Mekanika Klasik - Gerakan Partikel 3 Dimensi [PDF]

Citation preview

Gerakan Umum Dari Partikel Pada Tiga Dimensi



Disusun Oleh : Kelompok



: 3



Kelas



: Karyawan-B



Mata Kuliah



: Mekanika Klasik



Nama Dosen



: Purwantiningsih, S,Si., M.Sc.



Hari/tanggal



: Jumat/18 Maret 2016



Anggota



: Uvin Nathasia



153112600120037



Usvitawati



153112600120044



Fitri Octaviany



153112600120053



PROGRAM STUDI FISIKA FAKULTAS TEKNIK DAN SAINS UNIVERSITAS NASIONAL JAKARTA 2015-2016



Gerakan Umum Dari Partikel Pada Tiga Dimensi Sir Isaac Newton, dan para pengikutnya, juga memiliki pendapat yang sangat aneh tentang ciptaan Tuhan. Menurut doktrin mereka, Tuhan Mahakuasa memerlukan putara waktu dari masa ke masa; jika tidak maka akan berhenti bergerak. Dia tidak melakukannya, nampaknya, pandangan yang cukup ke depan untuk membuatnya menjadi bergerak terus-menerus. Nay, mesin yang menciptakan Tuhan, begitu sempurna, menurut pria ini, bahwa Dia wajib untuk membersihkannya sekarang dan kemudian oleh Concourse yang luar biasa, dan bahkan untuk memperbaikinya, sebagai pembuat waktu yang mengkreasikan karyanya; akibatnya harus menjadi pekerja yang jauh lebih terampil, karena Ia sering berkewajiban untuk memperbaiki karyanya dan mengatur dengan benar. Menurut pendapat saya, gaya yang sama dan semangat [energi] tetap selalu di dunia, dan hanya berpindah dari satu bagian ke bagian lain, menyenangkan dengan hukum-hukum alam, dan indah yang ditetapkan sebelumnya agar -. Gottfried Wilhelm Leibniz - Surat untuk Caroline, Princess of Wales, 1715; LeibnizClarke Correspondence, Manchester, Manchester Univ. Tekan 1956. 4.1 Pendahuluan: Prinsip-Prinsip Umum Saat ini kami sedang memeriksa kasus yang umum dari gerakan partikel dalam tiga dimensi. Bentuk vektor dari persamaan gerakan untuk partikel tersebut adalah (4.1.1) Di mana p = mv adalah momentum linear dari partikel. Persamaan vektor ini setara dengan tiga persamaan skalar dalam koordinat Cartesian.



(4.1.2)



Fungsi Tiga komponen kekuatan koordinat eksplisit atau implisit, waktu dan derivatif spasial, dan mungkin berkaitan dengan waktu itu sendiri. Tidak ada metode umum untuk memperoleh solusi analitik untuk persamaan gerakan di atas. Dalam masalah bahkan kompleksitas paling ringan, kami mungkin harus meneliti untuk penggunaan menerapkan teknik numerik; Namun, ada banyak masalah yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitis yang relatif sederhana. Mungkin benar bahwa masalah tersebut kadang-kadang terlalu sederhana dalam representasi mereka tentang realitas. Namun, mereka akhirnya menjadi dasar dari model sistem fisika yang nyata, dan sehingga layak sebagai usaha yang dapat kita ambil di sini untuk mengembangkan keterampilan analitis yang diperlukan untuk memecahkan masalah idealis tersebut. Bahkan mereka mungkin terbukti mampu memotong kemampuan analitik kami. Sangat jarang bahwa yang tahu cara eksplisit di mana F tergantung pada waktu; Oleh karena itu, kita tidak perlu khawatir tentang situasi ini tetapi fokus pada situasi yang normal lebih di mana F dikenal sebagai fungsi eksplisit dari koordinat spasial dan turunannya. Situasi yang paling sederhana adalah satu di mana F dikenal sebagai fungsi koordinat spasial saja. Kami mencurahkan sebagian besar upaya kami untuk memecahkan masalah tersebut. Ada banyak hanya sedikit lebih banyak kasus termasuk proyektil gerakan dengan hambatan udara dan gerakan sebuah partikel bermuatan dalam medan elektromagnetik statis. Kami akan memecahkan masalah seperti ini juga. Akhirnya, F mungkin merupakan fungsi implisit waktu, seperti dalam situasi di mana koordinat dan mengkoordinasikan ketergantungan derivatif non statis. Sebuah contoh utama dari situasi seperti itu melibatkan gerakan sebuah partikel bermuatan dalam medan elektromagnetik dengan waktu bervariasi. Kami tidak akan memecahkan masalah seperti ini. Untuk saat ini, kita mulai pelajaran kita tentang gerakan tiga dimensi dengan pengembangan beberapa teknik analitis yang kuat yang dapat diterapkan ketika F adalah fungsi yang diketahui dari r dan / atau r.



Prinsip Kerja Kerja yang dilakukan pada sebuah partikel menyebabkannya untuk mendapatkan atau kehilangan energi kinetik. Konsep kerja diperkenalkan pada Bab 2 untuk kasus gerakan partikel dalam satu dimensi. Kami ingin menggeneralisasi hasil yang diperoleh di sana untuk kasus gerakan tiga dimensi. Untuk melakukannya, pertamatama kita mengambil dot product dari kedua sisi pada Persamaan 4.1.1 dengan kecepatan v:



Karena d (v.v) / dt = 2v. v, dan dengan asumsi bahwa massa adalah konstan, tergantung pada kecepatan partikel, kita dapat menulis Persamaan 4.1.3 sebagai



Gambar 4.1.1 kerja yang dilakukan oleh gaya F adalah garis yang tidak terpisahkan



Di mana T adalah energi kinetik, mv2/2 Karena v = dr / dt, kita dapat menulis ulang pada Persamaan 4.1.4 dan kemudian mengintegrasikan hasil untuk mendapatkan



Sisi kiri sehingga persamaan adalah tidak terpisahkan garis Frdr, komponen F sejajar dengan partikel vektor perpindahan dari integral dilakukan sepanjang lintasan partikel dari beberapa titik awal dalam ruang A ke titik B. akhir Situasi ini digambarkan pada Gambar 4.1.1 integral garis mewakili kerja yang dilakukan pada partikel oleh gaya F sebagai partikel bergerak di sepanjang bentuk lintasan A ke B. Sisi kanan dari persamaan adalah perubahan bersih energi kinetik partikel. F adalah jumlah bersih dari semua kekuatan vektor yang bekerja pada partikel; maka, persamaan menyatakan bahwa kerja yang dilakukan pada partikel oleh gaya total yang bekerja padanya, dalam bergerak dari satu posisi dalam ruang untuk yang lain, adalah sama dengan perbedaan energi kinetik dari partikel di dua posisi. Dorongan konservatif dan Dorongan Lapangan Dalam Bab 2 kita memperkenalkan konsep energi potensial. Kami menyatakan bahwa jika ada gaya yang bekerja pada partikel yang konservatif, bisa diturunkan sebagai turunan dari potensi fungsi energi skalar, Fx = -dV (x) / dx. Kondisi ini membawa kita ke gagasan bahwa pekerjaan yang dilakukan dengan kekerasan seperti dalam menggerakankan partikel dari titik A ke titik B sepanjang sumbu x adalah ζF x = -ΔV = V(A) – V(B), atau sama dengan minus perubahan energi potensial partikel. Dengan demikian, kita tidak lagi memerlukan pengetahuan yang terperinci dari gerakan partikel dari A ke B untuk menghitung kerja yang dilakukan di atasnya dengan kekuatan konservatif. Kita hanya perlu mengetahui dimulai pada titik A dan berakhir pada titik B. Kerja yang dilakukan tergantung hanya pada fungsi energi potensial dievaluasi pada titik akhir dari gerakan. Selain itu, karena pekerjaan yang dilakukan juga sama dengan perubahan energi kinetik dari partikel, ΔT = T(B) – T(A), kami mampu membangun konservasi umum prinsip total energi, yaitu, E tot = V(A) + T(A) = V(B) + T(B) = konstan sepanjang gerakan partikel.



Gambar 4.1.2 Sebuah medan gaya non-konservatif yang memaksa komponen Fx = -by dan Fy = +bx



Prinsip ini didasarkan pada kondisi bahwa gaya yang bekerja itu pada partikel konservatif. Memang, sangat nama menyiratkan bahwa sesuatu sedang dijaga sebagai partikel bergerak di bawah aksi gaya seperti itu. Kami ingin menggeneralisasi konsep ini untuk sebuah partikel yang bergerak dalam tiga dimensi, dan, yang lebih penting, kami ingin mendefinisikan apa yang dimaksud dengan kata konservatif. Jelas, kami ingin memiliki beberapa rumus yang memberitahu kita apakah kekuatan konservatif tertentu dan, dengan demikian, apakah fungsi energi potensial ada untuk partikel. Kemudian kita bisa menggunakan prinsip energi konservasi yang kuat dalam memecahkan gerakan partikel. Dalam mencari rumus seperti itu, pertama-tama kita menjelaskan contoh kekuatan non konservatif yang, pada kenyataannya, adalah fungsi yang didefinisikan dengan posisi tetapi tidak dapat diturunkan dari fungsi energi potensial. Ini akan memberikan kita petunjuk tentang karakteristik penting bahwa gaya harus memiliki jika konservatif. Pertimbangkan medan kekuatan dua dimensi digambarkan pada Gambar 4.1.2. Gaya Istilah lapangan hanya berarti bahwa jika partikel 1 tes kecil yang 1 Sebuah partikel tes adalah salah satu yang massanya cukup kecil bahwa kehadirannya tidak mengubah lingkungannya. Secara konseptual, kita mungkin membayangkan itu ditempatkan di beberapa titik dalam ruang untuk melayani sebagai "probe uji" untuk diduga kehadiran pasukan. Pasukan yang "dirasakan" dengan mengamati akselerasi resultan dari partikel uji. Kami selanjutnya



ditempatkan pada setiap titik (x1, y1) pada bidang xy, itu akan mengalami gaya F. demikian, kita bisa memikirkan bidang xy yang meresap, atau " memetakan, "dengan potensi untuk menghasilkan kekuatan. Situasi ini, pada pandangan pertama, tampaknya tidak begitu biasa. Setelah semua, ketika Anda menjatuhkan bola di medan gaya gravitasi, jatuh dan keuntungan energi kinetik, dengan kerugian menyertai jumlah yang sama energi potensial. Pertanyaannya di sini adalah, dapat kita bahkan mendefinisikan fungsi energi potensial untuk partikel yang beredar ini sedemikian rupa sehingga akan kehilangan sejumlah "energi potensial" sama dengan energi kinetik itu diperoleh, sehingga melestarikan energi secara keseluruhan, karena perjalanan dari satu titik ke titik yang lain? Itu tidak terjadi di sini. Jika kita menghitung kerja yang dilakukan pada partikel ini dalam melacak beberapa jalur yang kembali pada dirinya sendiri (seperti jalur persegi panjang ditunjukkan oleh garis putus-putus pada Gambar 4.1.2), kita akan mendapatkan hasil nol! Dalam melintasi lingkaran seperti berulang-ulang, partikel akan terus mendapatkan energi kinetik sama dengan nilai nol dari pekerjaan yang dilakukan per loop. Tetapi jika partikel bisa diberi energi potensial pada melintasi loop tertutup akan menjadi nol. Harus jelas bahwa tidak ada cara di mana kita bisa menetapkan nilai unik energi potensial untuk partikel ini pada setiap titik tertentu pada bidang xy. Setiap nilai yang diberikan akan tergantung pada riwayat partikel. Sebagai contoh, berapa banyak loop telah partikel yang sudah dibuat sebelum tiba di posisi saat ini? Kita bisa lebih mengekspos keunikan non fungsi energi potensial yang diusulkan dengan memeriksa pekerjaan yang dilakukan pada partikel karena perjalanan antara dua titik A dan B tapi sepanjang dua jalan yang berbeda. Pertama, kita membiarkan bergerak partikel dari (x, y) ke (x + Δx, y + Δy) dengan melakukan perjalanan dalam + x arah untuk (x + Δx, y + Δy) Dan kemudian di + y arah untuk (x = Δx, y + Δy). maka kita membiarkan perjalanan partikel pertama sepanjang + y arah membayangkan bahwa kehadirannya tidak mengganggu sumber kekuatankekuatan.



dari (xy) ke (x,y + Δy) dan kemudian sepanjang + x arah untuk (x + Δx, y + Δy). Kita melihat bahwa jumlah yang berbeda dari pekerjaan yang dilakukan tergantung pada jalan mana yang kita membiarkan mengambil partikel. Jika ini benar, maka fungsi energi kerja dievaluasi pada kedua ujung gerakan, karena perbedaan tersebut akan memberikan, hasil jalan-independent yang unik. Perbedaan dalam pekerjaan yang dilakukan sepanjang dua jalur ini sama dengan 2bΔxΔy (Lihat Persamaan 4.1.6). Perbedaan ini hanya sama dengan nilai dari loop tertutup kerja terpisahkan; Oleh karena itu, pernyataan bahwa pekerjaan yang dilakukan untuk pergi dari satu titik ke titik lain dalam medan gaya ini tergantung-jalan setara dengan pernyataan bahwa tidak terpisahkan loop tertutup kerja nol. Medan gaya tertentu diwakili dalam Gambar 4.1.2 tuntutan yang kita tahu sejarah lengkap dari partikel untuk menghitung kerja yang dilakukan dan, oleh karena itu, keuntungan energi kinetiknya. Konsep energi potensial, dari mana kekuatan itu bisa mungkin diturunkan, diterjemahkan berarti dalam konteks tertentu. Satu-satunya cara kita bisa memberikan nilai unik untuk energi potensial akan jika integral bekerja dekat loop lenyap. Dalam kasus tersebut, pekerjaan yang dilakukan di sepanjang jalan dari A ke B akan jalan-independen dan akan sama baik potensi kehilangan energi dan keuntungan energi kinetik. Energi total partikel akan konstan, terlepas dari lokasinya di medan gaya tersebut! Karena itu, kami harus menemukan kendala yang kekuatan tertentu harus mematuhi jika tidak terpisahkan kerja loop tertutup adalah menghilang. Untuk menemukan kendala yang diinginkan, mari kita menghitung kerja yang dilakukan dalam mengambil partikel tes berlawanan sekitar lingkaran persegi panjang daerah Δx Δy dari titik (x, y) dan kembali lagi, seperti yang ditunjukkan pada Gambar



4.1.2. Kami mendapatkan hasil sebagai berikut:



Usaha yang dilakukan adalah nol dan sebanding dengan luas loop, ΔA = Δx . Δy, Yang dipilih dengan cara sewenang-wenang. Jika kita membagi pekerjaan yang dilakukan oleh daerah loop dan mengambil batas sebagai ΔA  0, kita memperoleh nilai 2b. Hasilnya tergantung pada sifat yang tepat dari medan gaya ini khususnya non konservatif. Jika kita memesan arah dari salah satu komponen kekuatan - mengatakan, biarkan Fz = +by dengan (sehingga "menghancurkan" sirkulasi medan gaya tapi di mana-mana melestarikan besarnya) - maka kerja yang dilakukan per satuan luas dalam melintasi loop tertutup hilang . Medan gaya yang dihasilkan konservatif dan ditunjukkan pada Gambar 4.1.3. Jelas, nilai loop tertutup yang tidak terpisahkan tergantung pada cara yang tepat di mana vektor gaya F berubah arah serta besarnya seperti yang kita bergerak pada bidang xy.



Gambar 4.1.3 Sebuah medan gaya konservatif yang komponennya adalah Fx = by dam Fy = bx Ada jelas beberapa jenis kendala yang F harus mematuhi jika integral kerja loop tertutup adalah menghilang. Kita dapat memperoleh kondisi ini kendala dengan



mengevaluasi kekuatan yang x + Δx dan y + Δy menggunakan ekspansi Taylor dan kemudian memasukkan ekspansi yang dihasilkan menjadi integral kerja loop tertutup dari Persamaan 4.1.6. Hasilnya berikut:



Persamaan terakhir ini berisi istilah (əFy / əx - əFx / əy), yang nol atau nilai nol merupakan tes yang kita cari. Jika istilah ini adalah identik sama dengan nol bukan 2b,



fungsi



energi



potensial



dari



mana



kekuatan



itu



bisa



diturunkan.



Kondisi ini adalah versi lebih sederhana dari teorema matematika yang sangat umum disebut theorem2 Stoke Hal ini ditulis sebagai



Teorema menjelaskan loop tertutup garis integral dari fungsi vektor F sama dengan meringkuk F – n da terintegrasi di atas permukaan S dikelilingi oleh penutupan loop. Vektor n adalah unit vektor normal ke permukaan area elemen integrasi da. Arahnya adalah bahwa dari maju sekrup kanan berubah dalam arti rotasi sama dengan arah traversal sekitar loop tertutup. Pada Gambar 4.1.2, N akan diarahkan keluar dari 2 Lihat buku teks kalkulus lanjutan (misalnya, SI Grossman dan WR Derrick, Advanced Teknik Matematika, Harper Collins, New York, 1988) atau maju listrik dan magnet buku (misalnya JR Reitz, FJ Milford, dan RW Christy, Yayasan elektromagnetik Teori . Addision-Wesley.



kertas. Permukaan akan menjadi area persegi tertutup oleh loop persegi panjang putus-putus. Dengan demikian, hilang ikal F memastikan bahwa integral garis F sekitar jalan dekat adalah nol tangan, sehingga bahwa F adalah gaya konservatif. 4.2 Potensi Fungsi Energi in Motion Tiga-Dimensi: The Del Operator Asumsikan bahwa kita memiliki subjek tes partikel suatu kekuatan yang keriting hilang. Maka semua komponen curl F dalam Persamaan 4.1.9 lenyap. Kita dapat memastikan bahwa curl hilang jika kita berasal dari F fungsi energi potensial V (x, y, z) menurut



Sebagai contoh, komponen z curl F menjadi



Langkah terakhir ini mengikuti jika kita mengasumsikan bahwa V adalah di manamana terus menerus dan terdiferensialkan. Kami mencapai kesimpulan yang sama untuk komponen lain curl F. Orang mungkin bertanya-tanya apakah ada alasan lain mengapa ikal F mungkin lenyap, selain yang berada diturunkan dari fungsi energi potensial. Namun, curl F = 0 adalah kondisi yang diperlukan dan cukup untuk keberadaan V (x, y, z) sehingga pada Persamaan 4.2.1 ditahan.3



Kita sekarang dapat mengekspresikan gaya konservatif F vectorialisasi sebagai



Persamaan ini dapat ditulis lebih ringkas sebagai 3



Lihat, sebagai contoh S.I. Grossman, op cit. Juga, Feng merepresentasikan pemahaman diskusi dari kriteria konservasi saat terjadi dorongan lapangan berisikan singularitas dalam AMer J. Phys. 37, 616 (1969)



di mana kami telah memperkenalkan operator vektor del:



Ekspresi VV juga disebut gradien V dan kadang-kadang ditulis lulusan V. Secara matematis, gradien fungsi adalah vektor yang mewakili turunan spasial maksimum fungsi dalam arah dan besarnya. Secara fisik, gradien negatif dari fungsi energi potensial memberikan arah dan besarnya gaya yang bertindak na partikel yang terletak di lapangan yang dibuat oleh partikel lain. Arti dari tanda negatif adalah bahwa partikel didorong untuk bergerak ke arah penurunan energi potensial daripada dalam arah yang berlawanan. Hal ini diilustrasikan pada Gambar 4.2.1. Di sini fungsi energi potensial diplot dalam bentuk garis kontur mewakili kurva energi potensial yang konstan. Gaya pada setiap titik selalu normal kurva ekipotensial atau permukaan melewati titik tersebut.



Gambar 4.2.1 Sebuah medan gaya diwakili oleh kurva kontur ekuipotensial.



Kita dapat mengungkapkan ikal F menggunakan del operator. Lihatlah komponen curl F dalam Persamaan 4.1.9. Mereka adalah komponen dari vektor V x F. Jadi, V x F = ikal F. Kondisi yang kekuatan konservatif dapat ditulis lengkap sebagai berikut :



Selain itu, jika V x F = 0, maka F dapat diturunkan dari fungsi V skalar dengan



operasi F = - VV, karena V x VV = 0, atau curl dari gradien apapun identik 0. Kita sekarang bisa menggeneralisasi konservasi prinsip energi untuk tiga dimensi. Usaha yang dilakukan oleh gaya konservatif dalam menggerakan partikel dari titik A ke titik B dapat ditulis sebagai



Langkah terakhir menggambarkan kenyataan bahwa VV. dr adalah diferensial yang tepat sama dengan dV. Usaha yang dilakukan oleh gaya total selalu sama dengan perubahan energi kinetik, sehingga



dan kita telah tiba di hukum kita inginkan kekekalan energi total. Jika F adalah kekuatan nonkonservatif, tidak dapat ditetapkan sama dengan vv. Peningkatan kerja F.dr bukanlah diferensial yang tepat dan tidak bisa disamakan dengan -dV. Dalam kasus-kasus di mana kedua kekuatan konservatif F dan pasukan nonkonservatif F 'yang hadir, peningkatan kerja total (F = F'). dr = -dV + F ', dan bentuk umum dari teorema energi bekerja menjadi (4.2.9) Energi total E tidak tetap konstan sepanjang gerakan partikel, tetapi bertambah atau berkurang tergantung pada sifat dari gaya nonkonservatif F '. Dalam kasus pasukan disipatif seperti gesekan dan hambatan udara, arah F 'selalu berlawanan gerakan; maka, F'.dr negatif, dan energi total partikel menurun ketika bergerak melalui ruang. CONTOH 4.2.1 Mengingat dua dimensi potensi fungsi energi



mana r = I x + jy dan Vo, k, dan δ adalah konstanta, menemukan fungsi kekuatan. Solusi: Kami pertama kali menulis fungsi energi potensial sebagai fungsi x dan y



dan kemudian menerapkan operator gradien:



Perhatikan bahwa konstanta Vo tidak muncul dalam fungsi berlaku; nilainya adalah sewenang-wenang. Ini hanya meningkatkan atau menurunkan nilai fungsi energi potensial dengan konstan di mana-mana di x, y pesawat dan, dengan demikian, tidak berpengaruh pada fungsi tenaga yang dihasilkan. Kami telah diplot fungsi energi potensial pada Gambar 4.2.2 (a) dan fungsi gaya yang dihasilkan pada Gambar 4.2.2 (b). Konstanta diambil menjadi Vo = 1 .... = 1/3, dan k = 6. "lubang" di permukaan energi potensial mencapai kedalaman terbesar di asal, pusat lubang yang equipotentials - garis energi potensial yang konstan. Garis radial adalah garis keturunan curam yang menggambarkan gradien dari permukaan energi potensial. Kemiringan garis radial di setiap titik di pesawat sebanding dengan kekuatan yang partikel akan mengalami sana. Kekuatan lapangan pada Gambar 4.2.2 (b) menunjukkan kekuatan yang partikel akan mengalami sana. Kekuatan lapangan pada Gambar 4.2.2 (b) menunjukkan vektor gaya menunjuk ke arah asal. Mereka melemahkan baik dan jauh dari dekat ke asal, di mana kemiringan fungsi energi potensial mendekati nol.



Gambar 4.2.2a Fungsi energi potensial v (x, y)=



Gambar 4.2.2b Gradien lapangan dari dorongan fungsi energi potensial pada Gambar 4.2.2 (a); F = -ΔV – k(ix + jy)e-(x2+y2) / δ2



CONTOH 4.2.2 Misalkan sebuah partikel bermassa m bergerak di bidang kekuatan di atas, dan pada saat t = 0 partikel melewati asal dengan kecepatan v o. Apa yang akan kecepatan partikel berada pada jarak kecil dari asal yang diberikan oleh r = er Δr di mana Δ