BAHAN AJAR Barisan Dan Deret Geometri [PDF]

Citation preview

BAHAN AJAR IPK 3.6.4 Menentukan Barisan Geometri Barisan geometri adalah suatu barisan dengan dua suku yang berurutan selalu mempunyai rasio yang tetap. Rasio barisan (r) dapat ditentukan dengan cara membandingkan dua suku yang berurutan 𝑈 𝑈 𝑈 𝑈 r = 2 = 3 = 4 = ⋯ . = 𝑛 = konstan (tetap) 𝑈1



𝑈2



𝑈3



𝑈𝑛−1



sehinggga rumus suku ke – n barisan geometri : Un = arn – 1 Ket : u1 /a = suku pertama r = rasio Un = suku ke – n n = banyaknya suku Contoh : 1. Manakah diantara barisan berikut yang merupakan barisan geometri ? a) 32, - 16, 8, -4,... b) 3, 6, 18, 72,... c) 2, 4, 8,... d) √2 , 2, 2√2, 4, .... Jawab : a) U1 = 32, U2 = - 16, U3 = 8, U4 = - 4 𝑈 𝑈 𝑈 −16 8 −4 1 r = 2= 3= 4= = = =− 𝑈1



𝑈2



𝑈3



32



−16



8



2



karena rasio tetap jadi 32, - 16, 8, -4,... adalah barisan geometri b) U1 = 3, U2 = 6 ,U3 = 18, U4 = 72 𝑈 6 r= 2= =2 r= r=



𝑈1 𝑈3 𝑈2 𝑈4 𝑈3



= =



3 18 6 72 18



=3 =4



karena rasio tidak tetap jadi 3, 6, 18, 72,... bukan barisan geometri



c) U1 = 2, U2 = 4 ,U3 = 8 𝑈 𝑈 4 8 r = 2 = 3 = = =2 𝑈1



𝑈2



2



4



karena rasio tetap jadi 2, 4, 8,... adalah barisan geometri d) U1 = √2, U2 = 2 , U3 = 2√2, U4 = 4 r =



𝑈2 𝑈1



=



𝑈3 𝑈2



=



𝑈4 𝑈3



=



2 √2



=



2 √2 2



=



4 2√2



= √2



karena rasio tetap jadi√2 , 2, 2√2, 4, .... adalah barisan geometri



Contoh 2. Diketahui barisan geometri : 2, - 4, 8, -16,....tentukan suku pertama, rasio dan suku ke- 8 dari barisan tersebut ! Jawab : Dik : a / U1 = 2 Peny : 𝑈 −4 r= 2= =-2 𝑈1



2



Un = arn – 1 U8 = ar8 – 1 U8 = 2(-2)7 U8 = 2(-128) U8 = - 256 Jadi suku pertama ( a) = 2, rasio ( r) = - 2 suku ke-8(U8) adalah - 256



Contoh 3 : Tentukan banyak suku dalam barisan geometri : 81, 27, 9,...,



1



81



Jawab : Dik : a/U1 = 81 , U2 = 27 1 Un = Peny : r = Un = ar



n–1



81 𝑈2 𝑈1



27



=



1



1 𝑛−1



1



1 𝑛



1



1 𝑛



= 81. ( ) 81 3



=



81



1 3



1 −1



= 81. ( ) . ( ) 81 3 3 = 81. ( ) .3 81 3 1 𝑛



1



= 243. ( ) 81 3 1



3𝑛 1



=



1



81



== 𝑛



3 1



3𝑛 1



== 1



÷ 243 1



81 1 34



× ×



1 243 1



35



= 9 3 n=9 3𝑛



Jadi banyak suku dalam barisan geometri : 81, 27, 9,...,



𝟏 𝟖𝟏



adalah 9



Contoh 4. Tentukan Rumus Suku Ke – n barisan geometri berikut : a) 5, 10, 20, .... 1 1 1 b) 1, , , ,... 2 4 8



Jawab : a) Dik : U1 /a = 5, U2 = 10, U3 = 20 𝑈 10 r= 2 = =2 𝑈1



5



n–1



Peny : Un = ar = 5. 2n – 1 = 5 . 2n. 2 – 1 1 = 5. 2n. 5



2



n



= .2 2



1



1



2 1



4



b) Dik : U1 /a = 1, U2 = , U3 = r=



𝑈2 𝑈1



=



Peny : Un = ar



1/2 1



=



2



n–1



1 𝑛−1



= 1. ( ) 2



1 𝑛



1 −1



=1.( ) .( ) 2 2 −1 𝑛 = (2 ) . (2−1 )−1 = 2−𝑛 . 21 = 2 (2−𝑛 ) Contoh 5 : Jika x – 8, x – 4, x + 8 ialah tiga suku berurutan dalam suatu dalam suatu barisan geometri, tentukan nilai x . Jawab : Dik : a / U1 = x – 8, U2 = x – 4, U3 = x + 8 r= r=



𝑈2 𝑈1



=



𝑥−4 𝑥−8



𝑈3 𝑈2



=



𝑥+8 𝑥−4



dengan perkalian silang diperoleh :



(x – 4)2 = (x – 8) (x + 8) x2 – 8x + 16 = x2 – 64 x2 – x2 – 8x = – 16 – 64 – 8x = – 80 x=



80 8



x = 10 jadi nilai x adalah 10



Contoh 6 : Dalam suatu barisan geometri diketahui suku ketiga 3 lebihnya dari suku pertama, dan jumlah suku kedua dan ketiga adalah 6. Tentukan suku pertama dan rasio barisan geometri tersebut. Jawab : Suku ketiga 3 lebihnya dari suku pertama maka ditulis : U3 = U1 + 3 U3 – U1 = 3 ar2 – a = 3 a(r2 – 1) = 3 ....(1) Jumlah suku kedua dan ketiga adalah 6 U2 + U3 = 6 ar + ar2 = 6 ar(1 + r) = 6 ....(2) Dari Persamaan a (r2 −1) ar(1 + r) (𝑟−1) r



=



=



(1) (2)



diperoleh :



𝑎(𝑟−1)(𝑟+1) ar(1 + r)



3



1



6



2



= =



1 2



2(r – 1) = r 2r – 2 = r 2r – r = 2 r =2 Substitusikan nilai r = 2 ke persamaan (1) diperoleh a(r2 – 1) = 3 a=



3 ( 22 – 1)



3



= =1 3



Jadi nilai suku pertama (a) = 1 dan rasio (r) = 2



a=



3 ( r2 – 1)



❖ Rumus Suku Tengah Barisan Geometri Ut =√𝑈1 × 𝑈𝑛 = √𝑈1 × 𝑈2𝑘−1 Ut = Suku tengah U1 = Suku Pertama U2k – 1 = Un = Banyak Suku adalah ganjil /suku terakhir ❖ Rumus Sisipan Barisan Geometri n ’ = n + (n – 1)k 𝒌+𝟏 r ’ = √𝒓 ′



Sn’



=



𝒂[(𝒓′ )𝒏 − 𝟏] 𝒓′ − 𝟏



′



′



, 𝒓 > 1 atau



Sn’



=



𝒂[𝟏− (𝒓′ )𝒏 ] 𝟏− 𝒓′



, 𝒓′ < 1



Ket : n’ = Banyak Suku Baru setelah disisipi r ‘ = Rasio baru setelah disisipi Sn’ = Jumlah n suku baru setelah disisipi k = Banyak bilangan / suku baru yang disisipkan Contoh : 1. Ditentukan barisan geometri 3, 6, 12,..., 192. Banyaknya suku pada barisan geometri ini adalah ganjil. Tentukan suku tengahnya Jawab : U1 = a = 3, U2 = 6 Un = U2k – 1 = 192 𝑈 6 r= 2 = =2 𝑈1



3



Ut =√𝑈1 × 𝑈𝑛 = √𝑈1 × 𝑈2𝑘−1 Ut =√3 × 192 Ut =√576 Ut = 24 Jadi suku tengahnya adalah 24



IPK 3.6.5 Menentukan Deret Geometri



Deret geometri adalah jumlah bilangan – bilangan yang membentuk barisan geometri dan dinotasikan dengan Sn. Sn = a + ar + ar2 + ....+ ar n – 1 sehingga rumus jumlah n suku pertama deret geometri : Sn =



𝑎 (𝑟 𝑛 −1) 𝑟−1



, r > 1 atau Sn =



𝑎 (1−𝑟 𝑛 ) 1− 𝑟



, r < 1 atau Sn – Sn – 1



Ket : Sn = jumlah n suku pertama a = suku pertama r = rasio n = banyaknya suku Un = suku ke – n



Contoh 1. Hitunglah 10 suku pertama deret geometri berikut : 1 + 2 + 4 + .... Jawab : Dik : a = 1, n = 10 Dit : S10 ? 𝑈 𝑎𝑟 2 r= 2 = = =2 𝑈1



Sn =



𝑎



1



𝑎 (𝑟 𝑛 −1)



S10 = S10 =



𝑟–1 1 (210 −1) 2− 1 1 (1024 − 1) 2− 1 1023



= 1 = 1023



Jadi Jumlah 10 suku pertama deret geometri 1 + 2 + 4 + .... adalah 1023 Contoh 2. Tentukan nilai n agar jumlah deret 2 + 4 + 8 + ....+ 2n= 254 Jawab : Dik : a = 2, Sn = 254 Dit : n ? 𝑈 𝑎𝑟 4 r= 2 = = =2 𝑈1



𝑎



2



Sn =



𝑎 (𝑟 𝑛 −1)



254 =



𝑟−1 2 (2𝑛 −1) 2− 1 2 (2𝑛 − 1)



254 = 1 127 = 2n – 1 127 + 1 = 2n 128 = 2n 27 = 2n n=7



:2



Jadi nilai n adalah 7 3



Contoh 3 : Carilah jumlah deret geometri : 48 + 12 + 3 + ... + 16 Jawab : 3 Dik : a = 48 , Un = 16 Dit : Sn ? 𝑈 𝑎𝑟 12 1 r= 2 = = = 𝑈1



𝑎



48



4



Sebelum menentukan jumlah deret geometri tersebut, terlebih dahulu ditentukan suku ke – n Un = arn – 1 1 𝑛−1



3



= 48 ( ) 4



16 3 16 3 16 1



1 𝑛−1



÷ 48 = ( ) 4 ×



256 1 44 1 4



1 48



1 𝑛−1



=( ) 4



1 𝑛−1



=( ) 4



1 𝑛−1



= ( ) 4



1 𝑛−1



(4) =(4) 4=n–1 4+1=n n=5 Jadi banyak suku adalah 5 Karena nilai r < 1 maka digunakan rumus Sn =



𝑎 (1−𝑟 𝑛 ) 1−𝑟



Sn = S5 = S5 =



𝑎 (1−𝑟 𝑛 ) 1−𝑟



1 5 4 1 1− 4 1 48 (1− ) 256 3 4 255 48( ) 256 3 4



48 (1−( ) )



= = = =



765



16 765 16 255



÷



3



4 4



×



3



4



Jadi jumlah deret geometri : 48 + 12 + 3 + ... +



𝟑 𝟏𝟔



adalah



𝟐𝟓𝟓 𝟒



Contoh 4 : Diberikan deret geometri 32 + 16 + 8 + ... Hitunglah jumlah suku kelima sampai suku kedelapan ! Jawab : Dik : a = 32 Dit : S5 sampai S8 ? Peny : r=



𝑈2 𝑈1



=



S8 – S5 =



=



𝑎𝑟 𝑎



=



16 32



1



=



2



1 8 2 1 1− 2



32 (1−( ) )



32 (1− 1 2



1 ) 256



−



−



1 5 2 1 1− 2



32 (1−( ) )



32 (1−



255



= 64 (



1 2



31



1 ) 32



) – 64 (32) 256



255



=(



4



255



=(



4



) − 2(31) ) − 62



255



=( =



4



248



)−(



4



)



7 4



Jadi jumlah suku kelima sampai suku kedelapan adalah



7 4