PDP Parabolik Eliptik [PDF]

Citation preview

Persamaan Parabolik



Persamaan Eliptik



Transformasi Variabel PDP Parabolik dan Eliptik Yunita S. Anwar Universitas Mataram



Mataram, April 2016



Yunita S. Anwar



Transformasi Variabel PDP Parabolik dan Eliptik



Persamaan Parabolik



Persamaan Eliptik



Bentuk Kanonik dari Persamaan Parabolik Bentuk kanonik dari persamaan parabolik adalah: uvv = f (v , z, u, uv , uz ) Diberikan B 2 − 4AC = 0. Akan dicari fungsi v = v (x, y ) dan z = z(x, y ) sedemikian hingga B1 (v , z) = 2Avx zx + B(vx zy + vy zx ) + 2Cvy zy = 0 C1 (v , z) = Azx2 + Bzx zy + Czy2 = 0 Cukup digunakan C1 = 0 karena dari B 2 − 4AC = 0 akan mengakibatkan B1 = 0, yaitu akan dicari solusi dari persamaan C1 (v , z) = Azx2 + Bzx zy + Czy2 Yunita S. Anwar



=0



Transformasi Variabel PDP Parabolik dan Eliptik



Persamaan Parabolik



Persamaan Eliptik



Persamaan karakteristik: √ −B − B 2 − 4AC B zx = =− zy 2A 2A Ditetapkan z(x, y ) adalah konstan, yaitu diferensial total dz adalah nol, yaitu dz = zx dx + zy dy = 0 −→



dy zx =− dx zy



Sehingga persamaan karakteristiknya menjadi: dy zx B =− = dx zy 2A



Yunita S. Anwar



Transformasi Variabel PDP Parabolik dan Eliptik



Persamaan Parabolik



Persamaan Eliptik



Dengan mengintegralkan masing-masing persamaan (terkadang diperlukan pemisahan variabel sebelum pengintegralan) diperoleh: zx B dy =− = → dx zy 2A



c = z(x, y )



Untuk v (x, y ) dipilih sebarang fungsi sedemikian hingga Jacobian vx vy = vx zy − zx vy 6= 0 J= zx zy



Yunita S. Anwar



Transformasi Variabel PDP Parabolik dan Eliptik



Persamaan Parabolik



Persamaan Eliptik



Contoh-Contoh



Example Tentukan solusi umum persamaan diferensial uxx + 2uxy + uyy = 0 Example Tentukan solusi umum persamaan diferensial uxx + 6uxy + 9uyy = 0 Example Tentukan solusi umum persamaan diferensial x 2 · uxx − 2xy · uxy + y 2 · uyy + x · ux + y · uy = 0



Yunita S. Anwar



Transformasi Variabel PDP Parabolik dan Eliptik



Persamaan Parabolik



Persamaan Eliptik



Bentuk Kanonik dari Persamaan Eliptik Bentuk kanonik dari persamaan eliptik adalah: uvv + uzz = f (v , z, u, uv , uz ) Diberikan B 2 − 4AC < 0. Akan dicari fungsi v (x, y ) dan z(x, y ) sedemikian hingga A1 = Avx2 + Bvx vy + Cvy2 = C1 = Azx2 + Bzx zy + Czy2 B1 = 2Avx zx + B(vx zy + vy zx ) + 2Cvy zy = 0.....(∗) Pada persamaan (*) dikalikan dengan i =



√



−1 diperoleh



A(vx2 − zx2 ) + B(vx vy − zx zy ) + C (vy2 − zy2 ) = 0 2Avx izx + B(vx izy + vy izx ) + 2Cvy izy = 0 Yunita S. Anwar



Transformasi Variabel PDP Parabolik dan Eliptik



Persamaan Parabolik



Persamaan Eliptik



Didefinisikan fungsi φ = v + iz. Kemudian kedua persamaan dijumlahkan sehingga Aφ2x + Bφx φy + C φ2y = 0 Selanjutnya, √ −B ± i 4AC − B 2 φx = φy 2A



=−



dy dx



Sehingga diperoleh persamaan karakteristik, √ dy B ± i 4AC − B 2 = dx 2A Lakukan proses pengintegralan, kemudian pilih v (x, y ) = Re(φ) dan z(x, y ) = Im(φ) Yunita S. Anwar



Transformasi Variabel PDP Parabolik dan Eliptik



Persamaan Parabolik



Persamaan Eliptik



Contoh Example Tentukan solusi dari uxx + xuyy = 0, x > 0 Uji Nyali... 4=5? −20 = −20 −36 + 16 = −45 + 25 16 − 36 +



81 4



= 25 − 45 +



81 4



(4 − 92 )2 = (5 − 29 )2 4−



9 2



=5−



9 2



4 = 5 ??? Yunita S. Anwar



Transformasi Variabel PDP Parabolik dan Eliptik