20 0 704 KB
MODUL PERKULIAHAN
MATEMATIKA III
POKOK BAHASAN : APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL TAK HOMOGEN ORDO DUA
Fakultas TEKNIK
2018
1
Program Studi TEKNIK SIPIL
Tatap Muka 08
Kode MK W111700035
Disusun Oleh Masnia, M.Pd
Abstract
Kompetensi
Mampu menyelesaikan model matematika untuk masalah nyata
Mahasiswa Mampu menyelesaikan model matematika untuk masalah nyata
Matematika 1 UMB
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Masnia, M.Pd
http://www.mercubuana.ac.id
Pembahasan Sistem Gerak Sistem gerak diilustrasikan dengan benda bermassa m yang tergantung pada suatu pegas pada gambar dibawah ini.
Gambar sistem gerak benda pada pegas Pemodelan sistem gerak pada gambar diatas berdasarkan Hukum Newton II, yaitu: πΉ = π. π Dengan: πΉ
= Gaya-gaya yang bekerja pada benda
π
= massa benda
π
= Persepatan gerak benda
Gaya-gaya yang bekerja pada benda yang tergantung pada pegas: 1. πΉπ = π. π, πΉπ adalah gaya Tarik gravitasi benda, π = massa benda dan π= gravitasi. Arah gaya ini kebawah karena pengaruh gravitasi. Gaya ini sering disebut sebagai berat benda πΉπ = βπΎ(π¦ + βπΏ), πΉπ adalah gaya pegas, k = konstanta pegas π¦= posisi benda dan
2.
βπΏ= perubahan panjang pegas. Arah gaya ini keatas dan kebawah. Jika pegas ditarik πΉπ negartif, arah gaya keatas dan jika pegas ditekan πΉπ positif, arah gaya kebawah ππ¦
3. πΉπ = βπ. ππ‘ , πΉπ = gaya rendam, arah gaya berlawanan dengan gerak benda, π = konstanta rendaman,
ππ¦ ππ‘
= kecepatan benda. Jika π > 0 sistem disebut sistem
terendam (Damped System), jika π = 0sistem disebut sistem tak terendam (Undamped System) 2018
2
Matematika 1 UMB
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Masnia, M.Pd
http://www.mercubuana.ac.id
Gambar A. Sistem gerak benda dengan peredam, B Sistem gerak benda dengan peredam dan gaya luar F(t)
Berdasarkan Hukum Newton II diatas maka : πΉ = π. π πΉ adalah gaya-gaya yang bekerja pada benda, π =
π2 π¦ ππ‘ 2
adalah percepatan benda
sehingga: πΉπ + πΉπ + πΉπ + πΉπ = π.
π2 π¦ ππ‘ 2
ππ‘ππ’ π. π Β± π(π¦ + βπΏ) β π.
ππ¦ π2 π¦ + πΉ(π‘) = π. 2 ππ‘ ππ‘
Untuk sistem dalam kesetimbangan π. π = πβπΏ, sehingga persamaan menjadi: βππ¦ β π.
ππ¦ π2 π¦ + πΉ(π‘) = π. 2 ππ‘ ππ‘ Atau
π.
π2 π¦ ππ¦ + π. + ππ¦ = πΉ(π‘) 2 ππ‘ ππ‘
Model persamaan terakhir menghasilkan persamaan diferensial orde 2. Persamaan diferensial orde-2 diatas menggambarkan sistem gerak benda pada pegas. Jika πΉ(π‘) = 0 (tanpa gaya eksternal) sistem disebut sistem gerak bebas (unforced), jika πΉ(π‘) β 0 disebut Sistem gerak paksa (forced), jika π = 0 maka sistem disebut sistem takteredam (undamped) dan jika π > 0 maka disebut sistem teredam (damped)
2018
3
Matematika 1 UMB
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Masnia, M.Pd
http://www.mercubuana.ac.id
Sistem Gerak Bebas Takteredam (π(π) = π, π
= π)
I.
Model sistem gerak harmonic bebas teredam : π.
π2 π¦ + ππ¦ = 0 ππ‘ 2
Gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan PD diatas. Persamaan dibagi menjadi m, maka PD menjadi : π2 π¦ π + π¦=0 ππ‘ 2 π π2 π¦ + π02 π¦ = 0 ππ‘ 2 π π0 = β π Persamaan karakteristik PD diatas : π 2 + π02 = 0 Akar-akar persamaan karakteristik : π1,2 = Β±ππ02 Sehingga penyelesaian umum PD yang menggambarkan gerak benda: π¦(π‘) = π1 cos π0 π‘ + π2 sin π0 π‘ Jika persamaan dikali dan dibagi dengan βπ12 + π22, maka : π1 π2 π¦(π‘) = βπ12 + π22 [ cos π0 π‘ + sin π0 π‘] βπ12 + π22 βπ12 + π22 Jika didefinisikan : π
= βπ12 + π22 cos π = sin π =
π1 βπ12 + π22 π2 βπ12 + π22
Maka persamaan menjadi : π¦(π‘) = π
[cos π cos π0 π‘ + sin π sin π0 π‘] Atau π¦(π‘) = π
cos(
π0 π‘ β π)
Dengan R disebut amplitude sistem gerak harmonic π disebut sudut fasa π
π0 disebut frekuensi = βπ 2018
4
Matematika 1 UMB
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Masnia, M.Pd
http://www.mercubuana.ac.id
Jika satu siklus gerak harmonic yang terjadi digambarkan dalam unit waktu 2π, maka frekuensi didefinisikan menjadi π
1
2π
π
π = 2π0 , maka periode gerak harmonic π = π = π = 2πβπ 0
Gambar Ilustrasi gerak harmonic π¦(π‘) = π
cos(cos π0 π‘ β π)
Gambar Ilustrasi Hubungan π1 , π2, π
πππ π Contoh Kasus: 1
Sistem gerak benda yang tergantung pada pegas, jika massa benda π = 4 ππ dan π
konstanta π = 16 π , redaman = 0. Pegas saat tertarik benda bertambag panjang π
1 m dan mulai bergerak keatas dengan kecepatan 8 πππ‘. Sistem tidak diberi gaya luar. 2018
5
Matematika 1 UMB
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Masnia, M.Pd
http://www.mercubuana.ac.id
a. Tentukan model persamaan yang menggambarkan sistem gerak harmonic pada pegas pada contoh kasus diats! b. Tentukan persamaan gerak benda! c. Tentukan amplitude, sudut fasa, frekuensi dan periode gerak benda! Penyelesaian: a. Model persamaan sistem gerak harmonic pada pegas π.
π2 π¦ ππ¦ + π. + ππ¦ = πΉ(π‘) 2 ππ‘ ππ‘ 1
Pada contoh kasus diketahui redaman d = 0, gaya luar = 0, massa π = 4 kg, π
konstanta pegas π = 16 π, sehingga model persamaan gerak harmonic pada pegas menjadi : 1 π2 π¦ . + 16π¦ = 0 4 ππ‘ 2 Dengan kondisi awal : Posisi awal benda y(0)=1 dan kecepatan awal benda
ππ¦ (0) ππ‘
= β8
b. Persamaan gerak benda Persamaan gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan PD (a), yaitu 1 π2 π¦ . + 16π¦ = 0 4 ππ‘ 2 π2 π¦ + 64π¦ = 0 ππ‘ 2 ππ¦ π¦(0) = 0,1; (0) = β8 ππ‘ Penyelesaiannya adalah: ο·
Persamaan karakteristik dari PD diatas π 2 + 64 = 0
ο·
Akar-akar persamaan karakteristiknya π = Β±8π
ο·
Solusi umum PD π¦(π‘) = π1 cos 8π‘ + π2 sin 8π‘
Dengan memasukan syarat kondisi awal maka: π¦(0) = π1 = 1 π¦ β² (0) = 8π2 = β8 β π2 = β1 Sehingga persamaan gerak benda: π¦(π‘) = cos 8π‘ β sin 8π‘ 2018
6
Matematika 1 UMB
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Masnia, M.Pd
http://www.mercubuana.ac.id
c. Menentukan amplitude, sudut fasa, frekuensi dan periode dengan membentuk persamaan dalam satu sinus /cosinus Bentuk umum persamaan satu sinus/cosinus sistem gerak pada pegas π¦(π‘) = π
cos(π0 π‘ β π) π¦(π‘) = π
cos(8π‘ β π) Dengan π
= βπ12 + π22
tan π =
π2 π1
π0 2π 1 2π π π= = = 2πβ π π0 π π=
Sehingga π΄πππππ‘π’ππ π
= β1 + (β)2 = β2 8 2π π πππππππ π = 4
πΉππππ’πππ π π =
tan π = β1 (ππ’πππππ πΌπ) ππ’ππ’π‘ πππ π π =
7π 4
π¦(π‘) = π
cos(8π‘ β π) π¦(π‘) = β2 cos (8π‘ β
2018
7
7π ) 4
Matematika 1 UMB
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Masnia, M.Pd
http://www.mercubuana.ac.id
Gambar ilustrasi sudut fasa pada contoh kasus
4
Gambar Harmonik benda pada pegas π
= β2; π = π ; π =
7π 4
Latihan soal :
Entukan persamaan gerak harmonic benda pada model persamaan diferensial berikut! Tentukan aplitudo, frekuensi, periode dan sudut fasa dari persamaan gerak harmoniknya! 1. π¦" + π¦ = 0 π¦(0) = 1 π¦β²(0) = 0 2. π¦" + π¦ = 0 π¦(0) = 0 π¦β²(0) = 1 3. π¦" + π¦ = 0 π¦(0) = 1 π¦β²(0) = 1 4. π¦" + 9π¦ = 0 π¦(0) = 1 π¦β²(0) = 0 5. π¦" + 4π¦ = 0 π¦(0) = 1 π¦β²(0) = β2
2018
8
Matematika 1 UMB
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Masnia, M.Pd
http://www.mercubuana.ac.id
II.
Sistem Gerak Bebas Teredam Model sistem gerak benda bebas teredam : π.
π2 π¦ ππ¦ + π. + ππ¦ = 0 2 ππ‘ ππ‘
Persamaan gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan PD diatas. Untuk mengilustrasikan gerak benda pada sistem pegas bebas teredam akan diuraikan pada 3 kasus, yaitu sistem teredam kurang (underdumped), sistem teredam kritis (critically damped), dan sistem teredam lebih (overdamped), dimana masingmasingditentukan dari nilai diskriminasi π2 β 4ππ Persamaan karakteristik dari model sistem gerak benda bebas teredam adalah: π π2 + π π + π = 0 Sehingga akar-akar persamaan karakteristiknya : π12 =
βπ Β± βπ2 β 4ππ 2π
1. Sistem Teredam kurang (underdamed), (π
π β πππ < π) Solusi persamaan gerak benda pada sistem teredam kurang (underdamped) didapatkan jika π2 β 4ππ < 0, dimana akar-akar persamaan karakteristik adalah π12 =
βπ Β± βπ2 β 4ππ 2π
Persamaan solusinya adalah π¦ = π1 π (πΌ+ππ½) + π2 π (πΌβππ½) ππππππ πΌ = β π¦=π
(β
π β4ππ β π2 ;π½ = 2π 2π
π )π‘ 2π (π΄ cos π½π‘
+ π΅π ππ π½π‘)
Bentuk satu sinus/cosinus persamaan diatas adalah: π¦ = π
π
π (β ) 2π cos(π½π‘
β π)
π
= βπ΄2 + π΅2 tan π =
2018
9
π΅ π΄
Matematika 1 UMB
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Masnia, M.Pd
http://www.mercubuana.ac.id
Gambar Osilasi Gerak benda bebas teredam kurang Faktor cosinus cos(π½π‘ β π) menyebabkan osilasi bernilai antara +1 dan -1. Periode osilasi jika dilihat pada gambar bukan periode asli atau sering disebut sebagai perioda bayangan (quasi-period) atau perioda teredam (damped-period), didefinisikan sebagai : ππ =
2π 2π 4ππ = = 2 π½ β4ππ β π β4ππ β π2 2π
Frekuensi dinyatakan sebagai frekuensi bayangan (quasi -frequency) atau teredam (damped-frequency), yaitu ππ =
π½ 2π
π
, sedangkan π
π (β2π)π‘ disebut
amplitude teredam (damped amplitude) 2. Sistem Teredam Kritis (Criticaaly damped), (π2 = 4ππ) Pada sistem teredam kritis π 2 = 4ππ sehingga akar-akar persamaan karakteristik sama yaitu π12 =
βπ 2π
Persamaan solusinya βπ
π¦ = (π1 + π2 π‘)π (2π)π‘
2018
10
Matematika 1 UMB
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Masnia, M.Pd
http://www.mercubuana.ac.id
Gambar Gerak benda pada sistem Gerak Bebas teredam kritis (c1, c2 positif)
Gambar gerak benda pada sistem gerak bebas teredam kritis (c2 negatif) 3. Sistem Teredam Lebih (overdamped)( π
π > πππ) Pada sistem teredam lebih π 2 > 4ππ sehingga akar-akar persamaan karakteristiknya adalah : π12 =
βπ Β± βπ2 β 4ππ 2π
Solusi umum persamaan gerak pada sistem teredam lebih adalah π¦ = π1 π π1 π‘ + π2 π π2 π‘ Pada kenyataannya nlai π12 < 0 sehingga untuk π‘ β β maka π¦(π‘) = 0. Jika π¦(π‘) kita turunkan, yaitu π¦ β²(π‘) = π1 π1 π π1 π‘ + π2 π2 π π2 π‘ π¦ β²(π‘) = π π1 π‘ (π1 π1 + π2 π2 π (π2βπ1) π‘ ) Maka π¦ β²(π‘) = 0 hanya jika (π1 π1 + π2 π2 π (π2βπ1) π‘ ) = 0 Jadi secara umum gerak benda pada pegas pada sistem teredam lebih mempunyai prilaku yang sama dengan sistem teredam kritis, yaitu π‘ β β maka
2018
11
Matematika 1 UMB
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Masnia, M.Pd
http://www.mercubuana.ac.id
π¦(π‘) = 0 dan hanya memiliki satu titik puncak maksimum dan minimum pada π‘>0
Contoh kasus pengaruh peredaman Sebuah sistem gerak benda pada pegas dengan peredam dimodelkan oleh persamaan berikut: π2 π¦ ππ¦ + π. +π¦ =0 2 ππ‘ ππ‘ π¦(0) = 1; π¦ β² (0) = 0 Jika π = 1, 2 πππ 4 , tentukan persamaan gerak benda! Bagaimana pengaruh perubahan nilai konstanta peredaman d pada jarak benda?
Penyelesaian: Persamaan karakteristik dari model persamaan sistem adalah: π 2 + π. π + 1 = 0 Akar-akar persamaan karakteristik π12 =
βπ Β± βπ2 β 4 2
a. Jika π
= π, π
π β π < π disebut sistem teredam kurang Akar-akar persamaan karakteristiknya 1 β3 π12 = β Β± π 2 2 Solusi umum persamaan gerak benda: π¦=π π¦=π
(β
π )π‘ 2π (π΄ cos π½π‘
1 β3 (β )π‘ 2 (π΄ cos π‘
2
+ π΅π ππ π½π‘)
+ π΅π ππ
β3 π‘) 2
+ π΅π ππ
β3 π‘) 2
Substitusi π¦(0) = 1, didapatkan : π¦=π
1 β3 (β )π‘ 2 (π΄ cos π‘
2
1 = π΄ cos 0 β π΄ = 1 Substitusi π¦β²(0) = 0
2018
12
Matematika 1 UMB
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Masnia, M.Pd
http://www.mercubuana.ac.id
1 (β1)π‘ β3 β3 π¦ β² = β π 2 (π΄ cos π‘ + π΅π ππ π‘) + 2 2 2 =π
1 β3 β3 (β )π‘ 2 (βπ΄ π ππ π‘
2
2
+π΅
β3 β3 cos π‘) 2 2
1 β3 0 = β (π΄ cos 0) + (π΅ cos 0) 2 2 1 β3 0 = β (1) + (π΅ ) 2 2 π΅=
1 β3
Maka solusi khusus gerak benda sistem teredam kurang adalah:
π¦=π
1 β3 (β )π‘ 2 (cos π‘
2
+
1 β3
π ππ
β3 π‘) 2
Bentuk satu sinus/cosinus π¦=
2 β3
π
1 β3 (β )π‘ 2 (cos π‘
2
π β ) 6
b. Jika π
= π, π
π β π = π disebut sistem teredam kritis Akar-akar persamaan karakteristiknya π12 = β1 Solusi umum persamaan gerak benda: π¦ = (π1 + π2 π‘)π βπ‘ Substitusi π¦(0) = 1, didapatkan : π¦(0) = (π1 + π2 . 0)π β0 β π1 = 1 Substitusi π¦β²(0) = 0, didapatkan : π¦ β²(0) = π2 π β0 β (π1 + π2 . 0)π β0 0 = π2 β π1 β π2 = 1 Maka solusi khusus gerak benda sistem teredam kritis adalah π¦ = (1 + π‘)π βπ‘ c. Jika π
= π, π
π β π > π disebut sistem teredam lebih Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah π12 =
βπ Β± βπ2 β 4 2
π12 = β2 Β± β3 2018
13
Matematika 1 UMB
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Masnia, M.Pd
http://www.mercubuana.ac.id
Solusi umum persamaan gerak benda: π¦(π‘) = π1 π π1 π‘ + π2 π π2 π‘ π¦(π‘) = π1 π (β2+β3)π‘ + π2 π (β2ββ3)π‘ Substitusi π¦(0) = 1 didapatkan : 1 = π1 π (β2+β3)0 + π2 π (β2ββ3)0 1 = π1 + π2 Substitusi π¦β²(0) = 0 didapatkan : 0 = π1 π1 π π1 0 + π2 π2 π π2 0 0 = π1 (β2 + β3) + π2 (β2 β β3) Dari dua persamaan konstanta diatas yaitu: π1 + π2 = 1 πππ π1 (β2 + β3) + π2 (β2 β β3) = 0 Diperoleh: π1 = π1 =
2 + β3 2β3
β2 + β3 2β3
Maka solusi khusus gerak benda sistem teredam lebih adalah : π¦(π‘) =
2 + β3 2β3
π (β2+β3)π‘ +
β2 + β3 2β3
π (β2ββ3)π‘
Pengaruh konstanta redaman d pada sistem gerak benda dijelaskan sebagai berikut: ο·
π = 1 maka gerak benda π¦(π‘) β 0 menurut fungsi π β0,5π‘
ο·
π = 2 maka gerak benda π¦(π‘) β 0 menurut fungsi π βπ‘
ο·
π = 4 maka gerak benda π¦(π‘) β 0 menurut fungsi π (β2ββ3)π‘ = π β0,3π‘
Disimpulkan bahwa pada π = 2 (teredam kritis) gerak benda paling cepat ke posisi setimbang π¦(π‘) = 0, sedang paling lama pada π = 4 (teredam lebih) hal ini juga dapat dilihat pada gambar berikut:
2018
14
Matematika 1 UMB
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Masnia, M.Pd
http://www.mercubuana.ac.id
Gambar gerak benda pada variasi nilai konstanta redaman (d)
Latihan soal : Tentukan komponen amplitude, frekuensi dan sudut fasa pada model sistem gerak benda berikut! 1. π¦(π‘) = 4π βπ‘ cos (2π‘ β π) π
2. π¦(π‘) = 3π β2π‘ cos (β3π‘ β 3 ) π
3. π¦(π‘) = 5π β2π‘ cos (π‘ β 3 ) 4. π¦(π‘) = 3π β2π‘ cos (5π‘ β π) Tentukan apakah gerak benda berikut diklasipikasikan dalam sistem teredam kurang (underdampes), teredam kritis (critically damped) atau teredam lebih (over damped) 5. π¦ " + 4π¦ = 0 6. π¦ " β 2π¦ β² + π¦ = 0 7. π¦ " + 4π¦ β² + 4π¦ = 0 8. π¦ " + 2ππ¦ β² + π2 π¦ = 0; π > 0 9. π¦ " + 2ππ¦ β² + π 2 π¦ = 0; π > 0 πππ π 2 = π2 10. π¦" + 2ππ¦β² + ππ¦ = 0; π^2 > π πππ π < 0
.
2018
15
Matematika 1 UMB
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Masnia, M.Pd
http://www.mercubuana.ac.id
Daftar Pustaka Purcell, J Edwin (1987), Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 1. Gramedia Jakarta Stroud, K.A (2002), Matematika Teknik. Gramedia Jakarta Schaumβs( 2004), Kalkulus, Gramedia Jakarta Schaumβs( 2004), Persamaan Diferensial, Gramedia Jakarta -----, (2011), Bahan Ajar Matematika 1, Universitas Brawijaya
2018
16
Matematika 1 UMB
Pusat Bahan Ajar dan eLearning
Masnia, M.Pd
http://www.mercubuana.ac.id