Perkalian Dot Dan Cross [PDF]

Citation preview

PERKALIAN SKALAR (DOT PRODUCT) DUA VEKTOR Perkalian dua vektor dapat dibedakan menjadi perkalian titik (dot product) yang biasa disebut perkalian skalar, dan perkalian silang (cross product) yang biasa disebut perkalian vektor. Perkalian skalar atau perkalian titik antara dua vektor menghasilkan nilai skalar sedangkan perkalian silang antara dua vektor menghasilkan vektor pula. Perkalian titik dua vektor didefenisikan sebagai suatu sakalar yang nilainya sama dengan hasil kali antara besar kedua vektor dengan cosinus sudut apitnya. Perkalian skalar dua vektor dapat dikaji secara geometris ataupun secara aljabar. Hasil yang diperoleh berdasarkan dua metode tersebut adalah sama besar. Berikut rumus perkalian skalar : Perkalian Skalar Secara Geometris Secara geometris, perkalian skalar antara dua vektor adalah hasil kali antara besar vektor pertama dengan proyeksi vektor kedua. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini : Secara matematis perkalian skalar dua vektor dapat ditentukan dengan rumus : a . b = |a|.|b| cos θ Dengan : |a| = besar vektor a | b| = besar vektor b θ = sudut antara vektor a dan b. Misal dua vektor A dan B dinyatakan dengan : A = aî + bj + ckk B = kî + mj + nkk Maka perkalian skalar antara A dan B adalah : ⇒ A.B = |A|.|B| cos θ ⇒ A.B = √a2 + b2 + c2.√k2 + m2 + n2 cos θ Rumus perkalian skalar di atas biasanya digunakan untuk menentukan besar sudut antara dua vektor dengan menggunakan hasil kali berdasarkan perhitungan aljabar. Selain itu, rumus ini juga digunakan untuk menentukan nilai variabel dalam vektor jika sudut apitnya diketahui. Contoh : Diketahui vektor A = 2î + 5j + 4kk dan B = î + 2j − 3kk. Sudut antara A dan B adalah .... A. 90o D. 45o B. 60o E. 30o C. 53o Pembahasan : Berdasarkan rumus perkalian skalar : ⇒ A.B = |A|.|B| cos θ ⇒ (2î + 5j + 4kk)(î + 2j − 3kk) = |A|.|B| cos θ



⇒ 2(1) + 5(2) + (4)(-3) = |A|.|B| cos θ ⇒ 2 + 10 − 12 = |A|.|B| cos θ ⇒ 0 = |A|.|B| cos θ ⇒ cos θ = 0 ⇒ θ = 90o Jawaban : A Diketahui vektor a = 2î + 4j − nkk dan B = î + 2j + 2kk. Jika kedua vektor tersebut saling tegak lurus, maka nilai n adalah ..... A. 100 m D. 115 m B. 105 m E. 125 m C. 110 m Pembahasan : Berdasarkan konsep perkalian skalar secara geometris : ⇒ a.b = |a|.|b| cos θ ⇒ a.b = |a|.|b| cos 90o ⇒ (2î + 4j − nkk).(î + 2j + 2kk) = |a|.|b| (0) ⇒ 2(1) + 4(2) + (-n)(2) = 0 ⇒ 2 + 8 − 2n = 0 ⇒ 10 − 2n = 0 ⇒ -2n = -10 ⇒ n = 5 Perkalian Skalar Secara Aljabar Misal dua vektor A dan B dinyatakan dengan : A = aî + bj + ckk B = kî + mj + nkk Maka perkalian skalar antara A dan B adalah : ⇒ A.B = a(k) + b(m) + c(n) Contoh : Vektor a dan b diberikan sebagai berikut : a = 2



dan b = 4 -1 2 -3 -1



Tentukan hasil perkalian skalar antara a dan b. Pembahasan : ⇒ a.b = a(k) + b(m) + c(n) ⇒ a.b = (2î − j − 3kk)(4î + 2j − kk) ⇒ a.b = 2(4) + (-1)(2) + (-3)(-1)



⇒ a.b = 8 − 2 + 3 ⇒ a.b = 9 Sumber: http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2015/05/perkalian-skalar-dotproduct-dua-vektor.html?en Content is Courtesy of bahanbelajarsekolah.blogspot.com



Perkalian Vektor Dan Contoh Soal Saturday, November 8th 2014. | rumus fisika



Perkalian Vektor – Kemarin kita telah belajar tentang penjumlahan dan pengurangan vektor. Yuk kita beranjak ke perkalian vektor. Besaran vektor bisa dikalikan dengan besaran vektor maupun besaran skalar. Ada 3 macam perkalian vektor. Berikut ulasan lengkapnya.



1. Perkalian Skalar dengan Vektor Skalar bisa dikalikan dengan sebuah vektor. Misal sobat punya nih vektor B yang merupakan hasil perkalian dari skalar k dengan vektor A maka



B = kA k adalah bilangan (skalar). Jadi vektor B adalah vektor yang besarnya 4 kali vektor A dan arahnya searah dengan vektor A. Perkalian skalar dengan vektor punya sifat distributif



k (A+B) = k A + kB Ini juga berlaku untuk untuk bentuk vektor komponen 2 dimensi atau tiga dimensi.



r kr = kx i + ky j



=



xi



+



yj



2. Perkalian Titik (Dot Product) Perkalian titik antara dua vektor A.B didefinisikan sebagai suatu skalar yang sama dengan hasil kali dari besar kedua vektor dengan cosinus sudut apitnya. Jika sobat masih bingung sederhananya secara geometris perkalian titik dari 2 buah vektor adalah hasil kali vektor 1 dengan proyeksi vektor 2 dengan dengan vektor 1. Contoh



Perhatikan gambar vektor A dan B di atas. Pangkal keduanya membentuk sudut sebesar θ maka



Simbol dari perkalian titik adalah (.) yang sering disebut perkalian titik (dot product). Karenan perkalian titik ini menghasilkan skalar maka sering disebut juga dengan scalar product.



Perkalian Titik mempunyai sifat distributif sehingga



A.(B+C) = A.B + A.C Pada perkalian titik juga berlaku sifat komutatif



A.B = B.A Berikut beberapa hal yang penting dalam perkalian titik a.



Pada perkalian titik dua vektor berlaku sifat distributif sebagaimana dijelaskan di atas.



b.



Jika



kedua



vektor



A dan



B saling



tegak



lurus (sudut



apit



teta



=



90º)



maka



A.B = 0 c.



Jika



kedua



vektor searah A



dan



B



(sudut



apit



teta



= 0º)



maka



A.B = AB d.



Jika



kedua



vektor



A



dan



B berlawan



arah (sudut



apit



teta



=



180º)



maka



A.B = -AB Perkalian Titik Menggunakan Vektor Satuan Untuk melakukan perkalian titik dari vektor satuan terlebih dahulu kita nyatakan vektor A dan B dalam komponen-komponennya. vektor A dan B kita uraikan dulu A –> Ax i + Ay j + Az kk B –> Bx i + By j + Bz kk Sekarang kita cari tahu hasil perkalian vektor komponen dari A dot B kemudian kita uraikan perkaliannya. karena vektor komponen i,kj, dankkkadalah vektor komponen yang saling tegak lurus dengan membentuk sudut 90º maka perkalian titiknya i x i = j x j = k x k = (1) . (1) cos 0º = 1 (berhimpit) i x j = i x k = j x k = (1).(1) cos 90º = 0 (tegak lurus)



A.B



= (Ax i, Ay j ,Az kk) (Bx i + By j + Bz kk)



A.B



= Ax î × Bx î + Ax î × By j + Ax î × Bz kk+ Ay j × Bx î + Ay j × By j +Ay j ×Bz kk+ Az kk× Bx î + Az kk× By j + A



A.B



= Ax î × Bx î + 0+ 0 + 0 + Ay j × By j +0 + 0k+ 0 + Az kk× Bz kk



A.B



= Ax î × Bx î + Ay j × By j + Az kk× Bz kk



= Ax î × Bx î + Ay j × By j + Az kk× Bz kk –> karena i x i = j x j = k x k = (1) . (1) cos 0º = 1 maka



A.B



= AxBxk+ AyBy + AzBz



3. Perkalian Silang (Cross Product) Perkalian silanga A x B pada vektor didefinisikan sebagai suatu vektor yang arahnya tegak lurus pada bidang dimana vektor A dan B berada dan mengikuti aturan tangan kanan, sementara besarnya vketor tersebut sama dengan hasil kali dari besar kedua vektor dengan sinus sudut apit antara kedua vektor tersebut. Secara matematis dirumuskan



A x B = A sin θ Berikut adalah hal-hal penting dalam perkalian silang dua buah vektor a.



Nilia 0º Pada perkalian titik dua vektor berlaku sifat distributif sebagaimana dijelaskan di atas.



b.



Perkalian



silang



bersifat anti



komutatif



A x B = -B x A c.



Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus yaitu sudut apit teta = 90º maka |A x B| = AB



d.



Jika kedua vektoe A dan B segaris (teta = 0º) dapat searah atau verlawanan maka AxB=0



Untuk lebih memahami perkalian vektor dan juga penentuan arah menggunakan kaidah tangan kanan silahkan perhatikan ilustrasi berikut Misalnya perkalian silang dua vektor A dan vektor B kita tuliskan sebagai A x B (A silang B). Perkalian silang ini hasilnya adalah berupa vektor C. Karena berupa vektor maka ia punya besar dan juga arah. Besar Vektor Hasil Perkalian Silang



Sesuai rumus di atas, kita dapat menyimpulkan besarnya hasil perkalian silang vektor A dan B (A x B) adalah hasil kali vektor A dengan komponen vektor B yang tegak lurus dan sebidang dengan vektor A.



A x B = A (B sin θ) = AB sin θ Bagiaman



kalau



kita



balik



menjadi



perkalian



silang



vektor



B



dengan



vektor



A?



Kita buat ilustrasinya terlebih dahulu seperti gambar di bawah ini



Dari gambar di atas perkalian silang antara vektor B dan vektor A adalah hasil kali besar vektor B dengan komponen vektor A yang tegak lurus dan sebidang dengan vektor B.



B x A = B (A sin θ) = BA sin θ Arah Vektor Hasil Perkalian Silang Sekarang bagaimana menetukan arah dari hasil perkalian silang vektor A x B dan B x A? Arah



Hasil



Perkalian



Silang



A



x



B



Seperti disebutkan sebelumnya perkalian silang hasilnya adalah vektor bukan skalar. Jadi ia juga punya arah. Besarnya hasil perkalian sudah kita temukan rumusnya di atas, sekarang kita akan belajar bagaimana menentukan arahnya. Kita gambar dulu kedua vektor A dan B (vektor A dan B ada bidang datar yang sama)



Kita misalkan hasil perkalian silang A x B adalah vektor C. Arah vektor C nih tegak lurus dengan bidang vektor A dan B. Untuk menentukan arahnya kita bisa menggunakan kaida tangan kanan. Kita menggunakan tangan dengan empat jari digenggamkan dan ibu jari yang diacungkan. Kita genggamkan jari searah dengan arah dari A ke B (karena perkalian silang A x B) sehingga arahnya akan berlawanan dengan arah jarum jam. Kita tegakkan ibu jari dan arah yang ditunjukkan oleh ibu jari tersebut adalah arah vektor C. Ibu jari menunjuk ke atas.



Arah Hasil Perkalian Silang B x A Caranya seperti sebelumnya karena B x A maka arah genggaman jari (selain ibu jari) sesuai arah B ke A. Arahnya adalah searah dengan arah jarum jam. Maka ibu jari menunjuk kebawah. Simak ilustrasi berikut.



Perkalian Silang dengan Vektor Satuan Kita dapat menghitung perkalian silang jika kita mengetahui komponen vektor yang diketahui. Cara dan urutannya mirip pada perkalian titik. Pertama Kita lakukan perkalian silang vektor satuan i, j, dan k. (ingar perkalian silang A x B = AB sin θ). Karena ketiga vektor satuan saling tegak lurus maka i x i = ii sin 0º = 0 j x j = jj sin 0º = 0 k x k = kk sin 0º = 0



maka i x i = j x j = k x k = 0 untuk perkalian silang vektor satuan yang berbeda menggunakan atura siklus berikut



Aturannya jika



perkalian



menurut



urutan



i



->



j



->



k



maka



hasilnya



positif



(sesuai



siklus)



jika perkalian berkebalikan k-> j -> i maka hasilnya adalah negatif (berlawanan siklus) Kedua Kita nyatakan vektor A dan B dalam komponen-komponennya, menguraikan perkaliannya dan menggunakan perkalian dari vektor-vektor satuannya. A × B = (Ax i + Ay j + Az kk) × (Bx i + By j + Bz kk) A×B



=



Ax i



×



Bx i



+



Ax i



×



By j



+



Ax i



×



Bz kk



+Ay j



×



Bx i



+



Ay j



×



By j



+



Ay j



×



Bz kk



+Az kk



×



Bx i



+



Az kk



×



By j



+



Az kk



×



Bz kk



nah setelah ini sobat bisa pakai aturan siklus pada gambar sebelumnya. A×B



=



AxBy kk



−



AxBz j



−



AyBx kk



+



AyBz i



+



AzBx j



−



AzBy i



dan taraaaa ketemu deh rumus perkalian silang untuk vektor satuan A × B = (AyBz − AzBy) i + (AzBx − AxBz) j + (AxBy − AyBx) kk



Sekian dulu materi bagaimana sih perkalian vektor. Jika ada yang belum jelas jangan ragu-ragu untuk menanyakannya lewat kolom komentar di bawah ya.



Contoh Soal Vetor dan Pembahasannya Soal No. 10 Diberikan dua buah vektor masing-masing vektor dan besarnya adalah A = 8 satuan, B = 10 satuan. Kedua vektor ini membentuk sudut 37°. Tentukan hasil dari: a) A⋅ B b) A × B Pembahasan a) A⋅ B adalah perkalian titik (dot) antara vektor A dan vektor B Untuk perkalian titik berlaku A⋅ B = A B cos θ Sehingga A⋅ B = A B cos 37° = (8)(10)(0,8) = 64 satuan b) A × B adalah perkalian silang (cross) vektor A dan vektor B Untuk perkalian silang berlaku A × B = A B sin θ Sehingga A × B = A B sin 37° = (8)(10)(0,6) = 48 satuan Soal No. 11 Sebuah gaya F = (2i + 3j) N melakukan usaha dengan titik tangkapnya berpindah menurut r = (4i + aj) m dan vektor i dan j berturut-turut adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu x dan sumbu y pada koordinat kartesian. Bila usaha itu bernilai 26 J, maka nilai a sama dengan... A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 12 Sumber: Soal UMPTN Tahun 1991 Pembahasan Soal ini adalah soal penerapan perkalian titik (dot product ) antara vektor gaya F dan vektor perpindahan r dengan kedua vektor dalam bentuk i dan j atau vektor satuan. Besaran yang dihasilkan nantinya adalah skalar (usaha termasuk besaran skalar, hanya memiliki besar, tanpa arah). Usaha dilambangkan dengan W dari kata work. W=F⋅r 26 = (2i + 3j)⋅ (4i + aj) Cara perkalian titik dua vektor dalam bentuk i,j adalah yang i kalikan i, yang j kalikan j, hingga seperti berikut 26 = 8 + 3a 3a = 26 − 8 a = 18/3 = 6 i dan j nya jadi hilang karena i kali i atau j kali j hasilnya adalah satu. Bagaimana cara perkalian silang dua vektor dalam bentuk i dan j ? ntar kita tambahkan,...IA Soal No. 12 Diberikan dua buah vektor masing-masing: A = 4i + 3j − 2k B = 7i + 2j + 5k Tentukan hasil dari A × B



Pembahasan Perkalian silang, A × B Cara pertama: Misal : A = (Ax i + Ay j + Az k) dan B = (Bx i + By j + Bz k) maka :



A × B = (Ay Bz − Az By) i + (Az Bx − Ax Bz) j + (Ax By − Ay Bx) k ↑ Rumus Perkalian Silang Dua Vektor (cross product ) dalam i, j, k Data : A = 4i + 3j − 2k B = 7i + 2j + 5k



Ax = 4 Ay = 3 Az = − 2



Bx = 7 By = 2 Bz = 5



maka A× A× A× A×



B B B B



= (Ay Bz − Az By) i + (Az Bx − Ax Bz) j + (Ax By − Ay Bx) k = [(3)(5) − (−2)(2)] i + [(−2)(7) − (4)(5)]j + [(4)(2) − (3)(7)] k = (15 + 4)i + (−14 − 20)j + (8 − 21)k = 19 i −34 j − 13k



Lumayan repot kalau mau dihafal rumus perkalian di atas, alternatifnya dengan cara yang kedua, Cara Kedua: A = 4i + 3j − 2k B = 7i + 2j + 5k Susun dua vektor di atas hingga seperti bentuk berikut:



Untuk mempermudah perkalian, tambahkan dua kolom di sebelah kanan susunan yang telah dibuat tadi hingga seperti berikut:



Beri tanda plus dan minus, ikuti contoh berikut:



Kalikan menyilang ke bawah terlebih dahulu dengan memperhatikan tanda plus minus yang telah dibuat, lanjutkan dengan menyilang ke atas, A× A× A× A×



B B B B



= (3)(5) i + (−2)(7) j + (4)(2)k − (7)(3)k − (2)(−2) i − (5)(4) j = 15 i −14 j + 8 k − 21k + 4 i − 20j = (15 + 4) i + (− 14 − 20) j + (8 − 21) k = 19 i − 34 j − 13 k