Fisika Matematika 1 [PDF]

Citation preview

Bab I Deret Pangkat I.1 Pendahuluan (Deret Geometri) Banyak kasus



solusi masih fisis sangat sulit



Masih berharap ada solusi alternatif Solusi pendekatan (proklamasi) Solusi ini muncul dalam bentuk deret Perhatikan deret bilangan : (i)



1, , ,



(ii) a, ar, ar2, ar3, ar4



,



Bilangan di atas membentuk barisan geometri If (i) dijumlahkan 1+



+



+



+



+ ………….(1)



Disebut deret  Penjumlahan dilakukan tanpa henti



dinyatakan tiga titik dibelakang disebut tak



hingga (infinite series) (1) Ditulis dalam bentuk a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + …………(2) (a = 1 dan r = 2/3 ) Deret geometri Sn = a + ar + ar2 + ….. + ar n-1 ……..(3)



Sn = a



Jika n



, maka



(4)



S=



Sn .



(5)



Deret hanya mempunyai jumlah berhingga jika hanya │r│< 1 I.2 definisi dan Notasi Banyak deret tak hingga bukan deret geometri cs: (i)



1 + 4 + 9 + 16 + …… + + +



(ii)



+



(iii)



+ ………. -



+ ………



Secara umum deret- deret tersebut ditulis a1 + a2 + a3 + …… + an + …….. atau dalam bentuk notasi



Sebagaimana deret geometri didefinisikan Sn Sn = Or S=



Sn



disebut jumlah parsial



disebut jumlah dari deret



Konvergen dan divergen. -



Jika s berupa satu nilai tertentu = disebut konvergen



-



Jika s tidak berupa satu nilai tertentu = disebut divergen



Cs Teliti (selidiki) jumlah s dari pers 1



+



4



Jwb Untuk n



S maka n2



+



9



+



16



+



……



=



Dmk S=



dikatakan jumlah s tidak ada (karena bukan bilangan ttt, ingan s bukanlah bilangan Deret divergen



Cs Tentukan an dan selidiki jumlah deret S dari deret : 1 – 1 + 1 – 1 +1 – 1 + …. Jwb 1



–



1



+



1



–



1



+



1



–



1



+



…..



Dmk



S dapat nol atau satu



karena itu S tidak tertentu dan deret dikatakan divergen.



 Uji konvergensi o Uji pendahuluan dinyatakan Suatu deret = Adalah Divergen jika suku tak hingga deret tersebut tidak menuju nol. Dengan kata lain: Jika



maka deret divergen



Contoh 3: Tentukan konvergensi deret 1 + 4 + 16 +... (menggunakan uji pendahuluan) Jawab: dari contoh 1 kita dapatkan ɑn = n2 mx ɑn =



n2 =



Demikian deret divergen (seperti contoh 1 ) Contoh 4: tentukan deret konvergen 1+ + Jawab : suku ke- n deret tersebut adalah ɑn = sehingga ɑn =



=



Maka deret apa...? Ingat, uji pendahuluan hingga dapat menyimpulkan Jika



ɑn



Jika



ɑn = 0karena itu diperlukan cara pengujian yang lain



dan tidak mengatakan apa-apa



• uji integral: menyatakan



deret



konvergen jika berhingga



berhingga dan divergen jika tak



hingga = CS 5. Tentukan konvergensi deret Jawab : suku ke n deret ,u=



= Disimpulkan diret divergen CS 6 Tentukan konvergen deret pada contoh 4 menggunakan uji integral Jawab: Suku an= = ln =



Divegen CS 7 : Tentukan konvergen deret



Jawab : Uji integral tidak bisa menentukan konvergensi deret tersebut kita selidiki



dengan uji pendahuluan



Kedua uji tersebut tidak dapat menetukan konvergensi



Sehingga perlu uji yang lain •



Uji banding (the comparison test) Dalam uji banding terdapar dua deret yaitu : 1.Deret yang akan di tentukan konvergensinya :



2.Deret yang diketahui konvergensinya:



Uji banding menyatakan : Jika



konvergen dan



Jika



divergen dan



Jika yang tersebut adalah kebalikan dari keduanya maka uji banding tidak dapat memberikan kesimpulan apa – apa. CS 8 Selidiki konvergensi deret pada contoh 7 dengan uji banding .............................................. Dari soal contoh 7: ...............................



Untuk n



berlaku ln n < n atau



Karena



divergen maka



divergen



CS 9 : tentukan konvergen deret persamaan (6 (ii))



Jawab: uji banding: kesulitan mencari pembandingya Uji integral: tidak sederhana (integral no simple) Uji pendahuluan : memberikan



dn = 0 tidak dapat ditentukan penentukan



konvergennya. Misalkan



adalah perbandingan atau rasio antara suku ke (n+1) dan suku ke-



n dan untuk n besar 5 elkah



Jika : deret konvergen konvergen tidak diketahui deret divergen CS 10: tentukan konvergensi deret (contoh 9)



Jawab: suku ke (n+1) dan ke n deret diatas:



Sehingga



Demikian deret



CS.11: tentukan konvergensi deret:



Jawab: Karena



deret tersebut konvergen



Contoh-contoh diatas di bahas deret dengan suku positif Now Deret bolak-balik (alternating series) (8) (9) Uji konvergensi bolak-balik dilakukan sebagai berikkut: Deret bolak-balik konvergen jika




(xx) ke dalam persamaan 12



Karena itu cos x konvergen untuk semua x



Beberapa fungsi dasar dalam bentuk cuspansi deret 



untuk semua







untuk semua







untuk semua







untuk -1







untuk -1