Tugas Struktur Aljabar. Grup Siklik [PDF]

Citation preview

Kelompok 3 1. Amalia Nurjannah 2. Ria Putri Nigsih GRUP SIKLIK



A. Defenisi dan Contoh Grup Siklik Defenisi 1 : (Terhadap Perkalian) Grup (G,*) disebut siklik, bila ada elemen a G sedemikian hingga { |



}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut.



Defenisi 2 : (Terhadap Penjumlahan) Grup (G,+) disebut siklik, bila ada elemen a G sedemikian hingga {



|



}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut.



Defenisi 3 : (Grup Siklik) Diketahui (G,*) merupakan grup. Jika terdapat a G sehingga 〈 〉 = G maka G disebut grup siklik. Dengan kata lain, Grup siklik adalah subgroup yang unsur-unsurnya merupakan unsur-unsur dari grup itu sendiri. Suatu grup siklik bisa beranggotakan terhingga banyaknya unsur, bisa juga beranggotakan tak hingga unsur-unsur. Grup siklik yang beranggotakan banyaknya unsure terhingga dinamakan grup siklik berhingga dan grup siklik yang beranggotakan banyaknya unsure tak berhingga dinamakan grup siklik tak hingga. Contoh 1 : Misalkan



{



} adalah suatu grup terhadap penjumlahan (G,+).



Tentukan generator dari grup tersebut! Penyelesaian :



1



{ 〈 〉 ={



} |



}



|



}



= {0} 〈 〉 ={



= {0.1, 1.1, 2.1, 3.1, …} = {0, 1, 2, 3} 〈 〉 ={



|



}



= {0.2, 1.2, 2.2, 3.2, …} = {0, 2} 〈 〉 ={



|



}



= {0.3, 1.3, 2.3, 3.3, …} = {0, 3, 2, 1} Generator 1 dan 3 adalah membangun suatu grup siklik, sehingga 〈 〉 = 〈 〉 = {0, 1, 2, 3} Contoh 2 : Grup (Z,+) merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bulat biasa. Buktikan bahwa grup tersebut merupakan grup siklik! Penyelesaian : 〈 〉 ={



|



}



= {…, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, …} = { …, -2, -1, 0, 1, 2, …} 〈- 〉 = { - |



}



2



= { …, -2.-1, -1.-1, 0.-1, 1.-1, 2.-1,…} = {…, 2, 1, 0, -1, -2, …} Terbukti bahwa Grup Z merupakan grup siklik karena 〈 〉 = 〈- 〉 = Z Contoh 3 : Misalkan C = {1, -1, i, -i} adalah grup bilangan kompleks terhadap perkalian (C,*). Tentukan pembangun grup siklik dari grup tersebut. Penyelesaian : C ={1, -1, i, -i} 〈 〉 ={



|



}



= {10, 11, 12, …} = {1} 〈- 〉 = {



|



}



= {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …} = {1, -1} 〈〉



={ |



}



= {i0, i1, i2, i3} = {1, i, -1, -i} 〈- 〉 = { -



|



}



= {(-i)0, (-i)1, (-i)2, (-i)3} = {1, -i, -1, i} Generator i dan –i adalah membangun suatu grup siklik, sehingga 〈 〉 = 〈- 〉 = {1, 1, i, -i}



3



Contoh 4 : Tentukan generator dari U(10)!



Penyelesaian : U(10) = {1, 3, 7, 9} 〈 〉 ={



|



}



= {10, 11, …} = {1} 〈 〉 ={



|



}



= {31, 32, 33, 34, …} = {3, 9, 7, 1} 〈 〉 ={



|



}



= {71, 72, 73, 74, …} = (7, 9, 3, 1} U(10) = 〈 〉 = 〈 〉 , jadi 3 dan 7 adalah generator untuk U(10).



B. Sifat-sifat yang Berkaitan dengan Grup Siklik Teorema 1 : Setiap grup siklik adalah grup abelian. Bukti : Misalkan (G, *) merupakan grup siklik dan a merupakan generator dari G, sehingga G = {



|



}.



4



Ambil x, y



G, sehingga x = am dan y = an, untuk m,n



Z.



x * y = am * an = am+n = an+m = an * am = y * x Jadi terbukti (G,*) merupakan grup komutatif. Misalkan (G,+) merupakan grup siklik dan a merupakan generator G, sehingga G = { Ambil x, y



|



}



G sehingga x = na dan y = ma, untuk m,n



Z.



x + y = na + ma = (n + m) a = (m + n) a = ma + na = y + x jadi terbukti (G,+) merupakan grup komutatif. Teorema 2 : Misalkan a anggota dari grup G. Jika a adalah order takterhingga, maka semua pangkat yang berbeda dari a adalah dari elemen grup yang berbeda. Jika a adalah order terhingga, terdapat bilangan bulat positif terkecil n maka 〈 〉 = { e, a, a2, …, an-1} dan ai = aj jika dan hanya jika n merupakan pembagi i-j. Bukti : 1. Jika a adalah order yang tak terhingga, maka an



e.



Misalkan i dan j bilangan bulat dengan i > j, karena i > j maka i – j positif dan dengan anggapan didapat ai – j ai



e sehingga



aj. hal ini berarti bahwa pangkat dari berbagai bilangan positif akan



berbeda. Akibatnya a mempunyai anggota tak terhingga. 2. Jika a adalah order terhingga, Misalkan bilangan bulat positif terkecil n sehingga an = e dan ak sebarang anggota dari 〈 〉. Dengan menggunakan algoritma pembagian maka terdapat bilangan bulat q dan r sehingg, k = qn + r , dengan lalu ak = aqn + r = aqn. ar = (an)q. ar = e . ar =ar, bila r = 0 maka ar = a0= e = an sehingga ak



{e, a, a2, …, an-1}



Terbukti bahwa 〈 〉 = { e, a, a2, …, an-1}.



5



Diasumsikan bahwa ai = aj jika dan hanya jika n merupakan pembagi i-j a. Jika ai = aj maka n merupakan pembagi i-j Bukti : ai = aj akibatnya ai – j = e. dengan menggunakan algoritma pembagian, terdapat bilangan bulat q dan r sehingga i – j = qn + r , dengan akan ditunjukkan r = 0 e = ai – j = aqn + r = (an)q. ar = e . ar = ar, dan n order dari a maka ar = e dengan mengingat n order dari a dan



maka r = 0



terbukti bahwa order dari a adalah pembagi i – j b. Jika n merupakan pembagi i-j maka ai = aj Bukti : ai – j = anq =eq = e sehingga terbukti bahwa ai = aj Akibat teorema 2 : Misalkan G adalah sebuah grup dan a elemen dari order n dalam G. Jika ak = e, maka n merupakan pembagi k. Bukti : Diberikan ak = e = ao, kita tahu dari teorema 4.1 bahwa n merupakan pembagi k-0. Teorema 3 : Misalkan G = 〈 〉 adalah suatu grup siklik dengan order n. lalu G = 〈 〉 jika dan hanya jika FPB (k,n) = 1. Bukti : FPB (k,n) = 1 1 = ku + nv a = aku + nv = aku . anv = aku. Sehingga, a adalah anggota 〈 〉 dan semua pangkat dari a anggota 〈 〉. jadi G = 〈 〉 dan ak adalah sebuah generator dari G. Jika FPB (k,n) = d > 1. Ditulis k = td dan n = sd.



6



Lalu (ak)s = (atd)s = (asd)t = (an)t = e, sehingga | |



. ini terlihat bahwa ak



adalah bukan generator dari G.



Akibat Teorema 3 : Sebuah bilangan k di Zn adalah sebuah generator dari Zn jika dan hanya jika FPB (k,n) = 1. Contoh : Daftarlah dengan lengkap generator dari U(50)! Penyelesaian : U(50) = {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39, 41, 43, 47, 49} |



| = 20 dan 3 adalah salah satu generatornya.



Berdasarkan teorema 3 FPB(k,n) = 1, maka daftar dari generator U(50) adalah 3 mod 50 = 3



311 mod 50 = 47



33 mod 50 = 27



313 mod 50 = 23



37 mod 50 = 37



317 mod 50 = 13



39 mod 50 = 33



319 mod 50 = 17



Teorema 4 : Setiap subgroup dari grup siklik adalah siklik. Akibatnya, jika |〈 〉| = n, lalu order dari setiap subgroup 〈 〉 adalah pembagi dari n, dan untuk setiap pembagi positif k dari n, grup 〈 〉 mempunyai subgroup tunggal yang berorder k yaitu 〈



〉.



Bukti : Misalkan G = { |



}. H subgrup G



7



Kasus 1 Jika H = {e} maka jelas bahwa H siklik karena dibangun oleh e sendiri Kasus 2 Jika H



{e}, ada t positif sehingga at dalam H.



Misalkan m bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga am 〈



H maka jelas



〉



Misalkan ak



H



Dengan menggunakan algoritma pembagian, maka terdapat bilangan bulat q dan r k = qm + r , 0



r