Geometri Young [PDF]

Citation preview

Geometri Young Aksioma 1: terdapat minimal satu garis Aksioma 2: terdapat tepat tiga titik pada setiap garis Aksioma 3: tidak semua titik segaris Aksioma 4: terdapat tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda Aksioma 5: Untuk setiap garis



l



dan titik tidak pada



l



terdapat tepat l garis yang melalui



G dan tidak memuat titik pada l



Teorema 1 Young: Di setiap titik terdapat minimal 4 garis. Bukti: Menurut aksioma -1: ada minimal satu garis, sebut garis itu . Menurut aksioma -2: ada tepat 3 titik pada setiap garis. Berarti di l ada 3 titik, sebut titik itu D , E , dan



F .



Menurut aksioma -3: tidak semua titik segaris. Berarti ada titik lain yang tidak tidak pada garis , sebut sembarang titik tersebut adalah G . Menurut aksioma -4: ada tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda. Jadi ada minimal 3 garis melalui sebarang titik G ke 3 titik yang berada di garis l . Menurut aksioma -5: terletak pada titik garis



G



l . Jadi ada satu garis lagi yang terbentuk oleh



berada di garis l . Terbukti: Jadi ada minimal 4 garis di G .



Teorema 2 Young Terdapat tepat 9 titik. Bukti:



sebuah garis yang tidak memuat setiap titik pada G



di titik lain selain 3 titik yang



l1



Berdasarkan aksioma 1 dan 2 garis



tepat memiliki 3 titik.



sedang menurut aksioma 3 tidak semua titik segaris, berarti ada minimal 1 titik yang tidak pada l1



, sebut titik G .



sehingga ada minimal 4 titik. Aksioma -4 menyatakan setiap 2 titik menentukan garis. l Berarti G dan titik-titik pada 1



menentukan garis, yaitu



l2



,



l3



, dan



l4



.



Di setiap garis ini ada tepat 3 titik (aksioma 2). 3 titik ini pasti bukan 4 titik tadi karena untuk setiap 2 titik ada tepat



l



garis, sehingga



minimal ada 7 titik. Menurut teorema 1: di P ada minimal 4 garis. l5



Menurut aksioma 5:



Menurut aksioma 2: di



tidak memotong l5



l1



.



ada tepat 3 titik. Jadi ada minimal 9 titik.



Andai ada titik ke -10 yaitu Q . Menurut aksioma 4: karena kalau Q Sehingga di



G



G



pada l



dan



Q



menentukan 1 garis. Titik



berarti di l



ada lebih dari



l



Teorema 3 Young Terdapat tepat 12 garis.



pasti tidak pada



l ,



ada lebih dari 3 titik. Kontradiksi dengan aksioma 2.



garis yang tidak memuat titik pada



dengan aksioma 5. Jadi tidak ada titik yang ke 10. Terbukti ada tepat 9 titik.



Q



l . kontradiksi



Bukti: Menurut teorema -2 ada tepat 9 titik. Untuk memudahkan kita sebut saja titik-titik itu A , B , C , D , E , F ,G , H , I



berdasarkan aksioma 4 terdapat tepat satu garis pada sebarang dua



titik berbeda Jadi di dapat:



A



A



A



B



B



B



C



C



C



D



G



H



B



D



E



E



D



F



F



E



D



E



H



F



C



G



I



H



I



G



I



G



H



F



I



A



l1



l2



l3



l4



l5



l6



l7







Terdapat tepat 12 garis,



l8



l9



l 10



l 11



l 12