Lks Matriks [PDF]

Citation preview

[



𝒆 𝒇 𝒂 𝒃 ]+[ ] 𝒈 𝒉 𝒄 𝒅



𝒂+𝒆 𝒃+𝒇 =[ ] 𝒄+𝒈 𝒅+𝒉



MATRIKS PETA KONSEP Matriks



Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks



Kesamaan Dua Matriks



NILAI KARAKTER     



Komunikatif Jujur Disiplin Kerja keras Tanggung jawab KOMPETENSI DASAR



3.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suat matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain. 3.2 Menentukan determinan dan invers matriks. 3.3 Menggunakan determinan dan invers dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.



Operasi Matriks



Determinan dan Invers Matriks



Menyelesaik an Pers. Matriks AX=B atau XA=B



Penerapan Matriks



TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Peserta didik mampu menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain. 2. Peserta didik mampu menentukan determinan dan invers matriks. 3. Peserta didik mampu menggunakan determinan dan invers dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.



PENDAHULUAN Penerapan konsep matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Permasalahan yang sering kita jumpai berupa data atau informasi yang ditampilkan dalam bentuk tabel atau daftar. Laporan berbentuk tabel atau daftar dapat disederhanakan dalam bentuk bilangan yang teratur menurut baris dan kolom yang disebut matriks. Hal ini untuk memudahkan kita dalam membaca data.



MOTIVASI Tuliskan motivasi anda mempelajari materi pada bab ini! ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... .



1



Pengertian Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu susunann berbentuk persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa “( )” atau kutung siku “[ ]”



Figure 1 Keterangan: A merupakan pelabelan suatu matriks. Dalam 𝐴𝑚×𝑛 , notasi m×nmenyatakan ordo (ukuran) matriks A. Banyak baris matriks A dan n menyatakan banyak kolom matriks A. 𝑎𝑖𝑗 merupakan billangan real, menyatakan elemen matriks pada baris ke-i dengan i = 1, 2, …, m dan kolom ke-j dengan j = 1, 2, …, n. 2



Jenis-jenis Matriks 2.1. Matriks Baris Matriks baris adalah matriks yang terdiri atas satu baris saja. Biasanya, ordo matriks seperti ini, 1 × n, dengan n banyak kolomnya. 2.2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom saja. Matriks kolom berordo m × 1, dengan m banyak barisnya.



2.3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom sama. M a t r i k s ini memiliki ordo n × n. Perhatikan matriks persegi berordo 4 × 4 di bawah ini. Diagonal utama suatu matriks meliputi semua elemen matriks yang terletak pada garis diagonal dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah. Diagonal samping matriks meliputi semua elemen matriks yang terletak pada garis diagonal dari sudut kiri bawah ke sudut kanan atas. 2.4. Matriks Segitiga Mari kita perhatikan matriks persegi F dan G berordo 4 × 4 di bawah ini. Jika terdapat pola susunan pada suatu matriks persegi, misalnya:



atau jika polanya seperti berikut ini.



Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah



atau di atas elemen diagonal bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemenelemen di bawah elemen diagonal utama maka disebut matriks segitiga atas,



sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, juga tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal utama harus bernilai tak nol. 2.5. Matriks Diagonal Dengan memperhatikan konsep matriks segitiga di atas, jika kita cermati kombinasi pola tersebut pada suatu matriks persegi, seperti matriks berikut ini.



maka matriks persegi dengan pola “semua elemennya bernilai nol, kecuali elemen diagonal utama”, disebut matriks diagonal. 2.6. Matriks Identitas Mari kita cermati kembali matriks persegi dengan pola seperti matriks berikut ini.



Cermati pola susunan angka 1 dan 0 pada ketiga matriks persegi di atas. Jika suatu matriks persegi semua elemen diagonal utamanya adalah 1 dan unsur yang lainnya semua nol disebut matriks identitas. Matriks identitas dinotasikan sebagai I berordo n × n. 2.7. Matriks Nol Jika semua elemen suatu matriks semuanya bernilai nol, seperti berikut:



3



maka disebut matriks nol. Transpose Matriks Setiap elemen baris ke-1 pada matriks B menjadi elemen kolom ke-1 pada matriks Bt, setiap elemen baris ke-2 pada matriks B menjadi elemen kolom ke-2 pada matriks Bt, demikian seterusnya, hingga semua elemen baris pada matriks matriks B menjadi elemen kolom pada matriks Bt.



Hal inilah yang menjadi aturan menentukan transpos suatu matriks.Transpos dari matriks B adalah sebuah matriks Bt. 5 Kesamaan Dua Matriks Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika: i. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B. ii. Setiap pasangan elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B, aij = bij(untuk semua nilai i dan j). 6 Operasi Matriks a. Penjumlahan Dua Matriks Jikamatriks A = ( a ij ) dan B = (bij ) merupakanduabuahmatriks yang berordo m x n, makajumlahkeduamatriks yang dinotasikandengan A + B adalahsuatumatriksbaru C = (c ij ) yang jugaberordo m x n dengan cij  aij  bij untuksetiap i dan j. Dengandemikian: a12 a13  a  dan Jika A   11  a 21 a22 a23 



b b13  b  , maka B   11 12  b21 b22 b23  a12  b12 a b A  B   11 11  a 21  b21 a 22  b22



Dengandemikian: a12 a Jika A   11  a 21 a22



a13   dan a23 



b b13  b  , maka B   11 12  b21 b22 b23  ss a12 a13    b11  b12  b13  a       11  a21 a22 a23    b21  b22  b23  a12  b12 a13  b13  a b    11 11 a  b a  b a  b 21 21 22 22 23 23   c. Perkalian Matriks a. Perkalian Matriks dengan Skalar Jika k skalar dan A matriks, maka kA adalah matriks yang mempunyai ordo sama dengan ordo matriks A, tetapi semua



elemen-elemennya



diperoleh



dengan mengalikan elemen A dengan k. b. Perkalian Matriks dengan Matriks Perkalian untuk AB terdefinisi jika banyaknya kolom A sama dengan



a13  b13   a 23  b23 



b. Pengurangan Dua Matriks Misalkan A dan B adalahmatriks yang berordo m x n, maka pengurangan matriks A dengan B didefinisikan sebagai jumlah antara matriks A dengan lawan dari



GEMAR DISKUSI 1



matriks B yang dinotasikan A = - B, ditulis : A – B = A + (– B).



banyaknya baris B, A(mxp) x B(pxn) = C(mxn). Aturan melakukan perkalian matriks ialah mengalikan baris-baris dengan kolom-kolom dan kemudian menjumlahkan perkalian hasil perkalian tersebut. Misal: 𝑎 [ 𝑐



𝑏 𝑝 ][ 𝑑 𝑟



𝑎𝑝 + 𝑏𝑟 𝑞 ]=[ 𝑠 𝑐𝑝 + 𝑑𝑟



𝑎𝑞 + 𝑏𝑠 ] 𝑐𝑞 + 𝑑𝑠



NILAI KARAKTER BANGSA



Buatlah kelompok yang terdiri dari 2-3 orang siswa. Carilah informasi atau keterangan di sekitar lingkungan anda yang dinyatakan dalam bentuk tabel bilangan, kemudian buatlah daftar matriksnya. Anda amati matriks yang terbentuk tentang ordo matriks, elemen-elemen matriks, baris, dan kolom matriks. Apa yang bisa anda peroleh dan kesimpulan apa yang bisa anda dapatkan tentang matriks? Diskusikan hal tersebut dengan kelompok anda. Presentasikan hasil diskusi kelompok anda di depan kelas. Buatlah kesimpulan dari aktivitas ini.



Komunikatif dan Jujur Matematika adalah suatu bahasa, dengan kegiatan ini anda ditunut mengkomunikasikannya baik secara lisan mapun tulisan. Kegiatan ini juga akan membentuk anda menjadi seseorang yang tidak akan mudah percaya pada isu-isu yang tidak jelas sebelum ada pembuktian.



UJI KOMPETENSI 1



1) Diketahui matriks𝐴 = 1 0 0 2 −15 21 [−4 8 17 2 −8 1] 5 2 3 7 12 3 a) Sebutkan ordo dari matriks A! b) Sebutkan elemen-elemen kolom ke-2! c) Sebutkan elemen-elemen baris ke-3! d) Jika 𝑎𝑖𝑗 menyatakan elemen baris ke-1 dan kolom ke-j, maka tentukan 𝑎23 , 𝑎14 , 𝑎35 ! 2) Berikan contoh matriks berordo 3 × 3: a) Matriks diagonal; b) Matriks identitas; c) Matriks segitiga atas; dan d) Matrikss segitiga bawah. 3) Tuliskan transpose dari matriks-mtriks berikut! 1 8 a) [4 0 ] 6 −3 3 7 9 b) [5 1 9] 0 1 0



UJI KOMPETENSI 2



c) [2 1 2] 1 0 d) [ ] 0 1 4) Tentukan nilai-nilai variabelx, y, atau/dan z dari matriks-matriks berikut! 𝑥 + 𝑦 √4 12 5 2 12 a) [ ]=[ ] 5 0 2 5 0 𝑥−𝑦 −𝑥 0 0 1 0 0 b) [ 0 𝑦 0 ] = [0 1 0] 0 0 1 0 0 √𝑧 2 log 𝑏 1 log 𝑎 log(𝑥 − 2) c) [ ]=[ ] log 𝑎 1 log(𝑏 − 4) 1 𝑥 6 d) [𝑦] = [ ] 8 5) Tentukan nilai x, y dan z yang memenuhi



persamaan



1 7    3  4



 3 3x   2     4 y   y  2



y  x  x 



1) Diketahui



  2 3   A   3 0  2 4  



matriks



 4 8   2  5 6   . , B   3 2  dan C    3 2  1  1 0  



Tentukan



matriks



yang



diwakili



matriks-matriks



 1 5  dan , B     3 2



oleh



 3 0  A    2 4  



f ( x, y )  2 x  3 y .



Tentukan f ( A, B ) 3) Tentukan persamaan



matriks



M



yang



matriks-matriks



 2 4 , A   5 6



 2 0   0 1  . Tentukan: , dan C   B    4  1  2 3



( A  B) t  C



2) Diketahui



4) Diberikan



memenuhi



 0 2  2 6     5  1 3   3M    3 7    0 5  0 1    



a) A + O dan O + A, dimana O merupakan matriks nol berordo 2. Apakah A + O = O +A b) (A + B) + C dan A + (B + C). Apakah (A + B) + C = A + (B + C) 1 2  A    3 4  dan 5) Diberikan matriks-matriks  4  3  B     2 1  . Tentukan : a) b) c) d)



A+A 2A 5(A + B) 5A + 5B



1 2     11 1   3  6  



7 Determinan Matriks a. Matriks berordo 2 x 2 𝑎 𝑏 Jika 𝐴 = ( ), maka 𝑐 𝑑 matriks A adalah det 𝐴 = |𝐴| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐



b. Matriks erordo 3 x 3 Definisi Determinan determinan



Determinan matriks hanya dimiliki oleh matriks persegi. Matriks Persegi yang detrminannya = 0 maka disebut matriks singular , dan bila determinannya tidak sama dengan 0 maka disebut matriks nonsingular.



matriks 3x3, 𝑎11 𝑎12 𝑎13 misalkan matriks (𝑎21 𝑎22 𝑎23 ) 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝐶11 𝐶12 𝐶13 𝐶 Memiliki kofaktor ( 21 𝐶22 𝐶23 ) , 𝐶31 𝐶32 𝐶33 determinan matriks A didefinisikan sebagai det(𝐴) = 𝑎11 𝐶11 + 𝑎12 𝐶12 + 𝑎13 𝐶13 dengan 𝐶𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 . 𝑀𝑖𝑗



Berdasarkan definisi diatas, jika diuraikan maka akan menghasilkan det(𝐴) = 𝑎11 𝐶11 + 𝑎12 𝐶12 + 𝑎13 𝐶13 𝑎22 𝑎23 𝑎21 𝑎23 𝑎21 = 𝑎11 (−1)1+1 . |𝑎 | + 𝑎12 (−1)1+2 . |𝑎 | + 𝑎13 (−1)1+3 . |𝑎 𝑎 𝑎 32 33 31 33 31



𝑎22 𝑎32 |



= 𝑎11 (𝑎22 𝑎33 − 𝑎23 𝑎32 ) − 𝑎12 (𝑎21 𝑎21 − 𝑎23 𝑎31 ) + 𝑎13 (𝑎21 𝑎32 − 𝑎22 𝑎31 ) = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 Jadi, det(𝐴) = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 Untuk mempermudah, maka digunakan cara kaidah sarrus berikut: 𝑎11 [𝑎21 𝑎31



𝑎12 𝑎22 𝑎32



𝑎13 𝑎11 𝑎23 ] 𝑎21 𝑎33 𝑎31



𝑎12 𝑎22 𝑎32



det(𝐴) = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 8 Invers Matriks a. Matriks Berordo 2x2 Jika A dan B adalah matriks persegi yang ordonya 2x2, dengan AB=BA=I, maka B adalah Invers dari A ditulis B=A-1 dan A adalah invers dari B, ditulis A= B-1. Jadi A A-1 = A-1 A=I 𝑎 𝑏 Jika 𝐴 = ( ), maka invers dari 𝑐 𝑑 matriks A dinyatakan sebagai berikut: −𝟏



𝑨



𝒅 −𝒃 = ( ) 𝒂𝒅−𝒃𝒄 −𝒄 𝒂 𝟏



Sebuah matriks persegi akan mempunyai invers jika dan hanya jika ,matriks tersebut adalah matriks nonsingular b. Matriks berordo 3x3 Untuk menentukan invers matriks yang berordo 3x3 dapat digunakan rumus



𝑨−𝟏 =



𝟏 𝑨𝒅𝒋 𝑨 𝒅𝒆𝒕 (𝑨)



𝐶11 𝐴𝑑𝑗 𝐴 = 𝐶 𝑡 = (𝐶21 𝐶31



𝐶12 𝐶22 𝐶32



𝐶13 𝐶23 ) 𝐶33



dengan C = kofaktor ij, artinya pengahpusan bariske-i kolom ke-j Sifat-sifat invers matriks: Jika A dan B matriks-matriks persegi yang berordo sama dan keduanya mempunyai invers, maka berlaku:  



(AB)-1 = B-1A-1 (BA)-1 = A-1B-1 AA-1 = I A-1A = I



GEMAR DISKUSI 2 Buatlah kelompok yang terdiri dari 2-3 orang siswa. Carilah informasi atau keterangan di sekitar lingkungan anda yang dinyatakan dalam bentuk tabel bilangan, kemudian buatlah daftar matriksnya. Dari matriks yang terbentuk, tentukan determinan dan invers matriks tersebut (khusus untuk matriks berorso 2x2 dan berordo 3x3). Apa yang bisa anda peroleh dan kesimpulan apa yang bisa anda dapatkan tentang determinan dan invers matriks? Diskusikan hal tersebut dengan kelompok anda. Presentasikan hasil diskusi kelompok anda di depan kelas. Buatlah kesimpulan dari aktivitas ini.



NILAI KARAKTER BANGSA Komunikatif dan Disiplin Matematika adalah suatu bahasa, dengan kegiatan ini anda ditunut mengkomunikasikannya baik secara lisan mapun tulisan. Selain itu, anda diharapkan dapat bekerja secara teratur dan tertib dalam menggunakan atran-aturan dan konsepkonsep matematika.



UJI KOMPETENSI 3 2 5 5 4 )dan 𝑄 = ( ) Jika P−1 adalah invers matriks P dan Q−1 adalah invers 1 3 1 1 matriks Q, maka determinan matriks P−1 Q−1 adalah..... 3 2 −3 −1 Diketahui matriks 𝐴 = ( )dan 𝐵 = ( ) . Jika AT = transpose matriks A dan AX = B + AT, 0 5 −17 0 maka determinan matriks X =.... −6 1 −3 8 Diketahui matriks 𝐴 = ( )dan 𝐵 = ( ) dan C= A-B. Invers matriks C adalah.... 2 4 −17 4 𝑥 𝑦 1 2 Jika 𝑃 = ( )dan 𝑄 = ( )= 2P-1, dengan P-1 menyatakan invers matriks P, maka x+y adalah... −𝑧 𝑧 1 3 1 𝑥+4 1 1 −3 Jika matriks 𝐴 = ( ) Invers dari 𝐴 = ( ) maka carilah nilai y............. 6 2𝑥 +𝑦 −2 1



1. Diketahui matriks 𝑃 = (



2.



3. 4. 5.



9



Menyelesaikan Persamaan Matriks AX=B atau XA=B



Untuk



menyelesaikan



langkah berikut.



berordo 2 × 2, dengan matriks A dan B sudah



AX = B



diketahui elemennya, sedangkan matriks X



↔ A–1(AX) = A–1B



belum diketahui elemen-elemennya. Matriks X



↔ (A–1A)X = A–1B



dapat ditentukan jika A mempunyai invers



↔ IX = A–1B



(matriks



↔ X = A–1B



Penyelesaian persamaan matriks AX = B adalah X = A–1B.



matriks



berbentuk AX = B dapat dilakukan dengan



Misalkan A, B, dan X adalah matriks-matriks



nonsingular).



persamaan



Penyelesaian persamaan matriks XA = B adalah X = BA–1 Untuk



menyelesaikan



persamaan



matriks



berbentuk XA = B dapat dilakukan dengan



Menyelesaikan sisitem persamaan linear dengan matriks, jika matriks yang berkaitan dengan sistem persamaan linear adalah AX = B maka matriks X = A-1B. b. Menyelesaikan Persamaan Linear dengan Determinan



langkah berikut. XA = B ↔ X(AA–1) = BA–1



Misal terdapat sistem persamaan linear 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑝 :{ 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑞



↔ XI = BA–1



Maka 𝑥 =



↔ (XA)A–1 = BA–1



↔ X = BA–1 10



Penerapan Matriks Dalam Persamaan Linear a. Penyelesaian SPL Dua Variabel dengan Invers Matriks KERJA PROYEK 3



1. Alat dan Bahan a. Alat tulis c. Daftar isian b. Buku catatan d. Kelas yang disurvei 2. Langkah kerja a. Buatlah kelompok yang terdiri dari 3-4 orang siswa b. Ambillah dua kelas di sekolah anda untuk disurvei tentang lamanya belajar di luar sekolah c. Lakukan wawancara dengan siswa dari kelas yang telah anda pilih tentang lamanya belajar di luar sekolah. Catat hasil wawancara anda, kemudian bedakan untuk setiap kelas antara laki-laki dan perempuan d. Jumlahkan lamanya waktu belajar untuk setiap kategori (laki-laki dan perempuan) untuk setiap kelas. Tentukan rerata untuk setiap kategori dan rerata kelas (bulatkan). Kemudian isikan ke dalam daftar isian berikut



∆𝑥 ∆



,𝑦 =



∆𝑦 ∆



𝑎 𝑏 Dimana : ∆ = | | merupakan 𝑐 𝑑 determinan matriks koefisien x dan y. 𝑝 𝑏 ∆𝑥 = | | merupakan 𝑞 𝑑 determinan variabel x.. 𝑎 𝑝 ∆𝑦 = | 𝑐 𝑞 | merupakan determinan variabel y.



Lamanya Belajar Jumlah LakiPerempuan laki Kelas A Kelas B 3. Analisis a. Misalkan x adalah jumlah siswa laki-laki dan y adalah jumlah siswa perempuan, tentukan model matematika dari data yang anda peroleh. b. Nyatakan model yang anda peroleh dengan notasi matriks. Misalkan A adalah matriks lamanya waktu belajar. Tentukan x dan y dengan menggunakan invers dari A. c. Tentukan rerata waktu belajar untuk siswa laki-laki, siswa perempuan, kelas A, dan kelas B. d. Susunlah laporan hasil kegiatan ini dan kumpulkan pada guru anda.



NILAI KARAKTER BANGSA



Kerja Keras dan Tanggung Jawab



diharapkan tidak mudah menyerah dan terus berjuang untuk menghasilkan suatu jawaban yang benar. Selain itu, diharapkan dapat melahirkan suatu sikap tanggung jawab atas pelaksanaan kewajiban yang seharusnya dilakukan.



Dalam belajar matematika, seseorang harus teliti, tekun, dan telaten. Dengan kegiatan ini, anda UJI KOMPETENSI 3



1. Diketahui Sistem Persamaan Linear SPL sebagai berikut: 𝑝 + 𝑞 − 2𝑟 + 3𝑠 − 4 = 0 3𝑞 + 3𝑟 = 𝑠 − 2𝑝 + 3 4𝑟 + 𝑠 = 5 − 5𝑝 − 7𝑞 a Tuliskan SPL di atas dalam notasi matriks AX = B b Periksa apakah SPL di atas memiliki solusi 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut: 3𝑥 + 𝑦 = 75𝑥 + 2𝑦 = 12



3. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut: 3𝑥 + 2𝑦 = −2 𝑥 − 2𝑦 = 10 4. Diketahui sistem persamaan 𝑥 + 2𝑦 = 52𝑥 + 𝛼𝑦 = 3 Tentukan nilai α sehingga SPL tersebut memiliki penyelesaian tunggal. 5. Jika 2𝑥 + 5𝑦 = 11 dan 4𝑥 − 3𝑦 = −17 , Tentukanlah nilai dari 2𝑥 − 𝑦 = . . .



ULANGAN HARIAN Soal pilihan Ganda a 2 3 1. Diketahui K = [5 4 b ] dan L = 8 3c 11 6 2 3 [5 4 2a ] jika K = L, maka nilai c adalah ... 8 4b 11 a. 16 c. 13 e. 12 b. 15 d. 14 1 2 4 3 2. Jika A = A = [ ],B = [ ] , dan C = 3 4 6 0 2 5 [ ]. Maka (A + B) – (C + A) adalah ... 1 2 4 2 2 −2 a. [ ] d. [ ] 5 −2 −2 7 3 7 5 5 b. [ ] e. [ ] 4 6 9 4 6 8 c. [ ] 6 2



1 0 3. Jika A = [ ]dan | matriks ordo dua, maka 2 3 A2 – 2A + | = ... 0 1 4 0 a. [ ] b. [ ] c. 1 0 0 4 1 0 0 0 4 1 [ ] d. [ ] e. [ ] 0 1 4 4 4 1 3 −2 ],B = 4 −1 4 10 4 3 [ ] , dan C = [ ]. Nilai determinan 9 12 −2 −1 dari matriks (AB – C) adalah ... a. -7 b. -5 c. 2 d.3 e.12 1 −1 −5 3 5. Diketahui matriks A = [ ],B = [ ], 1 −3 −2 1 invers matriks AB adalah 4. Diketahui matriks A = [



2 −1 ]+ 3 4 2 10 25 ]=[ ] Nilai x + y 3 5 28



8. Diketahui matriks : [ 1



a. [



−2



2 1



− 2 −1 2



c. [ −1 1 e. [ 2



x−1 1 1 ][ 3 y −1 adalah ...



1



]



− −2 b. [ 1 2 ] −1 2



1 2



1] −2



d. [



2 −1



2[ 1



−2 1 ] a. 2



2



1



b. 6



c. 8



d. 10



e. 12



2



1] −2



9. Diketahui matriks A = [



4 −3 6. Matriks X yang memenuhi: [ ]X = −1 5 7 18 [ ] adalah ... −6 12 1 −1 −1 9 1 9 a. [ ] b. [ ] c. [ ] −6 9 1 −6 −1 6 1 −9 −6 9 d. [ ] e. [ ] 1 −6 1 1 1 2 1 1 2 5 7. Jika A = [ ],B = [ ] , dan C = [ ] 3 4 1 1 3 7 maka Det (AB – C) = ... a. -8 b. -6 c. -2 d. 6 e. 8



1 2 ] dan B = 3 5



3 −2 ]. Jika A’ adalah transpose matriks A 1 4 dan AX = B + A’ maka determinan matriks x adalah ... a. 46 b. 33 c. 27 d. -33 e. -46 [



10. Jika I matriks satuan dan matriks 2 1 A=[ ] sehingga A2 = pA + qI maka p + −4 3 q = ... a. 15 b.10 c. 5 d. -5 e. -10



Soal Essay 3 2 ] maka A2 – A = ... 0 3 2 3 2. Nilai x agar matriks [ ] merupakan 5 x sebuah matriks yang tidak memiliki invers adalah 2 0 1 5 3. Jika A = [ ],B = [ ], dan det (AB) 1 x 0 −2 = 12 maka nilai x adalah ... 1. Jika A = [



4. Nilai x2 + 2xy + y2 yang memenuhi 2 6 2 persamaan [ ] [ ] adalah ... 1 −3 −5 2x −2 5. Jika matriks A = [ ],B = x 3y + 2 9 3x 5 6 [ ] , dan C = [ ] memenuhi A + B 8 −4 −8 7 = C dengan Ct transportase matriks C maka 2x + 3y = ...



REMEDIAL 1. Matriks X berordo (2 × 2) yang memenuhi [



1 2 4 3 ].X = [ ] adalah ... 3 4 2 1



2. Hasil kali matriks [BA][B + A-1]B-1 = ... 1 1 0 5 −2 2 3. Diketahui persamaan matriks [ ][ ]=[ ]. Nilai x – y = ... 0 1 9 −4 x x + y 1 2 𝑎 𝑏 4. Matriks P dan matriks Q adalah P = [ ][ ]. Tentukan matriks PQ ... 3 4 𝑥 𝑦 5. Tentukan determinan dari matriks A berikut ini:



A=[



5 1 ] −3 2



PENGAYAAN Untuk menambah pemahaman anda setelah mempelajari materi matriks, kerjakan soal pada studi kasus berikut ini! Sebuah perusahaan memperoduksi lima jenis produk dan membagi wilayah pemasaran produknya menjadi tiga wilayah. Matriks S di bawah memuat ekspektasi banyaknya masingmasing produk yang dapat dijual di tiap-tiap wilayah pada bulan mendatang. 𝑤𝑖𝑙𝑎𝑦𝑎ℎ 1 2 3 500 200 400 300 𝑆 = 250 425 100 150 [200 175



350 1 100 2𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑘 50 3 350 4 225] 5



Setiap produk dari kombinasi keempat komponen standar. Elemen-elemen matriks R di bawah menyatakan banyaknya masing-masing komponen yang digunakan tiap-tiap produk.



𝑘𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛 1 2 3 4 1 0 2 0 1 1 1 1 0 2𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑘 𝑅= 2 1 0 3 3 0 2 1 1 4 [1 2 3 1] 5 Lebih spesifik lagi, keempat komponen tersebut diproduksi di lima departemen yang berbeda dan masing-masing memiliki waktu produksi yang dinyatakan pada matriks P dibawah ini.



𝐷𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛 1 2 3 4 5 2 0 1 2 3 1 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑘 1 3 2 5 1 2 𝑃=[ ] 0 2 1 4 2 3 0 4 1 1 5 4 Jika matriks C berikut menyatakan biaya yang dikeluarkan perusahaan untuk membayar setiap jam masing-masing departemen dalam memproduksi komponen-komponen tersebut, hitunglah biaya total produksi kelima produk yang akan dipasarkan diketiga wilayah diatas.