Statistika [PDF]

Citation preview

Rata-rata harmonik (harmonic average) adalah rata-rata yang dihitung dengan cara mengubah semua data menjadi pecahan, dimana nilai data dijadikan sebagai penyebut dan pembilangnya adalah satu, kemudian semua pecahan tersebut dijumlahkan dan selanjutnya dijadikan sebagai pembagi jumlah data. Rata-rata harmonik ini sering disebut juga dengan kebalikan dari rata-rata hitung (aritmatik). Secara matematis rata-rata harmonik dirumuskan sebagai berikut.



Keterangan: H = rata-rata harmonik n = jumlah data sampel xi = nilai data ke-i Contoh: Suatu pertandingan bridge terdiri dari 10 meja. Pada pertandingan tersebut ingin diketahui ratarata lama bermain dalam 1 set kartu bridge. Pada pertandingan pertamanya dihitung lama bermain untuk setiap set kartu di setiap meja. Hasilnya adalah sebagai berikut (dalam menit). 7, 6, 8, 10, 8, 8, 9, 12, 9, 11 Berapakah rata-rata harmonik lama pertandingan tersebut? Jawab: Dari rumus dapat dihitung rata-rata harmonik adalah sebagai berikut.



Hasil tersebut bisa dibuktikan dengan menggunakan Microsoft Excel di halaman Menghitung Rata-rata Harmonik Dengan Microsoft Excel.



Rata-rata ukur (geometrik) adalah rata-rata yang diperoleh dengan mengalikan semua data dalam suatu kelompok sampel, kemudian diakarpangkatkan dengan banyaknya data sampel tersebut. Karena mengikuti proses akar pangkat, maka apabila terdapat unsur data yang bernilai negatif maka rata-rata ukur tidak bisa dilakukan. Berikut ini adalah rumus-rumus untuk menghitung rata-rata geometrik untuk data tunggal dan data berkelompok. 1. Rumus Rata-rata Ukur pada Data Tunggal Ada dua cara untuk menghitung rata-rata ukur yaitu dengan Cara Biasa dan dDengan Logaritma. Pada prinsipnya penghitungan kedua metode tersebut adalah sama. Perbedaannya adalah pada tingkat kesulitan pada proses penghitungannya. Cara I: Cara Biasa



G=x1×x2×⋯×xn−−−−−−−−−−−−−−−√n=∏i=1nxi−−−−−√n Penghitungan menggunakan Cara Biasa akan sulit dilakukan jika data yang digunakan banyak dan nilainya besar. Hal ini karena hasil perkalian pada saat penghitungan akan menjadi sangat besar. Oleh karena itu, untuk mengurangi hitungan yang terlalu besar maka digunakanlah logaritma (Cara Kedua). Cara II: Dengan Logaritma



log(G)=1n∑i=1nlog(xi) Keterangan dari notasi kedua rumus di atas adalah G adalah rata-rata ukur (geometrik), n adalah banyaknya sampel, ∑ adalah penjumlahan dan ∏ adalah perkaian. Kegunaan ∏ hampir sama dengan ∑ (bedanya adalah ∑ digunakan untuk penjumlahan, sedangkan ∏ digunakan untuk perkalian serta xi adalah nilai data ke-i. Penerapan rumus rata-rata ukur dapat kita lihat pada penghitungan IPM: Cek artikelnya di Metode Penghitungan Indeks Komposit IPM. 2. Rumus Rata-rata Ukur pada Data Berkelompok Rumus rata-rata ukur untuk data berkelompok adalah.



log(G)=∑i=1kfi.log(xi)∑i=1kfi dimana xi adalah titik tengah, k adalah banyaknya kelas dan fi frekuensi data kelas ke-i. Hubungan dengan Rata-rata Aritmatik dan Rata-rata Harmonik Misalkan G adalah rata-rata geometrik, X¯ adalah rata-rata aritmatik dan H adalah rata-rata harmonik, maka nilai dari ketiga jenis rata-rata tersebut dalam suau kelompok data adalah



H≤G≤X¯ Contoh Soal No. 1 Diketahui data suku bunga tabungan beberapa bank adalah sebagai berikut.



6,75;5,75;6,50;6,25;6,25;6,10;5,70;5,90;6,25;5,60 Berapakah rata-rata ukur (geometrik) suku bunga bank-bank tersebut? Jawab: Rata-rata ukur (geometrik) bisa dihitung dengan menggunakan rumus cara pertama atau rumus cara kedua. Cara penghitungannya adalah sebagai berikut. Cara Pertama



G=6,75×5,75×⋯×5,60−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√10=70757056,11−−−−−−−− −−√10=6,095 Jika menggunakan rumus cara kedua, maka proses penghitungannya adalah sebagai berikut. Cara Kedua



log(G)=log(6,75)+log(5,75)+⋯+log(5,60)10=0,829303773+0,759667845+⋯ +0,74818802710=0,7849769756 sehingga



G=100,7849769756=6,095 Penghitungan di atas dapat diselesaikan dengan Microsoft Excel. Lihat penyelesaiannya di artikel: Menghitung Rata-rata Geometrik Dengan Microsoft Excel. Contoh Soal No. 2 Hitunglah rata-rata ukur dari data berkelompok di bawah ini. Kelas Interval Frekuensi 7-9 8 10-12 5 13-15 6 16-18 7 19-21 4 Jawab: Pergunakan tabel di bawah ini untuk mempermudah penyelesaianya.



xi fi



log(xi) filog(xi) 8 8 0,9031 7,2247 11 5 1,0414 5,2070 14 6 1,1461 6,8768 17 7 1,2304 8,6131 20 4 1,3010 5,2041



∑ 30 ∑ 33,1257 Dari tabel diperoleh ∑ki=1fi=30 dan ∑ki=1fi.log(xi)=33,1257. Dengan menggunakan rumus rata-rata ukur data berkelompok maka



log(G)=33,125730=1,1043 sehingga



G=101,1042=12,7113 dengan demikian rata-rata ukurnya adalah 12,7116.



Rata-rata Hitung Data Berkelompok Data berkelompok adalah data yang disajikan dalam bentuk kelas-kelas interval. Setiap kelas biasanya memiliki panjang interval yang sama. Ada tiga cara menghitung rata-rata data berkelompok, yaitu dengan menggunakan titik tengah, menggunakan simpangan rata-rata sementara dan menggunakan kode (coding). Rumus ketiga cara penghitungan rata-rata data berkelompok tersebut adalah sebagai berikut. 1. Menggunakan titik tengah (cara biasa)



x¯=∑i=1kfixi∑i=1kfi   Menggunakan simpangan rata-rata sementara



x¯=x¯s+∑i=1kfidi∑i=1kfi dimana di=x¯s−xi  .  Menggunakan pengkodean (coding)



x¯=x¯s+⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜∑i=1kfici∑i=1kfi⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⋅p Keterangan: x¯ = rata-rata hitungdata berkelompok x¯s = rata-rata sementara fi = frekuensi data kelas ke-i xi = nilai tengah kelas ke-i ci = kode kelas ke-i



p 3. = panjang interval Berikut ini diberikan contoh penggunaan ketiga metode di atas. Sebanyak 21 orang pekerja dijadikan sampel dan dihitung tinggi badannya. Data tinggi badan dibuat dalam bentuk kelas-kelas interval. Hasil pengukuran tinggi badan adalah sebagai berikut. Frekuensi Tinggi Badan



(fi)



151 - 155 3 156 - 160 4 161 - 165 4 166 - 170 5 171 - 175 3 176 - 180 2 Hitunglah rata-rata tinggi badan pekerja dengan menggunakan titik tengah, simpangan ratarata sementara dan cara koding! Jawab: 1. Menggunakan titik tengah (cara biasa) Proses penghitungan rata-rata dengan menggunakan titik tengah dibantu dengan menggunakan tabel di bawah ini. Tinggi Badan



Titik Tengah



(xi)



Frekuensi



(fi) fi⋅xi 151 - 155 153 3 459 156 - 160 158 4 632 161 - 165 163 4 652 166 - 170 168 5 840 171 - 175 173 3 519 176 - 180 178 2 356 Jumlah 21 3458 Dari tabel di atas diperoleh



∑i=1kfi=21∑i=1kfixi=3458 Dengan begitu dapat kita hitung rata-rata data berkelompok sebagai berikut.



x¯=345821=164,67 2. Dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara Sebelum menghitung rata-rata data berkelompok menggunakan simpangan rata-rata sementara,



kita terlebih dahulu menetapkan rata-rata sementaranya. Misalkan rata-rata sementara yang kita tetapkan adalah 160. Selanjutnya kita bisa membuat tabel penghitungan sebagai berikut. Tinggi Badan



Titik Tengah



(xi)



Frekuensi



(fi) di= 160−xi f1⋅di 151 - 155 153 3 -7 -21 156 - 160 158 4 -2 -8 161 - 165 163 4 3 12 166 - 170 168 5 8 40 171 - 175 173 3 13 39 176 - 180 178 2 18 36 Jumlah 21 98 Dari tabel di atas diperoleh



x¯s=160∑i=1kfi=21∑i=1kfidi=98 Hasil rata-rata hitung menggunakan simpangan rata-rata adalah



x¯=160+(9821)=160+4,67=164,67 3. Cara coding Sama dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara, sebelum menghitung rata-rata dengan cara coding, kita juga harus menetapkan rata-rata sementara. Namun rata-rata sementara yang kita tetapkan harus sama dengan salah satu nilai tengah salah satu kelas interval. Misalkan kita menetapkan rata-rata sementara adalah nilai tengah kelas keempat, yaitu 168. Dengan begitu kita bisa membuat tabel dan pengkodean seperti di bawah ini. Tinggi Badan



Titik Tengah



(xi)



Frekuensi



(fi)



Coding



(ci) f1⋅ci 151 - 155 153 3 -3 -9 156 - 160 158 4 -2 -8 161 - 165 163 4 -1 -4 166 - 170 168 5 0 0 171 - 175 173 3 1 3 176 - 180 178 2 2 4 Jumlah 21 -14 Pengkodean dimulai dari angka 0 untuk kelas interval dimana rata-rata sementara ditetapkan. Kemudian dengan kelas sebelumnya berturut-turut menjadi angka negatif (-1, -2, -3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara. Berikutnya dengan kelas sesudahnya berturutturut pengkodeannya menjadi angka positif (1,2 3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara tersebut. Dari tabel di atas diperoleh



x¯s=168∑i=1kfi=21∑i=1kfici=−14p=5 Hasil rata-rata hitung menggunakan coding adalah sebagai berikut.



x¯=168+(−1421)⋅5=168+(−3,33)=−164,67 Dari ketiga cara mencari rata-rata data berkelompok di atas, metode menggunakan titik tengah atau cara biasa merupakan metode yang paling banyak digunakan karena proses penghitungannya sangat mudah. Oleh karena itu untuk penghitungan-penghitungan selanjutnya sangat disarankan untuk menggunakan tersebut. Contoh Soal No. 1 Nilai mahasiswa jurusan statistika untuk mata kuliah statistik deskriptif adalah sebagai berikut. Nilai Frekuensi 41 - 45 18 46 - 50 19 51 - 55 30 56 - 60 17 61 - 65 26 66 - 70 24



Nilai Frekuensi 71 - 75 28 76 - 80 35 81 - 85 20 Hitunglah rata-rata dari nilai mahasiswa tersebut! Jawab: Rumus yang digunakan untuk mencari rata-rata data berkelompok di atas adalah



x¯=∑i=1kfixi∑i=1kfi Untuk menyelesaikannya dengan menggunakan rumus tersebut, kita harus mencari komponenkomponen dari rumus tersebut yaitu komponen ∑ki=1fi dan komponen ∑ki=1fixi. Titik Tengah Nilai (Kelas Interval) (xi) Frekuensi



(fi) fi⋅xi 41 - 45 43 18 774 46 - 50 48 19 912 51 - 55 53 30 1590 56 - 60 58 17 986 61 - 65 63 26 1638 66 - 70 68 24 1632 71 - 75 73 28 2044 76 - 80 78 35 2730 81 - 85 83 20 1660 Jumlah 217 13966 Dari tabel di atas diperoleh komponen



∑i=1kfi=217 dan ∑i=1kfixi=13966 Dengan begitu dapat kita hitung rata-rata data berkelompok sebagai berikut.



x¯=∑i=1kfixi∑i=1kfi=13966217=64,36 Rata-rata nilai mahasiswa jurusan statistika untuk mata kuliah statistik deskriptif adalah 64,36. Contoh Soal No. 2 Sebanyak 30 pelajar dikelompokkan menurut kelompok umur seperti tabel berikut.



Kelompok Umur Banyaknya Pelajar 7-9 8 10 - 12 5 13 - 15 6 16 - 18 7 19 - 21 4 Hitunglah rata-rata umur para pelajar tersebut! Jawab: Tentukan titik tengah setiap kelas interval terlebih dahulu, kemudian kalikan dengan banyaknya pelajar (frekuensi). Kelompok Umur Titik Tengah Kelas Interval (xi) Banyaknya Pelajar (Frekuensi fi ) (fi⋅xi) 7-9 8 8 64 10 - 12 11 5 55 13 - 15 14 6 84 16 - 18 17 7 119 19 - 21 20 4 80 Jumlah 30 402 Dari tabel diperoleh



∑i=1kfi=30∑i=1kfixi=402 Selanjutnya kita bisa menghitung rata-rata



x¯=∑i=1kfixi∑i=1kfi=40230=13,4 Dengan demikian rata-rata umur para pelajar adalah 13,4.



Kuartil, Rata-rata Ukur, dan Rata-rata Harmonik 29 Sep



STATISTIKA EKONOMI I BAB V KUARTIL,RATA-RATA UKUR DAN RATA-RATA HARMONIK



KUARTIL Kuartil (K) adalah nilai-nilai yang membagi serangkaian data atau suatu frekuensi menjadi empat bagian yang sama. Menurut Sudijono, 2006:112. Dalam dunia statistik, yang dimaksud dengan kuartil ialah titik atau skor atau nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi kedalam empat bagian yang sama besar, yaitu masing-masing sebesar 1/4N. Dalam buku Suharyadi dan Purwanto SH, Kuartil diartikan sebagai ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data yang berkelompok menjadi 4 bagian sama besar atau setiap bagian dari kuartil sebesar 25%. Kuartil 1 (K1) membagi data sebelah kiri sebesar25% dan sebelah kanan 75%. Kuartil 2 (K2) membagi data menjadi 2 bagian yang sama yaitu sisi kanan dan sisi kiri sebesar 50%, jika kurva berbentuk simetris maka K2 sama dengan Median. K3 membagi data sebelah kiri sebesar 75% dan sebelah kanan 25%. RUMUS Untuk mencari Q1,Q2 dan Q3 digunakan rumus sebagai berikut: 



untuk data tunggal



Qn = 1 + ( n/4N-fkb)



fi 



untuk data kelompok



Qn = 1 + (n/4N-fkb)x i Fi Keterangan :      



Qn = kuartil yang ke-n. karena titik kuartil ada tiga buah, maka n dapat diisi dengan bilangan: 1,2, dan 3. 1 = lower limit ( batas bawah nyata dari skor atau interval yang mengandung Qn). N= Number of cases. Fkb= frekuensi kumulatif yang terletak dibawah skor atau interval yang mengandung Qn. Fi= frekuensi aslinya (yaitu frekuensi dari skor atau interval yang mengandung Qn). i= interval class atau kelas interval.



Catatan:  



istilah skor berlaku untuk data tunggal. istilah interval berlaku untuk data kelompok.



Contoh perhitungan kuartil untuk data tunggal Misalkan dari 60 orang siswa MAN Jurusan IPA diperoleh nilai hasil EBTA bidang studi Fisika sebagaimana tertera pada table distribusi frekuensi berikut ini. Jika kita ingin mencari Q1, Q2, dan Q3 (artinya data tersebut akan kita bagi dalam empat bagian yang sama besar), maka proses perhitungannya adalah sebagai berikut: Table 3.11. Distribusi frekuensi nilai hasil Ebta dalam bidang studi fisika dari 60 orang siswa MAN jurusan ipa, dan perhitungan Q1, Q2, dan Q3. Nilai (x) 46 45 44 43 42 41 40 39 38



F 2 2 3 5 F1 (8) 10 F1 (12) F1 (6) 5



Fkb 60 58 56 53 48 20 30 18 12



37 36 35 



4 2 1



7 3 1



Titik Q1= 1/4N = ¼ X 60 = 15 ( terletak pada skor 39). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 38,50; fi = 6; fkb = 12



Q1= 1 + ( n/4N-fkb) = 38,50 +(15-12) Fi



6



= 38,50 +0,50 = 39 



Titik Q2= 2/4N = 2/4 X 60 = 30 ( terletak pada skor 40). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 39,50; fi = 12; fkb = 18



Q2 = 1 + ( n/4N-fkb) = 39,50 +(30-18) Fi



12



= 39,50 +1,0 = 40,50 



Titik Q3= 3/4N = 3/4 X 60 = 45 ( terletak pada skor 42). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 41,50; fi = 8; fkb = 40



Q3 = 1 + ( n/4N-fkb) = 41,50 +(45-40) Fi



8



= 41,50+ 0,625 = 42,125 Contoh perhitungan kuartil untuk data kelompok Misalkan dari 80 orang siswa MAN jurusan IPS diperoleh skor hasil EBTA dalam bidan studi tata buku sebagaimana disajikan pada tabel distribusi frekuensi beikut ini ( lihat kolom 1 dan 2). Jika kita ingin mencari Q1, Q2, dan Q3, maka proses perhitungannya adalah sebagai berikut: 



Titik Q1= 1/4N = ¼ X 80 = 20 ( terletak pada interval 35-39). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 34,50; fi = 7; fkb = 13, i= 5.



Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) Xi = 34,50 +(20-13) X5 Fi



7 = 34,50 +5 = 39,50 



Titik Q2= 2/4N = 2/4 X 80 = 40 ( terletak pada interval 45-49). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 44,50; fi = 17; fkb = 35, i= 5.



Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) Xi = 44,50 +(40-35) X5 Fi



17 = 44,50 +1.47 = 45,97 



Titik Q3= 3/4N = 3/4 X 80 = 60 ( terletak pada interval 55-59). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 54,50; fi = 7; fkb = 59, i= 5.



Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) Xi = 54,50 +(55-59) X5 Fi



7



= 54,50 + 0,71 = 55,21 Tabel 3.12. distribusi frekuensi skor-skor hasil EBTA bidang studi tata buku dari 80 orang siswa man jurusan ips, berikut perhitungan Q1,Q2, dan Q3. Nilai (x) 70-74



F 3



Fkb 80



65-69



5



77



60-64



6



72



55-59



7



66



50-54



7



59



45-49



17



52



40-44



15



35



35-39



7



20



30-34



6



13



25-29



5



7



20-24



2



2



Total



80= N



–



Diantara kegunaan kuartil adalah untuk mengetahui simetris (normal) atau a simetrisnya suatu kurva. Dalam hal ini patokan yang kita gunakan adalah sebagai berikut: 1. Jika Q3-Q2 = Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva normal. 2. Jika Q3-Q2 > Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kiri(juling positif). 3. Jika Q3-Q2 < Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kanan(juling negatif).



DESIL DESIL Desil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data berkelompok menjadi 10 bagian yang sama besar, atau setiap bagian dari desil sebesar 10%. Rumus Ukuran Letak



Ukuran Letak



Data Tunggal



Data Berkelompok



Desil 1 (D1)



[1(n+1)]/10



1n/10



Desil 2 (D2)



[2(n+1)]/10



2n/10



….



…



…



Desil 9 (D9)



[9(n+1)]/10



9n/10



CONTOH SOAL Berikut ini adalah data upah dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100, (n = 13). Cari nilai D1. D2, dan D9. PENYELESAIAN D1 = nilai ke 1(13 + 1)



10 = nilai ke-14/10 = nilai ke-14/10, berarti X1 + 4/10(X2 – X1) = 30 + 4/10(35 – 30) = 32 D2 = nilai ke 2(13 + 1) 10 = nilai ke-28/10, berarti X2 + 8/10 (X3 – X2) = 35 + 8/10 (40 – 35) ` = 39 D9 = nilai ke 9(13 + 1) 10 = nilai ke-126/10, berarti X12 + 6/10 (X13 – X12) = 95 + 6/10 (100 – 95) = 98 Rumus Desil data berkelompok Rumus Desil :



Keterangan :   



D = desil ke-i n = banyak data F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas desil



  



f = frekuensi kelas desil b = tepi bawah kelas l = lebar kelas



PRESENTIL Presentil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data yang berkelompok menjadi 100 bagian yang sama besar, atau setiap bagian dari desil sbesar 1%. Rumus Ukuran Letak



Ukuran Letak



Data Tunggal



Data Berkelompok



Presentil 1 (P1)



[1(n+1)]/100



1n/100



Presentil 2 (P2)



[2(n+1)]/100



2n/100



….



…



…



Presentil 99 (D9)



[99(n+1)]/100



99n/100



Apabila data sudah disusun mulai dari yang terkecil (X1) sampai yang terbesar (Xn), maka rumus persentil adalah sebagai berikut : i(n + 1) 100 Pi = nilai yang ke , i = 1, 2, …, 99 Untuk data berkelompok



Keterangan :   



Pi = persentil ke-i b = tepi bawah n = banyaknya data



  



F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil f = frekuensi kelas persentil l = lebar kelas



Contoh penggunaan rumus yang hampir sama dengan sedikit perubahan dalam rumus yang disebutkan…. Menentukan Presentil 40 dari tabel berikut.. tabel nilai siswa kelas XII IPS



Maka dapat dihasilkan sebagai berikut…



RATA-RATA UKUR Rata-Rata Ukur (Geometric Mean) Untuk gugus data positif x1, x2, …, xn, rata-rata geometrik adalah akar ke-n dari hasil perkalian unsur-unsur datanya. Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:



Keterangan: U = rata-rata ukur (rata-rata geometrik) n = banyaknya sampel Π = Huruf kapital π (pi) yang menyatakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur data. Rata-rata geometrik sering digunakan dalam bisnis dan ekonomi untuk menghitung rata-rata tingkat perubahan, rata-rata tingkat pertumbuhan, atau rasio rata-rata untuk data berurutan tetap atau hampir tetap atau untuk rata-rata kenaikan dalam bentuk persentase. 1. Rata-Rata Ukur data Tunggal Contoh 1: Berapakah rata-rata ukur dari data 2, 4, 8? Jawab:



atau:



2. Rata-Rata Ukur Distribusi Frekuensi



keterangan  



xi = tanda kelas (nilai tengah) fi = frekuensi yang sesuai dengan xi



Contoh 2: Tentukan rata-rata ukur dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas! Jawab: Kelas ke- Nilai Ujian fi xi



log xi fi.log xi



1



31 – 40



2 35.5 1.5502 3.1005



2



41 – 50



3 45.5 1.6580 4.9740



3



51 – 60



5 55.5 1.7443 8.7215



4



61 – 70



13 65.5 1.8162 23.6111



5



71 – 80



24 75.5 1.8779 45.0707



6



81 – 90



21 85.5 1.9320 40.5713



7



91 – 100 12 95.5 1.9800 23.7600



8



Jumlah



80



149.8091



Rata-Rata Harmonik Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x1, x2, …, xn adalah kebalikan dari nilai rata-rata hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:



Secara umum, rata-rata harmonik jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk data yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan. 1. Rata-Rata Harmonik data Tunggal Contoh 1:Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia mengendarai kendaraan dengan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pulang pergi? Jawab:Apabila kita menghitungnya dengan menggunakan rumus jarak dan kecepatan, tentu hasilnya 13.5 km/jam! Apabila kita gunakan perhitungan rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat!



Pada kasus ini, lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik:



2. Rata-Rata Harmonil Distribusi Frekuensi



Contoh 2: Berapa rata-rata Harmonik dari tabel distribusi frekuensi pada table berikut Jawab: Kelas ke- Nilai Ujian fi xi



1 2 3 4 5 6 7 8



fi/xi



31 – 40 2 35.5 0.0563 41 – 50 3 45.5 0.0659 51 – 60 5 55.5 0.0901 61 – 70 13 65.5 0.1985 71 – 80 24 75.5 0.3179 81 – 90 21 85.5 0.2456 91 – 100 12 95.5 0.1257 Jumlah 80 1.1000



1. Rumus Rataan Hitung (Mean) Rata-rata hitung atau mean memiliki perhitungan dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung disebut dengan mean.



a) Rumus Mean dari Data Tunggal



b) Rumus Mean Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi.



Dengan : fixi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian xi = data ke-i



c) Rumus Mean Gabungan



2. Rumus Modus



a. Data yang belum dikelompokkan



Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo. b. Data yang telah dikelompokkan



Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus:



Dengan : Mo = Modus L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya



3. Rumus Median (Nilai Tengah)



a) Data yang belum dikelompokkan Untuk mencari nilai median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar.



b) Rumus Data yang Dikelompokkan



Dengan : Qj = Kuartil ke-j j = 1, 2, 3 i = Interval kelas Lj = Tepi bawah kelas Qj fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj f = Frekuensi kelas Qj n = Banyak data



4. Rumus Jangkauan ( J ) Rumus jangkauan yaitu selisih antara nilai data terbesar dengan nilai data terkecil.



5. Rumus Simpangan Quartil (Qd)



Rumus simpangan quartil yaitu:



6. Rumus Simpangan baku ( S ) Menentukan rumus simpangan baku yaitu dengan cara:



7. Rumus Simpangan rata – rata (SR)



8. Rumus Ragam (R)



Contoh soal statistika Tabel 1.1 dibawah ini:



Jawab :



Contoh soal sederhana: Berikut ini terdapat data nilai matematika siswa kls VII.A, andi 85



audi 90 dessy 75 fany 68 hariz 70 joko 80 sinta 75 umaima 74 zeckry 82 Tentukan nilai mean, median, dan modus dari data tersebut.?



Penyelesaian: urutkan data-data tersebut terlebih dahulu berdasarkan nilai dari terendah hingga teritnggi, 68 70 74 75 75 80 82 85 90 diketahui jmlh anak (n)= 9 org, maka jumlah nilai= 68+70+74+75+75+80+82+85+90= 699



Mean= 699/9 = 77,667 Jadi, nilai rata-rata siswa kls VII.A untuk pelajaran matematika = 77,667



Median= nilai tengah dari kelompok data tersebut adalah nilai 75



Modus= terdapat 2 nilai 75 dalam kelompok data, sehingga modus= 75