CBR Statmat [PDF]

Citation preview

Critical Book Review (CBR)



SKOR NILAI :



Pengantar Statistika Matematis Dr. Susiswo, M. Si



Nama



: Jemi Ari Mula Tua Sinurat



NIM



: 4183111054



Kelas



: Pendidikan Matematika B 2018



Dosen Pengampuh



: Prof. Dr. Edi Syahputra, M.Pd



Mata Kuliah



: STATISTIKA MATEMATIKA



FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN T.A. 2020 / 2021



EXECUTIVE SUMMARY Statistika adalah ilmu yang mempelajari tentang metode pengumpulan, pengelolahan,



penafsiran



serta



penarikan



kesimpulan



dari



data



yang



dikumpulkan/diperoleh. Statistika adalah ilmu yang mempelajari tentang metode pengumpulan, pengolahan, penafsiran serta penarikan kesimpulan dari data yang dikumpulkan/diperoleh. Secara umum ststistika dapat dikelompok menjadi dua kelompok besar yang saling melengkapi satu dengan lainnya. Kedua kelompok ini adalah: 1) Statistik Matematika 2) Statistika Terapan Dalam statistika matematik penekannanya lebih pada matematika secara teoritis. Banyak prasyarat dari keilmuan dalam matematika yang harus dikuasai sebelum seseorang mempelajari ststistika matematik. Antara lain yang harus dikuasai adalah teori peluang, kalkulus, analisis vector dan aljabar matriks. Tidak demikian halnya dengan ststistika terapan. Statistika terapan lebih menekankan pada penggunaan statistika dalam berbagai bidang ilmu antara lain: Ekonomi, Pendidikan, social, biologi, kedokeran, dan lain-lain. Ditinjau dari sifat penerapannya statistika dapat dibagi atas dua kategori yaitu: Statistika Deskriptif dan Statistika Induktif/Infrensial. Statistika deskriptif hanya membicarakan mengenai penyusunan data dalam daftar, pembuatan dan penyajian data dalam bentuk diagram dan menarik kesimpulan dari data tersebut yang sifatnya tidak berlaku umum. Statistika induktif lebih mendalam dari statistika Deskriptif. Dari data yang sudah disusun rapi, dibuat hipotesisi, dianalisis secara ilmiah dan ditarik kesimpulan secara umum. Untuk kelanjutan “Critical Book Report” ini, penulis menganalisa buku yang berjudul “Statistika Terapan Untuk Quasi Dan Pure Experiment”. Buku ini ditulis oleh Prof. Dr. Edi Syahputra. Sebagai pembanding penulis mengambil dua buku yaitu dari buku “Penerapan Statistik untuk Pendidikan” buku ini ditulis oleh Dr. Indra Jaya, M.Pd dan “Statistika Terapan” di tulis oleh Dr. Kadir, M.Pd. i



KATA PENGANTAR



Segala Puji bagi Tuhan YME Karena atas Rahmat dan Hidayah-Nya saya dapat menyelesaikan Tugas ini dengan tapat waktu. Saya memohon maaf apabila kepenulisan dalam tugas saya masih jauh dari kata sempurna. Saya mengucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Edi Syahputra, M.Pd selaku dosen Statistika Matematika yang memberi arahan dalam mengerjakan tugas Critical Book Review dengan Judul buku utama Pengantar Statistika Matematis dengan pengarang buku Dr. Susiswo, M. Si Saya berharap tugas ini dapat menambah wawasan kita mengenai materi yang diangkat menjadi topik utama dalam tugas Critical Book Review , serta dapat menjadi referensi yang bermanfaat bagi para pembaca.  Dengan ini saya mempersembahkan tugas ini dengan penuh rasa terima kasih dan harapan



semoga



tugas



saya



bermanfaat



bagi



penulis



maupun



pembaca. 



Medan, Oktober 2020



Jemi Ari Mula Tua Sinurat



ii



DAFTAR ISI EXECUTIVE SUMMARY KATA PENGANTAR DAFTAR ISI



i ii



BAB I PENDAHULUAN



1



1.1



Latar belakang



1



1.2



Tujuan



2



1.3



Manfaat



2



BAB II RINGKASAN BUKU



5



BAB III PEMBAHASAN ANALISIS



13



3.1



Pembahasan Isi Buku



13



3.2



Kelebihan dan Kelemahan Buku



22



BAB IV PENUTUP



25



4.1.



Kesimpulam



25



4.2



Saran



25



DAFTAR PUSTAKA



26



iii



BAB I PENDAHULUAN A. Rasionalisasi Pentingnya CBR Rasionalisasi pentingnya CBRSering kali kita bingung memilih buku referensi untuk kita bacadan oahami. Terkadang kita memilih satu buku,namun kurangmemuaskan



hati



kita.



Misalnya



dari



segi



analisis



bahasa,



pembahasantentang kepemimpinan, oleh karena itu, penulis membuat criticalbook report ini untuk mempermudah pembaca dalam memilihreferensi, terkhusus pada pokok bahasa tentang akuntansi syariah.



B. Tujuan Critical book review ini bertujuan untuk: 1.



Mengulas isi buku yang akan direview.



2.



Mencari dan mengetahui informasi mengenai Statistika Matematika yang ada didalam 3 buku



3.



Melatih diri untuk berpikir kritis dalam mencari informasi yang ada pada buku.



C. Manfaat Critical book review ini bemanfaat untuk: 1. Untuk memenuhi tugas mata kuliah Statistika Matematika 2. Untuk menambah pengetahuan tentang Statistika Matematika dengan 3 buka yang akan direview.



D. Identitas Buku Salah satu tugas mata kuliah Kepemimpinan Critical Book Review yang diberikan dengan pembahasan untuk membandingkan isi buku dari beberapa buku dengan cara menganalisis temuan utama, keunggulan dan kelemahan yang ada dalam buku tersebut dan membandingkannya dengan buku lainnya. Untuk melengkapi tugas yang diberikan saya mencoba mereview buku dengan identitas sebagai berikut:



4



Identitas buku Buku Utama Juduk Buku



: Pengantar Statistika Matematis



Penulis : Dr. Susiswo, M.Si Penerbit : Universitas Negeri Malang Cetakan : Cetakan ke I 2017 Kota



: Malang



Tebal



: 365 halaman, 15,5 x 23 cm



ISBN



: 978–979-495-948-0



5



BAB II RINGKASAN BUKU A. Peluang Dalam beberapa studi, ilmu pengetahuan diperoleh dari fenomena alam. Dari fenomena itu kita berusaha untuk menyederhanakannya menjadi model matematika. Dengan model tersebut memungkinkan kita untuk dapat menentukan atau memprediksi nilai pengamatan dari suatu karakteristik tertentu. Sebagai contoh, kita perhatikan kecepatan benda jatuh pada ruang hampa udara setelah t detik, yang modelnya adalah v gt  , di mana g  31.17 kaki per detik. Model tersebut tentunya diperoleh dari percobaan yang berulang-ulang dengan kondisi yang sama. Selanjutnya dengan kondisi tadi kita dapat memprediksi kecepatan dalam sebarang t detik. Di pihak lain model tersebut tidak akan berlaku untuk kondisi yang berbeda. Motivasi dari belajar peluang adalah menjadikan model matematika dari situasi yang belum ditentukan. Kegiatan ini disebut sebagai model peluang. Tujuan instruksional umum dari mempelajari bab ini adalah Anda diharapkan memahami konsep tentang peluang. Suatu kegiatan atau proses untuk memperoleh hasil pengamatan dari suatu fenomena tertentu disebut sebagai percobaan (experiment). Dalam Statistika Matematis percobaan diharuskan memenuhi tiga syarat, yaitu: 1) dapat diulang di bawah kondisi yang sama, 2) hasil (outcome) belum dapat diketahui sebelum dilakukan percobaan (trial), 3) semua hasil yang mungkin dapat ditentukan. Percobaan



yang



demikian



ini



disebut



sebagai



percobaan



acak.



Untuk



menyederhanakan penulisan, selanjutnya yang dimaksud percobaan adalah percobaan acak. Pada Subpokok Bahasan sebelumnya kita telah menyinggung tentang pendefinisian peluang melalui frekuensi relatif. Pendefinisian peluang ini jelas tidak praktis, karena untuk mengetahui peluang suatu kejadian kita harus mengulang percobaan berkali-kali sampai mendapatkan suatu nilai tertentu. Oleh karena itu perlu adanya definisi yang memungkinkan kita bekerja dalam peluang tanpa harus mengulang percobaan berkalikali. Karena kita telah mempunyai definisi peluang dari frekuensi relatif, maka definisi peluang kita nanti haruslah memenuhi sifat-sifat serupa dengan sifat-sifat pada



6



frekuensi relatif. Dengan kata lain sifat-sifat pada frekuensi relatif kita adopsi untuk pendefinisian peluang. Kebanyakan tujuan model peluang adalah menentukan bagaimana kejadian C2 terjadi jika percobaan dilakukan. Meskipun demikian banyak juga kasus kejadian C2 baru akan terjadi jika kejadian C1 terjadi lebih dahulu. Dalam hal ini sama saja dengan menentukan peluang bersyarat kejadian C2 setelah munculnya kejadian C1 , ditulis sebagai P (C2 |C1 ). Permasalahan terakhir yang akan kita bahas pada subpokok bahasan ini. Di samping itu pada subpokok bahasan ini kita juga akan membahas bagaimana menentukan peluang bersyarat kejadian C1 setelah munculnya kejadian C2 ditulis P (C1 |C2 ) yang disebut sebagai Kaidah Bayes Pada Subpokok Bahasan 1.4 kita telah membahas peluang bersyarat, secara khusus kita telah mempunyai



Dari



rumus



di atas terlihat bahwa peluang bersyarat



dari kejadian C2 setelah munculnya kejadian C1 bergantung pada peluang dari C1 , atau P (C1). Meskipun demikian kenyataannya tidak selalu demikian, yaitu ada peluang bersyarat dari kejadian C2 setelah munculnya kejadian C1 yang tidak bergantung pada peluang dari C1 . Dalam hal demikian, maka kita katakan bahwa kejadian C2 bebas dari kejadian C1 . Hasil ini berlakupula sebaliknya, yaitu kejadian C1 bebas dari kejadian C2 . Oleh karena itu kita katakan bahwa kejadian C1 dan C2 bebas. B. Peubah Acak Pada ruang sampel ini paling tinggi kita hanya bisa mengembangkannya sampai pada konsep peluang. Oleh karena itu perlu adanya suatu fungsi yang mengubah ruang sampel yang anggotanya bukan berupa bilangan menjadi himpunan yang anggotanya berupa bilangan khususnya bilangan real. Fungsi yang demikian ini disebut sebagai peubah acak. Tujuan instruksional umum dari mempelajari bab ini adalah Anda diharapkan memahami konsep tentang peubah acak. Tujuan instruksional khusus mempelajari bab ini adalah Anda diharapkan dapat menentukan: peubah acak suatu ruang sampel, peluang terinduksi, fungsi kepadatan peluang, modus, median, persentil, fungsi sebaran, ekspektasi, varians, dan fungsi pembangkit momen. Selanjutnya kita lihat bagan berikut untuk memperoleh gambaran tentang keberadaan peubah acak dan konsekuensinya. 7



Sekarang tibalah saatnya kita kaji lebih dalam tentang peubah acak. Kita mulai dari definisi peubah acak berikut ini. Definisi 2.2.1 Misal X suatu fungsi yang terdefinisi atas ruang sampel S , pada himpunan bilangan real R , yaitu



Dalam buku ini peubah



acak ditulis sebagai huruf besar X, Y,



atau Z, sedangkan nilainya kita tulis sebagai huruf kecil x, y, atau z. Jadi jika tertulis huruf besar itu berarti peubah acak yang berupa suatu fungsi. Di pihak lain jika tertulis huruf kecil berarti nilai fungsi yang berupa bilangan real. Cara penulisan ini perlu sekali kita perhatikan mulai sekarang, karena kesalahan dalam penulisan akan berakibat kerancuan dalam memahami konsep peubah acak. Beberapa referensi membedakan nama dari fungsi ini. Untuk ruang sampel diskret fungsi ini disebut sebagai fungsi massa peluang, sedangkan untuk ruang sampel kontinu fungsi ini disebut sebagai fungsi kepadatan peluang. Dalam buku ini penulis menyebut fungsi kepadatan peluang baik untuk ruang sampel diskret maupun ruang sampel kontinu. Misal peubah acak X mempunyai fungsi peluang P dan misal A himpunan pada ruang berdimensi satu yang terbatas pada x, termasuk x sendiri, yaitu A = {x:   x }. Maka Peluang ini merupakan peluang kumulatif peubah acak X dari  sampai dengan x. Dapat pula dikatakan sebagai sebaran peluang kumulatif dari X pada x. Selain itu peluang ini juga merupakan fungsi dari x, ditulis sebagai F (x). Fungsi F yang demikian disebut sebagai fungsi sebaran kumulatif/cumulative distribution function dari peubah acak X, disingkat sebagai cdf Satu dari beberapa konsep yang penting dari sebaran peluang adalah ekspektasi matematis. Kita lihat terlebih dahulu ilustrasi pada contoh berikut ini untuk peubah acak diskret. Contoh 2.5.1 Suatu percobaan melempar sekeping uang logam yang seimbang dua kali. Dari percobaan ini tentunya kita berharap bahwa muka akan muncul sekali. Hasil ini secara matematika dapat kita tulis seperti berikut ini. Kita misalkan peubah acak X sebagai banyak muncul muka. Maka



8



Selanjutnya nilai total dari X dikalikan dengan bobotnya dalam hal ini sama dengan f x( ) adalah



Nilai ini persis sama dengan nilai yang kita harapkan. Oleh karena itu nilai ini disebut sebagai nilai harapan/ekspektasi matematis dari X ditulis sebagai E (X). Karena nilai total dari X dikalikan dengan bobotnya dapat pula dipandang sebagai purata dari X, maka nilai ini disebut juga sebagai purata dari X ditulis sebagai  atau  X. Untuk selanjutnya fungsi pembangkit momen ini ditulis sebagai mgf, yang merupakan singkatan dari moment generating function. Jika tidak menimbulkan kerancuan, yaitu dalam hal kita hanya menghadapi satu peubah acak, maka mgf ini cukup ditulis sebagai M (t) Seperti halnya pada ekspektasi sebelumnya, untuk fungsi pembangkit momen ini berakibat pula bahwa: jika X peubah acak diskret maka



dan jika X peubah acak kontinu maka



Khususnya untuk t  0, kita mempunyai M(0) 1  (mengapa?). Jelas bahwa mgf ada pada kitaran (neighborhood) terbuka dari 0. Oleh karena itu jika mgf ada, maka dia haruslah ada pada selang terbuka sekitar 0. Meskipun demikian mgf dari suatu sebaran tidak selalu ada. C. Beberapa Sebaran Khusus Tujuan instruksional umum dari mempelajari bab ini adalah Anda diharapkan memahami konsep tentang sebaran khusus. Tujuan instruksional khusus mempelajari bab ini adalah Anda diharapkan dapat mengidentifikasi, menentukan ekspektasi, varians, dan fungsi pembangkit momen peubah acak yang bersebaran: Bernoulli, binomial, hipergeometrik, binomial negatif, geometrik, Poisson, seragam, gamma, eksponensial, Weibull, Pareto, dan normal. 9



Anggap suatu percobaan dilakukan sekali dan kita hanya memperhatikan dua kemungkinan kejadian, katakanlah kejadian E dan kejadian . E C Percobaan yang demikian disebut sebagai percobaan Bernoulli. Sebagai contoh E merupakan kejadian muncul muka dan EC kejadian muncul belakang pada percobaan pelemparan sekeping uang logam yang dilakukan sekali. Contoh lainnya adalah E menyatakan kejadian mendapatkan cip rusak dan



E C menyatakan kejadian



mendapatkan cip baik pada percobaan pengambilan satu cip dari suatu pabrik. Secara umum E biasa disebut sebagai kejadian sukses dan E C disebut kejadian tidak sukses atau disebut gagal. Sebaran binomial yang telah kita bahas berpangkal pada percobaan Bernoulli, yang diulang secara bebas sebanyak n kali. Sekarang kita akan membahas percobaan Bernoulli yang diulang berkali-kali sehingga mendapatkan sukses pertama. Pembahasan dari subpokok bahasan ini adalah tentang proses Poisson, yaitu suatu proses untuk mendapatkan sebaran Poisson. Pada prakteknya proses Poisson ini dapat pula digunakan untuk mendeteksi apakah suatu peubah acak mengikuti sebaran Poisson atau tidak. Terdapat dua macam sebaran seragam, yaitu sebaran seragam peubah acak diskret dan sebaran seragam peubah acak kontinu. Kasus pertama disebut sebagai sebaran seragam diskret, dan yang kedua disebut sebaranseragam kontinu. Pembahasan kita awali dengan sebaran seragam diskret. D. SEBARAN BERSAMA DAN SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK Dalam banyak aplikasi kita sering berhadapan dengan lebih dari satu peubah acak, katakanlah X1, X2,…… Xn Secara matematis peubahpeubah acak tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk vektor berdimensi n, yaitu X  (X1, X2, …. Xn)t dan nilai-nilainya dinyatakan sebagai x  (x1, x2, …. xn)t dalam ruang Euclid berdimensi n, t menyatakan transpos vektor. Vektor semacam ini disebut sebagai vektor acak. Peubah-peubah acak X1,



X2, …. Xn mungkin saja



dibangkitkan dari satu peubah acak. Sebagai contoh, misal X menyatakan nilai Statistika Matematis mahasiswa, maka kita dapat memandang X1 sebagai nilai Statistika Matematis mahasiswa pertama, X2 sebagai nilai Statistika Matematis mahasiswa kedua, dan seterusnya sampai mahasiswa ke n. Perlu kita catat bahwa peubah acak berkaitan dengan percobaan yang belum dilakukan. 10



Sedangkan jika kita sudah melakukan percobaan, maka yang kita peroleh adalah nilai dari peubah acak, yaitu x , atau X1, X2, …. Xn Tujuan instruksional umum dari mempelajari bab ini adalah Anda diharapkan memahami konsep sebaran bersama dan sifat-sifat peubah acak. Tujuan instruksional khusus mempelajari bab ini adalah Anda diharapkan dapat menentukan: pdf bersama, cdf bersama, ekspektasi, varians, mgf, pdf marginal, cdf marginal, pdf bersyarat, ekspektasi bersyarat, varians bersyarat, kovarians, koefisien korelasi, kebebasan peubah acak, sampel acak, dan transformasi peubah-peubah acak. E. STATISTIK DAN SEBARAN SAMPEL Pada Bab ini kita akan membahas fungsi dari peubah acak berkaitan dengan sebarannya, yang disebut sebaran turunan (derived distribution) atau sebaran sampel (sampling distribution). Tujuan instruksional umum dari mempelajari bab ini adalah Anda diharapkan memahami konsep tentang sebaran sampel. Tujuan instruksional khusus mempelajari bab ini adalah Anda diharapkan dapat menentukan: statistik, statistik urutan, sebaran multivariat normal, khi kuadrat, t, F, dan . F. SEBARAN BATAS Pada bab sebelumnya kita telah melihat bahwa statistik urutan, khususnya statistik urutan terkecil, Y1=X1,1, dan statistik urutan terbesar, Yn= Xn,n , masing-masing cdf-nya bergantung pada n . Permasalahan yang muncul adalah apakah untuk n mendekati tak hingga cdf ini konvergen ke suatu cdf. Secara umum jika kita mempunyai n peubah acak X1, X2,…… Xn, maka kita dapat melihat fenomena berikut ini.



G. TEORI PENDUGAAN



11



Pada bab-bab sebelumnya kita telah membahas pengembangan dari konsep peluang dan peubah acak untuk membangun model matematika dari fenomena alam. Karakteristik numerik tertentu dari fenomena alam menjadi perhatian kita, tetapi nilainya tidak dapat dihitung langsung. Malahan kita mungkin mengamati satu atau lebih peubah acak, yang sebarannya bergantung pada karakteristik tertentu. Tujuan kita dalam bab selanjutnya adalah mengembangkan metode untuk menganalisis nilai pengamatan dari peubah acak untuk mendapatkan informasi tentang karakteristik yang tidak diketahui. Dalam beberapa kasus adalah mungkin untuk mendapatkan suatu model khusus berdasarkan pada anggapan atau pengetahuan tentang populasi. Lebih sering, kita tidak dapat mengetahui spesifikasi pdf secara lengkap, tetapi mungkin hanya menganggap bahwa f (x ,) adalah suatu anggota dari beberapa keluarga sebaran yang diketahui (seperti normal, gamma, Poisson) dan bahwa  adalah parameter yang tidak diketahui seperti purata atau varians dari suatu sebaran. Tujuan instruksional umum dari mempelajari bab ini adalah Anda diharapkan memahami teori pendugaan dari parameter  berdasarkan data pengamatan suatu populasi. Tujuan instruksional khusus dari mempelajari bab ini adalah Anda diharapkan dapat menentukan: penduga menggunakan metode momen, penduga menggunakan metode kemungkinan maksimum, penduga takbias, batas bawah Rao-Cramer, penduga efisien, keefisienan penduga, MVUE, selang kepercayaan dua sisi suatu parameter, selang kepercayaan satu sisi suatu parameter, selang kepercayaan parameter untuk permasalahan dua sampel dan penduga Bayes. Anggap bahwa sebaran dari populasi dapat dinyatakan dengan anggota dari beberapa keluarga pdf, f (x ,). Kita misalkan  sebagai ruang parameter, yaitu semua nilai yang mungkin dari parameter . Dan misal X1, X2, …. Xn sampel acak dari sebaran dengan pdf f (x ,) , dan bahwa  ( ) adalah fungsi dari . H. UJI HIPOTESIS Dalam



banyak



pertanyaanpertanyaan



kegiatan di



seringkali



antaranya



seperti



kita



berhadapan



berikut:



Apakah



dengan metode



pembelajaran yang baru lebih baik dibandingkan dengan metode yang sudah ada? Apakah obat tertentu lebih efektif dibandingkan dengan obat yang lain? 12



Apakah komponen listrik tertentu lebih tahan lama dibandingkan dengan komponen yang lain? Diperlukan suatu percobaan untuk menjawab pertanyaanpertanyaan tersebut. Permasalahan ini dalam Statistika disebut sebagai uji hipotesis. Tujuan instruksional umum dari mempelajari bab ini adalah Anda diharapkan memahami pengujian suatu hipotesis. Tujuan instruksional khusus dari mempelajari bab ini adalah Anda diharapkan dapat menentukan: definisi suatu hipotesis, daerah kritis suatu uji, daerah kritis yang lebih baik, nilai peluang galat jenis I, nilai peluang galat jenis II, definisi fungsi kuasa, hubungan nilai peluang galat jenis I, nilai peluang galat jenis II, dan fungsi kuasa, uji hipotesis untuk purata jika simpangan baku diketahui, uji hipotesis untuk purata jika simpangan baku tidak diketahui, uji hipotesis untuk varians, uji hipotesis untuk nisbah dua varians, uji hipotesis untuk selisih dua purata, uji terkuasa, uji paling kuasa seragam, dan uji nisbah kemungkinan.



2.1.1. DISTRIBUSI PELUANG Dalam sebuah peubah acak diskrit, nilai-nilai yang mungkin dari peubah acaknya merupakan bilangan bulat. Seperti pada teladan 4 nilai-nilai dari X adalah 0,1 atau 2. Akan tetapi, dalam soalnya mungkin saja ada yang bertanda negative. Kemudian kita dapat menghitung nilai peluang dari masing-masing nilai peubah acak tersebut., dengan sebelumnya diasumsikan lebih dahulu nilai peluang untuk masing-masing titik sampel dalam ruang sampel S. Nilai peluang dari peubah acak yang berharga tertentu diperoleh berdasarkan nilai peluang dari titik-titik sampelnya. Apabil nilai peluang dari peubah acak tersebut memenuhi persyaratan tersebut tertentu, maka nilai peluang tersebut dinamakan fungsi peluang. Berikut ini kita akan menjelaskan definisi fungsi peluang. Definisi B.1 : FUNGSI PELUANG Jika X adalah peubah acak diskrit, maka p(x) = P(X=x) untuk setiap x dalam range X dinamakan fungsi peluang dari X. Nilai fungsi peluang dari X, yaitu p(x) harus memenuhi sifat-sifat sebagai berikut. a. p(x) ≥ 0 b. Σ𝑥 (𝑥) = 1



13



Adapun kumpulan pasangan yang diurutkan { x, p(x) } dinamakan distribusi peluang dari X. Bentuk umum dari fungsi peluang ada dua kemungkinan, yaitu berupa konstanta dan berupa fungsi dari nilai peubah acak.  Fungsi peluang berupa konstanta bisa terdiri atas satu nilai atau lebih dari satu nilai.Fungsi peluang berupa konstanta yang terdiri atas satu nilai artinya untuk setiap nilai peubah acak yang diberikan, maka nilai fungsi peluangnya sama. Misalnya fungsi peluang dari peubah acak Y berbentuk: P(y) = ¼ ; y = -1,0,1,2.  Fungsi peluang berupa konstanta yang terdiri atas lebih dari satu nilai artinya untuk setiap nilai peubah acak yang diberikan masing-masing mempunyai nilai fungsi peluangnya. Misalnya fungsi peluang dari peubah acak X berbentuk : p(x) = 1/3; x = 2, p(x) = 1/3; x = 3, p(x) = ¼; x = 4, p(x) = 1/12; x = 5  Fungsi peluang berupa fungsi dari nilai peubah acak (FPBF) sebenarnya sama dengan funsi peluang berupa konstanta yang terdiri atas lebih dari satu nilai (FPBK), hanya bedanya FPBF ditulis secara umum dan berlaku untuk nilai peubah acak tertentu sedangkan FPBK ditulis satu per satu yang berlaku untuk masing-masing nilai peubah acaknya. Misalnya fungsi peluang dari peubah acak X berbentuk : p(x) = x/15; dimana x = 1,2,3,4,5 Definisi B.2 : FUNGSI DENSITAS Misalnya X adalah peubah acak kontinu yang didefinisikan dalam himpunan bilangan real. Sebuah fungsi disebut fungsi densitas dari X, jika nilainilainya yaitu f(x) memenuhi sifat-sifat sebagai berikut : a. f(x) ≥ 0; untuk x ∈ (−∞, ∞) ∞



b. ∫ f (x)dx=1 −∞



c. Untuk setiap a dan b, dimana −∞ < 𝑎 < 𝑏 < ∞, maka a



𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) =∫ f (x )d x b



Sifat (c) diatas menunjukkan penghitungan peluang dari peubah acak kontinu X yang mempunyai nilai dari a sampai b.



14



Dalil B.1 : PELUANG PEUBAH ACAK KONTINU BERBENTUK INTERVAL Jika X adalah peubah acak kontinu serta a dan b adalah dua konstanta real, dengan a < b, maka : 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏)



Bukti : a



Jika A = {x : x = a}, maka P(A) = P(X∈A) = P(X=a) =∫ f ( x )d x=0 a



b



Jika A = {x : x = b}, maka P(B) = P(X∈B) = P(X=b) =∫ f ( x )d x=0 b



Berdasarkan hasil diatas, kita akan membuktikan : a. (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = (𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) b. (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = (𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) c. (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = (𝑎 < 𝑋 < 𝑏) d. (𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = (𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) e. (𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = (𝑎 < 𝑋 < 𝑏) f. (𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = (𝑎 < 𝑋 < 𝑏)



Pembuktiannya bisa dilihat dibawah ini : a. (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = (𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) + 𝑃(𝑋 = 𝑏) = (𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) + 0 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖. b. (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = (𝑋 = 𝑎) + 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 0 + (𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖. c. (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = (𝑋 = 𝑎) + 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) + 𝑃(𝑋 = = 0 + (𝑎 < 𝑋 < 𝑏) + 0 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖. d. (𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = (𝑋 = 𝑎) + 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) − 𝑃(𝑋 = 𝑏) = 0 + (𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) − 0 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖. e. (𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = (𝑋 = 𝑎) + 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) 15



= 0 + (𝑎 < 𝑋 < 𝑏) 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖. f. (𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = (𝑎 < 𝑋 < 𝑏) + 𝑃(𝑋 = 𝑏) = (𝑎 < 𝑋 < 𝑏) + 0 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖. Grafik dari fungsi densitas berupa sebuah kurva atau sebuah garis atau bahkan kombinasi keduanya, yang penggambarannya disesuaikan dengan bentuk fungsi densitasnya.



2.1.2. FUNGSI DISTRIBUSI Apabila kita mempunyai distribusi peluang dari sebuah peubah acak diskrit, maka kita bisa menghitung peluang dari peubah acak tersebut yang berharga tertentu. Nilai peluang dari peubah acak tersebut bisa mempunyai beberapa kemungkinan yaitu : a. (𝑋 < 𝑎) b. (𝑎 < 𝑋 < 𝑏) c. (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) d. (𝑋 > 𝑏) e. (𝑋 ≥ 𝑏) f. (𝑋 ≤ 𝑎) g. (𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) h. (𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) Dengan a dan b adalah dua buah konstanta. Jika kita memperhatikan bentuk (𝑋 ≤ 𝑎), maka bentuk umumnya ditulis 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥). Bentuk (𝑋 ≤ 𝑥) dinamakan fungsi distribusi kumulatif atau fungsi distribusi saja. Definisi C.1 : FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF Misalnya X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Kita mendefinisikan F sebagai fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak X, dengan: 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)



Definisi C.2 : FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF DISKRIT Misalnya X adalah peubah acak diskrit,maka fungsi distribusi kumulatif ( pt ) dari X berbentuk: 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =∑ t≤x 16 Dengan p(t) adalah fungsi peluang dari X di t



Pada pembahasan selanjutnya, fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak diskrit akan dinyatakan sebagai fungsi distribusi saja. Jika peubah acak X mempunyai nilai-nilai yang banyaknya berhingga yaitu x 1, x2, x3,…xn dan masingmasing mempunyai peluangnya p(x1), p(x2), p(x3),….,p(xn), maka fungsi distribusinya ditentukan sebagai berikut. F(x) = 0 ; 𝑥 < 𝑥1 = p(x1) ; 𝑥1 ≤ 𝑥 < 𝑥2 = p(x1) + p(x2) ; 𝑥2 ≤ 𝑥 < 𝑥3 = p(x1) + p(x2) + p(x3) ; 𝑥3 ≤ 𝑥 < 𝑥4 = p(x1) + p(x2) + p(x3) + … + p(xn) = 1 ; 𝑥𝑛 ≤ 𝑥 Jika kita memperhatikan bentuk fungsi distribusi diatas, maka nilainya berupa konstanta semua untuk setiap interval nilai x yang diberikan. Seperti halnya fungsi peluang atau distribusi peluang dan fungsi densitas, fungsi distribusi jug adapt digambarkan grafiknya. Dalam hal ini, grafik fungsi distribusi dari peubah acak diskrit berupa fungsi tangga. Definisi C.3 : FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF KONTINU Misalnya X adalah peubah acak kontinu,maka fungsi distribusi kumulatif dari X berbentuk: x



𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ f (t) dt −∞



Dengan f(t) adalah nilai fungsi densitas dari X di t Pada pembahasan selanjutnya, fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak kontinu akan dinyatakan sebagai fungsi distribusi saja. Nilai fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu biasanya berupa konstanta dan fungsi. Grafik fungsi distribusinya berupa kombinasi dari beberapa kemungkinan berikut ini : garis lurus, garis yang sejajar dengan sumbu datar, garis yang berimpit dengan sumbu datar dan sebuah kurva. Jadi grafik fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu mempunyai beberapa kemungkinan diantaranya sebagai berikut : 1.



Grafiknya berupa garis yang berimpit dengan sumbu datar dan kurva. 17



2.



Grafiknya berupa garis yang berimpit dengan sumbu datar, garis lurus dan garis yang sejajar dengan sumbu datar.



3.



Grafiknya berupa garis yang berimpit dengan sumbu datar, kurva, dan garis yang sejajar dengan sumbu datar. Hal yang perlu diperhatikan pada fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu



adalah penulisan notasinya. Karena dari definisi fungsi distribusi notasi yang digunakannya adalah F, notasi untuk fungsi distribusinya tidak selalu dengan F. Notasi untuk fungsi distribusinya bisa ditulis dengan huruf besar F,G, H atau lainnya yang diikuti dengan nilai peubah acaknya dan sebaiknya disesuaikan dengan notasi fungsi densitasnya. Apabila fungsi densitas dari peubah acak Y dinotasikan dengan g(y) maka notasi untuk fungsi distribusinya sebaiknya digunakan G(y). Kita sudah menjelaskan bahwa penghitungan peluang dari peubah acak yang mempunyai nilai dalam bentuk interval dapat dilakukan berdasarkan fungsi peluang atau fungsi densitas. Selain itu, nilai peluang tersebut, baik peubah acak diskrit maupun kontinu, dapat diperoleh berdasarkan fungsi distribusi. Hal ini bisa dilakukan dengan menggunakan rumus : 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) Dimana, a dan b adalah dua bilangan real a < b. Adapun penghitungan peluang dari peubah acak yang berharga satu nilai dapat dilakukan dengan menggunakan rumus : 𝑃(𝑋 = 𝑏) = 𝐹𝑥 (𝑏) − 𝐹𝑥 (𝑏−) A. Peubah Acak Diskrit Misalnya bilangan real t terletak dalam interval (b-h, b] yaitu b-h < t ≤ b, dengan h adalah bilangan positif. Apabila nilai h menuju nol, maka interval tersebut akan menuju ke satu nilai, yaitu t = b, dan ditulis : lim P(b−h< X ≤ b)=¿ lim [F x (b)−F x (b−h)]=F x (b)−F x ¿ ¿



h→∞



h→∞



Jadi, jika b adalah nilai diskontinu dari F x maka b adalah nilai dari peubah acak X dengan peluangnya positif. Peluang bahwa X = b merupakan ukuran loncatan pada Fx(b). Jadi, langkah-langkah untuk menentukan fungsi peluang berdasarkan fungsi distribusi adalah sebagai berikut: 1.



Tentukan nilai-nilai peubah acak X yang menyebabkan fungsi distribusi Fx(x) diskontinu. 18



2.



Tentukan peluang untuk setiap nilai x yang diskontinu, dengan rumus: (𝑋 = X 0) = F x (𝑥0) − F x (𝑥0−)



𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎, X 0𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑏𝑢𝑎ℎ 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑛𝑦𝑒𝑏𝑎𝑏𝑘𝑎𝑛 F x 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢. B. Peubah Acak Kontinu Dalil C.1 : PENENTUAN FUNGSI DENSITAS Jika f(x) dan F(x) masing-masing merupakan fungsi densitas dan fungsi distribusi dari peubah acak X di x, maka ; 𝑓(𝑥) =



d F(x ) dx



Apabila hasil turunanya ada.



19



BAB III PEMBAHASAN ANALISIS 3.1. Pembahasan Isi Buku 1.



Pembahasan Peubah Acak Kontinu Pembahasan bab IV pada buku utama



tentang Distribusi Peubah Acak dan



Penerapannya . khususnya pembahasan peubah acak kontinu. Misalnya X adalah peubah acak. Jika nilai-nilai yang mungkin dari X (yaitu ruang hasil Rx) merupakan hasil interval pada garis bilangan real, maka X dinamakan peubah acak kontinu. Misalnya X adalah peubah acak kontinu yang didefinisikan dalam humpunan bilang real. Sebuah fungsi disebut fungsi densitas dari X, jika nilai-nilainya, yaitu f(x), memenuhi sifat-sifat sebagai berikut . i.



f ( x ) ≥0 ; untuk x ∈(−∞ , ∞) ∞



ii.



∫ f ( x ) dx=1 −∞



iii.



Untuk setiap a dan b , dengan−∞< a 0 peubah '



x ≤x



seperti itu disebut diskrit. X disebut peubah acak lontinu (mutlak) (bermatra 1) bila f.d. F X ( x ) dapat dinyatakan sebagai x



F X ( x ) =∫ f x ( y ) dy (−∞ < x 0 :∀ x ∈(−∞ ,+ ∞) untuk p.a. diskrit '



x ≤x



x



¿ ∫ f x ( y ) dy ;−∞< x 𝑏) e. (𝑋 ≥ 𝑏) f. (𝑋 ≤ 𝑎) g. (𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) h. (𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) Dengan a dan b adalah dua buah konstanta. Jika kita memperhatikan bentuk (𝑋 ≤ 𝑎), maka bentuk umumnya ditulis 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥). Bentuk (𝑋 ≤ 𝑥) dinamakan fungsi distribusi kumulatif atau fungsi distribusi saja. Definisi C.1 : FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF Misalnya X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Kita mendefinisikan F sebagai fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak X, dengan: 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)



Definisi C.2 : FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF DISKRIT Misalnya X adalah peubah acak diskrit,maka fungsi distribusi kumulatif ( pt ) dari X berbentuk: 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =∑ t≤x Dengan p(t) adalah fungsi peluang24 dari X di t



Definisi C.3 : FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF KONTINU Misalnya X adalah peubah acak kontinu,maka fungsi distribusi kumulatif dari X berbentuk: x



𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ f (t) dt −∞



Dengan f(t) adalah nilai fungsi densitas dari X di t Buku kedua menyatakan  0 ≤ F ( x ) ≤ 1, karena 0 ≤ P ( X ≤ x ) ≤ 1  - F ( x )adalah fungsi tidak turun di x . Artinya jika x ' < x '' , maka F ' ( x )< F ' ' ( x ) . F ( x )=1 dan F (−∞ )=¿ lim F ( x )=0 ¿  F ( ∞ ) =lim x →∞ x→−∞ 



F ( x )kontinu kanan pada setiap nilai x



;



Jika f ( x ) dan F ( x ) masing-masing merupakan fungsi densitas dan fungsi distribusi dari perubahan acak X di x, maka ; f ( x )=



d F ( x) dx



Apabila hasil turunannya ada, Pada buku ketiga Definisi : Jika X adalah peubah acak diskrit, fungsi distribusinya (disebut dengan fungsi distribusi kumulatif) didefinisikan dengn F ( x )=P ¿ peubah acak kontinu Sifat-sifat f X ( x ) : 1.



f X ( x ) tidak turun yaitu : f X ( x ) ≤ f X ( y ) untuk x ≤ y



f X ( x )=0 dan f X ( +∞ ) ≡ lim f X ( x )=1 2. f X (−∞ ) ≡ Xlim →−∞ X →+∞ f X ( x +h )=f X ( x ) ; ∀ x 3. f X ( x ) kontinu dari kanan yaitu :≡ lim h↓0 Jika X diskrit maka f X ( x ) disebut fungsi peluang 1. p ( x i) ≥ 0 ; ∀ xi ∞



2.



∑ p( xi )=1 i=1



Berdasarkan pernyataan ketiga buku tersebut, Maka penulis menyimpulkan Misal X suatu peubah acak. Maka untuk sebarang bilangan real x fungsi F sehingga 25



F(x) P(X x), disebut fungsi sebaran kumulatif. Untuk selanjutnya fungsi sebaran kumulatif ditulis sebagai fungsi sebaran. Akibat langsung dari definisi di atas adalah:



Suatu fungsi F adalah suatu cdf dari peubah acak X jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat:



4.



Pembahasan Nilai Ekspektasi Didalam buku utama menyatakan



Definisi 6.1: Nilai Ekspektasi Diskrit Jika X adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluangnya di x adalah p(x) dan u(X) adalah fungsi dari X, maka nilai ekspektasi dari u(X), dinotasikan dengan E[u(X)], didefinisikan sebagai: E [ u ( X ) ]=∑ u ( x ) . p( x ) x



Definisi 6.2: Nilai Ekspektasi Kontinu Jika X adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi densitasnya di x adalah f(x) dan u(X) adalah fungsi dari X, maka nilai ekspektasi dari u(X), dinotasikan dengan E[u(X)], didefinisikan sebagai: ∞



E [ u ( X ) ] = ∫ u ( x ) . f ( x ) dx −∞



26



Pada buku kedua bagi suatu p.a. X disedifinisikan harapannya [EX atau E(X)] ∞



sebagai E( X)=∫ xf X . ( x ) dx ¿ −∞



Bila X kontinu mutlak dengan fungsi padat f X ( x ) [ bila X diskret dengan fungsi peluang p X ( x) ] asal saja integral (jumlah) ini ada dan terhingga. Bagi X suatu p.a., maka harapan dari p.a. g(X) ada jika dan hanya jika ∞



∫ |g ( x)|f X . ( x ) dx< ∞bila X mutlak [∑ |g ( x )i| p X ( x i ) 0. Untuk selanjutnya fungsi pembangkit momen ini ditulis sebagai mgf, yang merupakan singkatan dari moment generating function. Jika tidak menimbulkan kerancuan, yaitu dalam hal kita hanya menghadapi satu peubah acak, maka mgf ini cukup ditulis sebagai M(t). Seperti halnya pada ekspektasi sebelumnya, untuk fungsi pembangkit momen ini berakibat pula bahwa: jika X peubah acak diskret maka:



29



Berdasarkan pernyataan ketiga buku tersebut, penulis menyimpulkan bahwa, Harapan matematis yang disebut fungsi pembangkit momen secara unik/tunggal menentukan distribusi peubah acak. Fungsi pembangkit momen dari peubah acak X didefinisikan berikut ini:



Misalkan X peubah acak kontinu, fungsi pembangkit momen dari X adalah ∞



M X ( t )=E ( e tX ) =∫ etX f ( x) dx . −∞



asalkan ekspektasi ada untuk t disekitar 0. Jika momen dari X tidak ada, maka fungsi pembangkit momen juga tidak ada. Fungsi pembangkit momen berkaitan dengan pembangkit peluang M X ( t )=G X ( e t ) asalakan G X ( t) ada untuk t disekitar 1. Jika M X ( t ) adalah fungsi pembangkit peluang maka M X ( 0 ) =1.



3.2. Kelebihan dan Kelemahan Buku Kelebihan Buku Pertama Buku pertama memiliki banyak kelebihan dengan pembahasan materi yang sangat luas terdiri dari 11 bab . Menggunakan penjelasan dan rumus yang mudah dipahami oleh pembaca. Penjabaran mengenai rumus-rumus statistika matematika sangat terperinci sehingga dapat menjadi referensi bagi seorang pembaca yang membacanya. Contoh-contoh yang diberika pada setiap sub bab mempermudah pembaca untuk lebih memahami materi dengan menerapkannya pada soal latihan yang sudah tertera didalamnya. Langkah-langkah pengerjaan contoh soal yang tertulis sangat jelas beserta cara menggunakan rumus dari definisi-definisi. Mencantum gambar untuk materi yang membutuhkan gambaran nyata sehingga pembaca merasa lebih tertarik. Pada setiap akhir bab buku ini terdapat rangkuman materi agar pembaca lebih memahami inti dari setiap materi yang ia pelajari. Memberikan banyak soal-soal latihan 30



agar pembaca dapat lebih memahami setiap materi yang dibacanya. Buku ini juga mencantumkan kunci jawaban pada setiap latihan yang diberikan, tanpa ada jalan penyelesaiannya sehingga pembaca harus mencari jalan penyelesaiannya dengan patokan jawaban pada kunci.



Kelebihan Buku Kedua Buku kedua ini memiliki banyak kelebihan di antaranya : Pembahasan materi pada buku kedua ini terdiri dari 15 bab sangat lengkap sesuai dengan kebutuhan pada pembelajaran statistika matematika.



Memberikan banyak contoh dengan langkah-



langkah yang sangat mudah dipahami oleh pembaca walupun buku ini translatin dengan bahasa yang sulit dipahami dari buku aslinya yang berbahasa inggris. Penjelasan pada setiap materi sangat lengkap dan terperinci.



Buku ini juga



dilengkapi oleh tabel-tabel statistik untuk membantu pembaca karena tidak semua buku menyediakan tabel statistik sehingga pembaca harus mencarinya secara terpisah. Banyak memberika latihan-latihan agar lebih mudah memahaminya dan kunci jawaban bagi soal yang tergolong sulit.



Memiliki kamus lambang yang mendukung dalam



pemahaman dalam membaca buku ini.



Kelemahan Buku Kedua Kekurangan dalam buku kedua ialah : 1. Bahasa terjemahan dari buku aslinya banyak yang tidak selaras atau sulit untuk dipahami oleh pembaca yang tidak berasal dari jurusan matematika murni.



Kelebihan Buku Ketiga Buku ketiga ini memiliki



kelebihan di antaranya : Pembahasan materi yang



terdapat di dalam bab lengkap terdiri dari 8 bab sesuai dengan kebutuhan pembaca yang mempelajari statistika matematika. Bahasa yang digunakan sangat mudah dipahami oleh pembaca. Penulis juga memberika beberapa contoh dan latihan-latihan agar pembaca lebih mudah memahaminya isi materinya Di setiap akhir bab, penulis selalu memberikan rangkuman materi atau catatan yang telah dibahas sehingga mempermudah pembaca dalam memahami materi yang dibacanya.



31



Kelemahan Buku Ketiga Kelemahan dalam buku ketiga ini ialah : 1.



Hanya sedikit memberikan penjelasan materi dengan kata-kata tetapi hanya langsung pada pembahasan rumus-rumus.



2.



Banyak terjadi kesalahan menuliskan rumus-rumus.



3.



Memberika contoh yang sangat terbatas pada setiap babnya.



4.



Pada isi bab yang terdapat dalam buku tidak selengkap pembahasan pada bab buku utama dan kedua sehingga bagi pembaca akan mencari referensi lain untuk mencari kekurangan materi tersebut.



BAB IV PENUTUP 4.1. Kesimpulan Buku pertama, kedua dan ketiga ini sudah sangat baik untuk menjadi referensi bagi pembaca yang mempelajari tentang statistika matematika Kelebihan dari buku pertama dan kedua didalam sangat luas pembahasannya. Contoh yang diberikan sangat 32



jelas langkah-langkah dalam menyelesaikannya yang dipaparkan oleh penulis, sehingga mudah untuk diterapkan dalam mengerjakan latihan soal-soal. Pada setiap akhir bab buku ini terdapat rangkuman materi agar pembaca lebih memahami inti dari setiap materi yang ia pelajari. Memberikan banyak soal-soal latihan agar pembaca dapat lebih memahami setiap materi yang dibacanya. Buku ini juga mencantumkan kunci jawaban pada setiap latihan yang diberikan, tanpa ada jalan penyelesaiannya sehingga pembaca harus mencari jalan penyelesaiannya dengan patokan jawaban pada kunci. Buku kedua memiliki kelebihan dengan membahasan materi yang terdapat di dalam bab sangat lengkap sesuai dengan kebutuhan pada pembelajaran statistika matematika.



Memberikan contoh dengan langkah-langkah yang sangat mudah



dipahami oleh pembaca. Banyak memberika latihan-latihan agar lebih mudah memahaminya.



4.2. Saran Penulisan buku pertama,



kedua dan ketiga sudah sangat baik dari



pembahasannya materi statistika matematika. Meskipun begitu bahkan seorang ahli pun tetap memerlukan kritik dan saran yang membangun untuk kepenulisan buku berikutnya. Menurut saya sebagai pembaca, buku ketiga ini akan lebih bagus lagi jika setiap setiap pembahasan rumus diberikan kata-kata yang menjelaskan rumus tersebut, langkah-langkah yang jelas dan contoh yang relevan untuk lebih mudah memahaminya materi serta memberbanyak memberikan contoh dab latihan. Penulis banyak berharap kepada para pembaca untuk memberikan kritik dan saran yang membangun kepada penulis demi sempurnanya karya tulis ilmiah ini dan penulisan karya-karya tulis ilmia di kesempatan – kesempatan berikutnya. Semoga tugas ini berguna bagi penulis dan khususnya juga bagi para pembaca



DAFTAR PUSTAKA



Herrhyanto Nar & Gantini Tuti. 2013. Pengantar Statistika Matematika. Yramada Widya. Bandung. J Dudewicz Edward / N Mishra Satya. 1995. Statistika Matematika Modern. ITB. Bandung. 33



Syahputra Edi . 2013. Statistika Matematika. Unimed Press. Medan.



34