Bahan Ajar SPLTV [PDF]

Citation preview

Lampiran : Bahan Ajar Materi Pokok



: Matriks



Sub Materi Pokok



: membangun konsep matriks



1. Fakta



: Simbol x,y,z dan Simbol “=”



2. Konsep



: Metode eliminasi, metode substitusi



3. Prosedur : Cara menentukan penyelesaian masalah kontekstual sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode eliminasi dan substitusi



A. KOMPETENSI DASAR 3.3 Menyusun sistem persamaan linear tiga variabel dari masalah kontekstual 4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel



B. INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI 3.3.3 Menganalisis Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dan Membuat Model Matematikanya 4.3.1 Menyelesaikan Masalah Konstekstual Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Dengan Metode Eliminasi 4.3.2 Menentukan Penyelesaian Masalah Konstekstual Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Dengan Metode Substitusi



C. TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Melalui pengamatan guru dan diskusi kelompok, siswa diharapkan dapat menunjukkan sikap kerja sama dalam menyelesaikan masalah-masalah sistem persamaan linear tiga variabel dengan tepat dan percaya diri dalam mempresentasikan hasil kerja kelompoknya. 2. Melalui diskusi kelompok dan penemuan (discovery), peserta didik dapat menemukan model matematika sistem persamaan linear tiga variabel dari masalah kontekstual dengan tepat.



3. Melalui tanya jawab, peserta didik dapat menyelesaikan



dan memecahkan



masalah konstekstual sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode eliminasi dengan tepat. 4. Melalui tanya jawab, peserta didik dapat menyelesaikan dan memecahkan masalah konstekstual sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode substituti dengan tepat.



Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linear dengan tiga variabel. Bentuk umum dari persamaan linier tiga variable dalam x , y , dan z adalah : 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3 Penentuan himpunan penyelesaian SPLTV dilakukan dengan cara atau metode yang sama dengan penentuan penyelesaian SPLDV, kecuali dengan metode grafik. Umumnya penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel diselesaikan dengan metode eliminasi, substitusi dan metode campuran eliminasi dan substitusi.



Perbedaan antara sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) terletak pada banyak persamaan dan variabel yang digunakan. Oleh karena itu, penentuan himpunan penyelesaian SPLTV dilakukan dengan cara atau metode yang sama dengan penentuan penyelesaian SPLDV, kecuali dengan metode grafik.



Umumnya penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel diselesaikan dengan metode eliminasi dan substitusi. Berikut akan disajikan contoh menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode campuran eliminasi dan substitusi.



Merancang dan Menyelesaian Model Matematika yang Berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menemukan permasalahan yang ternyata berkaitan dengan SPLDV atau SPLTV. Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan



membuat model matematikanya. Untuk membuat model matematikanya, terlebih dahulu kita harus mampu mengidentifikasi ciri-ciri masalah itu apakah merupakan contoh SPLDV, SPLTV, atau tidak sama sekali. Agar lebih mempermudah kita untuk mengidentifikasi maka ada hal yang perlu kita perhatikan yaitu dengan melihat berapa banyak objek yang dibicarakan. Pada umumnya SPLDV dan SPLTV ditandai dengan kata penghubung “dan”. Setelah masalahnya teridentifikasi, maka langkah selanjutnya: 1. Nyatakan objek-objek yang dibicarakan dalam bentuk pemisalan atau variabel. 2. Rancanglah permasalahan ke dalam model matematika yang berbentuk SPLDV atau SPLTV 3. Setelah permasalahan tersebut diubah selanjutnya



diselesaikan



dengan



dalam bentuk SPLDV, atau SPLTV,



metode-metode



yang



telah



dipelajari



sebelumnya. 4. Terakhir tafsirkan penyelesaian terhadapa objek pemisalan sesuai dengan permasalahan semula.



Menyelesaian SPLTV dengan Metode Eliminasi Langkah-langkah penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode eliminasi adalah sebagai berikut: 1) Eliminasi salah satu peubah atau atau sehingga diperoleh SPLDV. 2) Selesaikan SPLDV yang didapat pada Langkah 1. 3) Substitusikan nilai-nilai peubah yang diperoleh pada Langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai peubah yang lainnya. Contoh: Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLTV berikut dengan metode eliminasi!



Jadi, HP SPLTV itu adalah {(2,3,5)}



Menyelesaian SPLTV dengan Metode Substitusi Untuk menentukan penyelesaian/himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode substitusi, langkah-langkahnya sebagai berikut:



1) Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y. 2) Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah pertama (1) ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga diperoleh SPLDV. 3) Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah kedua (2) Contoh: Carilah himpunan penyelesaian SPLTV berikut dengan metode substitusi!



Jadi, HP SPLTV itu adalah {(5,3,7)}



Menyelesaian SPLTV dengan Metode Eliminasi Substitusi Untuk menentukan penyelesaian/himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode eliminasi, langkah-langkahnya sebagai berikut: 1) Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z sehingga diperoleh Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLTV). 2) Selesaikan SPLTV yang diperoleh dari langkah (1) 3) Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada langkah-langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai variabel yang lainnya.



Contoh 2.3



Jumlah tiga bilangan sama dengan 45. Bilangan pertama ditambah 4 sama dengan bilangan kedua, dan bilangan ketiga dikurangi 17 sama dengan bilangan pertama. Tentukan masing-masing bilangan tersebut.



Alternatif Penyelesaian Misalkan:



x = bilangan pertama y = bilangan kedua z = bilangan ketiga Berdasarkan informasi pada soal diperoleh persamaan sebagai berikut.



x + y + z = 45



(2.16)



x+4=y



(2.17)



z – 17 = x



(2.18)



Ditanyakan: Bilangan x, y, dan z. Kamu dapat melakukan proses eliminasi pada persamaan (2.16) dan (2.17).



Sehingga diperoleh



x + y + z = 45 x – y = –4 2x + z = 41 Diperoleh persamaan baru, 2x + z = 41



(2.19)



Lakukan proses eliminasi pada persamaan (2.18) dan (2.19), sehingga diperoleh



x – z = –17 2x + z = 41 3x = 24



Diperoleh 3x = 24 atau x =



24 3



atau x = 8.



Lakukan proses substitusi nilai x = 8 ke persamaan (2.17) diperoleh (8) + 4 = y ⇒ y = 12 Substitusikan x = 8 ke persamaan (2.18) diperoleh z – 17 = (8) ⇒ z = 25 Dengan demikian, bilangan x = 8, bilangan y = 12, dan bilangan z = 25.