilangan ganjil yang berurutan adalah 21, 23, 25, dan 27. Tentukan empat bilangan ganjil berurutan yang mempunyai jumlah 160.
41
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
7. Di pusat taman kota terdapat air mancur yang dibatasi oleh bangunan dari beton sebagai pagar dengan warna putih. Para pekerja memasang ubin berbentuk segienam dengan warna hitam sebagai lapisan pertama, untuk mengelilingi pagar air mancur. Selanjutnya, para pekerja memasang ubin berbentuk segienam berwarna putih sebagai lapisan kedua untuk mengelilingi air mancur, setelah memasang ubin berwarna hitam. Berikutnya berwarna hitam, selanjutnya berwarna putih dan demikian seterusnya sampai lapisan ke15. Berwarna apakah ubin pada lapisan ke-15? Dan ada berapa banyak ubin yang ada pada lapisan ke-15?
8. Jumlah anak tangga dari sebuah tangga di suatu sekolah tiga lantai adalah 24 anak tangga. Anak tangga yang paling dasar memerlukan 100 buah batu bata. Dan, setiap anak tangga berikutnya memerlukan 4 buah batu bata lebih sedikit dari anak tangga sebelumnya. Berapa batu bata yang diperlukan untuk membangun tangga sekolah ini?
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
42
9. Perhatikan gambar berikut:
Aturan main: Dalam kotak tersedia 10 bendera dan harus dipindahkan ke dalam botol yang tersedia satu demi satu. Semua peserta lomba mulai bergerak (start) dari botol nomor 10 untuk mengambil bendera dalam kotak. Berapakah jarak tempuh yang dilalui peserta lomba? 10. Diketahui bilangan 𝑎, 𝑏, 𝑐 membentuk barisan geometri. Bilangan 𝑎, 𝑏, 𝑐 − 2 membentuk barisan aritmetika dan bilangan 𝑎, 𝑏 + 2, 𝑐 + 10 membentuk barisan geometri. Hitunglah jumlah semua nilai yang mungkin untuk 𝑏.
43
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
B. Penilaian 1. Penilaian untuk Guru a. Penilaian Mandiri Guru Setelah menyelesaikan seluruh aktivitas dalam Unit Pembelajaran dan mencoba soal latihan penilaian, Anda dapat memperkirakan tingkat keberhasilan Anda dengan dengan mengisi instrumen penilaian diri berikut ini. Isilah lembar persepsi diri ini dengan objektif dan jujur dengan memberikan tanda ceklis (√) pada kolom penilaian diri sesuai target kompetensi yang ditetapkan. Tabel 7 Instrumen Penilaian Diri Bagi Guru
Target Kompetensi
Penilaian Diri Tercapai
Belum
Ket.
1. Menyusun rencana pembelajaran yang lengkap. 2. Melaksanakan pembelajaran yang mengembangkan berpikir kritis dan kreatif. 3. Memanfaatkan teknologi informasi dan komunikasi untuk kepentingan pembelajaran. 4. Mengevaluasi pelaksanaan pembelajaran dan hasil belajar peserta didik 5. Menguasai materi, struktur, konsep, dan pola pikir keilmuan berkaitan penerapan barisan dan deret. 6. Mampu menyelesaikan soal-soal yang disediakan dalam modul. Catatan:
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
44
b. Penilaian oleh Asesor/Fasilitator Tabel 8 Instrumen Penilaian Guru oleh Asesor/Fasilitator
Penilaian Diri Target Kompetensi Tercapai
Belum
Ket.
1. Menyusun rencana pembelajaran yang lengkap. 2. Melaksanakan pembelajaran yang mengembangkan berpikir kritis dan kreatif. 3. Memanfaatkan teknologi informasi dan komunikasi untuk kepentingan pembelajaran. 4. Mengevaluasi pelaksanaan pembelajaran dan hasil belajar peserta didik 5. Menguasai materi, struktur, konsep, dan pola pikir keilmuan berkaitan penerapan barisan dan deret. 6. Mampu menyelesaikan soal-soal yang disediakan dalam modul. Catatan:
45
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
2. Penilaian untuk Peserta Didik a. Penilaian Mandiri oleh Peserta Didik Mintalah peserta didik untuk mengisi lembar penilaian diri berikut ini untuk memperkirakan tingkat keberhasilan peserta didik dalam menguasai kompetensi dasar yang Anda ajarkan. Isi secara objektif dan jujur dengan memberikan tanda ceklis (√) pada kolom penilaian diri sesuai indikator pencapaian kompetensi dasar yang ditetapkan. Tabel 9 Instrumen Penilaian Diri bagi Peserta Didik
Indikator Capaian Kompetensi 3.6.1
Membuat generalisasi (bentuk umum) suku ke-n dari suatu barisan aritmetika
3.6.2
Membuat generalisasi (bentuk umum) suku ke-n dari suatu barisan geometri
3.6.3
Membuat generalisasi (bentuk umum) jumlahan n suku pertama dari suatu barisan aritmetika
3.6.4
Membuat generalisasi (bentuk umum) jumlahan suku ke-n dari suatu barisan geometri
3.6.5
Membuat generalisasi (bentuk umum) jumlahan barisan geometri tak hingga
4.6.1
Mengidentifikasi terjadinya pola pada masalah yang berkaitan dengan barisan bilangan
4.6.2
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan pertumbuhan
4.6.3
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan peluruhan
4.6.4
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bunga majemuk
Penilaian Diri Tercapai
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
Belum
Ket.
46
4.6.5
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan anuitas
4.6.6
Memecahkan masalah yang berkaitan barisan dan deret geometri tak hingga
Catatan:
b. Penilaian oleh Guru Tabel 10 Instrumen Penilaian Peserta Didik oleh Guru
Indikator Capaian Kompetensi 3.6.1
Membuat generalisasi (bentuk umum) suku ke-n dari suatu barisan aritmetika
3.6.2
Membuat generalisasi (bentuk umum) suku ke-n dari suatu barisan geometri
3.6.3
Membuat generalisasi (bentuk umum) jumlahan n suku pertama dari suatu barisan aritmetika
3.6.4
Membuat generalisasi (bentuk umum) jumlahan suku ke-n dari suatu barisan geometri
3.6.5
Membuat generalisasi (bentuk umum) jumlahan barisan geometri tak hingga
4.6.7
Mengidentifikasi terjadinya pola pada masalah yang berkaitan dengan barisan bilangan
4.6.8
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan pertumbuhan
47
Penilaian Diri Tercapai
Belum
Ket.
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
4.6.9
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan peluruhan
4.6.10 Memecahkan masalah yang
berkaitan dengan bunga majemuk 4.6.11 Memecahkan masalah yang
berkaitan dengan anuitas 4.6.12 Memecahkan masalah yang
berkaitan barisan dan deret geometri tak hingga Catatan:
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
48
06 PENUTUP Anda telah memepelajari modul ini, selanjutnya Anda dapat menerapkan desain pembelajaran yang telah disusun kepada peserta didik di kelas masingmasing. Semoga Unit Pembelajaran ini dapat menjadi referensi Anda dalam mengembangkan pembelajaran dan penilaian yang berorientasi Higher Order Thinking Skills (HOTS), terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman, dan literasi dalam rangka mencapai kecakapan Abad ke-21, membentuk generasi unggul yang moderat, beriman dan bertakwa serta berakhlak mulia. Aktivitas pembelajaran yang disajikan dalam modul ini perlu Anda sesuaikan dengan kondisi nyata kelas Anda masing-masing. Anda perlu menyusun Rencana Pelaksanaan Pembelajaran sesuai dengan kondisi kelas Anda, sehingga memudahkan mengimplementasikan secara teknis. Selain itu, Anda masih perlu mengembangkan instumen penilaian lainnya yang berorientasi HOTS dengan mengacu pada contoh kisi penilaian yang disajikan dalam modul. Anda perlu mengaktifkan diri dalam kegiatan MGMP Matematika untuk melakukan hal tersebut serta mengembangkan modul secara bersama rekan sejawat guru matematika lainnya. Penulis menyadari bahwa modul ini masih banyak kekurangan. Untuk itu, penulis mengharap saran dan masukan yang membangun demi lebih sempurnanya modul ini maupun dalam upaya perbaikan dan pengembangan modul pembelajaran lainnya. Semoga modul pembelajaran ini bermanfaat bagi khasanah ilmu pengetahuan dan pembelajaran secara umum maupun bagi pihak-pihak yang memerlukan.
49
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF 1.
D
2. A 3. B 4. A 5. B 6. 37, 39, 41, 43 7.
Ubin pada lapisan ke-15 berwarna hitam sebanyak 98304
8. 1296 9. 920 m 10.
32 9
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
50
DAFTAR PUSTAKA Mary Jane Sterling. 2006. Algebra II For Dummies, New Jersey: Wiley Publishing Inc Ron Larson. 2016. Precalculus, Boston: Cengage Learning Ron Larson. 2013. Algebra and Trigonometry, Boston: Cengage Learning
51
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
Unit Pembelajaran 3 : Penerapan Barisan dan Deret
52
