Statmat Teo 3.6.3 [PDF]

Citation preview

Teorema 3.6.3 Sifat Tanpa Memori. Misal 𝑋~𝐸𝑋𝑃(𝜃). Maka 𝑃[𝑋 > 𝑎 + 𝑡 | 𝑋 > 𝑎] = 𝑃[𝑋 > 𝑡] Untuk semua 𝑎 > 0 dan 𝑡 > 0 Bukti =



𝑃[𝑋 > 𝑎 + 𝑡 | 𝑋 > 𝑎]



=



𝑃[𝑋>𝑎+𝑡 𝑑𝑎𝑛 𝑋>𝑎] 𝑃[𝑋>𝑎] 𝑒 −(𝑎+𝑡)/𝜃 𝑒 −𝑎/𝜃



=



𝑃[𝑋>𝑎+𝑡] 𝑃[𝑋>𝑎]



= 𝑒 −𝑡/𝜃 = 𝑃[𝑋 > 𝑡]



Bentuk khusus lain dari sebaran gamma adalah sebaran khi kuadrat, yaitu 𝜃 = 2 dan κ = 𝑣/2, dan 𝑣 disebut sebagai derajat bebas. Pembahasan selanjutnya tentang sebaean Weibull. Sebaran ini ditemukan oleh ahli Fisika W. Weibull. Suatu peubah acak kontinu 𝑋 dikatakan bersebaran Weibull dengan parameter 𝛽 > 0 dan 𝜃 > 0 jika mempunyai pdf 𝑥 𝛽



𝛽



𝑓(𝑥; 𝜃, 𝛽) = 𝜃𝛽 𝑥 𝛽−1 𝑒 −(𝜃) 𝐼 (𝑥 > 0), dinyatakan 𝑋~𝑊𝐸𝐼(𝜃, 𝛽). Dalam hal 𝛽 = 2 disebut bersebaran Rayleigh. Jika 𝑋~𝑊𝐸𝐼(𝜃, 𝛽), maka cfd-nya adalah 𝐹(𝑥; 𝜃, 𝛽) = (1 − 𝑒



𝑥 𝛽 𝜃



−( )



) 𝐼 (𝑥 > 0),



bukti ditinggalkan sebagai sebagai latihan. Purata dari 𝑋~𝑊𝐸𝐼(𝜃, 𝛽) diperoleh seperti berikut: ∞



𝛽 𝛽−1 −(𝑥 )𝛽 𝛽 ∞ (1+𝛽)−1 −(𝑥 )𝛽 𝜃 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 𝛽 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 = 𝛽 ∫ 𝑥 𝑒 𝜃 𝑑𝑥 𝜃 𝜃 0 0 𝑥 𝛽



Subsitusi : = (𝜃) , diperoleh ∞ 1 𝐸(𝑋) = 𝜃 ∫ 𝑡 (1+1/𝛽)−1 𝑒 −1 𝑑𝑥 = 𝜃Γ (1 + ) 𝛽 0 2



serupa untuk 𝐸(𝑋 2 ) = 𝜃 2 Γ (1 + 𝛽), ditinggalkan sebagai Latihan. Jadi 2 1 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜃 2 [Γ (1 + ) − Γ 2 (1 + )] 𝛽 𝛽 Sebaran Weibull sering digunakan pada daya tahan suatu material.



Pembahasan akhirdari subpokok bahasan ini adalah tentang parameter 𝜃 > 0 dan κ > 0 jika mempunyai pdf κ



𝑥 −(𝑥+1)



𝑓(𝑥; θ, κ) = θ (1 + 𝜃)



𝐼 (𝑥 > 0),



dinyatakan sebagai 𝑋~𝑃𝐴𝑅(𝜃, κ). Jika 𝑋~𝑃𝐴𝑅(𝜃, κ) maka cdf-nya adalah 𝑥 −κ



𝐹(𝑥; θ, κ) = [1 − (1 + 𝜃)



] 𝐼 (𝑥 > 0),



Bukti ditinggalkan sebagai Latihan. Sebaran Pareto sering digunakan pada permasalahan model biomedin, seperti daya tahan hidup transplantasi jantung.



3.6.9) Misal peubah acak X menyatakan waktu hidup suatu transistor dan mengikuti sebaran eksponential dengan parameter 𝜃 = 100. Tentukan: (a) 𝑃[𝑋 > 25] (b) 𝑃[𝑋 > 125] (c) 𝑃[𝑋 > 125 | 𝑋 > 25]



Jawab: (a) 𝑃[𝑋 > 25] = 1 − 𝑃[𝑋 ≤ 25] = 1 − 𝐹(25,100) 25



= 1 − (1 − 𝑒 −(100) ) 1



= 1 − (1 − 𝑒 −(4) ) 1



= 𝑒 −(4) = 0,778807831 ≈ 0,78 (b) 𝑃[𝑋 > 25] = 1 − 𝑃[𝑋 ≤ 125] = 1 − 𝐹(125,100) = 1 − (1 − 𝑒 = 1 − (1 − 𝑒



−(



125 ) 100



5 −( ) 4



)



)



5



= 𝑒 −(4) = 0,2865047969 ≈ 0,29 (c) 𝑃[𝑋 > 125 | 𝑋 > 25] = 𝑃[𝑋 > 25 + 100 | 𝑋 > 25] = 𝑃[𝑋 > 100] = 1 − 𝑃[𝑋 ≤ 100] = 1 − 𝐹(100,100)



100



= 1 − (1 − 𝑒 −(100) ) = 1 − (1 − 𝑒 −(1) ) = 𝑒 −(1) = 0,3678794412 ≈ 0,37



3.6.10) Misal 𝑋~𝑊𝐸𝐼(𝜃, 𝛽). Buktikan: (a) cfdnya adalah 𝑥 𝛽



𝐹(𝑥; 𝜃, 𝛽) = (1 − 𝑒 −(𝜃) ) 𝐼 (𝑥 > 0). 2



(b) 𝐸(𝑋 2 ) = 𝜃 2 Γ (1 + ). 𝛽