Bahan Ajar SPLTV [PDF]

Citation preview

BAB III



SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV) KOMPETENSI DASAR



INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI



3.3 Menyusun sistem persamaan 3.3.1 linear tiga variabel dari masalah kontekstual



Menentukan langkah-langkah penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel.



3.3.2



Menyusun sistem persamaan linear tiga variabel dari masalah kontekstual.



4.3 Menyelesaikan



masalah 4.3.1 Menyelesaiakan masalah yang berkaitan dengan sistem



kontekstual yang berkaitan



persamaan linear tiga variabel.



dengan sistem persamaan 4.3.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berhubungan linear tiga variabel



dengan sistem persamaan linear tiga variabel.



PENGALAMAN BELAJAR Melalui pembelajaran pada materi sistem persamaan linear tiga variabel, siswa memperoleh pengalaman belajar : 1.



Menemukan ciri-ciri sistem persamaan linear tiga variabel dari suatu permasalahan.



2.



Menuliskan konsep sistem persamaan linear tiga variabel berdasarkan ciri-ciri yang ditemukan dengan bahasanya sendiri.



3.



Menentukan himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear tiga variabel



4.



Menyusun model matematika dari masalah kontekstual yang berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel



5.



Menyelesaikan model matematika untuk memperoleh solusi permasalahan yang diberikan.



6.



Menginterpretasikan hasil penyelesaian dari masalah yang diberikan.



7.



Bekerjasama dalam memecahkan masalah dalam kelompok yang heterogen,



berlatih berpikir kritis dan kreatif.



22



Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang menyatu dengan fakta dan lingkungan budaya kita terkait dengan sistem persamaan linear. Permasalahan-permasalahan tersebut akan menjadi bahan inspirasi menyusun model-model matematika yang ditemukan dari proses penyelesaiannya. Model matematika tersebut, akan dijadikan bahan abstraksi untuk membangun konsep sistem persamaan linear dan konsep sistem persamaan linear tiga variabel. Pada Bab ini kita akan mempelajari tentang sistem persamaan linear tiga variabel. Konsep persamaan linear dan sistem persamaan linear dua variabel sudah kamu temukan dari masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budayamu pada keas VIII SMP. Dengan cara yang sama, kita dapat menemukan konsep persamaan linear tiga variabel. Perbedaan sistem persamaan linear dua variabel dengan sistem persamaan linear tiga variabel terletak pada banyaknya variabel. Ayo Ingat Kembali Ayo kita ingat kembali istilah-istilah tentang SPLDV yang sudah kalian pelajari pada kelas VIII SMP. Sistem persamaan linear adalah himpunan beberapa persamaan linear yang saling terkait, dengan koefisien-koefisien dari persamaan adalah bilangan real. Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah suatu sistem persamaan linear dengan dua variabel. Bentuk umum dari SPLDV adalah: 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2 Dengan 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑐1 dan 𝑐2 bilangan real; 𝑎1 dan 𝑏1 tidak keduanya nol; 𝑎2 dan 𝑏2 tidak keduanya nol. 𝑥, 𝑦 : variabel 𝑎1 , 𝑎2 : koefisien variabel 𝑥 𝑏1 , 𝑏2 : koefisien variabel 𝑦 𝑐1, 𝑐2 : konstanta persamaan 23



A. PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL Ayo Mengamati Diberikan beberapa sistem persaman linear berikut : 1. 7𝑥 + 7𝑦 = 7



5. 𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 9



3𝑥 + 3𝑦 = 18



2𝑥 + 2𝑦 = 10



2. 3𝑥 = 0 𝑑𝑎𝑛 4𝑥 + 𝑦 = 2



3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 12



3. 4𝑥 + 5𝑦 = 12 𝑑𝑎𝑛 𝑥 + 2𝑦 = 8



6. 4𝑥 + 8𝑦 − 6𝑧 = 14



4. 7𝑥 + 5𝑦 = 17



5𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = 8



3𝑥 + 3𝑦 2 = 18



𝑥+𝑦+𝑧 = 0



Dari beberapa persamaan diatas,sistem persamaan linear manakah yang merupakan SPLDV? Diskusikan permasalahan tersebut dengan teman di sebelahmu. Berikan alasan untuk masingmasing jawabanmu.



Ayo Menalar Berdasarkan bentuk umum dari SPLDV yang sudah kita ketahui diperoleh: 1. 7𝑥 + 7𝑦 = 7 3𝑥 + 3𝑦 = 18 Merupakan SPLDV, karena sesuai dengan bentuk umum SPLDV. 2. 3𝑥 = 0 𝑑𝑎𝑛 4𝑥 + 𝑦 = 2 Merupakan SPLDV, karena sesuai dengan bentuk umum SPLDV. Yaitu dapat dirubah menjadi 3𝑥 + 0𝑦 = 0 4𝑥 + 𝑦 = 2 3. 4𝑥 + 5𝑦 = 12 𝑑𝑎𝑛 𝑥 + 2𝑦 = 8 Merupakan SPLDV, karena sesuai dengan bentuk umum SPLDV. Yaitu dapat dirubah menjadi 4𝑥 + 5𝑦 = 12 𝑥 + 2𝑦 = 8 4. 7𝑥 + 5𝑦 = 17 3𝑥 + 3𝑦 2 = 18 Bukan merupakan SPLDV, karena pada persamaan kedua terdapat variabel 𝑦 2 .



24



5. 𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 9 2𝑥 + 2𝑦 = 10 3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 12 Bukan merupakan SPLDV, karena terdapat tiga variabel yaitu 𝑥, 𝑦, dan 𝑧. 6. 4𝑥 + 8𝑦 − 6𝑧 = 14 5𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = 8 𝑥+𝑦+𝑧= 0 Bukan merupakan SPLDV, karena terdapat tiga variabel yaitu 𝑥, 𝑦, dan 𝑧. Ayo kita amati persamaan yang mengandung tiga variabel yaitu pada nomor 5 dan 6. 𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 9



4𝑥 + 8𝑦 − 6𝑧 = 14



2𝑥 + 2𝑦 = 10



5𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = 8



3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 12



𝑥+𝑦+𝑧 =0



Kedua SPL tersebut bukan merupakan SPLDV karena terdapat tiga variabel yaitu 𝑥, 𝑦, dan 𝑧. Tentukan ciri-ciri sistem persamaan linear tiga variabel secara individual dan diskusikan hasilnya dengan temanmu secara klasikal. Ayo Menyimpulkan Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linear dengan tiga variabel. Notasi : Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 adalah: 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1



𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3 Dengan 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 , 𝑐1, 𝑐2 , 𝑐3, 𝑑1 , 𝑑2 , dan 𝑑3 bilangan real; 𝑎1 , 𝑏1 , dan 𝑐1tidak ketiganya nol; 𝑎2 , 𝑏2 , dan 𝑐2tidak ketiganya nol; 𝑎3 , 𝑏3 , dan 𝑐3tidak ketiganya nol. 𝑥, 𝑦, 𝑧



: variabel



𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3



: koefisien variabel 𝑥



𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3



: koefisien variabel 𝑦



𝑐1, 𝑐2 , 𝑐3



: koefisien variabel 𝑧



𝑑1 , 𝑑2 , 𝑑3



: konstanta persamaan



25



B. MENENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN SPLTV Di kelas VIII SMP, kamu telah mempelajari berbagai metode untuk menentukan himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear du variabel (SPLDV). Metode-metode tersebut antara lain: metode grafik, metode eliminasi, metode substitusi, dan metode gabungan (eliminasi dan substitusi). Penentuan himpunan penyelesaian SPLTV dapat dilakukan dengan metode yang sama dengan penentuan penyelesaian SPLDV, kecuali dengan metode grafik. Untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLTV ada beberapa metode antara lain yaitu: 1. Substitusi; 2. Eliminasi; 3. gabungan (eliminasi dan substitusi); 4. determinan. Dalam Bab ini akan kita pelajari langkah-langkah langkah menentukan himpunan penyelesaian SPLTV menggunakan metode substitusi, eliminasi, dan gabungan (eliminasi dan substitusi). Sedangkan langkah-langkah menentukan himpunan penyelesaian SPLTV menggunakan metode determinan akan kita pelajari sebagai pada pembelajaran pengayaan. 1



Metode Substitusi Diketahui sebuah sistem persamaan linear tiga variabel berikut : 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 6 { 3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 4 7𝑥 − 6𝑦 − 𝑧 = 10 Dengan menggunakan metode substitusi untuk menentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas kita dapat mengikuti langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1: Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana, kemudian nyatakan 𝑥 sebagai fungsi 𝑦 dan 𝑧, atau 𝑦 sebagai fungsi 𝑥 dan 𝑧, atau 𝑧 sebagai fungsi 𝑥 dan 𝑦. Misalkan kita pilih persamaan pertama dan akan kita nyatakan sebegai fungsi 𝑦 dan 𝑧, diperoleh: 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 6 ⇔ 𝑥 = 2𝑦 − 𝑧 + 6 Langkah 2: Substitusikan 𝑥 atau 𝑦 atau 𝑧 yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapat PLDV. Substitusikan 𝑥 = 2𝑦 − 𝑧 + 6 ke persamaan 3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 4 dan 7𝑥 − 6𝑦 − 𝑧 = 10, diperoleh: 3(2𝑦 − 𝑧 + 6) + 𝑦 − 2𝑧 = 4 ⇔ 6𝑦 − 3𝑧 + 18 + 𝑦 − 2𝑧 = 4 ⇔ 7𝑦 − 5𝑧 = −14 ................ (1) dan 7(2𝑦 − 𝑧 + 6) − 6𝑦 − 𝑧 = 10 ⇔ 14𝑦 − 7𝑧 + 42 − 6𝑦 − 𝑧 = 10 ⇔ 8𝑦 − 8𝑧 = −32 ⇔ 𝑦 − 𝑧 = −4 .............. (2) 26



Langkah 3: Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2. Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: 7𝑦 − 5𝑧 = −14 { 𝑦 − 𝑧 = −4 Nyatakan 𝑦 − 𝑧 = −4 ke bentuk 𝑦 = 𝑧 − 4. Substitusikan 𝑦 = 𝑧 − 4 ke persamaan 7𝑦 − 5𝑧 = 4, diperoleh: 7(𝑧 − 4 ) − 5𝑧 = −14 ⇔ 7𝑧 − 28 − 5𝑧 = −14 ⇔ 2𝑧 = 14 ⇔ 𝑧=7 Substitusikan 𝑧 = 7 ke persamaan 𝑦 = 𝑧 − 4, diperoleh: 𝑦 = 7−4 = 3 Langkah 4: Substitusikan dua nilai variabel yang diperoleh pada langkah 3 ke salah satu persamaan semula sehinga diperoleh nilai variabel yang ketiga. Substitusikan 𝑦 = 3 dan 𝑧 = 7 ke persamaan 𝑥 = 2𝑦 − 𝑧 + 6, diperoleh: 𝑥 = 2(3) − 7 + 6 = 6 − 7 + 6 = 5. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, 7)}. Ayo Menyimpulkan Langkah-langkah menentukan himpunan penyelesaian SPLTV menggunakan metode substituasi adalah : 1. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana, kemudian nyatakan 𝑥 sebagai fungsi 𝑦 dan 𝑧, atau 𝑦 sebagai fungsi 𝑥 dan 𝑧, atau 𝑧 sebagai fungsi 𝑥 dan 𝑦.



2. Substitusikan 𝑥 atau 𝑦 atau 𝑧 yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapat PLDV. 3. Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2. 4. Substitusikan dua nilai variabel yang diperoleh pada langkah 3 ke salah satu persamaan semula sehinga diperoleh nilai variabel yang ketiga.



2 Metode Eliminasi Diketahui sebuah sistem persamaan linear tiga variabel berikut : 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 6 { 3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 4 7𝑥 − 6𝑦 − 𝑧 = 10 Dengan menggunakan metode eliminasi untuk menentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas, kita dapat mengikuti langkah-langkah sebagai berikut: 27



Langkah 1: Eliminasi salah satu variabel 𝑥 atau 𝑦 atau 𝑧 sehingga diperoleh SPLDV. 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 6………….. (1) 3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 4…………. (2) 7𝑥 − 6𝑦 − 𝑧 = 10………... (3) Kita akan eliminasi variabel 𝑧 dari persamaan (1) dan (2), kemudian persamaan (2) dan (3). Persamaan (1) x 2 → 2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 =12 Persamaan (2) → 3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 4 + 5𝑥 − 3𝑦 = 16…… (4) Persamaan (2) → 3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 4 Persamaan (3) x 2 →14𝑥 − 12𝑦 − 2𝑧 = 20 -11𝑥 + 13𝑦 = −16…… (5) Langkah 2: Selesaikan SPLDV yang didapat pada langkah 1. Persamaan (4) dan (5) merupakan SPLDV 5𝑥 − 3𝑦 = 16 -11𝑥 + 13𝑦 = −16 Eliminasi variabel 𝑥 pada persamaan (4) dan (5) Persamaan (4) x 11 → 55𝑥 − 33𝑦 = 176 Persamaan (5) x 5 → − 55𝑥 + 65𝑦 = −80 + 32𝑦 = 96 𝑦 =3 Eliminasi variabel 𝑦 pada persamaan (4) dan (5) Persamaan (4) x 13 → 65𝑥 − 39𝑦 = 208 Persamaan (5) x 3 → − 33𝑥 + 39𝑦 = −48 + 32𝑥 = 160 𝑥 =5 Langkah 3: Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai variabel yang lain. Substitusikan 𝑥 = 5 dan 𝑦 = 3 ke persamaan (1), diperoleh: 5 − 2(3) + 𝑧 = 6 𝑧 =6−1=5 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, 7)}. Ayo Menyimpulkan Langkah-langkah menentukan himpunan penyelesaian SPLTV menggunakan metode eliminasi adalah : 1. Eliminasi salah satu variabel 𝑥 atau 𝑦 atau 𝑧 sehingga diperoleh SPLDV. 2. Selesaikan SPLDV yang didapat pada langkah 1. 3. Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai variabel yang lain. 28



3 Metode Gabungan Dalam menentukan himpunan penyelesaian dengan menggunakan metode gabungan, dapat dilakukan dengan menggabungkan langkah-langah dari metode substitusi dan metode eliminasi. Diketahui sebuah sistem persamaan linear tiga variabel berikut : 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 6 { 3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 4 7𝑥 − 6𝑦 − 𝑧 = 10 Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi dan substitusi) untuk menentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas, kita dapat mengikuti langkahlangkah sebagai berikut: Langkah 1: Eliminasi salah satu variabel 𝑥 atau 𝑦 atau 𝑧 sehingga diperoleh SPLDV. 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 6………….. (1) 3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 4…………. (2) 7𝑥 − 6𝑦 − 𝑧 = 10………... (3) Kita akan eliminasi variabel 𝑧 dari persamaan (1) dan (2), kemudian persamaan (2) dan (3). Persamaan (1) x 2 → 2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 =12 Persamaan (2) → 3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 4 + 5𝑥 − 3𝑦 = 16…… (4) Persamaan (2) → 3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 4 Persamaan (3) x 2 →14𝑥 − 12𝑦 − 2𝑧 = 20 -11𝑥 + 13𝑦 = −16…… (5) Langkah 2: Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2 dengan metode substitusi. Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh: 5𝑥 − 3𝑦 = 16 { −11𝑥 + 13𝑦 = −16 3𝑦+16 3𝑦 16 Nyatakan 5𝑥 − 3𝑦 = 16 ke bentuk 𝑥 = 5 ⇔ 𝑥 = 5 + 5 3𝑦



16



Substitusikan 𝑥 = + ke persamaan −11𝑥 + 13𝑦 = −16, diperoleh: 5 5 3𝑦 16 −11( + ) + 13𝑦 = −16 5 5 −33𝑦 ⇔ + 13𝑦 = −16 5 32𝑦 176 ⇔ = −16+ 5 5 96 (5) ⇔ 32𝑦 = 5 96 ⇔ 𝑦= =3 32 Substitusikan 𝑦 = 3 ke persamaan 5𝑥 − 3𝑦 = 16, diperoleh: 3(3) 16 25 𝑥= + = =5 5 5 5 29



Langkah 3: Substitusikan dua nilai variabel yang diperoleh pada langkah 2 ke salah satu persamaan semula sehinga diperoleh nilai variabel yang ketiga. Substitusikan 𝑦 = 3 dan 𝑥 = 7 ke persamaan 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 6, diperoleh: 7 − 2(3) + 𝑧 = 6 𝑧=5 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, 7)}. Ayo Menyimpulkan Langkah-langkah menentukan himpunan penyelesaian SPLTV menggunakan metode gabungan (eliminasi dan substitusi) adalah : 1. Eliminasi salah satu variabel 𝑥 atau 𝑦 atau 𝑧 sehingga diperoleh SPLDV. 2. Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2 dengan metode substitusi. 3. Substitusikan dua nilai variabel yang diperoleh pada langkah 2 ke salah satu persamaan semula sehinga diperoleh nilai variabel yang ketiga. Dari ketiga metode yang sudah kita lakukan, diperoleh bahwa himpunan penyelesaian dari SPLTV akan sama meski menggunakan metode yang berbeda. Penggunaan yang lebih efektif dan efisien dari metode tersebut dalam penyelesaian masalah tergantung pada persamaan linear yang diberikan, situasi masalah, dan waktu yang tersedia.



C. MENYELESAIAKAN MASALAH KONTEKSTUAL YANG BERKAITAN DENGAN SPLTV Dalam perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita menemukan masalah yang dapat diterjemahkan ke dalam model matetmatika yang berupa sistem persamaan linear tiga variabel. Untuk menyelesaikannya, kita diharuskan membuat model matematika berupa sistem persamaan linear tiga variabel terlebih dahulu, kemudian baru menafsirkan penyelesaiannya.



30



Ayo Mengamati Zahra, Syifa, dan Balqis berbelanja disebuah toko buku secara bersamaan. Zahra membeli 3 set pensil, 4 penghapus, dan 1 buku tulis. Syifa membeli 6 set pensil, 2 penghapus, dan 1 buku tulis,Balqis membeli 2 set pensil, 5 penghapus, dan 10 buku tulis. Di kasir, Zahra membayar Rp 83.000,00; Syifa membayar Rp 86.000,00; dan Balqis membayar Rp 158.000,00. Berapa harga satu set pensil, satu penghapus, dan satu buku tulis masing-masing? Ayo Menalar Untuk bisa menyelesaikan permasalahan di atas, kita bisa mengguanakan langkah-langkah sebagi berikut: Langkah 1: Mengidentifikasi masalah yang ada pada soal cerita. Diketahui : Nama Anak Zahra Syifa Balqis



Pensil 3 6 2



Barang Belanjaan Penghapus Buku Tulis 4 1 2 1 5 10



Jumlah Yang Dibayarkan (dalam ribuan rupiah) 83 86 158



Langkah 2: Membuat model matematika dari permasalahan. Dengan memisalkan: 𝑥 =harga 1 set pensil 𝑦 =harga 1 buah penghapus 𝑧 =harga 1 buah buku tulis Diperoleh model matematika yang merupakan SPLTV sebagai berikut: 3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 83 … . . (1) … . . (2) { 6𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 86 2𝑥 + 5𝑦 + 10𝑧 = 158 … . . (3) Langkah 3: Menentukan penyelesaian dari SPLTV yang diperoleh pada langkah 2. Kita akan mengunakan metode gabungan (eliminasi dan substitusi) Eliminasi variabel 𝑧 dari persamaan (1) dan (2), kemudian persamaan (2) dan (3). Persamaan (1) → 3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 83 Persamaan (2) → 6𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 86 −3𝑥 + 2𝑦 = −3………. (4) Persamaan (2) x 10 → 60𝑥 + 20𝑦 + 10𝑧 = 860 31



Persamaan (3)



→



2𝑥 + 5𝑦 + 10𝑧 = 158 58𝑥 + 15𝑦 = 702…… (5) Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV. −3𝑥 + 2𝑦 = −3 { 58𝑥 + 15𝑦 = 702 Eliminasi Persamaan (4) dan (5) Persamaan (4) x 15 →−45𝑥 + 30𝑦 = −45 Persamaan (5) x 2 → 116𝑥 + 30𝑦 = 1.404 −161𝑥 = −1.449 𝑥=9 Substitusikan 𝑥 = 9 ke persamaan (4) −3𝑥 + 2𝑦 = −3: −3(9) + 2𝑦 = −3 2𝑦 = 24 𝑦 = 12 Substitusikan 𝑥 = 9 dan 𝑦 = 12 ke persamaan (1) 3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 83: 3(9) + 4(12) + 𝑧 = 83 75 + 𝑧 = 83 𝑧=8 Langkah 4: Mennginterpretasikan (menafsirkan) hasil penyelesaian pada langkah 3. Pada langkah 3 dieroleh, 𝑥 = 9, 𝑦 = 12, dan 𝑧 = 8. Dari permisalan pada langkah 2 yaitu: 𝑥 =harga 1 set pensil; 𝑦 =harga 1 buah penghapus; 𝑧 =harga 1 buah buku tulis; maka diperoleh harga 1 set pensil adalah Rp 9.000,00; 1 buah penghapus adalah Rp 12.000,00; dan 1 buah buku tulis adalah Rp 8.000,00. Jadi, harga 1 set pensil adalah Rp 9.000,00; 1 buah penghapus adalah Rp 12.000,00; dan 1 buah buku tulis adalah Rp 8.000,00.



Ayo Menyimpulkan Langkah-langkah menentukan himpunan penyelesaian SPLTV menggunakan metode gabungan (eliminasi dan substitusi) adalah : 1. Mengidentifikasi masalah yang ada pada soal cerita. 2. Membuat model matematika dari permasalahan. 3. Menentukan penyelesaian dari SPLTV yang diperoleh pada langkah 2. 4. Mennginterpretasikan (menafsirkan) hasil penyelesaian pada langkah 3.



32



LATIHAN 1. Tentukan Himpunan penyelesaian SPLTV berikut dengan menggunakan metode substitusi, eliminasi dan gabungan ! 2𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 3 a. { 𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −1 −𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4 1 𝑥 + 2𝑦 + 2 𝑧 = 0 b. { 𝑥 + 3 𝑦 − 2 𝑧 = 1 5 5 5 4𝑥 − 7𝑦 − 7𝑧 = 6 2. Tentukan nilai 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 dari SPLTV berikut: 𝑥 − 5𝑦 − 𝑧 = 2 a. { 3𝑥 − 9𝑦 + 3𝑧 = 6 𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −10 1 1 𝑥− 𝑦− 𝑧=4 b.



2 3



2



𝑥 − 2 𝑦 − 2𝑧 = 3 1



1



1



{4 𝑥 + 4 𝑦 − 4 𝑧 = 0



3. Tiga orang A, B dan C pinjam meminjam kelereng. Pada awalnya ketiga orang tersebut telah memiliki sejumlah kelereng tertentu dan selama pinjam meminjam mereka tidak melakukan penambahan kelereng



selain melalui pinjam meminjam diantara ketiga orang tersebut. Pada suatu hari A meminjami sejumlah kelereng kepada B dab C sehingga jumlah kelereng B dan C masing-masing dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari berikutnya B meminjami sejumlah kelereng kepada A dan C sehingga jumlah kelereng A dan C masing-masing dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari terakhir C meminjami sejumlah kelereng kepada A dan B sehingga jumlah kelereng A dan B masing-masing dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Setelah dihitung akhirnya masing-masing memiliki 16 kelereng. Berapakah banyaknya kelereng A mula-mula?



4. Suatu pabrik memproduksi tiga jenis barang, yaitu barang A, barang B, dan barang C. Banyak barang yang diproduksi untuk masing-masing jenis barang dan biaya produksi per hari selama tiga hari pertama diperlihatkan pada tabel berikut. Barang A Barang B Barang C Biaya Produksi Hari ke-1 20 unit 10 unit 5 unit Rp 140.000 Hari ke-2 10 unit 10 unit 10 unit Rp 130.000 Hari ke-3 5 unit 10 unit 15 unit Rp 140.000 Misalkan biaya produksi per satuan barang konstan. Pada hari ke-4 diproduksi sebanyak 20 unit barang A, 30 unit barang B, dan 35 unit barang C. Tentukan biaya produksi total pada hari ke-4!



33



MATERI PENGAYAN



MENENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN SPLTV MENGGUNAKAN METODE DETERMINAN



Pada pembelajaran sebelumnya, kita telah mengetahui bahwa bentuk umum SPLTV adalah : 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3 Untuk dapat menentukan himpunan penyelsaian SPLTV menggunakan metode determinan dapat dilakukan dengan cara: a1



b1



c1



d1



b1



c1



a1



d1



c1



a1



b1



d1



D = a2 a3



b2



c2



b2



c2



c2



d2



b3



c3



d3



c3



Dz = a 2 a3



b2



c3



Dy = a 2 a3



d2



b3



Dx = d 2 d3



b3



d3



Penyelesaian SPLTV tersebut adalah:



x=



Dx D



y=



Dy D



z=



Dz D



1) Jika D  0, Dx  0, Dy  0, Dz  0, maka SPLTV tersebut mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya. 2) Jika D = 0, Dx  0, Dy  0, Dz  0, maka SPLTV tersebut tidak memiliki anggota dalam himpunan penyelesaiannya. 3) Jika D = 0, Dx = 0, Dy = 0, Dz = 0, maka SPLTV tersebut mempunyai tak hingga banyak anggota dalam himpunan penyelesaiannya.



Contoh: Dengan metode Determinan, tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV: x+y+z=1 x + 2y + 3z = 5 3x + 2y – z = -9 Penyelesaian : 1



1



1



1



1



3 1 2 D= 1 2 3 − 2 −1 3 − 2



-



-



-



+



+



+ 34



= [(1)(2)(-1)+(1)(3)(3)+(1)(1)(-2)] – [(3)(2)(1)+(-2)(3)(1)+(-1)(1)(1)] = 6 -1



1



−1



1



1



Dx = 5 2 3 5 2 - 9 − 2 −1 − 9 − 2 -



-



-



+



+



+



= [(-1)(2)(-1)+(1)(3)(-9)+(1)(5)(-2)] – 1



-1



1



1



[(-9)(2)(1)+(-2)(3)(-1)+(-1)(5)(1)]



= 18



−1



Dy = 1 5 3 1 5 3 − 9 −1 3 − 9 -



-



-



+



+



+



= [(1)(5)(-1)+(-1)(3)(3)+(1)(1)(-9)] – [(3)(5)(1)+(-9)(3)(1)+(-1)(1)(-1)] 1



1



-1



1



1



Dz = 1 2 5 3 −2 −9



1



2



-



-



= -126



3 −2



-



+



+



+



= [(1)(2)(-9)+(1)(5)(3)+(-1)(1)(-2)] – x



=



Dx − 18 = = −3 D 6



y



=



Dy − 12 = = −2 D 6



z



=



Dz 24 = =4 D 6



[(3)(2)(1)+(-2)(3)(1)+(-1)(1)(1)]



SPLTV punya satu anggota dalam HP nya.  HP = {(-3,-2,4)}



LATIHAN Dengan metode determinan, tentukan penyelesaian dari SPLTV Berikut: 1) 2x + y – z = 1 -4x + 2y – 3z = 3 6x – y – 2z = 2 2) 3x + y – z = 1 4x – 2y + z = 0 5x + 3y – 3z = -6 3) x – y + z = -2 x–y–z=0 35



= 24



x + y + z = -6 4) x – 2y – 4z = 12 2x + 3y + 4z = 1 4x + 5y – 3z = 9



Sumber : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2016. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X Buku Guru Edisi Revisi 2016. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2016. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X Buku Siswa semester 1 Edisi Revisi 2016. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Noormandiri. 2016. Matematika jilid 1 untuk SMA/MA Kelas X kelompok Wajib. Jakarta: Erlangga. https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id di akses pada Kamis, 20 April 2017



36