Ukuran Variansi Rentang Antar Kuartil Rata Rata Simpangan Dan Simpangan Baku [PDF]

Citation preview

UKURAN VARIANSI



1. Uji Kesamaan Beberapa Varians Analisa ragam (analysis of varianc) atau yang lebih dikenal dengan istilah anova adalah suatu teknik untuk menguji kesamaan beberapa rata-rata secara sekaligus. Uji yang dipergunakan dalam anova adalah uji f karena dipakai untuk pengujian dari 2 sampel. Anova dapat digolongkan ke dalam beberapa kriteria, yaitu : 1.



Klasifikasi 1 arah ANOVA klasifikasi 1 arah merupakan ANOVA yang didasarkan pada pengamatan 1 kriteria.



2.



Klasifikasi 2 arah ANOVA klasifikasi 2 arah merupakan ANOVA yang didasarkan pada pengamatan 2 kriteria.



3.



Klasifikasi banyak arah ANOVA banyak arah merupakan ANOVA yang didasarkan pada pengamatan banyak kriteria. Model anova dua arah (two-way anova) yang didalamnya hanya ada



satu observasi setiap ruang lingkup sering diartikan sebagai randomized block design, karena adanya tipe khusus dalam penggunaan model ini. Dalam anova, penggabungan kelompok-kelompok disebut blocks, dan karena kejadian individual atau tunggal ditentukan secara random yang didasarkan atas identifikasi keanggotaan blocks, bentuknya dikaitkan dengan randomized blocks design. Suatu bentuk dimensi blocks sedemikian itu bukan merupakan suatu dimensi perlakuan atau klasifikasi (treatment). Sifat obyektif penggunaan bentuk ini tidak hanya khusus untuk tujuan pengujian suatu efek atau pengaruh blocks, akan tetapi ada kemungkinan untuk menentukan suatu variabilitas diantara subyek-subyek terhadap prestasi prior, misalnya, MSE dapat direduksi dan pengujian yang dihasilkan dari efek A adalah lebih sensitip.



0



1. Pengujian Klasifikasi Dua Arah Tanpa Interaksi Menurut M. Iqbal Hasan (2003), pengujian klasifikasi dua arah tanpa interaksi merupakan pengujian hipotesis beda tiga rata-rata atau lebih dengan dua faktor yang berpengaruh dan interaksi antara kedua faktor tersebut ditiadakan. 2. Analisis Varian Dua Arah Dengan Interaksi Menurut Haryono Subiyakto (1994) tiga hipotesis nol yang berbeda dapat diuji dengan anova dua arah dengan interaksi (two-way analysis of variance with interaction, n observations per cell), yaitu: tidak ada efek kolom (perbedaan rata-rata kolom tidak signifikan), tidak ada efek baris (perbedaan rata-rata baris tidak signifikan), dan tidak ada interaksi diantara dua faktor baris dan kolom (dua faktor independen). Suatu efek interaksi yang signifikan menunjukkan bahwa efek klasifikasi bagi suatu faktor berubah-ubah sesuai dengan tingkat-tingkat yang lain. Dalam suatu kasus demikian, keberadaan kolom dan atau baris mengakibatkan kemungkinan tidak berartinya hasil-hasil riset. 3.



Pengujian Klasifikasi Dua Arah Dengan Interaksi Menurut M. Iqbal Hasan (2003) pengujian klasifikasi dua arah dengan interaksi merupakan pengujian beda tiga rata-rata atau lebih dengan dua faktor yang berpengaruh dan pengaruh interaksi antara kedua faktor tersebut diperhitungkan. Uji ini untuk melihat kesamaan varians dari beberapa populasi yang



berdistribusi normal. Uji ini diperlukan karena beberapa metoda statistik memerlukan adanya asumsi kesamaan varians sebagai salah satu syarat dapat digunakannya metoda statistik tersebut sebagai metoda analisa seperti penggunaan uji-F pada metoda ANOVA. Selain uji Bartlett, anda dapat gunakan uji Levene untuk melihat kesamaan varians dari beberapa populasi. Uji Levene akan dibahas pada sesi tulisan yang lain. Hipotesa yang digunakan pada uji Bartlett adalah sebagai berikut:



1



k = banyaknya sampel yang akan dianalisa n = jumlah seluruh observasi dari K sampel yang akan dianalisa ni = jumlah observasi pada sampel ke-i



2



Keputusan:



Ho diterima Karena B < Χ2(0,05 ; 2) .



Varians ketiga populasi tersebut adalah sama dengan tingkat keyakinan sebesar 95%.



RENTANG, RENTANG ANTAR KUARTIL



3



Sebagaimana telah dikemukakan pada bab III, rentang adalah selisih antara data terbesar dengan data terkecil, sehingga istilah rentang erat kaitannya dengan bidang-bidang lain di luar statistika. Perlu diingat kembali rumus rentang dinyatakan R  data terbesar  data terkecil . Karena mudah dihitung, rentang banyak digunakan dalam cabang lain di luar statistika, misalnya keuangan, industri, perbankan dan bidang-bidang lainnya. Rentang antar kuartil (RAK) juga mudah dalam menentukannya. Rentang antar kuartil merupakan selisih antara kuartil ke-3 (K 3 ) dengan kuartil ke-1 ( K 1 ) . Secara sederahan rentang antar kuartil dinyatakan dengan rumus RAK  K 3  K 1



Simpangan kuartil atau deviasi kuartil atau disebut juga rentang semi antar kuartil dan merupakan setengah dari rentang antar kuartil, sehingga Simpangan Kuartil 



1 SK 2



sehingga: SK 



K 3  K1 2



Contoh Nilai 10 mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika di Jurusan Pendidikan Matematika IKIP Budi Utomo Malang adalah sebagai berikut: 56, 76, 34, 59, 62, 56, 68, 60, 73, dan 81. Berdasarkan data dimaksud diperoleh



4



1. Rentang (R)



= data terbesar – data terkecil = 81 – 34 = 47



2. Rentang antar Kuartil (RAK) = K 3  K 1 Berdasarkan definisi kuartil diperoleh: Letak K i = data ke



i (n  1) dengan i = 1, 2, 3 4



sehingga: Letak K 1 pada ke



1(10  1) 3 yaitu data ke 2 atau data ke 2 dan ke 3, 4 4



3 4



jauh dari data ke 2. Nilai K 1 = data ke 2 + = 56 +



3  data ke 3  data ke 2 4



3 (56  56) 4



Nilai K 1 =56 Letak K 2 pada ke



2(10  1) 1 yaitu data ke 5 atau data ke 5 dan ke 6, 4 4



jauh dari data ke 5. Nilai K 2 = data ke 5 + = 60 + Nilai K 2 = 60



1  data ke 6  data ke 5 4



1 (62  60) 4



1 2



5



1 4



Letak K 3 pada ke



3(10  1) 1 yaitu data ke 8 atau data ke 8 dan 9, 4 4



jauh dari data ke 8. Nilai K 3 = data ke 8 + = 73 + Nilai K 3 = 73



1  data ke 9  data ke 8 4



1 (76  73) 4 1 4



sehingga RAK = K 3  K 1 = 73



1  56 4



= 17



1 4



3. Simpangan Kuartil (SK) =



1  RAK  2



=



1 1  17  2 4



=8



5 8



RATA RATA SIMPANGAN DAN SIMPANGAN BAKU



6



1 4



Barangkali ukaran simpangan yang paling banyak digunakan dalah Simpangan baku atau deviasi standar. Simpangan baku data sampel disimbul dengan s, sedangkan untuk populasi diberi simbul  (baca : sigma). Jika kita mempunyai sampel berukuran n dengan data x1, x2, . . . , xn dan ratarata



x



( x i  x ) 2 n 1



, maka statistik s dihitung dengan: s =



Pangkat dua dari simpangan baku dinamakan varians. Simpangan baku s dihitung sebagai berikut 1). Hitung rata-rata



x



2). Tentukan selisih x1 -



x



, x2 -



x



, . . . , xn -



x



3). Tentukan kuadrat selsisih tersebut, yakni (x1 x



x



)2, (x2 -



x



)2, . . . , (xn -



)2



4). Kuadrat-kuadrat tersebut dijumlahkan 5). Jumlah tersebut dibagi oleh (n – 1) 6). Lalu diambil akarnya yang positif.  Contoh : Diberikan sampel dengan data : 8, 7, 10, 11, 4. Untuk menentukan simpangan baku s, kita buat tabel berikut: xi - x 0



(xi - x )2 0



7



-1



1



10



2



4



Rata-rata x = 8, dari kolom (2), bahwa  (xi - x ) = 0. Karena itulah di sini diambil kuadratnya yang dituliskan pada kolom (3). Didapat  (xi - x )2 = 30.



xi 8



11



3



9



4



-4



16



7



30  40



didapat : S =



7,5



= 2,74. 2



nx i  (xi ) 2 o Bentuk lain untuk rumus varians ialah : s = n(n  1) 2



Pada rumus ini tidak perlu dihitung rata-rata.



xi 8



xi2 64



7



49



10



100



11



121



4 40



16 350



Dihasilkan  xi = 40 dan  (xi2 = 350. Dengan n = 5, didapat varians 5 x350  ( 40) 5 x 4 s   7,5 dan s = 7,5 = 2,74. 2



2



o Untuk data dari sampel telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, varians s2 dipakai rumus : 2



nf i x i  ( f i x i ) 2 f ( x  x ) 2 s = i i atau s2 = n(n  1) n 1 2



Untuk: xi = tanda kelas, fi = frekuensi yang sesuai dengan tanda kelas xi n = fi.  Contoh : Untuk menghitung varians s2 dari data dalam Daftar



IV (2) tentang



kelembaban selama 80 hari. Untuk lebih mudahnya digunakan rumus kedua.  Untuk menggunakan Rumus di atas maka dibuat tabel pembantu seperti di bawah ini :



8



Kelembaban



fi



xi



xi2



1



35,5



1260,25



35,5



1.260,25



44738,87



41 -50



2



45,5



2070,25



90,0



4.140,50



188342,75



51 – 60



5



55,5



3080,25



277,5



15.401,25



814769,37



61 – 70



15



65,5



4290,25



982,5



64.353,75



71 – 80



25



75,5



5700,25



1887,5



142.506,25



81 – 90



20



85,5



7310,25



1710,0



146.205,00



90 – 100 Jumlah



12 80



95,5 -



9120,25 -



1146,0 6130,0



109.443,00 483.310,00



(x) 31 - 40



fixi2



fixi



fixi3



Dari tabel didapat : n =  fi = 80,  fixi = 6.130 dan  fixi2 = 483.310. Sehingga diperoleh varians:



s2 



80 x 483.310  (6.130) 2  172,1 80 x79



 Cara koding, seperti ketika menghitung rata-rata



x



, l dapat digunakan



juga di sini sehingga perhitungan akan lebih sederhana. Rumusnya adalah :



 n f i c i 2  (  f i c i ) 2 s = p  n(n  1)  2



 



2



 



dengan : p = panjang kelas interval, ci = nilai koding, dan n = fi.



 Contoh : Untuk data di atas, jika dipakai Rumus IV (9) ini, maka diperlukan tabel berikut :



9



dst



-4



fici -4



fici2 16



45,5



-3



-6



18



5



55,5



-2



-10



20



61 – 70



15



65,5



-1



-15



15



71 – 80



25



75,5



0



0



0



81 – 90



20



85,5



1



20



20



Kelembaban (x) 31 - 40



fI 1



xI 35,5



41 -50



2



51 – 60



cI



90 – 100 12 95,5 2 24 48 Jumlah 80 9 137 2 Dari tabel didapat p = 10, n = fi = 80, fici = 9 dan fi ci = 137, sehingga didapat varians.  80 x137  (9) 2 80 x79 



s2 = (10)2 







  172,1 



 Hasilnya sama dengan bila digunakan sebelumnya. sebenarnya yang terakhir didapat dari yang pertama dengan menggunakan transpormasi c i = xi  x 0 berdasarkan sifat : p



1) Jika tiap nilai data xi ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, maka simpangan baku s tidak berubah. 2) Jika tiap nilai data xi dikalikan dengan bilangan yang sama d, maka simpangan bakunya menjadi hal d kali simpangan baku yang asal. o Simpangan baku gabungan. Jika terdapat k buah subsampel : Subsampel 1 : berukuran n1 dengan simpangan baku s1 Subsampel 2 : berukuran n2 dengan simpangan baku s2 …………………………………………………………. Subsampel k : berukuran nk dengan simpangan baku sk merupakan sebuah sampel berukuran n = n 1 + n2 + …+ nk, maka simpangan baku untuk sampel ini merupakan simpangan baku gabungan yang dihitung dengan rumus :



10



( ni  1) si2 s = atau lengkapnya  ni  k 2



(n1  1) s12  (n2  1) s 22  ...  (nk  1) s k2 s = n1  n2  ...  nk  k 2



dengan s2 berarti varians gabungan.



o Contoh : Hasil pengamatan pertama terhadap 14 obyek memberikan s = 2,75 sedangkan pengamatan yang kedua kalinya terhadap 23 obyek menghasilkan s = 3,308. Maka, dengan Rumus V(10) untuk k = 2, didapat varians gabungan.



s2 =



(14  1)(2,75) 2  (23  1)(3,08) 2  8,7718 14  23  2



sehingga simpangan baku gabungan s = 2,96 Angka Baku dan Koefisien Variasi ? o Satuan simpangan baku. Misalkan sebuah sampel berukuran n dengan data x1, x2, …, xn sedangkan rata-ratanya =



x



dan simpangan baku = s.,



dirumuskan stuan simpangan baku:: zi =



xi  x untuk i = 1, 2, …, n (1) s



o Angka baku atau angka standar adalah distribusi baru, yang mempunyai ratarata



x0



dan simpangan baku s0 yang ditentukan. dirumus : zi =



 xi  x    s  



x 0  s 0 



(2)



Perhatikan bahwa untuk x 0 = 0 dan s0 = 1, Rumus (2) menjadi Rumus (1), sehingga angka z sering pula disebut angka standar. 11



 Contoh : 1) Dalam psikologi, test Wechsler-Bellevue diubah ke dalam angka baku dengan rata-rata = 10 dan simpangan baku = 3. 2) Test Klasifikasi Umum Tentara di Amerika biasa dijadikan angka baku dengan rata-rata = 100 dan sipangan baku = 20 3) “Graduate Record Examination” di USA dinyatakan dalam angka standar dengan rata-rata = 500 dan simpangan baku = 100  Angka baku dipakai untuk membandingkan keadaan distribusi sesuatu hal.  Contoh : Seorang mahasiswa mendpat nilai 86 pada ujian akhir matematika dimana rata-rata dan simpangan baku kelompok, masing-masing 78 dan 10. pada ujian akhir statistika dimana rata-rata kelompok 84 dan simpangan baku 18, ia mendapat nilai 92. Dalam mata ujian mana ia mencapai kedudukan yang lebih baik?  Jawab : Dengan rumus V(11) didapat : untuk matematika z =



86  78  0,8 10



untuk statistika



92  84  0,44 18



z=



Mahasiswa itu mendapat 0,8 simpangan baku diatas rata-rata nilai matematika dan hanya 0,44 simpangan baku diatas rata-rata nilai statistika. Kedudukannya lebih tinggi dalam hal matematika. Kalau saja nilai-nilai di atas diubah kedalam angka baku dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 20, maka :  86  78    116 10  



untuk matematika z = 100 + 20 



12



 92  84    108,9 18  



z = 100 + 20 



untuk statistika



Dalam sistem ini ia lebih unggul dalam matematika.



o Ukuran variasi atau dispersi yang diuraikan dalam bagian-bagian lalu merupakan dispersi absolut. Variasi 5 cm untuk ukuran jarak 100 m dan variasi 5 cm untuk ukuran jarak 20 m jelas mempunyai pengaruh yang berlainan. Untuk mengukur pengaruh demikian dan untuk membandingkan variasi antara nilai-nilai besar dan nilai-nilai kecil, digunakan dispersi relatif yang ditentukan oleh : Dispersi Relatif =



DispersiAbsolut Rata  rata



o Jika untuk dispersi absolut diambil simpangan baku, maka didapat koefisien variasi, disingkat KV. dirumuskan dalam persen. Jadi diperoleh : KV = SimpanganBaku x100% rata  rata



o Koefisien variasi tidak tergantung pada satuan yang digunakan, karenanya dapat dipakai untuk membandingkan variasi relatif beberapa kumpulan data dengan satuan yang berbeda.  Contoh : Semacam lampu elektron rata-rata dapat diapakai selama 3.500 jam dengan simpangan baku 1.050 jam. Lampu model lain rata-ratanya 10.000 jam dengan simpangan baku 2.000 jam. Dari sini mudah dihitung :



KV (lampu pertama) =



1.050 x100%  30% 3.500



KV (lampu kedua)



2.000 x100%  20% 10.000



=



13



Ternyata lampu kedua secara relatif mempunyai masa pakai yang lebih uniform. Simpangan baku (Standard deviation) adalah suatu nilai yang menunjukan tingkat ( derajat ) variasi kelompok atau ukuran standart penyimpangan dari reratanya. Simbol simpangan baku populasi adalah







atau







n sedangkan untuk sampel ( s, sd, atau







n-1 ). Pada prinsipnya perhutungan simpangan baku sama dengan perhitungan lain pada ukuran pemusatan dimana terdapat perbedaan formula maupun cara perhitungan untuk data tunggal dan data berkelompok. Adapun cara perhitungannya adalah sebagai berikut : 1. Perhitungan simpangan baku untuk data tunggal. Simpangan baku untuk data tunggal dapat dihitung dengan menggunakan rumus :







x



n-1 =







2



 x



n 1



2



atau



n



s=



x



2



n 1



Contoh : Data kemampuan dosen Fakultas X sebagai berikut : No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n = 10











n-1 =



x



2







X 75 70 80 85 60 75 100 90 95 75 X = 805



 x



n 1



=



1322,5  9



n







2



=



2  805 66125 



10  1



146,9 = 12,12



14



X2 5625 4900 6400 7225 3600 5625 10000 8100 9025 5625 X 2 = 66125



10



Rumus yang digunakan di atas adalah rumus angka kasar. Di samping rumus tersebut, masih ada rumus lain yang dipakai untuk menghitung standar deviasi sebagaimana terlihat dalam contoh berikut : No.



X



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n = 10



75 70 80 85 60 75 100 90 95 75 X = 805







(X  X )



X2



x -5,5 -10,5 -0,5 4,5 -20,5 -5,5 19,5 9,5 14,5 -5,5 0



30,25 110,25 0,25 20,25 420,25 30,25 380,25 90,25 210,25 30,25 = 1322,5







X2



Kemudian dilakukan perhitungan rata-rata sebagai berikut : X =



X



805 = 80,5. Setelah diketahui rerata, berikutnya dilakukan 10



=



n



perhitungan simpangan baku dengan rumus deviasi sebagai berikut : s=



2.



x



2



n 1



1322,5 = 10  1



=



146,9



= 12,12



Perhitungan simpangan baku untuk data bergolong. Perhitungan simpangan baku untuk data bergolong dapat dilakukan dengan menggunakan formula sebagai berikut :



  fx   fx  f  1   f 1 2



 n 1 =



2



 fx  f 1 2



atau



s=



Berikut ini adalah nilai ujian pengantar statistik Sosial mahasiswa program ekstensi Ilmu Administrasi Negara FISIP-UNCEN : 60, 63, 66, 66, 67, 67, 67, 68, 70, 70,71, 71, 72, 72,72,72,73, 73, 74, 74,74, 74, 74, 75, 75, 75, 75, 75, 75, 75, 76, 76, 77, 77,77, 78,78,78, 78,78,78, 79, 79, 80,



15



80, 80, 80, 80, 81, 81, 81, 82,82, 83, 83, 84, 84, 84, 84, 85, 85, 87, 87, 87, 89, 89, 90, 93, 94, 94. Setelah melalui proses pembuatan distribusi frekuensi, data tersebut selanjutnya dimasukan dalam tabel sebagai berikut : Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Statistika Sosial Mahasiswa Program Extensi Ilmu Administrasi Negara FISIP-UNCEN Titik No.



Nilai



1 2 3 4 5 6 7



60- 64 65 - 69 70 - 74 75 - 79 80 - 84 85 - 89 90 - 94







f



tengah



2 6 15 20 16 7 4



(X) 62 67 72 77 82 87 92 -



f = 70



x2



124 402 1080 1540 1312 609 368



3844 4489 5184 5929 6724 7569 8464 -







fx



fx



=



fx 2







7688 26934 77760 118580 107584 52983 33856 fx 2 = 425385



5435



  fx   fx  f  1  f  1 2



 n 1 =



2



425385 



=



 5435 2



70  1 = 70  1



49,64



= 7,045



Perhitungan di atas merupakan cara menghitung standar deviasi dengan angka kasar (Raw Score). Ada cara lain untuk menghitung standar deviasi yang hasilnya akan sama dengan cara pertama yakni dengan rumus deviasi. Adapun cara perhitungan dimaksud adalah seperti berikut ini : Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Statistika Sosial Mahasiswa Program Extensi Ilmu Administrasi Negara FISIP-UNCEN Batas kelas No.



Nilai



1 2 3 4 5 6 7



60- 64 65 - 69 70 - 74 75 - 79 80 - 84 85 - 89 90 - 94



f



(X)



2 6 15 20 16 7 4



64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5 94,5







f =







(X x -15 -10 -5 0 5 10 15 0



X=



16



X



)



x2 225 100 25 0 25 100 225 -



fx 2







7688 26934 77760 118580 107584 52983 33856 fx 2 = 3425



70



556,5



Setelah pengelompokan data dalam tabel distribusi frekuensi, selanjutnya dicari rata-rata dengan mengacu pada batas kelas. Proses perhitungannya adalah sebagai berikut : =



X n



X



556,5  79,5 . Berdasarkan nilai mean tersebut, selanjutnya dilengkapi 7



=



nilai-nilai dalam tabel. Setelah mendapatkan nilai-nilai yang dikehandaki oleh rumus untuk perhitungan simpangan baku, maka akan dilakukan perhitungan simpangan baku sebagai berikut :



 fx  f 1 2



s=



=



3425 = 70  1



49,64



17



= 7,045



DAFTAR PUSTAKA Supranto, J. 2008. Statistik Teori dan Aplikasi. Erlangga: Jakarta. Wiboso, Yusuf. 2005. Metode Statistik. Gajah Mada University Press: Yogyakarta. Dajan, Anto. 1972.Pengantar Metode Statistik Jilid I.LP3ES Jakarta Harini, sri dkk. 2007. Metode Statistika. Prestasi Pustaka: Jakarta Sudijono, Anas. 2004. Pengantar Statistik Pendidikan. Raja Grafindo Persada : Jakarta.



18