N [PDF]

Citation preview

MAKALAH STATISTIKA MATEMATIKA



Oleh LIANI WIJAYANTI (F1041171020) YULIANI NURMALA SARI (F104117068) YUNI ORISA PUTRI (F104171034)



FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS TANJUNGPURA PONTIANAK 2019



BAB II KEBEBASAN STOKASTIK A. Proses Stokastik Berhingga Pengertian Suatu eksperimen berupa deret berhingga di mana tiap eksperimen mempunyai sejumlah berhingga hasil yang mungkin dengan peluang tertentu. Contoh 1: (sumber: https://www.scribd.com/document/320438670/Kebebasan-Stokastik) Kotak A berisi 15 buah kaset terdiri atas 8 buah kaset lagu berbahasa Indonesia dan 7 buah kaset lagu berbahasa Asing. Kotak B berisi 12 buah kaset terdiri atas 8 buah kaset lagu berbahasa Indonesia dan 4 buah kaset lagu berbahasa Asing. Kotak C berisi 14 buah kaset terdiri atas 9 buah kaset lagu berbahasa Indonesia dan 5 buah kaset lagu berbahasa Asing. Berapakah peluang kaset yang terambil itu berisi lagu berbahasa Indonesia? Penyelesaian: Dalam soal ini kita akan melakukan dua eksperimen sebagai berikut: a. Memilih 1 dari 3 kotak. b. Mengambil 1 buah kaset yang mungkin berisi lagu berbahasa Indonesia atau berbahasa Asing. 1



Peluang mengambil 1 kotak dari 3 kotak secara random adalah 3. Jadi, peluang terambil kotak A = peluang terambil kotak B = peluang terambil kotak C. Dari kotak A yang berisi 15 buah kaset, 8 di antaranya kaset lagu berbahasa Indonesia. Peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia adalah 7



terambil kaset lagu berbahasa Asing adalah 15.



8 15



dan peluang



Dari kotak B yang berisi 12 buah kaset, 8 di antaranya kaset lagu berbahasa 8



Indonesia. Peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia adalah 12 dan peluang 4



terambil kaset lagu berbahasa Asing adalah 12. Dari kotak C yang berisi 14 buah kaset, 9 di antaranya kaset lagu berbahasa Indonesia. Peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia adalah



9 14



dan peluang



5



terambil kaset lagu berbahasa Asing adalah 14. Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut: 8 15



kaset lagu berbahasa Indonesia



Kotak A 1 3 1 3 1 3



7 15 8 12



kaset lagu berbahasa Asing



kaset lagu berbahasa Indonesia



Kotak B I



kaset lagu berbahasa Asing



4 12 9 14



kaset lagu berbahasa Indonesia



Kotak C 5 14



kaset lagu berbahasa Asing



1



8



8



1



8



8



1



9



9



Peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak A adalah 3 𝑥 15 = 45 Peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak B adalah 3 𝑥 12 = 36 = 2 9



Peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak C adalah 3 𝑥 14 = 42 = 3 14



Peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia adalah peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak A + peluang terambil kaset lagu berbahasa



Indonesia dari kotak B + peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak C. 8 2 4 216 + + = 45 9 14 315 216



Jadi, peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia adalah 315.



A. Kebebasan Stokastik Diskrit Definisi: Misalnya dua peubah acak diskrit X dan Y mempunyai nilai fungsi peluang gabungan di (𝑥, 𝑦), yaitu 𝑝(𝑥, 𝑦) serta masing-masing mempunyai nilai fungsi peluang marginal dari X di x, yaitu 𝑝1 (𝑥) dan nilai fungsi peluang marginal dari Y di y, yaitu 𝑝2 (𝑦). Kedua peubah acak X dan Y dikatakan bebas stokastik, jika dan hanya jika: 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑝1 (𝑥). 𝑝2 (𝑦) Untuk semua pasangan nilai (𝑥, 𝑦). Dalam praktiknya, soal yang menyangkut kebebasan stokastik dua peubah acak diskrit ini ada dua kemungkinan, yaitu sebagai berikut. 1. Fungsi peluang gabungan dari kedua peubah acak diketahui bentuknya. Kita harus menentukan terlebih dahulu fungsi peluang marginal dari masing-masing peubah acaknya. Kemudian kita substitusikan semua pasangan nilai dari kedua peubah acak itu ke dalam persyaratan kebebasan stokastik, dan kita perhatikan hasilnya dengan kriteria sebagai berikut. a. Apabila ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka kedua peubah acak itu dikatakan bebas stokastik. b. Apabila ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan, maka kedua peubah acak itu dikatakan tidak bebas stokastik atau bergantungan. 2. Fungsi peluang gabungan dari kedua peubah acak tidak diketahui bentuknya. Dalam hal ini fungsi peluang marginal dari masing-masing peubah acak diketahui bentuknya. Kemudian kita substitusikan semua



pasangan nilai dari kedua peubah acak itu ke dalam persyaratan kebebasan stokastik dan kriterianya sama dengan sebelumnya.



Contoh 2: (sumber: https://www.scribd.com/document/320438670/Kebebasan-Stokastik) Misalnya fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk: 1



𝑝(𝑥, 𝑦) = (72) (𝑥 + 2𝑦); 𝑥 = 0,1,2,3 dan 𝑦 = 0,1,2,3 Apakah X dan Y bebas stokastik? Penyelesaian: Kita harus menentukan dahulu fungsi peluang marginal masing-masing dari X dan Y. Fungsi peluang marginal dari X adalah: 3



1 𝑝1 (𝑥) = ∑ ( ) (𝑥 + 2𝑦) 72 𝑦=0



1 = ( ) {𝑥 + (𝑥 + 2) + (𝑥 + 4) + (𝑥 + 6)} 72 1 = ( ) (4𝑥 + 12) 72 1 = ( ) . 4(𝑥 + 3) 72 1 𝑝1 (𝑥) = ( ) (𝑥 + 3) 18 1



Jadi, 𝑝1 (𝑥) = (18) (𝑥 + 3); 𝑥 = 0,1,2,3 Fungsi peluang marginal Y adalah: 3



𝑝2 (𝑦) = ∑ (



1 ) (𝑥 + 2𝑦) 72



𝑥=0



1 = ( ) {2𝑦 + (1 + 2𝑦) + (2 + 2𝑦) + (3 + 2𝑦)} 72



1 = ( ) (8𝑦 + 6) 72 1 = ( ) . 2(4𝑦 + 3) 72 1 𝑝2 (𝑥) = ( ) (4𝑦 + 3) 36 1



Jadi, 𝑝2 (𝑦) = (36) (4𝑦 + 3); 𝑦 = 0,1,2,3 Misalnya pasangan nilai dari X dan Y diambil (𝑥, 𝑦) = (0,0). Maka: 1 𝑝(𝑥 = 0, 𝑦 = 0) = ( ) (𝑥 + 2𝑦) 72 1 = ( ) (0 + 2(0)) 72 1 = ( ) (0) 72 =0 1 1 𝑝1 (𝑥 = 0). 𝑝2 (𝑦 = 0) = ( ) (𝑥 + 3). ( ) (4𝑦 + 3) 18 36 1 1 = ( ) (0 + 3). ( ) (4(0) + 3) 18 36 1 1 = ( ) (3). ( ) (3) 18 36 1 1 = . 6 12 1 = 72 karena 𝑝(𝑥 = 0, 𝑦 = 0) ≠ 𝑝1 (𝑥 = 0). 𝑝2 (𝑦 = 0), maka X dan Y dikatakan dua peubah acak yang tidak bebas stokastik atau bergantungan.



Contoh 3: (sumber: https://www.scribd.com/document/320438670/Kebebasan-Stokastik) Fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk: 1



𝑝(𝑥, 𝑦) = 36 𝑥𝑦; 𝑥 = 1,2,3 dan 𝑦 = 1,2,3 Apakah X dan Y bebas stokastik? Penyelesaian:



Kita harus menentukan dahulu fungsi peluang marginal masing-masing dari X dan Y. Fungsi peluang marginal dari X adalah: 3



𝑝1 (𝑥) = ∑( 𝑦=1



1 𝑥𝑦) 36



1 𝑥(1 + 2 + 3) 36 1 𝑝1 (𝑥) = 𝑥(6) 36 1 𝑝1 (𝑥) = 𝑥 6 𝑝1 (𝑥) =



1



Jadi, 𝑝1 (𝑥) = 6 𝑥; 𝑥 = 1,2,3 Fungsi peluang marginal dari Y adalah: 3



𝑝2 (𝑦) = ∑( 𝑥=1



1 𝑥𝑦) 36



1 (1 + 2 + 3)𝑦 36 1 (6)𝑦 𝑝2 (𝑦) = 36 1 𝑝2 (𝑦) = 𝑦 6 𝑝2 (𝑦) =



1



Jadi, 𝑝2 (𝑦) = 6 𝑦; 𝑦 = 1,2,3 1



Maka 𝑝1 (𝑥) . 𝑝2 (𝑦) = 6 𝑥 .



1



1



𝑦 = 36 𝑥𝑦 6 1



1



Ternyata 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑝1 (𝑥). 𝑝2 (𝑦), karena 36 𝑥𝑦 = 36 𝑥𝑦 Maka X dan Y dikatakan dua peubah acak yang bebas stokastik. B. Kebebasan Stokastik Kontinu Definisi: Misalnya dua peubah acak kontinu X dan Y mempunyai nilai fungsi densitas, gabungan di (𝑥, 𝑦), yaitu (𝑥, 𝑦), yaitu 𝑓(𝑥, 𝑦) serta masing-masing mempunyai nilai fungsi densitas marginal dari X di x, yaitu 𝑓1 (𝑥) dan nilai fungsi densitas



marginal dari Y di y, yaitu 𝑓2 (𝑦). Kedua peubah acak X dan Y dikatakan bebas stokastik, jika dan hanya jika: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓1 (𝑥) 𝑓2 (𝑦) Dalam praktiknya, soal yang menyangkut kebebasan stokastik dua peubah acak kontinu ini ada dua kemungkinan, yaitu sebagai berikut. 1. Fungsi densitas gabungan dari kedua peubah acak diketahui bentuknya. Kita harus menentukan terlebih dahulu fungsi densitas marginal dari masing-masing peubah acak. Kemudian kita menggunakan persyaratan kebebasan stokastik, dan kita memperhatikan hasilnya dengan kriteria sebagai berikut. a. Apabila ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka kedua peubah acak itu dikatakan bebas stokastik. b. Apabila ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan, maka kedua peubah acak itu dikatakan tidak bebas stokastik atau bergantungan. 2. Fungsi densitas gabungan dari kedua peubah acak tidak diketahui bentuknya. Dalam hal ini fungsi densitas marginal dari masing-masing peubah



acak



diketahui



bentuknya.



Kemudian



kita



menggunakan



persyaratan kebebasan stokastik dan kriterianya sama dengan sebelumnya.



Contoh 4: (sumber: https://www.scribd.com/document/320438670/Kebebasan-Stokastik) Misalnya fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦; 0 < 𝑥 < 1,0 < 𝑦 < 1 = 0; 𝑥, 𝑦 lainnya. Apakah X dan Y bebas stokastik? Penyelesaian: Kita harus menentukan dahulu fungsi densitas marginal masing-masing dari X dan Y. Fungsi densitas marginal dari X adalah: ∞



𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 −∞



0



1



∞



= ∫−∞ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + ∫0 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + ∫1 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 0



1



∞



= ∫−∞ 0 𝑑𝑦 + ∫0 (4𝑥𝑦) 𝑑𝑦 + ∫1 0 𝑑𝑦 = 0 + {2𝑦 2 𝑥}]1𝑦=0 + 0 𝑔(𝑥) = 2𝑥 Jadi, 𝑔(𝑥) = 2𝑥; 0 < 𝑥 < 1 = 0; 𝑥 lainnya.



Fungsi densitas marginal dari Y adalah: ∞



ℎ(𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 −∞ 0



1



∞



= ∫−∞ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫0 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫1 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 0



1



∞



= ∫−∞ 0 𝑑𝑥 + ∫0 (4𝑥𝑦) 𝑑𝑥 + ∫1 0 𝑑𝑥 = 0 + {2𝑥 2 𝑦}]1𝑥=0 + 0 ℎ(𝑦) = 2𝑦 Jadi, ℎ(𝑦) = 2𝑦; 0 < 𝑦 < 1 = 0; 𝑦 lainnya. Maka 𝑔(𝑥) . ℎ(𝑦) = 2𝑥. 2𝑦 = 4𝑥𝑦 Ternyata 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥). ℎ(𝑦), karena 4𝑥𝑦 = 4𝑥𝑦 Sehingga X dan Y merupakan peubah acak yang bebas stokastik.



Contoh 5: (sumber: https://www.scribd.com/document/320438670/Kebebasan-Stokastik) Misalnya fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦; 0 < 𝑥 < 1,0 < 𝑦 < 1 = 0; 𝑥, 𝑦 lainnya. Apakah X dan Y bebas stokastik? Penyelesaian: Kita harus menentukan dahulu fungsi densitas marginal masing-masing dari X dan Y. Fungsi densitas marginal dari X adalah:



∞



𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 −∞ 0



1



∞



= ∫−∞ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + ∫0 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + ∫1 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 0



1



∞



= ∫−∞ 0 𝑑𝑦 + ∫0 (𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦 + ∫1 0 𝑑𝑦 1 2 1 = 0 + {𝑥𝑦 + ( ) 𝑦 }] +0 2 𝑦=0 𝑔(𝑥) = 𝑥 +



1 2 1



Jadi, 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 ; 0 < 𝑥 < 1 = 0; 𝑥 lainnya.



Fungsi densitas marginal dari Y adalah: ∞



ℎ(𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 −∞ 0



1



∞



= ∫−∞ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫0 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫1 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 0



1



∞



= ∫−∞ 0 𝑑𝑥 + ∫0 (𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑥 + ∫1 0 𝑑𝑥 1 1 2 = 0 + {( ) 𝑥 + 𝑥𝑦}] +0 2 𝑥=0



ℎ(𝑦) =



1 +𝑦 2 1



Jadi, ℎ(𝑦) = 2 + 𝑦; 0 < 𝑦 < 1 = 0; 𝑦 lainnya. 1



1



Maka 𝑔(𝑥) . ℎ(𝑦) = (𝑥 + 2) (2 + 𝑦) =



𝑥 𝑦 1 + 𝑥𝑦 + + 2 2 4 𝑥



𝑦



1



Ternyata 𝑓(𝑥, 𝑦) ≠ 𝑔(𝑥). ℎ(𝑦), karena 𝑥 + 𝑦 ≠ 2 + 𝑥𝑦 + 2 + 4 Sehingga X dan Y merupakan peubah acak yang tidak bebas stokastik atau bergantungan.



Teorema 2.1.1 Misalkan f.k.p bersama dari X dan Y adalah f(x,y). Maka X dan Y bebas stokastik jika dan hanya jika terdapat fungsi-fungsi non negatif g(x) dan h(y) sehingga f(x,y) = g(x) h(y) dan domain dari g tidak tergantung dari y serta domain h tidak tergantung dari x. Bukti: a. Misalkan x dan y bebas stokastik. Maka f(x,y) = f(x) f(y). Dalam hal ini cukup diambil g(x)=f(x) dan h(y)=f(y). b. Misalkan f(x,y)= g(x)h(y); g(x) ≥ 0 dan h(y) ≥ 0. Akan dibuktikan X dan Y bebas stokastik, untuk itu dicari f(x) dan f(y). ∞



∞



∞



𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦) = 𝑔(𝑥) ∫ ℎ(𝑦)𝑑𝑦 −∞



−∞



−∞ ∞



= 𝐾𝑔(𝑥)dengan 𝐾 = ∫ ℎ(𝑦)𝑑𝑦 suatu konstanta −∞ ∞



∞



∞



𝑓(𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦) = ℎ(𝑦) ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 −∞



−∞



−∞ ∞



= 𝐿ℎ(𝑦)dengan 𝐿 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 suatu konstanta −∞



Akan tetapi ∞



∞



∞



∞



𝐾𝐿 = ∫ ℎ(𝑦)𝑑𝑦 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ ∫ 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 −∞



−∞



−∞ −∞



∞



∞



= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1 −∞ −∞



Akibatnya, 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦) =



𝑓(𝑥) 𝑓(𝑦) 𝐾



.



𝐿



= 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) Dari persamaan (a) dan (b) berarti X dan Y bebas stokastik.



Latihan Soal dan Jawaban (sumber: https://www.scribd.com/document/320438670/Kebebasan-Stokastik) 1. Andi mempunyai tiga buah kotak yang masing-masing berisi lampu. Kotak 1 berisi 10 lampu, dengan 4 lampu di antaranya sudah rusak. Kotak 2 berisi 6 lampu, dengan 1 lampu di antaranya sudah rusak. Kotak 3 berisi 8 lampu, dengan 3 lampu di antaranya sudah rusak. Sebuah kotak dipilih secara acak, kemudia sebuah lampu diambil secara acak dari kotak yang telah terpilih itu. Berapa peluang lampu yang terambil adalah lampu yang sudah rusak? Penyelesaian: Dalam soal ini kita akan melakukan dua eksperimen sebagai berikut: a. Memilih 1 dari 3 kotak. b. Mengambil 1 lampu yang mungkin berisi lampu yang sudah rusak atau masih berfungsi. 1



Peluang mengambil 1 kotak dari 3 kotak secara random adalah 3. Jadi, peluang terambil kotak A = peluang terambil kotak B = peluang terambil kotak C. Dari kotak 1 yang berisi 10 lampu, 4 di antaranya sudah rusak. Peluang terambil lampu yang sudah rusak adalah 6



masih berfungsi adalah 10.



4 10



dan peluang terambil lampu yang



Dari kotak 2 yang berisi 6 lampu, 1 di antaranya sudah rusak. Peluang terambil lampu yang sudah rusak adalah



1 6



dan peluang terambil lampu yang masih



5



berfungsi adalah 6. Dari kotak 3 yang berisi 8 lampu, 3 di antaranya sudah rusak. Peluang terambil lampu yang sudah rusak adalah



3 8



dan peluang terambil lampu yang masih



5



berfungsi adalah 8. Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut: 4 10



Lampu yang sudah rusak



Kotak 1 1 3 1 3 1 3



6 10 1 6



Lampu yang masih berfungsi



Lampu yang sudah rusak



Kotak 2 I



Lampu yang masih berfungsi



5 6 3 8



Lampu yang sudah rusak



Kotak 3 5 8



Lampu yang masih berfungsi 1



4



4



2



Peluang terambil lampu yang sudah rusak dari kotak 1 adalah 3 𝑥 10 = 30 = 15 1



1



1



Peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak 2 adalah 3 𝑥 6 = 18 Peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak 3 adalah 3 24



1 3



3



𝑥8 =



1



=8



Peluang lampu yang sudah rusak adalah peluang terambil lampu yang sudah rusak a dari kotak 1 + peluang terambil lampu yang sudah rusak dari kotak 2 + peluang lampu yang sudah rusak dari kotak 3. 2 1 1 339 + + = 15 18 8 1080



339



Jadi, peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia adalah 1080. 2. Fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk: 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑘𝑥 2 𝑦 2 ; 𝑥 = 1,2 dan 𝑦 = 1,2 Dengan X dan Y merupakan peubah acak yang bebas stokastik. Berapakah nilai k? Penyelesaian: Kita harus menentukan dahulu fungsi peluang marginal masing-masing dari X dan Y. Fungsi peluang marginal dari X adalah: 2



𝑝1 (𝑥) = ∑(𝑘𝑥 2 𝑦 2 ) 𝑦=1



𝑝1 (𝑥) = 𝑘𝑥 2 (1 + 4) 𝑝1 (𝑥) = 𝑘𝑥 2 (5) 𝑝1 (𝑥) = 5𝑘𝑥 2 Jadi, 𝑝1 (𝑥) = 5𝑘𝑥 2 ; 𝑥 = 1,2 Fungsi peluang marginal dari Y adalah: 2



𝑝2 (𝑦) = ∑(𝑘𝑥 2 𝑦 2 ) 𝑥=1



𝑝2 (𝑦) = 𝑘𝑦 2 (1 + 4) 𝑝2 (𝑦) = 𝑘𝑦 2 (5) 𝑝2 (𝑦) = 5𝑘𝑦 2 Jadi, 𝑝2 (𝑦) = 5𝑘𝑦 2 ; 𝑦 = 1,2 Karena peubah acak X dan Y bebas stokastik maka 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑝1 (𝑥). 𝑝2 (𝑦), sehingga 𝑘𝑥 2 𝑦 2 = 5𝑘𝑥 2 . 5𝑘𝑦 2. Jika diambil (𝑥, 𝑦) = (1,1), maka 𝑘(1)(1) = 5𝑘(1) . 5𝑘(1) 𝑘 = 25𝑘 2 𝑘 = 25 𝑘2



1 = 25 𝑘 1 𝑘= 25 1



Jadi, nilai k yang memenuhi 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑘𝑥 2 𝑦 2 ; 𝑥 = 1,2 dan 𝑦 = 1,2 adalah 25. 3. Fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk: 1



𝑝(𝑥, 𝑦) = 25 𝑥 2 𝑦 2 ; 𝑥 = 1,2 dan 𝑦 = 1,2 Tentukan (𝑋 ≥ 1, 𝑌 < 2)! Penyelesaian: Kita harus menentukan dahulu fungsi peluang marginal masing-masing dari X dan Y. Fungsi peluang marginal dari X adalah: 2



𝑝1 (𝑥) = ∑( 𝑦=1



1 2 2 𝑥 𝑦 ) 25



1 2 𝑥 (1 + 4) 25 1 2 𝑝1 (𝑥) = 𝑥 (5) 25 1 𝑝1 (𝑥) = 𝑥 2 5 𝑝1 (𝑥) =



1



Jadi, 𝑝1 (𝑥) = 5 𝑥 2 ; 𝑥 = 1,2 Fungsi peluang marginal dari Y adalah: 2



𝑝2 (𝑦) = ∑( 𝑥=1



1 2 2 𝑥 𝑦 ) 25



1 2 𝑦 (1 + 4) 25 1 2 𝑝2 (𝑦) = 𝑦 (5) 25 1 𝑝2 (𝑦) = 𝑦 2 5 𝑝2 (𝑦) =



1



Jadi, 𝑝2 (𝑦) = 5 𝑦 2 ; 𝑦 = 1,2 𝑝(𝑋 ≥ 1, 𝑌 < 2) = 𝑝1 (𝑋 ≥ 1) . 𝑝2 (𝑌 < 2) 1 2 1 2 𝑥 . 𝑦 5 5 1 1 𝑝(𝑋 ≥ 1, 𝑌 < 2) = (1 + 4) . (1) 5 5 1 𝑝(𝑋 ≥ 1, 𝑌 < 2) = 1 . 5 1 𝑝(𝑋 ≥ 1, 𝑌 < 2) = 5 𝑝(𝑋 ≥ 1, 𝑌 < 2) =



1



Jadi, 𝑝(𝑋 ≥ 1, 𝑌 < 2) pada fungsi peluang gabungan 𝑝(𝑥, 𝑦) = 25 𝑥 2 𝑦 2 ; 𝑥 = 1



1,2 dan



𝑦 = 1,2 adalah 5.



4. Fungsi densitas gabungan dari X dan Y berbentuk: 4 𝑓(𝑥, 𝑦) = ( ) 𝑥𝑦; 1 < 𝑥 < 4, 1 < 𝑦 < 4 35 = 0; 𝑥, 𝑦 lainnya. Apakah X dan Y bebas stokastik? Penyelesaian: Kita harus menentukan dahulu fungsi densitas marginal masing-masing dari X dan Y. Fungsi densitas marginal dari X adalah: ∞



𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 −∞ 1



4



∞



= ∫−∞ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + ∫1 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + ∫4 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 1



4



4



∞



= ∫−∞ 0 𝑑𝑦 + ∫1 (35) 𝑥𝑦 𝑑𝑦 + ∫4 0 𝑑𝑦 4 4 1 2 = 0 + {( ) ( ) 𝑥𝑦 }] +0 35 2 𝑦=1



6 𝑔(𝑥) = ( ) 𝑥 7



6



Jadi, 𝑔(𝑥) = (7) 𝑥; 1 < 𝑥 < 4 = 0; 𝑥 lainnya.



Fungsi densitas marginal dari Y adalah: ∞



ℎ(𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 −∞ 1



4



∞



= ∫−∞ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫1 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫4 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 1



4



∞



4



= ∫−∞ 0 𝑑𝑥 + ∫1 (35) 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + ∫4 0 𝑑𝑥 4 4 1 = 0 + {( ) ( ) 𝑥 2 𝑦}] +0 35 2 𝑥=1



6 ℎ(𝑦) = ( ) 𝑦 7 6



Jadi, ℎ(𝑦) = ( ) 𝑦; 1 < 𝑦 < 4 7



= 0; 𝑦 lainnya. 6



6



Maka 𝑔(𝑥) . ℎ(𝑦) = (7) 𝑥 . (7) 𝑦 =(



36 ) 𝑥𝑦 49 4



36



Ternyata 𝑓(𝑥, 𝑦) ≠ 𝑔(𝑥). ℎ(𝑦), karena (35) 𝑥𝑦 ≠ (49) 𝑥𝑦 Sehingga X dan Y merupakan peubah acak yang tidak bebas stokastik atau bergantungan.



5. Fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘𝑥𝑦; 0 < 𝑥 < 1,0 < 𝑦 < 1 = 0; 𝑥, 𝑦 lainnya. Dengan X dan Y merupakan peubah acak yang bebas stokastik. Berapakah nilai k? Penyelesaian: Kita harus menentukan dahulu fungsi densitas marginal masing-masing dari X dan Y. Fungsi densitas marginal dari X adalah:



∞



𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 −∞



=



0 ∫−∞ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 0



1



∞



+ ∫0 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + ∫1 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦



1



∞



= ∫−∞ 0 𝑑𝑦 + ∫0 (𝑘𝑥𝑦) 𝑑𝑦 + ∫1 0 𝑑𝑦 1 2 1 = 0 + { 𝑘𝑦 𝑥}] +0 2 𝑦=0 1 𝑔(𝑥) = 𝑘𝑥 2 1



Jadi, 𝑔(𝑥) = 2 𝑘𝑥; 0 < 𝑥 < 1 = 0; 𝑥 lainnya.



Fungsi densitas marginal dari Y adalah: ∞



ℎ(𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 −∞ 0



1



∞



= ∫−∞ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫0 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫1 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 0



1



∞



= ∫−∞ 0 𝑑𝑥 + ∫0 (𝑘𝑥𝑦) 𝑑𝑥 + ∫1 0 𝑑𝑥 1 2 1 = 0 + { 𝑘𝑥 𝑦}] +0 2 𝑥=0 1 ℎ(𝑦) = 𝑘𝑦 2 1



Jadi, ℎ(𝑦) = 2 𝑘𝑦; 0 < 𝑦 < 1 = 0; 𝑦 lainnya. Karena peubah acak X dan Y bebas stokastik maka 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥). ℎ(𝑦), 1



1



1 1



sehingga 𝑘𝑥𝑦 = 2 𝑘𝑥 . 2 𝑘𝑦. Jika diambil (𝑥, 𝑦) = (2 , 2), maka 1 1 1 1 1 1 𝑘 ( ) ( ) = 𝑘( ) . 𝑘( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 𝑘= 𝑘 4 16 𝑘 4 = 𝑘 2 16



1 1 = 𝑘 4 𝑘=4 Jadi, nilai k yang memenuhi 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘𝑥𝑦; 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑦 < 1 adalah 4.