![Persamaan Schrodinger [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/persamaan-schrodinger-x650add70ea0b7.jpg)
5 0 712 KB
Pengantar Fisika Kuantum
PERSAMAAN SCHRODINGER 1.
Mengapa mekanika kuantum dinyatakan sebagai fungsi gelombang? Kaidah dunia mikroskopik adalah didasarkan pada gejala-gejala yang sulit
teramati. Gejala-gejala yang sulit diamati ini karena memiliki ukuran atomik. Kriteria suatu entitas fisis dapat digolongkan sebagai partikel atau sebagai suatu gelombang adalah panjang gelombang de Broglie. Jika suatu entitas mula-mula kita kenali sebagai partikel ternyata memiliki gelombang de Broglie cukup besar (sekurang-kurangnya dalam orde angstrom) maka entitas tersebut tidak dapat dipastikan sebagai partikel. Namun hipotesis de Broglie tidak dapat digunakan untuk mendapatkan fungsi gelombang yang diasosiasikan dengan partikel. Berdasarkan kenyataan ini, timbul suatu pertanyaan bagaimana mendapatkan fungsi gelombang itu dan bagaimana cara mendapatkan informasi tentang keadaan sistem berdasarkan fungsi gelombang tersebut. Melalui fungsi gelombang kita dapat mengetahui keberadaan (posisi) partikel dan besarnya momentum yang dimiliki, meskipun secara probabilistik. Peran fungsi gelombang ini, jika dianalogikan dengan fisika klasik, analog dengan trayektori parikel (posisi partikel pada sembarang waktu) dimana kita dapat mengetahui bebagai besaran fisika yang dimiliki partikel setiap saat. Mengingat semua besaran dinamis yang ada dalam fisika klasik (misalnya energi kinetik, energi potensial, gaya, momentum anguler,dan sebagainya) selalu dapat dinyatakan sebagai fungsi momentum dan posisi, maka dapat diharapkan bahwa dari fungsi gelombang tersebut dapat diketahui berbagai informasi tentang dunia mikroskopis. Berdasarkan pemikiran tersebut maka munculah postulat yang menyatakan bahwa keadaan sistem dalam bentuk fungsi gelombang. Artinya bahwa sebagai penyaji keadaan suatu sistem, maka fungsi gelombang tersebut harus memuat semua informasi tentang sistem yang dibicarakan, misalnya: posisi, momentum, energi, momentum anguler, dan besaran-besaran dinamis lain yang diperlukan. 2.
Apa persyaratan fungsi gelombang agar dalam membangun persamaan Schrodinger bisa diyakini validitasnya? Fungsi gelombang yang mewakili keadaan sistem harus memenuhi
persyaratan-persyaratan berikut.
1 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
Fungsi gelombang harus ternormalisasi. Kuadrat besaran yaitu
2
berbanding lurus dengan peluang untuk mendapatkan partikel tersebut pada saat itu. Integral
2
ke seluruh ruang harus berhingga maka partikel tersebut
berada pada suatu tempat. Namun jika hasil integral
2
ke seluruh ruang
2 bernilai nol dV 0 , maka partikel itu tidak dapat ditemukan. Fungsi gelombang ternormalisasi dinyatakan dengan persamaan:
2 dV 1 , sehingga pernyataan matematis yang menyatakan bahwa partikel itu ada di suatu tempat adalah:
PdV 1 ............................................................................... (1) Persamaan (1) menyatakan bahwa semua peluang yang mungkin untuk suatu partikel berada pada suatu tempat harus bernilai tertentu. Hal ini berarti bahwa fungsi gelombang harus berhingga. Jika nilai fungsi gelombang tak berhingga di suatu titik dan pada saat t maka probabilitas menemukan partikel menjadi tak berhingga dan ini tidak bermakna fisis. Fungsi gelombang harus berharga tunggal yang artinya tidak boleh ada dua probabilitas atau kebolehjadian untuk menemukan partikel di titik yang sama. Fungsi gelombang harus fungsi kontinu. Ini karena rapat probabilitas dan rapat arus harus kontinu. Demikian juga fungsi juga harus mempunyai turunan kontinu. 3.
Bagaimana bentuk persamaan Schrodinger bergantung waktu?
Dalam teori kuantum, keadaan partikel dinyatakan sebagai fungsi gelombang (r , t ) , yang merupakan konsekuensi berlakunya asas Ketidakpastian Heisenberg. Hal ini karena posisi partikel yang mikroskopik tidak dapat diketahui secara pasti (indeterministik), yang bisa dinyatakan hanya kebolehjadian. Fungsi gelombang
2 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
untuk menyatakan kebolehjadian dimana partikel itu berada dapat dinyatakan dengan 2 perssamaan (r , t ) . Persamaan Schrodinger yang merupakan persamaan pokok dalam mekanika kuantum adalah persamaan gelombang dalam variabel . Jika suatu gelombang merambat ke sumbu –x dengan kelajuan v, maka persamaan gelombangnya dapat dinyatakan dengan:
2 y 1 2 y ............................................................................ (2) x 2 v 2 t 2 Dalam kasus gelombang pada tali yang terbentang, y menyatakan simpangan tali dari sumbu x. Pada gelombang bunyi y menyatakan perbedaan gelombang tekan, sedangkan pada gelombang cahaya y menyatakan besarnya medan listrik atau magnet Ada yang menyatakan sederetan gelombang superposisi yang mempunyai amplitudo dan panjang gelombang yang sama, suatu gelombang berdiri pada tali yang kedua ujungnya terikat, dan sebagainya semua pemecahan tersebut harus berbentuk: y Ft
x .............................................................................. (3) v
x Pemecahan F t menyatakan gelombang yang menjalar dalam arah x . v
Pemecahan F t
x menyatakan gelombang yang menjalar dalam arah x . v
Untuk gelombang yang ekivalen dengan partikel bebas (partikel yang tidak mengalami gaya sehingga menempuh lintasan lurus dengan kelajuan konstan) mempunyai
pemecahan
umum
yang
setara
untuk
gelombang
harmonik
monokromatik tak teredam dengan frekuensi sudut konstan dan amplitudo konstan A dalam arah x .
y Ae i t x v ............................................................................. (4) Dalam mekanika kuantum fungsi gelombang
analogi dengan variabel
gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, tidak dapat diukur seperti y sehingga berupa besaran yang kompleks. dalam arah x dinyatakan dengan persamaan:
3 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
( x, t ) Ae i (t x / v ) ....................................................................(5) dimana 2 dan v sehingga persamaan (5) menjadi:
( x, t ) Ae i 2 t x ( x, t ) Ae 2i (vt x / ) ..................................................................(6) Hubungan antara dan dinyatakan dalam energi total E yang digambarkan oleh , yaitu:
E h ....................................................................................... (7) Hubungan antara dan dinyatakan dalam momentum p dari partikel yang digambarkan oleh , yaitu: p
Dimana
h
......................................................................................... (8)
h h 2 sehingga persamaan (7) dan (8) menjadi: 2
E 2
p
2
E 2
.............................................................. (9)
2 ............................................................. (10) p
Sehingga persamaan (6) dapat dinyatakan sebagai:
( x, t ) Ae
E xp 2 i t 2 2
( x, t ) Ae (i / )( Et px) ............................................................... (11) Untuk memperoleh persamaan Schrodinger, persamaan (11) didiferensialkan dua kali terhadap x, sehingga diperoleh: E t p x i ( x, t ) Ae .p x i
( x, t ) i E t p x . p Ae x i
2 ( x, t ) p 2 E t p x i Ae x 2 2
i
E t p x 2 ( x, t ) p2 Ae x 2 2 i
4 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum 2 2 ( x, t ) p2 2 2 ( x, t ) ............ (12) ( x , t ) p ( x , t ) x 2 2 x 2
Jika persamaan (11) didiferensialkan sekali terhadap t, diperoleh: E t p x ( x, t ) i Ae .E t i
E t p x ( x, t ) iE Ae t ( x, t ) iE ( x, t ) .................... (13) ( x, t ) E( x, t ) t i t i
Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya. Energi total partikel sama dengan jumlah energi kinetik (K) dan energi potensial V, dengan V(x,t) merupakan fungsi dari kedudukan x dan waktu t. Secara matematis hubungan ketiganya dirumuskan dengan persamaan:
E K V 1 2 mv V 2 m2v 2 E V 2m E
p2 E V ( x, t ) 2m ...................................................................... (14) Apabila kedua ruas pada persamaan (14) sama-sama dikalikan dengan fungsi gelombang ( ) akan menghasilkan persamaan:
p2 E ( x, t ) = ( x, t ) + V(x) ( x, t ) ..................................... (15) 2m Dengan mensubstitusikan persamaan (12) dan persamaan (13) ke persamaan (15) diperoleh persamaan berikut.
( x, t ) 2 2 ( x, t ) V ( x, t )( x, t ) i t 2m x 2
i
( x, t ) 2 2 ( x, t ) V ( x, t )( x, t ) ............................ (16) t 2m x 2
Persamaan (16) merupakan persamaan Schrodinger yang bergantung waktu. Persamaan Schrodinger yang bergantung waktu dalam 3 dimensi dirumuskan dengan:
5 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
(r , t ) 2 2 (r , t ) 2 (r , t ) 2 (r , t ) V (r , t )(r , t ) i 2 2 2 t 2m x y z 2 (r , t ) i 2 (r , t ) V (r , t )(r , t ) ............................ (17) t 2m Dengan energi potensial V merupakan fungsi dari x, y, z dan t. 4.
Bagaimana menjabarkan solusi stasioner persamaan Schrodinger tersebut? Jika fungsi gelombang r , t dinyatakan sebagai perkalian fungsi posisi, misalnya r dan fungsi waktu misalnya (t), maka r , t r t sehingga persamaan Schrödinger menjadi:
2 d t t 2 r V r , t t r i r 2m dt
2 1 1 d t 2 ............................... (18) r V r , t i 2m r t dt
Pada ruas kanan (18) merupakan fungsi t, sedangkan ruas kiri merupakan fungsi r dan t. Satu-satunya suku yang memuat r dan t adalah V( r ,t). Ini berarti bahwa pemisahan variabel hanya akan berhasil jika V hanya bergantung pada r saja atau hanya bergantung pada t saja.
Jika V hanya bergantung pada r maka (18) menjadi: 2 1 1 d t 2 r V r i 2m r t dt 2 1 d 2 r 1 d t V r i .................................. (19) 2 2m r dr t dt
Jika ruas kanan diselesaikan untuk E, maka diperoleh: i t t t 1 Edt i t d t Et i ln t E
t e
Et
i
Jika keadaan sistem secara eksplisit tidak bergantung pada waktu, maka bagian ruang dan waktu penyelesaian persamaan Schrodinger memiliki bentuk, r , t r t
6 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
iE t r , t r e Fungsi gelombang tersebut menghasilkan fungsi rapat peluang posisi:
2 iE t iE t 2 (r , t ) (r , t ). * (r , t ) (r )e . (r )e (r ) ..... (20) Yang ternyata tidak tergantung pada waktu. Oleh karena itu, fungsi gelombang
iE t seperti yang dinyatakan r , t r e disebut sebagai fungsi gelombang stasioner atau penyelesaian stasioner persamaan Schrodinger, dan sistem yang bersangkutan dikatakan dalam keadaan stasioner. Keadaan stasioner juga merupakan keadaan dengan energi pasti. Perhatikan bahwa fungsi gelombang tersebut hanya memuat satu nilai E. Karena hanya ada satu macam nilai E, maka pengukuran berulang terhadap energi sistem selalu menghasilkan nilai ukur yang sama, yaitu sebesar E. Ini berarti bahwa keadaan stasioner merupakan keadaan dimana energi sistem bernilai pasti (tertentu). 5.
Bagaimana menjabarkan persamaan Schrodinger bebas waktu (PSBW)? Dalam banyak situasi energi potensial sebuah partikel V tidak tergantung pada
waktu, sehingga hanya berubah terhadap kedudukan partikel (x, y, z). Fungsi gelombang partikel bebas pada persamaan Ae
i E t p x
dapat dituliskan sebagai
berikut.
Ae Ae
e
i E t p x
ip x
iE t
e
Ae
iE t
e
ip x
iE t
................................................................................ (21)
Jadi merupakan perkalian dari fungsi yang bergantung pada kedudukan dan waktu e
iE t
. Dengan mensubstitusikan persamaan (21) ke persamaan Schrodinger
bergantung waktu untuk satu dimensi yaitu: i
2 2 V diperoleh t 2m x 2
persamaan sebagai berikut. E iE iE t i t 2 2 t i e e Ve 2 t 2m x
7 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
ie Ee
E i t
E i t
iE
iE
t 2 t 2 iE e V e 2 2m x
iE
iE
t 2 t 2 ................................ (22) e V e 2m x 2
2 2 V 2m x 2 2 2 E V 2 2m x E
2m 2 E V 2 x 2 2 2m E V 0 ............................................................ (23) x 2 2 Persamaan (23) merupakan persamaan Schrodinger bebas waktu. Dalam bentuk 3 dimensi persamaan (23) menjadi:
2 2 2 2m E V 0 x 2 y 2 z 2 2 2m 2 r 2 E V r r 0 ............................................... (26) Persamaan ini identik dengan persamaan Schrodinger, bedanya hanya persamaan itu tidak tergantung pada t. Oleh karena itu, persamaan tersebut sering disebut sebagai persamaan Schrodinger bebas waktu. 6.
Bagaimana menjelaskan PSBW kaitannya dengan nilai eigen? Berdasarkan korespondensi:
E i t ................................................................................. (27) p i Persamaan gerak kuantum partikel di dalam potensial V r , t diberikan oleh persamaan:
i
(r , t ) 2 2 (r , t ) V (r , t ) (r , t ) ............................. (28) t 2m
8 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
Persamaan (28) ini dikenal sebagai persamaan gelombang Schrodinger untuk partikel di dalam potensial V ( r , t). Dalam banyak hal, sistem fisis dapat didekati dengan model satu dimensi. Persamaan Schrodinger satu dimensi berbentuk: (r , t ) 2 2 ( x, t ) i V ( x, t ) ( x, t ) ............................. (29) t 2m x 2 Secara umum, karena energy E dapat dinyatakan dalam Hamiltonian E=H( r , p, t ) ............................................................................. (30) Maka persamaan (29) dapat dituliskan menjadi: (r , t ) i H (r , i, t ) t Hamiltonian H sekarang berperan sebagai operator:
2 Hˆ V (r , t ) ................................................................ (31) 2m Yang bekerja pada fungsi gelombang (r , t ). Tinjau partikel yang bergerak di dalam ruang dengan potensial tidak bergantung waktu V V r . Untuk sistem seperti ini, r , t dapat diuraikan menjadi perkalian bagian yang hanya bergantung ruang dan bagian yang hanya bergatung waktu. r , t r f t ...................................................................... (32) Selanjutnya substitusi persamaan (32) ke dalam persamaan persamaan (29) kemudian dibagi dengan r f t , maka diperoleh:
i df 2 2 V r ...................................................... (33) f t dt 2m Oleh karena ruas kiri persamaan di atas bergantung waktu sedangkan ruas kanan hanya bergantung variabel ruang , maka keduanya akan selalu sama jika dan hanya jika keduanya sama dengan konstanta, misalkan E. dengan demikian persamaan (33) akan terpisah menjadi dua persamaan yaitu:
i df 2 2 E dan V r E f dt 2m df E i f ............................................................................. (34) dt
9 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
2 2 V r r E r ................................................ (35) 2m Persamaan di atas adalah persamaan diferensial orde satu dengan solusi akan sebanding dengan exp iEt / . Karena itu persamaan (32) akan menjadi: r , t r e iEt / ................................................................... (36) Persamaan (36) secara implisit menyatakan bahwa E harus real, karena jika mempunyai bilangan imajiner , akan lenyap untuk semua r jika t atau sesuai tanda (-) atau (+) dari . Hal ini tidak memenuhi syarat keberadaan partikel di dalam ruang
A Aop dv . Selanjutnya persamaan (36) memberikan rapat
probabilitas:
r , t r ...................................................................... (37) Yang
tidak
2
bergantung
2
waktu.
Karena
itu
r , t pada persamaan (36)
menggambarkan keadaan stasioner karena tidak ada karakter atau sifat partikel yang berubah terhadap waktu. Sedangkan persamaan (34) disebut sebagai persamaan Schrodinger bebas waktu.
Berdasarkan persamaan (31) dengan V V r persamaan (36) dapat ditulis menjadi Hˆ r E r .................................................................................. (38)
Persamaan di atas disebut sebagai persamaan karakteristik atau persamaan nilai eigen dengan r sebagai fungsi eigen dan Hˆ adalah operator differensial dari energi. E adalah nilai eigen dari operator Hˆ , dan disebut sebagai energi gelombang dan ditafsirkan sebagai energi partikel. 7.
Buktikan bahwa untuk solusi stasioner fungsi gelombang menjadi tidak bergantung pada waktu! Berdasarkan sub pokok bahasan 5, solusi stasioner fungsi gelombang diperoleh
iE t r , t r e . Jika solusi stasioner fungsi gelombang r , t disubstitusi ke persamaan Schrodinger bergantung waktu, maka diperoleh:
iE t iE t r e 2 2 iE t i r e V (r , t ) r e t 2m
10 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
e i r
iEn t
t
iE t 2 iEn t 2 e r V (r , t ) r e n 2m
iE iE t iE t 2 iE t 2 i r e e r V (r , t ) r e 2m
2 2 E r r V (r , t ) r 2m
E V r
2
2m
2 r
2 2 r E V r 0 2m Persamaan terakhir yang diperoleh merupakan persamaan Schrodinger bebas waktu sama dengan persamaan (26). 8.
Bagaimana
melakukan
transformasi
koordinat
kartesian
menjadi
koordinat bola untuk PSBW? Persamaan Schrodinger bebas waktu (PSBW) dalam koordinat Cartesian dirumuskan sebagai berikut.
2m 2 r 2 E V r r 0 z
ˆ
rˆ
ˆ
ˆ
r
y
x Hubungan antara koordinat kartesius dan kordinat bola yaitu:
r 2 x2 y2 z2 x r sin cos
11 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
y r sin sin z r cos
x tan tan
2
y2 z
1 2
y x
Hubungan antara unit-unit vektor rˆ,ˆ,ˆ , adalah rˆ.rˆ ˆ.ˆ ˆ.ˆ 1 rˆ.ˆ ˆ.ˆ rˆ.ˆ 0 rˆxˆ ˆ
ˆxˆ rˆ ˆxrˆ ˆ
Komponen dari unit-unit vektor rˆ,ˆ,ˆ dalam koordinat kartesiusnya yaitu:
rˆ ˆ sin zˆ cos xˆ cos yˆ sin sin zˆ cos xˆ cos sin yˆ sin sin zˆ cos ...............................................(39)
ˆ ˆ sin 90 zˆ cos 90 ˆ cos zˆ sin xˆ cos yˆ sin cos zˆ sin xˆ cos cos yˆ sin cos zˆ sin ...............................................( 40)
ˆ tegak lurus dengan perputaran , sehingga: ˆ xˆ cos 90 yˆ sin 90 xˆ cos yˆ sin ............................................................................(41) Untuk menyatakan posisi, maka ditentukan hubungan-hubungan sebagai berikut.
rˆ sin cos xˆ sin sin yˆ cos zˆ rˆ cos cos xˆ cos sin yˆ sin zˆ rˆ ˆ................................................................................................(42) ˆ cos cos xˆ cos sin yˆ sin zˆ ˆ sin cos xˆ sin sin yˆ cos zˆ
12 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
ˆ rˆ..............................................................................................(43) ˆ sin xˆ cos yˆ ˆ 0...............................................................................................(44) rˆ sin cos xˆ sin sin yˆ cos zˆ rˆ sin sin xˆ sin cos yˆ rˆ sin ˆ.......................................................................................( 45)
ˆ cos cos xˆ cos sin yˆ sin zˆ ˆ cos sin xˆ cos cos yˆ ˆ cos ˆ.......................................................................................( 46) ˆ sin xˆ cos yˆ ˆ cos xˆ sin yˆ ˆ sin rˆ cos ˆ........................................................................(47)
Vektor posisi dinyatakan sebagai berikut. r rrˆ
dr drrˆ r Berdasarkan
drˆ drˆ d r d d d
persamaan
5
dan
persamaan
8
diperoleh
bahwa
drˆ drˆ ˆ dan sin ˆ . Maka, d d dr drrˆ rdˆ r sin dˆ.............................................................(48) Berdasarkan
definisi
gradien
dan
diferensial
parsial
diperoleh
bahwa jika U r, , , maka:
13 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
dU dr.U dU U ...........................................................................................(49) dr
dU
U U U dr d d ...................................................... (50) r
Sehingga, U rˆ
U ˆ 1 U 1 U ˆ r r r sin
1 1 U U rˆ ˆ ˆ r r sin r 1 1 rˆ ˆ ˆ r r r sin 2 . 1 1 1 1 rˆ ˆ 2 rˆ ˆ ˆ ˆ r r sin r r r sin r 2 1 2 1 .................................................(51) 2 2 2 2 2 2 r r sin r
Berdasarkan hasil penurunan di atas, maka persamaan Schrodinger bebas waktu (PSBW) menjadi:
2 2 r Vr r E r 2m 2m 2m 2 r 2 Vr r 2 E r 2m 2m 2 r 2 Vr r 2 E r 0
2m E Vr r 0 2 2 1 2 1 2m 2 2 r , , 2 E Vr , , r , , 0 2 2 2 r r sin r 2 r , , r , , 1 2 r , , 1 1 r sin r r 2 sin r 2 sin 2 2 r 2 r 2m E Vr , , r , , 0...............................................................................................(52) 2 2 r
Persamaan tersebut merupakan bentuk persamaan Schrodinger bebas waktu dalam koordinat bola.
14 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
9.
Bagaimana menjelaskan kekekalan peluang?
Persamaan Schrodinger secara umum merupakan persamaan Schrodinger gayut waktu. Jika fungsi gelombang r , t dinyatakan sebagai perkalian fungsi posisi, misalnya r dan (t), maka r , t r t sehingga persamaan (18) menjadi:
d t 2 t 2 r V r , t t r i r 2m dt (19)
Karena termasuk gaya konservatif maka fungsi V-nya adalah fungsi posisi saja.
d t 2 t 2 r V r t r i r 2m dt (20)
Jika kedua ruas pada persamaan (20) dibagi (r ) (t ) diperoleh:
2 1 1 d t 2 r V r i 2m r t dt (21)
2 1 1 d t 2 r V r i 2m r t dt (22) Pada ruas kanan persamaan (22) merupakan fungsi t, sedangkan pada ruas kiri merupakan fungsi r. Suku kedua diruas kiri adalah energi potensial maka suku-suku lainnya baik diruas kiri maupun diruas kanan harus berdimensikan energi. Karena ruas kiri tersebut menyatakan jumlah energi kinetik ditambah energi potensial maka tetapan yang digunakan memiliki arti fisik sebagai energi total yang dilambangkan dengan E. Sehingga ruas kanan diselesaikan untuk E maka diperoleh:
15 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
E
i t t t (t )
t
i
E dt t t
to
o
E dt i to t
(t )
d t t 1
o
Et ln t ln o t i Et t ln i o t e
Et
i
Et t t e i o t o t
t o t e
Et
i
(23) o A 1, i 2 1 dan E h 2 , jadi persamaannya 2
Karena menjadi:
t e
i 2 t
i
t e it
(24)
t e it e it e o 1
(25)
2
Apabila persamaan (24) disubstitusikan maka fungsi gelombangnya menjadi : r , t r t (26)
r , t r e it (27) Sehingga fungsi rapat peluangnya menjadi : 2 2 | (r , t ) | 2 | (r ) | 2 t | (r ) | 2 1 | (r ) | 2 (28) Ini berarti bahwa rapat peluang global tidak tergantung pada waktu. Fungsi rapat peluang yang diasosiasikan dengan fungsi gelombang sebagai
(r , t ) * (r , t ) (r , t ) sedemikian rupa sehingga (r , t )d 3 x menyatakan besarnya
16 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
peluang menemukan partikel di dalam unsur volume d 3 x di sekitar r pada saat t. Persamaan rapat arus peluang ternormalkan:
V
r , t d 3 x 1
(29) Persamaan (29) menunjukkan bahwa jika kita melacak kehadiran partikel keseluruh ruang maka peluang untuk mendapatkannya adalah 1, artinya pasti mendapatkan partikel tersebut. Persamaan itu juga menunjukkan bahwa rapat peluang global (dihitung meliputi seluruh ruang) bersifat konstan, tidak bergantung pada waktu. Ini berarti bahwa rapat peluang global bersifat kekal (tidak bergantung waktul. Sebaliknya jika rapat peluang tersebut dihitung secara lokal (meliputi ruang yang terbatas, maka rapat peluang lokal bergantung waktu. Adapun penurunannya sebagai berikut.
Rapat peluang lokal, dinyatakan dengan r , t * r , t r , t , kita derivatifkan terhadap waktu t. Hasil penderivatifan tersebut adalah r , t * r , t * r , t t t t (30) Menurut
persamaan
Schrödinger
r , t 2 2 r , t V r , t r , t i , 2m t
kedua derivatif fungsi gelombang terhadap waktu diruas kanan persamaan (30) tersebut masing-masing menghasilkan r , t i 2 i (r , t ) V (r , t ) (r , t ) t 2m dan (31)
* r , t i 2 * i (r , t ) V (r , t ) * (r , t ) t 2m Subtitusi persamaan (31) ke dalam persamaan (30) maka menghasilkan r , t i i * 2 2 * * * t 2m 2m (32)
17 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
dengan menyatakan vektor operator (nabla) yang dalam sistem koordinat Cartesan
berbentuk iˆ ˆj kˆ . Persamaan (32) dapat diubah menjadi x y z r , t J r , t 0 t (33) dengan vektor rapat arus peluang J r , t didefinisikan sebagai
J r , t * * i 2m
(34) Persamaan (33) memiliki bentuk yang sama dengan persamaan kontinuitas yang sudah kita kenal dalam fisika klasik. Sebagai misal, dalam elektrodinamika berlaku r , t persamaan kontinuitas J r , t , dengan rapat muatan (persatuan t volume) dan J vektor rapat arus muatan (persatuan luas). Persamaan kontinuitas ini menyatakan bahwa jika rapat muatan dalam suatu volume tertutup berubah (berkurang atau bertambah) terhadap waktu maka harus ada aliran muatan (keluar atau masuk) yang menembus luasan yang membatasi ruang tertutup tersebut secara tegak lurus. Persamaan kontinuitas dalam elektrodinamika ini merupakan manifestasi dari hukum kekekalan muatan listrik. Pemaknaan secara fisik persamaan (33) tersebut dapat dilakukan dengan mengambil analogi dengan persamaan kontinuitas dalam elektrodinamika. Jika dalam ektrodinamika sebagai rapat muatan dan J sebagai vektor rapat arus muatan, maka dalam kontek persamaan (33) sebagai rapat peluang dan J sebagai vektor rapat arus peluang (sebagai hasil analogi). Sehingga pada persamaan (33) dinyatakan bahwa rapat peluang lokal bergantung pada waktu. Selain itu persamaan (33) juga menunjukkan bahwa jika rapat peluang dalam suatu volume terbatas berubah terhadap waktu maka harus ada “aliran” peluang yang menembus secara tegak lurus luasan yang membatasi volume tadi. Analog dengan persamaan kontinuitas dalam elektrodinamika, jadi persamaan (33) dapat juga dimaknai sebagai hukum kekekalan rapat peluang secara lokal.
18 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
10. Yang mana disebut nilai harap dari sebuah operator? NILAI HARAP Nilai harap hasil pengukuran besaran A pada saat keadaan sistem dinyatakan sebagai fungsi gelombang ψ didefinisikan sebagai berikut. Dalam ruang posisi satu dimensi didefinisikan sebagai ( A)
^
* Adx
*dx
(35) Dan dalam ruang momentum satu dimensi didefinisikan sebagai ( A)~
^
~ * A~ dp
~ *~dp
(36) Tanda bintang menyatakan “konjugat kompleks dari”, artinya ψ* adalah konjugat kompleks dari ψ. Penulisan lambang nilai harap dapat dilakukan dengan dua cara, ~
yaitu (A) atau ( A) . Jika fungsi gelombang sudah ternormalkan, yaitu integral ke seluruh ruang dari kuadrat modulusnya bernilai satu, maka penyebut pada kedua persamaan terakhir tadi bernilai satu. Dengan demikian, jika fungsi gelombang telah ternormalkan, penghitungan nilai harap tadi menjadi:
^
( A) * Adx
Atau
^
( A)~ ~ * A~dp
Nilai harap operator hermitan Nilai harap sebarang operator Ấ, pada sistem yang menduduki keadaan ternormalkan ψ, didefinisikan sebagai:
19 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
^
A * Adx
(37) Konjugat kompleks nilai harap tersebut adalah *
Aˆ
*
^ ^ * A dx ( A ) * dx
(38) Jika Ấ merupakan operator hermitan maka ruas kanan persamaan (38) sama dengan ruas kanan persamaan (37). Ini berarti kedua ruas kiri persamaan tersebut sama. Jadi: ^
^
A
Jika Ấ hermitan maka A
*
OPERATOR a.
Operator posisi Dalam ruang posisi, di mana fungsi gelombang berbentuk (r, t ) , operasi
operator posisi dipostulatkan sebagai berikut. ˆ (r, t ) r(r, t ) R
(39) Yang berarti hanya mengalikan fungsi gelombang dengan vektor posisi r. Dalam bentuk komponen-kompenen cartesannya dapat dinyatakan sebagai berikut. Xˆ(r, t ) x(r, t ) Yˆ(r, t ) y(r, t )
Zˆ(r, t ) z(r, t )
Jadi, cara kerja operator komponen vektor posisi dalam ruang posisi adalah mengalikan fungsi gelombang dengan komponen vektor posisi pada arah yang bersesuaian. Dalam ruang momentum, fungsi gelombang berbentuk
~ (p, t ) yang
merupakan transform Fourier dari (r, t ) . Dengan demikian, operasi operator posisi ˆ ~ (p, t ) . Untuk penyederhanaan, tanpa dalam ruang momentum dituliskan secara R
mengurangi generalisasinya, kita gunakan kasus satu dimensi sehingga operasi
20 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
ˆ ~ ( p, t ) . Dengan menggunkan transformasi tersebut dapat dituliskan secara X
Fourier, sehingga dapat diubah menjadi;
1 ~ Xˆ ( p, t ) Xˆ 2
1
2
1
e ipx / ( x, t )dx
e ipx / Xˆ( x, t )dx
2
e ipx / x( x, t )dx
(40) Integran dalam integral tersebut dapat diubah menjadi i
ipx / e ( x, t ) , sebab p
ipx / e Z ( x, t ) ix / e ipx / ( x, t ) . Sehingga persamaan (40) menjadi p 1 ~ Xˆ( p, t ) i p 2
i
e ipx / ( x, t )dx
~ ( p, t ) p
(41) Persamaan di atas menyatakan bahwa dalam ruang momentum, operator posisi berbentuk i
. p
Penjabaran tersebut dapat diperluas ke dalam kasus 3 dimensi. Hanya: operator yang mewakili komponen vektor posisi dalam ruang momentum masingmasing berbentuk: Xˆ i p x
Yˆ i p y
Zˆ i p z
(42) Dalam bentuk vektor:
ˆ i R p (43) Dengan p (i / p x j / p y k / p z )
21 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
b.
Operator Momentum Linear
~ Dalam ruang momentum, di mana fungsi gelombang berbentuk (p, t ) , operasi
operator momentum linear dipostulatkan sebagai berikut. ~ ~ ˆ P (p, t ) (p, t ) (44) Yang berarti hanya mengalikan fungsi gelombang dengan momentum p. Dalam bentuk komponen-komponen Cartesian yang dinyatakan sebagi berikut: ~ ~ Pˆx (p, t ) p x (p, t )
~ ~ Pˆy (p, t ) p y (p, t ) ~ ~ Pˆz (p, t ) p z (p, t )
Jadi, cara kerja operator komponen vektor momentum linear dalam ruang momentum adalah mengalikan fungsi gelombang dengan komponen momentum linear pada arah yang bersesuaian. Dalam ruang posisi, fungsi gelombang berbentuk (r, t ) . Sehingga operator ˆ (r, t ) . momentum dalam ruang posisi dituliskan secara P ~ Karena (r, t ) , merupakan pasangan Fourier dari (p, t ) , yaitu
(p, t ) (2) 3 / 2 e ip.r / (r, t )d 3r -
dan (45) ~ (r, t ) (2) 3 / 2 e ip.r / (p, t )d 3p -
Dengan d 3r dx dy dz dan d 3p dp x dp y dp z , maka dengan prosedur yang sama dengan yang kita gunakan untuk mendapatkan operator posisi dalam ruang momentum, kita peroleh hubungan ˆ (r, t ) i (r, t ) P r
(46) Dengan r (i / x j / y k / z) . Ini berarti, dalam ruang posisi, operator momentum berbentuk:
22 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
ˆ i P r
(47) Dalam bentuk komponen-komponen Cartesannya:
Pˆy i y
Pˆx i x
c.
Pˆz i z
Operator Hermitan Perkalian skalar antara fungsi ψ dan ' Aˆ (dalam urutan yang demikian)
menghasilkan bilangan kompleks
(, Aˆ )
* Aˆ dx
(48) Jika urutannya dibalik kita dapatkan bilangan
( Aˆ , ) ( Aˆ ) * dx (2)
Yang selalu merupakan konjugat kompleks bagi bilangan sebelumnya persamaan (48). Jika kedua bilangan itu sama untuk sebarang fungsi ψ, operator Ấ yang muncul pada persamaan itu dikatakan bersifat hermitan. Jadi jika Ấ merupakan operator hermitan maka berlaku hubungan:
* Aˆ dx ( Aˆ ) * dx
(49) Untuk sebarang fungsi ψ yang square integrable.
11. Bagaimana menjelaskan transisi dari mekanika kuantum ke klasik (teori Ehferenhest)? TRANSISI MEKANIKA KUNTUM KE MEKANIKA KLASIK, TEORI EHRENFEST
A. Hubungan Momentum linier dengan posisi benda menurut kajian mekanika kuantum
23 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
Dalam mekanika kuantum kita mengenal adanya operator-operator. Jika kita miasalkan operator tersebut adalah Aˆ , maka perubahan nilai harap terhadap waktu dari operator tersebut dirumuskan seperti persamaan berikut d ˆ 1 ˆ ˆ Aˆ A A, H dt i t ............................................(1)
Jika operator tersebut adalah operator posisi ( Xˆ ), maka perubahan nilai harap operator posisi terhadap waktu adalah sebagai berikut
d ˆ X dt
1 ˆ ˆ X,H i
Kita ketahui bahwa
Xˆ ............................................... (2) t Pˆ 2 ˆ ) dikenal dengan hamiltonan, maka V ( X 2m
Komutator yang dibentuk oleh operator posisi dan hamiltonan adalah
Pˆ 2 ˆ Pˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ X , H X , V ( X ) X , Xˆ , V ( Xˆ ) ......................(3) 2 m 2 m Pada komutator Xˆ ,V ( Xˆ ) , operator Xˆ dan V (Xˆ ) saling komute, sehingga
Xˆ ,V ( Xˆ )
Pˆ 2 berharga nol, sedangkan komutator Xˆ , mempunyai suatu 2m
harga
ˆ Pˆ 2 1 ˆ ˆ2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ iPˆ X,P X,P P P X,P X , 2m m 2m 2m Diketahui bahwa Xˆ , Pˆ i , dengan demikian persamaan (3) menjadi
Xˆ , Hˆ imPˆ
...................(4)
Secara ekspilsit, operator posisi ( Xˆ ) bersifat bebas waktu/tidak bergantung waktu
maka
Xˆ / t 0 ,
sehingga
nilai
harapnya
juga
nol;
jadi:
X Xˆ / t 0 . Selanjutnya subtitusi nilai ini dan persamaan t
Xˆ , Hˆ imPˆ
ke dalam persamaan (2) diperoleh ungkapan tentang perubahan
nilai harap posisi ( Xˆ ) terhadap waktu sebagai berikut.
d ˆ X dt
1 iPˆ i m
24 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
d ˆ X dt
Pˆ m
Pˆ m
d Xˆ
.........................(5) dt Oleh karena operator Pˆ mewakili momentum linier benda (P) dan operator Xˆ mewakili posisi benda (X), maka dapat dibentuk suatu persamaan baru sebagai berikut
Pm
d X dt
d(X ) menunjukkan hubungan antara besaran momentum dt dengan posisi berdasarkan tinjauan mekanika kuantum. Persamaan P m
Perumusan ini ternyata sama dengan perumusan nilai momentum linier (P) pada mekanika klasik sebagai berikut P m.v
d(X ) dt Hali ini menunjukkan adanya transisi dari mekanika kuantum ke mekanika Pm
klasik
B. Gaya menurut kajian mekanika kuantum Berdasarkan persamaan 1) di atas yang merupakan persamaan perubahan nilai harap suatu operator mekanika kuantum terhadap waktu, maka perubahan nilai harap momentum linear terhadap waktu dapat dinyatakan dengan hubungan
d ˆ P dt
1 ˆ ˆ P, H i
Pˆ t
.....................................6)
Pˆ merupakan suatu operator yang mewakili momentum linier benda (P),
yang disebut operator momentum linier. Komutator yang dibentuk oleh operator momentum linear dan hamiltonan adalah
25 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
Pˆ 2 ˆ Pˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ P, H P, V ( X ) P, P,V ( Xˆ ) .........7) 2 m 2 m
Oleh karena operator Pˆ dan Pˆ saling komute, maka Pˆ , Pˆ 0 sehingga
Pˆ , Pˆ 0 . 2
Komutator suku terakhir dapat diselesaikan dengan mengerjakan komutator tersebut dengan suatu fungsi gelombang sebagai berikut:
Pˆ ,V ( Xˆ ) Akibatnya Xˆ x dan Pˆ i / x
Pˆ ,V ( Xˆ ) Pˆ V ( Xˆ ) V ( Xˆ )Pˆ i x V x V ( x) i x
V ( x) V ( x) i V ( x) V ( x) i x x x x
V ( x) Akibatnya Pˆ ,V ( Xˆ ) i x
Dengan demikian persamaan 7) menjadi
Pˆ , Hˆ i Vx( x) .........................................................8) Secara eksplisit, operator momentum ( Pˆ ) tidak bergantung waktu, sehingga
Pˆ / t 0 . Oleh karena itu persamaan 6) menjadi
d ˆ P dt
Selanjutnya substitusi persamaan 8) ke persamaan
d ˆ P dt
1 ˆ ˆ P, H i
1 ˆ ˆ P, H i
,
mak akan diperoleh persamaan berikut d ˆ P dt d ˆ P dt
1 dV ( x) i i dx
dV ( x) ...................................................9) dx
Oleh karena Pˆ merupakan operator yang mewakili momentum linier benda (P),
maka
persamaan
9)
akan
menjadi
d dV ( x) ( P) ...............................10) dt dx
26 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
Persamaan 10) merupakan persamaan yang menyatakan hubungan antara gradien momentum dengan gradien energi potensial. Dalam mekanika klasik, besaran dp disebut impuls, di mana terdapat suatu hubungan antara gaya, impuls, dan waktu seperti berikut F
dp dt
Dalam kasus sistem konservativ, terdapat hubungan antara gaya dengan energi potensial, di mana gaya merupakan negatif gradien energi potensial. F
dV dx
Oleh karena itu, dalam sistem yang konservativ
dp dV dt dx
Teori Ehrenfest Teori Ehrenfest berawal setelah Paul Ehrenfest berhasil menghubungkan antara waktu derivative dari harga ekspektasi untuk operator mekanika kuantum ke dalam komutator. Secara matematis, teori Ehrenfest ini dirumuskan dengan persamaan d 1 A ( A) ( [ A, H ] ) dt i t
Di mana, H = operator hermitian
A operator mekanika kuantum
(A) harga ekspektasi
Teori Ehrenfest ini memperkuat kemurnian/kerapian gambaran Heisenberg tentang mekanika kuantum. Waktu Derivative Andaikan beberapa system dinyatakan dengan suatu bagian kuantum . Jika kita ingin mengetahui waktu derivative dengan segera dari harga ekspektasi A atau dilambangkan dengan (A), maka waktu derivative dari harga ekspektasi A tersebut dapat dirumuskan dengan persamaan berikut d d * A 3 3 3 ( A) * A dx 3 A dx * dx * A dx dt dt t t t
27 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
d * A 3 3 * A dx 3 A dx * A dx dt t t t
Jadi persamaan waktu derivative dari harga ekspektasi A adalah sebagai berikut d * A 3 3 ( A) A dx * A dx ………………………1) dt t t t
Kadang-kadang operator A bersifat bebas waktu (time independent). Jika hal ini terjadi, maka persamaan 1) akan menjadi d * 3 3 ( A) A dx * A dx dt t t
Jika persamaan schrodinger diaplikasikan untuk , maka akan terbentuk persamaan berikut 1 H …………………2) t i * 1 * H * ………….3) t i
Dalam hal ini, H adalah Hamiltonian, sedangkan H * adalah hermitian. Oleh karena Hamiltonian merupakan hermitian, maka H H * , maka persamaan 1) akan menjadi d A 1 * AH HA dx 3 A dt i t
d A 1 [ A, H ] A …………………..4) dt i t
Persamaan 4) di atas merupakan bentuk matematis dari teori Ehrenfest.
12. Bagaimana menjelaskan kuantisasi energy dan fungsi-fungsi eigen I. Kuantisasi Energi Salah satu konsep penting dalam fisika kuantum adalah pengkuantuman energi, yaitu bahwa energi partikel pada umumnya tidak boleh sebarang. Khusus pada keadaan terikat, energi partikel harus terkuantisasi. Pada persamaan Schrodinger bebas waktu (pers. 23), secara matematis, parameter E pada persamaan tersebut dapat bernilai sebarang, artinya berapapun nilai E yang kita isikan, persamaan tersebut selalu dapat kita selesaikan untuk menghasilkan r . Namun demikian, fungsi r yang dihasilkan belum tentu memenuhi persyaratan fungsi
28 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
eigen. Sebaliknya, jika r harus memenuhi persyaratan fungsi eigen tersebut maka E tidak boleh bernilai sembarang. Dengan kata lain, untuk menghasilkan r yang memenuhi syarat maka E harus bernilai tertentu. Energi total (E) bersifat diskrit. Pada umumnya terdapat sejumlah besar pasangan r dan E yang memenuhi persamaan Hˆ (r ) E (r ) untuk Hˆ tertentu. Oleh karena itu, untuk
membedakan antara pasangan yang satu dengan lainnya digunakan indeks diskrit n. Sehingga persamaannya menjadi: Hˆ (r ) E (r )
dan penyelesaian Schrodinger diperluas menjadi:
n ( x, t ) n ( x)e iE t / n
(31) Bilangan n disebut bilangan kuantum (quantum number). Nilai terendah n, biasanya 0, menyatakan keadaan dasar (ground state). Nilai berikutnya: 1, 2, dst, menyatakan keadaan tereksitasi (terbangkit) pertama, kedua, dan seterusnya.
II. Sifat-Sifat Fungsi Eigen Energi a. Persamaan Schrodinger sebagai Persamaan nilai eigen Energi Ketika persamaan Schrodinger untuk fungsi gelombang dinyatakan dengan
x, t yang merupakan perkalian fungsi posisi, misalnya x , dan fungsi waktu, misalnya f t , maka diperoleh:
x, t x f t 2 1 d 2 x 1 df t V x, t i 2 2m x dx f t dt bila V hanya bergantung pada x maka:
2 1 d 2 x 1 df t V x i 2 2m x dx f t dt
(32) Ruas kiri dan ruas kanan ini menyatakan suatu kesamaan namun tidak menyatakan saling ketergantungan sehingga karena masing-masing menyatakan jumlah energi, persamaan tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut. 29 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
2 1 d 2 x V x, t E 2m x dx 2
(33)
i
dan
1 df t E f t dt
(34) Dari penyelesaian persamaan (34) diperoleh perumusan persamaan Schrodinger menjadi:
x, t x e
iEt
(35) Persamaan bebas waktu dinyatakan pada persamaan (33) dapat dinyatakan dengan:
H x E x ^
(36) ^
Faktor dalam kurung di ruas kiri menyakan operator Hamiltonan ( H ) , yaitu operator yang mewakili jumlah energi kinetik dan energi potensial. Dalam persamaan nilai eigen persamaan (34) diungkapkan bahwa x adalah fungsi eigen ^
(fungsi karakteristik) dari operator ( H ) dengan nilai eigen (nilai karakteristik) sebesar E. Hal ini berarti bahwa nilai E harus memenuhi persamaan nilai eigen, sehingga E tidak boleh bernilai sembarang dan E pun dikatakan bersifat diskret. Karena E bersifat diskret terdapat sejumlah besar pasangan x dan E. Untuk membedakan hal tersebut harus digunakan harus digunakan indeks diskrit n, sehingga persamaan menjadi: H n x En n x ^
(37) Persamaan umun Schrodinger menjadi: n x, t n x e
iEn t
(38)
b. Prinsip Ketaktentuan dan Harga Ekspektasi dari E 30 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
Kuantitas dinamis seperti energi total E, memiliki harga ekspektasi untuk setiap t dari harga x, dan potensial partikel yang tidak dapat ditentukan secara tepat. Harga ekspektasi E harus dihitung dari:
E E dx 2
(39) Untuk x, t , kita harus menyatakan E sebagai fungsi dari x dan t untuk kemudian diintegrasi. Tapi, dari prinsip ketaktentuan mengakibatkan tidak terdapatnya fungsi E(x,t), sekali x dan t ditentukan hubungan: Et
2
(40) Berarti bahwa kita tidak dapat pada prinsipnya menentukan E secara eksak. Jika E tertentu seperti kasus keadaan tunak (stasioner) seperti yang dinyatakan oleh tingkat energi atomik x, dan t tidak dapat ditentukan secara eksak. Dalam fisika klasik tidak dapat pembatasan seperti itu, karena dalam dunia makroskopik prinsip ketaktentuan dapat diabaikan. Jika kita terapkan hukum gerak kedua pada gerak benda yang mengalami berbagai gaya, kita mengharapkan untuk mendapatkan E(x,t) dari solusinya seperti juga x(t), untuk memecahkan persoalan tersebut dalam mekanika klasik pada pokoknya berarti menetukan tempuhan masa depan gerak benda tersebut. Dalam fisika kuantum, di lain pihak semua yang kita dapatkan secara langsung dari persamaan Schrodinger dari gerak partikel itu ialah fungsi gelombang Ψ, dan tempuhan masa depan gerak partikel itu, seperti juga keadaan awalnya, hanya diketahui peluangnya, sebagai ganti sesuatu yang sudah tertentu. Untuk
mendapatkan
E
dengan
cara
yang
benar
ialah dengan
mendeferensiasi fungsi gelombang partikel bebas Ae (i / )( Et px) terhadap x dan t, maka peroleh: i E t
(41) yang dapat ditulis dengan cara:
31 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
E i
t
(42) Jelaslah kuantitas dinamis p dalam cara tertentu bersesuaian dengan operator diferensial ( / i) x dan kuantitas dinamis E bersesuaian dengan operator diferensial i x . Operator i x mengintruksikan kepada kita untuk mengambil turunan parsial kuantitas yang terdapat setelahnya terhadap tdan hasilnya dikalikan dengan i . Kita bisa melambangkan operator dengan huruf tebal tegak, sehingga E ialah operator yang bersesuaian dengan energi total E. Operator E dinyatakan dalam bentuk: E i
t
(43) Persamaan tersebut berlaku untuk partikel bebas, dan memiliki kesahan dengan persamaan Schrodinger. Untuk mendukung penyataan ini, persamaan E = T + V untuk energi total partikel dapat diganti dengan persamaan operator. E=T+V (44) dengan T
p2 diperoleh persamaan operator energi-kinetik, yakni: 2m
T
pˆ 2 1 2 2m 2m i x 2m x
(45) Sehingga persamaan (44) dapat ditulis:
i
2 2 V t 2m x 2
(46) Kalikan kedua ruas persamaan (46) dengan Ψ, diperoleh:
i
2 2 V t 2m x 2
(47)
32 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
Persamaan di atas disebut pesamaan Schrodinger. Karena nilai E dapat dinyatakan dengan operator bersesuaian sehingga harga ekspektasi E dapat dituliskan dengan: E Edx i dx i x t t
(48)
c. Persyaratan Fungsi Eigen Operator energi dapat kita tentukan dari persamaan schrodinger bebas waktu antara lain sebagai berikut.
i
x 2 2 V x x t 2m (49)
Operator energi total dapat dibuat dalam bentuk operator Hamilton Hˆ antara lain sebagai berikut.
2 2 Hˆ V 2m (50) Dengan demikian persamaan (50) dapat dituliskan sebagai berikut. Hˆ x Eˆ x
(51) Jika kita analisis persamaan (51) maka kita dapatkan bahwa Eˆ adalah nilai eigen energi pada persamaan schrodinger bebas waktu dan x adalah fungsi eigen energi. Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi eigen energi ini adalah sebagai berikut. 1. Fungsi eigen energi tidak tergantung pada waktu karena fungsi ini diturunkan dari persamaan schrodinger bebas waktu. 2. Nilai (x) dan
d ( x) berhingga di semua x karena (x) bersifat real. dx
3. Nilai (x) dan
d ( x) tunggal di semua x. dx
4. Nilai (x) dan
d ( x) kontinu di semua x. dx
33 Persamaan Schrodinger
Pengantar Fisika Kuantum
5. (x) tidak nol di mana-mana. Persyaratan di atas harus dipenuhi dalam persamaan (51) agar nilai E tidak bernilai sebarang. Untuk memperjelas makna persyaratan tersebut, dalam gambar berikut disajikan beberapa contoh fungsi yang tidak memenuhi persyaratan tersebut. Khususnya tiga persyaratan pertama. F(x)
F(x)
x
x
Bernilai tak hingga di x =
Bernilai tak hingga di x =
F(x)
F(x)
X1
Tidak Bernilai tunggal di =
x
X2
x
x1 xx2
Tak kontinu hingga di x =0
34 Persamaan Schrodinger
