Jarak Antara Dua Garis Yang Bersilangan [PDF]

Citation preview

JARAK ANTARA DUA GARIS YANG BERSILANGAN Dua garis dikatakan bersilangan satu sama lain jika keduanya tidak sejajar dan tidak terletak pada satu bidang. H E



G F



D A



C B



Gambar 1. Kubus ABCD.EFGH



Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. Garis AE dan GH merupakan contoh pasangan garis yang saling bersilangan. Jika garis AE dan GH diperpanjang hingga sepanjang apapun maka kedua garis ini tidak akan pernah berpotongan satu dengan lainnya. Untuk menentukan jarak antara dua garis yang bersilangan dapat digunakan langkah-langkah berikut:



Cara 1: (1) Misalkan garis g dan h saling bersilangan satu sama lain. Lukis garis g' // g dan g' berpotongan dengan h. (2) Buat bidang 𝛼 yang memuat g' dan h. (3) Tentukan satu titik sebarang pada g, misalkan titik X. Proyeksikan titik X pada 𝛼 sehingga diperoleh titik X1. Akibatnya XX1 ⊥ g dan XX1 ⊥ 𝛼. (4) Buat garis g''//g' melalui titik X1. Misalkan g'' berpotongan dengan h di titik P. (5) Tarik garis // XX1 melalui titik P sehingga memotong g di titik Q. (6) PQ jarak garis g dan h.



g



X Q



g"







P



g'



X1



h



Gambar 2. Jarak antara garis g yang bersilangan dengan garis h



Cara 2: Jika garis g dan h bersilangan secara tegak lurus, maka jarak antara keduanya dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut: (1) Lukislah bidang 𝛼 yang memuat garis g, 𝛼 ⊥ ℎ. (2) Misalkan 𝛼 ⊥ ℎ di P. (3) Buat garis ⊥ g melalui titik P, misalkan garis tersebut memotong g di titik Q. (4) Jarak garis g dan h = panjang PQ. h



P







g Q



Gambar 3. Jarak antara garis g yang bersilangan tegak lurus dengan garis h



Cara 3: (1) Misalkan garis g dan h saling bersilangan satu sama lain. Lukis garis g' // g, g' berpotongan dengan h. Buat garis h' // h, h' berpotongan dengan g. (2) Buat bidang 𝛼 yang memuat g’ dan h. Buat bidang 𝛽 yang memuat h’ dan g. Akibatnya 𝛼 // 𝛽. (3) Jarak garis g dan h = jarak bidang 𝜶 dan 𝜷. (4) Tentukan satu titik sebarang pada g, misalkan titik X. Proyeksikan titik X pada 𝛼 sehingga diperoleh titik X1. Akibatnya XX1 ⊥ g dan XX1 ⊥ 𝛼.



(5) Buat garis g'' // g' melalui titik X1 dan g" berpotongan dengan h. Misalkan g" berpotongan dengan h di titik P. (6) Tarik garis // XX1 melalui titik P sehingga memotong g di titik Q. (7) PQ jarak garis g dan h.







h'



Q







h



P



g"



X



g



X1



g'



Gambar 4. Jarak dua garis bersilangan g dan h



Contoh: Dipunyai kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan dan lukiskan: a. Jarak garis CE ke BG b. Jarak garis BG ke CH c. Jarak garis EG ke BD d. Jarak garis EG ke BF Penyelesaian: a. Jarak garis CE ke BG H



G F



E



Q



P D A



C O



B



Penyelesaian: 1. CE ⊥ BDG sehingga CE ⊥ semua garis di BDG. BG di BDG, maka CE ⊥ BG. Misalkan CE menembus BDG di titik P.



2. P merupakan titik berat ∆ BDG. Buat garis ⊥ BG melalui titik P, yaitu DQ. DQ ⊥ BG. Jarak CE ke BG = panjang PQ. 3. Karena P merupakan titik berat ∆ BDG, maka DP : PQ = 2 : 1. 𝐵𝐷2 − 𝐵𝑄 2 =



𝐷𝑄 = 1



6 2



2



− 3 2



2



= 54 = 3 6.



1



𝑃𝑄 = 3 𝐷𝑄 = 3 . 3 6 = 6. 4. Jadi, jarak garis CE ke BG = 6 cm. b. Jarak garis BG ke CH Penyelesaian: 1. Buat garis BG dan CH. 2. Buat bidang yang memuat BG, buat bidang yang memuat CH dan sejajar bidang yang memuat BG. Bidang yang memuat BG = BEG, bidang yang memuat CH = ACH. BEG // ACH. H



G



P F



E



X1



X



X2



Y1



Y



Y2 D A



C O B



3. Jarak garis BG ke CH = jarak bidang BEG ke ACH. 4. Garis DF ⊥ BEG, sehingga DF ⊥ ACH. Misalkan garis DF menembus BEG di titik X dan menembus ACH di titik Y. Jarak BEG ke ACH = panjang XY. 5. Buat garis // EG melalui titik X, misalkan garis tersebut memotong BG di X1 dan memotong BE di X2. Maka X1X2 // EG. 6. Buat garis // AC melalui titik Y, misalkan garis tersebut memotong CH di Y1 dan memotong AH di Y2. Maka Y1Y2 // AC. 7. Terbentuk jajar genjang X1X2Y2Y1. 1



1



8. Jarak garis BG ke CH = X1Y1 = XY = 3 DF =3 . 6 3 = 2 3.



c. Jarak garis EG ke BD Penyelesaian: 1. Buat bidang yang memuat BD dan sejajar EG, yaitu ABCD. 2. BD di ABCD, AC // EG, AC di ABCD. 3. Jarak EG ke BD = OP = AE = 6 cm. H



G P



E



F



D



C O



A



B



d. Jarak garis EG ke BF Penyelesaian: 1. Buat bidang memuat EG dan ⊥ BF, yaitu EFGH. 2. Proyeksi BF pada EFGH adalah F. Tarik garis ⊥ EG melalui titik F, diperoleh garis FH. FH berpotongan dengan EG di P sehingga FP ⊥ EG. H



G



P F



E



D A



3. Jarak garis BF ke EG = FP =



C B



1 2



HF = 3 2 cm.