Rumus Jarak Antara Dua Titik [PDF]

Citation preview

Rumus Jarak antara Dua Titik-ditemui dalam dimensi dua maupun dalam ruang dimensi tiga. Partner Studi Matematika akan membedah secara rinci.



Rumus Jarak antara Dua Titik 1.      Jarak antara dua titik dalam koordinat kartesius Jarak antara dua titik dapat ditentukan dengan menggunakan aturan Teorema Pythagoras. Pada dimensi dua, jarak dua titik dapat ditentukan sebagai berikut.



Misalkan diberikan dua titik A(x1, y1) dan B(x2, y2). Jarak titik A dan B dapat ditentukan dengan bantuan segitiga siku-siku yaitu dengan membuat garis sejajar sumbu x yang melalui A dan garis sejajar sumbu y melalui B. keduanya berpotongan di titik C sehingga terbentuk segitiga siku-siku ABC yang siku-siku di C. Panjang sisi AC merupakan selisih absis dari kedua titik, sedangkan panjang sisi BC merupakan selisih dari ordinat kedua titik. Sehingga didapatkan :



Sebagai contoh:



2.      Jarak antara dua titik sudut dalam bangun ruang Diberikan contoh menentukan jarak antara dua titik sudut pada sebuah kubus berikut ini. 



Tentukan jarak: a.       Titik A dan titik C b.      Titik E dan titik C



Jawab: a.       Apabila ditarik garis dari titik A ke titik C maka akan terbentuk garis AC yang         merupakan diagonal sisi ABCD. Sisi ABCD adalah persegi dengan panjang sisi 8 cm.



     b. Apabila ditarik garis dari titik C ke titik E maka akan terbentuk garis CE yang merupakan           diagonal ruang kubus ABCDEFGH.



Sekian pembahasan mengenai Rumus Jarak antara Dua Titik beserta penerapannya. Semoga bermanfaat. Salam Matematika !!



Rangkuman Materi Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang Lengkap pada Thursday, October 13, 2016 Selamat datang bagi teman - teman di Materi Matematika, Pada kesempatan kali ini kami akan berbagi dengan teman teman di manapun kalian berada, tentang materi pelajaran matematika yang kami beri judul Rangkuman Materi Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang Lengkap, Semoga pembahasan yang kami tulis ini dapat menjadi acuan kalian semua dalam belajar Matematika . materi matematika kelas 12 smp 4 kurikulum 2013 sma 10 semester 1.



hubungan antar garis limit fungsi bunga pertumbuhan dan peluruhan bilangan bulat berpangkat barisan deret bangun datar ruang sisi lengkung bola cos kombinasi contoh soal yang cocok untuk pendekatan scientific open ended tes cerdas cermat statistika counting sin tan paket c cacah model pembelajaran jigsaw pbl cerita tentang cosinus sbmptn dimensi tiga. Berikut Ini Rangkuman Materi Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang Lengkap Selengkapnya



Rangkuman Materi Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang Lengkap Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang - Dalam artikel kali ini akan dijelaskan beberapa kemungkinan yang terjadi untuk kedudukan titik terhadap titik, garis, ataupun bidang. Agar kalian bisa memahami materi ini, perhatikan baik - baik penjelasan di bawah ini. Jarak Titik ke Titik Yang Lain Coba kalian amati gambar berikut ini :



Dalam gambar di atas terdapat dua buah titik, yaitu titik A dan titik B. Jarak kedua titik tersebut bisa ditentukan dengan cara menghubungkan titik A dan titik B dengan menggunakan sebuah garis. Panjang garis itulah yang menentukan jarak kedua titik tersebut. Sehingga, jarak dari titik A dengan titik B merupakan panjang ruas garis yang menghubungkan keduanya. Perhatikan baik - baik contoh soal berikut ini : Contoh Soal 1 :



Jika diketahui panjang rusuk pada kubus di atas adalah 6 cm dan titik X adalah pertengahan antara rusuk AB. Maka hitunglah jarak : a. Titik H ke titik A b. Titik H ke titik X c. Titik H ke titik B d. Titik E ke titik X Penyelesaiannya : a. Titik H ke titik A adalah panjang garis AH. Garis AH merupakan panjang diagonal sisi pada kubus tersebut, maka kita bisa menggunakan teorema phytagoras berikut ini : A = √(EH2 + AE2)    = √(62 + 62)    = √(36 + 36)    = √72    = 6√2 b. Jarak titik H ke titik X adalah panjang garis HX. Panjang AX sama dengan setengah dari panjang rusuk AB, maka : AX = 1/2 AB = 1/2 x 6 cm = 3 cm dengan mengunakan teorema phytagoras : HX = √(AH2 + AX2)       = √((6√2)2 + 32)



      = √(72 + 9)       = √81       = 9 cm c.  Jarak titik H ke titik B adalah panjang garis BH. Garis BH merupakan panjang diagonal ruang pada kubus tersebut, oleh karenanya kita bisa menggunakan teorema phytagoras : BH = √(AH + AB)       = √((6√2)2 + 62)       = √(72 + 36)       = √108       = 6√3 cm d. Jarak titik E ke titik X adalah panjang garis EAX. Panjang AX sama dengan setengah dari panjang rusuk AB, maka : AX = 1/2 AB = 1/2 x 6 cm = 3 cm Dengan menggunakan teorema phytagoras : EX = √(AE2 + AX2)       = √(62 + 32)       = √(36 + 9)       = √45       = 3√5 cm Jarak Titik ke Garis Perhatikan baik - baik gambar di bawah ini :



Pada ambar di atas terdapat titik A dan garis g. Jarak antara titik A denan garis  diperoleh dengan menarik garis dari titik A ke garis , garis tersebut berhenti di titik P sehingga terciptalah garis AP yang tegak lurus terhadap garis g. Jarak dari titik A ke garis g merupakan panjang dari garris AP.



Sehingga, jarak antara titik dengan garis adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut secara tegak lurus terhadap garis tersebut. Perhatikan contoh soal di bawah ini : Contoh Soal 2 : Perhatikan gambar berikut :



Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm dan titik X merupakan pertengahan diantara rusuk AB, maka hitunglah : a. Jarak titik X ke garis DE b. Jarak titik X ke garis CE Penyelesaiannya : Terlebih dahulu kita buatkan gambar seperti ini :



a. Jarak titik X ke garis DE adalah panjang garis dari titik X ke titik M yang posisinya tegak lurus terhadap garis DE, seperti pada gambar berikut ini :



DE = AH dan ME = 1/2 DE = 1/2 AH = 1/2 6√2 = 3√2 Dengan menggunakan teorema phytagoras : MX = √(EX2 - ME2)        = √((3√5)2  - (3√2)2)        = √(45 - 18)        = √27        = 3√3 b. Jarak titik X ke garis CE adalah panjang garis dari titik X ke titik N yang posisinya tegak lurus terhadap garis CE, seperti pada gambar berikut ini :



CE = BH dan NE = 1/2 C = 1/2 BH = 1/2 6√3 = 3√3 Dengan menggunakan teorema phytagoras : NX = √(EX2 - NE)2       = √((3√5)2 - (3√3)2)       = √(45 - 27)       = √18       = 3√ 2 Jarak Titik ke Bidang Perhatikan baik - baik gambar di bawah ini :



Di dalam gambar di atas terdapat sebuah titik A dan bidang α. Jarak dari titik A ke bidang α bisa diketahui dengan cara menghubungkan titik A secara tegak lurus dengan bidang α. Sehingga, jarak dari suatu titik ke suatu bidang merupakan jarak dari titik tersebut ke proyeksinya pada bidang itu. Perhatikan baik - baik contoh soal berikut ini : Contoh Soal 3 : Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini :



Jika diketahui panjang rusuk kubus di atas adalah 6 cm dan titik X adalah pertengahan antara rusuk AB. Maka hitunglah jarak dari titik X ke bidang CDEF! Penyelesaiannya : Buatlah gambar seperti di bawah ini :



Jarak titik X ke bidang CDEF adalah panjang garis dari titik X ke titik Z yang tegak lurus terhadap bidang CDEF. XZ = 1/2 AH = 1/2 6√2 = 3√2 cm.



   



About Contact Us Privacy Policy Disclaimer



Materi Mafia Online       



Home MATH SMP MATH SMA FISIKA SMP FISIKA SMA KIMIA SMP KIMIA SMA



Search...



Home » Soal dan Cara Cepat Ruang Tiga Dimensi » Contoh Soal dan Pembahasan Menghitung Jarak Titik ke Bidang Pada Kubus



Contoh Soal dan Pembahasan Menghitung Jarak Titik ke Bidang Pada Kubus Soal dan Cara Cepat Ruang Tiga Dimensi Iklan Agar lebih mudah memahami contoh soal di bawah ini, alangkah baiknya jika anda sudah memahami cara menghitung jarak dari titik ke suatu bidang pada kubus (silahkan baca: cara menghitung jarak titik ke titik, garis, dan bidang). Jika sudah paham dengan materinya, silahkan simak dan pahami contoh soal di bawah ini.



Contoh Soal 1 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak titik B ke bidang BDG dan titik A ke bidang AFH.



Penyelesaian:



Untuk memudahkan menyelesaikan soal ini kita gambar dulu bentuk kubusnya, seperti gambar di bawah ini.



P merupakan titik perpotongan antara diagonal AC dan BD maka, Panjang AC yakni: AC = s√2 AC = 12√2 cm



Panjang PC yakni: PC = ½AC = 6√2 cm



Panjang PG (dengan teorema Pythagoras) yakni: PG2 = PC2 + CG2 PG2 = (6√2)2 + 122 PG2 = 72 + 144 PG = √216 PG = 6√6 cm



Iklan Dengan menggunakan kesebangunan segitiga maka ΔCPX sebagun dengan ΔPCG, maka: PC/PG = CX/CG 6√2/6√6 = CX/12 √2/√6 = CX/12 CX = 12√2/√6 CX = 12/√3 CX = 4√3 cm



Contoh Soal 2 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik B ke bidang AFH.



Penyelesaian: Kita gambar dulu bentuk kubusnya, maka akan tampak seperti gambar di bawah ini:



P merupakan titik perpotongan antara diagonal EG dan FH dan CX merupakan jarak antara bidang AFH dengan titik C, maka, Panjang AC yakni: AC = s√2 AC = 6√2 cm



Panjang EP yakni: EP = ½AC = 3√2 cm



Panjang CP = AP yakni: AP2 = AE2 + EP2 AP2 = 62 + (3√2)2 AP = √54 AP = 3√6 cm



Perhatikan ΔACP, merupakan segitiga sama kaki dengan tinggi sama dengan panjang rusuk kubus. Dengan menggunakan perbandingan luas segitiga maka: L.ΔACP = L.ΔACP ½ AC.AE = ½ AP.CX CX = AC.AE/AP CX = 6√2 . 6/3√6 CX = 12/√3 CX = 4√3 cm



Pendidikan Matematika Sumber belajar matematika online



Lanjut ke konten  



Produk Materi SD



      



Materi SMP Materi SMA Topik Matematika Arsip Soal Perpustakaan Forum Tentang Blog Kami



← Aturan L’Hôpital Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) →



Jarak Titik dan Garis Posted on 20 September 2013 by Yosep Dwi Kristanto Jarak merupakan salah satu permasalahan matematika yang sering dijumpai di sekitar kita. Jarak dapat diukur di antara dua objek, seperti rumah dengan kantor pos, rumah sakit dengan jalan raya, dan jalan raya dengan jalan raya lainnya. Pada pembahasan ini hanya akan dibahas mengenai jarak antara dua objek yang berupa titik dan garis lurus. Perhatikan contoh permasalahan berikut.



Seperti terlihat pada gambar di atas, Vihara Dharma Agung terletak pada koordinat (71, 76) dan Jalan Sungai Kelara berupa garis lurus dengan persamaan 5x – 8y – 280 = 0 (satuan dalam meter). Bagaimana cara mengukur jarak antara vihara dengan jalan tersebut? Salah satunya adalah dengan menggunakan rumus jarak antara titik dengan garis lurus. Menemukan Rumus Jarak Titik dengan Garis



Misalkan akan ditentukan jarak antara titik A(a, b) dengan garis lurus yang memiliki persamaan px + qy + r = 0. Perhatikan gambar berikut.



Perlu diingat bahwa jarak dua objek adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan kedua objek tersebut. Karena ruas garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 dan memiliki ujung di titik A dan ujung satunya di garis tersebut merupakan lintasan terpendek yang menghubungkan titik dan garis tersebut, maka panjang dari ruas garis tersebut, yaitu d, adalah jarak titik A terhadap garis px + qy + r = 0. Karena px + qy + r = 0 ó y = −(p/q)x – (r/q) maka gradien garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 adalah q/p, karena −(p/q) × q/p = −1. Selain tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0, garis tersebut juga melalui titik A(a, b), sehingga



Diperoleh, persamaan garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 dan melalui titik A(a, b) adalah



Setelah persamaan garisnya diperoleh, titik potong garis px + qy + r = 0 dan garis tersebut dapat ditentukan. Pertama, tentukan nilai absisnya, x2,  terlebih dahulu.



Selanjutnya, kita tentukan nilai dari ordinatnya (y2).



Setelah koordinat (x2, y2) sudah ditemukan, maka selanjutnya kita tentukan jarak antara titik tersebut dengan titik A(a, b), dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,



Agar lebih sederhana, kita tentukan x2 – x1 dan y2 – y1 terlebih dahulu, yaitu



dan,



Sehingga jarak antara titik (x2, y2) dan A(a, b) dapat ditentukan sebagai berikut.



Sehingga kita telah memperoleh rumus untuk menentukan jarak antara suatu titik dengan garis lurus, yang dapat dituliskan seperti berikut. Jarak antara titik yang memiliki koordinat (a, b) dengan garis lurus yang persamaannya px + qy + r = 0, adalah



Setelah kita menentukan rumusnya, sekarang kita akan coba untuk menghitung jarak antara Vihara Dharma Agung dan Jalan Sungan Kelara pada permasalahan di awal.



Jadi, jarak antara Vihara Dharma Agung dan Jalan Sungan Kelara adalah sekitar 56,5 meter. Selanjutnya perhatikan contoh soal berikut. Contoh Soal: Menentukan Jarak antara Titik dan Garis Lurus Tentukan jarak antara titik yang memiliki koordinat (−2, 3) dan garis yang memiliki persamaan 3x – 4y – 7 = 0. Pembahasan Substitusi a = −2, b = 3, p = 3, q = −4, dan r = −7 ke rumus jarak titik dan garis.



Jadi, jarak antara titik yang memiliki koordinat (−2, 3) dan garis yang memiliki persamaan 3x – 4y – 7 = 0 adalah 5 satuan panjang.