Analisis Riil [PDF]

Citation preview

KEKONTINUAN DAN GAUGE Resume Ini Dibuat Untuk Memenuhi Sebagian Tugas Mata Kuliah Analisis Riil 2



Disusun Oleh: Danu Darmawan (3125110335)



Program Studi Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Jakarta 2013



Kita akan membahas beberapa konsep yang akan dipelajari nanti, khususnya pada bab selanjutnya dalam teori integral yaitu mengenai kekontinuan dan gauge. Tetapi, pada bahasan ini akan dijelaskan sedikit tentang ’gauge’ karena ada kaitannya dengan fungsi kontinu. Pada pembahasan ini yang pertama akan didefinisikan adalah tentang notasi partisi bertanda pada sebuah interval.



Definisi: Partisi pada sebuah interval I := [a, b] adalah koleksi P = {I1 , ..., In } dari interval tutup [a, b] yang tidak saling tumpang tindih. Kita dapat notasikan intervalinterval tersebut sebagai Ii := [xi−1 , xi ], dimana: a = x0 < ... < xi−1 < xi < ...xn = b Titik xi (i = 0, ..., n) disebut titik-titik partisi dari P. Jika titik ti dipilih dari masing-masing interval Ii untuk i = 1, ..., n maka titik ti disebut penanda dan himpunan pasangan P˙ = {(I1 , t1 ), ..., (In , tn )} disebut partisi yang ditandai dari I.



”Fineness” atau kehalusan dari partisi P mengacu pada panjang subintervalsubinterval di P. Kehalusan ini tidak mengacu pada satu bilangan tertentu, tetapi lebih sering untuk menentukan tingkat kehalusan subinterval yang berbeda di P. Kehalusan ini kita sebut ”gauge”.



Definisi: Gauge pada I adalah fungsi positif yang terdefinisi pada I. Jika δ adalah gauge pada I, maka partisi P˙ dikatakan δ-fine jika: ti ∈ Ii ⊆ [ti − δ(ti ), ti + δ(ti )] untuk i = 1, ..., n Perlu diingat bahwa notasi δ-fine mengharuskan bahwa partisisnya ditandai, maka dalam hal ini kita tidak perlu mengatakan ”partisi yang ditandai”. Gauge δ pada sebuah interval I menugaskan interval [t − δ(t), t + δ(t)] ke setiap t ∈ I. Partisi δ-fine dari partisi P˙ mengharuskan bahwa subinterval Ii dari P˙ terkandung dalam interval yang bergantung pada gauge δ dan penanda ti untuk interval tersebut.



1



Lemma: Jika partisi P˙ dari I := [a, b] adalah δ-fine danx ∈ I, maka ∃ ti ∈ P˙ 3 |xi − ti | ≤ δ(ti ). Bukti: Jika x ∈ I, maka ∃ subinterval [xi−1 , xi ] dari P˙ yang mengandung x. Karena P˙ adalah δ-fine, maka ti − δ(ti ) ≤ xi−1 ≤ x ≤ xi ≤ ti + δ(ti ). Jika disederhanakan, maka |x − ti | ≤ δ(ti ). Terbukti.



Dalam teori Integral Riemann, kita akan menggunakan fungsi konstan gauge δ untuk mengendalikan kehalusan dari partisi. Dalam teori perumuman Integral Riemann, penggunaan gauge yang tidak konstan adalah penting. Namun, fungsi non-konstan gauge tersebut muncul karena hubungannya dengan fungsi kontinu. Contoh: Misal f : I → R kontinu pada I dan  > 0 ∀t ∈ I,∃ δ (t) > 0 3 jika |x − t| ≤ δ (t) dan x ∈ I, maka |f (x) − f (t)| < . Karena δ terdefinisi dan merupakan fungsi positif pada I, maka fungsi δ adalah gauge pada I.



Selanjutnya dalam bab ini, kita akan menggunakan hubungan antara gauge dan kekontinuan untuk memberikan pembuktian alternatif dari sifat dasar fungsi kontinu yang telah dibahas pada bagian materi sebelum ini mengenai Fungsi Kontinu pada Interval dan Kontinu Seragam. Contoh: (a)



Jika δ dan γ adalah gauge pada I := [a, b] dan 0 < δ(x) ≤ γ(x) ∀x ∈ I, maka setiap partisi P˙ adalah δ-fine dan juga γ-fine, yaitu ti − γ(ti ) ≤ ti − δ(ti ) dan ti + δ(ti ) ≤ ti + γ(ti ), yang mengimplikasikan bahwa: ti ∈ [ti − δ(ti ), ti + δ(ti )] ⊆ [ti − γ(ti ), ti + γ(ti )] untuk i = 1, ..., n



2



(b) Jika δ1 dan δ2 adalah gauge pada I := [a, b] dan δ(x) := min{δ1 (x), δ2 (x)} ∀x ∈ I, maka δ juga merupakan gauge pada I. Karena δ(x) ≤ δ1 (x), maka setiap partisi δ-fine adalah δ1 -fine. Demikian pula, setiap partisi δ-fine adalah δ2 -fine. (c)



Anggap bahwa δ terdefinisi pada I := [0, 1] dengan  δ(x) :=



1 10 1 x 2



jika x = 0, jika 0 < x ≤ 1.



maka δ adalah gauge pada [0, 1]. Jika 0 < x ≤ 1, maka [t − δ(t), t + δ(t)] = [ 21 t, 12 t] dimana selang ini tidak memuat titik 0. Jika P˙ adalah partisi δ-fine dari I, maka satu-satunya subinterval di P˙ yang memuat 0 yaitu mengharuskan ti = 0. (d) Misal γ terdefinisi pada I := [0, 1] dengan



γ(x) :=



 



1 10 1 x 2



jika x = 0 atau x = 1, jika 0 < x < 12 ,  1 (1 − x) jika 12 < x < 1. 2



maka γ adalah gauge pada I. Keberadaan Partisi δ-fine Berdasar beberapa contoh diatas, tidak menjamin bahwa sebarang gauge δ sebuah partisi δ-fine. Sekarang kita akan menggunakan sifat Suprimum R untuk membangun keberadaan pasrtisi δ-fine. Teorema: Jika δ adalah gauge yang terdefinisi pada interval [a, b], maka terdapat partisi δ-fine dari [a, b].



Bukti: Misal ∅ = 6 E = x ∈ [a, b] 3 ∃ partisi δ-fine dari subinterval [a, x]. ([a, x], a) adalah partisi δ-fine dari interval [a, x] ketika x ∈ [a, a + δ(x)] dan x ≤ b. Karena E ∈ [a, b], maka E terbatas. Menurut aksioma kelengkapan, Sup E , ada. Misal Sup E = u 3 a < u ≤ b. Akan ditunjukkan bahwa u ∈ E dan u = b.



3



Claim: u ∈ E Karena u − δ(u) < u = Sup E, ∃ v ∈ E 3 u − δ(u) < v < u. M isal1 adalah partisi δ-fine dari [a, v] dan P˙ 2 := P˙ 1 ∪ ([u, v], u). Maka P˙ 2 adalah partisi δ-fine dari [a, u] 3 u ∈ E. Anggap bahwa u < b. Misal w ∈ [a, b] 3 u < w < u + δ(u). Jika Q˙ 1 adalah partisi δ-fine dari [a, u] 3 u ∈ E, misal Q˙ 2 := Q˙ 1 ∪ ([u, w], u). Maka Q˙ 2 adalah partisi δ-fine dari [a, w] 3 w ∈ E. Hal ini kontradiksi dengan u adalah batas atas dari E. Maka u = b. Terbukti. Beberapa Aplikasi Kita akan melihat bagaimana gauge digunakan untuk pembuktian alternatif beberapa teorema besar, seperti: 1. Pembuktian Alternatif dari Teorema 5.3.2: Teorema Keterbatasan ”Misal I = [a, b] ⊆ R interval tutup di R, f : I → R kontinu, maka f (I) terbatas.” Bukti: Karena f kontinu di I, maka ∀t ∈ I, ∃ δ(t) > 0 3 jika x ∈ I dan |x−t| ≤ δ(t), maka |f (x) = f (t)| ≤ I. Dengan demikian, δ adalah gauge pada I. Misal {(Ii , ti )}ni=1 adalah partisi δ-fine dari I, dan K := maks{|f (ti )| : i = 1, ..., n}. Berdasarkan Lemma, diberikan x ∈ I ∃ i dengan |x − ti | ≤ δ(ti ), maka berlaku: f (x) ≤ |f (x) − f (ti )| + |f (ti )| ≤ 1 + K. Karena x ∈ I sebarang, maka f terbatas oleh 1 + K pada I. Terbukti. 2. Pembuktian Alternatif dari Teorema 5.3.4: Teorema MaksimumMinimum ”Misal ∅ 6= I = [a, b] ∈ R. f : I → R kontinu, maka f mempunyai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak.” 4



Bukti: Akan dibuktikan keberadaan x∗ . Misal M = Sup {f (x) : x ∈ I}. Anggap bahwa f (x) < M, ∀x ∈ I. Karena f kontinu pada I, maka ∀t ∈ I, ∃ δ(t) > 0 3 jika x ∈ I dan |x − t| ≤ δ(t), maka f (x) < 11 (M + f (t)). Dengan demikian, δ adalah gauge pada I. Misal {(Ii , ti )}ni=1 adalah partisi δ-fine dari I, maka f := M



1 2



maks{M + f (ti ), ..., M + f (tn )}.



Berdasarkan Lemma, diberikan x ∈ I ∃ i dengan |x − ti ≤ δ(ti ), maka berlaku: f. f (x) ≤ 12 (M + f (ti )) ≤ M f(< M ) adalah batas atas untuk f pada I. Karena x ∈ I sebarang, maka M Hal ini kontradiksi dengan M adalah suprimum f , maka M adalah suprimum f . Terbukti. 3. Pembuktian Alternatif dari Teorema 5.3.5: Teorema Lokasi Akar ”Misal I = [a, b] 6= ∅. f : I → R kontinu. Jika f (a) < 0 < f (b) atau f (b) < 0 < f (a), maka ∃ c ∈ I 3 f (c) = 0.” Bukti: Asumsikan bahwa f (t) 6= 0 ∀t ∈ I. Karena f kontinu di t, Latihan 5.1.7 mengimplikasikan bahwa ∃ δ(t) > 0 3 jika x ∈ I dan |x − t| ≤ δ(t), maka f (x) > 0 jika f (t) < 0, dan f (x) < 0 jika f (t) > 0. Maka δ adalah gauge pada I dan misal {(Ii , ti )}ni=1 adalah partisi δ-fine. Perhatikan bahwa ∀i, baik f (x) < 0 ∀x ∈ [xi−1 , xi ] atau f (x) > 0 ∀x. Jika f (x0 ) = f (a) < 0, maka f (x1 ) < 0, f (x2 ) < 0, ..., f (b) = f (xn ) < 0. Bentuk ini kontradiksi dengan hipotesis f (b) > 0. Terbukti. 4. Pembuktian Alternatif dari Teorema 5.4.3: Teorema Kontinu Seragam



5



”Jika I interval tutup dan f : I → R kontinu, maka f kontinu seragam.” Bukti: Misal  > 0. Karena f kontinu pada t ∈ I, ∃ δ(t) > 0 3 jika x ∈ I dan |x − t| ≤ 2δ(t), maka |f (x) − f (t)| ≤ 21 .Dengan demikian δ adalah gauge pada I. Jika {(Ii , ti )}ni=1 adalah partisi δ-fine, kita misalkan δ := min{δ(ti ), ..., δ(tn )}. Anggapbahwax, u ∈ I dan |x−u| ≤ δ , dapat dipilih i dengan |x−ti | ≤ δ(ti ). Karena |u − ti | ≤ |u − x| + |x − ti | ≤ δ + δ(ti ) ≤ 2δ(ti ), maka berlaku: |f (x) − f (u)| ≤ |f (x) − f (ti )| + |f (ti ) − f (u)| ≤ 12  + 12  = . Maka f kontinu seragam di I. Terbukti. SUMBER Barlte, Robert G and Donald R Sherbert. (2011). ”Introduction to Real Analysis, 4th edition”. Wiley



6