Integral Darboux [PDF]

Citation preview

Integral Darboux



BAB V INTEGRAL DARBOUX Pada tahun 1875, matematikawan I.G. Darboux secara konstruktif memodifikasi definisi integral Riemann dengan terlebih dahulu mendefinisikan jumlah Darboux atas (upper Darboux sum) dan jumlah Darboux bawah (lower Darboux sum), selanjutnya mendefinisikan integral Darboux atas (upper Darboux integral) dan integral Darboux bawah (lower Darboux integral). Pada pembahasan selanjutnya akan didefinisikan integral Darboux dan ekuivalensi integral Darboux dengan integral Riemann. A. Jumlah Darboux Atas dan Jumlah Darboux Bawah Diberikan interval tertutup 𝑎, 𝑏  𝑅, dan f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi bernilai real yang terbatas pada [𝑎, 𝑏]. Jika 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏], maka didefinisikan M = sup 𝑓 𝑖 : 𝑖 ∈ [𝑎, 𝑏] dan m = inf 𝑓 𝑖 : 𝑖 ∈ [𝑎, 𝑏] Keterbatasa fungsi f dapat menjamin eksistensi dua bilangan M dan m tersebut. Selanjutnya untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 didefinisikan 𝑀𝑖 = sup 𝑓 𝑖 : 𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] , 𝑚𝑖 = inf 𝑓 𝑖 : 𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] Dapat dipahami bahwa 𝑚 ≤ 𝑚𝑖 ≤ 𝑓 𝑖 ≤ 𝑀𝑖 ≤ 𝑀 untuk setiap 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. Selanjutnya Jumlah Darboux atas fungsi f terkait dengan partisi P, dinyatakan dengan 𝑈(𝑃; 𝑓), didefinisikan sebagai 𝑛



𝑈 𝑃; 𝑓 =



𝑀𝑖 ( 𝑥𝑖 −𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1



dan Jumlah Darboux bawah fungsi f terkait dengan partisi P, dinyatakan dengan 𝐿(𝑃; 𝑓), didefinisikan sebagai 𝑛



𝐿 𝑃; 𝑓 =



𝑚𝑖 ( 𝑥𝑖 −𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1



… Lemma 5.1 Diberikan 𝑎, 𝑏  𝑅, jika f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terbatas pada [𝑎, 𝑏] dan 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏], maka berlaku 𝐿 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃; 𝑓 . Bukti Diberikan 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏], berdasarkan definisi supremum dan infemum suatu himpunan maka diperoleh 𝑚𝑖 ≤ 𝑀𝑖 untuk setiap 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. Oleh karenanya diperoleh 𝑛



𝐿 𝑃; 𝑓 =



𝑛



𝑚𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) ≤ 𝑖=1



𝑀𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) = 𝑈 𝑃; 𝑓 . 𝑖=1



1



Thobirin - Herawan : Analisis Real II



Integral Darboux Dengan menggunakan definisi yang sama untuk penghalus partisi pada integral Riemann, maka muncul Lemma berikut. Lemma 5.2 Diberikan 𝑎, 𝑏  𝑅, dan f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terbatas pada [𝑎, 𝑏]. Jika 𝑃1 dan 𝑃2 sembarang dua partisi pada [𝑎, 𝑏], dengan 𝑃1  P2 maka berlaku 𝐿 𝑃1 ; 𝑓 ≤ 𝐿 𝑃2 ; 𝑓 𝑑𝑎𝑛 𝑈 𝑃2 ; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃1 ; 𝑓 . Bukti Diberikan 𝑃1 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dan 𝑃2 sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃1  P2 , maka dapat dimengerti bahwa setiap sub interval [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] dalam 𝑃1 pasti memuat titik dari partisi 𝑃2 , minimal 𝑥𝑖−1 dan 𝑥𝑖 itu sendiri. Namakan titiktitik tambahannya tersebut 𝑥𝑖−1 = 𝑡𝑖0 , 𝑡𝑖1 , 𝑡𝑖2 , … , 𝑡𝑖𝑝 𝑖 = 𝑥𝑖 dengan sifat 𝑥𝑖−1 = 𝑡𝑖0 < 𝑡𝑖1 < 𝑡𝑖2 < … < 𝑡𝑖𝑝 𝑖 = 𝑥𝑖 sehingga diperoleh 𝑀𝑖𝑗 = sup 𝑓 𝑖𝑗 : 𝑖𝑗 ∈ [𝑡𝑖(𝑗 −1) , 𝑡𝑖𝑗 ] , dan 𝑚𝑖𝑗 = inf 𝑓 𝑖𝑗 : 𝑖𝑗 ∈ [𝑡𝑖(𝑗 −1) , 𝑡𝑖𝑗 ] , Selanjutnya untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 dan 𝑗 = 1, 2, … , 𝑝𝑖 diperoleh 𝑚𝑖 ≤ 𝑚𝑖𝑗 ≤ 𝑀𝑖𝑗 ≤ 𝑀𝑖 Untuk suku ke i di dalam 𝐿(𝑃1 ; 𝑓) berlaku 𝑝𝑖



𝑚𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 = 𝑚𝑖



𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖



𝑗 −1



𝑝𝑖



=



𝑗 =1



𝑝𝑖



𝑚𝑖 𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖



𝑗 −1



≤



𝑗 =1



𝑚𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖



𝑗 −1



.



𝑗 −1



.



𝑗 =1



Jika hasil tersebut di atas dijumlahkan untuk semua indeks i, maka diperoleh: 𝑛



𝐿 𝑃1 ; 𝑓 =



𝑛



𝑝𝑖



𝑚𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ≤ 𝑖=1



𝑚𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖



𝑗 −1



= 𝐿 𝑃2 ; 𝑓



𝑖=1 𝑗 =1



Terbukti 𝐿 𝑃1 ; 𝑓 ≤ 𝐿 𝑃2 ; 𝑓 . Selanjutnya untuk suku ke i di dalam 𝑈(𝑃1 ; 𝑓) berlaku 𝑝𝑖



𝑀𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 = 𝑀𝑖



𝑝𝑖



𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖



𝑗 −1



=



𝑗 =1



𝑝𝑖



𝑀𝑖 𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖



𝑗 −1



≥



𝑗 =1



𝑀𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖 𝑗 =1



Jika hasil tersebut di atas dijumlahkan untuk semua indeks i, maka diperoleh: 𝑛



𝑈 𝑃1 ; 𝑓 =



𝑛



𝑝𝑖



𝑀𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ≥ 𝑖=1



𝑀𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑖



𝑗 −1



= 𝑈 𝑃2 ; 𝑓



𝑖=1 𝑗 =1



Terbukti 𝑈 𝑃2 ; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃1 ; 𝑓 . Teorema 5.3 Diberikan 𝑎, 𝑏  𝑅, dan f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terbatas pada [𝑎, 𝑏]. Jika 𝑃1 dan 𝑃2 sembarang dua partisi pada [𝑎, 𝑏], maka berlaku 𝐿 𝑃1 ; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃2 ; 𝑓 . Bukti 2



Thobirin - Herawan : Analisis Real II



Integral Darboux Dibentuk 𝑃 = 𝑃1 ∪ 𝑃2 , maka 𝑃1  𝑃 dan 𝑃2  𝑃, sehingga berdasarkan Lemma 5.2 diperoleh 𝐿 𝑃1 ; 𝑓 ≤ 𝐿 𝑃; 𝑓 dan 𝑈 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃2 ; 𝑓 . Berdasarkan Lemma 5.1 diperoleh 𝐿 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃; 𝑓 . Akibatnya diperoleh 𝐿 𝑃1 ; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃2 ; 𝑓 . B. Integral Darboux Atas dan Integral Darboux Bawah Ingat, P [𝑎, 𝑏] dimaksudkan sebagai himpunan semua partisi pada 𝑎, 𝑏 . Selanjutnya integral Darboux atas fungsi f pada interval 𝑎, 𝑏 , dinotasikan dengan 𝑈(𝑓) atau 𝐷



𝑏 𝑎



𝑓 𝑥 𝑑𝑥 didefinisikan



sebagai 𝑈 𝑓 =𝐷



𝑏 𝑎



𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = inf { 𝑈 𝑃; 𝑓 : P  P [𝑎, 𝑏]}



integral Darboux bawah fungsi f pada interval 𝑎, 𝑏 , dinotasikan dengan 𝐿(𝑓) atau 𝐷



𝑏 𝑎



𝑓 𝑥 𝑑𝑥



didefinisikan sebagai 𝐿 𝑓 =𝐷



𝑏 𝑓 𝑎



𝑥 𝑑𝑥 = sup { 𝐿 𝑃; 𝑓 : P  P [𝑎, 𝑏]}



Teorema 5.4 Diberikan 𝑎, 𝑏  𝑅, dan f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terbatas pada [𝑎, 𝑏]. Jika fungsi f terintegral Darboux atas dan terintegral Darboux bawah pada interval [𝑎, 𝑏], maka 𝐿 𝑓 ≤𝑈 𝑓 . Bukti Diketahui fungsi f terintegral Darboux atas dan terintegral Darboux bawah, artinya dapat dipilih sembarang partisi 𝑃1  P [𝑎, 𝑏] dan 𝑃2  P [𝑎, 𝑏]. Dipilih 𝑃 = 𝑃1 ∪ 𝑃2 , maka berdasarkan Lemma 5.2 dan Teorema 5.3 berlaku 𝐿 𝑃1 ; 𝑓 ≤ 𝐿 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃2 ; 𝑓 . Jadi bilangan real 𝑈 𝑃2 ; 𝑓 merupakan suatu batas atas dari { 𝐿 𝑃; 𝑓 : P  P [𝑎, 𝑏]}. Akibatnya 𝐿 𝑓 = sup { 𝐿 𝑃; 𝑓 : P  P [𝑎, 𝑏]} ≤ 𝑈 𝑃2 ; 𝑓 Demikian pula, 𝐿 𝑓 merupakan batas bawah dari { 𝑈 𝑃; 𝑓 : P  P [𝑎, 𝑏]}, sehingga 𝐿 𝑓 ≤ inf { 𝑈 𝑃2 ; 𝑓 : P  P [𝑎, 𝑏]} = 𝑈 𝑓 . Terbukti 𝐿 𝑓 ≤𝑈 𝑓 . Dari uraian di atas, selanjutnya diberikan definisi integral Darboux sebagai berikut.



C. Integral Darboux Definisi 5.5 Fungsi bernilai real dan terbatas f : [𝑎, 𝑏]  R dikatakan terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏], jika 𝐿 𝑓 =𝑈 𝑓 atau 𝑏



𝐷



𝑏



𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐷 𝑎



𝑏



𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐷 𝑎



𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎



Teorema berikut menyatakan suatu criteria yang harus dipenuhi oleh fungsi f : [𝑎, 𝑏]  R supaya terintegral Darboux pada interval [𝑎, 𝑏] tanpa harus mengetahui (menghitung) nilai integralnya. 3



Thobirin - Herawan : Analisis Real II



Integral Darboux Teorema 5.6 (Kriteria Riemann untuk integral Darboux) Fungsi bernilai real dan terbatas f : [𝑎, 𝑏]  R terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika untuk setiap bilangan 𝜀 > 0, terdapat partisi Riemann 𝑃𝜀 pada [𝑎, 𝑏] sehingga untuk setiap partisi Riemann P pada interval [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃𝜀  𝑃, berlaku 𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 < 𝜀. Bukti Syarat perlu: Diketahui fungsi f : [𝑎, 𝑏]  R terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏], berarti 𝐿 𝑓 = 𝑈 𝑓 . Diberikan sembarang bilangan 𝜀 > 0, berdasarkan definisi 𝑈 𝑓 maka terdapat partisi Riemann 𝑃1 pada [𝑎, 𝑏] sehingga 𝜀 𝑈 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃1 ; 𝑓 < 𝑈 𝑓 + 2 Karena 𝐿 𝑓 = 𝑈 𝑓 maka berlaku 𝜀 𝐿 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃1 ; 𝑓 < 𝐿 𝑓 + 2 Selanjutnya, untuk bilangan 𝜀 > 0 tersebut, berdasarkan definisi 𝐿 𝑓 maka terdapat partisi Riemann 𝑃2 pada [𝑎, 𝑏] sehingga 𝜀 𝐿 𝑓 − < 𝐿 𝑃2 ; 𝑓 ≤ 𝐿 𝑓 . 2 Berdasarkan Teorema 5.3, berlaku 𝐿 𝑃2 ; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃1 ; 𝑓 . Oleh karena itu, diperoleh 𝜀 𝜀 𝐿 𝑓 − < 𝐿 𝑃2 ; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃1 ; 𝑓 < 𝐿 𝑓 + 2 2 Dipilih 𝑃𝜀 = 𝑃1 ∪ 𝑃2 , maka 𝑃1  𝑃𝜀 dan 𝑃2  𝑃𝜀 , sehingga berdasarkan Lemma 5.2 diperoleh 𝜀 𝜀 𝐿 𝑓 − < 𝐿 𝑃2 ; 𝑓 ≤ 𝐿 𝑃𝜀 ; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃𝜀 ; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃1 ; 𝑓 < 𝐿 𝑓 + 2 2 Akibatnya 𝜀 𝜀 𝐿 𝑓 − < 𝐿 𝑃𝜀 ; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃𝜀 ; 𝑓 < 𝐿 𝑓 + . 2 2 Selanjutnya jika diambil sembarang partisi Riemann P pada interval [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃𝜀  𝑃, berlaku 𝜀 𝜀 𝐿 𝑓 − < 𝐿 𝑃𝜀 ; 𝑓 ≤ 𝐿 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃𝜀 ; 𝑓 < 𝐿 𝑓 + 2 2 maka didapat 𝜀 𝜀 𝐿 𝑓 − < 𝐿 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃; 𝑓 < 𝐿 𝑓 + 2 2 Akhirnya diperoleh 𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 < 𝜀. Syarat cukup: Diketahui untuk setiap bilangan 𝜀 > 0, terdapat partisi Riemann 𝑃𝜀 pada [𝑎, 𝑏] sehingga untuk setiap partisi Riemann P pada interval [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃𝜀  𝑃, berlaku 𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 < 𝜀. Ini ekuivalen dengan 𝑈 𝑃; 𝑓 < 𝐿 𝑃; 𝑓 + 𝜀. Berdasarkan definisi 𝐿 𝑓 dan 𝑈 𝑓 , maka untuk setiap partisi Riemann P pada [𝑎, 𝑏] berlaku 𝑈 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃; 𝑓 dan 𝐿 𝑃; 𝑓 ≤ 𝐿 𝑓 , sehingga diperoleh 𝑈 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃; 𝑓 < 𝐿 𝑃; 𝑓 + 𝜀 ≤ 𝐿 𝑓 + 𝜀 4



Thobirin - Herawan : Analisis Real II



Integral Darboux Diperoleh 𝑈 𝑓 0 diambil sembarang maka didapatkan 𝑈 𝑓 ≤𝐿 𝑓 Berdasarkan hasil ini dan Teorema 5.4 diperoleh 𝐿 𝑓 = 𝑈 𝑓 . Terbukti f terintegral Darboux. Akibat 5.7 Diberikan fungsi bernilai real dan terbatas f : [𝑎, 𝑏]  R, jika 𝑃𝑛 barisan partisi Riemann pada interval [𝑎, 𝑏] dengan lim 𝑈 𝑃𝑛 ; 𝑓 − 𝐿 𝑃𝑛 ; 𝑓 = 0, maka f terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏] dan 𝑏



lim 𝑈 𝑃𝑛 ; 𝑓



= 𝐷



𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝐿 𝑃𝑛 ; 𝑓 . 𝑎



Bukti untuk latihan. Teorema berikut ini menyatakan bahwa integral Riemann dan integral Darboux ekuivalen. Teorema 5.8 Diberikan f : [𝑎, 𝑏]  R suatu fungsi bernilai real dan terbatas, f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika f terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏]. Bukti Syarat perlu: Diketahui fungsi f : [𝑎, 𝑏]  R terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏], berarti terdapat bilangan 𝐴=𝑅



𝑏 𝑓 𝑎



𝑥 𝑑𝑥, artinya untuk sembarang bilangan 𝜀 > 0, terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga untuk



setiap 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃 < 𝛿 berlaku 𝑛



𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴
0 terdapat 𝛿 > 0 demikian sehingga untuk setiap partisi Riemann P pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃 < 𝛿 berlaku 𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 < 𝜀. Di lain pihak untuk sembarang partisi P pada [𝑎, 𝑏] berlaku 𝐿 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑆 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃; 𝑓 , Sehingga diperoleh 𝑆 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 ≤ 𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 < 𝜀 Akibatnya 𝑆 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 < 𝜀 Terbukti f terintegral Riemann. Telah dibuktikan bahwa integral Riemann dan integral Darboux ekuivalen, maka sifat-sifat dasar integral Riemann yang telah dibahas pada bab IV sebelumnya, yaitu ketungalan nilai integral, kelinearan, serta keterbatasan fungsinya berlaku pula pada integral Darboux, sehingga untuk menguji suatu fungsi terintegral Riemann ataukah tidak, dapat ditunjukkan dengan menggunakan integral Darboux.



6



Thobirin - Herawan : Analisis Real II