Bahan Ajar SPLDV [PDF]

Citation preview

Bahan Ajar Matematika Kelas XI Materi prasyarat



spldv Oleh 1|Page



Constanti Agnastasia Siwi Constanti Agnastasia Siwi |



SMK Negeri 1 Tondano



Sistem persamaan linear dua variabel BAB I PENDAHULUAN A. DESKRIPSI SINGKAT Materi pelajaran ini membahas tentang Sistem Persamaan Linear Dua Variabel bagi peserta didik dalam menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan SPLDV. Materi yang dibahas adalah menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan metode subtitusi, eliminasi , gabungan dan metode grafik



B. RELEVANSI Materi pelajaran ini berguna bagi peserta didik dalam menguasai metode grafik untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLDV. Dengan demikian peserta didik dapat mampu menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan SPLDV



C.Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi



KOMPETENSI DASAR PENGETAHUAN 3.3. Menentukan nilai variabel pada sistem persamaan linear dua variabel dalam masalah kontekstual



KETERAMPILAN 4.3. Menyelesaikan masalah sistem persamaan linier dua variabel



INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI PENGETAHUAN



KETERAMPILAN



Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variable dengan menggunakan metode subtitusi Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variable dengan menggunakan metode eliminasi Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variable dengan menggunakan metode gabungan Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variable dengan menggunakan metode grafik



2|Page



Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dalam masalah kehidupan sehari-hari dengan menggunakan metode subtitusi Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dalam masalah kehidupan sehari-hari dengan menggunakan metode eliminasi Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dalam masalah kehidupan sehari-hari dengan menggunakan metode gabungan Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dalam masalah kehidupan sehari-hari dengan menggunakan metode grafik



Constanti Agnastasia Siwi |



SMK Negeri 1 Tondano



BAB II PENYAJIAN A. URAIAN ATAU PENJELASAN MATERI Sistem persamaan linear adalah himpunan beberapa persamaan linear yang saling terkait, dengan koefisien-koefisien persamaan adalah bilangan real. Sistem persamaann linear dua variabel (SPLDV) adalah suatu sistem persamaan linear yang memiliki dua variabel. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel yang mempunyai variabel x dan variabel y adalah a1 x + b1y = c1 a2y + b2 y = c2 dengan a1, a2, b1, b2, c1, dan c2 adalah bilangan riil. Terdapat beberapa kondisi dalam SPLDV, yaitu :  untuk c1 = c2 = 0 maka SPLDV tersebut disebut persamaan homogen dimana persamaan tersebut mempunyai 1 HP saja yaitu (0,0).  untuk c1 = c2 ≠ 0 maka SPLDV tersebut disebut persamaan tak homogen 



untuk







untuk



=



, SPLDV tidak memiliki himpunan penyelesaian karena garis tersebut sejajar.



=



, SPLDV memiliki himpunan penyelesaian yang tak terhingga karena garis



tersebut berimpit . Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier adalah dengan mencari harga variabel atau peubah (x dan y) yang memenuhi sistem persamaan tersebut. Himpunan penyelesaian dapat dicari dengan menggunakan metode eliminasi, substitusi atau campuran dari kedua metode tersebut. a. Metode subtitusi Substitusi artinya mengganti atau menyatakan salah satu variabel dengan variabel lainnya. b. Metode eliminasi Eliminasi artinya melenyapkan. Menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan cara eliminasi artinya mencari nilai variabel dengan melenyapkan variabel yang lain dengan cara mengurangkan atau menjumlahkannya. Untuk melenyapkan variabel tersebut, koefisiennya harus sama. Jika belum sama, maka masing-masing persamaan dikalikan dengan bilangan tertentu sehingga memiliki koefisien yang sama. Jika salah satu variabel dari dua persamaan memiliki koefisien sama, maka persamaan satu dijumlahkan dengan yang lainnya. Tetapi jika memiliki koefisien yang berlawanan, persamaan satu dikurangkan dengan yang lainnya. c. Metode gabungan d. Metode grafik Adapun langkah-langkah penyelesaian SPLDV dengan metode grafik, yaitu :



1. Menentukan kalimat /model matematika pada soal cerita yang berkaitan dengan SPLDV (jika belum tersedia) 2. Menggambar garis persamaan linear dengan menentukan titik potong sumbu X dan titik potong sumu y 3. Melihat titik potong dari SPLDV. titik potong itulah yang merupakan himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut.



3|Page



Constanti Agnastasia Siwi |



SMK Negeri 1 Tondano



4|Page



Constanti Agnastasia Siwi |



SMK Negeri 1 Tondano



Contoh Soa l 1 Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan dari SPLDV di bawah ini : 2x + y = 8 ; 2x + 3y = 12 ;



J a w a b Penyelesaian : Metode subtitusi



Penyelesaian : Metode eliminasi



Dik :



Eliminasi variable y 2x + y = 8 Ix...I 6x +3y = 24 2x + 3y = 12 Ix...I ...x +...y = ... ... x + 0 = ... 4x = ...



2x + y = 8 ……. (i) 2x + 3y = 12 …...(ii) Dit : HP = … ? Persamaan (i) dapat menjadi , 2x + y = 8 y = ... – ... dari y = ... – ..x kemudian di subtitusi ke persamaan (ii) 2x + 3y = 12 2x + 3 ( ... – ...) = 12 2x + ... - ... = 12 ...x + ... = 12 ...x = 12 ... ... x x



= = ...



untuk mendapatkan nilai y, subtitusikan nilai x = ... ke y = 8 – 2x . y = 8 – 2x = 8 – 2(...) = 8 – ... = ... Jadi , HP ={ (x,y) } = { ... , ...}



5|Page



Penyelesaian :



x= x = ... eliminasi variable x 2x + y = 8 Ix...I ...x + ...y = ... 2x + 3y = 12Ix...I 2x + 3y = 12 0 - ...y = ... ... y = ... y= y = ...



Jadi , HP ={ (x,y) } = { ... , ... }



Dik : Dit :



2x + y = 8 ……. (i) 2x - y = 10 …...(ii) HP = … ?



Metode gabungan Eliminasi variable y



Eliminasi variable y 2x + y = 8 Ix...I 6x +3y = 24 2x + 3y = 12 Ix...I ...x +...y = ... ... x + 0 = ... 4x = ... x= x = ... Subtitusi variable



Untuk mendapatkan nilai y, subtitusi nilai x = 3 ke persamaan (i) atau (ii). 2x + y = 8 2(...) + y= 8 ... + y = 8 y = 8 – ... y = ... Jadi , HP ={ (x,y) } = { ... , ... }



Constanti Agnastasia Siwi |



SMK Negeri 1 Tondano



Contoh Soa 2 1 Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan dari SPLDV di bawah ini : 2x + y = 8 ; 2x + 3y = 12 ; J a w a b



Langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut. 1. Menentukan model matematika pada soal cerita yang berkaitan dengan SPLDV (jika belum tersedia) SPLDV : Persamaan 1 : 2x + y = 8 Persamaan 2 : 2x + 3y = 12 2. Menggambar garis persamaan linear dengan menentukan titik potong sumbu X dan titik potong sumu y Untuk persamaan 1: 2x + y = 8 Titik potong sumbu X , dengan syarat y = 0 ( 4,0) Titik potong sumbu Y, dengan syarat x = 0 ( 0,8 ) Untuk persamaan 2 : 2x + 3y = 12 Titik potong sumbu X , dengan syarat y = 0 ( 6,0) Titik potong sumbu Y, dengan syarat x = 0 ( 0,4 ) Grafik persamaan 1 dan persamaan 2 ditunjukkan oleh gambar berikut.



A



•



3. Melihat titik potong dari SPLDV. titik potong itulah yang merupakan himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut. Dari gambar , diperoleh titik potongnya, yaitu titik A dengan koordinat (3,2). Jadi, diperoleh nilai x dan y berturut-turut adalah 3 dan 2



6|Page



Constanti Agnastasia Siwi |



SMK Negeri 1 Tondano



Contoh 3 Andi dan Risa pergi ke Toko Buku Bersama. Andi membeli 2 buku dan 1 pulpen sedangkan Risa membeli 2 buku dan 4 pulpen. Saat akan membayar di kasir, Andi membayar Rp. 24.000 dan Risa membayar Rp. 36.000. tentukanlah : 1. Berapa harga 1 buku pada Toko Buku Bersama ? 2. Berapa harga 1 pulpen pada Toko Buku Bersama ?



Jawab Langkah 1 : Menentukan model matematika pada soal cerita yang berkaitan dengan SPLDV (jika belum tersedia) Agar lebih mudah dalam membuat model matematika, buatlah tabel yang berisi informasi soal .



Andi Risa



Buku (x)



Pulpen (y)



2 2



1 4



Total yang dibayarkan 24.000 36.000



Misalkan x = harga buku dan y adalah harga pulpen, diperoleh SPLDV : Andi Persamaan 1 : 2x + y = 24.000 Risa Persamaan 2 : 2x + 4y = 36.000 Masalah tersebut diatas dinamakan sistem persamaan linier dua variabel



Sistem persamaan tersebut bukan merupakan sistem persamaan tak homogen karena untuk c1 = c2 ≠ 0 , ≠ dan



≠



.



Langkah 2 : Menggambar garis persamaan linear dengan menentukan titik potong sumbu X dan titik potong sumbu y Untuk menggambar sebuah garis cukup menentukan dua buah titik yang memenuhi persamaan garis yang diberikan. Persamaan 1 : 2x + y = 24.000 Titik potong sumbu X , dengan syarat y = 0 2x + y = 24.000 2x + 0 = 24.000 subtitusi y = 0 kedalam persamaan 2x = 24.000 operasi dengan bilangan identitas menghasilkan bilangan itu sendiri



( ). 2x = 24.000 . ( ) dikalikan dengan invers perkalian dari koefisien 2 X = 12.000 Sehingga Titik potong sumbu X adalah (x , y ) = ( 12.000,0)



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Titik potong sumbu Y, dengan syarat x = 0 2x + y = 24.000 2.0 + y = 24.000 subtitusi x = 0 kedalam persamaan 0 + y = 24.000 operasi dengan bilangan identitas menghasilkan bilangan itu sendiri



y = 24.000 Sehingga, Titik potong sumbu Y adalah (x , y ) = ( 0,24.000 )



7|Page



Constanti Agnastasia Siwi |



SMK Negeri 1 Tondano



--------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Persamaan 2 : 2x + 4y = 36.000 Titik potong sumbu X , dengan syarat y = 0 2x + 4y = 36.000 2x + 4.0 = 36.000 subtitusi y = 0 kedalam persamaan 2x + 0 = 36.000 2x = 36.000 operasi dengan bilangan identitas menghasilkan bilangan itu sendiri



( ). 2x = 36.000 . ( ) dikalikan dengan invers perkalian dari koefisien 2 x = 18.000 Sehingga Titik potong sumbu X adalah (x , y) = (18.000,0) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------Titik potong sumbu Y, dengan syarat x = 0 2x + 4y = 36.000 2.0 + 4y = 36.000 subtitusi x = 0 kedalam persamaan 0 + 4y = 36.000 4y = 36.000 operasi dengan bilangan identitas menghasilkan bilangan itu sendiri



( ). 4y = 36.000 . ( ) y = 9.000



dikalikan dengan invers perkalian dari koefisien 4



Sehingga Titik potong sumbu Y adalah (x , y) = ( 0,9000 )



Grafik persamaan 1 dan persamaan 2 ditunjukkan oleh gambar berikut.



Langkah 3 : Melihat titik potong dari SPLDV. Titik potong itulah yang merupakan himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut Dari gambar , diperoleh titik potongnya, yaitu titik B dengan koordinat ( x , y ) = (10.000,4000). Jadi, diperoleh harga buku adalah Rp.10.000 dan harga pulpen adalah Rp. 4000.



8|Page



Constanti Agnastasia Siwi |



SMK Negeri 1 Tondano



B. LATIHAN 1. Jumlah dua bilangan adalah 14 dan selisihnya 6. Carilah bilangan-bilangan itu. 2. Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV dari



!



3. Andi dan Risa pergi ke Toko Buku Bersama. Andi membeli 2 buku dan 1 pulpen sedangkan Risa membeli 2 buku dan 4 pulpen. Saat akan membayar di kasir, Andi membayar Rp. 22.000 dan Risa membayar Rp. 28.000. tentukanlah : a. Berapa harga 1 buku pada Toko Buku Bersama ? b. Berapa harga 1 pulpen pada Toko Buku Bersama ? c. Berapa yang akan dibayarkan ketika membeli 4 buku dan 2 pulpen ?



C. RANGKUMAN Metode penyelesaian SPLDV terdapat 4 metode yaitu metode grafik, metode subtitusi, eliminasi dan gabungan. Pada bahan ajar ini, terlebih dahulu akan diajarkan metode grafik sebagai alternatif penyelesaian SPLDV . Adapun langkah-langkah penyelesaian SPLDV dengan metode grafik, yaitu :



1. Menentukan model matematika pada soal cerita yang berkaitan dengan SPLDV (jika belum tersedia) 2. Menggambar garis persamaan linear dengan menentukan titik potong sumbu X dan titik potong sumu y 3. Melihat titik potong dari SPLDV. titik potong itulah yang merupakan himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut.



9|Page



Constanti Agnastasia Siwi |



SMK Negeri 1 Tondano



BAB III PENUTUP A. TES FORMATIF Jawablah soal berikut berdasarkan yang Anda pelajari 1. Jumlah dua bilangan adalah 28 dan selisihnya 12. Carilah bilangan-bilangan itu ! a. Nilai x = 10 dan nilai y = 4 b. Nilai x = 10 dan nilai y = 8 c. Nilai x = 15 dan nilai y = 8 d. Nilai x = 20 dan nilai y = 8 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari a.{(0,1)} c.{(1,0)}



!



b.{(0,0)} d.{(1,1)}



3. Tentukan himpunan penyelesaian dari



a.{(-1,1)} c.{(2,-1)}



!



b.{(-2,1)} d.{(2,1)}



4. Harga 5 buku tulis dan 2 pensil di koperasi adalah Rp13.000,00. Harga 3 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp10.500,00. Berapa harga sebuah buku tulis?



a.1000



b.1500



c.2000



d.2500



5. Harga 5 buku tulis dan 2 pensil di koperasi adalah Rp13.000,00. Harga 3 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp10.500,00. Berapa harga sebatang pensil?



a.1000



b.1500



c.2000



d.2500



B. UMPAN BALIK Periksalah pemahaman Anda dengan materi yang disajikan dalam kegiatan pembelajaran ini melalui hasil pengerjaan latihan/tugas serta tes formatif pada kegiatan pembelajaran ini. Jika Anda dapat memahami sebagian besar materi dan dapat menjawab latihan/tugas serta tes formatif yang diberikan dengan nilai benar mencapai 80% maka Anda dianggap telah menguasai kompetensi yang diharapkan. Namun jika tidak atau Anda merasa masih belum optimal, silakan pelajari kembali dan berdiskusi dengan teman kelompok ataupun guru Anda untuk memantapkan pemahaman dan memperoleh kompetensi yang diharapkan.



C. TINDAK LANJUT Setelah selesai mempelajari dan menguasai kompetensi pembelajaran ini, Anda dapat beralih pada Materi pembelajaran berikutnya.



D. KUNCI JAWABAN Kunci jawaban untuk tes formatif 1. d. Nilai x = 20 dan y = 8 2. a.{(0,1)} 3. b. {(2,-1)} 4. c. Rp. 2000 5. a. Rp.1500



10 | P a g e



Constanti Agnastasia Siwi |



SMK Negeri 1 Tondano



DAFTAR PUSTAKA



To’ali. 2008.



Matemtika X Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) Kelompok Penjualan dan Akuntansi untuk kelas X. Jakarta :Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional



Senarai Sistem persamaan linear adalah himpunan beberapa persamaan linear yang saling terkait, dengan koefisien-koefisien persamaan adalah bilangan real. Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah suatu sistem persamaan linear yang memiliki dua variabel.



11 | P a g e



Constanti Agnastasia Siwi |



SMK Negeri 1 Tondano