Bahan Ajar SPLTV [PDF]

Citation preview

SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL



BAHAN AJAR



S



P



L



T



Untuk Matematika SMA X UNTUK SMA/MA/SMK/MAK KELAS X



V B



SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL



KOMPETENSI INTI



KI 1 : Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya KI 2 : Mengembangkan perilaku (jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli, santun, ramah lingkungan, gotong royong, kerjasama, cinta damai, responsif dan proaktif) dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan bangsa dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia KI 3 : Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. KI 4 : Mengolah, menalar, menyaji, dan mencipta dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI



No 3.



4



Kompetensi Dasar



Indikator Pencapaian Kompetensi



3.3.



Menyusun sistem persamaan linear tiga variabel dari masalah kontekstual



3.3.4 Merancang model matematika dari permasalahan kontekstual Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel 3.3.6 Menentukan penyelesaian permasalahan kontekstual permasalahan SPLTV dengan metode eliminasi



4.3.



Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel



4.3.2 Menyelesaikan masalah kontekstual Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dengan Metode Eliminasi



UNTUK SMA/MA/SMK/MAK KELAS X



SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL



4.3.3 Menyelesaikan masalah kontekstual Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dengan Metode Campuran (Eliminasi – Substitusi) 4.3.3 Menginterpretasi hasil penyelesaian masalah kontekstual Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel PETA KONSEP



MATERI PRASYARAT



Materi Sistem Pertidaksamaan Linear Tiga Variabel berkaitan dengan materi Sistem Persamaa Linear Dua Variabel dan operasi bilangan. Dalam materi Sistem Pertidaksamaan Linear Tiga Variabel terdapat perhitungan untuk menyelesaikan UNTUK SMA/MA/SMK/MAK KELAS X



SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL



Himpunan Penyelesaian yang penyelesaiannya menggunakan operasi hitung bilangan bulat dan pecahan.



PETUNJUK PENGGUNAAN BAHAN AJAR a) Pelajari daftar isi agar anda tahu materi apa saja yang terdapat dalam modul ini dan tahu letak materi yang anda cari.



b) Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang penguasaan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kerjakan evaluasi atau tugas di akhir materi sebagai sarana latihan, apabila perlu dapat anda konsultasikan pada guru. c) Kerjakan tes akhir dengan baik , benar dan jujur sesuai dengan kemampuan anda, setelah mempelajari modul ini. d) Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka. e) Bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan pengetahuan tambahan



CAKUPAN MATERI Bahan ajar ini berisi materi Pokok Bahasan Sistem Pertidaksamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dengan pokok bahasan : 1.



Konsep SPLTV



2. 3. 4.



Merancang model matematika yang berkaitan dengan masalah kontekstual SPLTV Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLTV dengan metode Eliminasi dan Gabungan



MANFAAT UNTUK SMA/MA/SMK/MAK KELAS X



SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL



Manfaat mempelajari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel yaitu untuk memecahkan permasalahan yang berkaitan dengan jual beli. Selain itu bisa juga untuk membantu menyelesaikan permasalahan



SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL TUJUAN PEMBELAJARAN



Melalui kegiatan pembelajaran menggunakan model Problem Based Learning yang dipadukan dengan metode Diskusi dan tanya jawab melalui pendekatan saintifik



yang



menuntut



peserta



didik



untuk



mengamati



(membaca)



permasalahan, menuliskan penyelesaian dan mempresentasikan hasilnya di depan kelas, peserta didik dapat menyusun sistem persamaan linear tiga variabel dari masalah kontekstual. Selain itu, peserta didik dapat menyelesaikan



masalah



kontekstual yang berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel dengan rasa ingin tahu, tanggung jawab, displin selama proses pembelajaran, bersikap jujur, santun, percaya diri dan pantang menyerah, serta memiliki sikap responsif (berpikir kritis) dan pro-aktif (kreatif), serta mampu berkomukasi dan bekerjasama dengan baik.



MATERI PEMBELAJARAN UNTUK SMA/MA/SMK/MAK KELAS X



SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL



Perhatikan gambar 3.1 berikut ini



Dengan mempelajari tentang Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) kita dapat menyelesaikan banyak permasalahan sehari-hari. Permasalahan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan mempelajari topik ini adalah menyangkut permasalahan sistem linear dengan syarat-syarat tertentu. Salah satunya adalah masalah tentang permasalahan mengenai jual beli di pasar. Untuk mengetahui hal ini lebih lanjut, lakukanlah kegiatan pada Bahan Ajar ini.



KONSEP SPLTV Gambar 3.1



ear tga variabel adalah persamaan yang memiliki tga variabel dengan masing-masing variabel berderajat satu,dengan variable mis P



Perhatikan persamaan linear :



a1 x+ b1 y + c1 z=d 1 ................................(persamaan 1) a2 x+ b2 y+ c 2 z=d 2 ................................(persamaan 2) a3 x+ b3 y+ c 3 z=d3 ...............................(persamaan 3) Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel a , b , dan c



adalah



a1 x+ b1 y + c1 z=d 1 a2 x+ b2 y+ c 2 z=d 2 a3 x+ b3 y+ c 3 z=d3



Dengan a1 , a2 , a3 ,b 1 , b 2 , b3 , c 1 , c 2 , c3 , d 1 ,d 2 , d 3 , x , y , dan z ∈ R tidak sekaligus ketiganya 0 dan



a2 , b2 dan c 2



a3 , b3 dan c 3 tidak sekaligus ketiganya 0.



x , y , dan z



adalah variabel



a1 , a2 , a3 adalah koefisien variabel



x



b1 , b2 , b3 adalah koefisien variabel



y



c 1 , c 2 , c3



z



adalah koefisien variabel



UNTUK SMA/MA/SMK/MAK KELAS X



dan



a1 , b1 dan c 1



tidak sekaligus ketiganya 0 dan



KELAS X



UNTUK SMA/MA/SMK/MAK



menggunakan : (SPLTV) dapat ditentukan dengan beberapa cara, diantaranya yakni dengan Penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear tiga variabel METODE PENYELESAIAN SPLTV



Jenis – jenis penyelesaian SPLTV didasarkan pada kedudukan tga bidang dari persamaan penyusun SPLTV :



Jika ketiga bidang saling sejajar, maka SPLTV tidak memiliki penyelesaian Jika ketiga bidang saling berpotongan, maka SPLTV memiliki tak hingga penyelesaian Jika ketiga bidang saling berpotongan pada sebuah titik, maka SPLTV memiliki satu penyelesaian



JENIS – JENIS PENYELESAIAN SPLTV bidang. linear tiga variabel. Secara geometris, persamaan linear tiga variabel berbentuk Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) terdiri atas tiga persamaan PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL



Suatu persamaan dikatakan sistem persamaan linear tga variabel apabila memiliki karakteristk sebagai berikut : Menggunakan relasi tanda sama dengan (=) Memiliki tga variabel Ketga variabel tersebut memiliki derajat satu (berpangkat satu)



CIRI – CIRI SPLTV d 1 ,d 2 , d 3 adalah konstanta persamaan SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL



KELAS X



UNTUK SMA/MA/SMK/MAK



1.



Tentukan himpunan penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel berikut ini dengan metode eliminasi : 2 x − y+ z=6 x−3 y + z=−2 CONTOH SOAL



Berikut langkah penyelesaian menggunakan metode eliminasi : Pilih bentuk peubah yang paling sederhana Eliminasi salah satu peubah (misal ) sehingga diperoleh SPLDV Eliminasi salah satu peubah SPLDV (misal ) sehingga diperoleh nilai salah satu peubah Eliminasi peubah lainnya (yaitu ) untuk memperoleh nilai peubah yang kedua Tentukan nilai peubah ketiga (yaitu x) berdasarkan nilai (y dan z) yang diperoleh



METODE ELIMINASI



Eliminasi dan Campuran saja. Pada bahan ajar ini, kita hanya akan membahas penyelesaian SPLTV dengan metode 4. Metode Determinan 3. Metode Campuran/Gabungan 2. Metode Eliminasi 1. Metode Substtusi SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL



SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL



x+ 2 y −z=3 Maka Penyelesaiannya :  Tentukan mana yang menjadi persamaan 1, persamaan 2 dan persamaan 3 2 x − y+ z=6 …………..(1) x−3 y + z=−2 …………..(2) x+ 2 y −z=3 …………..(3) 







Eliminasi peubah z dari persamaan 1 dan persamaan 2 dari persamaan 1 dan 3 Persamaan (1) dan (2) : 2 x − y+ z=6 x−3 y + z=−2 x+ 2 y =8 ……..(4) Persamaan (1) dan (3) 2 x − y+ z=6 x+ 2 y −z=3 3 x+ y =9 ……..(5) Persamaan 4 dan persamaan 5 berbentk SPLDV, lalu eliminasi SPLDV tersebut untuk memperoleh nilai x dan y Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh SPLDV x dan y x+2 y=8 3 x + y=9 Eliminasi x dari persamaan (4) dan (5), maka x+ 2 y =8 3 x+6 y =24 x3 3 x+ y =9 3 x+ y =9−¿ x1 5 y=15 15 y= 5 y=3 Eliminasi y dari persamaan (4) dan (5), maka x+ 2 y =8 x+ 2 y =8 x1 3 x+ y =9 6 x+ 2 y =18−¿ x2 −5 x=−10 −10 x= −5 x=2



{







Setelah didapat variabel x dan y , substitusikan kedua nilai variabel tersebut ke salah satu persamaan agar diperoleh z Misalkan kita substitusikan nilai x = 2 dan y = 3 ke persamaan 3, sehingga diperoleh :



x+ 2 y −z=3 UNTUK SMA/MA/SMK/MAK KELAS X



SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL



2+2(3)−z=3 2+6−z=3 8−z=3 z=8−3



z=5



Jadi Himpunan Penyelesaianya adalah



x=2, y=3 dan z=5



METODE GABUNGAN nggunakan metode subttusi ggunakan metode eliminasi y ang kedua nggunakan metode gabungan/campuran merupakan cara penyelesaian dengan menggabungkan dua metode sekaligus, yakni metode CONTOH SOAL



Tentukan himpunan penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel berikut ini dengan metode campuran : 2 x − y+ z=6 x−3 y + z=−2 x+ 2 y −z=3 Maka Penyelesaiannya :  Tentukan mana yang menjadi persamaan 1, persamaan 2 dan persamaan 3 2 x − y+ z=6 …………..(1) x−3 y + z=−2 …………..(2) x+ 2 y −z=3 …………..(3) 



Eliminasi peubah z dari persamaan 1 dan persamaan 2 dari persamaan 1 dan 3 Persamaan (1) dan (2) : 2 x − y+ z=6 x−3 y + z=−2 x+ 2 y =8 ……..(4) Persamaan (1) dan (3) 2 x − y+ z=6 x+ 2 y −z=3



UNTUK SMA/MA/SMK/MAK KELAS X



SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL



3 x+ y =9 



……..(5)



Persamaan 4 dan persamaan 5 berbentk SPLDV, lalu eliminasi SPLDV tersebut untuk memperoleh nilai x dan y Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh SPLDV x dan y x+2 y=8 3 x + y=9 Eliminasi x dari persamaan (4) dan (5), maka x+ 2 y =8 3 x+6 y =24 x3 3 x+ y =9 3 x+ y =9−¿ x1 5 y=15 15 y= 5 y=3 Substitusikan nilai y = 3 ke persamaan (4) x+ 2 y =8 x+ 2(3)=8 x+ 6=8 x=2



{







Setelah didapat variabel x dan y , substitusikan kedua nilai variabel tersebut ke salah satu persamaan agar diperoleh z Misalkan kita substitusikan nilai x = 2 dan y = 3 ke persamaan 3, sehingga diperoleh :



x+ 2 y −z=3 2+2(3)−z=3 2+6−z=3 8−z=3 z=8−3



z=5



Jadi Himpunan Penyelesaianya adalah



x=2, y=3 dan z=5



RANGKUMAN 



Persamaan Linear tiga variabel adalah persamaan yang memiliki tiga variabel dengan masing-masing variabel berderajat satu,dengan variable misal �, �, ��� �. Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel a , b , dan c adalah a1 x+ b1 y + c1 z=d 1 a2 x+ b2 y+ c 2 z=d 2



UNTUK SMA/MA/SMK/MAK KELAS X



SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL



a3 x+ b3 y+ c 3 z=d3











a1 , a2 , a3 ,b 1 , b 2 , b3 , c 1 , c 2 , c3 , d 1 ,d 2 , d 3 , x , y , dan z ∈ R Dengan dan a1 , b1 dan c 1 tidak sekaligus ketiganya 0 dan a2 , b2 dan c 2 tidak sekaligus ketiganya 0 dan a3 , b3 dan c 3 tidak sekaligus ketiganya 0. x , y , dan z adalah variabel a1 , a2 , a3 adalah koefisien variabel x b1 , b2 , b3 adalah koefisien variabel y c 1 , c 2 , c3 adalah koefisien variabel z d 1 ,d 2 , d 3 adalah konstanta persamaan Penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dapat ditentukan dengan beberapa cara, diantaranya yakni dengan menggunakan 1. Metode Substitusi 2. Metode Eliminasi 3. Metode Campuran 4. Metode Determinan Metode Eliminasi



Berikut langkah penyelesaian menggunakan metode eliminasi : 1. Pilih bentuk peubah yang paling sederhana 2. Eliminasi salah satu peubah (misal



x ) sehingga diperoleh SPLDV



3. Eliminasi salah satu peubah SPLDV (misal salah satu peubah 4. Eliminasi peubah lainnya (yaitu kedua



y ) sehingga diperoleh nilai



z ) untuk memperoleh nilai peubah yang



5. Tentukan nilai peubah ketiga (yaitu x) berdasarkan nilai (y dan z) yang diperoleh. 



Metode Campuran Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode gabungan/campuran merupakan cara penyelesaian dengan menggabungkan dua metode sekaligus, yakni metode eliminasi dan metode subtitusi



TES FORMATIF UNTUK SMA/MA/SMK/MAK KELAS X



SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL



1.



Uang Adinda Rp40.000,00 lebih banyak dari uang Binary ditambah dua kali uang Cindy. Jumlah uang Adinda, Binary, dan Cindy Rp200.000,00 dan selisih uang Binary dan Cindy Rp10.000,00. Jika x adalah uang Adinda, y adalah uang Binary, dan z adalah uang Cindy, maka model matematika dari masalah di atas adalah



2.



Sebuah bilangan terdiri dari 3 angka. Jumlah ketiga angka tersebut adalah 13. Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka yang ketiga dikurang 5. Nilai bilangan itu sama dengan 17 kali jumlah ketiga angkanya kemudian ditambah dengan 8. Carilah bilangan itu.



3.



Ibu Ira membeli 5 kg telur, 2 kg daging, dan 1 kg udang dengan harga Rp 305.000,00. Ibu Eli membeli 3 kg telur dan 1 kg daging dan 2 kg udang dengan harga Rp 251.000,00. Ibu Shifa membeli 3 kg daging dan 2 kg udang dengan harga Rp 360.000,00. Jika ibu Laila membeli 2 kg telur , 1 kg daging dan 1 kg udang di tempat yang sama, berapakah ibu laila harus membayar? Kerjakan masalah tersebut dengan metode eliminasi



KUNCI JAWABAN 1. Penyelesaian x = 40.000 + y + 2 z



x - y - 2 z = 40.000...(1) UNTUK SMA/MA/SMK/MAK KELAS X



SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL



x + y + z = 200.000...(2) y - z = 10.000...(3) Jadi, model matematika yang memenuhi adalah



�x - y - 2 z = 40.000...(1) � �x + y + z = 200.000...(2) �y - z = 10.000...(3) � 2. Misalkan bilangan tersebut pqr, dengan p menempati ratusan, q menempati puluhan dan r menempati satuan. Jadi bilangan tersebut adalah 100 p + 10 q + r. Berdasarkan data diatas maka pemodelan matematikanya adalah : p + q + r = 13 p + q =r −5 100 p + 10 q + r = 17 ( p + q + r ) + 8 ⇔ ¿ p + q + r = 13 p + q− r =− 5 83 p − 7 q − 16 r = 8 ¿ {¿ {¿ ¿¿ ¿



Eliminasi q, maka diperoleh :



p+q+r=13 p+q−r=−5− 2r=18 ⇔r=9



p+q+r=13 x 7⇔7 p+7 q+7r=91 83 p−7q−16r=8 x 1⇔83 p−7q−16r=8+



90 p−9r=99



Substitusi nilai r = 9 ke persamaan 90 p - 9 r maka diperoleh :



90 p−9( 9)=99 ⇔ 90 p−81=99 ⇔ 90 p=180



UNTUK SMA/MA/SMK/MAK KELAS X



SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL



⇔ p=2 Substitusi nilai p = 2 dan r = 9 ke persamaan p + q + r = 13 ,aka diperoeh: 2 + q + 9 =13 q=2 Jadi bilangan tersebut adalah 229. 3. Misalkan : y



x = Harga per kilogram telur



= Harga per kilogram daging



z = Harga per kilogram udang Model matematika : Ibu Ira : 5 kg telur, 2 kg daging dan 1 kg udang = Rp 305.000,00 5 x+2 y + z=305.000,00 Ibu Eli : 3 kg telur, 1 kg daging dan 2 kg udang = Rp 251.000,00 3 x+ y +2 z=251.000 Ibu Shifa : 3 kg daging dan 2 kg udang = Rp 360.000 3 y+ 2 z=360.000 Jadi didapatkan : 5 x+2 y + z=305.000,00



……………….(1)



3 x+ y +2 z=251.000 …………………. (2) 3 y+ 2 z=360.000



Ditanyakan dan 1 kg ?



………………………...(3)



: Yang harus dibayarkan Ibu Laila jika membeli 2 kg telur , 1 kg daging



Penyelesaian : 1. Mengeliminasi variable



x



pada persamaan (1) dan (2)



UNTUK SMA/MA/SMK/MAK KELAS X



SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL



5 x+2 y + z=305.000 3 x+ y +2 z=251.000 y−7 z=−340.000 2. Mengeliminasi



y



x3 x5



15 x +6 y +3 z=915.000 15 x+5 y +10 z=1.255 .000



-



dari persamaan (3) dan (4)



3 y+ 2 z=360.000 y−7 z=−340.000 23 z=1.380 .000



x 1 3 y +2 z =360.000 x3 3 y−21 z=−1.020.000



-



z=6 0.000 3. Mengeliminasi



z dari persamaan (3) dan (4)



3 y+ 2 z=360.000 y−7 z=−340.000 23 y=1.840 .000



x 7 21 y +14 z=2.520 .000 x2 2 y−14 z=−680.000



+



y=8 0.000 4. Eliminasi



y



dari persamaan (1) dan (2)



5 x+2 y + z=305.000 5 x+2 y + z=305.000 x1 3 x+ y +2 z=251.000 x 2 6 x+ 2 y + 4 z=502. 000 −x−3 z =−197.000 −x−3 ( 60.000 )=−197.000 −x−180.000=−197.000 −x=−17.000 x=17.000 Jadi x = Harga 1 kg telur = Rp 17.000 y = Harga 1 kg daging = Rp 80.000 z = Harga 1 kg udang = Rp 60.000



TINDAK LANJUT Jawabah semua latihan pada bab ini, kemudian cocokkan jawaban anda dengan kunci jawaban dan nilai hasilnya. Apabila benar semua maka pemahaman anda 100%. Apabila salah satu, maka pemahaman anda 67%. Apabila salah dua, maka pemahaman anda 33%. Apabila salah semua maka pemahaman anda 0%. Jika anda masih belum berhasil benar semua, pelajari kembali modul tersebut.



DAFTAR PUSTAKA



UNTUK SMA/MA/SMK/MAK KELAS X



SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL



Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas X Buku Guru Kurikulum 2013 edisi revisi 2017. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas X Buku Siswa Kurikulum 2013 edisi revisi 2017. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Suparno, Anna Yuni Astuti dan Ngapiningsih. 2017. Matemtika Mata Pelajaran Wajib untuk SMA Kelas X. Klaten : PT Intan Pariwira. Tim Penyusun. 2017. Modul Pembelajaran Matematika Mata Pelajaran Wajib SMA/MA dan SMK/MAK Kelas X Semester 1. Klaten : Vira Pakarindo http://laditv.pendidikan-matematka.fmipa.uny.ac.id/grafik-fungsi-cosinus. Diakses pada tanggal 23 maret 2018 http://blogmipa-matematka.blogspot.co.id/2017/10/sistem-persamaan-linear-tgavariabel.html Diakses pada tanggal 23 maret 2018



UNTUK SMA/MA/SMK/MAK KELAS X