Fungsi Alih [PDF]

Citation preview

1. Perhatikan gambar rangkaian listrik sederhana pada gambar dibawah ini. Anggaplah kita menginginkan model tegangan v (t).



Rangkaian listrik. State space model. Dengan



menerapkan



prinsip



rangkaian



dasar



kita



mendapatkan



persamaan :



di (t ) dt vf (t )  v(t ) dv(t ) v(t )  i (t )  C  R1 dt R2



v(t )  L



Persamaan ini dapat diatur lagi sebagai berikut :



di (t ) 1  v(t ) dt L  1 dv(t ) 1 1 1   i (t )    v f (t )  v(t )  dt C R1C  R1C R2C Persamaan di atas merupakan state space model linier, yaitu dari formulir dalam (3.6.5) - (3.6.6), dengan menggunakan persamaan



Maka







1   0   L  ; B   1  ; C  0 1 ; D  0     1 1 1   (  )  R1C C R1C R2C 



A



 0 











2. Perhatikan motor DC yang mempunyai eksitasi terpisah. Biarkan va (t) melambangkan tegangan dinamo, θ (t) sudut output. Sebuah diagram skematik sederhana dari ini sistem ditunjukkan pada gambar berikut.



Model motor DC yang disederhanakan Keterangan : J - momen inersia pada poros τe (t) - torsi listrik ia (t) - arus dinamo k1, k2 - konstanta R - tahanan armature Penerapan prinsiip fisika yang dikenal memberitahu kita bahwa variabel variabel tersebut bekaitan dengan : ..



J  (t) =  e(t) = k1i a (t) ..



..



v  (t) = k 2  (t) ..



v (t) . k2  .(t) i a (t) = a R Dengan menggabungkan persamaan ini kita memperoleh persamaan diferensial urutan kedua :







..  v (t) . k  (t) a 2 J  (t) = k1    R   ..



Kita dapat dengan mudah mengkonvert model persamaan diatas dalam bentuk state space dengan menggunakan persamaan ..



x1 (t) =  (t) ..



x 2 (t) =  (t) Model dari soal dapat dituliskan menjadi



 0 1   0 d  x1 (t)         k1k2   k1 v a (t) x (t) dt  2  0  R R   3. Sebagai contoh sederhana dari sebuah sistem yang memiliki waktu tunda murni perhatikan sistem pemanas yang ditunjukkan pada Gambar 4.1.



Fungsi alih dari input (tegangan diterapkan pada elemen pemanas) untuk output (suhu seperti yang terlihat oleh termokopel) adalah menyeruapai bentuk berikut :



H(s) =



Ke  sTd ( s + 1)



Perhatikan bahwa K, Td dan τ semua tergantung pada kecepatan kipas yang



mengubah



transportasi lag dari pemanas ke output yang diukur serta berbagai perpindahan koefisien panas. 4. Perhatikan gambar pendulum berikut.



Jika kita dapatkan fungsi transfer dari U ke Y maka kita memperoleh



G(s) = C(sI - A) 1B =



1 (s 2 - b 2 ) M s 2 (s 2 - a 2 )



Dimana :



a



( M  m) g ;b  Ml



g l



5. Perhatikan gambar motor DC berikut



Motor DC Katakanlah, dari bentuk ilustrasi, bahwa a1 = 2, b0 = 1 (perhatikan bahwa, dalam contoh khususini,a0 = 0). Kemudian menerapkan rumus dari (4.4.1) dan mengambil transformasi Laplace dari model kita memperoleh :



s 2 (s) + 2s (s)-(s + 2) (0 )   (0  ) = Va(s) Fungsi alih dari persamaan di atas adalah :



G(s) =



1 s + 2s 2



6. Sebagai contoh numerik sederhana, anggaplah sebuah loop kontrol umpan balik dengan fungsi transfer sensitivitas komplementer diberikan oleh :



100s 2 + 1 T (s) = 3 s + 3s 2 + 3s + 1 7. Misalakan kontrol umpan balik plant dengan nominal Model Go (s) dengan PI controller, C (s), di mana



1 2s + 1 G o (s) = ;C(s) = s s Kemudian, t menutup tiang loop di (-1, -1) dan controller menjadi nol pada s = -0.5. Persamaan (8.6.12) dengan benar memprediksi overshoot untuk satu desain d.o.f. 1 Namun, jika awalnya kita prefilter referensi oleh H(s) = , kemudian ada 2s+1 overshoot terjadi ketika menanggapi unit perubahan langkah dalam sinyal referensi. Gambar 8.10 menunjukkan tanaman output untuk satu d.o.f. dan dua d.o.f. arsitektur. Perbedaan utama adalah bahwa ada overshoot muncul dengan dua d.o.f. desain, ini adalah karena fakta bahwa sekarang fungsi alih dari R (s) E (s) = R (s)-Y (s) hanya memiliki satu nol pada asal. 8.



(Pendulum



terbalik



tanpa



pengukuran



sistem seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut



sudut).



Misalkan



Dengan menerapkan mekanika metode klasik kita memperoleh (nonlinear) model sebagai berikut



1 f(t) ( + ( (t)) 2lsin (t) . gsin (t)cos (t)) 2  m + sin  (t) m 1 f(t)  (t) = ( cos (t)  ( (t)) 2 lcos (t)sin (t)  (1 +  m)gsin (t)) 2 lm + sin  (t) m y(t) =



Dimana Jika



model



λm



=



nonlinear



M atas



/



m



dan



linierisasi



g



adalah



sekitar



titik



percepatan operasi



gravitasi. θQ



=



0,



yQ = 0 dan FQ = 0, kita memperoleh fungsi alih berikut dari masukan u untuk keluar dari posisi y.



Y (s) (s - b)(s + b) K 2 F(s) s (s - a)(s + a)



9. Misalkan umpan balik yang ditunjukkan pada gambar berikut



Fungsi transfer dari e (t) untuk u (t) dari gambar di atas adalah



U(s) c  E(s) 1 + ([C(s)]-1 -c -1 )c 



c [C(s)]-1 -c



=C(s) Berdasarkan persamaan terbut gambar tersebut bisa dibuat menjadi :



10.



Impedansi kompleks dari suatu rangkaian dua terminal adalah perbandingan antara E [s] (transformasi laplace pada tegangan terminal) dengan I [s] (transformasi laplace dari arus listrik dgn anggapan bahwa semua syarat adalah nol, sehingga :



 E ( s )   I ( s )



Z ( s)  



Pada gambar 2.b, jika EI dan EO dianggap sebagai masukan dan keluaran, maka fungsi alih dari rangkaian adalah :



E0 ( s ) Z 2 ( s)  E1 ( s ) Z1 ( s )  Z 2 ( s) Z1  Ls  R, Z 2 



1 Cs



Sehingga fungsi alih sistem adalah :



1 E0 ( s ) 1 Cs   E1 ( s ) Ls  R  1 LCs  RCs  1 Cs 11. Plant dari Sebuah nominal dimodelkan oleh. pabrik memiliki gangguan output yang diberikan oleh lakukan (t) = k + dv (t), di mana dv (t) adalah berarti nol sinyal dengan energi dalam BdBand:(0,4)[rad/s]. Sebuah umpan balik kontroler C (s) dirancang sehingga :



Sio (s) =



3s (-s + 2)(s 2 + 4s + 3)



Kita butuh To(jω) ≈ 1 (yang, du e ke (5.3.5), siratkan So(jω) ≈ 0) pada ω = 0 dan Bd. Untuk mencapai hal ini, diusulkan pilihan berikut: • α = ω2n • ωn lebih besar dari 4 [rad / s]. Katakanlah ωn = 10 [rad / s] 1 • τ = 0,01 (yang jauh lebih kecil daripada n



Kita kemudian memeriksa nominal kontrol sensitivitas Suo (s). Untuk pilihan di atas dengan begitu kita memiliki



Suo (s) =



To (s) (s + 1)(s + 2) 2 = 25 2 G o (s) (s + 12s + 100)(0.01s+ 1) 2



12. Asumsikan bahwa



3 (s + 4)(-s + 2) -s + 2 C(s) = s G o (s) =



Dapat dilihat bahwa To (s) stabil. Namun masukan sensitivitas gangguan nominal tidak stabil karena



Sio (s) =



3s (-s + 2)(s 2 + 4s + 3)



13. Dalam loop kontrol umpan balik, t merupakan fungsi transfer loop terbuka yang



diberikan



oleh



G o (s)C(s) =



0.5 s(s + 1) 2



dan fungsi transfer alih plant yang benar adalah



G(s) = e-ST G o (s) 14.



Rangkaian pada gambar 1 terdiri dari induktansi L (henry), resistansi R (ohm) dan kapasitansi C (farad). Dengan hukum kirchoff maka diperoleh persamaan:



VL  VR  VC  E1  L



di 1  R.i   i.dt  E1 dt c



1 i.dt  E0 c Dengan mencari transformasi laplace dari persamaan diatas, dengan menganggap syarat awal adalah nol, maka :



LSI ( s)  RI ( s ) 



11 .i ( s )  E1 ( s ) cs



11 .i ( s)  E0 ( s ) cs Jika menganggap EI dianggap sebagai masukan dan E0 sebagai keluaran, maka fungsi alih system diatas :



G(s) 



E0 ( s ) 1  E1 ( s ) LC ( s )  RC ( s )  1



15. (Stable negative real poles–ringing). Cari unit langkah respon dari sistem dengan fungsi alih yang diberikan oleh



G q (z) =



0.5 z + 0.8



Z-transform dari langkah respon, y [k], adalah



Yq (z) =



0.5 0.5z U q (z) = z + 0.5 (z + 0.5)(z - 1)



Perluas dalam pecahan parsial (menggunakan residu perintah MATLAB) kita memperoleh



Yq (z) =



z z 1   y[k] = (1-(-0.5) k [k]) 3(z-1) 3(z + 0.5) 3