Materi Statistika Matematika [PDF]

Citation preview

MODUL STATISTIKA MATEMATIKA I (MA493530)



Oleh : I Wayan Sumarjaya, S.Si.



JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM



UNIVERSITAS UDAYANA 2010



KATA PENGANTAR Modul singkat ini membahas tentang perkuliahan Statistika Matematika I (MA493530) yang membahas tentang peubah acak dan distribusinya, fungsi peubah acak, sifat peubah acak, limit distribusi, dan statistik dan distribusi pengambilan sampel. Mata kuliah ini merupakan pendalaman terhadap mata kuliah Pengantar Ilmu Peluang plus tambahan-tambahan tentang fungsi pembangkit momen dan distribusi pengambilan sampel. Akhir kata semoga modul singkat ini dapat bermanfaat. Segala kritik dan saran guna perbaikan modul ini harap dikirim via email ke [email protected] atau [email protected].



Bukit Jimbaran, Februari 2009



Penulis



i



DAFTAR ISI



Kata Pengantar



i



DAFTAR ISI



ii



DAFTAR GAMBAR



iv



DAFTAR TABEL



v



BAB 1. PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA 1.1 Peubah Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Peubah Acak Diskrit . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Peubah Acak Kontinu . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Beberapa Sifat Nilai Harapan . . . . . . . . 1.1.4 Batas-batas Peluang . . . . . . . . . . . . . 1.2 Momen dan Fungsi Pembangkit Momen . . . . . .



. . . . . .



. . . . . .



. . . . . .



. . . . . .



. . . . . .



. . . . . .



. . . . . .



. . . . . .



. . . . . .



. . . . . .



. . . . . .



. . . . . .



. . . . . .



. . . . . .



. . . . . .



. . . . . .



. . . . . .



1 1 1 2 2 3 3



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 2.1 Distribusi-distribusi Diskrit Khusus . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Distribusi Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Distribusi Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Distribusi Hipergeometrik . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Distribusi Geometrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Distribusi Binomial Negatif . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Distribusi Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7 Distribusi Seragam Diskrit . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Distribusi-distribusi Kontinu Khusus . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Distribusi Seragam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Distribusi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Distribusi Eksponensial . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Distribusi Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Distribusi Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 Fungsi pembangkit momen . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Latihan Soal Teoretis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . . . . . . .



4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 8 14 15 19 20 20 21



BAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA 3.1 Distribusi Bersama dan Marginal . . . . . . . . . 3.1.1 Distribusi Diskrit Bersama . . . . . . . . 3.1.2 Distribusi Hypergeometrik yang Diperluas 3.1.3 Distribusi Multinomial . . . . . . . . . . . 3.1.4 Distribusi Kontinu Bersama . . . . . . . . 3.2 Peubah Acak Bebas . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Distribusi Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



23 23 23 24 24 27 29 30



ii



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



DAFTAR ISI



3.4



iii



3.3.1 Distribusi Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



BAB 4. SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK 4.1 Sifat-sifat Nilai Harapan . . . . . . . . 4.2 Kovarians dan Korelasi . . . . . . . . . 4.3 Harapan Bersyarat . . . . . . . . . . . 4.3.1 Distribusi Normal Bivariat . . 4.4 Fungsi Pembangkit Momen Bersama . 4.5 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Latihan Soal Teoretis . . . . . . . . . .



30 32



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



33 34 36 39 41 42 42 44



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK 5.1 Teknik Fungsi Distribusi Kumulatif . . . . . . 5.2 Metode Transformasi . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Transformasi Satu-satu . . . . . . . . 5.2.2 Transformasi yang Tidak Satu-satu . . 5.2.3 Transformasi Bersama . . . . . . . . . 5.3 Jumlah Peubah Acak . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Formula Konvolusi . . . . . . . . . . . 5.3.2 Metode Fungsi Pembangkit Momen . . 5.4 Statistik Terurut . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Penarikan Sampel Tersensor . . . . . . 5.4.2 Pengambilan Sampel Tersensor . . . . 5.5 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .



45 46 48 49 52 55 58 58 59 60 60 67 68



. . . . . . .



70 70 73 75 75 76 76 77



. . . . . . . . .



78 78 80 80 80 83 83 84 84 84



BAB 6. LIMIT DISTRIBUSI 6.1 Barisan Peubah Acak . . . . . . . . 6.2 Teorema Limit Pusat . . . . . . . . 6.3 Pendekatan Distribusi Binomial . . 6.4 Distribusi Normal Asimtotik . . . . 6.5 Sifat-sifat Konvergensi Stokastik . 6.6 Teorema-teorema Limit Tambahan 6.7 Latihan Soal . . . . . . . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . .



BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL 7.1 Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Distribusi-distribusi Pengambilan Sampel . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Kombinasi Linear Peubah-peubah Normal . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Distribusi Khi Kuadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Distribusi Student t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Distribusi Snedecor F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.5 Distribusi Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Pendekatan-pendekatan Sampel Besar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAFTAR PUSTAKA



. . . . . . .



. . . . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . . . .



. . . . . . .



. . . . . . . . .



87



DAFTAR GAMBAR



iv



DAFTAR TABEL



Tabel 3.1



Nilai fungsi densitas bersma dua peubah acak . . . . . . . . . . . . . . . . . .



v



30



BAB 1 PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA



Kompetensi Dasar Menggunakan konsep-konsep ilmu peluang. Indikator Pencapaian Menggunakan konsep-konsep ilmu peluang. Materi Pokok 1.1 Peubah Acak 1.1.1 Peubah Acak Diskrit 1.1.2 Peubah Acak Kontinu 1.1.3 Beberapa Sifat Nilai Harapan 1.1.4 Batas-batas Peluang 1.2 Momen dan Fungsi Pembangkit Momen



Bab ini meninjau kembali konsep tentang peluang dan distribusinya seperti yang telah dipelajari pada mata kuliah Pengantar Ilmu Peluang.



1.1



Peubah Acak



Definisi 1.1. Suatu peubah acak, katakanlah X, adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel Ω, yang mengasosikan suatu bilangan real, X(ω) = x, dengan masing-masing hasil yang mungkin ω di Ω.



1.1.1



Peubah Acak Diskrit



Definisi 1.2. Jika himpunan semua hasil yang mungkin dari peubah acak X adalah himpunan terhitung x1 , x2 , . . . , xn atau x1 , x2 , . . . ,, maka X disebut peubah acak diskrit. Definisi 1.3. Fungsi fX (x) = P (X = x), x = x1 , x2 , . . .



(1.1)



yang menugaskan peluang untuk masing-masing nilai yang mungkin x disebut fungsi densitas peluang diskrit.



1



BAB 1. PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA



2



Teorema 1.1. Suatu fungsi fX (x) adalah fungsi densitas peluang diskrit jika dan hanya jika untuk paling banyak himpunan tak berhingga terhitung (countably infinite) x1 , x2 , . . . memenuhi kedua sifat berikut: 1. untuk semua xi , fungsi fX (xi ) ≥ 0, P 2. untuk semua xi , fX (xi ) = 1. Definisi 1.4. Fungsi distribusi kumulatif peubah acak X didefinisikan untuk semua bilangan real x sebagai FX (x) = P (X ≤ x). (1.2) Teorema 1.2. Suatu fungsi FX (x) adalah fungsi distribusi kumulatif untuk beberapa peubah acak X jika dan hanya jika memenuhi sifat: (a). limx→−∞ FX (x) = 0, (b). limx→∞ FX (x) = 1, (c). limh→0+ FX (x + h) = FX (x), (d). jika a < b maka FX (a) ≤ FX (b). Definisi 1.5. Jika X adalah peubah acak diskrit dengan fungsi densitas peluang fX (x), maka nilai harapan X didefinisikan sebagai X E(X) = xfX (x). (1.3) x



1.1.2



Peubah Acak Kontinu



Definisi 1.6. Suatu fungsi fX (x) dikatakan fungsi densitas peluang untuk beberapa peubah acak kontinu X jika dan hanya jika ia memenuhi sifat



untuk semua x, dan Z



fX (x) ≥ 0



(1.4)



fX (x) dx = 1.



(1.5)



∞



−∞



Definisi 1.7. Fungsi distribui kumulatif peubah acak kontinu X dinyatakan sebagai Z x FX (x) = fX (x) dx.



(1.6)



−∞



Definisi 1.8. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas peluang fX (x), maka nilai harapan X didefinisikan sebagai Z ∞ E(X) = xfX (x) dx. (1.7) −∞



1.1.3



Beberapa Sifat Nilai Harapan



Definisi 1.9. Momen ke-k di sekitar titik asal (moment about the origin) peubah acak X adalah µ0k = E(X k ),



(1.8)



dan momen ke-k di sekitar rata-rata (moment about the mean) adalah µk = E[X − E(X)]k = E(X − µ)k .



(1.9)



Definisi 1.10. Variansi peubah acak X didefinisikan sebagai var(X) = E[(X − µ)2 ]



(1.10)



BAB 1. PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA



1.1.4



3



Batas-batas Peluang



Teorema 1.3. Jika X adalah suatu peubah acak dan u(x) adalah fungsi bernilai non-negatif, maka untuk sembarang konstanta positif c > 0, P (u(X) ≥ c) ≤



E(u(X)) . c



(1.11)



Teorema 1.4 (Ketidaksamaan Chebychev). Jika X adalah suatu peubah acak dengan rata-rata µ dan variansi σ 2 , maka untuk sembarang k > 0, P (|X − µ| ≥ kσ) ≤



1.2



1 . k2



(1.12)



Momen dan Fungsi Pembangkit Momen



Definisi 1.11. Misal X adalah peubah acak, maka nilai harapan MX (t) = E(etX )



(1.13)



disebut fungsi pembangkit momen dari X jika nilai harapan ini ada untuk semua nilai t dalam beberapa interval dengan bentuk −h < t < h untuk beberapa h > 0. Teorema 1.5. Jika fungsi pembangkit momen peubah acak X ada, maka r E(X r ) = MX (0), untuk semua r = 1, 2, . . .



dan MX (t) = 1 +



∞ X E(X r )tr r=1



r!



.



(1.14)



(1.15)



BAB 2 DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



Kompetensi Dasar Membedakan peubah acak diskrit, peubah acak kontinu, dan distribusi keluarga eksponensial. Indikator Pencapaian Mampu memisahkan peubah acak diskrit, kontinu, dan distribusi keluarga eksponensial. Materi Pokok 2.1 Distribusi-distribusi Diskrit Khusus 2.2 Distribusi-distribusi Kontinu Khusus 2.3 Latihan Soal 2.4 Latihan Soal Teoretis



Bab ini membahas beberapa distribusi khusus, baik diskrit maupun kontinu, yang telah dipelajari dalam mata kuliah Pengantar Ilmu Peluang.



2.1 2.1.1



Distribusi-distribusi Diskrit Khusus Distribusi Bernoulli



Dalam suatu percobaan tunggal terdapat dua kejadian yang menjadi daya tarik, katakanlah K and komplemennya K 0 . Kejadian K dan K 0 menyatakan kejadian munculnya”muka” atau ”belakang” pada pelemparan satu mata uang atau ”rusak” atau ”bagus” pada barang yang diproduksi atau ”sukses” atau ”gagal” pada kejadian lainnya. Misal peluang K terjadi dengan peluang P (K) = p dan K 0 terjadi dengan peluang P (K 0 ) = q = 1 − p. Suatu peubah acak, X, yang menganggap hanya nilai 0 atau 1 disebut peubah Bernoulli, dan percobaa dengan dua hasil yang mungkin disebut percobaan Bernoulli (Bernoulli trial ). Jika suatu percobaan menghasilkan hanya ”sukses” (K) dan ”gagal” (K 0 ), maka peubah Bernoulli yang bersesuaian adalah ( 1, jika k ∈ K; X(k) = (2.1) 0, jika k ∈ K 0 . Fungsi densitas (massa) peluang X diberikan oleh fX (0) = q dan fX (1) = p. Distribusi yang bersesuaian, disebut distribusi Bernoulli (Bernoulli distribution), dan fungsi densitasnya dapat



4



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



5



dinyatakan sebagai fX (x) = px q 1−x , x = 0, 1.



2.1.2



(2.2)



Distribusi Binomial



Apabila percobaan Bernoulli dilakukan secara bebas sebanyak n kali dengan peluang sukses p pada masing-masing percobaan, dan peubah acak X menyatakan banyaknya sukses. Fungsi densitas peluang diskrit X diberikan oleh   n x n−x fX (x; n, p) = p q , x = 0, 1, . . . , n; 0 < p < 1; q = 1 − p. (2.3) x Peubah acak X berdistribusi binomial dengan parameter n dan p dinotasikan sebagai X ∼ BIN(n, p). Distribusi Bernoulli yang merupakan kejadian khusus dari distribusi binomial dinotasikan sebagai X ∼ BIN(1, p). Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Binomial Beberapa hasil penting: 1. Nilai harapan: E(X) = np; 2. Variansi: var(X) = npq; 3. Fungsi pembangkit momen : MX (t) = (p et +q)n , −∞ < t < ∞.



2.1.3



Distribusi Hipergeometrik



Misal suatu populasi terdiri dari beberapa jumlah item tertentu, katakanlah N , dan terdapat M item tipe 1 dan sisanya N − M item bertipe 2. Misal n item diambil secara acak tanpa pengembalian, dan misal X menyatakan banyaknya item tipe 1 yang diambil. Fungsi densitas peluang diskrit X diberikan oleh    N −M M n−x x   fX (x; n, M, N ) = ; x = 0, 1, . . . , n; n = 1, . . . , N ; M = 0, 1, . . . , N. (2.4) N n Bentuk Persamaan (2.4) merupakan fungsi densitas peluang dari distribusi hipergeometrik, dinotasikan X ∼ HYP(n, M, N ). Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Hipergeometrik Beberapa hasil penting: 1. Nilai harapan: E(X) = 2. Variansi:



nM ; N



   M M N −n var(X) = n 1− ; N N N −1



3. Fungsi pembangkit momen : MX (t) = (p et +q)n , −∞ < t < ∞.



(2.5)



(2.6)



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



2.1.4



6



Distribusi Geometrik



Misal kita tertarik untuk mengetahui banyaknya percobaan yang diperlukan untuk memperoleh sukses pertama dan notasikan ini dengan X, maka fungsi densitas peluang diskritnya dinyatakan oleh fX (x; p) = pq x−1 , x = 1, 2, 3, . . . ; 0 < p < 1; q = 1 − p. (2.7) Bentuk Persamaan (2.7) merupakan fungsi densitas peluang dari distribusi geometrik, dinotasikan X ∼ GEO(p). Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Geometrik Beberapa hasil penting: 1. Nilai harapan: E(X) = 1/p. 2. Variansi: var(X) = q/p2 . 3. Fungsi pembangkit momen : MX (t) = p et /(1 − q et ).



2.1.5



Distribusi Binomial Negatif



Dalam percobaan Bernouli bebas yang diulang, misal X menyatakan banyaknya percobaan yang diperlukan untuk memperoleh r sukses. Distribusi peubah acak X merupakan distribusi binomial negatif (negative binomial ) yang diberikan oleh   x − 1 r x−r fX (x; r, p) = p q ; (2.8) r−1 dengan x = r, r + 1, . . . , ; 0 < p < 1; q = 1 − p. Bentuk Persamaan (2.8) dapat pula dinotasikan X ∼ NB(r, p). Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Binomial Negatif Beberapa hasil penting: 1. Nilai harapan: E(X) = r/p. 2. Variansi: var(X) = rq/p2 . 3. Fungsi pembangkit momen :  MX (t) =



2.1.6



p et 1 − q et



r .



(2.9)



Distribusi Poisson



Suatu peubah acak diskrit X dikatakan memiliki distribui Poisson dengan parameter λ > 0, dinotasikan X ∼ POI(λ) apabila ia memiliki fungsi densitas (massa) peluang dengan bentuk fX (x; λ) =



e−λ λx ; x = 1, 2, . . . . x!



(2.10)



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



7



Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Poisson Beberapa hasil penting: 1. Nilai harapan: E(X) = λ. 2. Variansi: var(X) = λ. 3. Fungsi pembangkit momen : MX (t) = exp(λ(exp(t) − 1)).



(2.11)



Teorema 2.1. Jika X ∼ BIN(n, p), maka untuk setiap nilai x = 0, 1, 2, . . . , dan sebagaimana p → 0 dengan np = λ konstan, maka   n x e−λ λx p (1 − p)n−x = lim . (2.12) n→∞ x x!



2.1.7



Distribusi Seragam Diskrit



Suatu peubah acak diskrit X dikatakan memiliki distribusi seragam diskrit, dinotasikan X ∼ DU(N ), jika untuk setiap bilangan bulat 1, 2, . . . , N ia memiliki fungsi densitas peluang dengan bentuk 1 (2.13) fX (x) = , 1, 2, . . . , N. N Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Poisson Beberapa hasil penting: 1. Nilai harapan: E(X) = (N + 1)/2. 2. Variansi: var(X) = (N 2 − 1)/12. 3. Fungsi pembangkit momen : MX (t) =



2.2



1 et − e(N +1)t . N 1 − et



(2.14)



Distribusi-distribusi Kontinu Khusus



Pada sub bab ini akan dibicarakan beberapa distribusi kontinu khusus.



2.2.1



Distribusi Seragam



Suatu peubah acak X dikatakan memiliki distribusi seragam pada selang (a, b) , dinotasikan X ∼ UNIF(a, b), dengan fungsi densitas peluang   1 , untuk a < x < b; fX (x; a, b) = b − a (2.15) 0, untuk x lainnya. Fungsi distribusi kumulatif X ∼ UNIF(a, b) memiliki bentuk   0, jika x ≤ a;  x − a , jika a < x < b; FX;a,b =  b−a   1, jika b ≤ x.



(2.16)



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



8



Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Seragam Kontinu Beberapa hasil penting: 1. Nilai harapan: E(X) = (a + b)/2. 2. Variansi: var(X) = (b − a)2 /12. 3. Fungsi pembangkit momen : MX (t) =



2.2.2



ebt − eat . (b − a)t



(2.17)



Distribusi Gamma



Definisi 2.1 (Bain and Engelhardt (1992)). Fungsi gamma, dinotasikan Γ(κ) untuk semua κ > 0, didefinisikan sebagai Z ∞ tκ−1 e−t dt. (2.18) Γ(κ) = 0



Jika κ = 1 maka Z



∞



e−t dt ∞ −t = −e



Γ(1) =



0



0



= e−∞ −(− e0 ) =0+1 = 1.



(2.19)



Fungsi gamma dan sifat-sifatnya dapat dilihat pada teorema berikut. Teorema 2.2. Fungsi gamma memiliki sifat-sifat berikut: 1. Γ(κ) = (κ − 1)Γ(κ − 1), untuk k > 1; 2. Γ(n) = (n − 1)!, untuk n = 1, 2, . . . ; √ 3. Γ(1/2) = π. Bukti: Akan ditunjukkan sifat 1 dengan integral bagian. Misal u = tκ−1 , du = (κ − 1)tκ−2 , dv = exp(−t) dan v = − exp(−t). Sehingga Γ(κ) = (κ − 1)Γ(κ − 1), untuk k > 1 menjadi Z



Γ(κ) = t



−t



∞



(− e ) − (− e−t )(κ − 1)tκ−2 dt 0 ∞ Z ∞ κ−1 −t = −t e + e−t (κ − 1)tκ−2 dt 0 Z ∞ 0 = 0 + (κ − 1) tκ−2 e−t dt κ−1



0



= (κ − 1)Γ(κ − 1),



κ > 1.



(2.20)



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



9



Selanjutnya akan ditunjukkan sifat 2. Bila n adalah bilangan bulat maka Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) = (n − 1)(n − 2)Γ(n − 2) = ··· = (n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1Γ(1) = (n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1 = n!. Kemudian akan ditunjukkan sifat 3. Z



∞



Γ(1/2) = Z0 ∞ =



t1/2−1 e−t dt t−1/2 e−t dt.



(2.21)



0



(2.22) Misal x = t1/2 , dx = (1/2)t−1/2 dt atau dt = 2t1/2 dx = 2x dx. Dengan substitusi ini, maka Persamaan (2.21) menjadi Z ∞ 2 x−1 e−x 2x dx Γ(1/2) = Z0 ∞ 2 = 2 e−x dx. (2.23) 0



(2.24) Menggandakan Persamaan (2.23) diperoleh  Z ∞ Z ∞ 2 2 2 e−y dy 2 e−x dx [Γ(1/2)]2 = 0 Z ∞0 Z ∞ 2 2 = 4 e−(x +y ) dx dy 0



(2.25)



0



Untuk menyelesaikan integral pada Persamaan (2.25), lakukan transformasi koordinat kutub. Misal x = r cos θ dan y = r sin θ; sehingga x2 +y 2 = r2 cos2 θ+r2 sin2 θ = r2 (cos2 θ+sin2 θ) = r2 . Kemudian turunan parsial masing-masing peubah terhadap r dan θ adalah sebagai berikut ∂x = cos θ, ∂r ∂y = sin θ, ∂r



∂x = −r sin θ, ∂θ ∂y = r cos θ. ∂θ



Dengan demikian diperoleh Jacobian, cos θ −r sin θ J = sin θ r cos θ = r cos2 +r sin2 θ = r. Sehingga integral Persamaan (2.25) menjadi Z π/2 Z 2 [Γ(1/2)] = 0



0



∞



2



4 e−r rdr dθ.



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



10



Untuk menyelesaikan integral ini, misalkan u = r2 , du = 2r dr. Dengan demikian Z π/2 Z ∞ 2 [Γ(1/2)] = 2 e−u du dθ 0 0 ∞  Z π/2  −u dθ −e =2 0



0



π/2



Z =2



(− e−∞ + e0 ) dθ



0



Z



π/2



dθ



=2 0 π/2



= 2θ



0



=π−0 = π. Jadi diperoleh Γ(1/2) =



√



π.



Suatu peubah acak kontinu X dikatakan berdistribusi gamma dengan parameter θ > 0 dan κ > 0 jika memiliki fungsi densitas peluang dengan bentuk   1 xκ−1 e−x/θ , untuk 0 < x < ∞; fX (x; θ, κ) = θκ Γ(κ) (2.26)  0, untuk x lainnya; dan dinotasikan X ∼ GAM(θ, κ). Bentuk (2.26) juga dapat direparameterisasi sebagai  κ  θ xκ−1 e−xθ , untuk 0 < x < ∞; fX (x; θ, κ) = Γ(κ)  0, untuk x lainnya;



(2.27)



Lihat Rice (2007), halaman 53 untuk bentuk fungsi densitas peluang persamaan(2.27). Diskusi: Tunjukkan bahwa persamaan (2.27) adalah fungsi densitas peluang. Parameter κ disebut parameter bentuk (shape parameter ) karena menentukan bentuk dasar grafik fungsi densitas peluang. Secara umum ada tiga bentuk dasar bergantung pada apakah κ < 1, κ = 1, atau κ > 1. Sementara itu, parameter θ disebut parameter skala (scale parameter ). Mengubah nilai θ bersesuaian dengan mengubah-ubah unit-unit pengukuran (katakanlah dari detik ke menit). Untuk memeriksa apakah integral persamaan (2.26) adalah fungsi densias peluang gunakan teknik substitusi. Dengan kata lain, untuk memeriksa Z ∞ 1 xκ−1 e−x/θ dx = 1 (2.28) κ θ Γ(κ) 0 lakukan substitusi dengan t = x/θ, dt = (1/θ) dx, dengan batas-batas pengintegralan tidak berubah. Sehingga Z ∞ Z ∞ κ 1 θ κ−1 −x/θ x e dx = (θt)κ−1 e−t dt κ θ Γ(κ) Γ(κ) 0 Z0 ∞ 1 = θκ−1 tκ−1 e−t θ dt θΓ(κ) 0 θκ−1 Γ(κ)θ = θκ Γ(κ) = 1. (2.29)



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



11



Fungsi Distribusi Kumulatif Fungsi distribusi kumulatif X ∼ GAM(θ, κ) adalah Z x 1 FX (x; θ, κ) = xκ−1 e−x/θ dt. κ 0 θ Γ(κ)



(2.30)



Integral bentuk (2.30) secara umum tidak dapat diselesaikan secara eksplisit, namun bila κ adalah bilangan bulat positif, katakanlah κ = n, maka integralnya dapat dinyatakan sebagai penjumlahan. Teorema 2.3. Jika X ∼ GAM(θ, n), dengan n adalah bilang bulat positif maka fungsi distribusi kumulatifnya dapat ditulis FX (x; θ, n) = 1 −



n−1 X i=0



(x/θ)i −x/2 e . i!



(2.31)



Bukti: Stone (1996) Akan ditunjukkan Persamaan (2.31) dengan induksi. Untuk n = 1: FX (x; θ, 1) = 1 − e−x/θ



0 X (x/θ)0 i=0



0!



= 1 − e−x/θ . [Catatan: jika jika n = 1 maka X ∼ EXP(θ), sehingga FX (x) = 1 − exp(−x/θ)]. Selanjuntya akan ditunjukkan benar untuk n + 1: Z x tn+1−1 FX (x; θ, n + 1) = e−t/θ dt n+1 Γ(n + 1) θ Z0 x tn = e−t/θ dt n+1 (n + 1 − 1)! θ Z0 x tn e−t/θ dt = n+1 n! 0 θ  Z x n  t −t/θ = d −e n 0 θ n! Z x n−1 nt tn −t/θ t=x =− n e + e−t/θ dt n n! θ n! θ 0 t=0 Z x n−1 n −x/θ x e nt =− n −0+ e−t/θ dt n n! θ n! θ 0 Z x n−1 xn e−x/θ nt −t/θ = e dt − . θn n! θn n! 0



(2.32)



(2.33)



Dengan hipotesis induksi FX (x; θ, n) = 1 −



n−1 X i=0



=1−



(x/θ)i −x/2 xn e−x/θ e − n i! θ n!



n X (x/θ)i i=0



i!



e−x/2 .



(2.34)



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



12



Rata-rata dan Varians Nilai tengah atau rata-rata dari X ∼ GAM(θ, κ) diperoleh sebagai berikut: Z ∞ 1 E(X) = x κ xκ−1 e−x/θ dx θ Γ(κ) 0 Z ∞ 1 x(1+κ)−1 e−x/θ dx = κ θ Γ(κ) 0 R∞ θ1+κ Γ(1 + κ) 0 x(1+κ)−1 −x/θ = e dx θκ Γ(κ) θ1+κ Γ(1 + κ) θ1+κ Γ(1 + κ) = θκ Γ(κ) θκΓ(κ) = Γ(κ) = θκ.



(2.35)



dan Z



2



E(X ) =



∞



1



x2



θκ Γ(κ)



0



1 θκ Γ(κ)



Z



xκ−1 e−x/θ dx



∞



x(2+κ)−1 e−x/θ dx 0 R∞ 2+κ θ Γ(2 + κ) 0 x(2+κ)−1 −x/θ e dx = θκ Γ(κ) θ2+κ Γ(2 + κ) θ2+κ Γ(2 + κ) = θκ Γ(κ) θ2 (1 + κ)Γ(1 + κ) = Γ(κ) 2 θ (1 + κ)κΓ(κ) = Γ(κ) 2 = θ (1 + κ)κ. =



(2.36)



Dengan demikian var(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 = θ2 (1 + κ)κ − [θκ]2 = θ2 (κ2 + κ) − θ2 κ2 = θ2 κ2 + θ2 κ − θ2 κ2 = θ2 κ.



(2.37)



Fungsi pembangkit momen Fungsi pembangkit momen X ∼ GAM(θ, κ) dapat dihitung sebagai berikut. Z ∞ tx κ−1 e x MX (t) = e−x/θ dx κ Γ(κ) θ 0 Z ∞ κ−1 −x(1−tθ)/θ x e = dx κ Γ(κ) θ 0



(2.38)



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



13



Untuk menyelesaikan integral persamaan (2.38) lakukan substitusi u = x(1 − θt)/θ dengan t < 1/θ atau x = θu(1 − θt) sehingga dx = (θ/(1 − θt)) du. Dengan demikian  κ−1 Z ∞ θ θu MX (t) = e−u du κ Γ(κ)(1 − θt) 1 − θt θ 0 Z ∞ θθκ−1 uκ−1 = e−u du θκ Γ(κ)(1 − θt)(1 − θt)κ−1 0 Z ∞ uκ−1 e−u du = κ Γ(κ)(1 − θt) 0 Z ∞ κ−1 1 u = e−u du κ (1 − θt) 0 Γ(κ) 1 Γ(κ) = κ (1 − θt) Γ(κ) 1 = (1 − θt)κ = (1 − θt)−κ , t < 1/θ. (2.39) Dengan mengetahui fungsi pembangkit momen, kita juga dapat menghitung momen pertama dan kedua, yakni E(X) dan E(X 2 ). Menurunkan persamaan (2.39) terhadap t diperoleh 0 MX (t) = (−κ)(1 − θt)−κ−1 (−θ)



(2.40)



00 MX (t) = (−κ)(−κ − 1)(1 − θt)−κ−2 (−θ)(−θ).



(2.41)



dan Selanjutnya 0 E(X) = MX (0) = (−κ)(1 − θ · 0)−κ−1 (−θ)



= θκ



(2.42)



dan (2.43) 2



E(X ) =



00 MX (0)



−κ−2



= (−κ)(−κ − 1)(1 − θ · 0) = (−κ)(−κ − 1)θ



(−θ)(−θ)



2



= κ(κ + 1)θ2 = θ2 κ(κ + 1).



(2.44)



Dengan menggunakan hasil dari Persamaan (2.42) dan (2.44) maka akan diperoleh varians seperti pada Persamaan (2.37). Turunan ke-r dapat dihitung sebagai berikut (r)



MX (t) = (κ + r − 1) · · · (κ + 1)κθ(1 − θt)−κ−r Γ(κ + r) r θ (1 − θt)−κ−r . = Γ(κ)



(2.45)



(r)



Momen ke-r dihasilkan dari MX (0), yakni Γ(κ + r) r θ (1 − θ · 0)−κ−r Γ(κ) Γ(κ + r) r = θ . Γ(κ)



E(X r ) =



(2.46)



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



14



Sebagai contoh momen ketiga, yakni Γ(κ + 3)θ3 Γ(κ) (κ + 2)(κ + 1)κΓ(κ)θ3 = Γ(κ) = (κ + 2)(κ + 1)κθ2



E(X 3 ) =



(2.47)



Diskusi:Bagaimana cara menghitung fungsi gamma? Program R memiliki fungsi gamma untuk menghitung fungsi gamma, baik untuk bilangan bulat maupun pecahan. Perhatikan contoh berikut: > gamma(4) [1] 6 > gamma(5/3) [1] 0.9027453 Distribusi gamma dengan parameter θ = 2 dan κ = 1 disebut distribusi khi kuadrat (chisquare). Distribusi ini banyak berperan dalam teknik pengambilan sampel. Selanjunya apabila X ∼ GAM(θ, 1) maka X dikatakan berdistribusi eksponensial dengan parameter θ, dinotasikan X ∼ EXP(θ). Aplikasi Menurut Rice (2007), Wackerly et al. (2002), dan Hogg and Craig (1995) distribusi gamma cocok digunakan untuk memodelkan peubah acak non negatif. Lebih lanjut Wackerly et al. (2002) menambahkan bahwa distribusi ini cenderung miring (skewed ) ke kanan. Distribusi gamma biasanya digunakan untuk memodelkan lama waktu antara kerusakan (malfunction) mesin pesawat terbang, memodelkan antrian pada saat pembayaran di kasir supermarket, dan lama waktu perawatan (maintenance) mobil. Selanjutnya Rice (2007) mencontohkan pencarian pola dalam penentuan gempa bumi dalam kaitannya dengan waktu, ruang, dan magnitudo. Selain itu Hogg and Craig (1995) menambahkan bahwa distribusi gamma sering digunakan sebagai model untuk waktu tunggu (waiting time) dalam reliabilitas.



2.2.3



Distribusi Eksponensial



Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi eksponensial dengan parameter θ > 0, dinotasikan X ∼ EXP(θ) jika memiliki fungsi densitas peluang dengan bentuk   1 e−x/θ , jika 0 < x; 0 < θ; fX (x; θ) = θ (2.48) 0, jika x lainnya. Distribusi eksponensial dengan parameter θ, yakni EXP(θ) adalah kejadian khusus dari distribusi gamma dengan parameter κ = 1 , yakni GAM(θ, 1). Dengan demikian sifat-sifat distribusi gamma berlaku untuk distribusi eksponensial. Fungsi distribusi kumulatif Fungsi distribusi kumulatif X dapat dinyatakan sebagai FX (x; θ) = 1 − e−x/θ , jika 0 < x.



(2.49)



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



15



Hasil ini diperoleh dari Teorema 2.3 dengan kasus n = 1 atau dengan menghitung langsung integral persamaan (2.49), yakni Z x 1 −t/θ FX (x) = e dt 0 θ   Z x 1 −t/θ = θd −e θ  Z0 x  −t/θ d −e = 0 x −t/θ = −e 0



x



= − e −(− e0 ) = 1 − e−x/θ .



(2.50)



Rata-rata dan varians Rata-rata dan varians juga merupakan hasil khusus dari distribusi GAM(θ, 1). Lihat Persamaan (2.35) dan (2.37) untuk rata-rata dan varians distribusi gamma. Dengan memanfaatkan kedua hasil ini serta mensubstitusikan κ = 1 maka diperoleh E(X) = θκ = θ · 1 = θ dan var(X) = θ2 κ = θ2 · 1 = θ2 . Diskusi: Carilah E(X), E(X 2 ), dan var(X) dengan mengintegralkan secara langsung kemudian bandingkan hasilnya. Fungsi pembangkit momen Dengan analogi yang sama maka fungsi pembangkit momen untuk distribusi eksponensial adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi GAM(θ, 1) sehingga diperoleh MX (t) = (1 − θt)−1 .



(2.51)



Diskusi: Carilah MX (t) dengan mengintegralkan secara langsung.



2.2.4



Distribusi Normal



Distribusi normal pertama kali dipublikasikan oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733 sebagai suatu pendekatan terhadap distribusi jumlah peubah acak binomial. Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi normal (atau Gauss) dengan rata-rata µ dan varians σ 2 , dinotasikan X ∼ N (µ, σ 2 ) jika ia memiliki fungsi densitas peluang dengan bentuk − 1 fX (x; µ, σ) = √ e 2πσ



(x − µ)2 2σ 2 ,



−∞ < x < ∞, −∞ < µ < ∞, 0 < σ < ∞.



(2.52)



Misal didefinisikan Z



∞



I=



fX (x; µ, σ) dx Z0 ∞



= 0



√



1 2 e−[(x−µ)/σ] /2 dx 2πσ



(2.53)



Untuk memeriksa apakah fungsi integral fungsi densitas peluang ini sama dengan 1, gunakan teknik substitusi, misal z = (x − µ)/σ dengan dx = σ dz. Perhatikan bahwa f (z) =



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



(1/sqrt 2π) exp(−z 2 ) adalah fungsi genap, yakni f (z) = f (−z). Dengan demikian Z ∞ f (x; µ, σ) dx I= −∞ Z ∞ 1 2 √ = e−z /2 dz 2π −∞ Z ∞ 1 2 √ =2 e−z /2 dz. 2π 0 √ √ Apabila dimisalkan w = z 2 /2, maka z = 2w dan dz = (w−1/2 / 2), sehingga Z ∞ −1/2 √ w 2 −w √ I= e dw 2π 0 Z ∞ −1/2 w √ = e−w dw π 0 Γ(1/2) = √ π √ Γ( π) = √ Γ( π) = 1.



16



(2.54)



(2.55)



Lihat kembali sifat-sifat fungsi gamma untuk memahami hasil integral pada persamaan (2.55). Fungsi distribusi kumulatif normal standar Integran yang diperoleh dengan substitusi z = (x − µ)/σ disebut fungsi densitas peluang normal standar, dinotasikan φ(z), yakni 1 2 φ(z) = √ e−z /2 , 2π



−∞ < z < ∞.



(2.56)



Jika peubah acak Z memiliki fungsi densitas peluang dengan bentuk (2.56), maka Z ∼ N (0, 1). Fungsi distribusi kumulatif normal standar diberikan oleh Z z Φ(z) = φ(t) dt. (2.57) −∞



Berikut ini sifat-sifat geometrik fungsi densitas peluang normal standar. 1. Untuk semua bilangan real z, fungsi φ(z) adalah fungsi genap, yakni φ(z) = φ(−z). Dengan kata lain distribusi normal standar simetrik pada z = 0. 2. Berdasarkan sifat khusus pada sifat 1, diperoleh φ0 (z) = −zφ(z)



(2.58)



φ00 (z) = (z 2 − 1)φ(z).



(2.59)



dan



3. Sebagai konsekuensi φ(z) memiliki nilai maksimum tunggal (unique maximum) pada z = 0 dan titik infleksi pada z = ±1. Perhatikan juga bahwa φ(z) → 0 dan −z φ0 (z) = √ →0 2π exp(z 2 /2) sebagaimana z → ±∞.



(2.60)



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



17



Rata-rata dan varians Dengan menggunakan sifat-sifat penting fungsi densitas peluang normal standar dapat dihitung E(Z) dan E(Z 2 ): Z ∞ zφ(z) dz E(Z) = −∞ Z ∞ =− φ0 (z) dz −∞ ∞ = −φ(z) −∞



= 0, (lihat sifat 3)



(2.61)



dan Z



2



∞



E(Z ) =



z 2 φ(z) dz



Z−∞ ∞



[φ00 (z) + φ(z)] dz −∞ ∞ Z ∞ 0 = φ (z) + φ(z) dz =



−∞



−∞



=0+1 = 1.



(2.62)



Dengan demikian var(Z) = E(Z 2 ) − [E(Z)]2 = 1 − 0 = 1. Selanjutnya untuk X ∼ N (µ, σ 2 ) maka E(X) dan E(X 2 ) juga dapat dihitung dengan terlebih dahulu melakukan substitusi z = (x − µ)/σ atau x = σz + µ sehingga dx = σ dz. Kita peroleh Z



∞



E(X) = −∞ ∞



Z =



−∞ ∞



Z =



Z−∞ ∞



    x 1 x−µ 2 √ dx exp − 2 σ 2πσ (σz + µ) √ exp(−z 2 /2)σ dz 2πσ (σz + µ) √ exp(−z 2 /2) dz 2π



=



(σz + µ)φ(z) dz Z ∞ = σzφ(z) dz + µ φ(z) dz −∞ Z ∞ Z−∞ ∞ =σ zφ(z) dz + µ φ(z) dz Z−∞ ∞



−∞



−∞



=0+µ·1 = µ.



(2.63)



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



18



Selanjutnya Z



2



∞



E(X ) = −∞ ∞



Z =



−∞ ∞



Z =



Z−∞ ∞ =



    x2 1 x−µ 2 √ exp − dx 2 σ 2πσ (σz + µ)2 √ exp(−z 2 /2)σ dz 2πσ (σz + µ)2 √ exp(−z 2 /2) dz 2π (σz + µ)z φ(z) dz



Z−∞ ∞



(σ 2 z 2 + 2σzµ + µ2 )φ(z) dz Z−∞ Z ∞ Z ∞ ∞ 2 2 = σ z φ(z) dz + 2σzµφ(z) dz + µ2 φ(z) dz −∞ −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ 2 2 2 φ(z) dz z φ(z) dz + 2σµ zφ(z) dz + µ =σ =



−∞



−∞



−∞



= σ 2 · 1 + 0 + µ2 · 1 = σ 2 + µ2 .



(2.64)



Dengan demikian diperoleh var(X) = E(Z 2 ) − [E(Z)]2 = σ 2 + µ2 − µ2 = σ2.



(2.65)



Teorema 2.4. Jika X ∼ N (µ, σ 2 ), maka (a). peubah acak Z = (X − µ)/σ ∼ N (0, 1), (b). fungsi distribusi X 



 x−µ FX (x) = Φ . σ



(2.66)



Bukti: Akan dibuktikan sifat (a) menggunakan definisi fungsi distribusi FZ (z) = P (Z ≤ z)   X −µ =P ≤z σ = P (X ≤ µ + σz)    Z µ+zσ 1 1 x−µ √ = exp − dx. 2 σ 2πσ −∞ Dengan substitusi w = (x − µ)/σ atau x = µ + 2σ diperoleh batas-batas untuk x = −∞ maka w = −∞ dan untuk x = µ + zσ diperoleh w = z. Sehingga Z z 1 2 √ FZ (z) = e−z /2 σ dz 2πσ Z−∞ z 1 2 √ = e−z /2 dz 2π Z−∞ z = φ(z) dz −∞



= Φ(z).



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



19



√ 2 Dengan menurunkan fZ (z) = FZ0 (z) = ( 2π)−1 e−z /2 . Jadi Z = (X − µ)/σ ∼ N (0, 1). Selanjutnya untuk sifat (b) FX (x) = P (X ≤ x)   x−µ X −µ ≤ =P σ σ   x−µ =Φ σ



Fungsi pembangkit momen Untuk menentukan fungsi pembangkit momen distribusi normal terlebih dahulu diperhatikan fungsi pembangkit momen distribusi normal standar. Z ∞ 1 √ MZ (t) = exp(tz) exp(−z 2 /2) dz 2π −∞ Z −∞ 1 √ exp[−(z − t)2 /2 + t2 /2] dz = 2π −∞ Z ∞ 1 2 √ = exp(t /2) exp[−(z − t)2 /2] dz 2π −∞ = exp(t2 /2) · 1 = exp(t2 /2).



(2.67)



Kita tahu bahwa Z = (X − µ)/σ ∼ N (0, 1) sehingga X = Zσ + µ. Dengan demikian MX (t) = MσZ+µ (t) = exp(µt)MZ (σt) = exp(µt) exp[(σt)2 /2] = exp[µt + (σ 2 t2 )/2]



2.2.5



(2.68)



Distribusi Weibull



Distribusi Weibull merupakan salah satu distribusi yang banyak digunakan dalam bidang pengujian tahan hidup benda. Distribusi ini diberi nama setelah fisikawan W. Weibull, menyarankan penggunaannya pada berbagai aplikasi, terutama uji kelelahan dan kekuatan material. Peubah acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi Weibull dengan parameter θ > 0 dan β > 0 untuk x > 0, dinotasikan WEI(θ, β), bila memiliki fungsi densitas peluang dengan bentuk   β xβ−1 e−(x/θ)β , jika x > 0; fX (x; θ, β) = θβ (2.69) 0, jika x lainnya. Parameter β disebut parameter bentuk (shape parameter ). Seperti halnya pada distribusi gamma, maka akan ada tiga bentuk dasar bergantung pada β < 1, β = 1, atau β > 1. Fungsi distribusi kumulatif Rata-rata dan varians Untuk menghitung E(X) dan E(X 2 ) dapat memanfaatkan sifat-sifat fungsi gamma.



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



Z



∞



β β xxβ−1 e−(x/θ) dx β θ



E(X) = 0



β = β θ



20



Z



∞



β



x(1+β)−1 e−(x/θ) dx



(2.70)



0



Untuk menyelesaikan Persamaan (2.70) lakukan substitusi (x/θ)β = u, sehingga dx = [(θu1/2−1 )/β] du. Dengan demikian Z ∞ θ β (θu1/β )1+β−1 e−u u1/β−1 du E(X) = β β θ 0 Z ∞ θ β (θu1/β )β e−u u1/β−1 du = β β θ 0 Z ∞ θ β θβ u e−u u1/β−1 du = β β θ 0 Z ∞ =θ u(1+1/β)−1 e−u du 0   1 . (2.71) = θΓ 1 + β Selanjutnya untuk menghitung E(X 2 ) lakukan substitusi seperti pada waktu menghitung E(X). 2



Z



E(X ) =



∞



β 2 β−1 −(x/θ)β x x e dx θβ



0 Z ∞ β β = β x(2+β)−1 e−(x/θ) dx θ 0 Z ∞ β θ = β (θu1/β )β+1 e−u u1/β−1 du β θ 0 Z ∞ θ β (θβ+1 u(1+1/β )) e−u u(1/β−1) du = β β θ 0 Z ∞ 2 =θ u(2/beta+1)−1 e−u du 0   2 2 =θ Γ 1+ . β



(2.72)



Berdasarkan Persamaan (2.70) dan (2.72) diperoleh var(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2      2 1 2 = θ2 Γ 1 + − θΓ 1 + β β      2 1 2 2 =θ Γ 1+ − θΓ 1 + . β β



2.2.6



(2.73)



Fungsi pembangkit momen



Fungsi pembangkit momen distribusi Weibull menghasilkan bentuk yang tidak terlacak (not tractable).



2.3



Latihan Soal



2-1 Waktu tahan hidup (survival time) dalam hari suatu tikus putih yang bergantung pada tingkat radiasi sinar X adalah peubah acak X ∼ GAM(5, 4). Hitunglah:



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



21



a) P (X ≤ 15); b) P (15 < X < 20); c) Nilai harapan tahan hidup, E(X). [Petunjuk: gunakan teorema tentang sifat fungsi distribusi gamma] 2-2 Waktu (dalam menit) sampai pelanggan ketiga memasuki supermarket adalah peubah acak X ∼ GAM(1, 3). Jika toko buka jam 08.00, hitunglah peluang bahwa: a) pelanggan ketiga datang antara jam 08.05 dan 08.10; b) pelanggan ketiga datang setelah jam 08.10. 2-3 Jika X ∼ GAM(1, 2) hitunglah modusnya. 2-4 Misal peubah acak X berdistribusi gamma dengan fungsi densitas peluang   1 x e−x/β , untuk 0 < x < ∞; fX (x; β) = β 2 0, untuk x lainnya. Jika x = 2 adalah modus tunggal (unique mode) dari distribusi, hitunglah parameter β. 2-5 Jika fungsi pembangkit momen peubah acak W adalah MW (t) = (1 − 7t)−20 , carilah fungsi densitas peluangnya, nilai tengah (rata-rata), dan varians W . 2-6 Misal X ∼ N (10, 16). Hitunglah: a) P (X ≤ 14); b) P (4 ≤ X ≤ 18); c) P (2X − 10 ≤ 18); 2-7 Misal suatu LCD proyektor menghasilkan jumlah cahaya (dalam lumens) dan dianggap berdistribusi normal dengan rata-rata µ = 350 dan varians σ 2 = 400. a) Hitunglah P (325 < X < 363). b) Carilah nilai c sehingga jumlah cahaya yang dihasilkan 90% cahaya LCD melebihi c lumens. 2-8 Misal X ∼ N (1, 2). a) Hitung E(X − 1)4 . b) Hitung E(X 4 ).



2.4



Latihan Soal Teoretis



2-1* Jika κ > 1, tunjukkan bahwa densitas gamma memiliki nilai maksimum pada (κ − 1)/θ. 2-2* Fungsi gamma adalah fungsi faktorial yang diperumum (generalized factorial function). a) Tunjukkan bahwa Γ(x + 1) = xΓ(x).



BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS



b) Gunakan fakta bahwa Γ(1/2) = bulat ganjil maka



√



22



π untuk menunjukkan bahwa jika n adalah bilangan √



Γ(n/2) =



π(n − 1)!  . n−1 n−1 ! 2 2



2-3* Tunjukkan dengan teknik pengubahan variabel (change of variable) bahwa Z ∞ 2 t2x−1 e−t dt Γ(x) = 2 0 Z ∞ t = ext e− e dt. −∞



BAB 3 PEUBAH ACAK BERGANDA



Kompetensi Dasar Membedakan sifat-sifat nilai harapan dan fungsi pembangkit momen. Indikator Pencapaian Mampu memisahkan sifat-sifat nilai harapan, harapan bersyarat, dan fungsi pembangkit momen. Materi Pokok 3.1 Distribusi Bersama dan Marginal 3.2 Peubah Acak Bebas 3.3 Distribusi Bersyarat 3.4 Latihan Soal



Dalam banyak aplikasi biasanya terdapat lebih dari satu peubah acak yang menjadi objek penelitian, katakanlah X1 , . . . , Xk . Secara matematis akan lebih mudah mengganggap peubahpeubah ini sebagai komponen dari vektor dimensi k, X = X1 , . . . , Xk , dan juga nilai-nilai x = (x1 , . . . , xk ) dalam ruang Euclid berdimensi k. Nilai amatan x dapat merupakan hasil dari pengukuran karakteristik-karakteristik sebanyak k, atau hasil dari pengukuran satu karakteristik sebanyak k kali (hasil dari k kali percobaan yang diulang pada satu peubah saja).



3.1 3.1.1



Distribusi Bersama dan Marginal Distribusi Diskrit Bersama



Definisi 3.1 (Fungsi densitas peluang bersama). Fungsi densitas peluang bersama (joint probability distribution function) dari peubah acak diskrit dimensi k, X = (X1 , . . . , Xk ), didefinisikan sebagai fX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) = P (X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xk = xk ) untuk semua nilai yang mungkin X = (x1 , . . . , xk ) dari X. Dalam konteks ini, notasi (X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xk = xk ) menyatakan irisan k kejadian (X1 = x1 ), (X2 = x2 ) ∩ · · · ∩ (Xk = xk ). Contoh 3.1. Sebuah kotak berisi 1000 bola, 500 berwarna merah, 400 berwarna putih, dan 100 berwarna biru. Jika sepuluh bola dipilih secara acak tanpa pengendalian, maka jumlah 23



BAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA



24



bola merah, X1 , dan jumlah bola putih, X2 , dalam sampel adalah peubah acak diskrit yang berdistribusi bersama. Fungsi densitas bersama pasangan (X1 , X2 ) dinyatakan oleh     500 400 100 x1 x2 10 − x1 − x2   fX1 ,X2 (x1 , x2 ) = 1000 10 untuk semua 0 ≤ x1 , 0 ≤ x2 , dan x1 + x2 ≤ 10.



3.1.2



Distribusi Hypergeometrik yang Diperluas



Misal suatu koleksi terdiri dari suatu jumlah item tertentu N , dan terdapat k + 1 jenis berbeda; M1 jenis 1, M2 jenis 2, dan seterusnya. Pilih n item secara acak tanpa pengembalian, dan misal Xi adalah jumlah item jenis i yang terpilih. Vektor X = (X1 , . . . , Xk ) berdistribusi hipergeometrik diperluas (extended hypergeometric distribution) dengan fungsi densitas peluang dalam bentuk       Mk Mk+1 M2 M1 ··· x2 x xk+1 x1   k fX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) = N n P Pk untuk semua 0 ≤ xi ≤ Mi , dengan Mk+1 = N − i=1 Mi dan xk+1 = n − ki=1 xi . Notasi khusus untuk distribusi ini adalah X ∼ HYP(n, M1 , M2 , . . . , Mk , N ). Apabila pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian, maka vektor X akan berdistribusi multinomial.



3.1.3



Distribusi Multinomial



Misal terdapat k+1 kejadian saling lepas (mutually exclusive) dan exhaustive, yakni, E1 , E2 , . . . , Ek , Ek+1 , yang dapat terjadi pada setiap percobaan, dan misal pi = P (Ei ) untuk i = 1, 2, . . . , k + 1. Pada setiap n kali percobaan bebas, misalkan Xi adalah banyaknya kejadian Ei . Vektor X = (X1 , . . . , Xk ) dikatakan memiliki distribusi multinomial, dengan fungsi densitas bersama dalam bentuk n! xk+1 fX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) = px1 px2 · · · pk+1 (3.1) x1 !x2 ! · · · xk+1 ! 1 2 P P untuk semua 0 ≤ xi ≤ n, dimana xk+1 = n − ki=1 xi dan pk+1 = 1 − ki=1 pi . Notasi untuk distribusi ini adalah X ∼ MULT(n, p1 , p2 , . . . , pk ). Persamaan (3.1) mirip dengan distribusi binomial. Untuk terjadinya Ei sebanyak xi kali, diperlukan permutasi E1 sebanyak x1 , E2 sebanyak x2 , dan seterusnya. Banyaknya permutasi untuk kejadian-kejadian tersebut adalah n! , (x1 !)(x2 !) · · · (xk+1 !) x



k+1 dan masing-masing permutasi terjadi dengan peluang px1 1 px2 2 · · · pk+1 .



Contoh 3.2. Sebuah dadu bermata empat dilemparkan sebanyak 20 kali, dan munculnya masing-masing sisi dicatat. Peluang mendapatkan empat mata 1, enam mata 2, lima mata 3, dan lima mata 4 serta nilai pi = 0,25 adalah 20! (0,25)20 = 0,0089. (4!)(6!)(5!)(5!)



BAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA



25



Teorema 3.1. Suatu fungsi fX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) adalah fungsi densitas peluang bersama untuk beberapa peubah acak bernilai vektor X = (X1 , . . . , Xk ) jika dan hanya jika sifat-sifat berikut dipenuhi: fX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) ≥ 0 untuk semua nilai yang mungkin (x1 , . . . , xk ) dan X



···



X



f (x1 , . . . , xk ) = 1.



xk



x1



Dalam kasus dua dimensi, akan lebih mudah menyajikan fungsi densitas bersama dalam bentuk tabel, lebih khusus lagi, jika bentuk fungsional untuk fungsi densitas bersama fX1 ,X2 (x1 , x2 ) tidak diketahui. Misal (X1 , X2 ) ∼ MULT(3; 0,4, 0,4). Bentuk tabel untuk nilai fungsi densitasnya adalah sebagai berikut:



x1



0 1 2 3



0 0,008 0,048 0,096 0,064 0,216



x2 1 0,048 0,192 0,192 0,000 0,432



2 0,096 0,192 0,000 0,000 0,288



3 0,064 0,000 0,000 0,000 0,064



0,216 0,432 0,288 0,064 1



Dengan melihat tabel diatas, kita tertarik untuk menghitung peluang "marjinal", yakni P (X1 = 1), tanpa memperhatikan nilai X2 . Relatif terhadap ruang sampel bersama, X2 mempunyai pengaruh pada partisi kejadian, katakanlah A, bahwa X1 = 1; penghitungan peluang marjinal P (A) = P (X1 = 1) menjadi P (A) =



3 X



P (X1 = 1, X2 = j)



j=0



=



3 X



fX1 ,X2 (1, j)



j=0



=



X



f (1, x2 )



x2



= 0,432. Definisi 3.2 (Fungsi densitas marjinal). Jika pasangan peubah acak diskrit (X1 , X2 ) memiliki fungsi densitas bersama fX1 ,X2 (x1 , x2 ), maka fungsi densitas peluang marjinal X1 dan X2 adalah X fX1 (x1 ) = fX1 ,X2 (x1 , x2 ) x2



dan fX2 (x2 ) =



X x1



fX1 ,X2 (x1 , x2 ).



BAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA



26



Contoh 3.3. Misal (X1 , X2 ) ∼ MULT(n, p1 , p2 ), maka fungsi densitas marjinal X1 adalah X fX1 ,X2 (x1 , x2 ) fX1 (x1 ) = x2



=



n−x X1



fX1 ,X2 (x1 , x2 )



x2 =0 n−x X1 (n − x1 )!px2 [(1 − p1 ) − p2 ](n−x1 )−x2 n! 2 px1 1 x1 !(n − x1 )! x2 ![(n − x1 ) − x2 ]! x2 =0 n−x X1 n − x1  n! x1 px2 2 [(1 − p1 ) − p2 ](n−x1 )−x2 = p x2 x1 !(n − x1 )! 1 x2 =0   n x1 = p [p2 + (1 − p1 ) − p2 ]n−x1 x1 1   n x1 = p (1 − px1 )n−x1 . x1 1



=



(3.2)



Persamaan (3.2) merupakan bentuk distribusi dari binomial(n, p1 ), dengan kata lain X1 ∼ binomial(n, p1 ). Definisi 3.3 (Fungsi distribusi kumulatif bersama). Fungsi distribusi kumulatif bersama k peubah acak X1 , . . . , Xk adalah fungsi yang didefinisikan oleh FX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) = P (X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2 , . . . , Xk ≤ xk ). Teorema 3.2 (Fungsi distribusi kumulatif bivariat). Suatu fungsi FX1 ,X2 (x1 , x2 ) adalah fungsi distribusi kumulatif bivariat jika dan hanya jika: (i) limx1 →−∞ FX1 ,X2 (x1 , x2 ) = FX1 ,X2 (−∞, x2 ) = 0 untuk semua x2 ; (ii) limx2 →−∞ FX1 ,X2 (x1 , x2 ) = FX1 ,X2 (x1 , −∞) = 0 untuk semua x1 ; (iii) limx1 →∞ FX1 ,X2 (x1 , x2 ) = FX1 ,X2 (∞, ∞) = 1; x2 →∞



(iv) Untuk semua a < b dan c < d berlaku: F (b, d) − F (b, c) − F (a, d) + F (a, c) ≥ 0; (v) limh→0+ FX1 ,X2 (x1 + h, x2 ) = limh→0+ FX1 ,X2 (x1 , x2 + h) = FX1 ,X2 (x1 , x2 ) untuk semua x1 dan x2 . Contoh 3.4. Misal suatu fungsi didefinisikan sebagai berikut: ( 0, jika x1 + x2 < −1; FX1 ,X2 (x1 , x2 ) = 1, jika x1 + x2 ≥ −1. Jika a = c = −1 dan b = d maka F (1, 1) − F (1, −1) − F (−1, 1) + F (−1, −1) = 1 − 1 − 1 + 0 = −1. Dengan kata lain sifat (iv) dalam Teorema 3.2 tidak dipenuhi.



BAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA



3.1.4



27



Distribusi Kontinu Bersama



Definisi 3.4 (Fungsi peluang bersama kontinu). Suatu vektor peubah acak berdimensi k, X = (X1 , . . . , Xk ) dikatakan kontinu jika terdapat suatu fungsi fX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) disebut fungsi densitas bersama dari X, sedemikian hingga fungsi distribusi kumulatif bersama dapat ditulis sebagai Z Z xk



FX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) =



x1



··· −∞



−∞



fT1 ,T2 ,...,Tk (t1 , . . . , tk ) dt1 · · · dtk



(3.3)



untuk semua x = (x1 , . . . , xk ). Seperti halnya dalam kasus satu dimensi, fungsi densitas bersama dapat diperoleh dari fungsi distribusi kumulatif bersama dengan menurunkan FX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) pada Persamaan (3.3), yakni ∂k fX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) = FX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ). ∂x1 · · · ∂xk bilamana turunan parsialnya ada. Teorema 3.3 (Syarat fungsi densitas bersama). Sembarang fungsi fX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) adalah fungsi densitas bersama dari peubah acak berdimensi k jika dan hanya jika fX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ≥ 0) untuk semua x1 , . . . , xk dan



Z



∞



Z



∞



··· −∞



−∞



fX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) dx1 · · · dxk = 1.



Contoh 3.5. Misal X1 menyatakan konsentrasi substansi dalam suatu percobaan pertama dan X2 menyatakan konsentrasi substansi dalam percobaan kedua. Dianggap fungsi densitas bersama diberikan oleh ( 5x1 x2 untuk 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1; fX1 ,X2 (x1 , x2 ) = 0 untuk x yang lain. Fungsi distribusi kumulatif bersama diberikan oleh Z x2 Z x1 FX1 ,X2 (x1 , x2 ) = fT1 ,T2 (t1 , t2 ) dt1 dt2 −∞ Z−∞ Z x2 x1 = 5t1 t2 dt1 dt2 0 0  Z x2  5 2 x1 = t1 t2 dt2 2 0 0 Z 5 2 x2 t2 dt2 = x1 2 0   5 2 1 2 x2 = x1 t 2 2 1 0 5 1 = x21 x22 2 2 5 = x21 x22 4 untuk 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1. Menghitung peluang bersama dengan mengintegralkan fungsi densitas bersama peluang pada daerah yang bersesuaian juga dimungkinkan. Misalnya, kita akan menghitung peluang untuk kedua percobaan, bahwa "rata-rata konsentrasi kurang dari 0,5". Kejadian ini dapat dinyatakan



BAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA



28



oleh [(X1 + X2 )/2 < 0,5], atau apabila himpunan A = {(x1 , x2 ) : (x1 + x2 )/2 < 0,5} maka dapat dinyatakan sebagai [(X1 + X2 ) ∈ A]. Denga demikian, P [(X1 + X2 )/2 < 0,5] = P [(X1 , X2 ) ∈ A] Z Z = fX1 ,X2 (x1 , x2 ) dx1 dx2 A Z 1 Z 1−x2 5x1 x2 dx1 dx2 = 0 0  Z 1  5 2 1−x2 x2 = dx2 x 2 1 0 0 Z 1 5 = x2 (1 − x2 )2 dx2 0 2 Z 1 5 x2 (1 − 2x2 + x22 ) dx2 = 0 2 Z 1 5 = (x2 − 2x22 + x32 ) dx2 2 0   5 1 2 2 3 1 4 1 = x − x2 + x 2 2 3 4 0   5 1 2 1 − + = 2 2 3 4 5 = . 24 Secara umum untuk peubah acak kontinu X = (X1 , . . . , Xk ) dimensi k dan kejadian A dimensi k kita punya Z Z P (X ∈ A) =



···



fX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) dx1 · · · dxk .



A



Definisi 3.5 (Fungsi densitas marjinal). Jika pasangan peubah acak kontinu (X1 , X2 ) memiliki fungsi densitas peluang bersama fX1 ,X2 (x1 , x2 ), maka fungsi densitas peluang marjinal X1 dan X2 adalah Z ∞ fX1 (x1 ) = fX1 ,X2 (x1 , x2 ) dx2 −∞



dan Z fX2 (x2 ) =



∞



−∞



fX1 ,X2 (x1 , x2 ) dx1 .



Jika kita tinjau lagi Contoh 3.5, maka fungsi densitas marjinal X1 adalah Z 1 fX1 (x1 ) = 5x1 x2 dx2 0 Z 1 = 5x1 x2 dx2 0   1 2 1 x = 5x1 2 2 0 5 = x1 , 2 untuk setiap 0 < x1 < 1 dan nol untuk yang lain.



BAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA



29



Definisi 3.6 (Fungsi distribusi kumulatif marjinal). Jika X = (X1 , . . . , Xk ) adalah peubah acak dimensi k dengan fungsi distribusi bersama FX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ), maka fungsi distribusi kumulatif marjinal Xj adalah FXj (xj ) =



lim



xj →∞ semua i6=j



FX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xj , . . . , xk ).



Lebih lanjut, jika peubah acak X diskrit, maka fungsi densitas peluang marjinalnya adalah X X fXj (xj ) = ··· fX1 ,...,Xk f (x1 , . . . , xj , . . . , xk ) semua i6=j



dan jika X kontinu maka Z fXj (xj ) =



Z ···



fX1 ,...,Xk f (x1 , . . . , xj , . . . , xk ) dx1 · · · dxk .



semua i6=j



Contoh 3.6. Misal X1 ,X2 , dan X3 adalah peubah-peubah acak kontinu dengan fungsi densitas bersama dalam bentuk ( c, untuk 0 < x1 < x2 < x3 < 1, (3.4) fX1 ,X2 ,X3 (x1 , x2 , x3 ) = 0, untuk x yang lain, Nilai konstanta c dapat dihitung berdasarkan Teorema 3.3, yakni c = 6. Dengan demikian Z x3 Z x2 fX3 (x3 ) = 6 dx1 dx2 0 0 Z x3  x2  x1 =6 dx2 0 0 Z x3 =6 x2 dx2 0   6 2 x2 = x2 2 0 = 3x23 , jika 0 < x3 < 1 dan nol untuk yang lain.



3.2



Peubah Acak Bebas



Definisi 3.7 (Peubah acak bebas). Peubah-peubah acak X1 , . . . , Xk dikatakan bebas jika untuk setiap ai < bi k Y P (a1 ≤ X1 ≤ b1 , . . . , ak ≤ Xk ≤ bk ) = P (ai ≤ Xi ≤ bi ). (3.5) i=1



Pernyataan pada sisi kanan Persamaan (3.5) merupakan perkalian peluang marjinal P (a1 ≤ X1 ≤ b1 ), . . . , P (ak ≤ Xk ≤ bk ). Dalam konteks ini disebut pula bebas secara stokastik (stochastically independent). Jika syarat pada Persamaan (3.5) tidak dipenuhi untuk semua ai < bi , maka peubah acak tersebut disebut tidak bebas (dependent). Contoh 3.7. Misal X1 dan X2 adalah peubah acak diskrit dengan peluang bersama diberikan tabel berikut: Pada Tabel 3.7, nilai fungsi fX1 ,X2 (1, 1) = 0,2 = fX1 (x1 )fX2 (x2 ). Namun, nilai fX1 ,X2 (1, 2) = 0,1 6= fX1 (1)fX2 (2). Dengan demikian peubah acak X1 dan X2 tidak bebas.



BAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA



30



Tabel 3.1: Nilai fungsi densitas bersma dua peubah acak



x1 fX2 (x2 )



0 1 2



0 0,1 0,1 0,1 0,3



x2 1 0,2 0,2 0,1 0,5



2 0,1 0,1 0 0, 2



fX1 (x1 ) 0,4 0,4 0,2



Teorema 3.4. Peubah acak X1 , . . . , Xk adalah bebas jika dan hanya jika salah satu dari sifat berikut dipenuhi: (i) FX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) = FX1 (x1 ) · · · FXk (xk ), atau (ii) fX1 ,...,Xk (x1 , . . . , xk ) = fX1 (x1 ) · · · fXk (xk ), dimana FXi (xi ) dan fXi (xi ) adalah fungsi distribusi kumulatif marjinal dan fungsi densitas dari Xi . Teorema 3.5. Dua peubah acak X1 dan X2 dengan fungsi densitas bersama fX1 ,X2 (x1 , x2 ) dikatakan bebas jika dan hanya jika: (i) himpunan pendukung, {(x1 , x2 ) : fX1 ,X2 (x1 , x2 ) > 0} , adalah produk Cartesius, A × B, dan (ii) fungsi densitas bersama dapat difaktorkan menjadi produk dari fungsi-fungsi x1 dan x2 , fX1 ,X2 (x1 , x2 ) = gX1 (x1 )hX2 (x2 ). Contoh 3.8. Fungsi densitas bersama dari pasangan peubah acak X1 dan X2 dinyatakan oleh ( 8x1 x2 untuk 0 < x1 < x2 < 1; fX1 ,X2 (x1 , x2 ) = 0 untuk x lainnya. Dalam kasus ini himpunan pendukungnya adalah {(x1 , x2 )|0 < x1 < 1 dan 0 < x2 < 1} dapat dinyatakan sebagai A × B, dimana A dan B keduanya selang terbuka (0, 1). Bagian kedua pada Teorema 3.5 dipenuhi karena x1 x2 bisa difaktorkan sebagai gX1 (x1 )hX2 (x2 ). Dengan demikian, X1 dan X2 bebas. Contoh 3.9. Fungsi densitas bersama dari pasangan peubah acak X1 dan X2 dinyatakan oleh ( x1 + x2 untuk 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1; fX1 ,X2 (x1 , x2 ) = 0 untuk x lainnya. Dalam kasus ini himpunan pendukungnya adalah {(x1 , x2 )|0 < x1 < 1 dan 0 < x2 < 1} dapat dinyatakan sebagai A×B, dimana A dan B keduanya selang terbuka (0, 1). Namun, bagian kedua pada Teorema 3.5 tidak dipenuhi karena x1 + x2 tidak bisa difaktorkan sebagai gX1 (x1 )hX2 (x2 ). Dengan demikian, X1 dan X2 tidak bebas.



3.3 3.3.1



Distribusi Bersyarat Distribusi Bersyarat



Konsep kebebasan juga berhubungan dengan peluang bersyarat dan hal ini menyarankan bahwa definisi peluang bersyarat dari kejadian dapat diperluas untuk konsep peubah acak bersyarat.



BAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA



31



Definisi 3.8 (Fungsi densitas peluang bersyarat). Jika X1 dan X2 adalah peubah acak diskrit atau kontinu dengan fungsi densitas peluang bersama fX1 ,X2 (x1 , x2 ) maka fungsi densitas peluang bersyarat dari X2 diketahui X1 = x1 didefinisikan sebagai fX2 |X1 =x1 (x2 |x1 ) =



fX1 ,X2 (x1 , x2 ) fX1 (x1 )



untuk nilai x1 sedemikian hingga fX1 (x1 ) > 0 dan nol untuk yang lain. Dengan cara yang sama, fungsi densitas peluang bersyarat X1 diberikan X2 = x2 adalah fX1 |X2 =x2 (x1 |x2 ) =



fX1 ,X2 (x1 , x2 ) fX2 (x2 )



untuk nilai x2 sedemikian hingga fX2 (x2 ) > 0 dan nol untuk yang lain. Untuk kasus diskrit fungsi densitas peluang bersyarat sebenarnya adalah peluang bersyarat. Sebagai misal, jika X1 dan X2 adalah diskrit, maka fX1 ,X2 (x1 , x2 ) adalah peluang bersyarat kejadian (X2 = x2 ) diberikan kejadian (X1 = x1 ). Namun, dalam kasus kontinu interpretasi pada fungsi densitas peluang bersyarat tidak jelas karena P (X1 = x1 ) = 0. Meskipun fX1 ,X2 (x1 , x2 ) tidak dapat diinterpretasikan sebagai peluang bersyarat dalam hal ini, namun dapat dianggap sebagai penugasan "densitas peluang" bersyarat untuk selang kecil sembarang [x2 , x2 + ∆x2 ], seperti halnya fungsi densitas peluang marjinal fX2 (x2 ) menugaskan densitas peluang marjinal. Dengan demikian untuk kasus kontinu, peluang bersyarat kejadian dengan bentuk a ≤ X2 ≤ b diberikan X1 = x1 dinyatakan sebagai Z b P (a ≤ X2 ≤ b|X1 = x1 ) = fX2 |X1 =x1 (x2 |x1 ) dx2 a Rb a fX1 ,X2 (x1 , x2 ) dx2 = R∞ . −∞ fX1 ,X2 (x1 , x2 ) dx2 Contoh 3.10. Misal X1 ,X2 , dan X3 adalah peubah-peubah acak kontinu dengan fungsi densitas bersama berbentuk ( 6, untuk 0 < x1 < x2 < x3 < 1, fX1 ,X2 ,X3 (x1 , x2 , x3 ) = 0, untuk x yang lain. Maka peluang bersyarat X3 diketahui (X1 , X2 ) = (x1 , x2 ) adalah fX1 ,X2 ,X3 (x1 , x2 , x3 ) fX1 ,X2 (x1 , x2 ) 6 = 6(1 − x2 ) 1 = untuk 0 < x1 < x2 < x3 < 1 1 − x2



fX3 |X1 =x1 ,X2 (x3 |x1 , x2 ) =



dan nol untuk x lainnya. Teorema 3.6. Jika X1 dan X2 adalah peubah-peubah acak dengan fungsi densitas bersama fX1 ,X2 (x1 , x2 ) dan fungsi densitas peluang marjinal fX1 (x1 ) dan fX2 (x2 ), maka fX1 ,X2 (x1 , x2 ) = fX1 (x1 )fX2 |X1 =x1 (x2 |x1 ) = fX2 (x2 )fX1 |X2 =x2 (x1 |x2 ) dan jika X1 dan X2 saling bebas, maka fX2 |X1 =x1 (x2 |x1 ) = fX2 (x2 ) dan fX1 |X2 =x2 (x1 |x2 ) = fX1 (x1 ).



BAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA



3.4



32



Latihan Soal



3-1 Misal X1 dan X2 adalah peubah acak diskrit dengan fungsi peluang densitas (massa) peluang bersama dengan bentuk fX1 ,X2 (x1 , x2 ) = c(x1 + x2 ) untuk x1 = 0, 1, 2; x2 = 0, 1, 2; dan nol untuk x1 dan x2 lainnya. Hitunglah konstanta c. 3-2 Misal X1 dan X2 adalah peubah acak diskrit dengan fungsi densitas peluang bersama fX1 ,X2 (x1 , x2 ) diberikan oleh tabel berikut:



x1



1 2 3



1 1/12 0 1/18



x2 2 1/6 1/9 1/4



3 0 1/5 2/15



a) Carilah fungsi densitas peluang marjinal X1 dan X2 . b) Apakah X1 dan X2 saling bebas? Jelaskan! c) Hitung P (X1 ≤ 2). d) Hitung P (X1 ≤ X2 ). e) Tabulasikan fungsi densitas peluang bersyarat fX2 |X1 =x1 (x2 |x1 ) dan fX1 |X2 =x2 (x1 |x2 ). 3-3 Misal X1 dan X2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas peluang bersama dengan bentuk ( 2e−(x1 +x2 ) jika 0 < x1 < x2 dan x2 > 0; fX1 ,X2 (x1 , x2 ) = 0 untuk x1 dan x2 lainnya. a) Hitung fX1 (x1 ) dan fX2 (x2 ). b) Hitung fX1 |X2 =x2 (x1 |x2 ) dan fX2 |X1 =x1 (x2 |x1 ). c) Apakah X1 dan X2 bebas? 3-4 Misal X dan Y memiliki fungsi densitas bersama ( (2/3)(x + 1) untuk 0 < x < 1, 0 < y < 1; fX,Y (x, y) = 0 untuk x dan y lainnya. a) Hitung fungsi distribusi kumulatif bersama FX,Y (x, y). b) Hitung fY |X=x (y|x). c) Hitung fX|Y =y (x|y). d) Hitung P (x ≤ 0,5|Y = 0,75). e) Hitung P (x ≤ 0,5|Y ≤ 0,75).



BAB 4 SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK



Kompetensi Dasar Menghasilkan transformasi peubah acak. Indikator Pencapaian Membuat transformasi peubah acak dengan menggunakan teknik fungsi distribusi, metode transformasi, formula konvolusi, dan fungsi pembangkit momen. Materi Pokok 4.1 Sifat-sifat Nilai Harapan 4.2 Kovarians dan Korelasi 4.3 Harapan Bersyarat 4.4 Fungsi Pembangkit Momen Bersama 4.5 Latihan Soal 4.6 Latihan Soal Teoretis



Penggunaan peubah acak dan distribusi peluangnya telah dibicarakan sebagai suatu cara untuk mengekspresikan suatu model matematika untuk suatu fenomena fisikal nondeterministik. Peubah acak mungkin berasosiasi dengan beberapa karakteristik numerik dari populasi sebenarnya atau konsep dari item-item dan fungsi densitas peluang mewakili distribusi populasi terhadap semua nilai yang mungkin dari karakteristiknya. Seringkali densitas populasi yang sesungguhnya tidak diketahui. Salah satu kemungkinan adalah mempertimbangkan suatu keluarga fungsi densitas peluang yang diindeks oleh suatu parameter yang tidak diketahui sebagai suatu model yang mungkin dan berkonsentrasi pada memiliki suatu nilai untuk parameter tersebut. Penekanan utama dalam statistika adalah mengembangkan pendugaan (estimates) parameter yang tidak diketahui berdasarkan data sampel. Pada beberapa kasus suatu parameter mungkin mewakili suatu kuantitas yang berarti secara fisika, misalnya rata-rata atau nilai tengah dari populasi. Dengan demikian, sangatlah bermanfaat untuk mendefinisikan dan mempelajari beragam sifat peubah acak yang mungkin berguna dalam mewakilkan dan menginterpretasikan populasi sesungguhnya (original population), begitu pula berguna dalam pendugaan atau pemilihan model yang sesuai. Pada beberapa kasus, sifat-sifat khusus dari suatu model (misalnya sifat no memory distribusi eksponensial) mungkin cukup membantu dalam mengindikasikan jenis asumsi fisika yang 33



BAB 4. SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK



34



konsisten dengan model, meskipun implikasi dari model biasanya kurang jelas. Pada kasus seperti ini kebergantungan lebih banyak didasarkan pada ukuran-ukuran deskriptif seperti varians dari suatu distribusi. Pada bab ini, ukuran-ukuran deskriptif tambahan dan sifat-sifat peubah acak akan dikembangkan.



4.1



Sifat-sifat Nilai Harapan



Saat membicarakan nilai harapan kita sering tertarik dengan fungsi dari satu atau lebih peubah acak. Sebagai contoh, suatu studi melibatkan suatu vektor dari k peubah acak, X = (X1 , . . . , Xk ) dan kita ingin menghitung nilai harapan dari beberapa fungsi dari X, katakanlah Y = u(X). Notasi yang digunakan dapat berupa E(Y ), E[u(X)], atau EX [u(X)]. Teorema 4.1 ( Bain and Engelhardt (1992)). Jika X = (X1 , . . . , Xk ) memiliki suatu fungsi densitas peluang bersama fX (x1 , . . . , xk ) dan jika Y = u(X1 , . . . , Xk ) adalah fungsi dari X, maka E(Y ) = EX [u(X1 , . . . , Xk )], dengan (P P u(x1 , . . . , xk )fX (x1 , . . . , xk ), jika X diskrit; x1 · · · R ∞xk EX [u(X1 , . . . , Xk )] = R ∞ jika X kontinu. −∞ · · · −∞ u(x1 , . . . , xk )fX (x1 , . . . , xk ) dx1 · · · dxk , (4.1) Teorema 4.2. Jika X1 dan X2 adalah peubah-peubah acak dengan fungsi densitas peluang bersama fX1 ,X2 (x1 , x2 ) maka E(X1 + X2 ) = E(X1 ) + E(X2 ).



(4.2)



Bukti: Catatan: nilai harapan pada sisi kiri dari persamaan (4.2) adalah relatif terhadap fungsi densitas peluang bersama X = (X1 , X2 ) sementara suku-suku pada sisi kanan relatif terhadap fungsi densitas bersama atau marjinal. Dengan kata lain, persamaan yang lebih tepat untuk (4.2) adalah EX (X1 + X2 ) = EX (X1 ) + EX (X2 ) = EX1 (X1 ) + EX2 (X2 ). Akan dibuktikan untuk kasus kontinu: E(X1 + X2 ) = EX (X1 + X2 ) Z ∞Z ∞ = (x1 + x2 )fX1 ,X2 (x1 , x2 ) dx1 dx2 −∞ Z−∞ Z Z ∞Z ∞ ∞ ∞ = x1 fX1 ,X2 (x1 , x2 ) dx1 dx2 + x2 fX1 ,X2 (x1 , x2 ) dx1 dx2 −∞ −∞ −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ = x1 fX1 ,X2 (x1 , x2 ) dx2 dx1 + x2 fX1 ,X2 (x1 , x2 ) dx1 dx2 −∞ −∞ −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ = x1 fX1 (x1 ) dx1 + x2 fX2 (x2 ) dx2 −∞



= EX1 (X1 ) + EX2 (X2 ) = E(X1 ) + E(X2 ).



−∞



BAB 4. SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK



35



Selanjutnya untuk kasus diskrit adalah sebagai berikut: E(X1 + X2 ) = EX (X1 + X2 ) ∞ ∞ X X = (x1 + x2 )fX1 ,X2 (x1 , x2 ) =



=



=



x2 =−∞ x1 =−∞ ∞ ∞ X X



x2 =−∞ x1 =−∞ ∞ ∞ X X



fX1 ,X2 (x1 , x2 ) +



x1



x1 =−∞ ∞ X



∞ X



x1 fX1 ,X2 (x1 , x2 ) +



∞ X



x1 fX1 (x1 ) +



x1 =−∞



x2 fX1 ,X2 (x1 , x2 )



x2 =−∞ x1 =−∞ ∞ ∞ X X



x2



x2 =−∞



x2 =−∞



∞ X



x1 fX1 ,X2 (x1 , x2 )



x1 =−∞



x2 fX1 (x2 )



x2 =−∞



= EX1 (X1 ) + EX2 (X2 ) = E(X1 ) + E(X2 ).



Dengan Teorema 4.2 kasus dapat diperluas sampai k peubah. Jika a1 , . . . , ak adalah konstantakonsta dan jika X1 , . . . , Xk adalah peubah-peubah acak yang berdistribusi secara bersama-sama, maka X  X k k E ai Xi = E(Xi ). (4.3) i=1



i=1



Teorema 4.3. Jika X dan Y adalah peubah-peubah acak saling bebas dan g(x) dan h(y) adalah fungsi-fungsi maka E[g(X)h(Y )] = E[g(X)] E[h(Y )]. (4.4) Bukti: Akan dibuktikan untuk kasus kontinu: Z ∞ Z ∞ E[g(X)h(Y )] = g(x)h(y)fX,Y (x, y) dx dy −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ = g(x)h(y)fX (x)fY (y) dx dy −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ = g(x)fX (x) dx fY (y) dy −∞



−∞



= E[g(X)] E[h(Y )]. Selanjutnya untuk kasus diskrit: E[g(X)h(Y )] =



=



=



∞ X



∞ X



y=−∞ x=−∞ ∞ ∞ X X



g(x)h(y)fX,Y (x, y) g(x)h(y)fX (x)fY (y)



y=−∞ x=−∞ ∞ X



∞ X



y=−∞



−∞



g(x)fX (x)



= E[g(X)] E[h(Y )].



h(y)fY (y)



BAB 4. SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK



36



Dengan teorema ini dimungkinkan untuk mengembangkan lebih dair dua peubah. Jika X1 , . . . , Xn adalah peubah acak bebas dan u1 (x1 ), . . . , uk (xk ) adalah fungsi maka E[u1 (X1 ) · · · uk (XK )] = E[u1 (X1 )] · · · E[uk (Xk )].



4.2



(4.5)



Kovarians dan Korelasi



Sifat-sifat tertentu nilai harapan memberikan hubungan antara dua peubah acak. Definisi 4.1 (Bain and Engelhardt (1992)). Kovarians dari pasangan peubah-peubah acak X dan Y didefinisikan oleh cov(X, Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]}.



(4.6)



Notasi lain untuk cov(X, Y ) adalah σXY ; demikian pula, E(X) dan E(Y ) dinotasikan berturutturut µX dan µY . Teorema berikut memberikan sifat-sifat yang berhubungan dengan kovarians. Teorema 4.4. Jika X dan Y adalah peubah acak dan a serta b adalah konstanta- konstanta, maka cov(aX, bY ) = ab cov(X, Y ),



(4.7)



cov(X + a, Y + b) = cov(X, Y ),



(4.8)



cov(X, aX + b) = a var(X).



(4.9)



dan



Bukti: Akan ditunjukkan cov(aX, bY ) = ab cov(X, Y ). Menurut definisi cov(aX, bY ) = E{[aX − E(aX)][bY − E(bY )]} = E{[aX − a E(X)][bY − b E(Y )]} = E{a[X − E(X)]b[Y − E(Y )]} = E{ab[X − E(X)][Y − E(Y )]} = ab E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} = ab cov(X, Y ). Kemudian akan ditunjukkan cov(X + a, Y + b) = cov(X, Y ). cov(X + a, Y + b) = E{[X + a − E(X + a)][Y + b − E(Y + b)]} = E{[X + a − E(X) − a][Y + b − E(Y ) − b]} = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} = cov(X, Y ). Selanjutnya akan ditunjukkan cov(X, aX + b) = a var(X). cov(X, aX + b) = E{[X − E(X)][aX + b − E(aX + b)]} = E{[X − E(X)][aX + b − a E(X) − b]} = E{[X − E(X)][aX − a E(X)]} = E{[X − E(X)]a[X − E(X)]} = E{a[X − E(X)]2 } = a E{[X − E(X)]2 } = a var(X).



BAB 4. SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK



37



Teorema berikut memberikan cara lain untuk menghitung kovarians dan sifat-sifatnya bila kedua peubah acak saling bebas. Teorema 4.5 (Bain and Engelhardt (1992)). Jika X dan Y adalah peubah acak maka cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X) E(Y )



(4.10)



dan cov(X, Y ) = 0 bilamana X dan Y saling bebas. Bukti: Akan ditunjukkan cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X) E(y). Menurut definisi cov(X, Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} = E{[XY − X E(Y ) − E(X)Y + E(X) E(Y )]} = E(XY ) − E(X) E(Y ) − E(X) E(Y ) + E(X) E(Y ) = E(XY ) − E(X) E(Y ). Bilamana X dan Y saling bebas maka cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X) E(Y ) = E(X) E(Y ) − E(X) E(Y ) = 0.



Teorema 4.6 (Bain and Engelhardt (1992)). Jika X1 dan X2 adalah peubah acak dengan fungsi densitas peluang bersama fX1 ,X2 (x1 , x2 ) maka var(X1 + X2 ) = var(X1 ) + var(X2 ) + 2 cov(X1 , X2 )



(4.11)



var(X1 + X2 ) = var(X1 ) + var(X2 )



(4.12)



dan bilamana X1 dan X2 saling bebas. Bukti: var(X1 + X2 ) = E{[(X1 + X2 ) − E(X1 + X2 )]} = E{[X1 − E(X1 ) + X2 − E(X2 )]2 } = E{[X1 − E(X1 )]2 + 2[X1 − E(X1 )][X2 − E(X2 )] + [X2 − E(X2 )]2 } = E{[X1 − E(X1 )]}2 + 2 E{[X1 − E(X1 )][X2 − E(X2 )]} + E{[X2 − E(X2 )]2 } = var(X1 ) + 2 cov(X1 , X2 ) + var(X2 ) = var(X1 ) + var(X2 ) + 2 cov(X1 , X2 ). Mengingat cov(X1 , X2 ) = 0 bilamana X1 dan X2 saling bebas, maka var(X1 + X2 ) = var(X1 ) + var(X2 ) + 0 = var(X1 ) + var(X2 ).



Dengan cara yang sama kasus ini pun dapat diperluas untuk k peubah acak. Bila X1 , . . . , Xk adalah peubah acak dan a1 , . . . , ak adalah konstanta-konstanta, maka var



X k i=1



 ai Xi



=



k X i=1



a2i var(Xi ) + 2



XX i 0 maka E(XY ) = 0. Sehingga cov(XY ) = E(XY ) − E(X) E(Y ) = 0 − 0 = 0. Namun, fX,Y (0, 0) 6= fX (0)fY (0). Jadi X dan Y tidak saling bebas. Jadi secara umum dapat disimpulkan bahwa X dan Y terikat jika cov(X, Y ) 6= 0, tetapi cov(X, Y ) = 0 tidaklah perlu mengimplikasikan bahwa X dan Y adalah bebas. Definisi 4.2 (Bain and Engelhardt (1992)). Jika X dan Y adalah peubah-peubah acak dengan varians var(X) dan var(Y ) dan kovarians cov(X, Y ), maka koefisien korelasi dari X dan Y adalah cov(X, Y ) p corr(X, Y ) = p . (4.17) var(X) var(Y ) Catatan: Biasanya korelasi X dan Y dinotasikan sebagai ρXY atau ρ dan varians X dan Y 2 dan σ 2 . Sehingga, Persamaan (4.17) dapat ditulis sebagai sebagai σX Y σXY ρXY = . (4.18) σX σY Peubah-peubah acak X dan Y dikatakan tidak berkorelasi jika ρXY = 0; selain itu dikatakan berkorelasi. Teorema 4.7 (Bain and Engelhardt (1992)). Jika ρXY adalah koefisien korelasi dari X dan Y , maka −1 ≤ ρXY ≤ 1 (4.19) dan ρXY = ±1 jika dan hanya jika Y = aX + b dengan peluang 1 untuk beberapa a 6= 0 dan b. Bukti: Untuk membuktikan Persamaan (4.19), misalkan X Y W = − ρXY , σY σX sehingga  2   1 ρXY 2 2 σXY 2 var(W ) = σY + σX − 2ρXY σY σX σX σY = 1 + ρ2XY − 2ρ2XY = 1 − ρ2XY ≥ 0, karena var(W ) ≥ 0.



BAB 4. SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK



4.3



39



Harapan Bersyarat



Definisi 4.3. Jika X dan Y adalah peubah-peubah acak yang berdistribusi secara bersama, maka harapan bersyarat (conditional expectation) Y diketahui X = x didefinisikan sebagai (P yf (y|x), jika X dan Y diskrit; E(Y |x) = R ∞y Y |X (4.20) jika X dan Y kontinu. −∞ yfY |X (y|x) dy, Catatan: notasi lain untuk harapan bersyarat adalah EY |x (Y ) dan E(Y |X = x). Pada bagian ini kita akan menggunakan simbol E(Y |x) untuk menyederhanakan notasi. Contoh 4.2. Suatu fungsi densitas peluang bersyarat Y diketahui X = x adalah fY,X (y|x) =



2 x , 0 0, σY > 0, dan −1 < ρXY < 1.



BAB 4. SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK



4.4



42



Fungsi Pembangkit Momen Bersama



Konsep fungsi pembangkit momen dapat diperluas untuk peubah acak berdimensi k. Definisi 4.5 (Bain and Engelhardt (1992)). Fungsi pembangkit momen bersama dari X = (X1 , . . . , Xk ), jika ada, didefinisikan sebagai  X  k MX (t) = E exp ti Xi



(4.31)



i=1



dengan t = (t1 , . . . , tk ) dan −h < ti < h untuk beberapa h > 0. Sifat-sifat fungsi pembangkit momen bersama analog dengan sifat fungsi pembangkit momen univariat. Momen campuran seperti E(Xir , Xjs ) dapat dihitung dengan menurunkan fungsi pembangkit momen bersama r kali bersesuaian dengan ti dan s kali bersuaian dengan tj dan membuat semua ti = 0. Fungsi pembangkit momen bersama juga secara unik menentukan distribusi bersama dari peubah-peubah X1 , . . . , Xk . Fungsi pembangkit momen dari distribusi marjinal dari fungsi pembangkit momen bersama juga dimunkinkan. Sebagai contoh, MX (t1 ) = MX,Y (t1 , 0)



(4.32)



MY (t2 ) = MX,Y (0, t2 ).



(4.33)



dan Contoh 4.3. Misal X = (X1 , . . . , Xk ) ∼ MULT(n, p1 , . . . , pk ). Kita tahu bahwa distribusi marjinalnya adalah binomial, yakni Xi ∼ BIN(n, pi ). Fungsi pembangkit momen bersama distribusi multinomial dapat dihitung menggunakan distribusi binomial



 X  k MX (t) = E exp ti Xi i=1



n k +1 (p1 et1 )x1 · · · (pk etk )xk pxk+1 x1 ! · · · xk+1 ! = (p1 et1 + · · · + pk etk +pk+1 )n =



X



···



X



dengan pk+1 = 1 − p1 − · · · − pk .



4.5



Latihan Soal



4-1 Misal peubah acak kontinu X dan Y dengan fungsi densitas peluang bersama ( 24xy, jika 0 < x, 0 < y, dan x + y < 1; fX,Y (x, y) = 0, jika x dan y lainnya. Hitunglah: a) E(XY ); b) kovarians antara X dan Y ; c) koefisien korelasi antara X dan Y ; d) cov(3X, 5Y ); e) cov(X + 1, Y − 2);



(4.34)



BAB 4. SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK



43



f) cov(X + 1, 5Y − 2); g) cov(3X + 5, X). 4-2 Misal X dan Y adalah peubah acak diskrit dengan fungsi densitas peluang bersama   4 , jika x = 1, 2, dan y = 2, 3; fX,Y (x, y) = 5xy 0, jika x dan y lainnya. Hitunglah: a) E(X); b) E(Y ); c) E(XY ); d) cov(X, Y ). 4-3 Misal berat (dalam ons) dari suatu bola basket adalah suatu peubah acak dengan rata-rata 5 dan simpangan baku 2/5. Sebuah kotak berisi 144 bola basket. Dianggap berat masingmasing bola basket adalah saling bebas dan T menyatakan berat total semua bola basket dalam kotak. Hitunglah: a) nilai harapan total berat, yakni E(T ); b) varians total berat, yakni var(T ). 4-4 Untuk Soal No. 1 dan 2, hitunglah: a) E(Y |x); b) var(Y |x). 4-5 Misal distribusi bersyarat Y diberikan X = x adalah Poisson dengan rata-rata E(Y |x) = x, Y |x ∼ POI(x), dan E(X) ∼ EXP(1). Hitunglah: a) E(Y ); b) var(Y ). 4-6 Misal X dan Y memiliki fungsi densitas peluang bersama ( e−y , jika 0 < x < y < ∞; fX,Y (x, y) = 0, jika x dan y lainnya. Hitunglah E(X|y). 4-7 Misal Y1 dan Y2 adalah peubah-peubah acak kontinu dengan fungsi densitas peluang bersama ( 2 e−y1 −y2 , jika 0 < y1 < y2 < ∞; fY1 ,Y2 (y1 , y2 ) = 0, jika x dan y lainnya. Hitunglah fungsi pembangkit momen (MGF) bersama Y1 dan Y2 .



BAB 4. SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK



4.6



44



Latihan Soal Teoretis



4-1* Jika X, Y , Z, dan W adalah peubah-peubah acak, maka tunjukkan bahwa: a) cov(X ± Y, Z) = cov(X, Z) ± cov(Y, Z); b) cov(X + Y, Z + W ) = cov(X, Z) + cov(X, W ) + cov(Y, Z) + cov(Y, W ); c) cov(X + Y, X − Y ) = var(X) − var(Y ). 4-2* Jika X1 , . . . , Xn dan Y1 , . . . , Yn adalah peubah acak yang berdistribusi bersama, dan jika a1 , . . . , ak dan b1 , . . . , bm adalah konstanta-konstanta, maka tunjukkan bahwa cov



X k i=1



ai Xi ,



n X j=1



 bj Yj



=



k X m X



cov(Xi , Yj ).



i=1 j=1



4-3* Misal X1 dan X2 adalah peubah acak normal bebas, Xi ∼ N (µi , σi2 ), dan Y1 = X1 serta Y2 = X1 + X2 . a) Tunjukkan bahwa Y1 dan Y2 adalah normal bivariat. b) Berapakah rata-rata, varians, dan koefisien korelasi Y1 dan Y2 ? c) Carilah distribusi bersyarat Y2 diketahui Y1 = y1 .



BAB 5 FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



Kompetensi Dasar Menggunakan konsep-konsep ilmu peluang. Indikator Pencapaian Menggunakan konsep-konsep ilmu peluang. Materi Pokok 5.1 Teknik Fungsi Distribusi Kumulatif 5.2 Metode Transformasi 5.3 Jumlah Peubah Acak 5.4 Statistik Terurut 5.5 Latihan Soal



Pada BAB I, peluang didefinisikan dalam konsep teori himpunan. Konsep peubah acak diperkenalkan sedemikian hingga kejadian-kejadian dapat diasosiasikan dengan himpunan bilangan real dalam ruang rentang (range space) dari peubah acak. Hal ini memungkinkan kita untuk mengekspresikan secara matematis model peluang untuk populasi atau karakteristik yang ingin diteliti dalma bentuk suatu fungsi densitas peluang atau suatu fungsi distribusi kumulatif untuk peubah acak yang bersesuaian, katakanlah X. Dalam kasus ini, X menyatakan karakteristik awal yang menjadi daya tarik dari fungsi densitas peluang fX (x), disebut fungsi densitas peluang populasi. Seringkali dalam banyak kasus beberapa fungsi peubah acak ini menjadi daya tarik. Misal jika X menyatakan umur anak ayam dalam minggu, peneliti lain mungkin menyatakan umur dalam hari, yakni Y = 7X. Dengan cara yang sama, W = X 2 atau Z = ln X atau beberapa fungsi lain mungkin menjadi daya tarik peneliti. Setiap fungsi dari peubah acak X adalah suatu peubah acak, dan fungsi distribusidari suatu fungsi X ditentukan oleh distribusi peluang X. Misal, untuk peubah acak Y diatas P (21 ≤ X ≤ 28) = P (3 ≤ Y ≤ 4) dan sebagainya. Akan lebih berguna jika kita dapat menyatakan fungsi densitas peluang atau fungsi distribusi kumulatif suatu fungsi dari peubah acak dalam fungsi densitas peluang atau fungsi distribusi kumulatif peubah acak asli. Fungsi denstias peluang seperti ini disebut distribusi-distribusi turunan (derived distributions). Suatu fungsi densitas peluang tertentu mungkin menyatakan fungsi densitas peluang populasi dalam suatu aplikasi, tetapi menjadi distribusi turunan dalam aplikasi lain. Dalam bab ini kita akan mempelajari beberapa teknik untuk memperoleh fungsi distribusi turunan dari suatu fungsi peubah acak antara lain: teknik fungsi distribusi kumulatif, metode transformasi, formula konvolusi, dan 45



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



46



metode fungsi pembangkit momen. Pada akhir bab, kita akan membahas tentang statistik terurut (order statistics).



5.1



Teknik Fungsi Distribusi Kumulatif



Teknik fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function, disingkat CDF) merupakan metode umum yang mengekspresikan peubah acak ”baru” dengan istilah peubah acak ”lama”. Misal peubah acak X memiliki fungsi distribusi kumulatif FX (x) dan beberapa fungsi Y yang menjadi daya tarik, katakanlah Y = u(X). Ide dari teknik fungsi distribusi kumulatif adalah mengekspresikan fungsi distribusi kumulatif dari Y dalam bentuk (terms) distribusi X. Lebih khusus lagi, untuk setiap bilangan real y, kita dapat mendefinisikan sebuah himpunan Ay = x : u(x) ≤ y. Dengan demikian Y ≤ y dan X ∈ Ay adalah kejadian-kejadian yang sama, sehingga FY (y) = P (u(X) ≤ y). (5.1) Bentuk persamaan (5.1) dapat pula dinyatakan sebagai P (X ∈ Ay ). Peluang ini dapat pula dinyatakan sebagai integral dari fungsi densitas peluang fX (x) sepanjang himpunan Ay jika X kontinu, atau penjumlahan fX (x) sepanjang x di Ay jika X diskret. Sebagai contoh, sering kita menyatakan u(x) ≤ y dalam bentuk kejadian yang sama x1 ≤ X ≤ x2 dimana satu atau lebih batas-batas x1 dan x2 bergantung pada Y . Dalam kasus kontinu Z x2 FY (y) = fX (x) dx x1 0



Z =



x2



Z fX (x) dx +



Zx1x2



fX (x) dx 0



Z



x1



fX (x) dx −



=



fX (x) dx



0



0



= FX (x2 ) − FX (x1 ).



(5.2)



Fungsi densitas peluang (5.2) adalah fY (y) =



d FY (y). dy



(5.3)



Berikut ini diberikan beberapa contoh untuk mengilustrasikan teknik fungsi distribusi kumulatif. Contoh 5.1. Misal fungsi distribusi kumulatif peubah acak X, yakni FX (x) = 1 − e−2x , 0 < x < ∞ dan kita tertarik untuk mengetahui fungsi distribusi dari peubah acak Y = eX . Fungsi distribusi Y dapat dinyatakan sebagai FY (y) = P (Y ≤ y) = P (eX ≤ y) = P (X ≤ ln y) = FX (ln y) = 1 − e−2(ln y) = 1 − eln y



−2



= 1 − y −2 .



(5.4)



Sekarang kita tentukan batas-batas untuk peubah acak Y . Mengingat 0 < x < ∞, maka batas peubah acak Y akan terletak diantara e0 dan e∞ , jadi 1 < y < ∞. Tentu saja untuk x lainnya



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



47



maka y akan bernilai 0. Dengan demikian FY (y) = 1−y −2 , 1 < y < ∞. Fungsi densitas peluang Y adalah d fY (y) = FY (y) dy d = (1 − y −2 ) dy = 2y −3 , 1 < y < ∞. (5.5) Contoh 5.2. Misal X adalah peubah acak kontinu dan Y = X 2 . Fungsi distribusi Y dapat dinyatakan sebagai FY (y) = P (Y ≤ y) = P (X 2 ≤ y) √ √ = P (− y ≤ X ≤ y) √ √ = FX ( y) − FX (− y).



(5.6)



Berdasarkan fungsi distribusi persamaan (5.6), kita dapat menghitung fungsi densitas peluang Y sebagai d √ √
FX ( y) − FX (− y) fY (y) = dy √ d √ √ d √ = fX ( y) ( y) − fX (− y) (− y) dy dy 1 1 √ √ = fX ( y) √ + fX (− y) √ 2 y 2 y 1 √ √
(5.7) = √ fX ( y) + fX (− y) y > 0. 2 y Contoh 5.3. Misal X adalah peubah acak dengan fungsi densitas peluang ( 4x3 , jika 0 < x < 1; fX (x) = 0, jika x lainnya.



(5.8)



Misal kita tertarik dengan peubah acak Z = ln X. Terlebih dahulu kita hitung fungsi distribusi X. Kita peroleh fungsi distribusi untuk fungsi densitas peluang (5.8) Z x FX (x) = 4x3 dx 0 x=x 4 =x x=0



= x4 − 0 = x4 .



(5.9)



Selanjutnya, dengan menggunakan fungsi distribusi persamaan (5.9) diperoleh FZ (z) = P (Z ≤ z) = P (ln X ≤ z) = P (X ≤ ez ) = FX (ez ) = (ez )4 = e4z , 0 < z < ∞.



(5.10)



Batas-batas untuk z diperoleh dari nilai z = ln 0 = ∞ dan z = ln 1 = 0. Dengan demikian 0 < z < ∞.



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



48



Teknik fungsi distribusi kumulatif juga dapat diterapkan untuk fungsi beberapa peubah, meskipun analisis pada umumnya lebih kompleks. Teorema 5.1. Misal X = (X1 , . . . , Xk ) adalah vektor peubah acak kontinu berdimensi k dengan fungsi densitas peluang bersama fX (x1 , . . . , xk ). Jika Y = u(X) adalah suatu fungsi dari X, maka FY (y) = P (u(X) ≤ y) Z Z = · · · fX (x1 , . . . , xk ) dx1 · · · dxk ,



(5.11)



Ay



dimana Ay = x : u(x) ≤ y. Contoh 5.4. Misal peubah acak X berdistribusi eksponensial, yakni X ∼ EXP(1). Fungsi densitas peluang X dapat dinyatakan sebagai ( e−x , untuk 0 < x < ∞; fX (x) = (5.12) 0, untuk x lainnya. Misal Anda tertarik dengan jumlah dari dua peubah acak bebas, katakanlah Y = X1 + X2 , dimana Xi ∼ EXP(1), i = 1, 2. Himpunan Ay seperti didefinisikan pada Teorema 5.1, dapat ditentukan sebagai Ay = {(x1 , x2 ) : 0 ≤ x1 ≤ y − x2 , 0 ≤ x2 ≤ y}. (5.13) Dengan demikian fungsi distribusi Y adalah FY (y) = P (X1 + X2 ≤ y) Z y Z y−x2 = e−(x1 +x2 ) dx1 dx2 0 0 x1 =y−x2  Z y −(x1 +x2 ) = −e dx2 0



Z =



x1 =0



y



Z0 y



−((y−x2 )+x2 )



−e



−(0+x2 )



−−e



 dx2



 − e−y + e−x2 dx2 0 x2 =0 −y −x2 = −x2 e − e



=







x =0




2
= −y e−y − e−y − 0 − e−0 = −y e−y − e−y +1 = 1 − e−y −y e−y .



5.2



(5.14)



Metode Transformasi



Pada bagian ini, kita akan membahas transformasi untuk peubah dalam dimensi satu. Misal u(x) adalah suatu fungsi bernilai real dari peubah real x. Jika persamaan y = u(x) dapat diselesaikan secara tunggal, katakanlah x = w(y), maka transformasi ini dikatakan satu-satu (one-to-one). Berikut ini akan kita bahas metode transformasi satu-satu untuk kasus diskrit dan kontinu.



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



5.2.1



49



Transformasi Satu-satu



Teorema 5.2 (Kasus Diskrit). Misal X adalah peubah acak diskrit dengan fungsi densitas (massa) peluang fX (x) dan Y = u(X) adalah transformasi satu-satu. Dengan kata lain, persamaan y = u(x) dapat diselesaikan secara tunggal, katakanlah x = w(y). Maka fungsi densitas (massa) peluang Y adalah fY (y) = fX (w(y)), y ∈ B; (5.15) dimana B = {y : fY (y) > 0}. Bukti: Fungsi densitas FY (y) = P (Y = y) = P (u(X) = y) = P (X = w(y)) = fX (w(y)).



(5.16)



Contoh 5.5. Misal peubah acak diskrit X ∼ GEO(p), dengan fungsi densitas peluang fX (x) = pq x−1 , x = 1, 2, 3, . . . .



(5.17)



Misal kita tertarik dengan peubah acak Y = X − 1. Dalam hal ini y = u(x) = x − 1, sementara itu diperoleh solusi x = w(y) = y + 1. Dengan demikian fY (y) = fX (y + 1) = pq (y+1)−1 = pq y , y = 0, 1, 2, . . . .



(5.18)



Contoh 5.6. Misal peubah acak diskrit X ∼ BIN(r, p). Anda tertarik dengan peubah acak Y = X − r. Fungsi densitas peluang X dinyatakan sebagai berikut   x − 1 r r−1 fX (x) = p q , x = r, r + 1, . . . . (5.19) r−1 Dalam hal ini y = u(x) = x − r sehinga x = w(y) = y + r. Kita peroleh fY (y) = fX (y + r)   (y + 1) − 1 r (y+r)−r = p q r−1   (y + 1) − 1 r y = p q , y = 0, 1, 2, . . . . r−1



(5.20) (5.21) (5.22)



Teorema 5.3 (Kasus Kontinu). Misal X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas peluang fX (x) dan anggap Y = u(X) mendefinisikan suatu transformasi satu-satu dari A = x : fX (x) > 0 ke B = x : fY (y) > 0 dengan transformasi invers x = w(y). Jika turunan (d/dy)w(y) adalah kontinu dan tak nol pada B, maka fungsi densitas peluang Y adalah d fY (y) = fX (w(y)) w(y) , y ∈ B. (5.23) dy



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



50



Bukti: Jika y = u(x) adalah satu-satu, maka y naik monoton atau turun monoton. Pertama, kita asumsikan naik, maka u(x) ≤ y jika dan hanya jika x ≤ w(y). Dengan demikian FY (y) = P (u(X) ≤ y) = P (X ≤ w(y)) = FX (w(y)), sehingga fungsi densitasnya menjadi d FX (w(y)) dy d d = FX (w(y)) w(y) dw(y) dy d = fX (w(y)) w(y) . dy



fY (y) =



Dalam hal ini (d/dy)w(y) > 0 karena y monoton naik. Sekarang, dalam kasus monoton turun u(x) ≤ y jika dan hanya jika w(y) ≤ x. Dengan demikian FY (y) = P (u(X) ≤ y) = P (X ≥ w(y)) = 1 − P (X ≤ w(y)) = 1 − FX (w(y)), sehingga fungsi densitasnya menjadi d [1 − FX (w(y))] dy d d = (1) − FX (w(y)) dy dy d d FX (w(y)) w(y) =0− dw(y) dy d = −fX (w(y)) w(y) dy d = fX (w(y)) w(y) . dy



fY (y) =



Dalam hal ini (d/dy)w(y) < 0 karena y monoton turun. Dalam konteks kasus kontinu, turunan w(y) disebut Jacobian dari transformasi dan dinotasikan d J= w(y). (5.24) dy Contoh 5.7. Misal peubah acak kontinu X memiliki fungsi densitas peluang fX (x) = 2 e−2x ,



0 < x < ∞.



(5.25)



Kita tertarik untuk mencari fungsi densitas peluang Y = eX . Dengan transformasi inverse diperoleh x = w(y) = ln y, dan Jacobian J = w0 (y) d = w(y) dy d = ln y dy 1 = . y



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



51



Dengan demikian fungsi densitas peluang Y adalah 1 fY (y) = fX (ln y) y   1 = 2 e−2 ln y y = 2 eln y



−2



y −1



= 2y −2 y −1 = 2y −3 ,



y ∈ B = (1, ∞).



Dalam masalah transformasi, sangatlah penting untuk mengidentifikasi himpunan B dimana fY (y) > 0, dalam contoh ini B = (1, ∞) karena ex > 1 saat x > 0. Contoh 5.8. Misal peubah acakk kontinu X ∼ N (µ, σ 2 ) dan kita tertarik dengan peubah acak Y = eX . Fungsi densitas peluang X dapat dinyatakan sebagai 1 (x − µ)2 − 1 σ 2 , −∞ < x < ∞, −∞ < µ < ∞, 0 < σ < ∞. fX (x) = √ e 2 2πσ



(5.26)



Dengan transformasi invers diperoleh x = w(y) = ln y dan Jacobian J = (d/dy)w(y) = 1/y. Dengan demikian fungsi densitas peluang Y adalah 1 fY = fX (ln y) y   1 (ln y − µ)2 1 exp − ,0 < y < ∞ =√ 2 σ2 2πσ   1 1 (ln y − µ)2 =√ , y ∈ B = (0, ∞). (5.27) exp − 2 σ2 2πσy Fungsi densitas peluang persamaan (5.27) adalah bentuk dari distribusi lognormal dengan ratarata µ dan variansi σ 2 , ditulis LOGN(µ, σ 2 ). Contoh 5.9. Misal peubah acak kontinu X ∼ EXP(θ). Kita tertarik dengan distribusi dari peubah acak Y = exp(−X/θ). Fungsi densitas peluang X dapat dinyatakan sebagai x 1 − fX (x) = e θ , 0 < x < ∞. θ



(5.28)



Dengan transformasi invers diperoleh x = w(y) = −θ ln y sehingga Jacobian (d/dy)(−θ ln y) = −θ/y. Kita peroleh fungsi densitas peluang Y −θ fY (y) = fX (−θ ln y) y   1 −θ ln y θ = exp θ θ y 1 θ = y , 0 0 pada himpunan A, dan Y = (Y1 , . . . , Yk ) didefinisikan oleh transformasi satu-satu Yi = ui (X1 , . . . , Xk ),



i = 1, . . . , k.



(5.47)



Jika Jacobiannya kontinu dan tak nol sepanjang rentang (range) dari transformasi, maka fungsi densitas peluang bersama Y adalah fY (y1 , . . . , yk ) = fX (x1 , . . . , xk )|J| dimana x = (x1 , . . . , xk ) adalah penyelesaian dari y = u(x).



(5.48)



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



56



Contoh 5.13. Misal X1 dan X2 adalah peubah-peubah acak kontinu bebas dan berdistribusi eksponensial, yakni Xi ∼ EXP(1). Fungsi densitas peluang bersamanya adalah fX1 ,X2 (x1 , x2 ) = exp(−(x1 + x2 )),



(x1 , x2 ) ∈ A,



(5.49)



dengan A = {(x1 , x2 ) : 0 < x1 , 0 < x2 }. Misal peubah acak Y1 = X1 dan Y2 = X1 + X2 . Hal ini bersesuaian dengan transformasi y1 = x1 dan y2 = x1 + x2 , yang memiliki solusi tunggal x1 = y1 dan x2 = y2 − y1 . Jacobian transformasi ini adalah ∂x1 ∂x1 ∂y1 ∂y2 J = ∂x 2 ∂x2 ∂y1 ∂y2 1 0 = −1 1 = (1 · 1) − ((−1) · 0) =1−0 = 1. Dengan demikian fungsi densitas peluang bersama Y1 dan Y2 adalah fY1 ,Y2 (y1 , y2 ) = fX1 ,X2 (y1 , y2 − y1 ) = exp(y1 + y2 − y1 ) (y1 , y2 ) ∈ B;



= exp(−y2 ),



dan nol untuk y lainnya. Himpunan B diperoleh dengan mentransformasikan himpunan A yang bersesuaian dengan y1 = x1 > 0 dan y2 − y1 = x2 > 0. Dengan demikian B = {(y1 , y2 ) : 0 < y1 < y2 < ∞}. Fungsi densitas marjinal Y1 dan Y2 adalah Z ∞ fY1 (y1 ) = e−y2 dy2 y1 y2 =∞ −y2 = −e y2 =y1



= −e



−∞



−(− e−y1 )



= 0 + e−y1 = e−y1 ,



y1 > 0;



(5.50)



dan Z



y2



e−y2 dy1 0 y1 =y2 −y2 =e y1



fY2 (y2 ) =



y1 =0



= y2 e



−y2



−0



= y2 e



−y2



,



y2 > 0.



(5.51)



Dari fungsi densitas peluang (5.50) dan (5.51) diperoleh Y1 ∼ EXP(1) dan Y2 ∼ GAM(1, 2).



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



57



Contoh 5.14. Sehubungan dengan Contoh (5.13), misal kita tertarik dengan peubah acak Y1 = X1 − X2 dan Y2 = X1 + X2 . Hal ini bersesuaian dengan transformasi x1 = (y1 + y2 )/2 dan x2 = (y2 − y1 )/2. Dengan demikian Jacobiannya adalah ∂x1 ∂y2 ∂x2 ∂y2 1/2 1/2   1 1 1 1 = · − · − 2 2 2 2



∂x1 ∂y1 J = ∂x 2 ∂y1 1/2 = −1/2



=



1 1 + 4 4



=



2 4



1 = . 2 Fungsi densitas peluang bersama Y1 dan Y2 adalah fY1 ,Y2 (y1 , y2 ) = fX1 ,X2 ((y1 + y2 )/2, (y2 − y1 )/2)|1/2| = exp(−(y1 + y2 )/2 + (y2 − y1 )/2)(1/2) = exp(−(y1 + y2 + y2 − y1 )/2)(1/2) = exp(−(2y2 )/2)(1/2) = (1/2) exp(−y2 ),



(y1 , y2 ) ∈ B.



Dalam hal ini B = {(y1 , y2 ) : −y2 < y1 < y2 , y2 > 0} dengan batas-batas y2 = −y1 dan 0 < y2 = y1 . Fungsi marjinal Y1 dan Y2 adalah sebagai berikut. Pertama, untuk y1 < 0: Z ∞ 1 −y2 e dy2 fY1 (y1 ) = −y1 2 1 −y2 y2 =∞ =− e 2 y2 =−y1   1 −∞ 1 y1 − − e =− e 2 2 1 y1 =0+ e 2 1 y1 = e . (5.52) 2



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



58



Kedua, untuk y1 > 0: ∞



Z



1 −y2 e dy2 y1 2 y2 =∞ 1 = − e−y2 2 y2 =y1   1 1 = − e−∞ − − e−y1 2 2 1 = 0 + e−y1 2 1 −y1 = e . 2



fY1 (y1 ) =



(5.53)



Bentuk persamaan (5.52) dan (5.53) dapat disederhanakan menjadi fY1 (y1 ) =



1 −|y1 | e , 2



−∞ < y1 < ∞.



(5.54)



Sementara, Z



y2



1 −y2 dy1 e −y2 2 y1 −y2 y1 =y2 = e 2 y1 =−y2   y2 −y2 y2 −y2 − − e = e 2 2 y2 −y2 y2 −y2 e + e = 2 2 = y2 e−y2 , y2 > 0.



fY2 (y2 ) =



(5.55)



Dari persamaan (5.55) diperoleh Y1 ∼ DE(1, 0) dan Y2 ∼ GAM(1, 2). Untuk transformasi yang tidak satu-satu Teorema (5.7) juga dapat dipeluas. Jika persamaan y = u(x) dapat diselesaikan secara tunggal sepanjang setiap himpunan pada partisi A1 , A2 , . . . , dan menghasilkan penyelesaian, dan jika penyelesaian ini memiliki Jacobian kontinu tak nol, maka X fY (y1 , . . . , yk ) = fX (x1i , . . . , xki )|Ji |, (5.56) i



dimana Ji adalah Jacobian dari penyelesian sepanjang himpunan Ai .



5.3 5.3.1



Jumlah Peubah Acak Formula Konvolusi



Misal X1 dan X2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas peluang bersama fX1 ,X2 (x1 , x2 ) dan jika kita hanya tertarik pada fungsi densitas peluang dari suatu jumlah S = X1 + X2 maka kita dapat menggunakan Z ∞



f (t, s − t) dt.



fS (s) =



(5.57)



−∞



Jika X1 dan X2 saling bebas, maka kita akan memperoleh formula konvolusi Z ∞ fS (s) = fX1 (t)fX2 (s − t) dt. −∞



(5.58)



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



59



Contoh 5.15. Misal X1 dan X2 adalah peubah acak bebas dan berdistribusi seragam, yakni Xi ∼ UNIF(0, 1), i = 1, 2. Misal pula S = X1 + X2 . Fungsi distribusi peluang bersama X1 dan X2 dapat dinyatakan sebagai fX1 ,X2 (x1 , x2 ) = 1,



0 < x1 < 1; 0 < x2 < 1.



(5.59)



Daerah B bersesuaian dengan transformasi t = x1 dan s = x1 + x2 adalah B = {(s, t) : 0 < t < s < t + 1 < 2}. Dengan demikian diperoleh R s  untuk 0 < s < 1;  R0 dt = s,   1 dt = 2 − s, untuk 1 ≤ s < 2; s−1 fS (s) = (5.60)  1 − |s − 1|, untuk 0 < s < 2;    0, untuk s lainnya. Contoh 5.16. Misal X1 dan X2 adalah peubah acak gamma bebas, yakni X1 ∼ GAM(1, α) dan X2 ∼ GAM(1, β). Misal peubah acak Y1 = X1 + X2 dan Y2 = X1 /(X1 + X2 ). Fungsi densitas peluang bersama X1 dan X2 adalah fX1 ,X2 (x1 , x2 ) =



1 xα−1 xβ−1 exp(−x1 − x2 ), 1 2 Γ(α)Γ(β)



0 < xi < ∞, 0 < α, 0 < β.



(5.61)



Dengan transformasi invers diperoleh x1 = y1 y2 dan x2 = y1 − y1 y2 = y1 (1 − y2 ). Jacobian transformasi ini adalah ∂x1 ∂x1 ∂y1 ∂y2 J = ∂x 2 ∂x2 ∂y1 ∂y2 y2 y1 = 1 − y2 −y1 = y2 (−y1 ) − (y1 )(1 − y2 ) = −y1 y2 − y1 + y1 y2 = −y1 . Dengan demikian fungsi densitas peluang bersama X1 dan X2 adalah fY1 ,Y2 (y1 , y2 ) =



(y1 y2 )α−1 (y1 (1 − y2 ))β−1 exp(−y1 y2 − (y1 − y1 y2 ))| − y1 | Γ(α)Γ(β)



=



y1α−1 y2α−1 y1β−1 (1 − y2 )β−1 −y1 e y1 Γ(α)Γ(β)



=



y2α−1 (1 − y2 )β−1 α+β−1 −y1 y1 e ; Γ(α)Γ(β)



jika (y1 , y2 ) ∈ B = {(y1 , y2 ) : 0 < y1 < ∞, 0 < y2 < 1} dan nol untuk y lainnya.



5.3.2



Metode Fungsi Pembangkit Momen



Fungsi pembangkit momen (moment generating function) dari suatu peubah acak secara unik menentukan distribusinya. Pendekatan fungsi pembangkit momen berguna dalam menentukan distribusi jumlah peubah acak bebas dan bahkan lebih nyaman dibandingkan melakukan transformasi bersama. Jika fungsi pembangkit momen suatu peubah acak diperoleh, maka langkah selanjutnya adalah menentukan atau mengenali distribusi yang memiliki fungsi pembangkit momen tersebut.



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



60



Teorema 5.8. Jika X1 , . . . , Xn adalah peubahPacak bebas dengan fungsi pembangkit momen MXi (t), maka fungsi pembangkit momen Y = ni=1 Xi adalah MY (t) = MX1 (t) · · · MXn (t).



(5.62)



Bukti: MY (t) = E(etY ) = E(et(X1 +···+Xn ) ) = E(etX1 · · · etXn ) = E(etX1 ) · · · E(etXn ) = MX1 (t) · · · MXn (t).



Apabila X1 , . . . , Xn merupakan sampel acak dari suatu populasi dengan fungsi densitas peluang fX (x) dan fungsi pembangkit momen MX (t) maka MY (t) = MX (t) · · · MX (t) = [MX (t)]n .



(5.63)



Contoh 5.17. Misal X1 , . . . , Xn adalah peubah-peubah acak berdistribusi Poisson yang saling P bebas, yakni Xi ∼ POI(µi ) dan misal pula Y = ni=1 Xi . Fungsi pembangkit momen Xi adalah MXi (t) = exp[µi (et −1)]. Dengan demikian fungsi pembangkit momen Y adalah MY (t) = MX1 (t) · · · MXn (t) = exp[µ1 (et −1)] · · · exp[µn (et −1)] = exp[(µ1 + · · · + µn )(et −1)]. Bentuk Pn(5.64) adalah fungsi pembangkit momen dari POI(µ1 + · · · + µn ). Jadi Y = POI( i=1 µi ).



(5.64) Pn



i=1 Xi



∼



Contoh 5.18. Misal X1 , . . . , Xn adalah peubah-peubah Pn acak yang berdistribusi normal dan 2 saling bebas, Xi ∼ N (µi , σi ); i = 1, . . . , n. Misal Y = i=1 Xi . Fungsi pembangkit momen Xi adalah MY (t) = MX1 (t) · · · MXn (t) = exp(µ1 t + σ12 t2 /2) · · · exp(µn t + σn2 t2 /2) = exp(µ1 t + · · · + µn t + σ12 t2 /2 + · · · + σn2 t2 /2) = exp[(µ1 + · · · + µn )t + (σ12 + · · · + σn2 )t2 /2]. P P Bentuk (5.65) adalah fungsi pembangkit momen dari Y ∼ N ( ni=1 µi , ni=1 σi2 ).



5.4 5.4.1



(5.65)



Statistik Terurut Penarikan Sampel Tersensor



Konsep tentang suatu sampel acak berukuran n telah dibicarakan pada bab sebelumnya, dan fungsi denstias peluang bersama dari n peubah acak saling bebas dari X1 , . . . , Xn diberikan oleh fX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ) = fX1 (x1 ) · · · fXn (xn ).



(5.66)



Sebagai contoh suatu sampel acak enam bola lampu diuji dengan waktu kegagalan yang teramati (dalam bulan) katakanlah (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) = (6, 8, 11, 100, 5, 15). Nah, amatan sesungguhnya akan mengambil posisi x5 = 5, x1 = 6, x2 = 8, x3 = 11, x6 = 15, dan x4 = 100. Akan



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



61



lebih bermanfaat apabila kita mengganggap sampel acak ”terurut” (ordered random sample) berukuran n, dinotasikan sebagai (x1:n , . . . , xn:n ). Dalam hal ini, x1:6 = x5 = 5, x2:6 = x1 = 6, x3:6 = x2 = 8, x4:6 = x3 = 11, x5:6 = x6 , dan x6:6 = x4 = 100. Mengingat kita tidak perduli bola lampu mana yang diberi label nomor 1, nomor 2, nomor 3, dan seterusnya, kita dapat saja dengan cara yang sama mencatat data terurut sebagaimana bahwa dia diambil tanpa mencatat pelabelan awal. Dalam beberapa kasus kita ingin berhenti setelah r amatan terurut terkecil dari n telah teramati, karena hal ini berarti kita bisa menghemat waktu. Dalam ilustrasi di atas diperlukan 100 bulan agar keenam bola lampu gagal, tetapi lima bola lampu gagal dalam tempo 15 bulan. Fungsi distribusi bersama dari peubah-peubah acak terurut tidaklah sama dengan fungsi densitas bersama peubah-peubah acak tidak terurut. Sebagai contoh, ilustrasi di atas ada 6! permutasi yang berbeda dari suatu sampel berukuran 6 bersesuaian dengan satu hasil terurut. Misal suatu transformasi yang mengurutkan nilai-nilai x1 , . . . , xn yakni y1 = u1 (x1 , . . . , xn ) = min(x1 , . . . , xn );



(5.67)



yn = un (x1 , . . . , xn ) = max(x1 , . . . , xn ).



(5.68)



Secara umum yi = ui (x1 , . . . , xn ) menyatakan nilai terkecil ke-i dari x1 , . . . , xn . Ilustrasi bola lampu di atas memperlihatkan contoh transformasi ini. Apabila transformasi ini diterapkan pada suatu sampel acak X1 , . . . , Xn , kita akan mendapatkan sampel acak terurut, disebut statistik terurut (order statistics) dinotasikan sebagai X1:n , . . . , Xn:n atau Y1 , . . . , Yn . Teorema 5.9. Jika X1 , . . . , Xn adalah suatu sampel acak dari suatu populasi dengan fungsi densitas peluang kontinu fX (x), maka fungsi densitas peluang bersama dari statistik terurut Y1 , . . . , Yn adalah ( n!fY1 (y1 ) · · · fYn (yn ), jika y1 < y2 < · · · < yn ; gY1 ,...,Yn (y1 , . . . , yn ) = (5.69) 0, jika y lainnya. Jika transformasi peubah acak kontinu tidak satu-satu maka perlu dilakukan partisi pada domain menjadi himpunan-himpunan bagian A1 , A2 , . . . , sedemikian hingga transformasi menjadi satu-satu pada masing-masing himpunan bagian dan menjumlahkannya, yakni X gY1 ,...,Yn (y1 , . . . , yn ) = fY1 (y1 ) · · · fYn (yn )|Ji |. (5.70) i



Untuk memahami Teorema (5.9), sebagai ilustrasi kita ambil kasus n = 3. Dalam hal ini ruang sampel dapat dibagi menjadi 3! = 6 himpunan disjoint: A1 = {(x1 , x2 , x3 ) : x1 < x2 < x3 }, A2 = {(x1 , x2 , x3 ) : x2 < x1 < x3 }, A3 = {(x1 , x2 , x3 ) : x1 < x3 < x2 }, A4 = {(x1 , x2 , x3 ) : x2 < x3 < x1 }, A5 = {(x1 , x2 , x3 ) : x3 < x1 < x2 }, A6 = {(x1 , x2 , x3 ) : x3 < x2 < x1 }, dan rentang (range) transformasi adalah B = {(y1 , y2 , y3 ) : y1 < y2 < y3 }. Dalam mentransformasi menuju sampel acak terurut kita peroleh transformasi satu-satu: Y1 = X1 , Y2 = X2 , Y3 = X3 ,



dengan J1 = 1 pada A1 ;



Y1 = X2 , Y2 = X1 , Y3 = X3 ,



dengan J2 = −1 pada A2 ;



Y1 = X1 , Y2 = X3 , Y3 = X2 ,



dengan J3 = −1 pada A3 ;



Y1 = X2 , Y2 = X3 , Y3 = X1 ,



dengan J4 = −1 pada A4 ;



Y1 = X3 , Y2 = X1 , Y3 = X2 ,



dengan J5 = −1 pada A5 ;



Y1 = X3 , Y2 = X2 , Y3 = X1 ,



dengan J6 = −1 pada A6 .



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



62



Catatan: masing-masing Jacobian dapat dihitung sebagai berikut, misalnya untuk J3 : ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂y1 ∂y2 ∂y3 ∂x 2 ∂x2 ∂x2 J3 = ∂y1 ∂y2 ∂y3 ∂x 3 ∂x3 ∂x3 ∂y1 ∂y2 ∂y3 1 0 0 = 0 0 1 0 1 0 =0+0+0−0−1−0 = −1. Pada setiap kasus |Ji | = 1. Lebih lanjut, untuk setiap daerah, fungsi densitas peluang bersamanya adalah produk dari faktor-faktor fYi (yi ) dikalikan menurut urutan. Namun, dapat dituliskan sebagai fY1 (y1 )fY2 (y2 )fY3 (y3 ), mengabaikan urutan. Jika kita jumlahkan semuanya maka terdapat 3! = 6 himpunan bagian. Dengan demikian, fungsi densitas peluang bersama Y1 , Y2 , dan Y3 adalah gY1 ,Y2 ,Y3 (y1 , y2 , y3 ) =



6 X



fY1 (y1 )fY2 (y2 )fY3 (y3 )



i=1



= 3!fY1 (y1 )fY2 (y2 )fY3 (y3 ),



y1 < y2 < y3 ;



dan nol untuk y lainnya. Contoh 5.19. Misal X1 , X2 , dan X3 menyatakan suatu sampel acak berukuran tiga dari suatu populasi dengan fungsi densitas peluang ( 2x, jika 0 < x < 1; fX (x) = (5.71) 0, jika x lainnya. Fungsi densitas peluang bersama dari statistik terurut Y1 , Y2 , dan Y3 adalah gY1 ,Y2 ,Y3 (y1 , y2 , y3 ) = 3!(2y1 )(2y2 )(2y3 ) = 6 · 8y1 y2 y3 = 48y1 y2 y3 , 0 < y1 < y2 < y3 < 1, dan nol untuk y lainnya. Jika kita tertarik dengan fungsi densitas marjinal dari suatu statistik terurut tunggal, misalnya Yk , maka hal ini dapat diperoleh dengan mengintegralkan sepanjang peubah lain. Misal



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



63



fungsi peluang marjinal dari statistik terurut terkecil Y1 . Z 1Z 1 48y1 y2 y3 dy3 dy2 gY1 (y1 ) = y1



y2



Z



1Z 1



y3 dy3 dy2



= 48y1 y2 y1 y2 Z 1



 1 2 y3 =1 = 48y1 y2 y3 dy2 y1 2 y3 =y2  Z 1 1 2 2 = 48y1 y2 (1 − y2 ) dy2 y1 2  Z 1 1 1 2 = 48y1 y2 − y2 dy2 2 y1 2  Z 1  1 1 2 y2 = 48y1 − y dy2 2 2 2 y1  Z 1 1 1 3 = 48y1 y2 − y2 dy2 2 y1 2 y2 =1   1 1 = 48y1 y22 − y24 dy2 4 8 y2 =y1    1 2 1 4 1 1 − − y − y = 48y1 4 8 4 1 8 1     1 1 1 2 4 = 48y1 − − 2y1 − y1 4 8 8    1 1 2 4 − 2y1 − y1 = 48y1 8 8 48y1 = [1 − (2y12 − y14 )] 8 = 6y1 (1 − 2y12 + y14 ) = 6y1 (1 − y12 )2 , 0 < y1 < 1. Untuk mendapatkan formula umum dari distribusi ke-k dari statistik terurut dalam fungsi densitas peluang fX (x) dan fungsi distribusi kumulatif FX (x). Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi peubah acak fX (x) > 0 pada a < x < b (a mungkin −∞ dan b mungkin ∞) maka



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



64



untuk n = 3: Z bZ



b



3!fY1 (y1 )fY2 (y2 )fY3 (y3 ) dy3 dy2



gY1 (y1 ) = y1



y2



Z bZ



b



fY3 (y3 ) dy3 dy2



= 3!fY1 (y1 )fY2 (y2 )



y1 y2 Z b Z 0



Z 0



y1 y2 Z b Z b



Z fY3 (y3 ) −



= 3!fY1 (y1 )fY2 (y2 ) y1



 fY3 (y3 ) dy3 dy2



fY3 (y3 ) dy3 +



= 3!fY1 (y1 )fY2 (y2 )



b



 fY3 (y3 ) dy3 dy3 dy2



0



0



Z b



y2



 F (b) − F (y2 ) dy2



= 3!fY1 (y1 )fY2 (y2 ) y1



Z



b



= 3!fY1 (y1 )



  fY2 (y2 ) F (b) − F (y2 ) dy2



y1



[1 − FY2 (y2 )]2 y2 =b = −3!fY1 (y1 ) 2 y2 =y1 = 3fY1 (y1 )[1 − FY1 (y1 )]2 , a < y1 < b. Teorema 5.10. Misal X1 , . . . , Xn adalah sampel acak berukuran n dari fungsi densitas peluang kontinu fX (x), dimana fX (x) > 0 untuk a < x < b. Maka fungsi densitas peluang statistik terurut ke-k, yakni Yk , diberikan oleh gk (yk ) =



n! [FY (yk )]k−1 [1 − FYk (yk )]n−k fYk (yk ), (k − 1)!(n − k)! k



(5.72)



jika a < yk < n, dan nol untuk yk lainnya. Untuk memahami Teorema (5.10) perhatikan bahwa untuk mendapatkan Yk = yk , kita harus mempunyai k − 1 amatan kurang dari yk , satu amatan pada yk , dan n − k amatan yang lebih besar daripada yk , dimana P (X ≤ yk ) = FX (yk ) , P (X ≥ yk ) = 1 − FX (yk ), dan likelihood pada amatan saat yk adalah fYk (yk ). Terdapat n!/(k − 1)!1!(n − k)! pengurutan yang mungkin dari n amatan peubah acak bebas, sehingga gk (yk ) diberikan oleh persamaan gk (yk ) =



n! [FY (yk )]k−1 [1 − FYk (yk )]n−k fYk (yk ). (k − 1)!(n − k)! k



Dengan argumentasi yang sama kita juga dapat memperoleh sembarang fungsi densitas peluang bersama statistik terurut. Misalkan suatu pasangan statistik terurut Yi dan Yj dimana i < j. Untuk mendapatkan Yi = yi dan Yj = yj , kita harus memiliki i − 1 amatan kurang dari yi , satu amatan pada yi , j − i − 1 antara yi dan yj , satu observasi pada yj , dan n − j amatan lebih besar daripada yj . Dengan menerapkan bentuk multinomial kita akan memperoleh fungsi densitas peluang bersama Yi dan Yj gij (yi , yj ) =



n! [FY (yi )]i−1 fYi (yi )[FYj (yj ) − FYi (yi )]j−i−1 (i − 1)!1!(j − i − 1)!1!(n − j)! i × [1 − FYj (yj )]n−j fYj (yj ), (5.73)



jika a < yi < yj < b dan nol untuk yi dan yj lainnya. Dalam statistika dasar, kita telah mengenal median dan rentang sampel. Median sampel didefinisikan sebagai  Y(n+1)/2 , jika n ganjil; Yk = Y(n/2) + Y(n/2+1)  , jika n genap. 2



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



65



Sementara, rentang sampel adalah selisish antara amatan terbesar dan terkecil, yakni R = Yn − Y1 . Fungsi densitas peluang untuk amatan minimum dan maksimum, yakni Y1 dan Yn dapat ditentukan sebagai kasus khusus dari Teorema (5.10) yakni n! [FY (y1 )]i−1 [1 − FY1 (y1 )]n−1 fY1 (y1 ) (1 − 1)!(n − 1)! 1 n! = [FY (y1 )]0 [1 − FY1 (y1 )]n−1 fY1 (y1 ) 0!(n − 1)! 1 n(n − 1)! = 1[1 − FY1 (y1 )]n−1 fY1 (y1 ) 1(n − 1)! = n[1 − FY1 (y1 )]n−1 fY1 (y1 ), a < y1 < b;



g1 (y1 ) =



dan n! [FY (yn )]n−1 [1 − FYn (yn )]n−n fYn (yn ) (n − 1)!(n − n)! n n! = [FY (yn )]n−1 [1 − FYn (yn )]0 fYn (yn ) (n − 1)!0! n n(n − 1)! [FYn (yn )n−1 ]1fYn (yn ) = (n − 1)!1 = n[FYn (yn )]n−1 fYn (yn ), a < yn < b.



gn (yn ) =



Fungsi distribusi kumulatif peubah acak diskrit dan kontinu untuk nilai sampel minimum dan maksimum dapat dihitung dengan teknik fungsi distribusi kumulatif. Untuk nilai amatan minimum, fungsi distribusi kumulatifnya adalah G1 (y1 ) = P (Y1 ≤ y1 ) = 1 − P (Y1 > y1 ) = 1 − P (semua Xi > y1 ) = 1 − [1 − FY1 (y1 )]n ; sementara untuk nilai amatan maksimum Gn (yn ) = P (Yn ≤ yn ) = P (semua Xi ≤ yn ) = [FYn (yn )]n . Dengan argumentasi yang sama diperoleh fungsi distribusi kumulatif untuk statistik terurut ke-k. Teorema 5.11. Untuk suatu sampel acak berukuran n dari suatu fungsi distribusi kumulatif diskrit atau kontinu FX (x), maka fungsi distribusi kumulatif marjinal dari statistik terurut ke-k diberikan oleh n   X n Gk (yk ) = [FYk (yk )]j [1 − FYk (yk )]n−j . (5.74) j j=k



Contoh 5.20. Misal suatu sampel acak berukuran n dari suatu distribusi dengan fungsi densitas peluang fX (x) = 2x, 0 < x < 1 dan fungsi distribusi kumulatif FX (x) = x2 ;



0 < x < 1.



(5.75)



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



66



Fungsi densitas peluang untuk sampel minimum dan maksimum diperoleh g1 (y1 ) = n[1 − FY1 (y1 )]n−1 fY1 (y1 ) = n(1 − y12 )n−1 2y1 = 2ny1 (1 − y12 )n−1 ,



0 < y1 < 1,



dan gn (yn ) = n(yn2 )n−1 2yn = 2nyn (yn2 )n−1 = 2nyn2n−1 ,



0 < yn < 1.



Untuk fungsi distribusi kumulatifnya diperoleh G1 (y1 ) = 1 − [1 − FY1 (y1 )]n = 1 − [1 − y12 ]n ; sedangkan untuk fungsi distribusi maksimum diberikan oleh Gn (yn ) = [FYn (yn ))]n = [yn2 ]n = yn2n . Contoh 5.21. Misal kita tertarik pada fungsi densitas peluang dari rentang sampel R = Yn −Y1 . Fungsi densitas peluang bersama Y1 dan Yn diberikan oleh g1,n (y1 , yn ) = = = = =



n! [FY (y1 )]1−1 fY1 (y1 )[FYn (yn − FYn (y1 ))]n−1−1 [1 − FYn (yn )]n−n fYn (yn ) (1 − 1)!(n − 1 − 1)!(n − n)! 1 n! [FY (y1 )]0 fY1 (y1 )[FYn (yn ) − FY1 (y1 )]n−2 [1 − FYn (yn )]0 fYn (yn ) 0!(n − 2)!0! 1 n! (2y1 )[yn2 − y12 ]n−2 (2yn ) (n − 2)! n! 2y1 [yn2 − y12 ]n−2 2yn (n − 2)! n! 4y1 yn (yn2 − y12 )n−2 , 0 < y1 < yn < 1. (n − 2)!



Dengan membuat transformasi R = Yn − Y1 , dan S = Y1 transformasi invers y1 = s, yn = r + s, dan ∂s ∂s 1 ∂yn J = ∂y ∂r ∂r ∂y1 ∂yn 1 1 = 0 1 =1−0 = 1.



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



67



Dengan demikian, fungsi densitas peluang bersama R dan S adalah n! 4s(r + s)[(r + s)2 − s2 ]n−2 (n − 2)! 4n! = s(r + s)[r2 + 2rs + s2 − s2 ]n−2 (n − 2)! 4n! = s(r + s)(r2 + 2rs), 0 < s < 1 − r, 0 < r < 1. (n − 2)!



hR,S (r, s) =



Fungsi densitas peluang marjinal rentang diberikan oleh Z 1−r hR (r) = h(r, s) ds



(5.76)



0



dan Z



1



h(r, s) dr.



hS (s) =



(5.77)



0



Misal untuk n = 3 kita peroleh Z 1−r 4 · 3! hR (r) = s(r + s)[r + 2rs]3−2 ds (3 − 2)! 0 Z 1−r 4 · 3! = s(r + s)[r + 2rs]3−2 ds 1! 0 Z 1−r = 24s(r + s)(r + 2rs) ds 0 Z 1−r = 24 (sr2 + 2r2 s2 + rs2 + 2rs3 ) ds 0  s=1−r  2 r 1 1 = 24 s2 r2 + r2 s3 + s3 + s4 r 2 3 3 2 s=0   s=1−r 1 2 1 1 = 24s2 r r + rs + s + s2 2 3 3 2 s=0   1 2 1 1 2 2 = 24(1 − r) r r + r(1 − r) + (1 − r) + (1 − r) − 0 2 3 3 2   1 2 2 2 1 1 1 2 2 = 24(1 − r) r r + r − r + − r + (1 − 2r + r ) 2 3 3 3 3 2    1 2 2 1 1 1 r2 = 24 (1 − r)2 r r + r − r2 + − r + − r + − ) 2 3 3 3 3 2 2    2 1 2 1 2 2 r 1 1 2 = 24 (1 − r) r r + r − r − r − r + + + ) 2 3 3 3 2 3 2   2 2 2 2 r 5 = 24(1 − r)2 r − r − r − r2 + + 2 3 3 2 6   5 1 5 = 24(1 − r)2 r − r − r2 + . 3 6 6



5.4.2



Pengambilan Sampel Tersensor



Dalam beberapa maslah seperti percobaan uji hidup (life testing) untuk memperoleh informasi reliabilitas benda, amtan terururut adalah hal yang terjadi secara alami. Dalam kasus seperti itu penghematan dalam waktu dan biaya dapat dilakukan dengan menghentikan percobaan setelah



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



68



r amatan terurut terjadi, dibandingkan menunggu sampai semua n amatan gagal terjadi. Hal ini disebut pengambilan sampel tersensor tipe II (Type II censored sampling). Pada kasus ini, fungsi densitas marjinal dari statistik terurut diperoleh dengan mengintegralkan sepanjang peubah. Teorema 5.12 (Pengambilan Sampel Tersensor Tipe II). Fungsi densitas bersama fungsi dari r statistik terurur pertama dari suatu sampel acak berukuran n dari suatu fungsi densitas peluang kontinu fX (x) diberikan oleh   n! [1 − F (y )]n−r Qr f (y ), jika − ∞ < y < · · · < y < ∞; r i 1 r i=1 gY1 ,...,Yr (y1 , . . . , yr ) = (n − r)!  0, jika ylainnya. (5.78) Dalam pengambilan sampel tersensor tipe II, jumlah amatan r adalah tetap, namun lama eksperimen, Yr adlaha peubah acak jika pelaku percobaan menghentikan percobaan setelah waktu tertentu t0 , maka prosedur ini disebut pengambilan sampel tersensor tipe I (Type I censored sampling). Teorema 5.13 (Pengambilan Sampel Tersensor Tipe I). Jika Y1 , . . . , Yr menyatakan nilai-nilai amatan pada suatu sampel acak berukuran n dari fX (x), yakni tersensor tipe I pada sebelah kanan saat t0 , maka fungsi densitas peluang bersama Y1 , . . . , Yr diberikan oleh n



fY1 ,...,Yr (y1 , . . . , yr ) =



Y n! [1 − F (t0 )]n−r f (yi )[1 − F (t0 )]n , (n − r)!



(5.79)



i=1



jika < y1 < · · · < yr < t0 dan r = 1, . . . , n.



5.5



Latihan Soal



5-1 Misal X adalah peubah acak dengan dengan fungsi densitas peluang ( 4x3 , jika 0 < x < 1; fX (x) = 0, jika x lainnya. Gunakan teknik fungsi distribusi kumulatif untuk menentukan fungsi densitas peluang dari masing-masing peubah acak berikut: a) Y = X 4 ; b) W = eW ; c) Z = ln X; d) U = (X − 1/2)2 ; 5-2 Misal X adalah peubah acakyang berdistribusi secara seragam, Xi ∼ UNIF(0, 1). Gunakan teknik fungsi distribusi kumulatif untuk menentukan fungsi densitas peluang dari masingmasing peubah acak berikut: a) Y = X 1/4 ; b) W = e−X ; c) Z = 1 − e−X ; d) U = X(1 − X).



BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK



69



5-3 Jika X berdistribusi Weibull, yakni X ∼ WEI(θ, β) , carilah fungsi distribusi kumulatif dan fungsi densitas peluang dari peubah-peubah acak berikut: a) Y = (X/θ)β ; b) W = ln X; c) Z = (ln X)2 . 5-4 Kerjakan kembali Soal No. 1 dan 2 menggunakan metode transformasi. 5-5 Misal X ∼ BIN(n, p). Tentukan fungsi densitas peluang Y = n − X. 5-6 Misal X ∼ NB(r, p). Tentukan fungsi densitas peluang Y = X − r. 5-7 Misal X memiliki fungsi densitas peluang  2 x , fX (x) = 24 0,



jika − 2 < x < 4; jika x lainnya.



Carilah fungsi densitas peluang dari Y = X 2 . 5-8 Misal X dan Y memiliki fungsi densitas peluang bersama ( 4 e−2(x+y) , jika 0 < x < ∞, 0 < y < ∞; fX,Y (x, y) = 0, x dan y lainnya. a) Carilah fungsi distribusi kumulatif W = X + Y . b) Carilah fungsi densitas peluang bersama U = X/Y dan V = X. c) Carilah fungsi densitas peluang marjinal U . 5-9 Jika X1 dan X2 menyatakan sampel acak berukuran dua dari suatu distribusi Poisson, Xi ∼ POI(λ), carilah fungsi densitas peluang bersama Y = X1 + X2 .



BAB 6 LIMIT DISTRIBUSI



Kompetensi Dasar Menilai berdasarkan sifat konvergensi distribusi. Indikator Pencapaian Memperbandingkan sifat-sifat konvergensi distribusi meliputi barisan peubah acak, teorema limit pusat, distribusi normal asimtotis, sifat konvergen, dan teorema limit tambahan. Materi Pokok 6.1 Barisan Peubah Acak 6.2 Teorema Limit Pusat 6.3 Pendekatan Distribusi Binomial 6.4 Distribusi Normal Asimtotik 6.5 Sifat-sifat Konvergensi Stokastik 6.6 Teorema-teorema Limit Tambahan 6.7 Latihan Soal



Pada Bab 5, kita telah membahas metode-metode umum untuk mendapatkan distribusi dari suatu fungsi dari n peubah acak, katakanlah Wn = u(X1 , . . . , Xn ). Dalam beberapa kasus, fungsi densitas peuang Wn mudah diperoleh, tetapi dalam beberapa kasus penting penurunan distribusi tidaklah terlacak (not tractable). Untuk mengatasi hal ini, sangatlah mungkin untuk memperoleh hasil-hasil yang mendekati yang bisa diterapkan saat n besar. Hasil ini berdasarkan konsep konvergensi dalam distribusi dan limit distribusi.



6.1



Barisan Peubah Acak



Misal suatu barisan peubah acak W1 , W2 , . . . dengan barisan distribusi kumulatif yang bersesuain G1 (w), G2 (w), . . . sedemikian hingga untuk setiap n = 1, 2, . . . Gn (w) = P (Wn ≤ w).



(6.1)



Definisi 6.1 (Konvergensi dalam Distribusi). Jika Wn ∼ Gn (w) untuk setiap n = 1, 2, . . . , dan jika untuk beberapa fungsi distribusi kumulatif G(w), lim Gn (w) = G(w)



n→∞



70



(6.2)



BAB 6. LIMIT DISTRIBUSI



71



untuk semua nilai w yang mana G(w) adalah kontinu, maka barisan W1 , W2 , . . . dikatakan konvergen dalam distribusi (converge in distribution) ke W ∼ G(w), dinotasikan d



→ W. Wn −



(6.3)



Distribusi yang bersesuaian dengan fungsi distribusi kumulatif G(w) disebut limit distribusi dari Wn (limiting distribution of Wn ) Contoh 6.1. Misal X1 , . . . , Xn adalah sampel acak dari suatu distribusi seragam, yakni Xi ∼ UNIF(0, 1) dan misal Wn = Xn:n adalah statistik terurut terbesar. Dari Bab 5 kita tahu bahwa fungsi distribusi kumulatif Wn adalah   jika w ≤ 0; 0, n Gn (w) = w , jika 0 < w < 1; (6.4)   1, jika w ≥ 1. Pada saat 0 < w < 1, bentuk wn mendekati 0 sebagaimana n mendekati ∞; pada saat w ≤ 0 atau w ≥ 1 maka Gn (w) adalah suatu barisan konstan, dengan batas-batas bersesuaian 0 atau 1. Dengan dmeikian limn→∞ Gn (w) = G(w) dimana ( 0, jika w < 1; G(w) = (6.5) 1, jika w ≥ 1. Contoh 6.2. Misal suatu sampel acak dari suatu sampel berukuran n dari suatu distribusi dengan fungsi distribusi kumulatif ( 1 − 1/x, jika 1 ≤ ∞; FX (x) = (6.6) 0, jika x lainnya. Misal Wn = X1:n . Dari Bab 5 kita tahu bahwa fungsi distribusi W adalah ( 1 − [1 − (1 − 1/w)]n , jika 1 ≤ w ≤ ∞, Gn (w) = 0, jika w lainnya, ( 1 − (1/w)n , jika 1 ≤ w ≤ ∞, = 0, jika w lainnya, Kita peroleh limn→∞ Gn (w) = 1 jika 1 ≤ w ≤ ∞ karena 1/wn = 0, dan limn→∞ = 0 jika w lainnya. Definisi 6.2 (Distribusi Degenerasi). Fungsi G(w) adalah fungsi distribusi kumulatif dari suatu distribusi degenerasi (degenerate distribution) pada nilai w = c jika ( 0, jika w < c; G(w) = (6.7) 1, jika w ≥ c. Dengan kata lain, G(w) adalah fungsi distribusi kumulatif dari suatu distribusi diskrit yang menugaskan peluang satu pada saat w = c dan nol untuk yang lainnya. Contoh 6.3. Misal X1 , . . . , Xn adalah suatu sampel acak dari suatu distribusi eksponensial Xi ∼ EXP(θ) dan misalkan Wn = X1:n adalah statistik terurut terkecil. Dari Bab 5, kita tahu



BAB 6. LIMIT DISTRIBUSI



72



bahwa fungsi distribusi kumulatif untuk statistik terurut terkecil adalah Gn (w) = 1 − [1 − F (w1 )]n = 1 − [1 − (1 − e−w/θ )]n = 1 − [1 − 1 + e−w/θ ]n = 1 − [e−w/θ ]n = 1 − e−wn /θ , untuk w > 0, dan nol untuk w lainnya. Kita peroleh limn→∞ Gn (w) = 1 jika w > 0 karena e−w/θ < 1 dalam hal ini. Dengan demikian limit ini nol jika w < 0 dan 1 jika w > 0, yang bersesuaian dengan distribusi degenerasi pada nilai w = 0. Definisi 6.3 (Konvergen Secara Stokastik). Suatu barisan peubah acak W1 , W2 , . . . , dikatakan konvergen secara stokastik (converge stochastically) ke suatu konstan c apabila memiliki suatu limit distribusi yang degenarasi pada w = c. Berikut ini limit yang penting untuk diketahui:   c nb lim 1 + = ecb ; n→∞ n   d(n) nb c = ecb , jika lim d(n) = 0. lim 1 + + n→∞ n→∞ n n



(6.8) (6.9)



Contoh 6.4. Misal X1 , . . . , Xn adalah suatu sampel acak dari suatu distribusi Pareto, yakni Xi ∼ PAR(1, 1), dan misal Wn = nX1:n . Fungsi distribusi kumulatif Xi diberikan oleh FX (x) = 1 − (1 + x)−1 , x > 0. Dengan demikian fungsi distribusi kumulatif Wn adalah Gn (w) = 1 − [1 − F (w/n)]n = 1 − [1 − (1 − (1 + w/n)−1 )]n = 1 − [1 − 1 + (1 + w/n)−1 ]n = 1 − [(1 + w/n)]n = 1 − (1 + w/n)−n , w > 0. Untuk w > 0 kita peroleh limn→∞ Gn (w) = 1 − e−w dan nol untuk w lainnya. Ini merupakan fungsi distribusi kumlulatif dari EXP(1). Contoh 6.5. Jika kita lihat kembali Contoh 6.4 misal Wn = Xn:n . Fungsi distribusi kumulatif Wn = Xn:n . Fungsi distribusi kumulatif Wn adalah Gn (w) = [F (w)]n = [1 − 1/(1 + w)]n   (1 + w) − 1 n = (1 + w)  n w = , w > 0, 1+w dan nol untuk w lainnya. Mengingat w/(1+w) < 1 maka kita peroleh limn→∞ Gn (w) = G(w) = 0 untuk semua w, yang tentu bukan suatu fungsi distribusi kumulatif karena tidak mendekati satu sebagaimana w → ∞.



BAB 6. LIMIT DISTRIBUSI



73



Contoh 6.6. Lihat kembali Contoh 6.5. Jika sekarang Anda tertarik dengan Wn = (1/n)Xn:n maka fungsi distribusi kumulatinya n  nw Gn (w) = 1 + nw   1 + nw −n = nw  −n 1 = +1 nw   1 −n . = 1+ nw Kita peroleh limn→∞ Gn (w) = e−1/w . Ingat bahwa   1 lim 1 + = e1/w(−1) = e−1/w , w > 0. n→∞ nw



(6.10)



Jadi kita peroleh fungsi distribusi kumulatif G(w) = e−1/w , w ≥ 0.



6.2



Teorema Limit Pusat



Dalam contoh sebelumnya, fungsi distribusi kumulatif yang pasti telah diketahui untuk setiap n tertentu (terbatas), dan distribusi limit diperoleh secara langsung dair barisan ini. Salah satu keuntungan limit distribusi adalah bahwa dimungkinkan untuk menentukan limit distribusi tanpa mengetahui bentuk pasti dair fungsi distribusi kumulatif untuk n terbatas. Limit distribusi menyediakan informasi yang berguna apabila peluang eksak tidak tersedia. Teorema 6.1. Misal W1 , W2 , . . . , adalah suatu barisan peubah acak dengan fungsi distribusi kumulatif bersesuaian G1 (w), G2 (w), . . . , dari fungsi pembangkit momen M1 (t), M2 (t), . . . . Jika M (t) adalah fungsi pembangkit momen dari suatu fungsi distribusi kumulatif G(w) dan jika limn→∞ Mn (t) = M (t) untuk semua t dalam interval terbuka yang berisi nol, −h < t < h, maka limn→∞ Gn (w) = G(w) untuk semua titik-titik kontinu dari G(w). Contoh 6.7. Misal X1 , . . . , Xn adalahP suatu sampel acak dari suatu distribusi Bernoulli, yakni Xi ∼ BIN(1, p), dan misalkan Wn = ni=1 Xi . Jika p → 0 sebagaimana n → ∞ sedemikian hingga np = µ, maka untuk µ > 0 diperoleh Mn (t) = (p et +q)n = (p et +1 − p)n  t  µe µ n = +1− n n   t µ(e −1) n = 1+ . n Dengan demikian diperoleh limn→∞ Mn (t) = eµ(e



t



−1)



yang merupakan fungsi pembangkit mod



men dari distribusi Poisson dengan rata-rata µ. Hal ini berarti Wn − → W ∼ POI(µ). Contoh ini menyarankan bahwa peubah acak binomial Wn ∼ BIN(n, p), jika n besar dan p kecil, maka Wn ∼ POI(np). Contoh 6.8. Lihat kembali Contoh 6.7. Misal kita buat p tetap (fixed ) dan anggap barisan proporsi sampel Vn = pˆn = Wn /n. Dengan menggunakan ekspansi deret eu = 1 + u + u2 /2 + · · ·



BAB 6. LIMIT DISTRIBUSI



74



dengan u = t/n, kita peroleh MWn (t) = (p et/n +q)n = (p(1 + t/n + t2 /2n2 + · · · ) + (1 − p))n = (p + p(t/n + t2 /2n2 + · · · ) + 1 − p)n = (1 + pt/n + p(t2 /2n2 + · · · ))n = (1 + pt/n + d(n)/n)n dengan d(n) melibatkan suku-suku yang diabaikan dan d(n) → 0 sebagaimana n → ∞, sehingga diperoleh limn→∞ MWn (t) = ept yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi degenerasi pada w = p. Jadi pˆn konvergen secara stokastik ke p sebagaimana n mendekati tak berhingga. Contoh 6.9. Sekarang kita lihat apabila Zn = Dengan menyederhanakan notasi σn = ekspansi deret sebelumnya diperoleh



√



Wn − np . √ npq



(6.11)



npq kita peroleh Zn = Wn /σn − np/σn . Menggunakan



MZn (t) = E(exp(tZn )) = E[exp{(Wn /σn − np/σn )}t] = exp(−npt/σn )E(exp(Wn /σn )t) = exp(−npt/σn )MWn /σn (t) = exp(−npt/σn )MWn (t/σn ) = exp(−npt/σn )[p e(t/σn ) +q]n     pt pt p2 t2 pt2 = 1− + ··· × 1 + + ··· + + σn 2σn2 σn 2σn2   pt p2 t2 p3 t3 n pt pt2 pt2 + ··· − + + = 1+ + − σn 2σn2 σn 2σn2 2σn2 2σn2   n t2 d(n) = 1+ + 2n n dimana d(n) → 0 sebagaimana n → ∞. Sehingga 2 /2



lim MZn (t) = et



n→∞



,



(6.12) d



yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi normal standar. Jadi Zn − → Z ∼ N (0, 1). Contoh ini mengilustrasikan bahwa untuk n besar dan p tertentu (fixed ) maka Wn mendekati normal yakni Wn ∼ N (np, npq). Teorema 6.2 (Teorema Limit Pusat). Jika X1 , . . . , Xn adalah suatu sampel acak dari distribusi dengan rata-rata µ dan variansi σ 2 < ∞, maka limit distribusi (limiting distribution) dari Pn Xi − nµ (6.13) Zn = i=1 √ σ n d



adalah normal standar, yakni Zn − → Z ∼ N (0, 1) sebagaimana n → ∞. Bentuk persamaan (6.13) dapat juga dihubungkan dengan rata-rata sampel, yakni ¯n − µ X √ . Zn = σ/ n



(6.14)



BAB 6. LIMIT DISTRIBUSI



6.3



75



Pendekatan Distribusi Binomial



Pendekatan binomial seperti pada contoh di atas akan bagus jika p dekat 0,5, karena distribusi binomial simetris saat p = 0,5. Akurasi yang diperlukan dalam pendekatan tergantung pada aplikasi. Salah satu panduan adalah menggunakan pendekatan normal apabila np ≥ 5 dan nq ≥ 5. Namun, sekali lagi, ini tergantung pada akurasi yang diperlukan. Contoh 6.10. Peluang bahwa seorang pemain basket memasukkan bola adalah p = 0,5. Jika ia mengambil 20 kali lemparan, berapakah peluang ia memasukkan bola paling tidak sembilan kali? Peluang eksaknya adalah P (W20 ≥ 9) = 1 − P (W20 ≤ 8) 8   X 20 =1− 0,5w 0,520−w w w=0



= 0,7483 Pendekatan normalnya adalah P (W20 ≥ 9) = 1 − p(W20 ≤ 8)   8 − 10 √ ≈1−Φ 5 ≈ 1 − Φ(−0,89) ≈ 0,8133. √ Ingat bahwa Zn = (Wn − np)/( npq) dengan n = 20, p = 0,5, dan q = 0,5. Mengingat distribusi binomial adalah diskrit dan distribusi normal adalah kontinu, maka pendekatan dapat diperbaiki dengan membuat koreksi kontinuitas (continuity correction). Secara khusus masing-masing peluang binomial b(w, n, p) memiliki nilai yang sama seperti area persegi panjang dengan tinggi b(w, n, p) dan dengan interval [w − 0,5, w + 0,5] sebagai dasarnya, karena panjang unitnya satu unit. Luas persegi panjang ini dapat didekati dengan area dibawah fungsi densita peluang W ∼ N (np, npq). Dengan menerapkan koreksi kontinuitas, kita peroleh P (W20 ≥ 9) = 1 − P (W20 ≤ 8)   8,5 − 10 √ ≈1−Φ 5 ≈ 1 − Φ(−0,67) ≈ 0,7486, yang lebih mendekati hasil eksaknya dibandingkan tanpa koreksi kontinuitas. Secara umum, jika Wn ∼ BIN(n, p) dan a ≤ b adalah bilangan-bilangan bulat, maka     a − 0,5 − np b + 0,5 − np − Φ . (6.15) P (a ≤ Wn ≤ b) ≈ Φ √ √ npq npq



6.4



Distribusi Normal Asimtotik



Definisi 6.4 (Distribusi Normal Asimtotik). Jika W1 , W2 , . . . adalah suatu barisan peubah acak dan m serta c adalah konstanta sedemikian hingga Zn =



Wn − m d √ − → Z ∼ N (0, 1) c/ n



(6.16)



bilamana n → ∞, maka Wn dikatakan memiliki distribusi normal asimtotik (asymptotic normal distribution) dengan rata-rata asimtotik m dan variansi asimtotik c2 /n.



BAB 6. LIMIT DISTRIBUSI



6.5



76



Sifat-sifat Konvergensi Stokastik



Dalam contoh-contoh sebelumnya kita menemukan bahwa barisan peubah acak konvergen secara stokastik ke suatu konstanta. Teorema berikut memberikan kriteria alternatif untuk menunjukkan konvergensi stokastik. Teorema 6.3 (Konvergen dalam Peluang). Barisan W1 , W2 , . . . konvergen secara stokastik ke c jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0, lim P (|Wn − c| < ε) = 1.



(6.17)



n→∞



Suatu barisan peubah acak yang memenuhi Teorema 6.3 disebut juga konvergen dalam pelup ang ke konstanta c, dinotasikan Wn → − c. Contoh 6.11. Dalam contoh Hukum Bernoulli Bilangan Besar (Bernoulli Law of Large Numbers), diperoleh rata-rata dan variansi dari pˆn adalah E(ˆ pn ) = p dan var(ˆ pn ) = pq/n sehingga P (|ˆ pn − p| < ε) ≥ 1 −



pq ε2 n



(6.18)



untuk setiap ε > 0. Jadi limn→∞ P (|ˆ pn − p| < ε) = 1. Teorema 6.4 (Hukum Bilangan-Bilangan Besar). Jika X1 , . . . , Xn adalah suatu sampel acak dari suatu distribusi dengan rata-rata terbatas (finite) µ dan variansi σ 2 , maka barisan rata-rata sampel konvergen dalam peluang ke µ, yakni p ¯n → X − µ.



(6.19)



Teorema 6.4 ini menunjukkan bahwa rata-rata sampel memberikan suatu pendugaan yang bagus dari rata-rata populasi, dalam hal bahwa peluang mendekati 1 sebagaimana secara per¯ n dekat µ bila n → ∞. lahan X Teorema berikut menunjukkan bahwa suatu barisan peubah acak yang normal asimtotis konvergen dalam peluang ke rata-rata asimtotis. Teorema 6.5. Jika Zn =



6.6



√ p d n(Wn − m)/c − → Z ∼ N (0, 1), maka Wn → − m.



Teorema-teorema Limit Tambahan



Definisi 6.5 (Konvergensi dalam Peluang). Barisan peubah acak Wn dikatakan konvergen p dalam peluang ke W , ditulis Wn → − W jika lim P (|Wn − W | < ε) = 1.



(6.20)



n→∞



Konvergensi dalam peluang memiliki sifat yang lebih kuat dibandingkan konvergensi dalam distribusi. p



d



Teorema 6.6. Untuk suatu barisan peubah acak, jika Wn → − W maka Wn − → W. Kasus khusus untuk Teorema 6.6, jika W = c maka limit distribusi adalah distribusi degenerasi P (W = c) = 1.



BAB 6. LIMIT DISTRIBUSI



6.7



77



Latihan Soal



6-1 Misal suatu sampel acak berukuran n dari suatu distribusi dengan fungsi distribusi  1 − 1 , jika 1 ≤ x ≤ ∞; FX (x) = x 0, x lainnya. a) Carilah fungsi distribusi dari statistik terurut minimum, X1:n . b) Carilah limit distribusi X1:n . n . c) Carilah limit distribusi X1:n



6-2 Misal suatu sampel acak berukuran n dari suatu distribusi dengan fungsi distribusi FX (x) = (1 + e−x )−1 untuk semua bilangan real x. a) Apakah statistik terurut terbesar Xn:n memiliki limit distribusi? b) Apakah Xn:n − ln n memiliki limit distribusi? Jika demikian, apa limit distribusinya? 6-3 Misal suatu sampel acak berukuran n berasal dari distribusi dengan fungsi distribusi FX (x) = 1−x−2 jika x > 1 dan nol untuk x lainnya. Periksalah apakah barisan-barisan berikut memiliki limit distribusi; jika demikian, berikan distribusi limit a) X1:n . b) Xn:n . c) n−1/2 Xn:n 6-4 Misal Zi ∼ N (0, 1) dan Z 1 , Z2 , . . . saling bebas. Gunakan fungsi pembangkit momen untuk P √ mencari limit distribusi ni=1 (Zi + 1/n)/ n. ¯ n menyatakan rata-rata dari suatu sampel acak dari distribusi N (µ, σ 2 ). Carilah 6-5 Misal X ¯n. limit distribusi X 2 6-6 Misal X1 , . . . , Xn adalah Pn sampel acak berukuran n dari distribusi N (µ, σ ). Tunjukkan bahwa jumlah Vn = i=1 Xi tidak memiliki limit distribusi.



6-7 Misal suatu sampel acak berasal dari distribusi Poisson, yakni Xi ∼ POI(µ). ¯



a) Tunjukkan bahwa Yn = e−Xn konvergen secara stokastik ke P (X = 0) = e−µ . b) Carilah distribusi normal asimtotis dari Yn . ¯ n exp(−X ¯ n ) konvergen secara stokastik ke P (X = 1) = µ e−µ . c) Tunjukkan bahwa X 6-8 Misal Sn2 menyatakan varians of sampel acak berukuran n dari distribusi N (µ, σ 2 ). Buktikan bahwa nSn2 /(n − 1) konvergen dalam peluang ke σ 2 . 6-9 Misal Xn berdistribusi gamma dengan parameter κ = n dan θ, dengan θ bukan fungsi dari n. Misal Vn = Xn /n. Carilah limit distribusi Vn . 6-10 Misal Xn berdistribusi χ2 (n) dan dan misal Vn = Xn /n2 . Carilah limit distribusi Vn .



BAB 7 STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL



Kompetensi Dasar Menilai berdasarkan sifat teori pengambilan sampel. Indikator Pencapaian Membandingkan sifat-sifat sampel acak, statistik dan distribusi pengambilan sampel, distribusi t, distribusi F, distribusi beta, pendekatan sampel besar, dan statistik terurut. Materi Pokok 7.1 Statistik 7.2 Distribusi-distribusi Pengambilan Sampel 7.3 Pendekatan-pendekatan Sampel Besar 7.4 Latihan Soal



Konsep sampel acak telah diperkenalkan pada bab-bab sebelumnya. Kemudian konsep tentang fungsi distribusi empiris dikenalkan untuk kemudian digunakan untuk mencari informasi tentang rata-rata sampel dan varians sampel sebagai penduga yang intuitif untuk rata-rata dan varians distribusi populasi. Bab ini akan membicarakan tentang konsep statistik yang menyertakan rata-rata sampel dan varians sampel. Sifat-sifat statistik dan distribusinya akan dibahas secara mendalam, terutama sifat-sifat distribusi normal dan turunannya.



7.1



Statistik



Pada bagian ini akan dibahas pengertian statistik beserta contoh-contohnya. Definisi 7.1. Suatu fungsi dari peubah acak yang teramati, T = `(X1 , . . . , Xn ), yang tidak bergantung pada parameter yang tidak diketahui, disebut statistik. Pada Definisi 7.1, huruf ` adalah fungsi yang diterapkan pada X1 , . . . , Xn untuk mendefinisikan statistik, yang dinotasikan oleh huruf kapital T . Contoh 7.1. Misal X1 , . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak dari suatu populasi dengan fungsi densitas peluang fX (x). Rata-rata sampel merupakan salah satu contoh statistik yang 78



BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL



79



didefinisikan oleh fungsi `(x1 , . . . , xn ) = (x1 + · · · + xn )/n. Statistik ini biasanya dinotasikan oleh n X Xi ¯= X . (7.1) n i=1



¯ dihitung dari data yang biasanya dinotasikan Apabila suatu sampel acak teramati, maka nilai X oleh x ¯. Sifat-sifat rata-rata sampel dan varians dapat dilihat pada teorema berikut. Teorema 7.1. Jika X1 , . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak dari fX (x) dengan E(X) = µ dan var(X) = σ 2 , maka ¯ =µ E(X) (7.2) dan ¯ = var(X)



σ2 . n



(7.3)



Bukti: Untuk menunjukkan Persamaan (7.2), gunakan sifat-sifat nilai harapan sampel acak.   X n 1 ¯ E(X) = E Xi n i=1 X  n 1 = E Xi n i=1



1 = (E(X1 ) + · · · + E(Xn )) n 1 = (nE(X)) n 1 = (nµ) n = µ. Dengan cara yang sama,P untuk menunjukkan Persamaan (7.3), gunakan sifat-sifat varians untuk P sampel acak, yakni var( ni=1 ai Xi ) = ni=1 a2i var(Xi ).  X  n 1 ¯ var(X) = var Xi n i=1 X  n 1 = 2 var Xi n i=1



n 1 X = 2 var(Xi ) n i=1



n 1 X var(X) = 2 n i=1



1 = 2 n var(X) n 1 = σ2 n σ2 = . n



BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL



80



Contoh 7.2. Fungsi `(x1 , . . . , xn ) = [(x1 − x ¯)2 + · · · + (xn − x ¯)2 ]/(n − 1) ketika diterapkan pada data bersesuaian dengan varians sampel. Lebih khusus lagi hal ini dinyatakan sebagai Pn ¯ 2 (Xi − X) 2 S = i=1 . (7.4) (n − 1) Teorema 7.2. Jika X1 , . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak berukuran n dari fX (x) dengan E(X) = µ dan var(X) = σ 2 , maka E(S 2 ) = σ 2



(7.5)



dan   n−3 4 µ4 − σ n−1 var(S 2 ) = , n



7.2



n > 1.



(7.6)



Distribusi-distribusi Pengambilan Sampel



Statistik juga merupakan suatu peubah acak, distribusi yang bergantung pada distribusi dari suatu sampel acak dengan bentuk fungsi `(x1 , . . . , xn ). Distribusi dari suatu statistik disebut distribusi turunan (derived distribution) atau distribusi pengambilan sampel (sampling distribution).



7.2.1



Kombinasi Linear Peubah-peubah Normal



Teorema 7.3. Jika Xi ∼ N (µi , σi2 ), i = 1, . . . , n menyatakan peubah normal bebas, maka Y =



n X



ai Xi ∼ N



i=1



X n i=1



ai µi ,



n X



a2i σi2



 .



(7.7)



i=1



Bukti: MY (t) = MPni=1 ai Xi (t) = =



n Y i=1 n Y



MXi (ai t) exp(ai µi t + a2i t2 σi2 /2)



i=1



 X  n n X 2 2 2 = exp t ai µi + t ai σi /2 , i=1



i=1



yang merupakan P fungsi pembangkit momen dari peubah acak normal dengan rata-rata dan varians ni=1 a2i σi2 .



Pn



i=1 ai µi



¯ ∼ N (µ, σ 2 /n). Korolari 1. Jika X1 , . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak dari N (µ, σ 2 ), maka X



7.2.2



Distribusi Khi Kuadrat



Misal suatu distribusi gamma khusus dengan θ = 2 dan κ = v/2. Peubah acak Y dikatakan berdisttribusi khi kuadrat (chi-square) dengan derajat kebebasan v jika Y ∼ GAM(2, v/2), dinotasikan sebagai Y ∼ χ2 (v). (7.8)



BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL



81



Teorema 7.4. Jika Y ∼ χ2 (v), maka MY (t) = (1 − 2t)−v/2 , Γ(v/2 + r) E(Y r ) = 2r , Γ(v/2) E(Y ) = v,



(7.10)



var(Y ) = 2v.



(7.12)



(7.9)



(7.11)



dan



Bukti: Mengingat Y ∼ GAM(2, v/2), maka sifat-sifat distribusi gamma pun berlaku. Untuk membuktikan Persamaan (7.9), diketahui bahwa fungsi pembangkit momen distribusi gamma adalah (1 − θt)−κ untuk t < 1/θ. Sehingga untuk θ = 2 dan κ = v/2 MY (t) = (1 − 2t)−v/2 . Untuk ekspektasi ke-r pada Persamaan (7.10) juga berdasarkan hasil dari distribusi gamma. Jika X ∼ GAM(θ, κ) maka Γ(κ + r) E(X r ) = θr . Γ(κ) Untuk θ = 2 dan κ = v/2, ekspektasi ke-r menjadi E(Y r ) = 2r



Γ(v/2 + r) . Γ(v/2)



Selanjutnya untuk menunjukkan Persamaan (7.11), diketahui bahwa jika X ∼ GAM(θ, κ) maka E(X) = θκ. Dengan demikian, E(Y ) = 2(v/2) = v. Untuk menghitung varians pada Persamaan (7.12), gunakan varians dari X, yakni var(X) = θ2 κ. Sehingga, untuk θ = 2 dan κ = v/2 var(Y ) = 22 (v/2) = 4(v/2) = 2v.



Persentil (percentiles), χ2γ (v), adalah nilai yang didefinisikan sebagai P (Y ≤ χ2γ (v)) = γ.



(7.13)



Teorema 7.5. Jika X ∼ GAM(θ, κ), maka Y = 2X/θ ∼ χ2 (2κ). Bukti: Akan digunakan teknik fungsi pembangkit momen untuk menentukan distribusi dari Y = 2X/θ. MY (t) = M2X/θ (t) = MX (2t/θ) = (1 − 2t)−2κ/2 , yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi khi kuadrat dengan derajatkebebasan 2κ.



BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL



82



Teorema 7.6. Jika Yi ∼ χ2vi ; i = 1, . . . , n adalah peubah-peubah acak khi kuadrat yang bebas, maka X  n n X V = (7.14) Yi ∼ χ2 vi . i=1



i=1



Bukti: Akan digunakan teknik fungsi pembangkit momen untuk menentukan distribusi dari V . MV (t) = MPni=1 Yi (t) = (1 − 2t)−v1 /2 · · · (1 − 2t)−vn /2 = (1 − 2t)−



Pn



yang merupakan fungsi pembangkit momen dari



i=1



χ2



vi /2



,







 i=1 vi .



Pn



Teorema berikut memberikan hubungan antara peubah acak normal standar dengan peubah acak khi kuadrat. Teorema 7.7. Jika Z ∼ N (0, 1), maka Z 2 ∼ χ2 (1). Bukti: 2



MZ 2 (t) = E(etZ ) Z ∞ 1 2 2 √ etz −z /2 dz = 2π −∞ Z ∞ √ 1 1 − 2t −z 2 (1−2t)/2 √ =√ e dz 1 − 2t −∞ 2π = (1 − 2t)−1/2 , yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi khi kuadrat dengan derajat kebebasan satu, yakni χ2 (1). Korolari 2. Jika X1 , . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak dari N (µ, σ 2 ), maka n X (Xi − µ)2



σ2



i=1



∼ χ2 (n),



dan ¯ − µ)2 n(X ∼ χ2 (1). σ2 Teorema 7.8. Jika X1 , . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak dari N (µ, σ 2 ), maka ¯ dan suku-suku Xi − X; ¯ i = 1, . . . , n adalah saling bebas; 1. statistik X ¯ dan S 2 saling bebas; 2. statistik X 3. kuantitas (n − 1)S 2 /σ 2 ∼ χ2 (n − 1).



BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL



7.2.3



83



Distribusi Student t



Kita tahu bahwa S 2 dapat digunakan untuk membuat inferensi tentang parameter σ 2 di dalam ¯ yang berguna untuk parameter µ. Namun, distribusi suatu distribusi normal. Demikian pula X 2 ¯ X juga bergantung pada parameter σ . Hal ini berarti bahwa tidaklah mungkin menggunakan ¯ untuk prosedur statistika tertentu tentang rata-rata apabila σ 2 tidak diketahui. Sehingga, X √ ¯ − µ)/σ, maka distribusinya tidak lagi normal (namun, jika σ digantikan S pada kuantitas n(X tetap tidak bergantung pada θ). Teorema 7.9. Jika peubah acak Z ∼ N (0, 1) dan V ∼ χ2 (v) saling bebas, maka distribusi dari Z T =p V /v



(7.15)



disebut distribusi Student t dengan derajat kebebasan v, dinotasikan sebagai T ∼ t(v). Fungsi densitas peluangnya diberikan oleh f (t, v) =



Γ((v + 1)/2) 1 √ (1 + (t2 /v))−(v+1)/2 . Γ(v/2) vπ



Teorema 7.10. Jika T ∼ t(v), maka untuk v > 2r, Γ((2r + 1)/2)Γ((v − 2r)/2) r v ; Γ(1/2)Γ(v/2) E(T 2r−1 ) = 0, r = 1, 2, . . . ; v var(T ) = , 2 < v. v−2 E(T 2r ) =



(7.16) (7.17) (7.18)



Teorema 7.11. Jika X1 , . . . , Xn menyatakan sampel acak dari N (µ, σ 2 ), maka ¯ −µ X √ ∼ t(n − 1). S/ n



7.2.4



(7.19)



Distribusi Snedecor F



Teorema 7.12. Jika peubah-peubah acak V1 ∼ χ2 (v1 ) dan V2 ∼ χ2 (v2 ) saling bebas maka peubah acak V1 /v1 X= (7.20) V2 /v2 berdistribusi Snedecor F dengan derajat kebebasan v1 dan v2 , dinotasikan F(v1 , v2 ), dengan fungsi densitas peluang untuk x > 0   v1 + v2   v1 /2  Γ v1 v1 −(v1 +v2 )/2 2 (v /2)−1 1 x 1+ x (7.21) f (x; v1 , v2 ) =     v1 v2 v2 v2 Γ Γ 2 2 Teorema 7.13. Jika X ∼ F(v1 , v2 ), maka  r     v2 v1 v2 Γ +r Γ −r v1 2 2 r     E(X ) = , v1 v2 Γ Γ 2 2 v2 E(X) = , 2 < v2 ; v2 − 2 2v22 (v1 + v2 − 2) var(X) = , 4 < v2 . v1 (v2 − 2)2 (v2 − 4)



v2 > 2r;



(7.22)



(7.23) (7.24)



BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL



84



Persentil X ∼ F(v1 , v2 ), yakni, fγ (v1 , v2 ) adalah suatu nilai yang didefinisikan sebagai P (X ≤ fγ (v1 , v2 )) = γ.



(7.25)



Jika X ∼ F(v1 , v2 ), maka Y = 1/X ∼ F(v2 , v1 ). Dengan demikian 1 − γ = P (X < f1−γ (v1 , v2 ))   1 =P Y > f1−γ (v1 , v2 )   1 ; =1−P Y ≤ f1−γ (v1 , v2 )



(7.26)



sehingga 1 = fγ (v2 , v1 ) f1−γ(v1 ,v2 )



(7.27)



atau f1−γ (v1 , v2 ) =



7.2.5



1 . fγ (v2 , v1 )



(7.28)



Distribusi Beta



Teorema 7.14. Jika peubah acak X ∼ F(v1 , v2 ), maka peubah acak Y =



(v1 /v2 )X 1 + (v1 /v2 )X



(7.29)



berdistribusi beta, dinotasikan BETA(a, b) untuk a > 0 dan b > 0, dengan fungsi densitas peluang Γ(a + b) a−1 f (y; a, b) = y (1 − y)b−1 , 0 < y < 1; (7.30) Γ(a)Γ(b) dengan a = v1 /2 dan b = v2 /2. Persentil distribusi beta dapat dinyatakan dalam persentil distribusi F sebagai yγ (a, b) =



7.3



afγ (2a, 2b) . b + afγ (2a, 2b)



(7.31)



Pendekatan-pendekatan Sampel Besar



Teorema 7.15. Jika Yv ∼ χ2 (v), maka Yv − v d Zv = √ − → Z ∼ N (0, 1) 2v



(7.32)



sebagaimana v → ∞.



7.4



Latihan Soal



7-1 Misal X menyatakan berat dalam kg suatu tepung terigu dengan X ∼ N (101, 4). 7-2 Misal X1 , . . . , Xn adalah sampel P acak berukuran nPdari suatu distribusi normal, yakni Xi ∼ N (µ, σ 2 ) dan definisikan U = ni=1 Xi dan W = ni=1 Xi2 .



BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL



85



a) Carilah suatu statistik yang merupakan fungsi U dan W dan tak bias untuk parameter θ = 2µ − 5σ 2 . b) Carilah suatu statistik yang tak bias untuk σ 2 + µ2 . 7-3 Misal X1 dan X2 adalah peubah acak normal bebas,Xi ∼ N (µ, σ 2 ), dan misal Y1 = X1 +X2 dan Y2 = X1 − X2 . Tunjukkan bahwa Y1 dan Y2 saling bebas dan berdistribusi normal. 7-4 Suatu komponen mesin baru sedang diservis dan sembilan suku cadang tersedia. Waktu menuju kegagalan dalam hari adalah peubah acak eksponensial bebas, Ti ∼ EXP(100). P a) Apakah distribusi dari 10 i=1 Ti ? b) Berapakah peluang bahwa operasi yang sukses dapat dipelihara sampai paling tidak 1,5 tahun? c) Berapa banyak suku cadang yang diperlukan agar yakin 95% yakin operasi sukses untuk paling tidak dua tahun? 7-5 Misal Xi ∼ N (µ, σ 2 ), i = 1, . . . , n dan Zi ∼ N (0, 1), i = 1, . . . , k dan semua peubahnya saling bebas. Tentukan distribusi dari peubah- peubah acak berikut apakah berasal dari distribusi yang diketahui (bernama) atau tidak diketahui. (a) X1 − X2 (b) X1 + 2X3 X1 − X2 √ (c) σSZ 2 X1 (d) X2 X1 + X2 (e) X3 2 (f) Zi √ ¯ n(X − µ) (g) σSZ 2 (h) Z1 + Z22 (i) Z12 − Z22 Z1 (j) p 2 Z2 Z1 (k) Z2 ¯ X (l) ¯ Z √ ¯ − µ) nk(X (m) qP k 2 σ i=1 Zi Pn k 2 X i=1 (Xi − µ) ¯ (n) + (Zi − Z) σ2 i=1 Pk ¯ Zi X (o) 2 + i=1 σ k (p) k Z¯ 2



BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL



(q)



(k − 1)



Pn



(n − 1)σ



i=1 P k 2



86



¯ 2 (Xi − X) ¯ 2 (Zi − Z)



i=1



7-6 Misal X ∼ χ2 (m), Y ∼ χ2 (n), dan X serta Y saling bebas. Apakah Y − X ∼ χ2 jika n > m? 7-7 Misal X ∼ χ2 (m), S = X + Y ∼ χ2 (m + n), dan X serta Y saling bebas. Gunakan teknik fungsi pembangkit momen untuk menunjukkan bahwa S − X ∼ χ2 (n). 7-8 Jika T ∼ t(v), tentukanlah distribusi dari T 2 .



DAFTAR PUSTAKA Lee J. Bain and Max Engelhardt. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Duxbury Press, California, second edition, 1992. ISBN 0-534-92930-3. Robert V. Hogg and Allen T. Craig. Introduction to Mathematical Statistics. Prentice–Hall, Inc., New Jersey, fifth edition, 1995. ISBN 0-02-355722-2. John A. Rice. Mathematical Statistics and Data Analysis. Duxbury, Belmont, California, third edition, 2007. Dennis D. Wackerly, William Mendenhall III, and Richard L. Scheaffer. Mathematical Statistics with Applications. Duxbury Press, sixth edition, 2002.



87