Fisika Matematika 3 [PDF]

Citation preview

FISIKA MATEMATIKA 3 DOSEN : DEDI SUYANTO Ph.D



Pustaka : 1. M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3rd Ed, John Wiley and Sons, 2006. 2. G.B. Arfken and H.J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 5th Ed, Hartcourt Academic Press, 2001. 3.Murray R.Spiegel,Theory and Problem Fourier Analysis, McGraw Hill,1974. Isi Kuliah: -Fungsi Gamma. -Fungsi Error. -Fungsi Beta. -Metodeseparasi variable dalam PD parsial. -Persamaandiferensial Legendre. -Polinomial Legendre terasosiasi. -Persamaandiferensial Bessel. -Fungsi Bessel jenisdua. -FungsiHermite. -FungsiLaguere. -Persamaan Poisson. -Persamaan Green. Ujian I UTS jadwal UTS bahan: fungsi Gamma,Beta.error, metode separasi variable. Ujian II 10 November 19 bahan Persamaandiferensial Legendre.Polinomial Legendre terasosiasi.PersamaanBessel,Besseljenisdua,fungsiHermite. Ujian III jadwal UAS bahan fungsi ,Laguere PersamaanPoisson,fungsiGreen. 1.FUNGSI GAMMA Dalam Fisika banyak dijumpai fungsi khusus yang didapat dari persamaan diferensial atau tidak berasal dari persamaan diferensial. Fungsi Gamma adalah fungsi khusus yang tidak diturunkan dari persamaan diferensial. Pandang integral,



, diturunkan terhadap α ˗˃ ,



diturunkan terhadap α lagi berturut turut setelah diturunkan n kali didapat



dipilih α=1



berlaku untuk setiap n bilangan bulat positif. Supaya konsisten dilihat kalau n = 0,



Didefinisikan



maka -> atau definisi integral darifungsi Gamma. Misal dan



di integral parsial



Hubunganrekursi



Dari hubungan rekursi bisa dipakai untuk mencari fungsi Gamma yang lain, menyederhanakan atau menuliskan dalam bentuk lain.Sifatnya seperti fungsi trigonometri,sehingga integral disebut fungsi Gamma. Untuk p < 0



negative diantara 0,-1



positif diantara -1,-2.



Fungsi Gamma menjadi tak berhingga untuk p = 0 dan bilangan bulat negative. Dari definisi akan dihitung harganya. kalau digunakan variable x Kalikan kedua integral gunakan kordinat polar, integral pada kuadran pertama.



Stephenson &Radmore. Dengan menggunakan fungsi Gamma bisa dihitung banyak integral. Contohnya:



Hitung



misal



gunakan substitusi



maka maka



Sebuah benda ditarik pada titik O dengan gaya yang berbanding terbalik dengan jarak dari O. Bila benda dilepas dari keadaan diam, hitung waktu yang diperlukan untuk sampai ke O. syarat batas v = 0 di x = a, maka



-> Misal



->



->



Turunan dari fungsi Gamma juga bisa dihitung, turunan terhadap x



gunakan



Untuk x = 1



Dimana γ disebut konstanta Euler yang harganya bisa dihitung secara numeric atau dari definisi lain =



Bisadibuktikanbahwa identitas ini berlaku pula untuk p bukan bilangan bulat.



Dari hubungan



fungsi Gamma biasa disebut fungsi factorial.



Untuk bilangan negative n, fungsi factorial



rumus berlaku kalau m > 0 dan



PendekatanStirling.



misal x = n + y hingga



untuk n yang besar maka



pendekatan Stirling. Pendekatan Stirling berlaku untuk n yang besar,dari perhitungan untuk n yang kecilpun hasilnya cukup baik. Contohnya 3! = 6 dengan pendekatan Stirling = 5.836, 10! = 3 628 800 dengan pendekatan berbeda sekitar 1%. -FUNGSI BETA. Didefinisikan fungsi Beta dalam bentuk integral



Misal x = 1- y maka



B(p,q) = B(q,p) Batas integral bisa dirubah dari satuan kenilai yang lain. Misal x = y/a maka x = 1, y = a



Bentuk lain fungsi Beta didapat dengan substitusi



Dalam bentuk trigonometri,



,



Terdapat hubungan antara fungsi Beta dan Gamma.



x =1, θ = π/2



Dari definisi fungsi Gamma



Dirubah kekordinat polar



Hitung -



misal



->



2 m – 1 = 4, 2 n -1 = 5. Buktikan



->



-“ INCOMPLETE GAMMA FUNCTION” Dari definisi



dimana fungsi convergen untuk n > 0 dan n riel.



Daerah integrasidibagidua



dan disebut fungsi Gamma incomplete.Tergantung dari pemakaiannya, bisa dipakai salah satu atau keduanya. Untuk bagian , dengan integral parsial. Berlaku untuk n sembarang. Sedangkan hanya kalau n bilangan bulat berlaku



-FUNGSI KESALAHAN. Fungsi kesalahan ada hubungan dengan fungsi Gamma incomplete Didefinisikan



Fungsi Error banyak dijumpai di statistic dan Optik. Sifat fungsi kesalahan: -fungsinya ganjil, t diganti dengan –t maka -



-Untuk x kecil, suku eksponen bisadiuraikan dan di integral satu persatu



Deret dianggap pendekatan dari erf(x),untuk |x| sama dengan konstanta.



masing masing independen,kedua suku harus



λ = cν dan



-> Pemisahan variable lagi F(x,y) = H(x) Q(y)



->



-> solusinya



syarat batas F = HQ ditepi dan



dan



dimana



H(0) =0=A, H(a) = B sin ka= 0 B≠0 maka k a = mπ m bilangan bulat. dengan cara yang sama untuk Q(x) didapat C = 0 ,p = nπ/b



m = 1,2,3,…



n =1,2,3,..



fungsinya disebut fungsi eigen atau fungsi karakteristik.sedang



disebut harga eigen atau harga karakteristik.



Tergantung dari nilai a dan b, satu harga eigen bisa terkait fungsi eigen yang berbeda. Untuk a = b = 1 tapi untuk m ≠ n fungsi dan



berbeda.



yang mempunyai garis simpul di x=1/2 , y = ½



untuk harga eigen yang sama tapi B12 = 1dan fungsi eigen lain. Untuk mencari garis simpulnya,



tergantung dari nilai B21.



-PERSAMAAN LEGENDRE. Persamaan diferensial Legendre adalah dengan l konstanta. Dianggap solusinya berupa deret



kumpulkan pangkat yang sama



Suku x0 :



->



Suku x1: Suku x2: Hubungan antara berbaqai suku



-> ->



Solusi umumnya terdiri dari dua deret yang ditentukan oleh ao dan a1.



Uji perbandingan deret konvergen untuk x2< 1. Konstanta l biasanya bilangan bulat l = 0,1,2,3….. deret berhingga. Dan solusinya akan berbentuk polynomial tingkat l.untuk l = 0,1,2,3… polynomialnya a0, a1 x, a0 (1 – 3x2), a1 (3 x – 5 x2)/2 ,……. Disebut polynomial Legendre



dengan syarat normalisasi



. Contohnya



Dari deretnya bisa dicari untuk l yang sembarang, lebih mudah biasanya digunakan rumus untuk mendapatkan polynomial l besar. Polynomial Legendre biasa jugadisebut fungsi Legendre jenis pertama. Fungsi Legendre jenis kedua



berbentuk deret takberhingga, jarangdipakai.



Untuk l pecahan kedua solusinya berbentuk deret tak berhingga, lebih jarang dipakai lagi. -Rumus Rodrigues Untuk mendapatkan polynomial Legendre bisa didapat dari rumus Rodrigues: Untuk mendapatkannya, perhatikan diturunkan



dikalikan akan didapat



Diturunkan (l + 1) kali dan digunakan teorema Leibnitz akan didapat



Disederhanakan yang merupakan persamaan diferensial Legendre dalam variable independen Untukmenentukan (x2 – 1) adalah



. Solusinya



, turunan ke l dari



. Pada x = 1,



yang tidakada



maka



Rumus Rodrigues. -Fungsi pembentuk untuk polynomial Legendre. Untuk mendapatkan polynomial Legendre bisa juga didapat dari fungsi pembentuk.



Pembuktian: Rumus binomial



digunakanuntuk



parameter t dan h sama begitu pula indek l dan n. Koefisien tn dalam penguraian adalah



Yang dapat dituliskan dalam bentuk



yang merupakan polynomial Legendre.



Fungsi pembentuk penting untuk mendapatkan rumus rekursi.



diturunkan terhadap t dikalikan suku sebelah kiri dituliskan dalam polynomial.



samakan koefisien tn.



Beberapa rumus rekursi



“Complete set of orthogonal function”. Konsep dalam vector bisa diperluas untuk fungsi. Dua buah vector A dan B adalah orthogonal (saling tegak lurus) kalau perkalian titiknya sama dengan nol



Begitu pula untuk fungsi, dua buah fungsi orthogonal dalam (a,b) kalau



secara umum untuk fungsi komplek



Untuk himpunan fungsi



dengan n =1,2,3,…..



maka



adalah himpunan fungsi orthogonal.



Himpunan fungsi orthogonal yang selama ini dikenal adalah Cos nx, Sin nx. Sin nx, Cos nx adalah himpunan fungsi orthogonal di (-π,π).



Terdapat banyak fungsi orthogonal selain fungsi trigonometric dan eksponensial. Dalam vector terdapat vector basis dimana semua vector bisa diuraikan dalam basis tersebut. Dalam basis ijk semua vector bisa diuraikan dalam 3 basis tersebut, basis ijk adalah basis yang complete diruang 3D. Himpunan fungsi Sin nx dan Cos nx di (-π,π) adalah complete untukseluruh n. Fungsi Sin nx adalah orthogonal di(-π,π) tapi tidak complete,supaya complete harusditambahkan basis Cos nx. Fungsi Sin nxdan Cosnx adalah complete di (0,π). Polynomial Legendre adalah himpunan complete di (-1,1). Hanya akan ditunjukan bahwa polynomial Legendre adalah orthonormal.Biasanya fungsi orthonormal adalah fungsi yang complete artinya semua fungsi bisa diuraikan kedalam fungsi orthonormal. Pd Legendre indek l diganti dengan m akan didapat persamaan untuk Pm(x). Persamaan Pl(x) dikalikan Pm(x) dan persamaan Pm(x) dikalikan Pl(x), kemudian dikurangkan akan didapat



Dua suku pertama bisa dituliskan sebagai dan di integral



Pada batas x = ±1 suku( 1-x2) =0 berapapun Pl(x), untuk l = m sukudidepan integral = 0. untuk l ≠m integral harus nol. maka kecuali l = m. Untuk menghitung factor normalisasi, hubungan rekursi kalikan dengan Pl(x) kemudian di integral. gunakan hingga



atau



Setiap f(x) bisa diuraikan dalam polynomial Legendre. -1 < x < 1. maka



contoh uraikan f(x) = x2 gunakan rumus untuk mencari k = 0,1,2,3,4….



maka



cara lain:



f(x) polynomial tingkat dua,



maka



hingga mencari Ak(x).



untuk deret yang berhingga cara kedua lebih mudah dibandingkan



-Fungsi Legendre terasociasi. Persamaan diferensialnya berbentuk



Untuk mencari solusinya akan dicari hubungannya dengan Pl(x), substitusi persamaan menjadi kalau m = 0 akan didapat Pl(x). Diturunkan terhadap x akan didapat ini adalah persamaan differensial Legendre terasociasi dengan u’ menggantikan u dan (m+1) menggantikan m. Hingga jika Pl(x) solusidengan m = 0, makaP’l(x) solusidengan m = 1,P’’l(x) solusidengan m = 2. Secara umum untuk m bulat, 0 ≤ m ≤ l maka



adalah solusi.



Solusi persamaan diferensial Legendre terascosiasi adalah



Fungsi Legendre terasociasi adalah



Rumus Rodrigues nya m bisa positif atau negative, tapi dengan



tidak sama.



Persamaan Laplace



dalam kordinat bola dan dianggap variable terpisah



hanya sebanding



kedua sisi dianggap sama dengan konstanta dan solusinya bilangan bulat m.



supaya berharga tunggal maka



maka α harus



variable terpisah dipilih



->



dengan solusi



Bagian Θ ganti variable x = cosθ



persamaan Legendre terasociasi.



dan Perkalian antara fungsi Legendre terasociasi dan fungsi Φ disebut spherical harmonic



Yang mempunyai sifat parity atau refleksi tergantung apakah m genap atau ganjil. Contoh: -Bola tipis diberi potensial konstan vo dibagian atas setengah bola dan nol dibagian bawah,ditanya Potensial didalam bola dan diluar bola.



Potensial konstan dipermukaan,potensial tidak tergantung Φ. , Potensial berhingga di θ = 0 dan π ,



= fungsi Legendre jenis dua.



maka B2 = 0,



syarat batas



v berhingga.



a) Potensial didalam bola V berhingga di r = 0 maka B = 0



ketika r = 1 dipermukaan



solusinya superposisi



gunakan



dihitung potensial didalam bola



b) Potensial diluar bola ketika r →∞ v berhingga maka A=0 superposisi di r = 1



perhitungan Bn dan An sama



-Bola yang sama tapi diberi potensial Potensial tergantung Φ



a)potensial didalam bola v berhingga di r =0 maka B1 =0,berhingga di θ = 0 dan π maka B2 =0 m,n bilangan positif



dipermukaan untuk semua m, untuk m ≠ 2



gunakan



Untuk menghitung koefisien gunakan



dibandingkan dan



untuk k > 3.



Potensial dalam bola



b)potensial diluar bola supaya v berhingga di r→∞ dan θ =0 dan π maka A1dan B2 =0 Solusinya



superposisi



samakan



maka m =2 danBmn=0.



potensial diluar bola



-FUNGSI BESSEL Persamaan diferensial Bessel berbentuk



Solusinya dicari dalam bentuk deret k nilainya dari -∞ ke ∞ dan ck = 0 untuk k < 0.



PD menjadi supaya koefisien x(k+β) nol maka kalau k =0 dan karena c-k = 0 maka persamaan indicial



anggap c0 ≠0maka



terdapat dua kasus yaitu β = -n dan β=n. kasus β = n



masukan k = 1,2,3… secara berurutan didapat



Didapat deret



kasus β = -n ganti n dengan –n darirumus diatas didapat



Kalau n = 0 kedua deret sama, sedangkalau n = 1,2,3,4…. Deret kedua tidak ada. Kalau n≠0,1,2,3,…..bisa dibuktikan bahwa keduasolusi tidak bergantung linear maka solusi Bessel:



n bukan bilangan bulat. Didefinisikan fungsi Bessel jenis pertama tingkat n sebagai



sehingga solusi PD Bessel adalah untuk n≠0,1,2,3,…..bukan bilangan bulat. Bisa dibuktikan bahwa kalau n = 1,2,3,…..dan J-n(x) bukan solusi independen dari persamaan diferensial.Jn(x) berhingga di titik awal, tapiJ-n(x) tidak berhingga cocok untuk titik diluar titik awal. Didefinisikan fungsi Bessel jenis kedua tingkat n adalah



Solusi umum dari persamaan diferensial Bessel adalah n≥0



Tulis



Kurva dari fungsi Bessel bilangan bulat 0,1,2. Untuk n bilangan riel, Jn(x) =0 mempunyai jumlah akar yang tak berhingga. Titik nol dari fungsi Bessel harus dihitung, untuk x besar bisa ditunjukan bahwa selisih antara dua titik nol adalah π. Hubungan rekursi



hubungan rekursi ini berlaku pula untuk Yn(x)= Np(x). “generating function”



Fungsi tertentu bisa diuraikan dalam fungsi Bessel, contohnya Gunakan



samakan suku sebelah kanan dan kiri.



Bisa dibuktikan bahwa berlakuuntuk n = 0,1,2,3…dan digunakan untuk menghitung fungsi Bessel untuk n bilangan bulat. Sifat orthogonal fungsi Bessel α,β akardariJp(x). Fungsi



adalah orthogonal di (0,1) dengan “weight function” x. Atau dikatakan bahwa √𝑥 𝐽𝑛 (𝛼𝑥)dan√𝑥 𝐽𝑛 (𝛽𝑥) orthogonal di (0,1).



dimana α,β akar berbeda dari



dengan R,S konstanta.



Fungsi sembarang bisa dituliskan dalam deret Bessel dimana



Terdapat banyak persamaan diferensial yang bisa ditransformasikan kedalam persamaan diferensial Bessel. Persamaan diferensial solusinya dengan k,α,r,β konstanta dan Juga terdapat banyak fungsi yang dikaitkan terhadap fungsi Bessel. -Getaran membrane lingkaran. Persamaan gelombang



untuk membrane lingkaran (permukaan genderang/drum)



genderang jari jari R.umumnya u(r,θ) untuk permulaan dianggap getaran hanya tergantung r hingga



persamaan dengan syarat batas



pada r =R drum tetap



untuk t ≥0.



Simpangan awal hanya tergantung r u(r,0) =f(r),kecepatan awal ut(r,0) = g(r).



digunakan metode pemisahan variable



persamaan akan berlaku kalau kedua suku sama dengan konstanta, dipilih –k2 supaya solusi yang ada sesuai dengan syarat batas.



→



λ = ck.



supaya berbentuk Bessel misal s = kr, persamaan jadi



solusinya Bessel n =0 W(r) = A J0(r) + C Y0(r) solusi harus berhingga di r = 0 maka Y0(r)=0.



di r=R



Bessel mempunyai banyak akar positif



Kreyszig



→



m=1,2,3,….



solusi yang memenuhi syarat batas di r =R. Solusi umum untuk drum



um disebut mode getaran ke m dengan frekuensi . Akar dari fungsi Bessel tidak teratur maka suara drum berbeda dengan suara alat petik(gitar,biola). untuk m = 1 semua permukaan akan naik atau turun. untuk m = 2 fungsi ketika



→



merupakan garis simpul.Ketika bagian dalam naik



maka bagian luar akan turun demikian sebaliknya.Mode getaran ke m mempunyai (m-1) garis simpul yang berupa lingkaran.



Solusi umum superposisi dari semua mode



keadaan awal t=0



sehingga koefisiennya Dari ut(r,0) = g(r) koefisien Bm bisa didapat. Untuk menghitung Am harus diketahui f(r) dan integral bisa dihitung secara numeric. untuk ilustrasi kalau f(r)= 1- r2 dan kecepatan awal = 0,R=1 hanya perlu dicari



-FUNGSI HERMITE. Persamaan diferensialnya berbentuk



Solusinya bisa didapat dengan metode deret, tapi akan dipakai metode operator. Digunakan operator D ≡d/dx



nol



Persamaan awal bisa berbentuk atau



operasikan



kalau ym diketahui, dengan dioperasikannya (D-x) akan didapat ym+1.(D-x) operator kenaikan, kreasi(pembentukan). (D + x) operator penurunan, penghilangan. (D-x) dan (D+x) operator tangga. Kalau n = 0 →



maka



Fungsi Hermite



Kalikan dengan



didapat polynomial Hermite yang berbentuk rumus Rodrigue.



Sedang rumus pembentuknya adalah



Dari sini bisa dihitung polinomialnya



bandingkan kedua deret didapat



Dari rumus pembentuknya bisa diturunkan hubungan rekursi, diturunkan terhadap x



→



samakan koefisien tn



didapat → Bisa juga dibuktikan



Dari rumus rekursi didapat diturunkan terhadap x Sedang polynomial Hermite mengikuti PD Hermite.



dan



dikalikan kalikan dengan e-x2 dan di integral suku sebelah kiri



Sifat orthogonalitas



polynomial Hermite orthogonal di (-∞,∞) dengan fungsi pemberat e



-x2



Setiap fungsi sembarang bisa diuraikan dalam Hn(x)



dengan



Contoh Hk(x) polynomial tingkat k, koefisien k ≥ 4 sama dengan nol. samakan pangkat x yang sama



maka



Bisa juga dengan menggunakan rumus dengan k = 0,1,2,3,4,…di integral didapat akan didapat penguraian yang sama. Penggunaan fungsi Hermite adalah dalam oscillator harmonic



λ bisa diabaikan maka Dicoba solusi maka PD Hermite.Solusi dalam deret



Dae Man Kim.



persamaan indicial.



Untuk melihat solusi sesuai secara fisis, diperhatikan ketika ξ besar.



H(ξ) harus dimodifikasi supaya berhingga (well behaving). Ini dilakukan dengan memilih deret a0 berhingga dan a1 =0.



s=0



sehingga →



s =1



n = 0,1,2,3…. “Eigenfunction” oscillator harmonic



gunakan orthonormalisasi



Salah satu harga ekspektasi



gunakan



Dengan cara yang sama



H(ξ) fungsi genap. H(ξ) fungsi ganjil.



Bisa juga digunakan operator



a,a+ operator penurunan,penaikan.



-POLINOMIAL LAGUERRE.. Persamaan diferensial Laguerre berbentuk n =0,1,2,3,… Solusinya berbentuk deret yang disebut polynomial Laguerre, rumus Rodriguesnya dituliskan dalam bentuk



kalau turunannya dilakukan akan didapat polinomialnya



Beberapa nilai polynomial:



Fungsi Laguerre orthonormal di (0,∞) dengan fungsi pemberat e-x.



Sedang fungsi pembentuknya adalah



Sehingga dihasilkan beberapa hubungan rekursi



Setiap fungsi sembarang bisa diuraikan dalam deret polynomial Laguerre dengan koefisien



-POLINOMIAL LAGUERRE TERASOCIASI. Persamaan diferensialnya berbentuk Ini disebut terasociasi karena adanya tambahan konstanta k di suku kedua.solusinya juga terkait yaitu didapat dengan menurunkan polynomial Laguerre sebanyak k kali.



Rumus Rodriguesnya



k > -1, tidak harus bilangan bulat. Dengan menurunkan hubungan rekursi Laguerre didapat rekursi untuk Laguerre terasociasi.



Fungsinya orthonormal di (0,∞) dengan fungsi pemberat xk e-x



Untu menormalisir fungsi gelombang atom Hidrogen diperlukan



Persamaan Schrodinger untuk atom Hidrogen bagian radialnya



Dalam limit asimptotik ρ→∞, supaya tidak membesar di ρ besar pilih yang -.



solusinya



persamaan diferensial jadi solusi deret akan divergen kalau nilai λ,l sembarang. Pilih menjadi persamaan diferensial Laguerre terasociasi dengan p = 2 l + 1, q = n + l. Solusinya dengan



dan Nnl konstanta normalisasi.



Fungsi gelombang radial ternormalisir



-PERSAMAAN POISSON. Potensial gravitasi yang ditimbulkan massa m sejauh r dari titik pengamatan P dinyatakan oleh



dan Dari



dimana u sepanjang r mengarah ke titik P. V juga memenuhi persamaan Laplace.



Diperluas untuk sejumlah massa mi berjarak ri,



dan Untuk kumpulan massa kontinyu di volume τ, kerapatan ρ



potensial yang ditimbulkan massa



adalah



. Potensial



total



dan Titik P diluar volume τ dimana massa berada, diperluas kalau volume τ mencakup titik P akan didapat Persamaan Poisson. Persamaan berlaku umum tidak terbatas potensial gravitasi, maka dituliskan sebagai dan solusinya adalah



titik (x,y,z) adalah titik dimana besaran u diukur dan (x’,y’,z’) adalah titik dimana massa berada dalam volume yang di integral. Solusi persamaan Poisson ada dua yaitu u dan w dimanaw solusi persamaan Laplace Contoh



Terdapat muatan q di (0,0,a) dan bola jari jari R yang di”grounded”, dicari potensial pada titik (x,y,z) dengan



muatan titik (0,0,a) integral= q.



r jarak antara (0,0,0) ke (x,y,z) Potensial juga mengikuti persamaan Laplace dan mempunyai syarat batas di permukaan tegangan = 0 (“grounded”). Solusi persamaan Laplace di kordinat bola



solusi berhingga di ∞ maka rl tidak digunakan. Tegangan simetrik terhadap sumbu z, maka m =0 cos mφ= 0. syarat batas V = 0 di r = R



Fungsi pembentuk polynomial Legendre



koefisien cl: →



−𝑞 ∑



𝑅 2𝑙+1 −(𝑙+1) 𝑅 𝑅 2 𝑙 𝑃𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝜃) (𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝑟 𝑃 = −𝑞( ) ∑( ) 𝑙 𝑎𝑙+1 𝑎 𝑎 𝑟 𝑙+1



-FUNGSI GREEN. Dalam menyelesaikan persamaan Poisson solusinya ada dua yaitu solusi homogen dan Konsep ini diperluas dengan menggunakan fungsi Green. Untuk menyelesaikan persoalan



Dianggap ada fungsi memenuhi PDP yang sama tapi suku sebelah kanan berbentuk fungsi Dirac. karena



maka G adalah



solusi untuk muatan titik.Dan penjumlahan muatan titik. Maka solusi persamaan Poisson adalah dengan diketahuinya G(r,r’) maka u(r) didapat. Untuk menyelesaikan persamaan Poisson dicari fungsi Greennya dulu, sedang u(r) hanya perlu diintegral. Bentuk operator sebelah kiri biasanya tertentu maka G(r,r’)nya sama walaupun persoalannya berbeda. Untuk persoalan tegangan yang ditimbulkan muatan titik



maka solusi ini memberikan harga tegangan nol di tak berhingga.Sedangkan biasanya kita menginginkan harga tegangan tertentu pada titik tertentu, ditambahkan suku lain yang mengikuti persamaan Laplace. telah diturunkan untuk tegangan nol di r = R didapat



Pandang



Tulis suku sebelah kiri sebagai jadi



yaitu operator diferensial liniar bekerja pada y(x). Persamaan



Anggap ada fungsi Green G(x,z) sedemikian rupa hingga solusi PD pada selang a ≤ x ≤ b dan syarat batasnya dituliskan sebagai



dioprasikan operator diferensial



Dari definisi fungsi Dirac



persamaan akan berlaku bila



Fungsi Green memenuhi PD yang sama tapi suku sebelah kanan merupakan fungsi Dirac, G(x,z) bisa dipandang sebagai tanggapan sistim terhadap pulsa satuan di x = z.



mempunyai harga di x = z sedang turunan ke (n – 1) mempunyai diskontinyu berhingga. Turunan lebih rendah kontinyu. Kalau di integral parsial



untuk m = 0 ke n-1.



Terdapat n batasan terhadap G(x,z) dan turunannya sampai ke turunan (n-2) kontinyu di x = z tapi diskontinyu sebesar



di x = z.



Sifat fungsi Green: -



G(x,z) memenuhi presamaan seperti PD awal tapi suku sebelah kanan sama dengan fungsi Dirac. G(x,z) mempunyai syarat batas seperti y(x). Turunan G(x,z) terhadap x kontinyu sampai turunan ke (n-2), turunan ke (n-1) diskontinyu



sebesar Contoh cari fungsi Green yang menyelesaikan



dengan syarat batas



di titik x ≠ z sukusebelah kanan nol, hanya perlu dicari solusi homogen yaitu fungsi komplementer. Solusinya superposisi dari cos dan sin, turunan (n-1) diskontinyu di x = z.



Syarat batas sama dengan y maka



berarti B(z) =C(z)=0.



untuk PD tingkat dua G(x,z) kontinyu di x = z tapi turunan pertama diskontinyu sebesar



didapat



Keuntungan dari fungsi Green adalah kalau PDnya sama tapi suku sebelah kanan berbeda maka G(x,z) sama tapi yang di integral berbeda.



Maka



Untuk mencari solusi partikular maka batas integrasi konstan diganti dengan variabel x.



diganti



Sifat penting lain dari G(x,z) adalah walaupun PD sama tapi syarat batasnya berbeda akan didapat fungsi Green yang berbeda. Terdapat cara lain untuk mencari fungsi Green yaitu dengan menguraikannya terhadap fungsi eigen. Sebagai contoh akan digunakan persoalan yang berbentuk segi empat . Misal Ω adalah segi empat 0 < x < a, 0 < y < b akan dicari fungsi Green yang memenuhi syarat batas di Ω dan u = g(x,y) di S. Fungsi Greennya simetrik (x,y) di Ω dan



(x,y) di S.



Fungsi eigen untuk Laplacian mengikuti persamaan di Ω dan u = 0 di S. Solusinya yang u = 0 di batasnya adalah harga eigen



dan fungsi eigen Penguraiannya



karena



maka



untuk mencari koefisiennya



maka



-Solusi Persamaan Poisson dengan Fungsi Green. Akan dicari solusi dalam volume V yang dibatasi permukaan S.



Fungsi Green yang terkait persamaan Poisson adalah dimana r0 didalam V. Teorema Green kedua pada permukaan S dan volume V



= Misal



dan



Solusi persamaan Poisson bisa dituliskan sebagai



Untuk fungsi Green real Terdapat dua jenis syarat batas yang biasa dipakai dalam persoalan Poisson yaitu i) syarat Dirichlet dimana u(r) ditentukan dipermukaan S ii) syarat Neuman dimana ditentukan dipermukaan. -Syarat batas Dirichlet. Solusi u(r) yang memenuhi syarat Dirichlet adalah yang mempunyai harga tertentu dipermukaan S dan volume V yaitu u(r)= f(r).Supaya solusi sederhana dipilih S.



untu r sembarang tapi dipermukaan



Fungsi Green Dirichlet adalah mempunyai sifat singular di r0dan mengikuti syarat batas



di S.



Solusi yang memenuhi Dirichlet dianggap bisa dituliskan sebagai dimana batas di S.



mengikuti solusi singular di r0tapi tidak perlu mengikuti syarat



mengikuti persamaan Laplace dan diatur supaya



dipermukaan.



disebut solusi fundamental dan bentuknya tergantung dimensi persoalan.



Bisa dicari solusi fundamental persamaan Poisson dalam 3D yang berhingga ketika →



V melingkupi r0.



Menggunakan teorema divergen S. Persoalannya simetrik bola terhadap r0



dengan n vector satuan normal permukaan



dan F mempunyai harga yang sama pada satu permukaan S. →



F berhingga ketika r→∞ maka konstanta = 0.



Untuk kasus 2D penurunannya sama hanya sekarang volumenya 2D,2𝜋 𝑟



𝑑𝐹 𝑑𝑟



= 1 didapat



supaya berhingga di ∞ konstanta tidak = 0. Untuk melengkapi solusi maka ditambahkan solusi Laplace sedemikian rupa supaya di permukaan S, dengan jalan menambahkan “Salinan” muatan diluar V. Metode ini biasa disebut metode bayangan. Untuk setiap muatan



di dalam V dibuat bayangannya diluar V sebesar



. Akan dicari solusi Laplace di ruang 3D dibatasi z > 0 dan u(r)= f(r) di z = 0.



solusi fundamental ditambah bayangannya supaya u = 0 di z = 0. Solusi Laplace dengan ρ(r)=0 adalah dengan →



Selesaikan persamaan Laplace di 2D



dengan syarat batas u = f(φ) di



Persoalannya berbentuk cakram jari jari a, bayangannya diluar cakram dengan syarat batas c didapat



Dengan



di kordinat polar



Maka



Untuk syarat batas Neuman bisa didapat



dengan luas dipermukaan S dan



.



-TRANSFORMASI INTEGRAL. Integral transform dari fungsi v adalah fungsi lain u yang mengikuti



C adalah contour dimana integral dilakukan dan K(z,t) adalah kernel transformasi integral yang merupakan fungsi variable komplek (z,t). Untuk Fourier (integral) transform kernelnya adalah



Laplace (integral) transform kernelnya adalah



A adalah



Terdapat kernel yang lain, dalam kuliah ini hanya dibahas dua kernel tersebut. -Transformasi Fourier. Transformasi (integral) Fourier didefinisikan sebagai



dengan g(α) transformasi Fourier f(x) didefinisikan sebagai



Ini bisa dianggap perluasan dari deret Fourier



α dikaitkan dengan n,hanya n harganya diskrit sedang α kontinyu.Hingga cn berubah jadi fungsi kontinyu g(α),penjumlahan jadi integral.



frekuensi harmonic ke n adalahνn =n/L danpemisahan komponen Fourier adalah Δν = 1/L



periodenya membesar menuju L→∞



Hansen Garis spectral diskret mengelompok dengan kenaikan L,garis pemisah Δν menjadi infinitesimal dν dan garis spectral diskret νnjadi variable kontinyu ν. Penjumlahan jadi integral



Transformasi dituliskan sebagai



dan transformasi baliknya



Penulisan transformasi bisa berbentuk



atau



Beberapa fungsi yang transformnya banyak dipakai: -Fungsi topi/kotak Bentuknya



fungsi transformnnya



fungsi x = nπ.Hingga fungsi



mempunyai harga satuan di x = 0 dan nol di



harganya satuan di p = 0 dan nol di p = 1/a,2/a,3/a,…..



-Fungsi Gaussian(distribusi normal. Bentuknya



a disebut lebar parameter.



harga G(x) = ½ ketika width half maximum) = 1.665. transformnya



atau x = ±0.8352 hingga FWHM(full



kuadratnya dikumpulkan substitusi



, sama sama Gaussian.



lebar parameternya 1/(πa) .Makin lebar Gaussian awal makin sempit transformnya. Tinggi di p =0 sama. untuk sinyal variabelnya (t,w)



akar rata kuadrat penyimpangan Δw = 1/τ Δt = τ maka



makin sempit pulsa di t makin besar penyebarannya di w.



Dalam kuantum penyimpangannya ΔE Δt = ħ/2



dan



Δp Δx = ħ/2



-Fungsi eksponensial Fungsi eksponensial bentuknya dengan σ lebar efektif.



transformnya



disebut Lorentian.



sebagai pembanding kurva Gaussian. -Fungsi Dirac.



Terdapat banyak bentuk dari definisi fungsi Dirac,digunakan



transformnya



-



Potensial Yukawa.



potensial Coulomb



kalau dihitung transformnnya tidak terdefinisikan.



Kalau digunakan potensial Yukawa didapat transform dari Coulomb.



diambil transformnnya dan diambil limit α→0 akan



Transform dari Yukawa



integral



hasilnya 2π dan



factor e-αr menyebabkan tidak divergen di r→∞,secara fisis menyatakan bahwa potensial mengalami penabiran(screening).



Untuk gaya Coulomb jangkauannya ∞,α = 0.Transformnnya adalah



Diperluas untuk muatan yang terdistribusi transformnnya



Sedang sehingga



Didalam eksperimen hamburan,bila data menunjukan penyimpangan dari 1/k maka target mempunyai distribusi muatan. Tepatnya kurva vs k 2



memberikan variasi (factor bentuk) dengan k, jika kurva konstan maka target adalah muatan titik bila berbeda dengan konstan maka target mempunyai penyebaran muatan. -Sifat Fourier transform -Fourier transform linear. Dari definisi



→



artinya transform dari af(t)+bg(t) adalah



-Pergeseran. f(t) digeser sebesar a menjadi f(t-a) transformnya



Bila f(t) digeser sebesar a di domain waktu maka transformnya dikalikan factor eiwa. untuk melihat pergeseran di frekuensi dilihat



Bila f(t) dikalikan e-ibt maka transformnya adalah -Skaling. Dalam skaling fungsinya jadi f(ct) c > 0



Untuk pembalikan waktu c = -1



-Turunan dari transform.



Setiap turunan dari komponen r maka factor ik akan turun.



Sifat ini digunakan untuk menyelesaikan PD,karena turunan di r akan menghasilkan persamaan aljabar ditransformnya. Contohnya



ditransformasi



samakan koefisien e iwt kalua diketahui f(w) dengan transformasi balik bisa didapat x(t). Untuk rangkaian RLC untuk cos wot bisa dirubah jadi penjumlahan fungsi Dirac.



persamaan aljabar. sehingga



Suku kedua complek konjugate suku pertama gunakan solusi particular. Biasanya yang sulit adalah mencari transformasi baliknya. Persoalan panas 1D, temperature sepanjang batang T(x,t) mengikuti variable x yang ditransformasikan. PD jadi atau C(k) konstanta integrasi.Misal



solusinya



maka C(k) adalah inverse dari f(x)



maka



Gunakan kalua diketahui temperature awal, bisa didapat temperature pada setiap tempat dan waktu. Yang paling mudah misal



-Transformasi Fourier dan Fungsi Green. Akan diambil analogi antara fungsi Green dan penyelesaian sistim n persamaan liniar dengan n konstanta.



Dalam bentuk matriks sistim n persamaan liniar dituliskan sebagai



i=1,2,3,… Bila L mempunyai matrik inverse G, maka berlaku LG = 1 sehingga solusi dari n persamaan liniar tersebut adalah



dalam komponen



sehingga penyelesaian sistim n persamaan liniar sama dengan mencari inverse dari matrik koefisien tanpa terpengaruh f. Matrik inverse G memenuhi persamaan maka



matrik satuan bisa dituliskan dalam Kronecker delta



I,k=1,2,3,….. Persoalan matrik tersebut diperluas untuk operator



dengan L(x,x’) operator tergantung dua varaibel,setelah di integral variable x’ tidak ada maka bentuknya harus mengikuti dengan Lx adalah operator dalam variable x. untuk operator persoalannya mencari inverse matriks satuan diganti fungsi Dirac



atau disebut fungsi Green untuk operator Lx.



fungsi yang memenuhi persamaan ini



Bila bisa dicari fungsi Green untuk operator Lx maka solusi dari persamaan diferensial adalah Pembuktiannya:



Operator Lx sembarang bisa turunan biasa atau turunan parsial, keuntungan dari transformasi Fourier adalah diferensial dirubah jadi perkalian dan fungsi Dirac transformasinya mudah maka dengan transformasi Fourier perhitungan fungsi Green jadi mudah sekali.



Contohnya kalau Lxoperator turunan parsial kedua dari n variable maka transformasi Fourier variable x



dimasukan ke PD



Lx beroprasi pada e ik.x hasilnya adalah p(kj)polynomial tingkat dua dalam kj.samakan koefisien e ik.x didapat



atau sehingga



fungsi Green adalah selisih dari argumentnya



-Fungsi Green untuk Laplacian untuk Laplacian



dan n =3



integral dihitung dengan menggunakan kordinat bola integral



hasilnya 2π ,misal u = cosθ



integral terakhir banyak dijumpai di Fisika akan dihitung menggunakan metode residue.



dengan pandang



adalah residue f pada titik singular Z0. z = 0 titik singular dihindari dengan



ketika ε→0 maka



dipusat



yang dicari



kalau a < 0 maka



hasil integral negatifnya. Fungsi Green Laplacian adalah



Dan



Solusi persamaan Poisson



dengan fungsi Green adalah



-Fungsi Green untuk Persamaan Panas. Persamaan aliran panas dituliskan



→ yang merupakan persamaan diferensial parsial dengan empat variable (t,r). Transformnya juga empat dimensi (ko,k). Polinomial dalam rumus fungsi Green



Fungsi Green dengan n = 4



Integral ko dulu, kalikan dengan –I,gunakan integral residue dengan kontou dibagian atas( dengan di



Fungsi Greennya jadi



)



Integral



hasilnya 2π dan integral θ hasilnya integran fungsi genap batas dari -∞ dan dikali ½



Fungsi sinus adalah bagian Im dari eksponensial bilangan kompleks



Kuadratnya dikelompokan bagian imaginer diberi symbol iα



ganti variable u = k –iα



integral u fungsi ganjil hasilnya nol.



gunakan



dan



-Fungsi Green Persamaan Gelombang. Persamaan gelombang



PDE dengan 4 variabel, c kecepatan cahaya. Polinomial dalam fungsi Green



ambil Untuk mengintegrasi ko digunakan calculus residue.integral mempunyai dua kutub ko= ± ck pada sumbu real.Tergantung bagaimana kutub tersebut didekati akan menghasilkan fungsi Green yang berbeda.Yang biasa dilakukan adalah menggeser kutub keatas secara infinitesimal, kalau t > 0 maka contour integral



dibagian atas (UHP) dan lingkaran besar sumbangannya nol sedang kalau t < 0 kontour integral dibagian bawah (LHP) dan integral = 0 karena tidak ada kutub.



Residuenya dihitung dari



Dan



-



kalikan eksponennya dan gunakan



t>0 maka fungsi Dirac pertama = 0



disebut fungsi Green “retarded” gelombang perlu waktu untuk merambat dari posisi r’ ke posisi pengamat r. Kalau titik kutub digeser ke bawah dan t < 0 maka fungsi delta kedua nol yang didapat adalah



fungsi Green “advanced”. -TRANSFORMASI LAPLACE. Transformasi Laplace didefinisikan sebagai



L(f)=F(p) adalah transformasi Laplace dari f(t). Dari definisi bisa dicari transformasi dari berbagai fungsi dan hasilnya dituliskan dalam table. Untuk f(t) =1



Re p > 0. Untuk f(t) =e –at



Re(a+p) >0 Transformasi Laplace adalah operator linear



Dengan menggunakan sifat tersebut bisa diturunkan transformasi Laplace dari fungsi penjumlahan dll. Ganti a denga -ia maka



transformnya



Ganti a dengan +ia maka Re(p +ia) > 0. Kalau dijumlah didapat L(cos at) =



dan L(sin at) =



Re p > |Im a|



-Fungsi Tangga Didefinisikan



untuk konstanta c maka



Bisa dibuktikan



Dengan fungsi tangga bisa didefinisikan pergeseran f(x) sebanyak c satuan pada arah x > 0



Kalau



maka



.



-Kalau



maka



-Kalau



untuk n > 0 maka



L( tk) = Rumus pergeseran L(tk e-at)= Dari table Laplace bisa diketahui transform dari f(x) dan juga inversenya, dengan mengetahui transform fungsi tertentu dengan menggunakan sifat transform bisa didapat transform fungsi lainnya yang terkait.Selain itu bisa terdapat transform yang berbentuk pembagian yang tidak terlihat dalam table,dengan merubah bentuknya diusahakan terlihat dalam table.



Contohnya



bisa dirubah



→



masukan s = 2 dan s = -1 didapat A = 5/3 dan



B =-2/3maka



Untuk mencari



digunakan



Solusi Persamaan Diferensial dengan Transformasi Laplace Untuk persamaan diferensial dengan koefisien konstan bisa digunakan transformasi Laplace, keuntungannya adalah persamaan diferensial dirubah jadi persamaan aljabar dan syarat batas bisa dimasukan. akan ditransformasikan. L(y)=Y dan y(0)=y0. Turunan kedua bisa dituliskan sebagai (y’)’ maka



Demikian secara berurutan bisa didapat turunan yang lebih besar. Contoh dengan syarat batas y0=0 dan y0‘=0



Cari solusi dari



inversnya



→



syarat batas sudah termasuk. Cari solusi



dengan syarat batas y0=1 dan y0’=3.



→



disederhanakan



Dari table



Sistim persamaan diferensial juga bisa dicari solusinya dengan transformasi Laplace. Contoh cari solusi dari



syarat batas y0 =1 dan z0=0.



Transformasi Laplacenya kedua



kalikan dengan (p-2) yang pertama dan tambahkan



→



inversenya



Persamaan diferensial parsial tertentu juga bisa diselesaikan dengan transformasi Laplace. Integral berbentuk



juga bisa dihitung dengan transformasi Laplace. bisa dipakai menghitung intergral



-Konvolusion. Perkalian dua fungsi bisa ditransformasikan, dalam konvolusi perkalian dua fungsi mempuyai sifat istimewa.



Untuk melihat kenapa perkaliannya dinyatakan oleh integral dilihat dari keadaan perkalian dua inverse dan dilihat inverse baliknya. Terdapat sistim yang awalnya dalam keadaan diam dan diberi gaya luar f(t) Laplace transformnya dengan syarat batas → dari f(t). Sedang



perkalian dua transform, F(p) transform disebut fungsi transfer.



Kalau a,b diketahui biasanya inversenya bisa didapat dari table. Akan dicari inverse dari T(p) F(p). Misal G(p) dan H(p) transform dari g(t) dan h(t),akan dicari inverse dari G(p)H(p). Dari definisi



gunakan variable “dummy” supaya perkalian dua integral jadi integral ganda. misal σ+τ= t, σ = t-σ, dσ = dt.



urutan integral dirubah dτ dt.



integral t dari t = τ ke t = ∞ dan integral τ dari 0 ke ∞, ditukar integral τ dulu dari τ = 0 ke τ = t kemudian integral t dari 0 ke ∞.



Integral



disebut konvolusi dari g dan h.



Hitung konvolusi



Konvolusi bisa dipakai untuk mencari inverse dari transformasi Laplace.



Contoh cari Dari



dan



sehingga maka Contoh cari solusi →



transform L(e-t) tidak perlu dicari karena



akan digunakan konvolusi.transform balik dari



adalah e-t + e-2t



didapat g(t)= e-t + e-2t dan h(t) = e-t. Dalam konvolusi bisa digunakan g(t – τ) h(τ) atau g(τ) h(t-τ)



Fourier transform juga ada konvolusinya