Matematika Statistika [PDF]

Citation preview

STATISTIKA A. PENYAJIAN DATA (Materi Pelajaran Kelas 10)



B. UKURAN PEMUSATAN DATA Ukuran pemusatan data (ukuran tendensi sentral) menggambarkan tempat atau pada nilainilai mana data tersebut cenderung berkumpul. Dalam topik ini akan dibahas Mean (Nilai Rata-rata), Median, dan Modus. 1. Mean, Median, dan Modus Data Tunggal a. Mean Mean atau Rata-rata Hitung (dilambangkan dengan ̅) dari sekumpulan data adalah jumlah nilai data dibagi ukuran data (banyak datum). Jika x1, x2, x3, ..., xn merupakan kumpulan data berukuran n maka Mean (Rata-rata Hitung) dari data tersebut dirumuskan dengan : ̅ = Jika data x1, x2, x3, ..., xn masing-masing memiliki frekuensi f1, f2, f3, ..., fn maka Rata-rata Hitung dari data tersebut dirumuskan dengan : ̅ = Rata-rata Harmonis (H) dirumuskan dengan : H =



dan



H =



b. Median Median adalah nilai paling tengah setelah data diurutkan. Jika n ganjil, median adalah datum ke-



, sedangkan jika n genap maka median adalah datum ke-



tambah datum ke-( + 1) dibagi 2. c. Modus Modus adalah datum yang paling sering muncul atau datum yang frekuensinya paling tinggi / paling banyak.



Soal B.1.1 : Tentukanlah mean, median dan modus dari data berikut : a) 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8 b) 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 4, 4, 2, 3, 3, 2, 5, 5, 5, 5, 7 1



c) 14, 13, 11, 13, 16, 19, 20, 15, 20 d) 12, 5, 8, 9, 15, 3, 7, 12, 18, 10, 18 e) 2, 2, 3, 3, 5, 5, 7, 7 f) 75, 82, 66, 57, 64, 56, 92, 94, 86, 52, 60, 70



Soal B.1.2 : Tentukanlah mean, median, dan modus dari : a)



x f



2 3



3 1



5 3



7 2



8 5



b) x f



5 1



7 4



8 5



9 12 10 5



c)



x f



d)



x f



2 3



4 8



5 4



6 7



8 5



10 2



10 15 20 6 8 2



Soal B.1.3 : Tentukanlah rata-rata harmonis dari : a) 3, 4, 6, 6, 10 b) 11, 2, 5, 7, 15 c)



x f



2 3



3 1



5 3



7 2



8 5



d) x f



5 1



7 4



8 5



9 12 10 5



2. Mean, Median, dan Modus Data Berkelompok Mean :



̅



∑



=



Keterangan :



n xi fi xs di



Median :



Me =



Keterangan :



Tb n FksMe fMe i



Modus :



̅ =



atau = = = = =



Mo =



∑



ukuran data titik tengah kelas ke-i frekuensi kelas ke-i rata-rata sementara simpangan (deviasi) terhadap rata-rata sementara



+ = = = = =



+



.i



tepi bawah kelas median ukuran data Frekuensi kumulatif sebelum kelas median Frekuensi kelas median panjang kelas +



.i 2



Keterangan :



Tb d1 d2 i



= = = =



tepi bawah kelas modus selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya panjang kelas



Soal B.2.1 : Tentukanlah mean, median dan modus dari data berikut : a)



Data x 1–9 10 – 18 19 – 27 28 – 36 37 – 45 46 – 54 55 – 63



Frekuensi f 5 4 12 8 5 4 2



b)



Nilai



Frekuensi



46 – 50 51 – 55 56 – 60 61 – 65 66 – 70 71 – 75 76 – 80



10 15 20 40 35 25 15



c)



Panjang (cm) 119 – 127 128 – 136 137 – 145 146 – 154 155 – 163 164 – 172 173 – 181



Frekuensi 3 6 10 11 5 3 2



C. UKURAN LETAK DATA 1. Kuartil, Desil, dan Persentil Data Tunggal a. Kuartil Kuartil (dilambangkan dengan Q) membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama. Kuartil terdiri dari Kuartil Bawah (Q 1), Kuartil Tengah (Q2) dan Kuartil Atas (Q3). Kuartil Tengah sama dengan Median Misalkan x1, x2, x3, ..., xn adalah data berukuran n yang telah diurutkan, maka letak kuartil ke-m (m = 1, 2, atau 3) dari data tersebut dirumuskan dengan :  Jika



adalah bilangan bulat (misalkan hasilnya adalah t)



maka Qm =  Jika maka



Qt bukan bilangan bulat tetapi terletak diantara t dan t + 1



Qm



=



(Qt + Qt+1)



Jangkauan Kuartil (JK atau JQ)



:



Jangkauan Semi Interkuartil atau Simpangan Kuartil (Qd) :



JK = Q3 – Q1 Qd =



(Q3 – Q1)



Soal C.1.1 : Tentukanlah Q1, Q2 dan Q3 data berikut : a) 4 6 7 7 10 12 13 18 b) 7 5 6 5 3 6 4 8 2 6 8 7 5 2 3



Soal C.1.2 : Tentukanlah Q1, Q2, Q3, JQ dan Qd dari data berikut : a) 1, 6, 9, 3, 5, 8, 10, 4, 6, 8, 1 b) 3, 4, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 11, 4, 15 c) x f



3 6



6 9



9 3



15 3



18 9



21 7



b. Desil Desil (D) adalah nilai yang membagi data yang sudah diurutkan menjadi sepuluh bagian yang sama. Untuk membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama diperlukan sembilan sekat. Perhatikan gambar berikut :



Data terurut berukuran n



x1



x2



x3



…



…



…



…



…



…



…



xn



.



.



.



.



.



.



.



.



.



.



.



D1



D2



D3



D4



D5



D6



D7



D8



D9



Dari gambar di atas :  D1 disebut desil pertama, sebanyak 10% data bernilai ≤ D1  D2 disebut desil kedua, sebanyak 20% data bernilai ≤ D2 ⁞  D9 disebut desil kesembilan, sebanyak 90% data bernilai ≤ D9



Misalkan x1, x2, x3, ..., xn adalah data berukuran n yang telah diurutkan, maka untuk menentukan desil ke-m (Dm) dengan m = 1, 2, 3, ..., 9 ditempuh langkah-langkah berikut : 1) Dm terletak pada urutan yang ke2) Jika



adalah bilangan bulat (misalnya r) maka : Dm = xr



3) Jika



bukan bilangan bulat, tetapi besarnya antara bilangan bulat r dan r + 1



maka : Dm = xr + (



)



Soal C.1.3 : Tentukanlah D1, D2, D5, D7 dan D9 dari data : 7, 5, 6, 5, 3, 6, 4, 8, 2, 6, 8, 7 4



Soal C.1.4 : Tentukanlah D3, D7, dan D8 data : 10, 8, 15, 12, 12, 8, 13, 14, 16, 17, 12, 8, 10, 11, 15



c. Persentil Persentil (P) adalah nilai yang membagi data yang telah diurutkan menjadi 100 bagian yang sama. Untuk menentukan Persentil dari data tunggal, prosedurnya sama seperti menentukan Desil, hanya saja



diganti menjadi



Soal C.1.5 : Tentukanlah P25, P65, dan P90 data : 27, 8, 15, 22, 19, 13, 14, 36, 17, 12, 18, 10, 11, 15, 12, 33, 25



2. Kuartil, Desil, dan Persentil Data Berkelompok Untuk menentukan Kuartil, Desil dan Persentil data berkelompok, digunakan rumusrumus berikut : Qm = TbQm + (



)



m = 1, 2, atau 3



Dm = TbDm + (



)



m = 1, 2, 3, …, atau 9



Pm = TbPm + (



)



m = 1, 2, 3, 4, 5, …, atau 99



Soal C.2.1 : Dari rumus-rumus di atas, buatlah rumus untuk Q2, D2, D5, P2, P23, dan P75



Soal C.2.2 : Tentukanlah D3, D9, P10, P45, dan P90 dari data berikut : Data 300 – 349 350 – 399 400 – 449 450 – 499 500 – 549 550 – 599 600 – 649



Frekuensi 8 10 13 17 14 11 7 5



D. UKURAN PENYEBARAN DATA (DISPERSI) 1. Jangkauan (Range) Jangkauan atau rentangan atau range sekumpulan data adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil, dilambangkan dengan J atau R  Untuk data tunggal



: J = Xmaks – Xmin



 Untuk data berkelompok



: J = Bamaks – Bbmin



Keterangan : Xmaks



: nilai data terbesar



Xmin



: nilai data terkecil



Bamaks



: batas atas kelas terakhir



Bbmin



: batas bawah kelas pertama



Soal D.1.1 : Tentukanlah Jangkauan masing-masing kelompok data berikut : a) 56, 62, 10, 44, 65, 76, 72 b) 16, 48, 35, 58, 67, 90, 71 c) 51, 43, 46, 51, 66, 60, 68



Soal D.1.2 : Tentukanlah Rentangan dari data berikut : Nilai 119 – 127 128 – 136 137 – 145 146 – 154 155 – 163 164 – 172 173 – 181



Frekuensi 3 6 10 11 5 3 2



2. Simpangan Rata-rata (Average Deviation) Simpangan Rata-rata (SR) mencerminkan penyebaran nilai datum terhadap Mean (Nilai Rata-rata). Simpangan rata-rata dari sekumpulan data tunggal x1, x2, x3, ..., xn dapat ditentukan dengan rumus : SR =



∑|



|



xi : nilai datum n : ukuran data



̅



: nilai rata-rata | | : harga mutlak 6



Soal D.2.1 : Tentukanlah simpangan rata-rata dari kumpulan data berikut : a) 10, 44, 56, 62, 65, 72, 76 b) 16, 35, 48, 58, 67, 71, 90 c) 43, 46, 51, 51, 60, 66, 68



Soal D.2.2 : Tentukanlah simpangan rata-rata dari data : a) 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10 b) x f



4 4



5 8



6 6



7 2



3. Ragam (Variansi) dan Simpangan Baku Ragam / Variansi



: R = S2 =



Simpangan Baku



:S = √



∑



= √ ∑



Soal D.3.1 : Tentukanlah variansi dan simpangan baku dari : a) 8, 7, 5, 3, 2 b) x f



2 4



4 5



6 8



8 3



Soal D.3.2 : Tentukanlah simpangan rata-rata, ragam dan simpangan baku dari data berikut : a) 3, 8, 5, 6, 4, 10 b) 2, 10, 5, 7, 3, 9



E. NILAI STANDAR (Z-Score) DAN KOEFISIEN VARIASI 1. Nilai Standar (Z-Score) Nilai standar atau angka baku (Z-score) adalah suatu bilangan yang menunjukkan posisi suatu data terhadap rata-rata di dalam kelompoknya. Nilai standar dirumuskan dengan : Z =



̅



Keterangan : Z = nilai standar (angka baku) ̅ = mean (nilai rata-rata)



x = besar data S = simpangan baku (standar deviasi) 7



Nilai standar (angka baku) digunakan untuk membandingkan posisi dua buah data atau lebih didalam kelompoknya masing-masing. Sebagai contoh nilai matematika Ringgas adalah 85 sedangkan nilai IPA adalah 90. Rata-rata nilai matematika di kelasnya adalah 76 dengan simpangan baku 9, sedangkan rata-rata nilai IPA adalah 80 dengan simpangan baku 15. Dalam pelajaran manakah Ringgas mendapat nilai lebih baik ? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, dihitung nilai standar untuk masing-masing mata pelajaran. Untuk nilai matematika



: Z =



Untuk nilai IPA



: Z =



̅ ̅



=



=



=1



=



=



=



= 0,67



Ternyata diperoleh Nilai standar matematika lebih besar dari IPA, artinya kedudukan nilai matematika Ringgas lebih baik dari nilai IPAnya.



Soal E.1.1 : Berat badan Arif 85 kg. Jika berat rata-rata seluruh siswa dalam kelas adalah 79 kg dan simpangan bakunya 0,05 maka berapakah angka baku untuk berat badan Arif ? Soal E.1.2 : Mean dari sekelompok data adalah 75. Sebuah datum yang besarnya 72 mempunyai angka baku –0,25, tentukanlah simpangan bakunya. Soal E.1.3 : Dalam kompetisi menyanyi, Surle mendapat nilai 297 dengan angka baku 0,6. Jika ratarata nilai peserta adalah 294, tentukanlah simpangan bakunya.



2. Koefisien Variasi Koefisien variasi adalah suatu bilangan yang menyatakan tingkat keragaman (variasi) data dalam suatu kelompok. Jika koefisien variasi dari kelompok data semakin kecil menunjukkan bahwa data tersebut homogen dan jika koefisien variasinya semakin besar menunjukkan data tersebut semakin heterogen (beragam). Koefisien variasi dari kelompok data dirumuskan sebagai berikut : KV =



̅



x 100%



dimana : S = simpangan baku ̅ = mean (nilai rata-rata)



Sebagai contoh, dari hasil ujian matematika diketahui bahwa pada sub kompetensi A rata-ratanya 75 dengan simpangan baku 9 sedangkan pada sub kompetensi B rata-ratanya 80 dengan simpangan baku 11. Sub kompetensi manakah yang bernilai lebih beragam ? 8



Untuk menjawab pertanyaan tersebut, dihitung



koefisien variasi masing-masing



kompetensi. Untuk kompetensi A : KV = Untuk kompetensi B : KV =



̅ ̅



x 100% =



x 100% = 12%



x 100% =



x 100% = 13,75%



Diperoleh koefisien variasi nilai kompetensi B lebih besar dari kompetensi A, berarti nilai kompetensi B lebih beragam (lebih heterogen / lebih bervariasi) dibandingkan dengan nilai kompetensi A.



Soal E.2.1 : Tentukanlah mean dari sekelompok data, jika diketahui : a) KV = 114,2% dan simpangan baku = 5,71 b) KV = 49% dan simpangan baku = 2,46



Soal E.2.2 : Tentukanlah standard deviasi dari sekelompok data, jika diketahui : a) KV = 114,2% dan simpangan baku = 5,71 b) KV = 58% dan rata-rata = 135,7



Soal E.2.3 : Berikut ini adalah data hasil penjualan berbagai jenis telepon seluler di toko OKE dan toko EKO selama sebulan : Harga (ratusan ribu)



Frekuensi



Harga (ratusan ribu)



Frekuensi



2–7 8 – 13 14 – 19 20 – 25 26 – 31 32 – 37



26 20 18 10 5 1



5 – 10 11 – 16 17 – 22 23 – 28 29 – 34 35 – 40



19 24 20 8 7 2



Toko manakah yang hasil penjualannya lebih beragam ?



9