Ringkasan Materi Pers. Diferensial 1 [PDF]

Citation preview

RANGKUMAN MATERI PERTEMUAN KEDUA “PENDAHULUAN PERSAMAAN DIFERENSIAL” KELOMPOK 5 NAMA : STEPHANIE SISILIA BR SEMBIRING (4183121024) HIJRIA BR TARIGAN (4181121021) SYARIF MAULANA (4183321016) YOSUA NATANAEL (4183121051) KELAS : FISIKA DIK B 2018



A. Pengertian Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang menggambarkan relasi antara variabel bebas (x,t) dan variabel terikat (y,T) serta koefisien yang muncul pada persamaan differensial. Persamaan diferensial diklasifikasikan dalam : tipe,tingkat (ordo),derajat (pangkat) sebagai berikut:  Tipe Persamaan Diferensial 1. Persamaan diferensial biasa, yaitu jika persamaan diferensial memuat turunan dari suatu fungsi satu peubah. 2. Persamaan diferensial parsial, yaitu jika persamaan diferensial memuat turunan parsial dari suatu fungsi dengan dua atau lebih peubah bebas.  Tingkat (ordo) Tingkat dari suatu persamaan diferensial adalah bilangan yang menunjukkan tingkat tertinggi dari turunan yang terdapat dalam persamaan diferensial tersebut.  Derajat (pangkat) Pangkat suatu persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan diferensial tersebut. Contoh persamaan diferensial:



d3 y +3 y=0 dx 3 Dimana x merupakan variabel bebas dan y merupakan variabel terikat. Dalam fisika percepatan merupkan turunan fungsi kecepatan terhadap waktu.



a=



dv =0 , v=konstan dt



a=



dv ≠ 0 , terjadi perubahan dinamik dt



Oleh sebab itu persamaan diferensial juga menggambarkan adanya perubahan dinamik dari suatu variabel.



B. Fenomena Fisis Beserta Solusinya Dalam Bahasa Matematika 1. Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) Gerak lurus berubah beraturan, yaitu berarti bahwa kecepatan benda selama bergerak tidaklah tetap. Misalnya benda bergerak menempuh jarak s dalam waktu t. Kecepatan rata-rata dapat ditentukan dengan: Kecepatan rata-rata ¿



perubahan jarak ∆ s = perubahan waktu ∆ t



Jika kecepatan pada saat t dinotasikan dengan v(t) maka kecepatan dirumuskan dengan :



v ( t )=



ds dt



Jika fungsi kecepatan terhadap waktu v(t) diturunkan lagi maka akan diperoleh percepatan a=



dv dt



Dengan kata lain, percepatan pada waktu t adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan. Percepatan juga diartikan sebagai turunan kedua dari fungsi jaraknya yaitu



a ( t )=



dv d ds d 2 s = = 2 =s ' ' t dt dt dt dt



( )



2. Momentum Sudut Didefinisikan l=r × p (p=mv) . Besarnya momentum sudut : l = r p sinθ . Rumusan ini dapat diubah menjadi : l = r ¿ atau l = p ¿. Dari definisi momentum sudut l = r × p ,bila dideferensialkan diperoleh:



dl d (r × p) = dt dt dl r × dp dr = + dt dt dt × p



(



)(



)



dp =F dt



dl = ( r × F ) +( v ×mv) dt dl =τ dt



3. Torsi Sebuah benda berotasi dengan sumbu putar adalah sumbu z. Sebuah gaya F bekerja pada salah satu partikel di titik P pada benda tersebut. Torsi yang bekerja pada partikel tersebut adalah :



τ =r × F



Arah torsi τ searah dengan sumbu z. Setelah selang waktu dt partikel telah berputar menempuh sudut dθ dan jarak yang ditempuh partikel ds,dimana ds=r dθ . Usaha yang dilakukan gaya F untuk gerak rotasi ini.



dW =F . ds dW =F cos ∅ ds dW =F . ds



dW =¿ dW =τ dθ Laju usaha yang dilakukan (daya) adalah :



dW dθ =τ dt dt P=τ ω



P = F. v



Untuk benda yang benar-benar tegar,tidak ada disipasi tenaga,sehingga laju dilakukannya usaha pada tegar tersebut sama dengan laju pertambahan tenaga kinetik rotasinya.



dW dK = dt dt dW = dt



1 d ( I ω 2) 2 dt



1 τ ω= I ω 2 /dt 2 τω=Iωdω /dt



F=m a



τω=Iωα τ =Iα C. Pengertian Orde Orde dari suatu persamaan diferensial adalah orde tertinggi derivatif yang termuat dalam persamaan itu. Contoh :



dy + y =0, y ' −xy=0 (merupakan orde 1) dx d2 y 2 + y + x +5=0, y ' ' −xy ,+ e x =0 (merupakan orde 2) 2 dx x



d3 y 2 + x +5=xy , y ' ' ' −x ( y ' )2+ ln ( x ) =0 (merupakan orde 3) 3 dx



D. Membentuk persamaan diferensial apabila diketahui konstantanya Persamaan diferensial dapat dibentuk dengan mengeliminasi semua konstanta sebarang yang terdapat dalam suatu persamaan atau dengan cara subsitusi. Banyaknya konstanta sembarang menunjukkan orde tertinggi dari derivatif dalam persamaan diferensial yang dicari. Contoh : 1. Tentukan bentuk persamaan diferensial dari fungsi berikut: a. y ( x ) =x 2+C Penyelesaian :



y ' =2 x y ' −2 x=0 b.



y ( x ) =A cos 3 x+ B sin 3 x



Penyelesaian :



y ' =−3 A sin 3 x+3 B cos 3 x y ' ' =−9 A cos 3 x−9 B sin3 x y ' '=−9 ¿ y ' '=−9 y y ' ' + 9 y =0 c.



y ( x ) =A e−2 x



Penyelesaian :



y ' =−2 A e−2 x y' =A −2 e−2 x Subsitusikan nilai A ke persamaan y= A e−2 x



y=



( −2ye' ) e



y=



y' −2



−2 x



−2 y= y ' y ' +2 y =0



−2 x