Minggu 10 Hiper (Parameter Non Linier) [PDF]

Citation preview

TKD1204. Hitung Perataan



RM, 2020



Minggu 10 : Hitungan Kuadrat Terkecil Metode Parameter (Kasus Non Linier) A. Kompetensi yang diharapkan : Setelah mengikuti perkuliahan minggu 10, mahasiswa diharapkan telah dapat : 1. Menjelaskan perbedaan antara kasus linier dan kasus non linier khususnya pada hitungan kuadrat terkecil metode parameter. 2. Menjelaskan prosedur penyelesaian hitungan kuadrat terkecil metode parameter pada kasus non linier. 3. Melakukan linierisasi persamaan jarak dan sudut yang merupakan fungsi dari variasi koordinat. 4. Menerapkan hitungan kuadrat terkecil metode parameter pada penyelesaian kasus non linier, khususnya variasi koordinat, seperti pemotongan ke muka dan ke belakang, jaring triangulasi dan trilaterasi serta poligon, mulai dari menyusun model matematis, membentuk matriks-matriks yang terkait dan menghitung nilai besaran parameter beserta nilai simpangan bakunya. B. Materi Bidang ilmu Geodesi akan selalu terkait dengan penentuan posisi di atas permukaan bumi, khususnya posisi horisontal yang dinyatakan dalam sistem koordinat kartesian (X, Y). Guna penentuan posisi horisontal ini, perlu dilakukan pengukuran jarak dan sudut (azimuth). Metode parameter sebagai salah satu metode hitungan kuadrat terkecil banyak sekali digunakan untuk penyelesaian penentuan posisi ini. Hal ini karena pada metode parameter disusun sejumlah model matematis yang mengkaitkan besaran ukuran (observasi) sebagai fungsi dari parameter yang akan dicari yaitu berupa koordinat posisi (X, Y). Proses ini sering dinamakan sebagai metode variasi koordinat. Apapun metode penentuan posisi yang dilakukan, seperti pemotongan ke muka dan ke belakang, jaring triangulasi dan trilaterasi serta poligon, besaran ukuran yang harus diukur adalah berupa jarak dan sudut (azimuth). Dalam penyelesaian hitungan kuadrat terkecil dengan metode parameter, setiap besaran ukuran jarak dan sudut tersebut harus dinyatakan sebagai fungsi dari parameter yang dicari yaitu berupa koordinat posisi X, Y. U



J (Xj, Yj)



ij



ik



Dij



jik



I (Xi, Yi) Dik



K (Xk, Yk) Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM



1



TKD1204. Hitung Perataan



RM, 2020



Pada gambar, diukur jarak IJ dan jarak IK, serta sudut jik, yang masing-masing merupakan fungsi dari koordinat titik I, J, dan K. Dengan asumsi semua koordinat titik I, J, dan K berupa parameter, maka dapat disusun model matematis berupa persamaan jarak dan sudut. Persamaan jarak: Dij = {(Xj – Xi)2 + (Yj – Yi)2}1/2



.................. (1)



Dik = {(Xk – Xi)2 + (Yk – Yi)2}1/2



.................. (2)



Persamaan sudut: jik = ik – ij X j  Xi X k  Xi  tan 1 Yk  Yi Yj  Xi



= tan1



.................. (3)







Linierisasi persamaan jarak dengan metode parameter Pada hitung perataan kuadrat terkecil dengan metode parameter, bentuk model matematis adalah: La = F(Xa) Lb + V = F(Xo + X) Sehingga model matematis untuk persamaan jarak pada persamaan 1) adalah: Dij + VDij = {(Xjo – Xio)2 + (Yjo – Yio)2}1/2



.................. (4)



Dalam hal ini: (Xio, Yio) dan (Xjo, Yjo) : nilai koordinat pendekatan dari titik I dan J Dij : besaran jarak ukuran antara titik I dan J VDij : nilai residu jarak ukuran antara titik I dan J Linierisasi persamaan 4) dengan deret Taylor sampai suku pertama, diperoleh: Dij + VDij = Dijo +



F o



Xi



xi +



F o



Yi



yi +



F o



Xj



xj +



F Yjo



yj



Dijo = {(Xjo – Xio)2 + (Yjo – Yio)2}1/2



.................. (5) .................. (6)



Dijo dihitung dengan menggunakan nilai koordinat pendekatan dari parameter. F Xio F Xjo



=



=



Xio  Xoj



F



;



Dijo Xoj  Xio



Yio F



;



Dijo



Yjo



=



=



Yio  Yjo



.................. (7)



Dijo Yjo  Yio



.................. (8)



Dijo



Dengan demikian bentuk matrik A dan F adalah untuk sebuah persamaan jarak dengan 4 buah parameter (2 titik) adalah:



 F A=  o  Xi



F



F



Yio



Xjo







F = F(Xo) – Lb = Dijo  Dij



o o F   Xi  X j  =  Yjo   Dijo 



Yio  Yjo



Xoj  Xio



Dijo



Dijo



Yjo  Yio   Dijo  







Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM



2



TKD1204. Hitung Perataan







RM, 2020



Linierisasi persamaan sudut dengan metode parameter Model matematis untuk persamaan sudut pada persamaan 3) adalah: jik + Vjik = tan 1



Xko  Xio



 tan



Yko  Yio



1



Xoj  Xio



.................. (9)



Yjo  Yio



Dalam hal ini: (Xio, Yio), (Xjo, Yjo), (Xko, Yko) : nilai koordinat pendekatan dari titik I, J, dan K jik : besaran sudut ukuran JIK Vjik : nilai residu sudut ukuran JIK Linierisasi persamaan 9) dengan deret Taylor sampai suku pertama, diperoleh: jik + Vjik = jiko +



jiko = tan 1



F o



Xi



Xko  Xio



Yko



 Yio



xi +



 tan



F o



Yi



yi +



F o



Xj



xj +



F o



Yj



yj +



F Xk



o



Xoj  Xio



1



Yjo



F



yk Yk o ................ (10)



xk +



................ (11)



 Yio



jiko dihitung dengan menggunakan nilai koordinat pendekatan dari parameter. F Xio



F Xjo



F Xk o



= 



= 



=



Yko  Yio o2 Dik



+



Yjo  Yio 2 Dijo



Yjo  Yio



F



;



Yio



F



;



2 Dijo



Yko  Yio



Yjo



=



o2 Dik



–



Xoj  Xio 2 Dijo



Xo  Xio =  k o2 Yk o Dik F



;



o2 Dik



=



Xko  Xio



Xoj  Xio 2 Dijo



....... (12)



................ (13)



................ (14)



Dengan demikian bentuk matrik A dan F adalah untuk sebuah persamaan sudut dengan 6 buah parameter (3 titik) adalah:  F A=   Xio



F



F



F



F



Yio



Xjo



Yjo



Xk o







F = F(Xo) – Lb = θojik  θjik



F   Yk o 







 Soal latihan 1. Soal Pemotongan Kemuka Diketahui : - Koordinat titik A (XA, YA) - Koordinat titik B (XB, YB) Diukur : - Jarak : d1’ ± d1 - Jarak : d2’ ± d1 - Sudut : ’ ±  - Sudut : ’ ±  Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM



3



TKD1204. Hitung Perataan



RM, 2020



: Hitunglah koordinat titik P(XP ± XP, YP ± YP) dengan metode parameter Jawab : - Jumlah ukuran (n) = 4 - Jumlah parameter (u) = 2  XP dan YP - Carilah nilai pendekatan parameternya XPo dan YPo - Susun model matematis: La = F(Xa) Lb + V = F(Xo) + X



Ditanya



- Linierisasi dengan deret Taylor sampai suku pertama: f1



f2



f3



- Dalam bentuk matriks:  Vα   a1.1 a1.2   f1   V  a     β    2.1 a2.2   ΔxP    f2   Vd1  a3.1 a3.2   ΔyP   f3         Vd2  a 4.1 a 4.2   f4  V



=



A



X



f4



+ F



Dengan elemen-elemen matriks A adalah:



Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM



4



TKD1204. Hitung Perataan



RM, 2020



- Susunlah matrik bobot (P):



- Hitunglah X, Xa, dan Xa : X = - (AT P A)-1 AT P F Xa = Xo + X



ˆ ˆ o 2 (AT P A)-1  Xa  σ



;



σˆ o 2 = posteriori varian = VTPV / (n – u)



2. Soal Triangulasi



Hitunglah koordinat titik C dan D dengan metode parameter. Jawab: - Jumlah ukuran (n) = 8 - Jumlah parameter (u) = 4  XC, YC, XD, YD - Carilah nilai pendekatan parameternya XCo, YCo, XDo, YDo - Susun model matematis: La = F(Xa) Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM



5



TKD1204. Hitung Perataan



RM, 2020



Lb + V = F(Xo) + X



- Linierisasi dengan deret Taylor sampai suku pertama:



f1



f8 - Susunlah dalam bentuk matriks: V = AX + F Dengan elemen-elemen matriks A adalah:



Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM



6



TKD1204. Hitung Perataan



RM, 2020



Cobalah anda cari sendiri untuk turunan yang lain !! 3. Soal Trilaterasi



Hitunglah koordinat titik C dan D dengan metode parameter. Jawab: - Jumlah ukuran (n) = 5 - Jumlah parameter (u) = 4  XC, YC, XD, YD - Carilah nilai pendekatan parameternya XCo, YCo, XDo, YDo - Susun model matematis: La = F(Xa) Lb + V = F(Xo) + X



- Linierisasi dengan deret Taylor sampai suku pertama:



f1



f5 - Susunlah dalam bentuk matriks: V = AX + F Dengan elemen-elemen matriks A adalah:



Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM



7



TKD1204. Hitung Perataan



RM, 2020



Cobalah anda cari sendiri untuk turunan yang lain !! 4. Soal Poligon Terbuka Terikat Sempurna



Hitunglah koordinat titik 1, 2, dan 3 beserta nilai-nilai simpangan bakunya dengan metode parameter. Jawab: - Jumlah ukuran (n) = 9 - Jumlah parameter (u) = 6  X1, Y1, X2, Y2, X3, Y3 - Carilah nilai pendekatan parameternya X1o, Y1o, X2o, Y2o, X3o, Y3o - Susun model matematis: La = F(Xa) Lb + V = F(Xo) + X



- Cobalah anda lakukan sendiri linierisasinya dengan deret Taylor sampai suku pertama. - Susunlah dalam bentuk matriks: V = AX + F



Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM



8



TKD1204. Hitung Perataan



RM, 2020



 Carilah sendiri turunannya !!



- Susunlah matriks bobot (P) = o2 Lb-1 o2 = apriori varian, dapat diambil = 1



- Hitunglah matriks koreksi terhadap pendekatan parameter (X):  Δx1   Δy   1  Δx  X   2  = - (AT P A)-1 AT P F  Δy 2   Δx 3     Δy 3  - Hitunglah koordinat terestimasi parameter (Xa) dan matriks varian kovariannya: Xa = Xo + X ˆ ˆ o 2 (AT P A)-1  Xa  σ 



;



σˆ o 2 = posteriori varian = VTPV / (n – u)



Proses iterasi (hitungan berulang)



Semua kasus soal latihan yang telah diberikan di atas merupakan contoh kasus non linier. Kenapa demikian ? Untuk mengetahui apakah sebuah kasus hitungan perataan kuadrat terkecil merupakan kasus linier atau non linier, kita kembali lagi pada proses linierisasi deret Taylor terhadap model matematis yang disusun. Pada hitung perataan kuadrat terkecil metode parameter, bentuk model matematis yang harus disusun adalah: Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM



9



TKD1204. Hitung Perataan



RM, 2020



La = F(Xa) Lb + V = F(Xo + X)



................ (15)



Linierisasinya dengan deret Taylor adalah: Lb + V = F(Xo) +



2



1  F F (Xa – Xo) + (Xa – Xo)2 + ............. 2 Xa Xa=Xo 2! Xa Xa=Xo ................ (16)



Dalam pelaksanaan hitungan perataan, suku ke dua dan seterusnya dari deret Taylor tersebut dianggap sama dengan nol ( 0) atau diabaikan. Pada kasus linier, seperti penggal jarak, ukuran sudut, dan jaring sipat datar (yang sudah anda pelajari sebelum UTS), pengabaian suku ke dua dst. tidak membawa permasalahan. Kenapa ? Oleh karena itu pada kasus-kasus linier tersebut, berapapun nilai pendekatan yang diberikan kepada besaran parameter (Xo) tidak menjadi masalah. Sebaliknya dapatkan kita memberikan nilai pendekatan sembarang pada besaran parameter pada kasus-kasus non linier, seperti pada kasus hitungan triangulasi, pemotongan kemuka, dan poligon ? Perhatikan kembali semua contoh soal latihan yang telah saya berikan di atas, baik pada kasus pemotongan kemuka, triangulasi, trilaterasi, dan poligon. Perhatikan matriks A yang merupakan hasil turunan pertama (derivatif parsial) dari setiap model matematis atau persamaan terhadap besaran parameter. Apakah nilai dari matriks A tersebut telah konstan ? Hasil turunan pertama baik persamaan jarak dan sudut terhadap besaran parameter belum konstan, yang berarti turunan kedua masih ada dan kemungkinan turunan ketiga dan seterusnya masih ada ( 0). Oleh karena itu pada kasus non linier pengaruh suku kedua dan seterusnya tidak boleh diabaikan (dianggap sama dengan nol), karena pengabaian suku kedua dan seterusnya akan memberikan hasil akhir yang belum benar. Namun dalam proses hitung perataan, suku kedua dan seterusnya selalu diabaikan. Pertanyaannya adalah bagaimana caranya agar pengaruh suku kedua dan seterusnya tetap dapat diabaikan tetapi akan memberikan hasil berupa nilai parameter terestimasi (Xa) yang benar ? Pada kasus non linier, hasil turunan kedua, ketiga dan seterusnya kemungkinan tidak akan sama dengan nol. Bagaimana agar pengabaian hasil turunan kedua dan seterusnya dapat dilakukan ? Caranya adalah dengan membuat x = Xa – Xo sama dengan nol (x = koreksi terhadap nilai pendekatan parameter = 0). Caranya adalah dengan membuat nilai pendekatan parameter (Xo) mendekati () nilai parameter terestimasinya (Xa). Caranya ? a. Pada hitungan awal, usahakan nilai pendekatan parameter (Xo) yang diambil tidak terlalu jauh dari nilai true value-nya (Xa). Artinya tidak boleh menggunakan nilai pendekatan parameter (Xo) yang sembarang seperti pada kasus linier. - Susun model matematis, bentuk matriks A dan F menggunakan nilai Xo tersebut. - Hitunglah X = - (AT P A)-1 AT P F - Koreksikan X ke Xo  Xa = Xo + X b. Lakukan hitungan berulang (iterasi 1) dengan: - Gunakan sebagai nilai pendekatan parameter (Xo) adalah Xa hasil hitungan awal. Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM



10



TKD1204. Hitung Perataan



RM, 2020



- Hitung kembali matriks A dan F menggunakan nilai pendekatan (Xo) = Xa hasil hitungan awal  misalnya menjadi A1 dan F1 - Hitunglah X1 = - (A1T P A1)-1 A1T P F1 - Koreksikan X1 ke Xo  Xa (iterasi 1) = Xo + X1 = Xa (hitungan awal) + X1 - Ingat matriks P tidak berubah, karena tidak terkait dengan besaran parameter. c. Lakukan hitungan iterasi 2 dengan: - Gunakan sebagai nilai pendekatan parameter (Xo) adalah Xa hasil hitungan iterasi 1. - Hitung kembali matriks A dan F menggunakan nilai pendekatan (Xo) = Xa hasil hitungan iterasi 1  misalnya menjadi A2 dan F2 - Hitunglah X2 = - (A2T P A2)-1 A2T P F2 - Koreksikan X2 ke Xo  Xa (iterasi 2) = Xo + X2 = Xa (hitungan iterasi 1) + X2 d. dan seterusnya. Kapan hitungan berulang (iterasi) ini berakhir ? Ada beberapa kriteria: i. Nilai koreksi terhadap parameter (Xi) semakin kecil, mendekati nol.



|X|



0



i (nomer iterasi)



ii. Nilai VT P V yang semakin minimum dan stabil (tetapi tidak harus sama dengan nol). VTPV



0



i (nomer iterasi)



C. Tugas



1. Kerjakan soal Problems 14.1 (kasus Trilaterasi), halaman 259 pada buku “Adjustment Computations Spatial Data Analysis” (Ghilani, C.D., 2010) dengan data ukuran yang telah saya modifikasi sebagai berikut: - Jarak AU = 2828,83a m ± 5,de cm - Jarak BU = 2031,55b m ± 3,cd cm - Jarak CU = 2549,83c m ± 4,ea cm Hitunglah koordinat titik U dan nilai simpangan bakunya dengan metode parameter secara iterasi (maksimum 2 iterasi saja). Petunjuk: hitunglah koordinat pendekatan titik U (XUo, YUo) dengan mengikuti langkah yang dijelaskan pada buku Ghilani (step 1, butir a) sampai butir d) halaman 246 & 247). 2. Kerjakan kembali contoh soal (Example 15.1), halaman 272 pada buku “Adjustment Computations Spatial Data Analysis” (Ghilani, C.D., 2010) dengan data ukuran yang telah saya modifikasi sebagai berikut: Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM



11



TKD1204. Hitung Perataan



RM, 2020



- Sudut 1 = 50o 06’ 50”,ae ± 3”,da - Sudut 2 = 101o 30’ 47”,0d ± 2”,5e - Sudut 3 = 98o 41’ 17”,0b ± 3”,2c - Sudut 4 = 59o 17’ 01”,cb ± 4”,bc Diketahui koordinat titik R, S, T sebagai berikut: - Koordinat titik R(865,40c ; 4527,15a) m - Koordinat titik S(2432,55e ; 2047,25b) m - Koordinat titik T(2865,22d ; 27,15a) m Hitunglah koordinat titik U dan nilai simpangan bakunya dengan metode parameter secara iterasi (maksimum 2 iterasi saja). Petunjuk: hitunglah koordinat pendekatan titik U (XUo, YUo) dengan mengikuti langkah yang dijelaskan pada buku Ghilani (step 1, butir a) sampai butir e) halaman 272 & 273). 3. Kerjakan soal Problems 16.2 (kasus Poligon Tertutup), halaman 317 pada buku “Adjustment Computations Spatial Data Analysis” (Ghilani, C.D., 2010) dengan data ukuran yang telah saya modifikasi sebagai berikut: - Sudut XAB = 65o 03’ 00”,ab ± 2”,ba - Sudut BAC = 50o 21’ 56”,0c ± 2”,cb - Sudut CBA = 93o 51’ 08”,0d ± 2”,dc - Sudut ACB = 35o 46’ 55”,0e ± 2”,ed - Jarak AB = 3481,25a m ± 4,ae cm - Jarak BC = 4585,40b m ± 2,bd cm - Jarak CA = 5940,603 m ± 3,ca cm Diketahui koordinat titik kontrol A dan X sebagai berikut: - Koordinat titik X(5581,73e ; 7751,47b) m - Koordinat titik A(6607,38c ; 5173,247) m Hitunglah koordinat titik B dan C beserta nilai simpangan bakunya dengan metode parameter secara iterasi (maksimum 2 iterasi saja). Petunjuk: Gunakan nilai pendekatan koordinat titik B dan C seperti yang telah diberikan di soal Problems 16.2 tersebut di halaman 317. Untuk semua soal di atas, (a,b,c,d,e) adalah nomer mahasiswa anda (contoh no. mhs = 12739, berarti a = 1, b = 2, c = 7, d = 3, dan e = 9) D. Pustaka



1. Ghilani, C.D., 2010, Adjustment Computation Spatial Data Analysis, 5th Edition, John Wiley & Sons, Inc, New Jersey. 2. Harvey, B.R., 1991, Practical Least Squares and Statistics for Surveyor, Monograph 13, School of Surveying The University of New South Wales, Australia. 3. Mikhail, E.M., and Gracie, G., 1981, Analysis and Adjustment of Survey Measurement, Van Nostrand Reinhold, Co., New York. 4. Uotila, U.A., 1985, Adjustment Computation Note, Part I & II, Department of Geodetic Science & Surveying, The Ohio State University, Colombus Ohio. 5. Wolf, P. R., 1980, Adjustment Computation, Second Edition, P.B.L. Publishing Co., Madison Wisconsin. Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM



12



TKD1204. Hitung Perataan



RM, 2020



Dosen Pengampu Ir. Rochmad Muryamto, M.Eng.Sc



Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM



13