Statistika Matematika [PDF]

Citation preview

STATISTIKA MATEMATIKA



Dr. Akhmad Jazuli, M.Si.



FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (FKIP) UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO 2012



PRAKATA



Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberi kekuatan dan



kesehatan,



sehingga buku ajar dengan judul Statistika Matematika ini dapat diselesaikan. Buku ajar statistika matematika ini digunakan sebagai acuan untuk mata kuliah statistika matematika yang berbobot 3 sks khususnya pada program studi Pendidikan Matematika. Namun demikian buku ajar i juga dapat digunakan sebagai acuan untuk mata kuliah i statistika pada program studi di luar program studi Pendidikan Matematika. Buku ajar ini disusun secara sederhana, diawali dengan memaparkan pengertian- pengertian dasar yang meliputi definisi dan teorema serta dilengkapi dengan beberapa contoh penyelesaian. Disajikan seperti ini dengan harapan agar mudah dipelajari oleh para mahasiswa,maupun dosen yang mengampu mata kuliah statistika matematika.Soalsoal latihan disajikan secara



komprehensif dari bentuk yang sederhana



meningkat



sampai bentuk-bentuk yang lebih komplek. Rujukan utama penulisan buku ini adalah buku Introduction to Probability and Mathematical Statistics karangan Bain Engelhardt. Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepa



a Universitas Muhammadiyah Purwokerto



yang telah



memberikan kesempatan kepada penulis untuk menyusun buku ajar ini, serta teman- teman yang telah meluangkan waktu untuk membaca serta memberi masukan terhadap tulisan ini. Semoga kehadiran buku ajar ini banyak memberi sumbangan yang berharga kepada berbagai pihak. Tak lupa segala kritik yang bersifat membangun sangat penulis harapkan . Purwokerto, Maret 2012 Penulis



DAFTAR ISI



Hal . HALAMAN



JUDUL……………………………………………………………..



i PRAKATA



……………………………………………………………..............



ii DAFTAR ISI……………………………………………………………............. iii BAB 1 : PELUANG…………………………………………………………….. 1 BAB 2 : VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA................................ 22 BAB 3 : DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM KHUSUS................................. 44 BAB 4 : DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM BERSAMA ............................. 76 DAFTAR 97



PUSTAKA



...........................................................................................



iii



BAB 1



PELUANG 1. PENDAHULUAN Dalam kehidupan sehari-hari, banyak dijumpai fenomena yang



dapat



dibawa ke dalam model matematika. Secara garis besar dikenal ada dua model yaitu model deterministik



dan model probabilistik.



Sebagai contoh model



deterministik adalah kecepatan jatuhnya benda setelah waktu t. Model ini membawa pengulangan eksperimen menghasilkan



secara



terhadap



kondisi



ideal



yang



akan



esensial kecepatan yang sama pada setiap waktu.



Dalam kasus lain model deterministik mungkin tidak tepat jika pengulangan eksperimen dibawa ke dalam kondisi ideal, karena



kemungkinan



adanya



variabel-variabel yang tidak terkontrol atau tidak diketahui. Variabel yang tidak terkontrol tersebut meliputi temperatur udara; kelembaban; kesalahan pengukuran;



atau



faktor



lain



yang



menyebabkan



hasil bervariasi atau



berbeda-beda dari sejumlah eksperimen tersebut. Ada juga tipe fenomena lain yang hasilnya secara natural berbeda karena suatu



perubahan,



dan



model



deterministik



tidak



akan



tepat



untuk



memprediksinya. Sebagai contoh: eksperimen tentang banyaknya pertikel yang dipancarkan oleh sumber radio aktif; waktu sampai gagalnya komponen yang diproduksi; atau hasil dari suatu permainan. Motivasi mempelajari peluang adalah untuk mengarah Kaitannya



dengan



model matematika pada situasi nondeterministik.



model



matematika, yaitu



dikenal sebagai model



probabilistik.Selanjutnya untuk dapat memahami kasus peluang baik,



maka



konsep



himpunan



perlu dikuasai



ini



dengan



terlebih dahulu.Dalam bab



ini akan dibahas terlebih dahulu konsep-konsep yang berkaitan dengan peluang, seperti ruang sampel dan peristiwa.. 2. RUANG SAMPEL (SAMPLE SPACE) DAN PERISTIWA (EVENT)



1



Definisi 1.1 Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu experiment disebut ruang sampel. Yang dinotasikan dengan S



2



Contoh 1 : Sebuah eksperimen pelemparan dua koin, dan diamati muka dari masing-masing koin yang diharapkan. Himpunan hasil yang mungkin disajikan dalam ruang sampel S= { AA, AG, GA, GG} ket.: A : angka dan G : gambar



Definisi 1.2. Jika ruang sampel S berhingga (finite) atau tak berhingga yang dapat dihitung ( countably infinite) maka S disebut ruang sampel diskrit. S={e1, e2, ..., eN} : ruang sampel berhingga (finite) S={e1, e2, ......



} : ruang sampel tak berhingga (countably infinite).



Contoh 2: S = {1,2,3,...} = Himp. Bil Asli : ruang sampel tak berhingga S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}



: ruang sampel berhingga



Definisi 1.3 Suatu peristiwa (event) adalah subset dari ruang sampel S. Contoh 3 : P merupakan peristiwa muncul paling sedikit 1 angka (A) dalam pelemparan dua koin. Jadi P = {AA, AG, GA } yang mana S={AA, GA, AG, GG}, sehingga PS. Definisi 1.4. Suatu peristiwa disebut elementary event(peristiwa sederhana) jika memuat tepat satu hasil dari eksperimen tersebut. Sebagai contoh pada kasus pelemparan sebuah koin, muncul gambar atau angka.. Definisi 1.5. Dua peristiwa P dan Q disebut mutually exclusive [saling lepas] jikaP Q =



Contoh 4: Pada kasus pelemparan dua koin, P : peristiwa munculnya paling sedikit 1 angka dan Q : peristiwa munculnya 2 gambar. Karena P Q = jadi, P dan Q dikatakan saling lepas. Kasus di atas akan berakibat pada definisi berikut : Definisi 1.6. Peristiwa-peristiwa A1, A2, A3, . . ., dikatakan saling lepas [mutually exclusive] jika mereka adalah pasangan saling lepas, yaitu jika Ai Aj =



bilamana i j.



Catatan : Peristiwa-peristiwa yang komplementer adalah saling lepas, dan tak berlaku sebaliknya. 3. PENGERTIANPELUANG (PROBABILITY) Definisi 1.7 Suatu eksperimen yang diberikan, S adalah ruang sampel dari A, dan A1, A2, . . . menyatakan peristiwa-peristiwa yang mungkin. Suatu himpunan fungsi yang mengkaitkan suatu nilai real P(A) dengan masing-masing peristiwa A disebut peluang himpunan fungsi, dan P(A) disebut peluang dari A, jika sifatsifat berikut dipenuhi : 0 P(A) untuk setiap A P(S) = 1 P U A i P(A i ) i1



i1



Dimana A1, A2, . . . adalah pasangan peristiwa-peristiwa yang saling lepas.



Pengambilan obyek secara random menjadi syarat perlu dalam statistika parametrik. Pengertian random mudah dipahami tetapi dalam prakteknya



sering mengalami kesulitan untuk dilaksanakan. Sehingga kasus random dalam pengambilan sampel



akan didekati dengan berbagai cara. Kasus pengambilan sampel dibahas tersendiri dalam teknik pengambilan sampel (teknik sampling) 4. SIFAT-SIFAT PELUANG Ada beberapa sifat peluang yang perlu diketahui untuk mendukung pemahaman lebih lanjut. Teorema 1.1: Jika A adalah suatu peristiwa dan A’ adalah komplemennya, maka P(A) = 1 P(A’) Bukti : S= A A’ dan A A’= 1 = P(S) = P(A A’) = P(A)+P(A’) P(A) = 1 – P(A’) Teorema 1.2. : Untuk sebarang peristiwa A, P(A)1 Bukti : P(A) = 1 – P(A’) Karena P(A’) 0 maka P(A) 1 Teorema 1.3. : Untuk sebarang dua peristiwa A dan B, P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB). Bukti : AB = (AB’) B , dimana (AB’) dan B saling lepas. A = (AB) (AB’), dimana (AB) dan (AB’) saling lepas. P(AB) = P(AB’) + P(B) dan P(A) = P(AB) + P(AB’) P(AB) = P(AB’) + P(B) = P(A) - P(AB) + P(B) = P(A) + P(B)- P(AB) Teorema 1.4. : Untuk sebarang tiga peristiwa A, B, dan C P(ABC) = P(A) + P(B)+P(C) - P(AB) -P(AC) -P(BC) +P(ABC).



Bukti : Untuk latihan. Teorema 1.5: Jika A B maka P(A) P(B) Bukti : B= A(BA’) dimana A dan (BA’) saling lepas P(B) = P(A) + P(BA’) P(B) P(A) Teorema 1.6 : Boole’s Inequality (Ketaksamaan Boole) Jika A1, A2, ... adalah sebuah barisan peristiwa, maka P U A i P(A i ) i1



i1



Bukti : Untuk latihan Teorema 1.7: Bonferroni’s Inequality (Ketaksamaan Bonferroni) JikaA1, A2, ... Ak adalah peristiwaperistiwa, maka k



PI A i



k



'



1 P(A )



i



i1



i1



Bukti : Untuk latihan 5. PELUANG BERSYARAT (CONDITIONAL PROBABILITY) Definisi 1.9. Peluang bersyarat (The conditional probabillity) dari suatu peristiwa A, dimana peristiwa B telah terjadi, didefinisikan dengan



P(A | B)



P(A B) P(B)



jika P(B) 0.



Teorema 1.8: Untuk sebarang peristiwa A dan B, P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B| A) Teorema 1.9 : Peluang Total Jika B1, B2, B3,...., Bkadalah sebuah kumpulan dari peristiwa-peristiwa yang saling lepas dan sempurnamaka untuk sembarang peristiwa A, k



P(A) = P(Bi )P(A | Bi ) i1



Bukti :



A B1



B2



Bk



Himpunan A terletak pada himpunan B, yang dipartisi menjadi B1, B2, … Bk Jadi, himpunan Adapat dinyatakan sebagai berikut A= (AB1) (AB2) ….. (ABk) P(A) = P(AB1) + P(AB2)+ ….. +P(ABk) P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2)+ ….. +P(Bk)P(A|Bk) k



P(A) = P(Bi )P(A | Bi ) i1



Teorema 1.10 : Bayes’ Rule (Aturan Bayes) Jika kita mengasumsi bersyarat teorema 1.9 maka untuk masing-masing j=1,2,...,k P(B j



| A)



)



P(B j )P(A | B j



P(Bi )P(A | Bi ) i1



k



Bukti : P(B j | A)P(A) P(B j )P(A | B j ) P(B j | A) P(B j | A)



,P(B j,)P(A



| B j,)



P(A) P(B j )P(A | B j ) k



P(Bi )P(A | Bi ) i1



Contoh 5: Suatu uji laboratorium untuk penggunaan narkobaoleh atlit professional, mempunyai deteksi rata-rata sebagai berikut : PENGGUNAAN



HASIL TES



NARKOBA



Positif (+)



Negatif (-)



Ya (Y)



0.90



0.10



Tidak (T)



0.01



0.99



Jika rata-rata penggunaan narkoba oleh atlit professional adalah 3 diantara 100 atlit, a. Berapa peluang bahwa atlit professional yang dipilih secara random akan mempunyai hasil tes negatif untuk penggunaan narkoba? b. Jika tes atlit positif, berapa peluang bahwa dia benar-benar menggunakan narkoba? Penyelesaian : Ditanya : a. P(-) b. P(Y|+) Jawab: (+) 0,90 0,03 (Y) (-) 0,10



Peluang penggunaan narkoba 0,97 (T)



(+) 0,01 (-) 0,99



a. P() P(Y) P( | Y) P(T) P( | T) 0,03 0,10 0,97 0,99 0,003 0,9603 0,9633 b. P(Y | )



P(Y) P( | Y) P(Y) P( | Y) P(T) P( | T) 0,030,90 0,027 0,736 0,03 0,90 0,97 0,01 0,0367



6. PERISTIWA-PERISTIWA SALING BEBAS (INDEPENDENT EVENTS) Definisi 1.10. Dua peristiwa A dan B disebut independent events [peristiwa-peristiwa saling bebas] jika P(A B ) = P(A)P(B) Selanjutnya jika tidak dipenuhi, maka A dan B disebut dependent events [peristiwa- peristiwa bergantung]. Teorema 1.11 : Jika A dan B adalah peristiwa-peristiwa sedemikian hingga P(A)>0 dan P(B)>0, maka A dan B adalah independen jika dan hanya jika salah satu berikut dipenuhi. PA B PA PB A PB



Teorema 1.12 : Dua peristiwa A dan B adalah independen jika dan hanya jika berikut pasangan- pasangan peristiwa juga independen: i. A dan B’. ii. A’ dan B. iii. A’ dan B’. Definisi 1.11. Sejumlah k peristiwa A1, A2, . . . , Ak dikatakan independent (bebas) atau mutually Independent [saling bebas] jika untuk setiap j = 2, 3, . . ., k dan setiap subset yang berbeda ditunjukkan dengan i1, i2, . . ., ij, maka



P(Ai1 Ai2 . . . Aij) = P(Ai1)P(Ai2) . . .P(Aij)



7. TEKNIK MENGHITUNG/MENCACAH a. Pergandaan Teknik pergandaan ini adalah teknik mencacah menggunakan perkalian. Misal ada 3 soal tipe B-S, maka kemungkinan jawaban yang diberikan siswa adalah: BBS, BSB, BBB, SBB, SSB, SBS, BSS, SSS. Jadi, ada 8 macam kemungkinan jawab. Teorema 1.13 : Jika ada N hasil yang mungkin dari masing-masing r trial (percobaan) dari suatu experimen, maka ada Nr hasil yang mungkin dalam ruang sampel. Contoh 6: Berapa banyaknya cara untuk dapat menjawab 5 pertanyaan benarsalah? Jawab : N=2 yaitu banyaknya pilihan benarsalah r=5 yaitu banyaknya pertanyaan. Sehingga banyaknya hasil yang mungkin adalah 25 [ N=2 dan r=5]= 32 b. Permutasi Kombinasi



dan



Permutasi dan kombinasi, keduanya merupakan teknik dalam pengambilan sampel. Dalam teknik kombinasi urutan data tidak diperhatikan. Misal mengambil dua pensil warna



merah dan biru. Pengambilan



pensil merah



kemudian biru dianggap sama dengan pengambilan pensil biru kemudian merah.



Lain



halnya



dalam



teknik permutasi, pengambilan pensil merah



kemudian biru berbeda dengan pengambilan pensil biru kemudian merah. Teorema 1.14 : Banyaknya kombinasi dari n objek yang berbeda, yang dipilih r obyek adalah: n



n!



C(n,r) =



r r!(n r)!



Adapun banyaknya permutasi untuk memilih r obyek dari n obyek yang tersedia adalah:



n! n P(n,r) = C(n,r).r! = r!= r (n r)!



Contoh 7: Banyaknya kombinasi dari 4 huruf, untuk 2 huruf yang diambil adalah



4! 4 = = 6. 2 (4 2)!2! Jika urutan huruf diperhatikan maka banyaknya hasil menjadi 6.2! = 12. Penggunaan notasi kombinasi biasa digunakan dalam expansi binomial, yaitu n k nk a b k0 k n



(a b) n



Teorema 1.15 : Banyaknya permutasi yang dapat dibedakan yang mana r dari jenis pertama dan (n-r) dari jenis kedua adalah : n



n! r



r!(n r)!



Teorema 1.16 : Banyaknya permutasi dari n obyek yang mana r1 dari jenis pertama, r2 dari jenis kedua, …, rk dari jenis ke-k adalah :



n! r1!r2 !...rk ! Teorema 1.17 : Banyaknya cara partisi suatu himpunan dari n obyek ke dalam k sel dengan r1 obyek dalam sel pertama dan r2 dalam sel kedua, dan seterusnya, adalah k n! dimana rl n. r1!r2 !...rk ! l1



Contoh 8: Sepuluh orang yang terdiri dari 2 orang Indonesia; 3 orang USA dan 5 orang Arab. Banyaknya posisi duduk, yang mana mereka pada kelompoknya masingmasing 10



adalah



10! 2520 2!3!5!



posisi



11



c. Menghitung Peluang Suatu Peristiwa Probabilitas (peluang ) suatu peristiwa adalah banyaknya cacah peristiwa dibagi banyaknya cacah dalam semesta. Misal A adalah suatu peristiwa, maka peluang dari A ditulis P(A) = Pada permutasi dan kombinasi hanya berbicara tentang banyaknya cara atau cacah.. Selanjutnya kasus tersebut akan digunakan dalam menghitung peluang. Contoh 9: Sebuah kotak berisi 10 bola hitam dan 20 bola putih, dan 5 bola dipilih tanpa pengembalian. Disini menggunakan konsep kombinasi, sehingga peluang diperolehnya tepat 2 bola hitam adalah sebagai berikut: Karena diambil tepat 2 bola hitam berarti sisanya 3 bola berwarna putih, sehingga 10 20 2 3 P(tepat 2 hitam) 0.360 30 = 5



SOAL-SOAL LATIHAN BAB 1 1.



Sebuah mesin gum-ball mengeluarkan sebuah bola merah, hitam atau hijau. a.



sajikan ruang sampel yang cocok



b.



daftarkan seluruh peristiwa yang mungkin



c.



Jika R adalah peristiwa “merah” selanjutnya daftarkan hasil di dalam R’



d.



Jika G adalah peristiwa “hijau” selanjutnya apakah R G ?



Jwb: a. S={r,g,b} 2.



b. {r}, {g}, {b}, {r,g}, {r,b}, {g,b}, S,



c. {b,g} d.



Dua bola diperoleh dari mesin seperti pada nomor 1 dari dua percobaan.



Urutan hasil diperhatikan. Diasumsikan bahwa paling sedikit dua bola dari masing-masing warna ada di dalam mesin. a.



Bagaimana ruang sampel yang cocok.



b.



Berapa banyak seluruh peristiwa yang mungkin yang memuat delapan hasil (outcome).



c.



Nyatakan peristiwa-peristiwa berikut sebagai gabungan dari peristiwa- peristiwa elementer. C1 C2, dan C1’ C1 dimana C1 : mendapatkan bola merah pada percobaan pertama, dan C2 : mendapatkan paling sedikit satu bola merah.



Jwb: a. S={(r,r),(r,b),(r,g),(b,r),(b,b),(b,g),(g,r),(g,b),(g,g)} b. 9 c. C1 C2=C1dan C1’ C1= {(b,r),(g,r)} 3. Ada 4 grup darah yaitu O, A, B, dan AB. Secara umum seseorang dapat menerima donor darah dari grupnya sendiri. Juga seseorang dapat menerima donor darah dari grup O, dan 4 grup darah dapat digunakan oleh penerima dari grup AB. Semua kemungkinan yang lain dianggap tak ada.Suatu experiment pengambilan darah dan menentukan tipenya untuk masing-masing dua donor berikut yang masuk bank darah. a. Daftarkan urutan hasil yang mungkin dari experiment ini. b. Daftarkan hasil-hasil yang berkaitan terhadap peristiwa bahwa pedonor kedua dapat menerima darah dari pedonor pertama.



c. Daftarkan hasil-hasil yang berkaitan terhadap peristiwa bahwa masingmasing pedonor dapat menerima darah dari pedonor yang lain.



4. Suatu experimen pengambilan bola dari mesin gum-ball sampai bola merah diperoleh. Sajikan ruang sampel untuk experimen ini. Jwb : S= {r,br,gr,bbr,ggr,bgr,gbr, ...} {x | x = r atau x = c1c2....ckr, dimana ci= b atau g} 5. Banyaknya partikel alpha yang dipancarkan oleh sampel radioaktif dalam interval waktu yang tetap adalah terhitung. a. Berikan ruang sampel untuk experimen ini. b. Waktu jeda diukur sampai partikel alpha pertama dipancarkan. Berilah ruang sampel untuk experimen ini. Jwb : a. S={0,1,2,...} b. S=[0, ) 6. Suatu experimen dikendalikan untuk menentukan apakah pecahan dari bagian logam adalah emas. Berilah ruang sampel untuk experiman ini. Jwb : S=[0,1] 7. Sebuah mobil baterai dipilih secara random dites dan waktu rusak dicatat. Berilah ruang sampel yang cocok untuk experimen ini. Jwb : S=[0, ) 8. Kita memperoleh 100 bola dari mesin, dan kita peroleh 20 bola merah, 30 bola hitam dan 50 bola hijau. a. Dapatkah kita gunakan sebagai model peluang untuk warna sebuah bola dari mesin tersebut, yang diberikan oleh p1=P(M), p2=P(Ht) dan p3=P(Hj) b. Pandang bahwa bola kuning juga di dalam mesin. Dapatkah kita gunakan sebagai model p1=0.2, p2=0.3, p3=0.5 dan p4=P(K)=0.1 9.



pada soal nomor 2, pandang bahwa masing-masing dari 9 kemungkinan hasil dalam ruang sampel adalah berkemungkinan sama terjadi. Hitung masingmasing berikut : a. P(keduanya merah)



b. P(C1) c. P(C2)



d. P(C1 C2) e. P(C1’ C2) f. P(C1 C2) Jwb : a. 1/9 b. 1/3 c. 5/9 d. 1/3 e. 2/9 f. 5/9 10. Pandang soal nomor 3. Misal 4 tipe darah berkemungkinan sama terjadi. a. Hitung peluang bahwa pedonor kedua dapat menerima darah dari pedonor pertama b. Hitung peluang bahwa masing-masing pedonor dapat menerima darah dari pedonor yang lain. c. Hitung peluang bahwa tidak ada yang dapat menerima darah dari pedonor yang lain. Jwb : a. 9/16 b. ¼ c. 1/8 11. Buktikan bahwa P( )=0 (Ingat ambil Ai= untuk semua i) 12. Bila suatu eksperimen ditampilkan, satu dan hanya satu dari peristiwa A1, A2, atau A3 akan terjadi. Tentukan P(A1), P(A2), dan P(A3) terhadap masing-masing asumsi berikut: a. P(A1) = P(A2) = P(A3) b. P(A1) = P(A2) dan P(A3) = ½ c. P(A1) =2P(A2) = 3P(A3) 13. Sebuah koin yang seimbang dilambungkan empat kali. Daftarkan hasil yang mungkin dan hitung peluang dari masing-masing peristiwa berikut : a. Tepat tiga gambar. b. Paling sedikit satu gambar. c. Banyaknya gambar sama dengan banyaknya angka. d. Banyaknya gambar melampaui banyaknya angka. Jwb : a. ¼ b. 15/16 c. 3/8 d. 5/16



14



14. Dua guru disewa oleh Prodi Pendidikan Matematika dan masing-masing dipilih secara random untuk mengajar satu matakuliah trigonometri, aljabar, atau kalkulus.



15



Daftarkan hasilnya dalam ruang sampel. Tentukan peluang bahwa mereka akan mengajar matakuliah yang berbeda. Jwb : S= {(t,t),(t,a),(t,c),(a,t),(a,a),(a,c), (c,t),(c,a),(c,c)} 2/3 15. Jika A dan B adalah peristiwa-peristiwa, tunjukkan bahwa : a. P (A B’) = P (A) – P (A B). b. P (A B) = 1 – P (A’ B’). 16. Jika P (A) = P (B) = 1/3 dan P (A B) = 1/10. Maka tentukan : a. P (B’). b.



P (A B’).



c.



P (B A’).



d. P (A’ B’). Jwb : a. 2/3 9/10



b. 23/30



c. 7/30



d.



17. Jika P (A) = ½, P (B) = 1/8, dan P(C) = ¼, dimana A, B, dan C adalah saling lepas, maka tentukan : a. P (A B C). b. P(A’ B’ C’) Jwb : a. 7/8



b.



1/8 18. Peristiwa bahwa tepat satu dari peristiwa-peristiwa A atau B terjadi dapat disajikan sebagai (A B’) (A’ B). Tunjukkan bahwa P [(A B’) (A’ B)] = P (A) + P (B) – 2P(A B) 19. Seorang pelari melakukan pertandingan dua kali pada suatu hari tertentu. Peluang bahwa dia menang dalam pertandingan pertama adalah 0,7. Peluang dia menang dalam pertandingan kedua adalah 0,6 dan peluang bahwa dia menang dalam kedua pertandingan adalah 0,5. Tentukan peluang bahwa :



15



a. Dia menang sekurang-kurangnya satu pertandingan. b. Dia menang tepat satu pertandingan. c. Dia tidak menang pertandingan. Jwb : a. 0.8



b. 0.3



c. 0.2



16



20. Suatu keluarga mempunyai dua TV, TV berwarna dan TV hitam putih.Misal A peristiwa TV berwarna hidup dan B peristiwa TV hitam putih hidup. If P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, dan P(A B) = 0.5, tentukan peluang masing-masing peristiwa: a. Keduanya hidup. b. Hanya TV berwarna yang hidup. c. Tepat satu TV yang hidup. d. Tidak ada TV yang hidup. Jwb : a. 0.2 b. 0.2 c. 0.3



d. 0.5



21. Pandang P(A1) = 1/ (3 + i) untuk i = 1, 2, 3, 4. Tentukan batas atas untuk P(A1 A2 A3 A4). Jwb : 319/420 22. Sebuah kotak berisi 3 kartu baik dan 2 kartu rusak.Pemain A memilih sebuah kartu dan kemudian pemain B memilih sebuah kartu. Hitung peluang berikut : a. P(A baik) b. P(B baik|A baik) c. P(B baik|A rusak) d. P(B baik A baik) e. P(B baik) f. P(A baik|B baik) Jwb : a. 3/5 b.½



c. ¾ d. 3/10



e. 3/5 f. ½



23. Sebuah tas berisi 5 bola biru dan 3 bola merah. Seorang anak mengambil sebuah bola dan selanjutnya mengambil yang lain tanpa pengembalian. Hitung peluang berikut : a. P(2 bola biru) b. P(1 bola biru dan 1 merah) c. P(sekurang-kurangnya 1 bola biru) d. P(2 bola merah) Jwb : 5/14



24. Dalam soal no.23, jika diambil 3 bola tanpa pengembalian. Tentukan : a. P(tak ada bola merah setelah pengambilan ketiga) b. P(1 bola merah yang tertinggal) c. P(bola merah pertama pada pengambilan terakhir) d. P(bola merah pada pengambilan terakhir) 25. Dua kartu diambil dari deck kartu tanpa pengembalian. a. Berapa peluang bahwa kartu kedua adalah heart, jika kartu pertama adalah heart. b. Berapa peluang bahwa kedua kartu adalah heart 26. Sebuah kotak berisi 5 bola hijau, 3 bola hitam, dan 7 bola merah. Dua bola dipilih secara random tanpa pengembalian. Berapa peluang bahwa : a. kedua bola adalah merah. b. kedua bola sama warnanya. 27. Tim softball mempunyai 3 pemukul A, B, dan C dengan persentasi menang masing- masing 0.4, 0.6 dan 0.8. Pemukul-pemukul ini memukul sebanyak masing-masing 2, 3, dan 5 setiap 10 permainan. Dengan kata lain, untuk permainan yang dipilih secara random, P(A)=0.2, P(B)=0.3 dan P(C)=0.5. Tentukan : a. P(tim memenangkan permainan)= P(W) b. P(A yang memukul|tim menang)=P(A|W) 28. Satu kartu dipilih dari deck yang terdiri 52 kartu dan ditempatkan di deck kedua. Sebuah kartu selanjutnya dipilih dari deck kedua. a. Berapa peluang bahwa kartu kedua adalah ace. b. Jika kartu pertama ditempatkan di deck 54 kartu yang memuat 2 joker, selanjutnya berapa peluang bahwa sebuah kartu yang diambil dari deck kedua adalah ace. c. Diberikan ace yang telah diambil dari deck kedua pada pertanyaan (b), berapa peluang bersyarat bahwa kartu ace telah dipindah.



29. Sebuah kantong memuat 3 koin, satu koin mempunyai muka di dua sisi, dan dua koin yang lain adalah normal. Sebuah koin dipilih secara random dan dilempar 3 kali. a. tentukan peluang diperoleh 3 muka b. Jika sebuah muka muncul di 3 kali lemparan , berapa peluang bahwa muka itu berasal dari koin yang bermuka dua. 30. Diketahui P(A)=0.4 dan P(A B)=0.6 a. Tentukan P(B) agar A dan B saling lepas. b. Tentukan P(B) agar A dan B saling bebas. 31. A, B, dan C adalah



peristiwa-peristiwa sedemikian hingga P(A)= 1/3 ,



P(B)=1/4 dan P(C)= 1/5 Tentukan P(A B C) terhadapmasing-masingasumsi berikut : a. jika A, B, C adalah saling lepas b. jika A, B, C adalah saling bebas 32. Sebuah mangkuk berisi 4 tiket lottre dengan nomor 111, 221, 212, dan 122. Satu tiket diambil secara random dari mangkuk dan A1 adalah peristiwa “2 di dalam tempat yang ke-i.; i=1,2,3 . Tentukan apakah A1,A2,A3 independen? 33. Kode kata dibentuk dari huruf A s.d. Z a. Berapa banyak 26 huruf kata dapat dibentuk tanpa pengulangan sembarang huruf. b. Berapa banyak 5 huruf kata dapat dibentuk tanpa pengulangan c. Berapa banyak 5 huruf kata dapat dibentuk jika huruf-hurufnya dapat diulang. 34. Plat nomor kendaraan terdiri dari 2 huruf dan dilanjutkan 4 digit angka. Seperti : AB3166. a. Berapa banyak plat berbeda yang mungkin jika huruf dan digit dapat berulang?



b. Berapa banyak plat berbeda yang mungkin jika huruf dapat berulang tetapi digit tidak? c. Berapa banyak plat berbeda yang mungkin jika huruf dapat berulang dan nomor digit lebih besar dari 5500?



35. Seorang pelatih sepakbola mempunyai 49 pemain yang dapat dipilih untuk menjadi duta dalam pertandingan . a. Jika 11 orang harus dipilih untuk bermain, berapa banyak tim yang mungkin? b. Jika dari 49 pemain ada 24 penyerang dan 25 penahan, berapa peluang bahwa tim yang dipilih secara random mempunyai 5 penyerang dan 6 penahan? 36. Berapa banyak cara yang dapat anda bagikan 26 huruf ke dalam 3 kotak yang memuat 9; 11; dan 6 huruf. 37. Berapa banyak cara siswa menjawab 10 soal pilihan ganda dengan 4 option. 38. Suatu uji laboratorium untuk penggunaan steroid dalam atlit professional mempunyai deteksi rata-rata sebagai berikut : PENGGUNAAN STEROID



HASIL TES POSITIF



NEGATIF



Yes



0.90



0.10



No



0.01



0.99



Jika rata-rata penggunaan steroid dalam atlit professional adalah 1 diantara 50 atlit, a. berapa peluang bahwa atlit professional yang dipilih secara random akan mempunyai hasil tes negative untuk penggunaan steroid? b. Jika tes atlit positif, berapa peluang bahwa dia benar-benar menggunakan steroid? 39. Sebuah kotak berisi empat disket yang mempunyai warna berbeda pada masing- masing sisinya. Disket 1 adalah merah dan hijau, disket 2 adalah merah dan putih, disket 3 adalah merah dan hitam, dan disket 4 adalah hijau dan putih. Satu disket dipilih secara random dari kotak. Definisikan berikut: A = satu sisi adalah merah,



B = satu sisi adalah hijau, C = satu sisi adalah putih dan D = satu sisi adalah hitam. a. Apakah A dan B peristiwa bebas? Mengapa atau mengapa tidak ? b. Apakah B dan C peristiwa bebas? Mengapa atau mengapa tidak ? c. Apakah sebarang pasangan peristiwasaling lepas? Yang mana?



40. Misalkan sejumlah kelereng berwarna dimasukkan ke dalam tiga kotak yang tidak dapat dibedakan sebagai berikut: Kotak 1



2



Merah



2



4



Putih



3



1



Biru



5



3



Sebuah kotak diambil secara acak dan kemudian dari kotak yang terpilih tersebut diambil secara acak sebuah kelereng. a. Hitung peluang terambilnya kelereng merah ! b. Bila diketahui kelerengnya merah, berapa peluang bahwa kotak yang terambil adalah kotak 3? 41.



Seseorang memiliki dua kendaraan, mobil dan motor.



Kurang lebih 75%



ia menggunakan mobil untuk pergi bekerja, dan 25% ia menggunakan motor. Bila menggunakan mobil kemungkinannya 75% ia sampai di rumah pukul 17.30 atau kurang; sedangkan bila menggunakan motor, kemungkinannya 60% ia sampai di rumah pukul 17.30 atau kurang. Bila suatu hari diketahui ia sampai di rumah pukul 17.30, berapa peluang ia menggunakan mobil. 42.



Diberikan ruang sampel S menyatakan orang dewasa yang tamat SMU di kecamatan Sukamadu. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan Bekerja



Tidak bekerja



Laki-laki



460



40



Wanita



40



260



20



Kecamatan tersebut akan dijadikan daerah Pariwisata dan seseorang akan dipilih secara acak untuk mempromosikan ke Luar Negeri. Tentukan peluang yang terpilih adalah laki – laki jika diketahui telah bekerja. 43. Susunan murid di kelas I SD Margobiso adalah sebagai berikut. Lima anak adalah putra petani; 6 anak adalah putra Guru; 4 anak adalah putra TNI; dan 7anak wiraswasta.



adalah



putra



Dipilih secara acak 3 murid di kelas tersebut. Berapa peluang bahwa ketiga murid yang terpilih tersebut, 2 murid diantaranya adalah putra guru. 44. Sebuah dadu tidak seimbang dilempar sekali, muncul sisi mata dadu genap dua kali lebih sering daripada sisi ganjil.



Berapa peluang munculnya sisi mata



dadu yang lebih besar dari 4 ? 45. Dua dadu dilempar.



Bila diketahui bahwa satu dadu munculnya 2, berapa



peluang bahwa jumlah keduanya lebih besar dari 6? 46.



Tes darah Laboratorium



adalah 95% tertedeteksi penyakit tertentu.



Bagaimanapun tes juga dapat memberikan hasil positif yang salah yaitu 1% dari orang-orang sehat yang dites. Jika 0,5 % populasi benar-benar sakit, berapa peluang hasil tesnya positif sedangkan orangtersebut benar-benar sakit. Jwb: 0,0256



BAB 2 VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA 1. Pendahuluan Dalam



bab ini akan dibahas



distribusinya. Variabel



random



pada



tentang



hakekatnya



terdefinisi dalam ruang sampel, sehingga dapat dibentuk



variabel



random



adalah



fungsi



beserta yang



dari variabel random tersebut



distribusinya. Variabel random dibedakan menjadi dua yaitu



variabel random diskrit dan variabel random kontinu. Fungsi yang berkaitan dengan variabel random disebut probability density function (pdf) atau disebut fungsi pekat peluang. Berkaitan dengan pdf tersebut dapat dibentuk CDF (Cumulative Distrubution Function), ekspektasi dan variansi termasuk juga MGF (Moment Generating Function). 2. Pengertian Variabel Random Definisi 2.1. : Variabel random, yang dinyatakan dengan X adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel S, yang dikaitkan sebuah bilangan real X(e)=x dengan masingmasing hasil yang mungkin e dalam S.



Contoh 1 : Dadu sisi empat mempunyai nomor 1, 2, 3, atau 4 pada masing–masing sisi yang berkemungkinan sama.Satu permainan dengan menggulirkan dadu tersebut dua kali dan skor adalah maksimum dari 2 bilangan yang muncul. Walaupun skor tersebut tidak dapat diprediksi, kita dapat menentukan himpunan nilai– nilai yang mungkin dari variabel random. Khususnya jika e = (i, j) dimana i, j {1, 2, 3, 4}, dan X(e)=max (i, j), maka ruang sample S dan X digambarkan sebagai berikut.



(1,4)



(2,4)



(3,4)



(4,4)



(1,3)



(2,3)



(3,3)



(4,3)



(1,2)



(2,2)



(3,2)



(4,2)



(1,1)



(2,1)



(3,1)



(4,1)



1



2



3



4



Ada dua macam variabel random yaitu variabel random diskrit dan variabel random kontinu. b. Variabel Random Diskrit Definisi 2.2 Jika himpunan semua nilai variabel random X yang mungkin adalah himpunan yang dapat dihitung (countable) x1 ,x 2 ,...,x n , or x1 , x 2 ,..., maka X disebut variabel random diskrit (a discrete random variabel). Fungsi tersebut f(x) = P[X=x] x = x1 , x 2 ,..., disebut fungsi masa peluang diskrit (discrete probability mass function). 1) Fungsi Masa Peluang (pmf) Teorema 2.1 Fungsi f(x) adalah pmf (probability mass function) diskrit jika dan hanya jika dipenuhi kedua sifat-sifat berikut untuk paling banyak himpunan bilangan real



x1 ,x 2 ,...: tak hingga yang dapat dihitung (at most a countably infnite). f xi 0 all x i



untuk semua xi , dan



f(xi) = 1



contoh 2 : Maksimum dari dua guliran dadu sebagai berikut :



X f(X)



1 1/16



2 3/16



3 5/16



4 7/16



f(x) 7/165/163/161/16X 1



2



3



4



Contoh 3 : Dalam menggelindingkan sebuah dadu bermuka 12 sebanyak dua kali, dan masing- masing muka diberi nomor 1 s.d 12, yang berkemungkinan sama untuk muncul pada setiap



penggelindingan.



Jika X menyatakan



nilai



maksimum



penggelindingan, maka pdf dari X akan berbentuk f(x) = c(2x-1) untuk x =1, 2, 3 ,..., 12 dan c dapat dicari dengan menggunakan sifat pmf, yaitu 12



12



x1



x1



1 = f (x) c(2x 1) c144 c



1 144



2) CDF (Cumulative Distribution Function) Definisi 2.3 The cumulative distribution function (CDF) dari suatu variabel random Xdidefinisikan untuk sebarang bilangan real x dengan F(x) = P [X x] Teorema 2.2. : X adalah variabel random diskrit dengan pdf f(x) dan CDF F(x). Jika nilai yang mungkin dari X diindeks dalam urutan menaik x1