Persamaan Diferensian Orde 2 PDF [PDF]

Citation preview

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 2



Model persamaan diferensial orde 2 terdiri dari 4 type, yaitu : 



d2y Tipe 2 = f ( x ) dx







Tipe







d2y dy Tipe a . 2 + b . + c . y = 0 dx dx







Tipe a



dy d2y ) 2 = f ( x, dx dx



d2y dy + cy = f ( x ) 2 +b dx dx



d2y A. PD Orde 2 Tipe = f ( x) dx 2



Contoh



:



carilah jawaban umum persamaan deferensial



d2y 3 2 2 = 4 x + 3x + x dx d2y 3 2 Jawab : 2 = 4 x + 3x + x dx dy = ∫ 4 x 3 + 3 x 2 + xdx dx



dy 1 = x 4 + x 3 + x 2 + c1 dx 2 y = ∫ x4 + x3 +



y=



1 2 x + c1 dx 2



1 5 1 4 1 3 x + x + x + c1 x + c2 5 4 6



Persamaan Diferensial Orde 2



Hal 1



B. PD Orde 2 Tipe



Contoh



dy d2y ) 2 = f ( x, dx dx



d 2 y dy +x=0 : x. 2 + dx dx



 Carilah jawaban umumnya.



Penyelesaian : misal



dy dp d 2 y = : p= dx maka dx dx 2 ...................(1) apabila persamaan (1) dimasukkan ke soal



x.



dp + p.+ x = 0 dx



x.



dp + p = −x dx



ingat rumus



................................(2)



d ( x. p ) dp dx = x. + p. dx dx dx



d ( x. p ) dp = x + p.1 ........(3) dx dx Jika persamaan (2) = persamaan (3) maka



d ( xp) = −x dx Kemudian kedua ruas diintegralkan



xp = ∫ − x dx



xp = − 1 2 x 2 + c1 Persamaan Diferensial Orde 2



Hal 2



dy p = Dari persamaan (1) diketahui bahwa dx maka harga p dapat diganti dy dengan menjadi dx x



dy = − 1 2 x 2 + c1 dx



kemudian semua ruas dibagi x



c dy = − 12 x + 1 dx x y = ∫ − 12 x +



c1 x



y = − 1 4 x 2 + c1 .n x + c2 d2y dy + c. y = 0 C. PD Orde 2 Yang Berbentuk a . 2 + b . dx dx



Persamaan tersebut, jika harga



d2y 2 dy = m , = mdan y = 1, sehingga persamaannya menjadi : dx dx 2 am 2 + bm + c = 0 → disebut persamaan karakteristik. m = m1 dan m = m2 Dimana m = akar-akar penyelesaian  Jika m1 ≠ m2 maka harga :



y = A e m1 x + B e m2 x A dan B = Konstanta (atau c1 dan c2) Persamaan Diferensial Orde 2



Hal 3



 Jika m1 = m2 maka



Y = e m1 x ( A + B x )  Jika keduanya (akar-akar penyelesaiannya tersebut kompleks), atau m = a + b j, atau m = a + bi



Y = e a x [ A cos β x + B sin β .x ]



Contoh soal : 1. Carilah penyelesaian Persamaan Deferensial berikut ini.



d2y dy 3 + + 2y = 0 dx dx 2 Jawab :



d2y dy jika 2 = m 2 , = m dan y = 1, maka dx dx Persamaan karakteristiknya : 1 m2 + 3 m + 2 = 0 (m+1)(m+2)=0 sehingga : m = -1; m = -2. (m1≠m2) Jadi pemecahan permasalahan tersebut adalah :



Y = A . e − x + B . e −2 x



Persamaan Diferensial Orde 2



Hal 4



2.



d2y dy 6 + + 9y = 0 Carilah penyelesaian PD berikut: dx 2 dx Jawab :



m 2 + 6m + 9 = 0 (m + 3)(m + 3) = 0 ⇒ m = −3 akar kembar sehingga



Y = e −3 x ( A + B x )



3.



d2y dy 4 + + 9y = 0 Carilah penyelesaian PD berikut: dx 2 dx Jawab :



m 2 + 4m + 9 = 0 Dengan menggunakan rumus ABC didapat



m=



− 4 ± 16 − 36 2



m=



− 4 ± − 1. 4 . 5 − 4 ± j.2. 5 m = ⇔ 2 2



⇔ m=



− 4 ± − 20 2



m = −2 ± j 5 Sehingga a=-2 dan β = 5 Dan akhirnya memberikan



Y = e a x [ A cos β x + B sin β .x ]



[



Y = e −2x A cos 5 x + B sin 5 x



Persamaan Diferensial Orde 2



] Hal 5



d2y dy + cy = f ( x ) D. PD Orde 2 Yang Berbentuk a 2 + b dx dx



Pada persamaan deferensial bentuk ini dikenal dua istilah, yaitu : 1). FUNGSI KOMPLEMENTER : diperoleh dengan memecahkan persamaan bila f(x)=0, seperti dalam bagian program sebelum ini. Adapun pemecahannya, jika f(x)=0, adalah :  Untuk akar yang berbeda Y = A e  Untuk akar kembar



m1 x



+ B e m2 x



Y = e m1 x ( A + B x )



[



]



Y = e A cos β x + Bsin β .x  Untuk akar imaginer 2). INTEGRAL KHUSUS : Diperoleh dengan menggunakan bentuk umum ax



dari fungsi ruas kanan persamaan yang diberikan, yaitu dengan mensubtitusikan bentuk umum tersebut ke dalam persamaannya dan kemudian menyamakan koefisien-koefisiennya.  Jika ruas kanan adalah fungsi berderajat dua, bentuk umum nya :



Y = C x2 + D x + E  Jika ruas kanan berderajat satu, maka persamaan umumnya : Y= Cx + D. 3). Jawaban yang sesungguhnya = jawaban fungsi komplemerter + integral khusus.



Contoh : d2y dy + 6y = x 2 Selesaikan persamaan deferensial dari 2 −5 dx dx



Persamaan Diferensial Orde 2



Hal 6



Jawab : 1). Fungsi Komplementer, pemecahannya dengan persamaan kiri = 0, yaitu : d2y dy − 5 + 6 y = 0 yang memberikan 2 dx dx



m2 - 5m + 6 = 0 (m - 2)(m - 3)= 0 m = 2 atau m = 3 Jawaban fungsi komplementer :



Y = A e 2 x + B e 3x 2). Integral khusus : Karena ruas kanan adalah fungsi berderajat dua (x2)sehingga bentuk umum persamaan berderajat dua adalah :



Y = C x2 + D x + E maka



dy = 2C x + D dx d2y = 2C dx 2



dy d2y harga y, dx dan dx 2 dimasukkan ke persamaan semula (soal) , yaitu : d2y dy + 6y = x 2 2 −5 dx dx 2C - 5 (2 Cx + D) + 6 (Cx2 + Dx+ E) = x2 2C - 10 Cx - 5D + 6Cx2 + 6Dx+6 E = x2 6Cx2 + (6D - 10 C)x+ (2C- 5D+ 6E) = x2



Persamaan Diferensial Orde 2



Hal 7



bentuk tersebut bisa ditulis : 6 Cx2 + (6D - 10C)x + (2C-5D + 6E) =1x2 + 0x + 0 dengan menyamakan koefisien dari x yang berpangkat sama, kita dapatkan : x2 ⇒ 6c = 1 c=



1 6



x ⇒ 6 D -10 c = 0 5 1 6 D − 10 . = 0 ⇒ D = 18 6



0 ⇒ 2c − 5D + 6 E = 0 1 5 2 . − 5. + 6 . E = 0 6 18 E=



19 108



Jadi Integral khususnya adalah :



Y = cx 2 + Dx + E =



1 2 5 19 x + x+ 6 18 108



Sehingga jawaban yang sebenarnya adalah : Y = Fungsi Komplementer + Integral Khusus



1 2 5 19 x + x + = Ae + Be + 6 18 108 2x



3x



Persamaan Diferensial Orde 2



Hal 8