Sudut Antar Dua Bidang Rata [PDF]

Citation preview

A. Sudut antar dua bidang rata sudut antara dua bidang rata merupakan sudut antara vektor- vektor normalnya. Misalnya, sudut antara bidang: V 1= A 1 x +B 1 y +C 1 z + D 1=0 dan V 2= A 2 x +B 2 y +C 2 z + D 2=0 maka sudutnya adalah sudut antara normal-normal. n1 =[ A 1 , B1 ,C 1 ] dan n 2 [ A2 , B2 , C2 ] yaitu :



cos θ=



n 1 . n2



=



A 1 A 2+ B 1 B 2 + C 1 C 2



|n1||n2| √ A 21 +B 21+C 21 . √ A22 + B22 +C22 .



Contoh: Tentukan besar sudut antara x + y + z + 3 = 0 dan 2x + y +2z – 11 = 0! Penyelesaian cos θ=



cos θ=



A 1 A2 + B1 B2 +C 1 C 2 2 1



2 1



2 1



2 2



2 2



√ A + B +C . √ A + B +C



2 2



.



1 ( 2 ) +1 ( 1 ) +1(2) 2



√1 +12 +12 . √ 12+12 +12 .



5 √3 . √ 9 5 cos θ= 3 √3 θ=arcos 0,962 θ=15 ,79 ° cos θ=



Kedudukan 2 buah bidang rata 1. Kedudukan sejajar : Bila V 1 danV 2sejajar maka n1 dan n2 sama ( atau berkelipatan ). Berarti



[ A1 , B1 , C1 ]= λ [ A 2 , B2 ,C 2 ] adalah syarat bidang V 1 danV 2 sejajar ( λ sebarang ≠ 0 ¿ Contoh : Tentukan persamaan bidang rata V 2 jika diketahui V 2 melalui titik ( 0,2,1 ) sejajar dengan bidang rata V 1=x + y +5 z=9. Penyelesaian : V 1=x + y +5 z=9, karena V 1 sejajar V 2 maka n1 =n2 n1 =[ 1,1,5 ] maka V 2 akan terbentuk x + y +5 z+ D 2 =0 Sehingga bidang rata V 2 yang melalui titik ( 0,2,1 ) menjadi



V 2=x + y +5 z+ D2=0 0+2+5 ( 1 ) + D2=0 7+ D 2 =0 D2=−7 Jadi ,persamaan V 2=¿ x + y +5 z−7=0 2. Kedudukan tegak lurus : Bila V 1 tegak lurusV 2, maka vektor normalnya akan saling tegak lurus, n1 tegak lurus n2 , maka n1 . n2=0 → A 1 A 2+ B1 B 2+C 1 C 2=0 Contoh : Tentukan persamaan bidang rata V 2 yang tegak lurus pada bidang rata V 1=x + y + z=1 serta melalui tituk ( 0,0,0 ) dan ( 1,1,0 ). Penyelesaian :



Misalkan V 2 : A 2 x + B2 y +C 2 z + D 2=0, tegak lurus V 1 berarti : A1 A 2 +B 1 B2 +C1 C2=0 atau



A1 + B2 +C2 =0 C 2=− A2−B2..................................................................................................(*) V 2 melalui titik ( 0,0,0 ) berarti D2=0 , dan melalui titik ( 1,1,0 ) berarti : A2 + B2=0 atau A2=−B 2.........................................................................................................................(**) Subtitusikan persamaan (**) ke (*)



C 2=− A2−B2 C 2=−(−B2 ) −B2 C 2=0 Jadi , persamaan V 2 :−B2 x+ B2 y +0 z +0=0 atau−x+ y=0