Makalah (Massa, Pusat Massa, Dan Momen Inersia) [PDF]

Citation preview

MAKALAH INTEGRAL GARIS Disusun untuk Memenuhi Tugas Kalkulus Lanjut 2 Dosen Pengampu : Dra. Emi Pujiastuti, M.Pd



oleh Kelompok IV : 1.



Achmad Fauzan



(4101409004)



2.



Arina Dwi Nur Afriyani



(4101409016)



3.



Jefri Mahendra Kisworo



(4101409018)



4.



Hanifah Mawaddah



(4101409046)



5.



Taulia Damayanti



(4101409050)



Rombel 04 Hari Kamis pukul 07.00



JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2011



1



BAB I PENDAHULUAN 1.1. Deskripsi Makalah ini akan membahas tentang konsep dan cara menghitung massa, pusat massa, dan momen inersia dengan integral lipat dua. 1.2. Prasyarat Materi prasyarat yang diperlukan adalah sebagai berikut: 1. Geometri Dasar 2. Kalkulus 1, Kalkulus 2, dan Kalkulus Lanjut 1 3. Materi sebelumnya tentang integral lipat dua dalam koordinat kartesius dan koordinat kutub 1.3. Rumusan Masalah Rumusan masalah dari makalah ini sebagai berikut: 1. Bagaimana konsep massa, pusat massa, dan momen inersia pada keping datar? 2. Bagaimana konsep massa, pusat massa, dan momen inersia pada koordinat kartesius, koordinat silinder, dan koordinat bola? 1.4. Kompetensi Dasar dan Indikator Kompetensi Dasar : Memahami dan menghitung massa, pusat massa, dan momen inersia dengan integral lipat dua. Indikator : 1. Mengetahui dan memahami konsep massa, pusat massa, dan momen inersia pada keping datar, koordinat kartesius, koordinat silinder, dan koordinat bola. 2. Dapat menghitung massa, pusat massa, dan momen inersia pada keping datar dengan menggunakan integral lipat dua. 1.5. Tujuan Pembelajaran Mahasiswa mampu memahami dan dapat mencari massa, pusat massa, dan momen inersia dengan integral lipat dua.



2



BAB II PEMBAHASAN 2.1



MASSA DAN PUSAT MASSA SUATU KEPING DATAR DALAM SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Selain untuk menghitung isi benda padat, salah satu penggunaan lain dari integral lipat dua adalah untuk menentukan massa, pusat massa, dan momen inersia suatu keping datar dengan rapat masa yang tak homogen. Rapat massa keping di setiap titiknya bergantung pada letak titik tersebut, yaitu merupakan fungsi dua peubah. Kerapatan massa keping datar yaitu besar massa per satuan luas, dapat dinyatakan sebagai fungsi dalam 𝑥 dan 𝑦 biasanya disimbolkan dengan 𝛿(𝑥, 𝑦). Dipunyai sebuah keping datar dengan rapat massa tak homogen yang berbentuk daerah 𝐷. 𝐷=



𝑥, 𝑦 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝜙 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝜓 𝑥 , dimana 𝜙 dan 𝜓 kontinu



pada 𝑎, 𝑏 ……(gambar.1) atau 𝐷=



𝑥, 𝑦 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝜙 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝜓 𝑦 , dimana 𝜙 dan 𝜓 kontinu



pada [𝑐, 𝑑] ……(gambar.2) Rapat massa di setiap titik pada keping (𝑥, 𝑦) pada keping 𝐷 adalah 𝛿(𝑥, 𝑦) di mana 𝛿 merupakan fungsi kontinu pada D. Kedua keping datar tersebut diperlihatkan pada gambar berikut: Y



Y 𝑦 = 𝜑(𝑥) d 𝑥 = ∅(𝑦)



𝑥 = 𝜑(𝑦)



𝐷 𝐷 𝑦 = ∅(𝑥) o



a



b



c o



X



gambar 1



X



gambar 2



3



2.1.1 Kontruksi Rumus Massa, Momen Terhadap Sumbu Koordinat dan Pusat Massa Keping 𝑫. Buatlah jaring ∆ untuk keping 𝐷 yang terdiri dari 𝑛 buah persegi panjang yang semuanya beririsan dengan daerah 𝐷 seperti diperlihatkan pada gambar dibawah ini 𝑌



𝑦 = 𝜓 (𝑥) ∆𝑥𝑖



Gambar 1



∆𝑦𝑖



𝑞𝑖



D



∆𝐴𝑖



𝑦 = 𝜙(𝑥) 0



𝑎



𝑋



𝑏



𝑝𝑖



𝑌 𝑥 = 𝜙(𝑦)



∆𝑥𝑖



𝑑



Gambar 2



∆𝑦𝑖



𝑞𝑖



D



∆𝐴𝑖



𝑥 = 𝜓(𝑦)



𝑐



𝑋 𝑝𝑖



0



Komponen jaring yang ke-i adalah ∆𝐴𝑖 = ∆𝑥𝑖 ∆𝑦𝑖 Ukuran jaring ke-i didefinisikan sebagai persegi panjang diagonal terbesar dari persegi panjang ∆𝐴𝑖 ditulis dengan lambang |𝐴|.



4



Pilihlah titik (𝑝𝑖 , 𝑞𝑖 ) pada komponen jaring ke-i. Keping 𝐷 dapat dipandang sebagai sistem 𝑛 partikel yang terletak di titik 𝑝𝑖 , 𝑞𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. Jika massa partikel ke-i adalah ∆𝑚𝑖 , maka ∆𝑚𝑖 = 𝛿 𝑝𝑖 , 𝑞𝑖 ∆𝐴𝑖 Massa sistem n partikel tersebut adalah 𝑛



𝑛



∆𝑚𝑖 = 𝑖=1



𝛿 𝑝𝑖 , 𝑞𝑖 ∆𝐴𝑖 𝑖=1



Bentuk ini merupakan jumlah Riemann yang mempunyai limit karena 𝛿 kontinu pada 𝐷.



2.1.2 Definisi Massa dan Pusat Massa Suatu Keping Datar dalam Koordinat Kartesius Massa keping 𝐷 didefinisikan sebagai limit dari jumlah Riemann ini, yaitu 𝑛



𝑀 = lim



| ∆ |→0



𝛿 𝑝𝑖 , 𝑞𝑖 ∆𝐴𝑖 𝑀=



𝑖=1



𝛿(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝐷



=



𝛿(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝐷



Momen Massa Keping D Terhadap Sumbu X Momen massa keping terhadap sumbu 𝑋 didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann dari momen massa sistem n partikel terhadap sumbu 𝑋, yaitu 𝑛



𝑀𝑥 = lim



| ∆ |→0



=



𝑞𝑖 𝛿 𝑝𝑖 , 𝑞𝑖 ∆𝐴𝑖 𝑖=1



𝑀𝑥 =



𝑦 𝛿(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝐷



𝑦 𝛿(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝐷



5



Momen Massa Keping D Terhadap Sumbu Y Momen massa keping terhadap sumbu 𝑌 didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann dari momen massa sistem 𝑛 partikel terhadap sumbu 𝑌, yaitu 𝑛



𝑀𝑦 = lim



| ∆ |→0



=



𝑝𝑖 𝛿 𝑝𝑖 , 𝑞𝑖 ∆𝐴𝑖 𝑖=1



𝑀𝑦 =



𝑥 𝛿(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝐷



𝑥 𝛿(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝐷



Pusat Massa Keping D Pusat massa keping 𝐷 adalah titik (𝑥, 𝑦), dimana 𝑥=



𝑀𝑦 𝑀𝑥 dan 𝑦 = 𝑀 𝑀



𝑥, 𝑦 =



𝑀𝑦 𝑀𝑥 , 𝑀 𝑀



CATATAN Perhatikan bahwa untuk menghitung integral lipat duanya kita mengambil proyeksi daerah 𝐷 terhadap sumbu 𝑋 atau terhadap sumbu 𝑌. Perhatikan kembali kedua gambar pada masalah di atas, yang pertama bila proyeksinya pada sumbu 𝑋 adalah selang [𝑎, 𝑏] sedangkan yang kedua, bila proyeksinya terhadap sumbu 𝑌 adalah selang [𝑐, 𝑑]. Untuk memudahkan perhitungannya, seringkali kita harus membuat transformasi ke koordinat kutub.



2.2



MOMEN INERSIA PADA SUATU KEPING DATAR DALAM SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Momen suatu partikel terhadap titik atau garis yang tetap disebut momen pertama, yang didefinisikan sebagai hasil kali massa partikel dengan jaraknya



terhadap



titik



atau



garis



tersebut.



Sekarang kita



akan



mendefinisikan momen kedua dengan cara serupa tetapi jaraknya diganti oleh kuadrat jaraknya.



6



Momen kedua suatu partikel terhadap titik atau garis yang tetap, dikenal sebagai momen inersia, didefinisikan sebagai hasil kali massa dengan kuadrat jarak partikel terhadap titik atau garis itu. Berikut ini definisinya secara matematis. Definisi Momen Inersia, Momen inersia dari partikel dengam massa 𝑚 dan jaraknya 𝑟 satuan dari garis 𝑔 , ditulis 𝐼𝑔 , didefinisikan sebagai 𝐼𝑔 = 𝑚𝑟 2 Seperti halnya dengan momen pertama untuk keping datar 𝐷 , momen inersia dari keping 𝐷 terhadap kedua sumbu koordinat didefinisikan sebagai limit jumlah dari momen inersia sistem 𝑛-partikel terhadap kedua sumbu koordinat itu. Sistem 𝑛-partikel tersebut masing-masing terletak di titik (𝑝𝑖 , 𝑞𝑖 ) dengan rapat massa 𝛿 (𝑝𝑖 , 𝑞𝑖 ) . Dipunyai sebuah keping datar dengan rapat massa terdistribusi secara kontinu berbentuk daerah tertutup 𝐷 yang dapat ditulis sebagai 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝜙 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝜓( 𝑥 }, di mana ∅ dan 𝜓 kontinu pada [𝑎, 𝑏] atau 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝜙 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝜓( 𝑦 }, di mana ∅ dan 𝜓 kontinu pada [𝑐, 𝑑] Rapat massa di setiap titik (𝑥, 𝑦) pada keping 𝐷 adalah 𝛿(𝑥, 𝑦), di mana 𝛿 merupakan fungsi kontinu pada 𝐷, maka momen inersia keping 𝐷 terhadap sumbu koordinat dan titik asal 𝑂 didefinisikan sebagai berikut Momen Inersia Terhadap Sumbu 𝑿 𝑛



𝑞𝑖2 𝛿 𝑝𝑖 , 𝑞𝑖 ∆𝐴𝑖



𝐼𝑥 = lim



∆ →0



𝑦 2 𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴



𝐼𝑋 =



𝑖=1



𝐷



𝑦 2 𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴



= 𝐷



7



Momen Inersia Terhadap Sumbu 𝒀 𝑛



𝑝𝑖2 𝛿 𝑝𝑖 , 𝑞𝑖 ∆𝐴𝑖



𝐼𝑌 = lim



| ∆ |→0



𝑥 2 𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴



𝐼𝑦 =



𝑖=1



𝐷 2



=



𝑥 𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 𝐷



Momen Inersia Terhadap Titik 𝐎 𝐼𝑂 = 𝐼𝑋 + 𝐼𝑌



Jari-jari kitaran Jari-jari kitaran (radius of gyration) suatu keping 𝐷 terhadap suatu sumbu didefinisikan sebagai bilangan positif 𝑟 yang memenuhi 𝑟2 =



𝐼 𝑀



di mana 𝐼 adalah adalah momen inersianya terhadap sumbu itu dan 𝑀 adalah massa kepingnya.



2.3



MASSA, PUSAT MASSA, DAN MOMEN INERSIA SUATU BENDA DALAM KOORDINAT KARTESIUS Salah satu aplikasi dari integral lipat tiga adalah untuk menentukan massa dan pusat massa dari benda pejal berdimensi tiga. Konsep massa dan pusat massa dikembangkan dari konsep yang sama pada pelat datar yang sangat tipis yang disebut lamina. Tiga macam sistem koordinat dapat digunakan dalam menghitung integral, namun pemilihan sistem koordinat yang akan dipakai harus tepat agar dalam melakukan integral menjadi lebih mudah.



8



Konsep massa dan pusat massa digeneralisasi secara mudah ke daerah-daerah benda pejal. Besar kerapatan massa dari benda pejal berdimensi tiga adalah menyatakan besarnya massa tiap satuan volum. Khusus benda pejal yang homogen kerapatan massa pada titik (𝑥, 𝑦, 𝑧) biasa dinotasikan dengan 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) berupa konstanta. Saat ini, proses yang mengarah pada rumus integral yang benar telah dikenal dengan baaik dan dapat diringkas dalam sebuah motto, yaitu iris, hampiri, integralkan. Sebagaimana dalam pembahasan pusat massa lamina, dalam benda pejal juga dikenal istilah total massa, total momen inersia, dan pusat massa. Dengan langkah penurunan yang serupa seperti pada lamina, kita peroleh beberapa rumus untuk benda pejal berikut Total Massa



𝑀=



𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 𝑠



Total Momen Massa Terhadap Sumbu 𝐙 𝑀𝑥𝑦 =



𝑧 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 𝑆



Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu 𝐙 𝑧=



𝑀𝑥𝑦 𝑀



Momen Inersia Terhadap Bidang 𝑿𝑶𝒀.



𝑥 2 + 𝑦 2 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉



𝐼𝑧 = 𝑆



9



Total Momen Massa Terhadap Sumbu 𝒀 𝑀𝑥𝑧 =



𝑦 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 𝑆



Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu 𝐘 𝑦=



𝑀𝑥𝑧 𝑀



Momen Inersia Terhadap Bidang 𝑿𝑶𝒁.



𝑥 2 + 𝑧 2 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉



𝐼𝑦 = 𝑆



Total Momen Massa Terhadap Sumbu 𝑿 𝑀𝑦𝑧 =



𝑥 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 𝑆



Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu 𝑿 𝑥=



𝑀𝑦𝑧 𝑀



Momen Inersia Terhadap Bidang 𝒀𝑶𝒁.



𝑦 2 + 𝑧 2 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉



𝐼𝑥 = 𝑆



Pusat Massa Benda Pejal 𝑥 , 𝑦, 𝑧 =



𝑀𝑦𝑧 𝑀𝑥𝑧 𝑀𝑥𝑦 , , 𝑀 𝑀 𝑀



10



2.4



MASSA, PUSAT MASSA, DAN MOMEN INERSIA SUATU BENDA DALAM KOORDINAT SILINDER Ketika sebuah daerah benda padat 𝑆 dalam ruang bedimensi tiga mempunyai sebuah sumbu simetri, maka perhitungan integral lipat tiga atas 𝑆 seringkali dipermudah dengan menggunakan koordinat silinder. Koordinat silinder dan koordinat kartesius saling dihubungkan oleh persamaan – persamaan 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 𝑧=𝑧 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 Ketika dituliskan dalam koordinat silinder. Sebagai hasilnya, fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ditransformasikan menjadi 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃 , 𝑧 = 𝑓 𝑟, 𝜃, 𝑧 𝑑𝑉 = 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 Dengan langkah penurunan yang serupa seperti pada lamina, kita peroleh beberapa rumus untuk benda pejal pada koordinat silinder adalah berikut Total Massa 𝜃2 𝑟2 (𝜃) 𝑔2 (𝑟,𝜃)



𝑀=



𝑓 𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃 , 𝑧 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃



𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = 𝑠



𝜃1 𝑟1 (𝜃) 𝑔1 (𝑟,𝜃)



Total Momen Massa Terhadap Sumbu 𝐙 𝑀𝑥𝑦 =



𝑧 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 𝑆



Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu 𝐙 𝑧=



𝑀𝑥𝑦 𝑀



11



Momen Inersia Terhadap Bidang 𝑿𝑶𝒀. (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉



𝐼𝑧 = 𝑆



Total Momen Massa Terhadap Sumbu 𝒀 𝑀𝑥𝑧 =



𝑦 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 𝑆



Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu 𝐘 𝑦=



𝑀𝑥𝑧 𝑀



Momen Inersia Terhadap Bidang 𝑿𝑶𝒁.



𝑥 2 + 𝑧 2 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉



𝐼𝑦 = 𝑆



Total Momen Massa Terhadap Sumbu 𝑿 𝑀𝑦𝑧 =



𝑥 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 𝑆



Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu 𝑿 𝑥=



𝑀𝑦𝑧 𝑀



Momen Inersia Terhadap Bidang 𝒀𝑶𝒁. 𝑦 2 + 𝑧 2 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉



𝐼𝑥 = 𝑆



12



Pusat Massa Benda Pejal



𝑥 , 𝑦, 𝑧 =



2.5



𝑀𝑦𝑧 𝑀𝑥𝑧 𝑀𝑥𝑦 , , 𝑚 𝑚 𝑚



MASSA, PUSAT MASSA, DAN MOMEN INERSIA SUATU BENDA DALAM KOORDINAT BOLA Koordinat bola dan koordinat kartesius saling dihubungkan oleh persamaan – persamaan 𝑥 = 𝜌 sin 𝜙 cos 𝜃



𝑦 = 𝜌 sin 𝜙 sin 𝜃 𝑧 = 𝜌 cos 𝜙 Ketika dituliskan dalam koordinat bola. Sebagai hasilnya, fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ditransformasikan menjadi 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 𝜌 sin 𝜙 cos 𝜃 , 𝜌 sin 𝜙 sin 𝜃 , 𝜌 cos 𝜙 = 𝑓 𝜌, 𝜃, 𝜙 𝑑𝑉 = 𝜌2 sin 𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙 dimana, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 dari sumbu 𝑋 positif ke sumbu 𝑋 negatif dan 0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋 dari sumbu 𝑌 positif ke sumbu 𝑌 negatif Dengan langkah penurunan yang serupa seperti pada lamina, kita peroleh beberapa rumus untuk benda pejal pada koordinat bola adalah berikut Total Massa



𝑀=



𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜌2 sin 𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙



𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = 𝑠



𝑠



13



Total Momen Massa Terhadap Sumbu 𝐙



𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉



𝑀𝑥𝑦 = 𝑆



Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu 𝐙 𝑀𝑥𝑦 𝑀



𝑧=



Momen Inersia Terhadap Bidang 𝑿𝑶𝒀.



(𝑥2 + 𝑦2 )𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉



𝐼𝑧 = 𝑆



Total Momen Massa Terhadap Sumbu 𝒀 𝜌 sin 𝜙 sin 𝜃 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉



𝑀𝑥𝑧 = 𝑆



Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu 𝐘 𝑦=



𝑀𝑥𝑧 𝑀



Momen Inersia Terhadap Bidang 𝑿𝑶𝒁.



(𝑥 2 + 𝑧 2 )𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉



𝐼𝑦 = 𝑆



Total Momen Massa Terhadap Sumbu 𝑿 𝜌 sin 𝜙 cos 𝜃 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉



𝑀𝑦𝑧 = 𝑆



14



Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu 𝑿 𝑥=



𝑀𝑦𝑧 𝑀



Momen Inersia Terhadap Bidang 𝒀𝑶𝒁. (𝑦 2 + 𝑧 2 )𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉



𝐼𝑥 = 𝑆



Pusat Massa Benda Pejal



𝑥, 𝑦, 𝑧 =



𝑀𝑦𝑧 𝑀𝑥𝑧 𝑀𝑥𝑦 , , 𝑚 𝑚 𝑚



CONTOH SOAL 1.



Carilah massa, momen massa terhadap kedua sumbu, dan pusat massa dari lamina segitiga 𝐷 dengan titik sudut (0,0), (1,0) dan (0,2) jika fungsi kerapatannya adalah 𝛿 𝑥, 𝑦 = 1 + 3𝑥 + 𝑦. (James Stewart. 1999. Kalkulus Edisi Keempat. Halaman: 360) Penyelesaian: Daerah 𝐷 yang terjadi adalah Y



𝑦 = 2 − 2𝑥



2



D 0



1



X



15



Dari titik 1,0 dan (0,2) didapat persamaan perbatasan daerah 𝐷 yaitu: 𝑦−0 𝑥−1 = 2−0 0−1 𝑦 𝑥−1 ⟺ = 2 −1 ⟺ (−𝑦) = 2𝑥 − 2 ⟺ 𝑦 = 2 − 2𝑥 Apabila daerah 𝐷 dipartisi terhadap sumbu 𝑋, diperoleh daerah integrasi 𝐷 yaitu: 𝐷=



𝑥, 𝑦 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 − 2𝑥



Massa lamina 𝑫 adalah 1 2−2𝑥



𝑀=



𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝐷



1 + 3𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 0



1



= 0



𝑦2 𝑦 + 3𝑥 + 2



0 1



𝑦 =2−2𝑥



𝑑𝑥 = 4 𝑦=0



𝑥3 1 − 𝑥 𝑑𝑥 = 4 𝑥 − 3



1



2



0



= 0



8



Jadi, massa lamina 𝐷 adalah 3 satuan massa. Momen massa keping 𝑫 terhadap sumbu 𝒀 1 2−2𝑥



𝑀𝑦 =



𝑥 𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝐷



𝑥 ( 1 + 3𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0



2



1 2−2𝑥



1 2



=



𝑥 + 3𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 1



2



0



𝑥 2 − 2𝑥 𝑥 2 − 2𝑥 + 3𝑥 2 − 2𝑥 + 2 2



= 0 1



2𝑥 − 2𝑥 2 + 6𝑥 2 − 6𝑥 3 +



= 0



𝑦2 𝑥𝑦 + 3𝑥 𝑦 + 𝑥 2 2



𝑑𝑥



𝑥(4 − 8𝑥 + 4𝑥 2 ) 𝑑𝑥 2



16



𝑦 =2−2𝑥



2



𝑑𝑥 𝑦=0



8 3



1



1 2



=



2



3



2



2𝑥 − 2𝑥 + 6𝑥 − 6𝑥 + 2𝑥 − 4𝑥 + 2𝑥



3



4𝑥 − 4𝑥 3 𝑑𝑥



𝑑𝑥 =



0



0 1



𝑥2 𝑥4 𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥 = 4 − 2 4



1



3



=4 0



=4 0



1 1 1 − = 4. = 1 2 4 4



Jadi, momen massa keping 𝐷 terhadap sumbu 𝑌 adalah 1. Momen massa keping 𝑫 terhadap sumbu 𝑿 1 2−2𝑥



𝑀𝑥 =



𝑦 𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝐷



𝑦 1 + 3𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 0



0



1 2−2𝑥



1 2



=



𝑦 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0 1



= 0 1



= 0



0



0



3𝑥 + 1 2



2 − 2𝑥



1 3𝑥 + 1 2 − 2𝑥 2



1



=



1



= 0 1



= 0



=



2



𝑦 =2−2𝑥



𝑑𝑥 𝑦 =0



3



𝑑𝑥



1 + (2 − 2𝑥) 2 − 2𝑥 3



3𝑥 + 1 2 − 2𝑥 + 2 3



4 − 8𝑥 + 4𝑥 2



5𝑥 + 7 6



1



0



2 − 2𝑥 + 3



4 − 8𝑥 + 4𝑥 2 0



=



2



1 2 3𝑥 2 𝑦 3 𝑦 + 𝑦 + 2 2 3



2



𝑑𝑥



𝑑𝑥



𝑑𝑥



20𝑥 + 28 − 40𝑥 2 − 56𝑥 + 20𝑥 3 + 28𝑥 2 𝑑𝑥 6 20𝑥 3 28 20 4 2 3 28 − 2𝑥 2 − 6𝑥 + 𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑥 − 3𝑥 2 + 𝑥 6 6 12 3 6



5 2 28 5 − 4 − 18 + 28 11 − −3+ = = . 6 3 6 6 6



Jadi, momen massa keping 𝐷 terhadap sumbu 𝑋 adalah



17



11 6



.



1 0



Pusat massa lamina 𝑫 𝑀𝑦 1 3 = = . 8 8 𝑀 3 11 𝑀𝑥 11 3 33 11 𝑦= = 16 = . = = . 8 𝑀 16 8 48 16 3 𝑥=



Pusat massa lamina 𝐷 berada dititik



3 11



,



8 16



.



2



2.



Diketahui suatu keping 𝐷 yang dibatasi oleh suatu grafik fungsi𝑦 = 𝑥 3 , grafik 𝑥 = 8 dan sumbu 𝑋. Jika rapat massa di setiap titik (𝑥, 𝑦) pada 𝐷 adalah 𝛿 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝑥𝑦, tentukan momen inersia dari keping 𝐷 terhadap sumbu 𝑋, sumbu 𝑦, dan titik O. Kemudian tentukan juga jari-jari kitaran keping 𝐷 terhadap sumbu 𝑌. (Koko Martono, halaman 69). Penyelesaian: 2



Grafik 𝑦 = 𝑥 3 → 𝑥 = 0, 𝑦 = 0. → 𝑥 = 8, 𝑦 = 4. Daerah 𝐷 yang terjadi adalah Y 2



𝑦 = 𝑥3 4



2



DD X



0



2



4



8



6



18



Apabila daerah 𝐷 dipartisi terhadap sumbu 𝑋, sehingga daerah integrasi 𝐷=



2



𝑥, 𝑦 0 ≤ 𝑥 ≤ 8, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 3



 Momen inersia keping 𝑫 terhadap sumbu 𝑿 2



8 𝑥3



𝑦 2 𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 =



𝐼𝑥 = 𝐷 8



𝑦 2 1 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 0



2 𝑥3



2



8



1 3 1 4 𝑦 + 𝑥𝑦 3 4



𝑦 2 + 𝑥𝑦 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =



= 0 0



0 2 3



8



2 4



𝑥3



=



3



0



+



4



14 8



𝑥2 𝑥 3 𝑥 3 3𝑥 3 + 𝑑𝑥 = + 3 4 9 56



𝑑𝑥 = 0



14



𝑑𝑥 𝑦 =0



11



8



𝑥 𝑥3



𝑦 =𝑥 3



0 2



83 3 8 3 512 3.84 . 83 512 3.83 . 22 512 6144 = + = + = + = + 9 56 9 56 9 7 9 7 3584 + 55296 58880 = = = 934,6 63 63 Momen inersia keping 𝐷 terhadap sumbu 𝑋 adalah 934,6  Momen inersia keping 𝑫 terhadap sumbu 𝒀 2



8 𝑥3



𝑥 2 𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 =



𝐼𝑦 = 𝐷



𝑥 2 1 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 0



2



8 𝑥3



8



𝑥 2 + 𝑥 3 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =



= 0 0 8



= 0



8 𝑥3



0



2



1 𝑥2 𝑦 + 𝑥3 𝑦2 2



1 13 3 11 3 16 + 𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝑥3 + 𝑥3 2 11 32



8 0



𝑥3



𝑑𝑥 0 11



3.211 3.25 . 211 6144 6144 + 67584 + = + 6144 = 11 32 11 11 73728 = = 6702,5. 11 =



19



16



3.8 3 3.8 3 = + 11 32



Jadi, momen inersia keping 𝐷 terhadap sumbu 𝑌 adalah 6702,5.  Momen Inersia terhadap titik O adalah 𝐼𝑜 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 = 934,6 + 6702,5 = 7637,1  Untuk menentukan jari-jari kitaran keping D terhadap sumbu y, kita harus menghitung dahulu massa keping. Massa keping 2



8 𝑥3



𝑚=



𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝐷 8



=



1 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 0



2 𝑥3



0



=



8



0



1 7 3 5 3 10 + 𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝑥 3 + 𝑥3 2 5 20



8 0



2



1 𝑦 + 𝑥𝑦 2 2



𝑦 =𝑥 3



𝑑𝑥 𝑦=0



3.25 3.210 96 768 = + = + 5 20 5 5



864 = 172,8. 5



Jari-jari kitaran keping D terhadap sumbu 𝑌 adalah bilangan 𝑟 > 0 yang memenuhi 𝑟2 =



𝐼𝑦 6702,5 = = 38,79 𝑀 172,8



𝑟 = 6,228 Jadi, jari-jari kitaran keping D terhadap sumbu 𝑌 adalah 6,228



3.



Diketahui keping 𝐷 berbentuk daerah tertutup yang dibatasi oleh setengah lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 10𝑦, 𝑥 ≥ 0 dan sumbu 𝑌. Jika rapat massa disetiap titik pada keping 𝐷 adalah 𝛿 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 tentukan massa keping, momen massa terhadap kedua sumbu koordinat dan titik pusatnya. (Koko Martono. Halaman : 66) Penyelesaian: Persamaan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 10𝑦 ⟺ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑦 = 0. Sehingga diperoleh:



20



 Pusat lingkarannya adalah 1 1 1 1 𝑃 − 𝐴, − 𝐵 = − . 0, − . −10 2 2 2 2



= 0,5 .



 Jari-jarinya adalah 1 2 1 2 𝐴 + 𝐵 −𝐶 = 4 4



𝑟=



1 1 . 0 + −10 4 4



2



−0=



1 . 100 = 25 = 5. 4



Daerah 𝐷 yang terjadi adalah Y 𝑥 2 + 𝑦 2 = 10𝑦, 𝑥 ≥ 10 10



D



5



X



0



Daerah 𝐷 dibawa ke dalam koordinat kutub, diperoleh 𝜃=



𝜋 2



𝑥 2 + 𝑦 2 = 10𝑦, 𝑥 ≥ 10 10



5



D



𝜃=0 0



Dalam koordinat kutub, persamaan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 10𝑦 ditulis sebagai 𝑟 2 = 10𝑦, 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃, dan 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃. 𝑟 2 = 10𝑦 ⟺ 𝑟 2 = 10 𝑟 sin 𝜃 ⟺ 𝑟 = 10 sin 𝜃 Sehingga daerah integrasi 𝐷 =



𝜋



𝑟, 𝜃 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 , 0 ≤ 𝑟 ≤ 10 sin 𝜃



21



Rapat massanya dalam koordinat kutub menjadi 𝛿 𝑟, 𝜃 = 1 + 𝑟 dan elemen luasnya menjadi 𝑑𝐴 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃. Massa keping 𝑫 𝜋 2 10 sin 𝜃



𝑀=



𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝐷



𝛿 𝑟, 𝜃 𝑑𝐴 = 𝐷



0



𝜋 2 10 sin 𝜃



𝜋 2



𝑟 + 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = 0 𝜋 2



= 0



=



0



0 10 sin 𝜃



1 3 1 2 𝑟 + 𝑟 3 2



2



=



1 + 𝑟 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃



0



𝑑𝜃 0



1000 100 𝑠𝑖𝑛3 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝑑𝜃 3 2



1000 3



𝜋 2



𝜋 2



𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜃 + 50 0



𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝑑𝜃 0



𝑖𝑛𝑔𝑎𝑡, sin2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1 ⟺ sin2 𝜃 = 1 − cos 2 𝜃 𝑢𝑏𝑎𝑕 sin 𝜃 𝑑𝜃 = − 𝑑 cos 𝜃



=−



=



1000 3



𝜋 2



𝜋 2



1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 50 0



1000 1 𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 3 3



1000 1 = 0− −1 3 3 =



0 𝜋 2



𝜋 2



+ 50



0



0



50 + 𝜃 2



𝜋 2 0



1 1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝑑𝜃 2 2



1 𝑑𝜃 − 50 2



50 sin 2𝜃 − 2 4



𝜋 2



0



1 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝑑𝜃 2



𝜋 2 0



1000 2 50𝜋 50 2000 25 + + 0 = + 𝜋 ≈ 237,9 3 3 4 2 9 2



Jadi, massa keping 𝐷 adalah 237,9



Momen massa keping 𝑫 terhadap sumbu 𝑿 𝑀𝑥 =



𝑦 𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝐷



𝑟 sin 𝜃 𝛿 𝑟, 𝜃 𝑑𝐴 𝐷



22



𝜋 2 10 sin 𝜃



=



𝑟 sin 𝜃 1 + 𝑟 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 0



0



𝜋 2 10 sin 𝜃



𝑟 3 sin 𝜃 + 𝑟 2 sin 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃



= 0 𝜋 2



= 0



0 10 sin 𝜃



1 4 1 𝑟 sin 𝜃 + 𝑟 3 sin 𝜃 4 3 𝜋 2



sin5 𝜃 𝑑𝜃 +



= 2500 0



𝑑𝜃 0



1000 3



𝜋 2



sin4 𝜃 𝑑𝜃 0



𝜋 2 2



= 2500 −



1 − cos 𝜃



2



𝑑 cos 𝜃



0



1000 + 3



𝜋 2



0



1 1 − cos 2𝜃 2 2



2



𝑑𝜃



𝜋 2



1 − 2cos2 𝜃 + cos 4 𝜃 𝑑 cos 𝜃



= 2500 − 0



+



1000 3



𝜋 2



1 1 1 − cos 2𝜃 + cos2 2𝜃 𝑑𝜃 4 2 4



0 𝜋 2



= 2500 −



𝜋 2



+



2 cos 2 𝜃 𝑑 cos 𝜃 −



1 𝑑 cos 𝜃 + 0



1000 1 3 4



𝜋 2



0 𝜋 2



0



1 1 𝑑𝜃 − 4 2



cos4 𝜃 𝑑 cos 𝜃 0



𝜋 2



cos 2𝜃 𝑑𝜃 + 0



1 4



𝜋 2



cos2 2𝜃 𝑑𝜃 , 0



𝑖𝑛𝑔𝑎𝑡, cos 2𝜃 = 2 cos2 𝜃 + 1



= 2500 − cos 𝜃



𝜋 2 0



cos 3 𝜃 +2 3



23



𝜋 2 0



cos 5 𝜃 − 5



𝜋 2 0



+



1000 1 𝜃 3 4



𝜋 2 0



−



1 sin 2𝜃 2 4



= 2500 − 0 − 1 + 2 0 −



+



1000 𝜋 1 1 − 0 + 3 8 2 4



𝜋 2



0



𝜋 2



+



0



1 4



𝜋 2



0



cos 4𝜃 + 1 𝑑𝜃 2



1 1 − 0− 3 5 cos 4𝜃 1 𝑑𝜃 + 2 4



2 1 1000 𝜋 1 1 = 2500 1 − + + + sin 4𝜃 3 5 3 8 8 4



𝜋 2



0 𝜋 2 0



1 𝑑𝜃 2



+



1 𝜃 8



𝜋 2 0



1 1 1000 𝜋 1 1 𝜋 + + + 0 + 3 5 3 8 8 8 2 5+3 1000 𝜋 𝜋 8 1000 3𝜋 = 2500 + + = 2500. + . 15 3 8 16 15 3 16 4000 125𝜋 = + = 1529,7. 3 2 = 2500



Jadi, momen massa keping 𝐷 terhadap 𝑋 adalah 1529,7. Momen massa keping 𝑫 terhadap sumbu 𝒀 𝑀𝑦 =



𝑥 𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝐷



𝑟 cos 𝜃 𝛿 𝑟, 𝜃 𝑑𝐴 𝐷



𝜋 2 10 sin 𝜃



=



𝑟 cos 𝜃 1 + 𝑟 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 0



0



𝜋 2 10 sin 𝜃



𝑟 3 cos 𝜃 + 𝑟 2 cos 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃



= 0 𝜋 2



= 0



0



1 4 1 𝑟 cos 𝜃 + 𝑟 3 cos 𝜃 4 3



10 sin 𝜃



𝑑𝜃 0



24



=



10000 4



𝜋 2



sin4 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃 + 0



1 = 2500 sin5 𝜃 5 = 500 +



𝜋 2 0



1000 3



𝜋 2



sin3 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃 0



1000 1 4 + sin 𝜃 3 4



𝜋 2 0



250 1750 = = 583,3. 3 3



Jadi, momen massa keping 𝐷 terhadap 𝑌 adalah 583,3. Pusat massa keping 𝑫 adalah 𝑥=



𝑀𝑦 583,3 = = 2,5 𝑀 237,9



𝑦=



𝑀𝑥 1529,7 = = 6,4 𝑀 237,9



Jadi, pusat massa keping 𝐷 adalah 𝑥, 𝑦 = 2,5; 6,4



25



BAB III PENUTUP



3.1. Simpulan 1. Jika dipunyai sebuah keping datar dengan rapat massa tak homogen yang berbentuk daerah 𝐷. 𝐷=



𝑥, 𝑦 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝜙 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝜓 𝑥 , dimana 𝜙 dan 𝜓 kontinu pada



𝑎, 𝑏 atau 𝐷=



𝑥, 𝑦 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝜙 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝜓 𝑦 , dimana 𝜙 dan 𝜓 kontinu pada



[𝑐, 𝑑] Rapat massa di setiap titik pada keping (𝑥, 𝑦) pada keping 𝐷 adalah 𝛿(𝑥, 𝑦) di mana 𝛿 merupakan fungsi kontinu pada D. Maka diperoleh: Massa keping 𝐷 adalah 𝑀 = Momen 𝐷



keping



𝐷 terhadap



sumbu



𝑋 adalah



𝑀𝑥 =



keping



𝐷 terhadap



sumbu



𝑌 adalah



𝑀𝑦 =



𝑦 𝛿(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴.



Momen 𝐷



massa



𝛿(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴.



𝐷



massa



𝑥 𝛿(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴.



Pusat massa keping 𝐷 adalah titik 𝑥, 𝑦 =



𝑀𝑦 𝑀𝑥 𝑀



,



.



𝑀



Momen inersia terhadap sumbu 𝑋 adalah 𝐼𝑋 =



𝐷



Momen inersia terhadap sumbu 𝑌 adalah 𝐼𝑌 =



𝐷



𝑦 2 𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴. 𝑥 2 𝛿 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴.



Momen inersia terhadap titik O adalah 𝐼𝑂 = 𝐼𝑋 + 𝐼𝑌 . 𝐼



Jari-jari kitarannya adalah 𝑟 2 = 𝑀 2. Massa, pusat massa dan momen inersia pada koordinat kartesius adalah Total massanya adalah 𝑀 =



𝑠



𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉



Total momen inersia terhadap sumbu 𝑍 ∶ 𝑀𝑥𝑦 = Pusat benda relatif terhadap sumbu Z adalah 𝑧 =



26



𝑆



𝑀𝑥𝑦 𝑀



𝑧 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉



Momen inersia terhadap bidang 𝑋𝑂𝑌 adalah 𝐼𝑧 =



𝑥 2 + 𝑦 2 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧



𝑆



Secara serupa , dapat diperoleh 𝑀𝑥𝑧 , 𝑀𝑦𝑧 , 𝑥, 𝑦, 𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 selanjutnya pusat massa benda pejal adalah (𝑥, 𝑦, 𝑧). 3. Massa, pusat massa dan momen inersia pada koordinat silinder adalah Total massanya adalah 𝑀 = =



𝜃2 𝑟2 (𝜃) 𝑔2 (𝑟,𝜃) 𝑓 𝜃1 𝑟1 (𝜃) 𝑔1 (𝑟,𝜃)



𝑠



𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉



𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃 , 𝑧 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃



Total momen inersia terhadap sumbu Z adalah 𝑀𝑥𝑦 =



𝑆



𝑧 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃



Pusat benda relatif terhadap sumbu 𝑍 adalah 𝑧 =



𝑀𝑥𝑦 𝑀



Momen inersia terhadap bidang 𝑋𝑂𝑌 adalah 𝐼𝑧 =



𝑆



(𝑥 2 +



𝑦 2 ) 𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 Secara serupa , dapat diperoleh 𝑀𝑥𝑧 , 𝑀𝑦𝑧 , 𝑥, 𝑦, 𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 selanjutnya pusat massa benda pejal adalah (𝑥, 𝑦, 𝑧). 4. Massa, pusat massa dan momen inersia pada koordinat bola adalah Total massanya adalah 𝑀 = =



𝑠



𝑠



𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉



𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜌2 sin 𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙



Total momen inersia terhadap sumbu Z adalah 𝑀𝑥𝑦 =



𝑆



𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜌2 sin 𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙



Pusat benda relatif terhadap sumbu 𝑍 adalah 𝑧 =



𝑀𝑥𝑦 𝑀



Momen inersia terhadap bidang 𝑋𝑂𝑌 adalah



𝐼𝑧 =



𝑆



(𝑥2 + 𝑦2 )𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜌2 sin 𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙



Secara serupa , dapat diperoleh 𝑀𝑥𝑧 , 𝑀𝑦𝑧 , 𝑥, 𝑦, 𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 selanjutnya pusat massa benda pejal adalah (𝑥, 𝑦, 𝑧).



27



DAFTAR PUSTAKA J. Purcell, Edwin. dkk. 2004. Kalkulus Jilid 2. Jakarta: Erlangga. Martono, Koko. 1990. Kalkulus Integra Lipat Dua. Bandung: Institut Teknologi Bandung. Stewart, James. 1999. Kalkulus Edisi Keempat. Jakarta: Erlangga Sugiman. 2003. Kalkulus Lanjut. Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta.



28