21 0 262 KB
Bab I Deret Pangkat I.1 Pendahuluan (Deret Geometri) Banyak kasus
solusi masih fisis sangat sulit
Masih berharap ada solusi alternatif Solusi pendekatan (proklamasi) Solusi ini muncul dalam bentuk deret Perhatikan deret bilangan : (i)
1, , ,
(ii) a, ar, ar2, ar3, ar4
,
Bilangan di atas membentuk barisan geometri If (i) dijumlahkan 1+
+
+
+
+ ………….(1)
Disebut deret Penjumlahan dilakukan tanpa henti
dinyatakan tiga titik dibelakang disebut tak
hingga (infinite series) (1) Ditulis dalam bentuk a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + …………(2) (a = 1 dan r = 2/3 ) Deret geometri Sn = a + ar + ar2 + ….. + ar n-1 ……..(3)
Sn = a
Jika n
, maka
(4)
S=
Sn .
(5)
Deret hanya mempunyai jumlah berhingga jika hanya │r│< 1 I.2 definisi dan Notasi Banyak deret tak hingga bukan deret geometri cs: (i)
1 + 4 + 9 + 16 + …… + + +
(ii)
+
(iii)
+ ………. -
+ ………
Secara umum deret- deret tersebut ditulis a1 + a2 + a3 + …… + an + …….. atau dalam bentuk notasi
Sebagaimana deret geometri didefinisikan Sn Sn = Or S=
Sn
disebut jumlah parsial
disebut jumlah dari deret
Konvergen dan divergen. -
Jika s berupa satu nilai tertentu = disebut konvergen
-
Jika s tidak berupa satu nilai tertentu = disebut divergen
Cs Teliti (selidiki) jumlah s dari pers 1
+
4
Jwb Untuk n
S maka n2
+
9
+
16
+
……
=
Dmk S=
dikatakan jumlah s tidak ada (karena bukan bilangan ttt, ingan s bukanlah bilangan Deret divergen
Cs Tentukan an dan selidiki jumlah deret S dari deret : 1 – 1 + 1 – 1 +1 – 1 + …. Jwb 1
–
1
+
1
–
1
+
1
–
1
+
…..
Dmk
S dapat nol atau satu
karena itu S tidak tertentu dan deret dikatakan divergen.
Uji konvergensi o Uji pendahuluan dinyatakan Suatu deret = Adalah Divergen jika suku tak hingga deret tersebut tidak menuju nol. Dengan kata lain: Jika
maka deret divergen
Contoh 3: Tentukan konvergensi deret 1 + 4 + 16 +... (menggunakan uji pendahuluan) Jawab: dari contoh 1 kita dapatkan ɑn = n2 mx ɑn =
n2 =
Demikian deret divergen (seperti contoh 1 ) Contoh 4: tentukan deret konvergen 1+ + Jawab : suku ke- n deret tersebut adalah ɑn = sehingga ɑn =
=
Maka deret apa...? Ingat, uji pendahuluan hingga dapat menyimpulkan Jika
ɑn
Jika
ɑn = 0karena itu diperlukan cara pengujian yang lain
dan tidak mengatakan apa-apa
• uji integral: menyatakan
deret
konvergen jika berhingga
berhingga dan divergen jika tak
hingga = CS 5. Tentukan konvergensi deret Jawab : suku ke n deret ,u=
= Disimpulkan diret divergen CS 6 Tentukan konvergen deret pada contoh 4 menggunakan uji integral Jawab: Suku an= = ln =
Divegen CS 7 : Tentukan konvergen deret
Jawab : Uji integral tidak bisa menentukan konvergensi deret tersebut kita selidiki
dengan uji pendahuluan
Kedua uji tersebut tidak dapat menetukan konvergensi
Sehingga perlu uji yang lain •
Uji banding (the comparison test) Dalam uji banding terdapar dua deret yaitu : 1.Deret yang akan di tentukan konvergensinya :
2.Deret yang diketahui konvergensinya:
Uji banding menyatakan : Jika
konvergen dan
Jika
divergen dan
Jika yang tersebut adalah kebalikan dari keduanya maka uji banding tidak dapat memberikan kesimpulan apa – apa. CS 8 Selidiki konvergensi deret pada contoh 7 dengan uji banding .............................................. Dari soal contoh 7: ...............................
Untuk n
berlaku ln n < n atau
Karena
divergen maka
divergen
CS 9 : tentukan konvergen deret persamaan (6 (ii))
Jawab: uji banding: kesulitan mencari pembandingya Uji integral: tidak sederhana (integral no simple) Uji pendahuluan : memberikan
dn = 0 tidak dapat ditentukan penentukan
konvergennya. Misalkan
adalah perbandingan atau rasio antara suku ke (n+1) dan suku ke-
n dan untuk n besar 5 elkah
Jika : deret konvergen konvergen tidak diketahui deret divergen CS 10: tentukan konvergensi deret (contoh 9)
Jawab: suku ke (n+1) dan ke n deret diatas:
Sehingga
Demikian deret
CS.11: tentukan konvergensi deret:
Jawab: Karena
deret tersebut konvergen
Contoh-contoh diatas di bahas deret dengan suku positif Now Deret bolak-balik (alternating series) (8) (9) Uji konvergensi bolak-balik dilakukan sebagai berikkut: Deret bolak-balik konvergen jika
(xx) ke dalam persamaan 12
Karena itu cos x konvergen untuk semua x
Beberapa fungsi dasar dalam bentuk cuspansi deret
untuk semua
untuk semua
untuk semua
untuk -1
untuk -1