Kinematika Zat Cair [PDF]

Citation preview

Bab V. Kinematika Zat Cair 5.1. Pendahuluan. Kinematika aliran mempelajari gerak partikel zat cair tanpa meninjau gaya yang menyebabkan gerak tersebut. Dalam hal ini dipelajari kecepatan setiap titik dalam medan aliran dalam setiap saat. Dalam aliran zat cair gerak partikel sulit diikuti, oleh karena itu biasanya ditentukan kecepatan pada suatu titik sebagai fungsi waktu. Setelah kecepatan didapat sebagai fungsi waktu → v = f(t) , maka dapat diketahui distribusi tekanan dan gaya yang bekerja. Konsep aliran fluida / zat cair dideskripsikan dari gerakan, aliran dan klasifikasi temporal dan spatial dari fluida. Sedangkan metoda analisis dengan Lagrangian dan Eulerian (metoda Lagrang dan metoda Euler). Dua cara untuk menjelaskan gerak fluida Lagrangian (metoda Lagrang) Mengikuti partikel bergerak Eularian (metoda Euler) Melihat fluida melewati titik atau seluruh medan tertentu Pola aliran Garis arus (streamlines) – kecepatan menyinggung garis aliran



V



dx dy dz i j k dt dt dt



V  ui  vj  wk



Gambar 5.1. Pola Aliran 5.2. Macam Aliran Aliran fluida / zat cair dapat diklasifikasikan sebagai berikut : 1. Aliran invisid dan viskos 2. Aliran kompresibel dan tak kompresibel 3. Aliran laminer dan turbulen 4. Aliran mantap (steady flow) dan tak mantap (unsteady flow) 5. Aliran seragam dan tak seragam 6. Aliran satu, dua dan tiga dimensi 7. Aliran rotasional dan tak rotasional.



5.2.1. Aliran invisid dan viskos Aliran invisid adalah aliran dimana kekentalan zat cair dianggap nol (zat cair ideal). Sebenarnya zat cair dengan kekentalan nol tidak ada namun anggapan ini akan sangat berguna dalam menyederhanakan analisis yang sangat komplek dalam hidrolika. Karena zat cair tidak mempunyai kekentalan maka tidak ada gesekan antara dinding dengan zat cair maupun dengan antar zat cair. Air mempunyai kekentalan yang sangat kecil maka anggapanan ini mendekati benar. Aliran viskos adalah alirandimana kekentalan zat cair diperhitungkan (zat cair riil). Keadaan ini yang menyebabkan timbulnya tegangan geser antara partikel yang bergerak dengan kecepatan berbeda. Apabila zat cair mengalir melali bidang batas yang diam maka zat cair yang berhubungan langsung dengan bidang batas kecepatannya nol,makin jauh dari bidang batas makin besar kecepatannya. 5.2.2. Aliran kompresibel dan tak kompresibel Semua fluida termask zat cair adalah kompresibel sehingga rapat massa berubah dengan adanya perubahan tekanan. Pada aliran mantap dengan perubahan rapat massa kecil, maka dilakukan penyederhanaan dengan menganggap bahwa zat cair tak kompresibel dengan rapat massa konstan. Tetapi pada aliran tak mampat sering terjadi perubahan tekanan yang besar, maka kompresilitas zat cair tidak dapat diabaikan. Untuk gas dimana kemampatan sangat besar, maka perubahan rapat massa karena perubahan tekanan harus diperhitungkan. 5.2.3. Aliran seragam dan tidak seragam Aliran seragam (uniform flow) adalah aliran yang tidak ada perubahan besar dan arah kecepatan dari satu titik ke titik yang lain di sepanjang aliran. Demikian juga dengan variabel yang lain seperti tekanan, rapat massa, kedalaman, debit dsb. Sedangkan aliran tidak seragam (non uniform flow) terjadi jika smua variabel aliran berubah dengan jarak. Aliran seragam V  0 s



Aliran tidak seragam



V  0 s



5.2.4. Aliran mantap dan tidak mantap Aliran mantap (steady flow) adalah aliran dimana variable aliran seperti kecepatan, tekanan, rapat massa, penampang melintang, debit di sebarang titik pada zat cair tidak berubah dengan waktu. Sedangkan aliran tak mantap (unsteady flow) terjadi jika variable aliran pada setiap titik berubah dengan waktu. Aliran mantap



V 0 t



Aliran tidak mantap



V  0 t



5.2.5. Aliran laminer dan turbulen Aliran laminer adalah aliran apabila partikel zat cair bergerak teratur dengan membentuk garis lintasan kontinu dan tidak saling berpotongan. Sedang aliran turbulen , partikel zat cair bergerak tidak teraur dan garis lintasannya saling berpotongan. Aliran di sungai, saluran irrigáis dan di laut adalah contoh aliran turbulen.



a) Laminer



(b) Turbulen



5.2.6. Aliran satu , dua, dan tiga dimensi. Dalam alira satu dimensi (1-D), kecepatan di setiap titik pada penampang melintang adalah sama. Walaupun aliran semacam ini jarang terjadi, namun dalam analisis hidrolika justru aliran tiga dimensi (3-D) disederhanakan menjadi aliran 1-D. Penyederhanaan ini berdasarkan anggapan mengabaikan perubahan kecepatan vertikal dan melintang terhadap kecepatan arah memanjang. Dalam aliran dua dimensi (2-D), semua partikel ianggap mengalir dalam bidang sepanjang aliran, sehingga tidak ada aliran tegak lurus bidang tersebut. Sedang aliran tiga dimensi (3-D) komponen kecepatan adalah fungsi koordinat ruang x, y dan z. 5.2.7. Aliran rotasional dan tak rotasional. Aliran rotasional adalah aliran dimana setiap partikel zat cair mempunyai kecepatan sudut terhadap pusat massanya. Sedangkan pada aliran tak rotasional partikel zat cair tidak berotasi terhadap pusat massanya. Seperti pada aliran di dekat dinding batas dimana kecepatan merata sehingga tidak terjadi rotasi. 5.3. Metoda deskripsi aliran Seperti dijelaskan di depan bahwa untuk mendeskripsikan aliran dengan mnggunakan dua metoda yaitu:  Metoda Lagrang (Lagrangian) dengan pendekatan System method  Metoda Euler (Eulerian) dengan pendekatan Control volume method Metoda Lagrang :  Mengikuti pergerakan individual partikel fluida.  Partikel fluida diidentifikasi.  Menentukan bagaimana sifat fluida berkaitan dengan perubahan partikel sebagai fungsi waktu.  Contoh: TA = TA (t) Metoda Euler :  Gerakan fluida ditentukan dengan penjelasan sifat yang lengkap sebagai fungsi tempat dan waktu.  Menggunakan konsep medan (field concept).  Untuk mendapatkan informasi tentang aliran dalam term apa yang terjadi pada titik tertentu dalam suatu tempat sebagai aliran fluida melewati titik-titik itu.  Contoh: T = T ( x , y , z , t )



Gambar 5.2. Deskripsi Aliran dengan metoda Lagrang dan Euler 5.4. Visualisasi Aliran Untuk mendeskripsikan aliran disamping dengan metoda analitis Lagrang dan Euler dapat dilakukan dengan visualisasi. Visualisasi aliran adalah pengujian visual medan aliran (flow-field). Visualisasi aliran penting baik untuk eksperimen fisik maupun penyelesaian numerik. Beberapa metoda visualisasi aliran adalah :  Streamlines and streamtubes  Pathlines  Streaklines  Timelines  Refractive techniques  Surface flow techniques



Gambar 5.3. Visualisasi garis arus pada aliran



5.4.1. Garis arus (streamlines) dan Tabung arus (streamtubes) Garis arus (streamline) adalah kurva yang dimana saja menyinggung instantaneous local velocity vector.      Ditinjau panjang busur



dr  dxi  dyj  dzk     V  ui  vj  wk







dr







Secara geometris menghasilkan persamaan garis arus



harus sejajar local velocity vector



dr dx dy dz    V u v w



Gambar 5.4. Garis arus dan vektor kecepatan



Ideal flow machine



Tom Hsu’s numerical simulation V22, b22



V11, b11



ESOE 505221 Fluid Mechanics



Chapter 4: Fluid Kinematics



13



Gambar 5.5. Garis Arus (streamlines)



Tabung arus (streamtube) terdiri dari seberkas garis arus. Fluida dalam streamtube harus tetap disana dan tidak dapat melewati batas dari streamtube.Dalam aliran tidak mantap (unsteady flow), pola garis arus dapat berubah terhadap waktu , namun debit melalui suatu penampang pada streamtube harus tetap sama.



Gambar 5.6. Tabung arus (streamtubes) 5.4.2. Garis Lintasan (Pathlines) Pathline adalah lintasan yang dilalui oleh individual partikel fluida dalam suatu periode waktu. Sama dengan vektor posisi material partikel fluida



x



partikel



(t ), y partikel (t ), z partikel (t ) 



Letak partikel pada waktu t:



  x  xstart 



t







t start



 Vdt



Gambar 5.7. Garis lintasan (pathline)



Gambar 5.8. Eksperimen: particle image velocimetry (PIV) melacak particle pathlines untuk mengukur velocity field pada seluruh bidang dalam aliran (Adrian, 1991).



Aliran melalui silinder



Tampak atas



Tampak samping



Gambar 5.9.Garis lntasan partikel 5.4.3. Streaklines Streakline adalah garis yang menghubungkan partikel fluida yang telah melewati titik tetap dalam ruang. Untuk mengamati streakline dapat dilakukan dengan eksperimen member zat warna dalam air atau asap dalam aliran udara.



Gambar 5.10. Eksperimen untuk pengamatan Streakline



Gambar 5.11. Perbandingan streamline dan streakline



5.4.4. Timelines Timeline adalah seperangkat partikel fluida yang berdekatan yang diberi tanda pada waktu instan yang sama. Timelines dapat ditunjukkan menggunakan hydrogen bubble wire.



Gambar 5.12. Timeline



Gambar 5.13. Timelines yang dihasilkan oleh hydrogen bubble wire yang digunakan untuk visualisasi bentuk profil kecepatan lapis batas (boundary layer velocity profile shape). 5.5. Koordinat garis arus Koordinat garis arus adalah sistim koordinat yang ditentukan dalam term garis arus dari aliran.   Unit vectors : s dan.. .n



Gambar 5.14. Koordinat garis arus Deskripsi Euler (Eulerian description) Menentukan variabel medan (field variables) sebagai fungsi tempat dan waktu.  Pressure field, p = p(x,y,z,t)    Velocity field, V  V  x, y , z , t 



    V  u  x, y , z , t  i  v  x, y , z , t  j  w  x , y , z , t  k



  a  a  x, y , z , t      a  a x  x, y , z , t  i  a y  x , y , z , t  j  a z  x , y , z , t  k







Acceleration field,







Ini adalah variabel medan untuk medan aliran tertentu.







bila



dx particle dt



 u,



dy particle dt



 v,



dz particle dt



w



    V V V V  a particle  u v w t x y z 



Dalam bentuk vector, percepatan dapat ditulis:



     dV V  a  x, y , z , t     V  V dt t







  







Term pertama disebut local acceleration dan tidak nol (nonzero) hanya untuk aliran tidak mantap (unsteady flows). Term kedua disebut advective acceleration dan memperhitungkan pengaruh partikel fluida bergerak ke lokasi baru dalam aliran, dimana kecepatan berbeda. Atau dapat ditulis dalam koordinat kartesian sebagai berikut : Vektor kecepatan : Vektor percepatan :



    V  u i  v j  wk



    a  ax i  a y j  azk



du u dx u dy u dz u u u u u     . u v w dt x dt y dt z dt t x y z t dv v dx v dy v dz v v v v v ay      . u v w dt x dt y dt z dt t x y z t dw w dx w dy w dz w w w w w az      . u v w dt x dt y dt z dt t x y z t ax 



Convective



Local



Contoh Soal 5.1. Air mengalir melalui pipa berpenampang lingkaran mengecil searah aliran seperti gambar. Pada suatu titik diameter penampang 50 cm, debit bervariasi terhadap waktu t



dengan persamaan Q  Q0  Q1 t  0,985  0,5.t . Hitung percepatan aliran pada t 0



0,5 detik, bila perubahan kecepatan searah aliran



V  2 s-1 s



Penyelesaian : .



Q  Qo  Q1



t  0.985  0.5t to



V  2m/ s s Qo  Q1



t to



0.985  0.5(0.5)  3.4743 m / s  2  d (0.5) 2 4 4  Q1 V  (Q / A)  0 .5 aL      2.55 m / s 2  2  t t 2 d to (0.5) (1) 4 4 V aC  V  3.743 * 2  7.49 m / s 2 s V 



Q  A







Jadi : local acceleration aL = - 2,55 m/s2 convective acceleration aC = 7,49 m/s2 Contoh Soal 5.2 Diketahui : Hitun g :



   V  3t i  xz j  ty  Percep ata.n, a



2



 k



Penyelesaian : u  3t ; v  xz; w  ty 2 u u u u u v w  0(3t )  0( xz )  0(ty 2 )  3  3 x y z t v v v v ay  u v w  z (3t )  0( xz )  x (ty 2 )  0  3 zt  xy 2t x y z t w w w w az  u v w  0(3t )  2ty ( xz )  0(ty 2 )  y 2  2 xyzt  y 2 x y z t ax 



       a  a x i  a y j  a z k  3 i  (3tz  txy 2 ) j  (2 xyzt  y 2 )k



5.6. Debit Aliran. Debit didefinisikan sebagai jumlah zat cair yang mengalir melalui penampang melintang tiap satuan waktu (m3/det., liter/det.) Q = A.v → (m2 x m/det = m3/det) Untuk zat cair riil mempunyai kekentalan sehingga ada gesekan antara zat cair dengan dinding saluran sehingga kecepatan tidak merata pada dinding nol dan bertambah terhadap jarak dinding. Untuk aliran dalam pipa v = f(r), sehingga dQ = dA.v = 2pr.dr.v Q = 2p ò v.r.dr Pada prakteknya variasi kecepatan dalam penampang diabaikan, sehingga v dianggap seragam, sehingga debit aliran adalah: Q = A.v



Debit : dr



Q = A.v



Q = 2p ò v r



Gambar 5.15. Distribusi kecepatan pada aliran dalam pipa Contoh Soal 5.3. Aliran air melalui pipa dengan diameter R dengan distribusi kecepatan seperti gambar. Hitung perbandingan kecepatan rata-rata dengan kecepatan pada pusat pipa. V Vo



Hitung :



v ( r )  Vo (1 



r ) R



Penyelesaian : Debit aliran dengan kecepatan pada penampang yang bervariasi : Q   V .dA A



sehingga : R



Q   VdA   Vo (1  r / R ) 2rdr A



0



R



 2Vo (



r2 r3 R2 R2  )  2Vo (  ) 2 3R 0 2 3



1  Vo R 2 3 1 Vo R 2 V Q 1 3  Vo   2 Vo A 3 R Vo



Maka kecepatan rata-rata pada penampang 1/3 dari kecepatan pada pusat penempang pipa.



Contoh Soal 5.4. Saluran dengan penampang berbentuk kotak (box) bujur sangkar 1,0 m x 1,0 m mengalirkan air dengan distribusi kecepatan penampang seperti gambar. Hitung debit dan kecepatan rata-rata pada penampang saluran tersebut. Hitung : Q, Vrata-rata Penyeleaian :



Debit aliran dengan kecepatan pada penampang yang bervariasi : Q   V .dA A



V bervariasi terhadap y,  y = 0 , V = 0 y = 0,5 m , V = 10 m/s maka V = 20.y dan luas penampang dA = 1 x dy = dy 0,5



sehingga  Q  2.  V .dA 0



0.5



0 .5



Q  2  VdA  2  20 ydy 0



 40



0



2 0 .5



y 2



 5 m3 / s



0



Q 5 V    5m / s A 1



Jadi debit aliran Q = 5 m3/det Kecepatan rata-rata Vrata-rata = 5 m/det



5.7. Persamaan Kontinuitas Zat cair tak kompresibel (incompressible fluid) mengalir secara kontinu maka volume zat cair yang lewat tiap satuan waktu adalah sama di setiap penampang. Massa zat cair yang masuk ke dalam volume kontrol (control volume) sama dengan massa zat zair yang keluar dari volume kontro. Keadaan ini disebut dengan hukum kontinuitas.



Kekekalan Massa (conservation of mass)



Gambar 5.16. Kekekalan massa pada volume kontrol Ditinjau aliran zat cair melalui volume kontrol seperti gambar. Untuk aliran satu dimensi dan mantap, rapat massa, kecepatan rerata dan penampang melintang di titik 1 dan 2 adalah r1, v1, A1 dan r2, v2, A3 Massa yang masuk = massa yang keluar



r1.v1.A1 = r2.v2.A3 Zat cair tak kompresibel r1 = r2 , maka v1.A1 = v2.A2 → pers kontinuitas atau



Q = v. A = konstan



Aplikasi Persamaan Kontinuitas Apabila pipa bercabang atau penampannya berubah seperti pada gambar 5.15. berdasarkan persamaan kontinuitas, debit aliran yang menuju titik cabang harus sama dengan debit yang meninggalkan titik tersebut .



Q1 = Q2 A1.v1 = A2.v2



Q1 = Q2 + Q3 A1.v1 = A2.v2 + A3.v3



Gambar 5.17 . Aplikasi Persamaan Kontinuitas Contoh Soal 5.5. Air mengalir melalui pipa 1 dengan diameter 25 cm yang kemudian bercabang menjadi dua pipa, yaitu pipa 2 dan pipa 3 yang masing-masing berdimeter 10 cm dan 5 cm. Kecepatan aliran di pipa 2 adalah 0,5 kali kecepatan di pipa 1. Hitung debit aliran melalui pipa 2 dan pipa 3.



Diketahui : pipa bercabang seperti gambar D1 = 25 cm = 0,25 m D2 = 10 cm = 0,10 m D3 = 5 cm = 0,05 m V2 = 0,5. V1 Hitung : Q2 dan Q3



Penyelesaian : Persamaan kontinuitas : Q1 =



Q2



+ Q3



A1.v1 = A2.v2 + A3.v3



 .D32  .D12  .D22 .v1  .v 2  .v3 4 4 4  .(0,25) 2  .(0,10) 2  .(0,05) 2 .v1  .(0,5.v1 )  .v3 4 4 4 0,0625.v1  0,005.v1  0,0025.v 3



v3 = 23 x v1



Perbandingan debit pipa 2 dengan pipa 3 :



Q2 0,25. .(0,10) 2  0,5.v1   0,087 Q3 0,25. .(0,05) 2  23.v1



Sehingga debit Q2 = 0,087 x Q3 5.8. Metoda Analisis Metoda yang digunakan untuk analisis dapat dikelompokkan menjadi dua yaitu : 1. Metoda System  Dalam mata kuliah mekanika.  Menjelaskan benda kaku yang mudah diidentifikasi. System didefinisikan sebagai besaran massa yang diidentifkasi, tetap. Batas (boundaries) memisahkan system dari sekelilingnya. Batas (boundaries) dari system dapat tetap atau bergerak. Tidak ada massa memotong batas system.



Gambar 5.18. Metoda Sistem dan Volume Kontrol



2. Metoda Control volume  Dalam mata kuliah mekanika fluida.  Sulit untuk fokus pada besaran massa yang tetap.  Menjelaskan aliran fluida. Control volume adalah arbitrary volume dalam ruang dimana fluida mengalir. Batas geometris (geometric boundary) dari control volume (CV) disebut “Control Surface (CS).” CS dapat real atau imaginer. CV dapat diam atau gerak.



Soal-soal Latihan. 1. Curat (nozzle) yang bentuknya sedemikian rupa sehingga bahwa kecepatan sepanjang pusat garis arus meningkat dari 1,5 m/det menjadi 15 m/det pada jarak 37,5 cm. Tentukan besarnya convective acceleration (percepatan konveksi) pada permulaan dan akhir jarak tersebut. 2. Pada aliran mantap (steady flow), titik A dan B berjarak 50 cm pada pada suatu garis arus yang lurus. Jika kecepatan bervariasi linear antara dua titik tersebut, yaitu pada titik A kecepatan 2 m/det dan titik B kecepatannya 6 m/det, maka hitung percpatan pada masin-masing titik. 3. Pipa A dengan diamater 4 m, kecepatan 6 m/det bercabang menjadi pipa B diameter 4 m dan pipa C diameter 2 m seperti pada gambar. Jika kecepatan pada pipa C adalah 4 m/det, maka hitung kecepatan pada pipa B.



4. Pipa 1 diameter 50 mm dengan kecepatan rata-rata 2 m/det, bercabang menjadi pipa 2 diameter 40 mm dan pipa 3 diameter 60 mm. Jika pipa 2 mengalirkan debit sebesar 30 % dari debit total, maka hitung debit dan kecepatan rata-rata pada maing-masing pipa. 5. Aliran air mantap (steady flow) mengalir melalui box pada tiga penampang seperti gambar. Debit pada penampang 1 adalah 30 liter/det., pada titik 2 diameter pipa 50 mm dengan kecepatan 10 m/det. Hitung kecepatan rata-rata dan debit aliran pada penampang 3 dan kemana arah aliran.



6. Jika garis arus mempunyai persamaan   3 x 2  y 3 , maka tentukan besar dan arah kecepatan partikel pada titik (2,1).