TUGAS BAB 1 STATMAT-dikonversi PDF [PDF]

Citation preview

1. Sebuah mesin bola karet dapat mengeluarkan sebuah bola karet berwarna merah, hitam atau hijau. (a) Deskripsikan ruang sampel yang sesuai. (b) Tuliskan daftar semua kejadian yang mungkin. (c) Jika M adalah kejadian muncul warna “merah”, maka tuliskan daftar kejadian pada M’. (d) Jika H adalah kejadian muncul warna “hijau”, maka apakah yang dimaksud dengan M  H ? Jawab: (a)



Misalkan :



M: Kejadian muncul bola karet berwarna merah B : Kejadian muncul bola karet berwarna hitam H : Kejadian muncul bola karet berwarna hijau Maka ruang sampel S adalah S =  M , B, H 



(b)



Semua kejadian yang mungkin terjadi adalah semua subset dari himpunan S yaitu



( M ) , ( B) , ( H ) , ( M , B) , ( M , H ) , ( B, H ) , ( M , B, H ) , () (c) M’ adalah kejadian tidak muncul merah, maka kejadian yang mungkin terjadi adalah ( B) , ( H ) , ( B, H ) , () , sehingga ruang sampel dari M’ dapat juga ditulis dengan S * =  B, H  (d) H adalah kejadian muncul bola karet warna “hijau”, M  H bermakna kejadian muncul bola karet warna merah dan hijau secara bersamaan. Karena pada eksperimen ini mesin hanya bisa mengeluarkan bola karet satu persatu maka, kejadian M  H tidak mungkin terjadi. M  H = ( ) Sehingga . 2. Dua buah bola karet diperoleh dari mesin pada latihan no 1 pada dua kali percobaan. Urutan pada hasil keluaran bola dianggap penting(harus dipertimbangkan). Asumsikan ada dua bola untuk setiap warna di dalam mesin. (a)



Seperti apakah ruang sampel yang tepat pada situasi di atas?



(b)



Berapa banyak seluruh kejadian yang mungkin yang memuat delapan hasil?



(c)



Tunjukkan kejadian yang merupakan gabungan dari kejadian-kejadian elementer



C1 = muncul bola merah pada percobaan pertama, C2 = muncul minimal satu bola merah, yaitu C1  C2 dan C1 ' C2 .



Jawab: (a) Misal: M: Kejadian muncul bola karet berwarna merah B : Kejadian muncul bola karet berwarna hitam H : Kejadian muncul bola permen berwarna hijau Maka ruang sampel S yang tepat adalah S = ( M , B) , ( M , M ) , ( M , H ) , ( B, M ) , ( B, B) , ( B, H ) , ( H , B) , ( H , H ) , ( H , M )



(b) Kejadian yang memuat masing-masing hasil eksperimen(satu-satu) adalah kejadian elementer, sehingga ada 9 kejadian yang memuatnya. (c)



Kejadian yang disimbolkan dengan C1  C2 adalah



( M , M ) , ( M , B) , ( M , H )



Sedangkan kejadian uang disimbolkan dengan C1 ' C2 adalah



( B, M ) , ( H , M )



3. Ada empat golongan darah dasar: O, A, B, dan AB. Biasanya, siapa pun dapat menerima darah donor dari kelompok mereka sendiri. Juga, siapa pun dapat menerima darah donor dari grup O, dan salah satu dari empat jenis ini dapat digunakan oleh penerima dari grup AB. Semua kemungkinan lain tidak diinginkan. Eksperimen terdiri dari menentukan satu liter darah dan menentukan jenisnya untuk masing-masing dari dua donor berikutnya pada kantong penyimpanan darah. (a)



Tuliskan daftar kemungkinan(terurut) hasil dari eksperimen di atas.



(b)



Tuliskan daftar kejadian yang terjadi jika pendonor kedua dapat menerima pendonor pertama.



(c)



Tuliskan hasil yang berkaitan dengan kejadian bahwa setiap pendonor dapat menerima darah satu sama lain.



Jawab: (a) Ruang sampel pada kasus di atas adalah:



( A, O, A) , ( A, O, B ) , ( A, O, AB ) , ( A, O, O ) ,    ( A, B, A) , ( A, B, B ) , ( A, B, AB ) , ( A, B, O ) ,  ( A, A, A) , ( A, A, B ) , ( A, A, AB ) , ( A, A, O ) ,    ( A, AB, A) , ( A, AB, B ) , ( A, AB, AB ) , ( A, AB, O ) ,    ( B, O, A) , ( B, O, B ) , ( B, O, AB ) , ( B, O, O ) ,   B, B, A , B, B, B , B, B, AB , B, B, O ,  )( )( )( ) (  ( B, A, A) , ( B, A, B ) , ( B, A, AB ) , ( B, A, O ) ,    ( B, AB, A) , ( B, AB, B ) , ( B, AB, AB ) , ( B, AB, O ) ,    ( O, O, A) , ( O, O, B ) , ( O, O, AB ) , ( O, O, O ) ,  ( O, B, A) , ( O, B, B ) , ( O, B, AB ) , ( O, B, O ) ,    ( O, A, A) , ( O, A, B ) , ( O, A, AB ) , ( O, A, O ) ,    ( O, AB, A) , ( O, AB, B ) , ( O, AB, AB ) , ( O, AB, O ) ,   AB, O, A , AB, O, B , AB, O, AB , AB, O, O ,  )( )( )( ) (  ( AB, B, A) , ( AB, B, B ) , ( AB, B, AB ) , ( AB, B, O ) ,    ( AB, A, A) , ( AB, A, B ) , ( AB, A, AB ) , ( AB, A, O ) ,    ( AB, AB, A) , ( AB, AB, B ) , ( AB, AB, AB ) , ( AB, AB, O )



(b) Daftar kejadian yang terjadi jika pendonor kedua dapat menerima pendonor pertama adalah kejadian ketika pendonor kedua adalah darah O atau pendonor kedua sama dengan pendonor pertama, dituliskan dalam himpunan kejadian berikut.



( A, O, A) , ( A, O, B ) , ( A, O, AB ) , ( A, O, O ) ,    ( A, A, A) , ( A, A, B ) , ( A, A, AB ) , ( A, A, O ) ,  ( B, O, A) , ( B, O, B ) , ( B, O, AB ) , ( B, O, O ) ,    B , B , A , B , B , B , B , B , AB , B , B , O , ( ) ( ) ( ) ( )     ( O, O, A) , ( O, O, B ) , ( O, O, AB ) , ( O, O, O ) ,  ( AB, O, A) , ( AB, O, B ) , ( AB, O, AB ) , ( AB, O, O ) ,    ( AB, AB, A) , ( AB, AB, B ) , ( AB, AB, AB ) , ( AB, AB, O )



(c) Tiga golongan darah yang masing-masing dapat menerima semua golongan



darah pada kelompok tersebut hanyalah ketika ketiga golongan darah pendonor adalah sama, yaitu (O, O, O) , ( A, A, A) , ( B, B, B) , ( AB, AB, AB) . 4. Sebuah eksperimen mengamati bola permen yang keluar dari mesin hingga sebuah bola permen berwarna merah muncul. Deskripsikan ruang sampel pada eksperimen ini. Jawab: Ruang sampel pada eksperimen ini adalah berupa jumlah percobaan hingga sebuah bola permen berwarna merah muncul, sehingga ruang sampel ini terdiri dari bilangan bulat tak negatif S =  0,1, 2,3, 



5. Banyaknya partikel alpha yang dipancarkan oleh sampel radioaktif berada dalam interval waktu tertentu dapat dihitung. (a)



Tuliskan ruang sampel untuk ekserimen ini.



(b)



Waktu jeda diukur sampai partikel alpha pertama dipancarkan. Tuliskan ruang



sampel pada eksperimen ini. Jawab: (a)



Banyak partikel alpha yang dipancarkan dapat dihitung, sehingga ruang sampel



untuk eksperimen ini berupa bilangan bulat tak negatif dengan jumlah yang tak berhingga, dapat S =  0,1, 2,  dituliskan dengan . (b)



Waktu jeda hingga sebuah partikel alpha dipancarkan merupakan anggota dari



sebuah interval bilangan real tak negatif, sehingga ruang sampel untuk eksperimen ini adalah S =  0,  )



6. Suatu experimen dikendalikan untuk menentukan apakah pecahan dari bagian logam adalah emas. Berilah ruang sampel untuk eksperimen ini. Jawab: Perhatikan bahwa pada eksperimen ini hanya ada dua kemungkinan pada identifikasi sebuah pecahan logam, yaitu emas dan bukan emas, sehingga ruang sampel pada eksperimen ini adalah S =  Emas, Bukan Emas S =  0,1 , atau dengan notasi biner dapat juga ditulis dengan .



7. Sebuah baterai mobil diambil secara acak kemudian diuji untuk kemudian dicatat waktu yang dibutuhkan hingga baterai tersebut mati. Tuliskan ruang sampel pada percobaan ini. Jawab: Waktu yang dibutuhkan hingga sebuah baterai mobil mati merupakan anggota dari sebuah interval S =  0,  ) bilangan real tak negatif, sehingga ruang sampel untuk eksperimen ini adalah . 8. Kami mendapatkan 100 bola karet dari mesin, dan kami mendapatkan 20 merah (M), 30 hitam (B), dan 50 hijau (H) bola karet. (a) Bisakah kita menggunakan, model probabilitas untuk warna bola karet dari mesin, yang diberikan oleh p1 = P( M ) = 0.2 , p2 = P( B) = 0.3, dan p3 = P( H ) = 0.5 ? (b) Misalkan kita kemudian memperhatikan bahwa beberapa bola karet kuning (Y) juga ada di dalam mesin. Bisakah kita menggunakan model p3 = P( H ) = 0.5,



p1 = P( M ) = 0.2 , p2 = P( B) = 0.3,



dan p4 = P(Y ) = 0.1 ?



Jawab: (a) Bisa, karena jumlah hasil keluaran bola merah(M) adalah 20, hitam(B) adalah 30, dan hijau(H) adalah 50, sehingga jumlah keluaran pada ruang sampel adalah 100(20+30+50) yaitu sama dengan jumlah keluaran bola karet oleh mesin. Sehingga nM 20 = = 0, 2 nS 100 nB 30 P( B) = = = 0,3 nS 100 nH 50 P( H ) = = = 0,5 nS 100



P( M ) =



(b) Model seperti di atas tidak bisa digunakan, karena jumlah bola karet Y akan mempengaruhi jumlah ruang sampel. Dengan nilai peluang untuk warna merah, hitam dan hijau tidak berubah, maka hal itu berarti jumlah ruang sampel yang tidak sesuai, di sisi lain jumlah peluang keempatnya juga melebihi 1, tidak memenuhi sifat peluang.



9. Dalam Latihan No 2, anggaplah masing-masing dari sembilan kemungkinan hasil dalam ruang sampel sama-sama mungkin terjadi. Hitung peluang masing-masing dari: (a)



P ( Keduanya Merah )



(b)



P ( C1 )



(c)



P ( C2 )



(d)



P ( C1  C2 )



(e)



P ( C1 ' C2 )



(f)



P ( C1  C2 )



Jawab: Ruang sampel: S = ( M , B) , ( M , M ) , ( M , H ) , ( B, M ) , ( B, B) , ( B, H ) , ( H , B) , ( H , H ) , ( H , M ) C1 = muncul bola merah pada percobaan pertama, jadi C1 =  MM , MB, MH  C2 =



(a)



(b)



(c)



(d)



(e)



(f)



muncul minimal satu bola merah, jadi



P ( Keduanya Merah ) = P ( MM ) = P ( C1 ) = P ( C1 ) =



n ( C1 ) 3 1 = = nS 9 3



P ( C2 ) = P ( C 2 ) =



n ( C2 ) 5 = nS 9



C2 =  MM , HM , BM , MB, MH 



n ( MM ) 1 = nS 9



C1  C2 =  MM , MB, MH  , P ( C1  C2 ) =



n ( C1  C2 ) 3 1 = = nS 9 3



C1 ' =  BM , HM  , C1 ' C2 =  BM , HM  , P ( C1 ' C2 ) = C1  C2 =  MM , MB, MH , BM , HM  = C2 , P ( C2 ) =



n ( C1 ' C2 ) 2 = nS 9



n ( C2 ) 5 = nS 9



10. Pertimbangkan Latihan No 3. Misalkan, untuk kelompok ras tertentu, keempat golongan darah tersebut sama-sama mungkin terjadi (a) Hitung probabilitas bahwa pendonor kedua dapat menerima darah dari pendonor pertama.



(b) Hitung probabilitas bahwa setiap pendonor dapat menerima darah dari yang lain. (c) Hitung probabilitas bahwa keduanya tidak dapat menerima darah dari yang lain. Jawab: Berdasarkan Latihan No 3, diperoleh nS = 64 . Misalkan X=kejadian pendonor kedua dapat n X = 28 menerima darah dari pendonor pertama, berdasarkan Latihan No 3 diperoleh ( ) . Y adalah kejadian di mana setiap pendoror dapat menerima darah dari pendonor yang lain, maka n Y = berdasarkan Latihan No 3 ( ) 4. Kemudian misalkan Z = kejadian pendonor pertama dan kedua tidak bisa menerima darah dari pendonor lainnya yaitu jika ketiganya memiliki golongan darah yang berbeda dan bukan O, maka himpunan hasil untuk kejadian Z adalah Z = ( A, B, O) , ( B, A, O) , ( A, A, O) , ( B, B, O) , ( AB, A, B) , ( A, AB, B) , ( B, AB, A) , ( AB, B, A)



(a)



(b)



(c)



P( X ) =



n ( X ) 28 7 = = nS 64 16



P (Y ) =



n (Y ) 4 1 = = nS 64 16



P(Z ) =



n(Z ) 8 1 = = nS 64 8



11. Buktikan bahwa



P ( ) = 0



. Petunjuk: Misalkan A=0 untuk semua 𝑖 dalam persamaan (1.3.3).



Jawab: P S =1 Perhatikan bahwa  = S ' , selama ( ) (1.3.2) dan berdasarkan definisi (1.2.3) maka komplemen peluang dari komplemen sebuah himpunan adalah 1 – peluang himpunan tersebut. Sehingga P ( ) = P ( S ') = 1 − P ( S ) = 1 − 1 = 0.



12. Buktikan persamaan (1.3.5). Petunjuk: Misal Ai =  untuk setiap i  k pada persamaan (1.3.3). Jawab: Misal Ai =  untuk setiap i  k pada persamaan (1.3.3). Selama setiap himpunan Ai mutually exclusive maka untuk i  k



P ( A1  A2 



   P  Ai  =  P ( Ai )  i =1  i =1



 ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A1  A2   Ak        ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A1  A2   Ak  ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A1  A2   Ak ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) +  Ak   Ak +1  Ak + 2 



  + P ( A ) +  P ( ) + P ( ) + 



+ P ( Ak ) + P ( Ak +1 ) + P ( Ak + 2 ) + k



+ P ( Ak ) + 0 + P ( Ak )



13. Ketika percobaan dilakukan, satu dan hanya satu dari peristiwa A1 , A2 , atau A3 akan terjadi. Tetukan 𝑃 (𝐴1 ), 𝑃 (𝐴2 ), 𝑑𝑎𝑛 𝑃 (𝐴3 ) di bawah masing-masing asumsi berikut: (a) 𝑃 (𝐴1 ) = 𝑃 (𝐴2 ) = 𝑃 (𝐴3 ) 1



(b) 𝑃 (𝐴1 ) = 𝑃 (𝐴2 ) 𝑑𝑎𝑛 𝑃 (𝐴3 ) = 2 (c) 𝑃 (𝐴1 ) = 2 𝑃 (𝐴2 ) = 3𝑃 (𝐴3 )



Jawab: S =  A1 , A2 , A3 



(a) 𝑃 (𝐴1 ) = 𝑃 (𝐴2 ) = 𝑃 (𝐴3 ) P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) = 1



P ( A1 ) + P ( A1 ) + P ( A1 ) = 1



3P ( A1 ) = 1 P ( A1 ) =



Diperoleh



1 3



P ( A1 ) = P ( A2 ) = P ( A3 ) =



1



(b) 𝑃 (𝐴1 ) = 𝑃 (𝐴2 ) 𝑑𝑎𝑛 𝑃 (𝐴3 ) = 2



1 3



P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) = 1 P ( A1 ) + P ( A1 ) +



1 =1 2



2 P ( A1 ) = 1 −



1 2



1 1 P ( A1 ) = 2 = 2 4



Diperoleh



P ( A1 ) = P ( A2 ) =



1 1 dan P ( A3 ) = 4 2



(c) 𝑃 (𝐴1 ) = 2 𝑃 (𝐴2 ) = 3𝑃 (𝐴3 )



P ( A1 ) = 3P ( A3 ) , 2 P ( A2 ) = 3P ( A3 ) P ( A2 ) =



3 P ( A3 ) , 2



Kemudian P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) = 1 3P ( A3 ) +



3 P ( A3 ) + P ( A3 ) = 1 2 6 P ( A3 ) + 3P ( A3 ) + 2 P ( A3 ) =1 2 11 P ( A3 ) = 1 2 2 P ( A3 ) = 11



Sehingga diperoleh



P ( A3 ) =



2 , 11



P ( A1 ) = 3P ( A3 ) = 3 



2 6 = , 11 11 3 3 2 3 P ( A2 ) = P ( A3 ) =  = . 2 2 11 11



14. Koin yang seimbang dilemparkan sebanyak empat kali. Buatlah daftar kemungkinan hasil eksperimen dan hitung probabilitas masing-masing kejadian berikut: (a) Tepat muncul gambar tiga kali (b) Paling tidak muncul gambar kali (c) Jumlah muncul gambar dan angka sama (d) Jumlah muncul gambar lebih dari muncul angka Jawab: Misal: G: hasil muncul gambar dan A: hasil muncul angka GGGG, GGGA, GGAA, GAAA,   AAAA, AAAG, AAGG, AGGG,    S=  GAGG, GGAG, AGAA, AAGA,  GAAG, AGGA, AGAG, GAGA 



Misal K:



kejadian Tepat muncul gambar tiga kali



L:



Paling tidak muncul gambar satu kali



M:



Jumlah muncul gambar dan angka sama



N:



Jumlah muncul gambar lebih dari muncul angka



Maka,



K =  GGGA, AGGG , GAGG , GGAG GGGG , GGGA, GGAA, GAAA,   AAAG, AAGG, AGGG, GAGG,    L=  GGAG , AGAA, AAGA, GAAG,   AGGA, AGAG, GAGA  M =  GAAG, AGGA, AGAG, GAGA, GGAA, AAGG N =  GGGG, GGGA, AGGG , GAGG , GGAG



(a)



(b)



(c)



(d)



P(K) =



n( K ) 4 1 = = nS 16 4



P ( L) =



n ( L ) 15 = nS 16



P(M ) =



n(M ) 6 3 = = nS 16 8



P(N) =



n( N ) 5 = nS 16



15. Dua guru paruh waktu dipekerjakan oleh departemen matematika dan masing-masing ditugaskan secara acak untuk mengajar satu mata pelajaran dalam trigonometri, aljabar, atau kalkulus. Tentukan peluang bahwa mereka akan mengajar matakuliah yang berbeda. Jawab : Misal: T: Trigonometri, A: Aljabar, dan K: Kalkulus. Ruang sampel pada soal adalah S=



(TT ) , (TA) , (TK ) , ( AA) , ( AK ) , ( KK )



Himpunan yang menyatakan bahwa kedua guru mengajar dua mata kuliah yang berbeda adalah X = (TA) , ( KA) , ( KT )



Sehingga,



P( X ) =



n( X ) 3 1 = = nS 6 2



16. Buktikan Teorema 1.4.4. Petunjuk: Tulis 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 . Dapat menerapkan Teorema 1.4.3. Jawab: Teorema 1.4.4 :



P ( A  B  C ) = P ( A) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A  B ) − P ( A  C ) − P ( B  C ) + P ( A  B  C ) Bukti, Menggunakan Teorema 1.4.3 diperoleh P ( A  B  C ) = P (( A  B)  C )



= P ( A  B ) + P ( C ) − P (( A  B )  C )



= P ( A) + P ( B ) − P ( A  B ) + P ( C ) − P ( ( A  C )  ( B  C ) ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A  B ) + P ( C ) −  P ( A  C ) + P ( B  C ) − P ( ( A  C )  ( B  C ) )  = P ( A) + P ( B ) − P ( A  B ) + P ( C ) − P ( A  C ) − P ( B  C ) + P ( ( A  C )  ( B  C ) ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A  B ) + P ( C ) − P ( A  C ) − P ( B  C ) + P ( A  B  C ) = P ( A) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A  B ) − P ( A  C ) − P ( B  C ) + P ( A  B  C )



17. Buktikan Teorema 1.4.5. Petunjuk :jika 𝐴 ⊂ 𝐵, maka kita dapat menulis 𝐵 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐴 ′), sebagai sebuah disjoint. Jawab: Dengan menuliskan 𝐵 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐴 ′) sebagai disjoint, maka diperoleh P ( B ) = P ( A) + P ( A  B ') P ( A  B ') = P ( B ) − P ( A)



P A  B ') Selama nilai ( berada pada interval bilangan real taknegatif antara 0 dan 1, maka haruslah dan didasarkan dengan sifat-sifat probabilitas maka haruslah P ( B )  P ( A) atau P ( A)  P ( B ) 18. Jika A dan B adalah kejadian, tunjukkan bahwa: (a) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ′ ) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) (b) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1 − 𝑃(𝐴′ ∩ 𝐵 ′ )



Jawab: (a) Perhatikan bahwa P ( A  B ') = P ( A  B ) − P ( B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A  B ) − P ( B ) = P ( A) − P ( A  B ) 1



1



3



10



19. Misalkan 𝑃 (𝐴) = 𝑃 (𝐵) = 𝑑𝑎𝑛 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) =



, Temukan yang berikut ini



(a) 𝑃(𝐵′) (b) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵′) (c) 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴′) (d) 𝑃(𝐴′ ∪ 𝐵′) Jawab:



(a) (b) (c)



P ( B ') = 1 − P ( B ) = 1 −



1 2 = 3 3



P ( A  B ') = P ( A) + P ( B ') − P ( A  B ) =



1 2 1 10 + 20 − 3 27 9 + − = = = 3 3 10 30 30 10



P ( B  A ') = P ( B ) − P ( B  A) = P ( B ) − P ( A  B ) =



(d) Perhatikan bahwa P ( A ' B ') = 1 − P ( A  B )



= 1 − ( P ( A) + P ( B ) − P ( A  B ) ) 1 1 1  = 1−  + −   3 3 10   20 − 3  = 1−   30  = 1− =



13 30



17 30



1 1 10 − 1 9 − = = 3 10 30 10



1



1



1



20. Misalkan 𝑃 (𝐴) = 2 , 𝑃 (𝐵) = 8 , 𝑑𝑎𝑛 𝑃 (𝐶) = 4, di mana A, B, dan C saling terpisah. Temukan yang berikut ini: (a) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) (b) 𝑃(𝐴′ ∩ 𝐵 ′ ∩ 𝐶′) Jawab:



(a)



P ( A  B  C ) = P ( A) + P ( B ) + P ( C ) =



1 1 1 4 +1+ 2 7 + + = = 2 8 4 8 8



1 1 1 8 7 1 P ( A ' B ' C ') = 1 −  P ( A) + P ( B ) + P ( C )  = 1 −  + +  = − = 2 8 4 8 8 8 (b)



21



Peristiwa yang persis salah satu peristiwa Aor B terjadi dapat direpresentasikan sebagai (𝐴 ∩ 𝐵′) ∪ (𝐴′ ∩ 𝐵) Tunjukkan bahwa: 𝑃[(𝐴 ∩ 𝐵 ′ ) ∪ (𝐴′ ∩ 𝐵)] = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 2𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) Jawab: kejadian yang persis salah satu peristiwa A atau B terjadi dapat direpresentasikan sebagai (𝐴 ∩ 𝐵′) ∪ 𝐴′ ∩ 𝐵. Menunjukan bahwa: P[(𝐴 ∩ 𝐵′) ∪ (𝐴′ ∩ 𝐵)] = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 2𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵′) 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)



22



Bintang trek melakukan dua balapan pada hari tertentu. Probabilitas bahwa ia memenangkan balapan pertama adalah 0,7, probabilitas bahwa ia memenangkan balapan kedua adalah 0,6, dan probabilitas bahwa ia menang kedua ras adalah 0,5. Temukan probabilitas bahwa: A. dia memenangkan setidaknya satu balapan. B. dia menang tepat satu balapan. C. dia tidak memenangkan perlombaan. Jawaban:



Jawab: Peluang menang setidaknya satu balapan yaitu:



MK = P ( MK ) − P ( MM ) = 0, 7 − 0,5 = 0, 2   KM = P ( KM ) − P ( MM ) = 0, 6 − 0,5 = 0,1  Total = 0, 2 + 0,1 + 0,5 = 0,8  MM = 0,5  (a) he wins exactly one race. Jawab: Peluang menang tepat 1 balapan:



MK = P ( MK ) − P ( MM ) = 0, 7 − 0,5 = 0, 2     Total = 0, 2 + 0,1 = 0,3 KM = P ( KM ) − P ( MM ) = 0, 6 − 0,5 = 0,1  (b) he wins neither race. Jawab: Peluang tidak menang sama sekali: P ( KK ) = 1 − Peluang menang palingsedikit 1 kali = 1 − 0,8 = 0, 2



23



Satu keluarga tertentu memiliki dua set televisi, satu warna dan satu set hitam-putih. Misalkan A adalah peristiwa set warna aktif dan B jika set hitam dan putih aktif Jika 𝑃(𝐴) = 0,4 𝑃(𝐵) = 0, 3 𝑑𝑎𝑛 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 0,5 temukan probabilitas masing-masing peristiwa A. keduanya aktif. B. set warna menyala dan yang lainnya mati C. tepat satu set aktif D. tidak ada set yang aktif. Jawab: a. P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A∪B) = 0,4 + 0,3 – 0,5 = 0,2 b. P(set warna menyala dan yang lainnya mati) = 0,4 – 0,2 = 0,2



= P(A) – P(A∩B)



c. P(tepat satu set nyala) = P(A∪B) - P(A∩B) = 0,5 – 0,2 = 0,3 d. P(tidak ada set yang aktif) = 1 - P(A∪B) = 1 – 0,5 = 0,5 24



Misalkan 𝑃 (𝐴1 ) = 1 / (3 + 𝑖) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 ¡ = 1, 2, 3, 4. Temukan batas atas untuk 𝑃 (𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪ 𝐴4 ). Diberikan P(𝐴!) = P(𝐴!) =



1 4,



1 3+!



Untuk i= 1,2,3,4 1



1



1



5



6



7



, P(𝐴!) = , P(𝐴!) = , P(𝐴!) = ,



Ketidaksetaraan Boole: ∞ Jika A1, A2 urutan peristiwa, maka : P⋃∞ 𝑖𝑚 𝐴𝑖 ≤ ∑𝑖𝑚 𝑃(𝐴𝑖)



25



Sebuah kotak berisi tiga kartu bagus dan dua kartu buruk (penalti). Pemain A memilih kartu dan lalu pemain B memilih kartu. Hitung probabilitas berikut: A. 𝑃(𝐴 𝑏𝑎𝑖𝑘) B. 𝑃(𝐵 𝑏𝑎𝑖𝑘 |𝐴 𝑏𝑎𝑖𝑘) C. 𝑃(𝐵 𝑏𝑎𝑖𝑘 |𝐴 𝑏𝑢𝑟𝑢𝑘) D. 𝑃( 𝐵 𝑏𝑎𝑖𝑘 ∩ 𝐴 𝑏𝑎𝑖𝑘) 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑔𝑢𝑛𝑘𝑎𝑛 (1.5.5) E. Tuliskan ruang sampel pasangan terurut dan hitung 𝑃( 𝐵 𝑏𝑎𝑖𝑘 ∩ 𝐴 𝑏𝑎𝑖𝑘) dan 𝑃(𝐵 𝑏𝑎𝑖𝑘 |𝐴 𝑏𝑎𝑖𝑘) dengan benar dari definisi. (Catatan: Asumsikan bahwa kartunya adalah berbeda.) F. 𝑃(𝐵 𝑏𝑎𝑖𝑘)



Jawab: P(A baik)



3



P(B baik | A baik) = =



3 2 × 5 4 3 5



2



1



=4 =2



3



= 3+2 = 5



𝑃(𝐴 𝑏𝑎𝑖𝑘 ∩ 𝐵 𝑏𝑎𝑖𝑘) 𝑃(𝐴 𝑏𝑎𝑖𝑘)



P(B baik | A buruk) = =



𝑃(𝐴 𝑏𝑢𝑟𝑢𝑘 ∩ 𝐵 𝑏𝑎𝑖𝑘) 𝑃(𝐴 𝑏𝑢𝑟𝑢𝑘)



2 3 × 5 4 2 5



3



=4 P(B baik ∩ A buruk) = P(B baik) . P(A buruk) 3



=5 ×



2 4



3



= 10 Andai, Kartu baik = G dan kartu buruk = B, n(G) = 3 dan n(B) = 2, maka ruang sampelnya adalah S = {G1, G2, G3, B1, B2} P(B baik ∩ A baik) 3



=5 ×



= P(B baik) . P(A baik)



2 4



3



= 10 P(B baik | A baik) = =



𝑃(𝐴 𝑏𝑎𝑖𝑘 ∩ 𝐵 𝑏𝑎𝑖𝑘) 𝑃(𝐴 𝑏𝑎𝑖𝑘)



3 2 × 5 4 3 5



2



1



=4 =2 P(B baik)



3



P(A baik | B baik) = 26



3 2 × 5 4 3 5



2



3



= 3+2 = 5 =



𝑃(𝐵 𝑏𝑎𝑖𝑘 ∩ 𝐴 𝑏𝑎𝑖𝑘) 𝑃(𝐵 𝑏𝑎𝑖𝑘)



1



=4 = 2



Ulangi Latihan 25, tetapi anggap bahwa pemain A melihat kartunya, menggantinya di dalam kotak, dan remix kartu sebelum pemain B menarik. Jawab: a. P(A baik)



3



3



= 3+2 = 5



b. P(B baik | A baik) =



P(A baik ∩ B baik) P(A baik)



= P(B baik) 3



=5



c. P(B baik | A buruk)



=



P(A buruk ∩ B baik) P(A buruk)



= P(B baik) 3



=5



d. P(B baik ∩ A buruk) 3



=5 ×



= P(B baik) . P(A buruk)



2 5



6



= 25



e. Andai, Kartu baik = G dan kartu buruk = B, n(G) = 3 dan n(B) = 2, maka ruang sampelnya adalah S = {G1, G2, G3, B1, B2} ❖ P(B baik ∩ A baik) 3



=5 ×



= P(B baik) . P(A baik)



3 5



9



= 25



❖ P(B baik | A baik) =



P(A baik ∩ B baik) P(A baik)



3



= P(B baik) = 5 P(B baik)



3



3



= 3+2 = 5



P(A baik | B baik) = 3



= P(A baik) = 5



P(B baik ∩ A baik) P(B baik)



27



Tas berisi lima bola biru dan tiga bola merah. Seorang anak laki-laki menggambar bola, dan kemudian menggambar lain tanpa penggantian. Hitung probabilitas berikut: A. 𝑃 (2 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑏𝑖𝑟𝑢). B. 𝑃 (1 𝑏𝑖𝑟𝑢 𝑑𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ). C. 𝑃 (𝑠𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝑏𝑖𝑟𝑢). D. 𝑃 (2 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ). Jawab: a. dua bola biru dapat dipilih tanpa pergantian dalam 5x4= 20 cara dan setiap dua bola dapat dipilih tanpa pergantian dalam 8 x 7= 56 cara. Karena itu probalitsas mendapatkan 2 bola biru adalah 0, 3571 5 3 15 b. P (B M) = 8 × 7 = 56 15



20



35



c. P (B M) + P (B B) = 56 + 56 = 56 3



2



6



d. P (M M) = 8 × 7 = 56 28



Dalam Latihan 27, anggaplah bola ketiga ditarik tanpa penggantian. Temukan: A. 𝑃 (𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑖𝑠𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑒𝑙𝑎ℎ 𝑢𝑛𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑔𝑎). B. 𝑃 (𝑠𝑎𝑦𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑘𝑖𝑟𝑖). C. 𝑃 (𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑠𝑒𝑟𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟). D. 𝑃 (𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑠𝑒𝑟𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟). Jawab: Bola merah = M Bola biru = B a. Jika tidak ada bola merah yang tersisa maka bola pertama sampai ketiga yang terambil adalah merah, jadi peluangnya: 3 2 1 6 P (M M M) = 8 × 7 × 6 = 336 b. Jika bola merah tersisa 1 bola merah, maka yang terambil adalah 2 merah dan 1 biru, sehingga peluangnya: 3 2 5 30 P (M M B ) =8 × 7 × 6 = 336 c. Jika pengambilan bola terakhi adalah merah, dan itu merupakan bola merah pertama, maka dua bola sebelumnya adalah biru. Sehingga peluangnya adalah : 5 4 3 60 P (B B M) = 8 × 7 × 6 = 336



29



d. Jika pengambilan terakhir merupakan bola merah, jadi kemungkinan nya adalah BBM, BMM, dan MMM. Sehingga peluangnya adalah: P (B B M) + P (B M M) + P (M M M) = P (B B M) + P (M M B) + P(M M M) 60 30 6 96 2 = 336 + 336 + 336 = 336 = 7 keluarga memiliki dua anak. Diketahui bahwa setidaknya satu adalah laki-laki. Berapa probabilitasnya bahwa keluarga memiliki dua anak laki-laki, mengingat setidaknya satu 1 anak laki-laki? Asumsikan 𝑃 (𝑎𝑛𝑎𝑘 𝑙𝑎𝑘𝑖 − 𝑙𝑎𝑘𝑖) = 2. Jawab Jika Anda menjawab 1/2, Anda bukan tanpa kawan, tetapi jawaban yang diterima secara umum oleh ahli statistik (meskipun bukan tanpa debat) adalah 1/3. Ini karena ada empat kemungkinan kombinasi: anak laki-laki, perempuan-laki-laki, perempuan-laki-laki dan perempuan-perempuan. Karena kami diberitahu bahwa salah satu anak adalah laki-laki (tetapi kami tidak tahu apakah itu anak pertama atau kedua), kami dapat mengesampingkan kombinasi cewek-cewek, meninggalkan tiga pilihan yang tersisa. Hanya satu dari 3 yang laki-laki, jadi kami mendapat kesempatan 1/3.) = 1/2.



30



Dua kartu diambil dari setumpuk kartu tanpa penggantian. A. Apa kemungkinan bahwa kartu kedua adalah hati, mengingat kartu pertama adalah hati? B. Berapa probabilitas kedua kartu itu adalah hati, mengingat setidaknya satu kartu adalah hati? Jawab: a. Ada total 13 kartu jantung dalam setumupk 52 kartu. Kemungkinan mendapatkan jantung kartu pertama adalah 13 𝑃(𝐻) = 52 Setelah mengambil 1 jantung dari 52 kartu, kartu yang terisisa di geledak ada 51 kartu jantung tersisa di geledak adlah 12 Dengan demikian probalitas bahwa kartu adalah hati, mengingat bahwa kartu pertama adalah hati: 12 P(H1 H2)= 51= 0,2353 b. Misalkan kartu pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah yang sekarang menjadi 51 kartu. Misalkan B adalah kejadian terambilnya kartu hati pada pengambilan kedua (kejadian ini merupakan kejadian bersyarat (𝐵|𝐴) sebab kejadian B ditentukan oleh syarat kejadian A) maka 𝑃(𝐵|𝐴) = Sehingga



4 51



𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵|𝐴) = 31



4 4 16 . = = 0.006 52 51 2652



Sebuah kotak berisi lima bola hijau, tiga bola hitam, dan tujuh bola merah. Dua bola dipilih secara acak tanpa penggantian dari kotak. Berapa probabilitas bahwa: A. kedua bola berwarna merah? B. kedua bola memiliki warna yang sama? Jawab: a. Total bola dalam kotak = 5+3+7= 15, sebuah probalitas bahwa bola warna merah 7 ×6 = 0,2 15 × 14 Karena bola merah pertama dapat dipilih dari 7 bola merah didalam 7 cara, maka bola merah lain dapat dipilih dari 6 bola merah yang Terisa dalam 6 cara. Dua bola bias dipilih dari kotak dengan 15 x 14 cara.



32



tim softball memiliki tiga pitcher, A, B, dan C, dengan persentase kemenangan 0,4; 0,6; dan 0,8 berturut-turut Pelemparan ini dengan frekuensi 2,3,dan 5 dari setiap 10 pertandingan masing-masing Dengan kata lain untuk game yang dipilih secara acak 𝑃(𝐴) = 0,2; 𝑃(𝐵) = 0, 3 dan 𝑃 (𝐶) = 0,5 Temukan A. 𝑃 (𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑡𝑖𝑚 𝑚𝑒𝑛𝑎𝑛𝑔) = 𝑃 (𝑊) B. 𝑃 (𝑇𝑖𝑚 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑎𝑛𝑔) = 𝑃 (𝐴|𝑊) Jawab: a. P(W)= P(A)P(W(𝑊|𝐴) + 𝑃(𝐵)𝑃(𝑊|𝐵) + 𝑃(𝐶) = 0,2 x 0,4 + 0,3 x 0.6 + 0,5 x 0,8 = 0.66 𝑃(𝐴 ∩𝑊) b. 𝑃 (𝑇𝑖𝑚 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑎𝑛𝑔) = 𝑃 (𝐴|𝑊) = = 𝑃(𝑊)



2 1,6



=



1,25 33



Satu kartu dipilih dari setumpuk 52 kartu dan ditempatkan di setumpuk kedua. Kartu kemudian adalah dipilih dari dek kedua A. Berapa probabilitas kartu kedua adalah kartu as? B. Jika kartu pertama ditempatkan pada setumpuk 54 kartu yang berisi dua pelawak, lalu berapa probabilitas bahwa kartu yang diambil dari dek kedua adalah kartu as? C. Mengingat bahwa kartu as diambil dari dek kedua di (b), berapakah probabilitas bersyarat bahwa kartu as dipindahkan? Jawaban:



a) Probabilitas mendapatkan kartu As di setumpuk 52 kartu yaitu 𝑃(𝐴) = 1



4 52



13



Probabilitas tidak mendapatkan kartu As di setumpuk 52 kartu yaitu 𝑃(𝐴′) = 1 − 12



1 13



=



=



13



Probabilitas mendapatkan kartu As di tumpukan kedua yaitu 𝑃(𝐵) Probabilitas mendapatkan kartu As ditumpukan kedua 53 kartu, jika kartu As diambil dari tumpukan pertama yaitu 𝑃(𝐵|𝐴) =



5 53



Probabilitas mendapatkan kartu As ditumpukan kedua 53 kartu, jika kartu As tidak 4 diambil dari tumpukan pertama yaitu 𝑃(𝐵|𝐴′) = 53 Probabilitas mendapatkan kartu As dari tumpukan 53 kartu yaitu 𝑃(𝐵) = 𝑃 (𝐴)𝑃(𝐵|𝐴) + 𝑃(𝐴′)𝑃(𝐵|𝐴′) 1 5 12 4 = ( )( ) +( )( ) 13 53 13 53 1 = 13 b) Probabilitas mendapatkan kartu As di setumpuk 54 kartu yaitu 𝑃(𝐴) =



4 54



Probabilitas tidak mendapatkan kartu As di setumpuk 54 kartu yaitu 𝑃(𝐴′) = 1 − 50



4



54



=



54



Probabilitas mendapatkan kartu As di tumpukan kedua yaitu 𝑃(𝐵) Probabilitas mendapatkan kartu As ditumpukan kedua 55 kartu, jika kartu As diambil dari tumpukan pertama yaitu 𝑃(𝐵|𝐴) =



5 55



Probabilitas mendapatkan kartu As ditumpukan kedua 55 kartu, jika kartu As tidak 4 diambil dari tumpukan pertama yaitu 𝑃(𝐵|𝐴′) = 55 Probabilitas mendapatkan kartu As dari tumpukan 55 kartu yaitu 𝑃(𝐵) = 𝑃 (𝐴)𝑃(𝐵|𝐴) + 𝑃(𝐴′)𝑃(𝐵|𝐴′) 4 5 50 4 = ( )( ) +( )( ) 54 55 54 55 2 = 27 c) Probabilitas bersyarat 𝑃(𝐴|𝐵) =



𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴) 𝑃(𝐵)



4 5 )( ) 54 55 𝑃(𝐴|𝐵) = 2 27 5 1 𝑃(𝐴|𝐵) = = 55 11 (



34



Sebuah saku berisi tiga koin, satu di antaranya memiliki kepala di kedua sisi, sedangkan dua koin lainnya normal. Koin dipilih secara acak dari saku dan dilemparkan tiga kali. A. Temukan probabilitas untuk mendapatkan tiga kepala B. Jika kepala muncul tiga kali, berapakah probabilitas bahwa ini adalah dua kepala koin? Jawab: 1



Probalitas dengan koin ; P (A) 3 𝑃(𝐴) = 1 −



1 2 = 3 3



1 1 𝑃(𝐻|𝐴) = ( ) = 2 8 1 2 1 5 + (1) + × = 3 3 8 12 35



Di pabrik baut, mesin 1,2, dan 3 masing-masing menghasilkan 20%, 30%, dan 50% dari total output. Dari output masing-masing, 5%,3%, dan 2% rusak. Baut dipilih sembarangan. A. Berapa probabilitasnya rusak? B. Mengingat bahwa itu cacat berapa probabilitas bahwa itu dibuat oleh mesin 1 9 Jawab;



36



Laci A berisi lima sen dan tiga sen, sedangkan laci B berisi tiga sen dan tujuh dime. Laci dipilih secara acak, dan koin dipilih secara acak dari laci itu. A. Temukan probabilitas memilih sepeser pun. B. Misalkan sepeser pun diperoleh. Berapakah probabilitas bahwa itu berasal dari laci B? 1 Probabilitas laci A dan laci B yaitu 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵) = 2 Probabilitas terpilihnya sen/ dime 𝑃(𝐷) Probabilitas terpilih sen/ dime dari laci A yaitu 𝑃(𝐷|𝐴) = Probabilitas terpilih sen/ dime dari laci B yaitu 𝑃(𝐷|𝐵) = 𝑃(𝐷) = 𝑃 (𝐴)𝑃(𝐷|𝐴) + 𝑃(𝐵)𝑃(𝐷|𝐵) 1 3 1 7 = ( )( ) + ( )( ) 2 8 2 10 43 = 80



3 5+3 7 3+7



= =



3 8 7 10



𝑃(𝐵|𝐷) =



𝑃(𝐵)𝑃(𝐷|𝐵) 𝑃(𝐷)



𝑃(𝐵|𝐷) =



1 7 (2) (10) 43 80 𝑃(𝐵|𝐷) =



37



28 43



Misalkan 𝑃 (𝐴) = 0,4 dan 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 0,6. A. Untuk nilai P (B) apa A dan B saling eksklusif? B. Untuk nilai P (B) apa A dan B independent C. Nilai 𝑃(𝐵) jika A dan B saling lepas 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) ≡ 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) − 𝑃(𝐴) ≡ 𝑃(𝐵) = 0,6 − 0,4 ≡ 𝑃(𝐵) = 0,2 D. Nilai 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ≡ 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) − 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ≡ 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) − 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵) ≡ 𝑃(𝐵) = 0,6 − 0,4 + 0,4. 𝑃(𝐵) ≡ 0,6. 𝑃(𝐵) = 0,2 0,2 ≡ 𝑃(𝐵) = 0,6 1



≡ 𝑃(𝐵) = 3



38



Buktikan Teorema 1.5.5. Petunjuk: Gunakan Latihan 18.



39



Tiga komponen independen terhubung seri. Setiap komponen gagal dengan probabilitas p Apa probabilitas bahwa sistem tidak gagal?



40



Tiga komponen independen terhubung secara paralel. Setiap komponen gagal dengan probabilitas p. Berapa probabilitas bahwa sistem tidak gagal?



41



Pertimbangkan sistem berikut dengan probabilitas kegagalan fungsi yang ditetapkan untuk lima komponen. Asumsikan bahwa malfungsi terjadi secara independen.



Berapa probabilitas sistem tidak mengalami kegagalan fungsi? 42



Probabilitas bahwa seorang penembak jitu mengenai target adalah 0,9 pada setiap tembakan yang diberikan, dan tembakan berulang adalah independen. Dia memiliki dua pistol; satu berisi dua peluru dan yang lainnya hanya berisi satu peluru. Ia memilih pistol secara acak dan menembak sasaran sampai pistol itu kosong. Berapa probabilitas mencapai target tepat satu kali?



43



Latihan Ulang 27 dengan asumsi bahwa bola dipilih dengan penempatan saya Probalitas untuk mengagmbar bola biru menjadi: 𝑃(𝐵) =



5 5 = 5+3 8



Probalitas untuk menggambar bola merah menjadi 𝑃(𝑅) = 44



3 3 = 5+3 8



Dalam permainan marmer, seorang penembak mungkin (A) kehilangan, (B) menabrak satu marmer dan menempel di ring, atau (C) menabrak satu marmer keluar dan meninggalkan ring. Jika B terjadi, penembak menembak lagi A. Jika 𝑃 (𝐴) = 𝑝1 ; 𝑃 (𝐵) = 𝑝2 𝑑𝑎𝑛 𝑃 (𝐶) 𝑝3 dan probabilitas ini tidak berubah tembakan demi tembakan, lalu nyatakan kemungkinan untuk keluar tepat tiga kelereng pada satu belokan. B. Berapa probabilitas untuk keluar tepat x kelereng dalam satu belokan? C. Tunjukkan bahwa probabilitas mendapatkan satu marmer lebih besar dari probabilitas mendapatkan nol kelereng jika 𝑝1
r, perlihatkan yang berikut: P( A) =



56



𝑛 𝑛 A. ( ) = ( ) 𝑛−𝑟 𝑟 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 B. ( ) = ( )+( ) 𝑟 𝑟−1 𝑟



n  n  n! n! n! n!   =  = = = =   r  (n − r )!.r! r!.(n − r )! (n − n + r )!.(n − r )! (n − (n − r ))!.( n − r )!  n − r  n n! b.   =  r  (n − r )!.r! a.



n.(n − 1)! (n − r ).( n − r − 1)!..r.(r − 1)! n.(n − 1)! = (n − r )..r.(n − r − 1)!.(r − 1)! n (n − 1)! = . (n − r ).r (n − r − 1)!.(r − 1)! r+n−r (n − 1)! = . 2 (nr − r ) (n − r − 1)!.(r − 1)!



=



 1 1 (n − 1)! =  + .  (n − r ) r  (n − r − 1)!.(r − 1)!  1  (n − 1)! 1 (n − 1)!  =  . + .  (n − r ) (n − r − 1)!.(r − 1)! r (n − r − 1)!.(r − 1)!    (n − 1)! (n − 1)!  =  +  (n − r ).( n − r − 1)!.(r − 1)! (n − r − 1)!..r.(r − 1)!   (n − 1)! (n − 1)!   =  +  (n − r )!.(r − 1)! (n − r − 1)!..r!   (n − 1)! (n − 1)!   =  +  (n − 1 − r + 1)!.(r − 1)! (n − r − 1)!..r!   (n − 1)! (n − 1)!   =  +  (n − 1 − (r − 1))!.( r − 1)! (n − r − 1)!..r!   n − 1  n − 1  +   =   r − 1  r 



57 .



Berikan solusi untuk jumlah berikut: 4 4 4 A. ( ) + ( ) + ( ) 0 2 4 6 6 6 6 B. ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 0 2 4 4 2𝑛 C. ∑𝑛𝑖=0 ( ) .Petunjuk: Gunakan Latihan 56 (b). 2𝑖 4!



4!



4!



a. (40) + (42) + (44) = 0!(4−0)! + 2!(4−2)! + 4!(4−4)! 4!



4!



4!



= 1.4! + 2!2! + 4!.0! =1+



4.3 2!



+1



12



=1+ 2 +1 =1+6+1 =8 6!



6!



6!



6!



b. (60) + (62) + (64) + (66) = 0!(6−0)! + 2!(6−2)! + 4!(6−4)! + 6!(6−6)! 6!



6.5.4!



6.5.4!



6!



= + + + 1.6! 2.1.4! 4!.2.1 6!.1 = 1 + 15 + 15 + 1 = 32



58



Tujuh orang muncul untuk melamar pekerjaan sebagai kasir di toko diskon. A. Tujuh orang muncul untuk melamar rumah sebagai kasir di toko diskon. B. Misalkan ada tiga pelamar laki-laki dan empat perempuan, dan ketujuh semuanya sama memenuhi syarat, sehingga tiga pekerjaan diisi secara acak. Berapa probabilitas bahwa tiga orang yang direkrut semuanya berjenis kelamin sama? C. Dengan berapa banyak cara yang berbeda, ketujuh pelamar dapat berbaris sambil menunggu wawancara? D. Jika ada empat wanita dan tiga pria, dalam berapa banyak cara pelamar bisa berbaris jika tiga yang pertama adalah perempuan? Jawaban; jika hanya da tiga pekerjaan yang tersedia hitung jumlah cara yg bias dipilh tiga dari tujuh pelamar: = (73) = =



59



7! 3! (7 − 3)!



7 × 6 × 5 × 4! 3 × 2 × 1 × 4! = 35



Klub dalam Latihan 54 harus memilih tiga petugas: presiden, wakil presiden, dan sekretaris. Berapa banyak cara yang berbeda ini bisa berubah? Total = 17+13 = 30 Jumlah petugas yang dipilih adalah 3



30 30! ( )= 30! (30 − 5) 3 = 4060 60



Berapa banyak cara yang bisa dilakukan 10 siswa untuk naik bus jika pasangan siswa tertentu menolak untuk mengikuti satu sama lain? Kami memiliki 10 siswa yang dapat berbaris dalam 10! Cara Tetapi ketika dua tidak bersama maka kita memiliki 9! cara untuk memilih kedua dan kemudian mereka dapat mengatur diri mereka dalam 2! cara. dengan demikian jumlah total cara yang dapat dilakukan 10 siswa untuk naik bus jika sepasang siswa tertentu menolak untuk saling mengikuti dalam barisan diberikan oleh: (10! −9! ∗ 2!) (10! −9! ∗ 2!) Cara.



61



Setiap siswa dalam kelas ukuran n lahir dalam satu tahun dengan 365 hari, dan masingmasing melaporkan tanggal lahirnya (bulan dan hari, tetapi bukan tahun). A. Berapa banyak cara ini bisa terjadi? B. Berapa banyak cara yang bisa terjadi tanpa tanggal lahir berulang? C. Berapa probabilitas tidak ada tanggal lahir yang cocok? D. Di kelas 23 siswa, berapa probabilitas setidaknya satu tanggal lahir berulang?



62



siswa TK memiliki 12 krayon. A. Berapa banyak cara tiga krayon biru, empat merah, dan lima hijau dapat diatur dalam a B. baris? C. Berapa banyak cara 12 krayon yang berbeda dapat ditempatkan dalam tiga kotak yang masing-masing berisi 3, 4, dan 5 krayon? a. Krayon yang dimiliki : B B B M M M M H H H H H Diketahui : r=3 n1 = 3 n2 = 4 n3 = 5 maka, banyak cara mengatur krayon tersebut dalam satu baris adalah : ∏3𝑖=1 𝑛𝑖 = 𝑛1 × 𝑛2 × 𝑛3 = 3 × 4 × 5 = 60 cara b. Diketahui :



n = 12 r1 = 3 r2 = 4 r3 = 5 maka, berdasarkan teorema 1.6.7, banyak cara menempatkan krayon dalam tiga kotak tersebut adalah: 𝑛! 12 ! = 𝑟1 ! 𝑟2 ! 𝑟3 ! 3! 4! 5! =



12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5! 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 5!



= 12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 3 ∙ 7 = 27.720 cara 63



Berapa banyak cara Anda dapat mempartisi 26 huruf menjadi tiga kotak yang berisi 9, 11, dan 6 file?



64



Berapa banyak cara yang dapat Anda ubah dengan 9 a, 11 b, dan 6 c? Menurut Teorema 1.6.7. Jumlah cara membagi satu set objek n ke dalam sel k dengan objek r1 di sel pertama, r2 di sel kedua dan seterusnya adalah



diberikan bahwa, jumlah total permutasi adalah 9 + 11 + 6 = 26 r1 = 9, r2 = 11 dan r3 = 6 65



kontes terdiri dari menemukan semua kata-kata kode yang dapat dibentuk dari huruf-huruf di nama "ATARI," Asumsikan bahwa huruf A dapat digunakan dua kali, tetapi yang lain paling banyak satu kali. A. Berapa banyak kata lima huruf yang dapat dibentuk? B. Berapa banyak kata dua huruf yang dapat dibentuk? C. Berapa banyak kata yang bisa dibentuk? n= 5 r1= huruf A = 2 r2= huruf T = 1 r3 = huruf R = 1 Berapa banyak kata lima huruf yang dapat dibentuk? 5! = 5𝑥4𝑥3𝑥2 = 120



Berapa banyak kata dua huruf yang dapat dibentuk? 5!



𝑝(𝑛, 𝑟) = 𝑝(5,2) = 3! =



5𝑥4𝑥3𝑥2 3𝑥2



= 5𝑥4 = 20 cara



Berapa banyak kata yang bisa dibentuk?



𝑝(𝑛, 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3) = 𝑝(5,2) =



5! 5𝑥4𝑥3𝑥2 = = 5𝑥4𝑥3𝑥2 = 60 2! 2



66



Tiga bus tersedia untuk mengangkut 60 siswa dalam perjalanan lapangan. Bus duduk 15, 20, dan 25 penumpang, masing-masing. Berapa banyak cara yang dapat dilakukan para siswa. Dimuat bus?



67



mesin tertentu memiliki sembilan sakelar yang dipasang berturut-turut. Setiap switch memiliki tiga posisi, a, b, dan c. A. Berapa banyak pengaturan yang berbeda yang dimungkinkan? B. Jawab (a) jika setiap posisi digunakan tiga kali.



68



Misalkan 14 siswa memiliki tiket untuk konser. A. Tiga siswa (Bob, Jim, dan Tom) memiliki mobil dan akan menyediakan transportasi ke konser. Mobil Bob memiliki ruang untuk tiga penumpang (bukan penumpang), sementara mobil milik Jim dan Tom masing-masing memiliki ruang untuk empat penumpang. Dalam berapa banyak cara yang berbeda, 11 penumpang dapat dimuat ke dalam mobil? B. Di aula konser para siswa duduk bersama berturut-turut. Jika mereka mengambil tempat duduk secara acak, temukan kemungkinan bahwa ketiga siswa yang mengendarai mobil mereka memiliki kursi yang berdampingan.



69



Misalkan nomor pemenang dalam lotre adalah angka empat digit yang ditentukan dengan menggambar empat slip kertas (tanpa penggantian) dari sebuah kotak yang berisi sembilan slip bernomor berturut-turut 1 hingga 9 dan kemudian merekam digit dalam urutan dari yang terkecil hingga terbesar. A. Berapa banyak nomor lotre yang berbeda yang dimungkinkan?



Untuk empat digit yang diberikan hanya ada satu cara untuk mengatur dalam urutan naik. Kemugkinan jumlah angka lotre yang berbeda=jumlah cara pemilihan 4 digit dari 9 digit. Jumlah car a memilih 4 digit dari 9 digit adalah 𝑛! 𝑛 ( )= 𝑟 𝑟! (𝑛 − 𝑟)! 9! 9 ( )= 4 4! (9 − 4)! = 126 B. Temukan probabilitas bahwa angka yang menang hanya memiliki digit ganjil



C. Berapa banyak nomor lotre yang berbeda dimungkinkan jika digit dicatat dalam memesan mereka ditarik? 70 71



Tes laboratorium untuk penggunaan steroid pada atlet profesional memiliki tingkat deteksi yang diberikan dalam tabel berikut:



STEROID USE



TEST RESULT +



-



YES



0,90



0,10



NO



0,01



0,99



Jika tingkat penggunaan steroid di antara atlet profesional adalah l dalam 50: A. Berapa probabilitas bahwa atlet profesional yang dipilih secara acak akan memiliki hasil tes negatif untuk penggunaan steroid?



Mengingat bahwa penggunaan steroid diantara para atlet adalah 1 dalam 50. Maka 1 kemungkinan bahwa atlet professional menggunakan steroid adalah 50 = 0,02 Dan kemungkinan bahwa atlet professional tidak menggunakan steroid adalah 1 − 0,02 = 0,98 Misalkan Y merupakan variable acak atlet professional menggunakan steroid dan N merupakan atlet professional yang tidak menggunakan steroid



B. jika atlet tes positif, berapakah probabilitas bahwa dia benar-benar telah menggunakan steroid? 72



Sebuah kotak berisi empat disk yang memiliki warna berbeda di setiap sisi. Disk 1 berwarna merah dan hijau, disk 2 berwarna merah dan putih, disk 3 berwarna merah dan hitam, dan disk 4 berwarna hijau dan putih. Satu disk dipilih secara acak dari kotak, Tentukan acara sebagai berikut: A = satu sisi berwarna merah, B = satu sisi berwarna hijau, C = satu sisi berwarna putih, dan D = satu sisi berwarna hitam. A. Apakah acara independen A dan B? Mengapa atau mengapa tidak?



Terdapat 4 disk yang mana dari keempat disk tersebut terdapat 3 disk yang memiliki 1 sisi berwarna merah 𝑃(𝐴) =



3 4



Ada 2 disk dengan satu sisi berwarna hijau 𝑃(𝐵) =



2 1 = 4 2



Dan satu disk dengan satu sisi merah dan satu sisi hijau Karena itu 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =



1 4



Berdasarkan definisi kejadian independent maka:



𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐵)𝑋 𝑃(𝐶) 1 3 1 = 𝑥 4 4 2 1 3 ≠ 4 8 Sehingga kejadian A dan B tidak independent B. Apakah B dan C acara independen? Mengapa atau mengapa tidak?



Ada 2 disk dengan satu sisi berwarna hijau



𝑃(𝐵) =



2 1 = 4 2



Ada 2 disk dengan satu sisi berwarna putih 𝑃(𝐶) =



2 1 = 4 2



Dan satu disk dengan satu sisi hijau dan satu sisi putih Karena itu 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) =



1 4



Berdasarkan definisi kejadian independent maka: 1 1 1 = 𝑥 4 2 2 1 1 = 4 4 Sehingga kejadian B dan C adalah independent C. Apakah ada pasangan peristiwa yang saling eksklusif? Yang mana Ada, yaitu C dan D