![Modul Ajar Matriks Fase f [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/modul-ajar-matriks-fase-f.jpg)
9 0 338 KB
BAGIAN I. IDENTITAS DAN INFORMASI MENGENAI MODUL NamaPenyusun
Drs. Saptono Adi
Sekolah
SMK Negeri 2 Salatiga
Fase/Kelas
F / XI (Sebelas)
Alokasi waktu(menit)
21 x 45 menit
Jumlah Pertemuan(JP)
3 JP x 7 Pertemuan
Elemen
Aljabar dan fungsi
Tujuan Pembelajaran
Menjelaskan pengertian matriks dan jenisjenisnya. Menjelaskan konsep transpose matriks. Menjelaskan konsep kesamaan matriks. Menjelaskan konsep operasi matriks. Menjelaskan determinan matriks berordo 2×2. Menjelaskan invers matriks berordo 2×2. Menjelaskan determinan matriks berordo 3×3. Menjelaskan invers matriks berordo 3×3. Menyajikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan matriks.
Kata Kunci
Matriks, Tranpose, Kesamaan Matriks, Determinan, Invers
Pengetahuan/KeterampilanPrasyarat
Dapat menentukan solusi sistem persamaan linear dua variabel
Mampu memahamikonsepbilangan.
Profil Pelajar Pancasila
Berpikir Kritis dalam menentukan masalah yang berkaitan dengan matriks melalui metode penyelesaian yang efisien Kreatif dalam memodelkan situasi kontekstual dalam bentuk matriks
Gotong-royong dengan berkolaborasi bersama temans
ekelompok untuk menyelesaiakan suatu masalah dengan memodelkannya ke dalam bentuk matriks Sarana Prasarana
BukuTeks,Grup WhatsApp,Laptop,HPAndroid, Internet, Papan Tulis, Spidol, LCD.
Target Siswa Ketersediaan Materi
Regular/tipikal Pengayaan untuk siswa berpencapaian tinggi : Ya / Tidak
Alternatif penjelasan, metode, atau aktivitas untuk siswa yang sulit memahami konsep : Ya/ Tidak
Medel Pembelajaran Materi ajar, alat, dan bahan
Problem-BasedLearning Materi ajar: Lembar KerjaSiswa (LKS) Lembar Asesmen Buku teks pelajaran Alat dan bahan : Alat tulis Penggaris
Kegiatan pembelajaran utama
Pengaturan siswa: Individu
Berkelompok( 2-4 siswa)
Metode:
Diskusi
Asesmen
Presentasi
Asesmen Individu :Tertulis
Asemen kelompok : Performa dalam presentasi hasil
Persiapan Pembelajaran
Waktu 1 jam Membaca materi pembelajaran
Menyiapkan dan mencoba LKPD/Lembar Kerja Peserta Didik
Menyiapkan alat dan bahan yang digunakan dalam pembelajaran
GambaranUmumModul: Rasionalisasi Penyusunan modul ini dilakukan dengan cara menyesuaikan alokasi waktu dengan topik dan tujuan pembelajaran. Untuk mencapai tujuan pembelajaran, alokasi waktu dibagi menjadi 3 JP x 7 pertemuan. Untuk setiap pertemuan disusun rencana kegiatan pembelajaran yang memuat aktivitas siswa beserta asesmennya dengan menggunakan model pembelajaran problem based learning dan moda pembelajaran secara tatap muka. Model pembelajaran problem based learning dan moda pembelajaran secara tatap muka dipilih berdasarkan karakteristik materi, tujuan pembelajaran dan rencana aktivitas siswa dalam pembelajaran. Urutan Materi Pembelajaran 1. Konsep matriks dan jenis matriks. 2. Tranpose matriks. 3. Kesamaan matriks. 4. Operasi matriks. 5. Determinan dan invers matriks ordo 2 x 2 6. Determinan dan invers matriks ordo 3 x 3
Rencana Asesmen Asesmen dibagi menjadi dua, yaitu asesmen individu dan asesmen kelompok. Asesmen individu dilakukan secara tertulis, sedangkan asesmen kelompok secara observasi berdasarkan performa kelompok saat presentasi hasil pekerjaannya. Asesmen tertulis diberikan pada akhir pembelajaran modul.
BAGIAN II. LANGKAH-LANGKAH PEMBELAJARAN PEMBELAJARAN I
Topik
MATRIKS
Tujuan Pembelajaran
Menjelaskan pengertian matriks dan jenisjenisnya.
Pemahaman Bermakna
Siswa dapat menjelaskan pengertian matriks dan jenis-jenisnya.
Pertanyaan Pemantik
Bagaimana cara menentukan jenis-jenis matriks?
Profil Pelajar Pancasila
• Berpikir Kritis
Berdasarkan pemahaman dan keterampilan siswa menjelaskan definisi matriks dan jenis matriks. • Kreatif
Berdasarkan pemahaman dan keterampilan siswa menjelaskan definisi matriks dan jenis matriks. • Gotong-royong
Siswa bekerjasama dengan kelompoknya untuk menjelaskan definisi matriks dan jenis matriks.
URUTAN KEGIATAN PEMBELAJARAN PERTEMUAN KE-1 A. Kegiatan Pendahuluan(20 menit) Guru membuka pembelajaran, berdoa dan mengecek kehadiran peserta didik Guru memberikan apersepsi dengan mengingatkan kembali peserta didik tentang materi system persamaan linear dua variable (SPLDV) dengan mengajukan permasalahan nyata yang berkaitan dengan SPLDV, seperti: Budi membeli 3 kg mangga dan 4 kg apel seharga Rp 270.000. Dian juga membeli 6 kg mangga dan 3 kg apel dengan harga Rp315.000. Isikan table berikut berdasarkan data di atas! Siswa diberikan waktu untuk mengidentifikasi dan menentukan isian table tersebut dengan bimbingan guru Perwakilan peserta didik mempresentasikan solusi yang didapatkan.
Guru memberikan pertanyaan pemantik : Bagaimana cara menentukan jenis-jenis matriks ? B. Kegiatan Inti (100menit) Siswa mengidentifikasi permasalahan yang terdapat di papan tulis. Siswa menentukan penyelesaian dari permasalahan yang terdapat di papan tulis Perwakilan kelompok mempresentasikan hasil pekerjaannya yang ditanggapi oleh kelompok lainnya Guru membimbing jalannya diskusi kelas dengan memberikan pengarahan atau penguatan. Siswa membuat kesimpulan pembelajaran yang telah dipelajari dibantu dengan bimbingan guru. Siswa melakukan refleksi dengan menjawab pertanyaan yang terdapat pada papan tulis C. KegiatanPenutup (15menit) Guru menginformasikan kegiatan pembelajaran pada pertemuan berikutnya. Guru menutup pembelajaran dengan mengucap rasa syukur dan salam. PEMBELAJARAN 11 Topik
MATRIKS
Tujuan Pembelajaran
Menjelaskan transpose matriks, kesamaan matriks operasi penjumlahan dan pengurangan.
Pemahaman Bermakna
Siswa dapat menjelaskan transpose matriks, kesamaan matriks operasi penjumlahan dan pengurangan.
Pertanyaan Pemantik
Bagaimana cara menentukan nilai dari transpose matriks, kesamaan matriks operasi penjumlahan dan pengurangan?
Profil Pelajar Pancasila
• BerpikirKritis
Berdasarkan pemahaman dan keterampilan siswa menjelaskan transpose matriks, kesamaan matriks operasi penjumlahan dan pengurangan. • Kreatif
Berdasarkan pemahaman dan keterampilan siswa menjelaskan transpose matriks, kesamaan matriks operasi penjumlahan dan pengurangan.
• Gotong-royong
Siswa bekerjasama dengan kelompoknya untuk menjelaskan transpose matriks, kesamaan matriks operasi penjumlahan dan pengurangan.
URUTAN KEGIATAN PEMBELAJARAN PERTEMUAN KE-2 A. KegiatanPendahuluan (20 menit) Guru membuka pembelajaran, berdoa dan mengecek kehadiran peserta didik Guru memberikan apersepsi dengan mengingatkan kembali peserta didik tentang materi konsep dan jenis matiks.. Guru memberikan pertanyaan pemantik: Bagaimana cara menentukan nilaidari transpose matriks, kesamaan matriks operasi penjumlahan dan pengurangan? Untuk menjawab pertanyaan pemantik, siswa diberikan Lembar Kerja Peserta Didik ( LKPD)yang dikerjakan secara berkelompok (2-4 siswa) B. KegiatanInti (100 menit) Peserta didik mengidentifikasi permasalahan yang terdapat di dalam LKPD Peserta didik menentukan penyelesaian dari permasalahan yang terdapat di dalam LKPD Perwakilan kelompok mempresentasikan hasil pekerjaannya yang ditanggapi oleh kelompok lainnya Guru membimbing jalannya diskusi kelas dengan memberikan pengarahan atau penguatan. Peserta didik membuat kesimpulan pembelajaran yang telah dipelajari dibantu dengan bimbingan guru. Peserta didik melakukan refleksi dengan menjawab pertanyaan yang terdapat pada LKPD C. KegiatanPenutup (15menit) Guru menginformasikan kegiatan pembelajaran pada pertemuan berikutnya. Guru menutup pembelajaran dengan mengucap rasa syukur dan salam. PEMBELAJARAN III Topik
MATRIKS
Tujuan Pembelajaran
Menjelaskan perkalian pada matriks.
Pemahaman Bermakna
Peserta didik dapat menjelaskan perkalian pada matriks.
Pertanyaan Pemantik
Bagaimana cara menentukan nilai dari perkalian pada matriks?
Profil Pelajar Pancasila
• Berpikir Kritis
Berdasarkan pemahaman dan keterampilan siswa menjelaskan perkalian pada matriks. • Kreatif
Berdasarkan pemahaman dan keterampilan siswa menjelaskan perkalian pada matriks. • Gotong-royong
Peserta didik bekerjasama dengan kelompoknya untuk menjelaskan perkalian pada matriks.
URUTAN KEGIATAN PEMBELAJARAN PERTEMUAN KE-3 A. KegiatanPendahuluan (20 menit) Guru membuka pembelajaran, berdoa dan mengecek kehadiran peserta didik Guru memberikan apersepsi dengan mengingatkan kembali peserta didik tentang materi konsep dan jenis matiks.. Guru memberikan pertanyaan pemantik: Bagaimana cara menentukan nilai dari transpose matriks, kesamaan matriks operasi penjumlahan dan pengurangan? Untuk menjawab pertanyaan pemantik, peserta didik diberikan Lembar Kerja Peserta Didik yang dikerjakan secara berkelompok (2-4 siswa) B. KegiatanInti (100 menit) Peserta didik mengidentifikasi permasalahan yang terdapat di dalam LKPD 2 Peserta didik menentukan penyelesaian dari permasalahan yang terdapat di dalam LKPD 2
Perwakilan kelompok mempresentasikan hasil pekerjaannya yang ditanggapi oleh kelompok lainnya Guru membimbing jalannya diskusi kelas dengan memberikan pengarahan atau penguatan. Peserta didik membuat kesimpulan pembelajaran yang telah dipelajari dibantu dengan bimbingan guru. Peserta didik melakukan refleksi dengan menjawab pertanyaan yang terdapat pada LKPD 2 C. KegiatanPenutup (15menit) Guru menginformasikan kegiatan pembelajaran pada pertemuan berikutnya. Guru menutup pembelajaran dengan mengucap rasa syukur dan salam. PEMBELAJARAN IV Topik
MATRIKS
Tujuan Pembelajaran
Menjelaskan determinan pada matriks ordo 2 x 2 dan 3 x 3.
Pemahaman Bermakna
Peserta didik dapat menjelaskan determinan pada matriks ordo 2x2 dan 3x3.
Pertanyaan Pemantik
Bagaimana
cara
menentukan
nilai
dari
determinan pada matriks ordo 2 x 2 dan 3 x 3? Profil Pelajar Pancasila
• BerpikirKritis
Berdasarkan pemahaman dan keterampilan siswa menjelaskandeterminan pada matriks ordo 2 x 2 dan 3 x 3. • Kreatif
Berdasarkan pemahaman dan keterampilan peserta didik menjelaskandeterminan pada matriks ordo 2 x 2 dan 3 x 3. • Gotong-royong
Peserta
didik
bekerjasama
dengan
kelompoknya untuk menjelaskandeterminan pada matriks ordo 2 x 2 dan 3 x 3. URUTAN KEGIATAN PEMBELAJARAN PERTEMUAN KE-4 A. KegiatanPendahuluan (20 menit)
Guru membuka pembelajaran, berdoa dan mengecek kehadiran peserta didik Guru memberikan apersepsi dengan mengingatkan kembali peserta didik tentang materi konsep dan jenis matiks. Guru memberikan pertanyaan pemantik: Bagaimana cara menentukan nilai dari determinan pada matriks ordo 2 x 2 dan 3 x 3? Untuk menjawab pertanyaan pemantik, peserta didik diberikan Lembar Kerja Peserta Didik yang dikerjakansecaraberkelompok (2-4 siswa) B. KegiatanInti (100 menit) Peserta didik mengidentifikasi permasalahan yang terdapat di dalam LKPD 3 Peserta didik menentukan penyelesaian dari permasalahan yang terdapat di dalam LKPD 3 Perwakilan kelompok mempresentasikan hasil pekerjaannya yang ditanggapi oleh kelompoklainnya Guru membimbing jalannya diskusi kelas dengan memberikan pengarahan atau penguatan. Peserta didik membuat kesimpulan pembelajaran yang telah dipelajari dibantu dengan bimbingan guru. Peserta didik melakukan refleksi dengan menjawab pertanyaan yang terdapat pada LKPD 3 C. KegiatanPenutup (15menit) Guru menginformasikan kegiatan pembelajaran pada pertemuan berikutnya. Guru menutup pembelajaran dengan mengucap rasa syukur dan salam. PEMBELAJARAN V Topik
MATRIKS
Tujuan Pembelajaran
Menjelaskan invers pada matriks ordo 2 x 2 dan 3 x 3.
Pemahaman Bermakna
Peserta didik dapat menjelaskan invers pada matriks ordo 2 x 2 dan 3 x 3.
Pertanyaan Pemantik
Bagaimanacaramenentukannilaidari invers pada matriks ordo 2 x 2 dan 3 x 3?
Profil Pelajar Pancasila
• BerpikirKritis
Berdasarkan
pemahaman
dan
keterampilan peserta didik menjelaskan invers pada matriks ordo 2 x 2 dan 3 x 3. • Kreatif
Berdasarkan
pemahaman
dan
keterampilan peserta didik menjelaskan
invers pada matriks ordo 2 x 2 dan 3 x 3. • Gotong-royong
Siswa bekerjasama dengan kelompoknya untuk menjelaskan invers pada matriks ordo 2 x 2 dan 3 x 3.
URUTAN KEGIATAN PEMBELAJARAN PERTEMUAN KE-5 A. KegiatanPendahuluan (20 menit) Guru membuka pembelajaran, berdoa dan mengecek kehadiran peserta didik Guru memberikan apersepsi dengan mengingatkan kembali peserta didik tentang materi konsep dan jenis matiks.. Guru memberikan pertanyaan pemantik: Bagaimana cara menentukan nilai dari invers pada matriks ordo 2 x 2 dan 3 x 3? Untuk menjawab pertanyaan pemantik, peserta didik diberikan Lembar Kerja Peserta Didik 4 yang dikerjakan secara berkelompok (2-4 siswa) B. KegiatanInti (100 menit) Peserta didik mengidentifikasi permasalahan yang terdapat di dalam LKPD 4 Peserta didik menentukan penyelesaian dari permasalahan yang terdapat di dalam LKPD 4 Perwakilan kelompok mempresentasikan hasil pekerjaannya yang ditanggapi oleh kelompok lainnya Guru membimbing jalannya diskusi kelas dengan memberikan pengarahan atau penguatan. Peserta didik membuat kesimpulan pembelajaran yang telah dipelajari dibantu dengan bimbingan guru. Peserta didik melakukan refleksi dengan menjawa bpertanyaan yang terdapat pada LKPD 4 C. KegiatanPenutup (15menit) Guru menginformasikan kegiatan pembelajaran pada pertemuan berikutnya. Guru menutup pembelajaran dengan mengucap rasa syukur dan salam. PEMBELAJARAN VI URUTAN KEGIATAN PEMBELAJARAN
PERTEMUAN KE-6 A. KegiatanPendahuluan(15menit) Guru membuka pembelajaran, berdoa dan mengecek kehadiran siswa Guru memberikan arahan pelaksanaan Asesmen matriks Guru memberikan Asesmen Pembelajaran matriks
B. KegiatanInti (105menit) Peserta didik mengerjakan Asesmen
C. KegiatanPenutup (15menit) Guru menginformasikan kegiatan pembelajaran pada pertemuan berikutnya. Guru menutup pembelajaran dengan mengucap rasa syukur dan salam.
PEMBELAJARAN 7 URUTAN KEGIATAN PEMBELAJARAN PERTEMUAN KE-7 A. KegiatanPendahuluan(20menit) Guru membuka pembelajaran, berdoa dan mengecek kehadiran peserta didik Guru memberikan arahan pelaksanaan pengayaan dan remedial. Membagi peserta didik kedalam dua kelompok, yaitu kelompok peserta didik yang remedial dan kelompok peserta didik yang tidak remedial.
B. KegiatanInti (100menit) Guru memberikan pembelajaran pengayaan kepada peserta didik yang tidak remedial dengan memberikan lembar pengayaan. Bersamaan saat peserta didik yang tidak remedial mengerjakan lembar pengayaan, guru memberikan pembelajaran remedial (materi yang belum atau kurang dikuasai oleh peserta didik yang remedial)
C. KegiatanPenutup (10menit) Guru menginformasikan kegiatan pembelajaran pada pertemuan berikutnya.
Guru menutup pembelajaran dengan mengucap rasa syukur dan salam. REFLEKSI GURU □ Apakah pembelajaran yang saya lakukan sudah sesuai dengan apa yang saya rencanakan? □ Bagian rencana pembelajaran manakah yang sulit dilakukan? □ Apa yang dapat saya lakukan untuk mengatasi hal tersebut? □ Berapa persen peserta didik yang berhasi lmencapai tujuan pembelajaran? □ Apa kesulitan yang dialami oleh peserta didik yang belum mencapai tujuan pembelajaran? □ Apa yang akan saya lakukan untuk membantu mereka?
REFLEKSI SISWA :Terlampir pada Lembar Kerja Peserta Didik GLOSARIUM Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun berdasarkan baris dan kolom, serta ditempatkan di dalam tanda kurung. Ordo adalah Ukuran matriks DAFTAR PUSTAKA Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematikauntuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X Buku Guru. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematikauntuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X BukuSiswa semester 1Jakarta : Kementerian Pendidikandan Kebudayaan
Lampiran BahanBacaan
A. PENGERTIAN MATRIKS Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom. Bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom disebut elemen matriks. Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf kapital. Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks.
Bentuk umum :
A=
[
a1 .1 a2 .1 a3 .1 : am . 1
a1. 2 a2. 2 a3. 2 : a m .2
a1 . 3 a2 . 3 a3 . 3 : am . 3
. .. . .. . .. . .. . ..
a1 .n a2 . n a3 . n : am . n
]
a1 .1= elemenmatriks pada baris 1, kolom 1 a1 .2 = elemenmatriks pada baris 1, kolom 2 a1 .3= elemenmatriks pada baris 1, kolom 3 . . .
am . n = elemenmatriks pada baris m, kolom n Contoh :
[
2 5 −4 B = −1 6 7
]
Ordo matriks B adalah B2 x 3
a1 .3= - 4 a2 . 2= 6
B. JENIS-JENIS MATRIKS 1. Matriks baris adalahmatriks yang hanyamemilikisatu baris Contoh : A = [ 2 3 0 7 ]
2. Matrikskolom adalahmatriks yang hanyamemilikisatukolom
[]
2 −1 0 7 Contoh : C = 3. Matrikspersegi
adalahmatriks yang jumlah baris dan kolomnyasama.
[
2 0 5 1 8 6 5 9 0 7 −3 −5 Contoh : A =
3 4 6 10
Diagonal samping
]
Diagonal utama
4. MatriksIdentitas adalahmatrikspersegi
yang
elemen-elemen
pada
diagonal
sedangkansemuaelemen yang lainnya nol. Contoh :
[ ]
1 0 A= 0 1
[ ]
1 0 0 0 1 0 B= 0 0 1
5. Matrikssegitigaatas adalahmatrikspersegi yang elemen-elemendibawah diagonal utamanya nol. Contoh :
[ ]
2 3 −1 0 1 4 A= 0 0 5
6. Matrikssegitgabawah adalahmatrikspersegi yang elemen-elemendiatas diagonal utamanya nol.
utamanya
1,
Contoh :
[ ]
2 0 0 9 1 0 B= 3 2 5 7. Matriksnol
adalahmatriks yang semuaelemennya nol. Contoh :
C=
[00
0 0 0 0
]
C. TRANSPOSE MATRIKS adalahperubahanbentukmatriksdimanaelemen
pada
baris
menjadielemen
pada
kolomatausebaliknya. Contoh :
[
2 4 1 A = −3 5 0
[ ]
2 −3 4 5 At = AT = A = 1 0
]
D. KESAMAAN MATRIKS Dua matriksdikatakansamajika, keduanyamempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen yang seletak juga sama. Contoh :
A
=
[ ] [ 2 −3 5 4 =
B
Contoh :Tentukannilai a dan b darikesamaanmatriksberikut
a.
[
][
3 a −4 −12 −4 = 2b −5 9 −5
]
6
3 5
9
−3 4
]
3a = -12 a = -12/3 a = -4 2b = 9 b = 9/2 b = 4,5 b
[ 4−1a+5
][
6 a−1 = −1 3 b+2 3 2a 3
]
4a + 5 = 2a
6a – 1 = 3b + 2
4a – 2a = -5
6(-5/2) – 1 = 3b + 2
2a = -5
-15 – 1 = 3b + 2
a = -5/2
-16
LATIHAN 1
[
3 −2 1 −11 1. Diketahuimatriks A =
6 −12 16 20 7 4 6 −3 5 −6 12 4 4 10 15 5
a. Tentukan ordo matriks A b. Sebutkanelemen-elemen pada baris ke-2 c. Sebutkanelemen-elemen pada kolom ke-3 d. Sebutkanelemen a2.3
]
= 3b + 2
3b
= 18
b
=6
e. Sebutkanelemen a3.5 2. Tentukannilai a dan b darikesamaanmatriksberikut :
a.
= 4 a−5 [2 a+b ] a−15 [ 6 a+7 b ]
b.
[
7 5 a−b = 7 10 2a+3 14 −4 14
c.
[
2 a 2+a 10 2b +1 = b+3 8 a+1 a+b
][
][
] ]
3. Tentukannilai x, y, dan z darikesamaanmatriksberikut :
a.
[1−x y 3z ]=[ 4z
b.
[
c.
[ ][
x−1 −2
][
]
9 2 x 2 x −1 = y z − y z2
x−5 2 x−11 = 3− y y+9
[
]
] ]
[
2 x− y 3 x 7 −4 4. Diketahui P = x+2 y x + y dan Q = −2 y −1
]
Jika P = QT, makatentuka x – y
E. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS 1. PENJUMLAHAN MATRIKS Dua
matriksdapatdijumlahkan,
dengancaramenjumlahkanelemen-elemen yang seletak.
jikakeduanyaberordosama,
Contoh :
[−32 45 ]+[15 −46 ]=[32 110 ] 2. PENGURANGAN MATRIKS Dua
matriksdapatdikurangkan,
jikakeduanyabeorodosama,
dengancaramengurangkanelemen-elemen yang seletak. Contoh :
[−32
][
][
7 4 −1 3 5 3 4 −1 − = −6 −5 2 4 −7 −5 −10 2
]
LATIHAN 2 1. Selesaikanoperasimatriksberikut :
a.
[ ][ ]
b.
[23nm ]−[−41 ]
c.
[32 aa −bb ]+[−4a a 2bb ]
d.
[−x2 x 32 yy ]−[−xx −2 yy ]
2a + 7 a b −3 b
2. Diketahui P = Tentukan : a. P + Q b. Q - R c. (P + Q) - R d. P + (Q - R)
[−−25 −43 ] [−23 −37 ] ,Q=
, dan R =
[86 −29 ]
3. Tentukanmatriks X nya, jika X berordo 2x2
a. X +
[100 01 ]=[ 02 21 ]
b. X -
[−23 51 ]=[ 45 −73 ]
c.
[32 −47 ]−X =[23 −4−1 ]
4. Tentukan x, y, w, dan z jikadiketahui :
[
][
][
3 x 3 y x −1 4 x+ y = + 3 z 3 w 6 2 w z+w 3
]
F. PERKALIAN MATRIKS 1. PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL Suatumatriksdikalikandenganbilangan
real
k,
makasetiapelemenmatrikstersebutdikalikandengan k. Contoh :
[
][
−3 5 −6 10 = 8 12 2 4 6
]
2. PERKALIAN DUA MATRIKS Dua matriksdapatdikalikanjikabanyaknyakolommatrikssebelahkirisamadenganbanyaknyamatriks sebelahkanan. A m x n . Bp x q = C m x q
n=p
Contoh :
[
][ ] [
][
2 −3 −1 0 2 .(−1 )+(−3).1 2 . 0+(−3 ). 5 −2+(−3) 0+(−15) . = = 3 4 1 5 3 .(−1)+4 . 1 3 . 0+4 .5 (−3 )+4 0+20
1.
[−51 −15 20 ]
=
2.
[ ][ ] [
][ ][ ]
3.
[ ][
4.
[] [ ]
1 5 . 2 = 1. 2+5 .3 = 2+15 = 17 4 0 3 4 .2+0 . 3 8+0 8
][
][
2 3 . 0 −1 2 = 0+3 −2−9 4 +9 = 3 −11 13 1 1 1 −3 3 0+1 −1−3 2+3 1 −4 5
]
1 2 4 2 . [2 4 ]= 4 8 3 6 12
LATIHAN 3 1. Jika X adalahmatriksberordo 2x2, tentukanmatriks X dari :
a. 2
[31 −17 ]+ X=3 [−50 24 ]
2. Diketahui A =
[2ba 3c4 ]
dan B =
b.
[2 a−3a b
Jika A = 2BT, tentukannilai a + b + c
[ ][
][
p 2 = p q + 4 p+q −1 2 s r +s 3 3. Jika 3 r s
]
[−47 13 ]−3 X =[−85 126 ] 2a+1 b+7
]
]
Tentukannilai p, q, r, dan s. 4. Hitungperkalianmatriksberikut :
a.
[31 −12 ].[45 06 ]
b.
[ ][ ]
[ ][ ] 2 1 2 0 4 4 −2 3 . 3 −1 0 −4 0 2 5
c.
2 1 3 3 3 0 1 . −1 2 1 5 6
5. Diketahuimatriks-matrikssebagaiberikut :
[ ]
[ ]
[ ]
−3 2 2 4 2 3 A= 4 3 , B= 3 2 , C= 2 1 Tentukan : a. A.B b. B.A c. B.C d. (A.B).C e. A.(B.C)
f. Buatlahkesimpulanuntuk a dan b, serta d dan e 6. Jika P =
[ 1b a+bc ]
, Q=
0 [ a−1 −c d ]
, dan R =
Tentukannilai d jika P + QT = R2 7. Tentukannilai x yang memenuhipersamaan :
[
][
] [ ][ ]
4 x−2 −6 8 3 1 0 3 . =2. . 3 2 −11 −6 −2 4 −1 1
8. Tentukannilai x dan y daripersamaanberikut :
[−13 −42 ].[ xy ]=[−818 ]
[10 01 ]
G. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS ORDO 2X2
Jika matriks A =
[ac bd ]
, determinandarimatriks A dinotasikan det A atau
A = ad - bc
Invers matriks A dinyatakandengannotasi
[
1 d −b A-1 = ad−bc −c a
Jika ad – bc = 0, makamatrikstidakmempunyai invers disebutmatriks singular.
Jika ad – bc ¿ 0, makamatriksmempunyai invers disebutmatriksnon singular.
Contoh :
[ ]
2 5 Diketahui A = 1 3 , Tentukandeterminan dan invers matriks A. Det A = ad – bc = 2.3 – 5.1 =6–5 = 1
A-1
A-1
]
[
1 d −b = ad−bc −c a
[
] [
]
1 3 −5 3 −5 = 1 −1 2 = −1 2
]
LATIHAN 4
1. Diketahuimatriks A =
[ 29x x+35 ]
, dan B =
[135 3x4 ]
Tentukannilai x, jika Det A = Det B 2. Tentukannilai x nya :
a.
[ x3
]
b.
[53 xx x 5+3 ]=18
x =5 x−1
3. Diketahuimatriks A = Tentukan : a. A-1 b. B-1 c. A.B d. B.A e. A-1.B-1 f. B-1.A-1 g. (AB)-1 h. (BA)-1
[31 25 ]
, dan B =
[41 62 ]
i. Buatlahkesimpulandarihasiltersebut
[ ]
9 4 4. Diketahui B = 4 2 , Tentukan : a. A-1 b. A-1.A c. A.A-1 d. Buatlahkesimpulan
H. PERSAMAAN MATRIKS 1. A.X = B A-1.A.X = A-1.B I.X = A-1.B X = A-1.B Jadi jika A.X = B, maka X = A-1.B
2. X.A = B X.A.A-1 = B.A-1 X.I = B.A-1
X = B.A-1 Jadi jika X.A = B, maka X = B.A-1 Contoh :
1.
Tentukanmatriks X nya
[ ] [
3 1 5 −15 . X= 1 2 0 10
[ ] .[ 50
X= 3 1 1 2
2.
−1
[
¿
1 10 −40 5 −5 45
¿
[−12 −89 ]
X.
] ]
[
][
2 −1 . 5 −15 −15 ¿ 1 10 6−1 −1 3 0 10
]
]
[11 24 ]=[−26 −44 ]
[ [
][ ] ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
6 −4 1 2 X= . −2 4 1 4 X=
−1
6 −4 1 4 −2 . −2 4 4−2 −1 1
1 6 −4 4 −2 X= . . 2 −2 4 −1 1 1 X = . 28 −16 2 −12 8 X = 14 −8 −6 4
I. PEMAKAIAN INVERS MATRIKS Invers matriksdapatdigunakanuntukmenyelesaikansistempersamaan linear. Contoh :
Selesaikansistempersamaan linear berikutdenganmatriks x + 7y = 13 2x + 5y = 8 jawab :
[ ][ ] [ ] 1 7 . x = 13 2 5 y 8
[][ [] [] [][
] .[ 138 ] [ ][ ] [ ] ]
x 1 7 = y 2 5
−1
1 x 5 −7 13 = . y 5−14 −2 1 8 1 9 x = y −9 −18
x = −1 y 2
jadi x = -1, dan y = 2
LATIHAN 5 1. Tentukanmatriks X nya :
a.
b.
[ ] [ ] 1 2 4 2 . X= −1 3 1 3
X.
[ ][ ] 3 −1 3 0 = 4 −1 1 4
2. Tentukanmatriks B nya :
[12 −11 ].[−12 −10 ]=B .[21 −12 ] 3. Tentukanmatriks X nya :
[−21 21 ]. X .[31 −10 ]=[01 01 ] 4. Tentukannilai x + y, jikadiketahui :
[32 −32 ]. [ xy ]=[ 34 ] 5. Denganmenggunakanmatriksselesaikansistempersamaan linear berikut : a. 2x – 3y = -1 x + 2y = 11
b. 3x + y = 7 x – 3y = -1
LampiranLembarKerjaSiswa
Lembar Kegiatan Siswa (LKS) - 1 Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Nama Kelompok : Satuan Pendidikan: SMK N 2 KENDAL ................................................................. Mata Pelajaran: Matematika ................................................................. Fase/Kelas: F / XI ................................................................ Sub MateriPokok : definisi, kesamaan matriks, dan tranpose ma ................................................................
mari mengingat kembali
Jawablah soal berikut ini! Dipunyai matriks , tentukan: Matriks A terdiri dari . . . baris dan . . . kolom. Matriks A berordo atau dapat ditulis dalam bentuk . . . . Transpose darimatriks adalah . . . Jika dipunyai matriks , apakah matriks A dan B sama? Berikan alasanmu !
Penjumlahan Matriks Ayo kita amati
Dua orang bersaudaralaki-laki dan perempuanmembuka 2 cabangtokokue di padangadan di Medan. Tokokueitumenyediakan 2 jeniskuebrownis dan bikaambon. Biayauntukbahanditangani oleh saudraperempuan dan biayauntuk chef ditangani oleh saudaralaki-laki. Biayauntuktiaptiapkueseperti pada tabeldibawahini : Tabel 1
Tabel 2
Tabelbiayatoko di Padang (dalam Rp)
Tabelbiayatoko di Medan (dalam Rp)
Berapa total biaya yang diperlukan oleh keduatokokue?
Ayo kita menalar
Misalmatriks A adalahbentukmatriksdaritabel 1 dan amtriks B adalahbentukdarimatriks B,
(1.000.. ..000 .... .. ) , B=(.. .. ..
makadapatkitasajikandalambentuk: A=
)
1.700 .000 . Maka, total biaya ...
yang diperlukan kedua toko kue ? A+ B=
( ⋯⋯ ⋯⋯)+( ⋯⋯ ⋯⋯ ) (
¿ ⋯+ ⋯ ⋯+ ⋯ ⋯+ ⋯ ⋯+ ⋯ ¿
)
( ⋯⋯ ⋯⋯ )
Kita
dapatkan,
total
biayabahankueuntukbrownisadalah.....sedangakanbiayabahankueuntukbikaambon
....
kemudian,
total biaya chef untukbrownis .... dan untuk bika ambon .... Operasi
diatas,
merupakancontohpenjumalahnmatriksberordo
2x2.
Bagaimandenganpenjumlahanmatriksberordo lain misalsepertiberikutini: A+ B=
(13
)(
)(
5 1 2 4 2 … … … + = 4 1 1 7 3 … … …
)
Berdasarpenjumlahankeduamatriks di atasdapatdioperasikankarenakeduamatriksmemiliki ordo . . . Sehinggadapatkitamisalkan, bilakitamempunyaimatriks Am × n dan matriks Bm × n , dengan elemen di setiap matriks, kemudian C adalah hasil dari A+ B ,
( ) ( )
a11 a12 a13 ⋯ a1 n a21 a 22 a23 ⋯ a2 n A= a31 a32 a33 ⋯ a3 n dan B= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ am 1 am 2 am 3 ⋯ amn
b11 b12 b13 ⋯ b1 n b21 b22 b23 ⋯ b2 n b31 b32 b33 ⋯ b 3 n . Maka: ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ b m 1 b m 2 b m 3 ⋯ bmn
( )( )
a11 a12 a13 ⋯ a1 n b11 b12 b13 ⋯ b 1 n a21 a22 a23 ⋯ a2 n b21 b22 b23 ⋯ b 2 n C= A+ B= a31 a32 a33 ⋯ a 3 n + b31 b32 b33 ⋯ b 3 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 a m 3 amn b m 1 b m 2 b m 3 ⋯ bmn
(
…+... …+... ¿ …+... … …+...
…+ ... …+ ... …+ ... … …+ ...
…+... …+... …+... … …+...
… … … … …
…+... …+... …+... …+... …+...
)
Ayo menyimpulkan
Misalkandipunyaimatriks A dan matriks B adalahmatriks yang berordosamadenganelemen a ij dan bij . Matriks C adalah jumlah matriks A dan B, dapat dituliskan C= A+ B , maka elemennya ditentukan oleh c ij =a ij +b ij. ( untuk semuai dan j )
dengan cara .......................................
Catatan: dua
matriksdapatdijumlahkanbilamemeliki ordo yang sama. Sifat-sifat pada penjumlahanmatriks a. Komutatif Cobalihatkembali permaslahan 1, jikadipunyaimatriks A dan matriks B sebagaiberikut:
(1020 1230 ) , B=(1530 1735) maka A+ B=C, kita dapatkan:
A=
C= A+ B=
Coba amatilah hasil penjumlahan dari A+B
(1020 1230 )+(1530 1735)=( …… ……) (
)(
)(
dan B+A, apakah hasilnya bernilai sama? Jika,
iya
maka
maka
operasi
tersebut
memenuhi sifat komutattif A+ B=B+ A .
)
15 17 10 12 … … C=B+ A= + = 30 35 20 30 … …
Misalkandipunyaimatriks A dan matriks B berordomxn untuk tiap matriks, dan elemen matriks A a ij dan matriks B b ijadalahbilangan real, makadapatdisajikan :
(
A=
)
(
)
a11 a12 b11 b12 dan B= Maka dapat dinyatakan: a21 a22 b21 b22 C= A+ B=
(
)(
)(
a11 a12 b11 b12 …+... …+... + = …+... …+... a21 a22 b21 b22
)
Karena nilaia ij dan bij untuk semua i dan j bilangan real, maka a ij +b ij sama dengan nilai b ij +a ij atau aij + bij =bij +a ij. Dengan demikian penjumlahan A+ B=B+ A .
b. Asosiatif
(1020 1230) , B=(1530 1735).
Berdasarmatriks yang kitatemukan pada permaslahan 1, kitadapatkan A=
( 22 21). Coba hitunglah :
Dan C=
( 1020 1230 )+((1530 1735)+(22 21)) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ¿( +( =( ) ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ( A+ B ) +C= (10 12 )+ (15 17 ) + (2 2 ) ( 20 30 30 35 ) 2 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ¿( +( =( ) ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) A+ ( B+C )=
Cobaperhatikanhasiloperasiperjumlahandari A+ ( B+C ) dan ( A+ B ) +C mempunyai hasil yang sama? jika iya, maka operasai tersebut memenuhi sifat penjumlahan pada matriks asosiatif. Sehingga, jika dipunyai Setelah kalian menjumlahkan operasi di atas, perhatikan hasil A+ ( B+C ) dan ( A+ B ) +C . bagaimana elemen-elemen yang seletak sama? .... Karena nilai
a ij , bij ,dan c ij untuk semua i dan j bilangan real, maka nilai ( a ij +b ij ) + c ij=aij +(b ij + cij ) maka
memenuhi A+ ( B+C )=( …+ … ) +….
c. Penjumlahandenganmatriksidentitas
(1020 1230) merupakan
Cobalihatlahkembali pada permaslahan 1 sebelumnya, jikadipunyai A= matriks dari tabel 1. Dan matriks identitas O=
(
)( ) (
A+O= 10 12 + 0 0 = … … 20 30 0 0 … …
(00 00 ). Jika kita jumlahkan :
)
Perhatikanhasildaripenjumlahan di atas, jikamatriks A ditambah denga matriksidentitas O makahasilnyaadalah A. Cobatentukanhasilnyajikadipunyaimatriks A matriksberordo Am × n.
hasilpenjumlahannyaadalah A, Makaberlakua ij untuk setiap i dan j
Perhatikanvhasilnya,
bilangan real, maka a ij +Oij samadengannilaiOij + aij atau O+aij =aij +Oij =aij. Dengan demikian penjumlahan A+O=O+ A=… Ayo menyimpulkan
Misalkandipunyaimatriks A dan matriks B berordomxn untuk tiap matriks, dan elemen matriks A a ij
dan
matriks
B
Bij
adalah
bilangan
real
dan
C
=
A+B,
maka
berlaku
matriksbesertasifat-sifatnya.
Kita
c ij =…+ … (untuk semua idan j ) .
Sifat-sifat pada penjumlahanmatriks: a. Komutatif: ............................................................. b. Asosiatif : ........................................................ c. Penjumlahandenganmatriksidentitas : .........................................
Pengurangan pada Setelahkitamempelajarioperasipenjumlahan
pada
akanbelajarpenguranganterhadapmatriks. Masih menggunakanmatriks pada permasalahan 1,
(
)
(
)
10 12 2 −10 diamanamatriks 1 merupakanmatriksdaritabel 1. A= , dan dipunyai B= , maka: 20 30 4 5
(
)(
)(
)(
A−B= 10 12 − 2 −10 = … … = … … 20 30 4 5 … … … …
)
Rumusanpenguranganmatriks di atasdapatkitagunakanuntukmemehamikonseppenguranganmatriks A terhadap matriks B . Jika C merupakan hasil dari A−B , dan matriks A dan matriks B matriks
berordo ...... Untuk setiap elemennya ditentukan oleh c ij =a ij−bij . ( untuk semua i dan j ) dengan cara .......................................................... Pengurangan matriks A dan B dapat didefinisikan penjumalahn A dengan – B sebagai lawan dari matriks B, sehingga didapat A−B=… . Ayo menyimpulkan
jikaC merupakan hasil dari A−B , dan matriks A dan matriks B matriks berordo m× n. Untuk
setiap
elemennya
ditentukan
oleh
c ij =…−… ( untuk semuai dan j )
dengan
cara ............................................... Pengurangan A−B juga dapat didefinisikan A−B= A+… , dengan – B sebagai lawan dari matriks
REFLEKSI DIRI Jawablahpertanyaandibawahinidenganjujur Bagaimana kalian sekarang? □
Bagian mana yang menurutmu paling sulitdaripelajaranini?
□
Apa yang akankamulakukanuntukmemperbaikihasilbelajarmu?
□
Kepadasiapakamuakanmemintabantuanuntukmemahamipelajaranini?
□
Jika kamudimintauntukmemberikanbintang 1 sampai 5, berapabintangakankamuberikan pada usaha yang telahkamulakukan?
Lembar Kegiatan Siswa (LKS) - 2 Perkalian Matriks Matriks
Nama Kelompok : Satuan Pendidikan: SMK N 2 KENDAL ................................................................. Mata Pelajaran: Matematika ................................................................. Fase/Kelas: F / XI ................................................................ Sub MateriPokok : definisi, kesamaan matriks, dan tranpose ma ................................................................
mari mengingat kembali
Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar: 3.
Ayo kita amati
PT.
Melodiadalahsebuahpersuahaanmultinasional
Perusahaan
tersebutmemilikibeberapatoko
yang
yang
bergerakdibidangpenjualanalatmusik.
tersebardibeberapakotabesar
Dalamsatutahunperusahaanmampumenjualalatmusikdisajikan pada tabel : Tabel1 Banyakalatmusik yang dijual pada masing-masing kota Jenis alat musik Kota
Piano
Gitar
Terompet
Medan
10
30
15
Surabaya
15
20
10
Makasar
20
10
20
di
Indonesia.
Tabel2 hargasatubuahsetiapjenisalatmusik
a. Jika
di
Jenis alat musik
Harga (Rp)
Piano
15.000.000
Gitar
1.500.000
Terompet
5.000.000
tahunberikutnyahargadari
masing-masing
alatmusikdinaikkanmenjadi
2
kali
lipatnyadarihargasekarang, makaberpakahhargaperbuahdari masing-masing alatmusik ? b. Berpakahpendapatan pada masing-masing kotajikaalatmusikterjualsemua ?
Ayo kita menalar
a. Kita sajikantabel 1 dan tabel 2 kedalambentukmatriks. Jika A adalahmatriksdaritabel 1 dan B adalahmatriksdaritabel 2, makadapatkitasajikansebagaiberikutini :
(
) (
10 30 10 15.500.000 A= 10 20 10 , B= 1.500.000 20 10 10 5.0000.000
)
Karna hargaalatmusikadalahmatriks B, Jika hargadinaikan 2 kali lipathargasekarang, makaharga per alatmusikmenjadi:
(
)( )
15.500 .000 … 2 B=2 1.500 .000 = … 5.0000 .000 …
Makahargaalatmusikuntuk piano ....
, gitar ... , terompet ...
.
Berdasar operas di atas, kitadapatkanbilangan real yaitu ... yang dikalikanterhadapmatriks B. Kita misalkanuntukmatrikberordomxn dikalikan dengan k, k adalah bilangan skalar , a ij adalah bilangan real dan C merupakan hasil perkalian dari bilangan real k dengan matriks B
( )
a11 a12 a13 ⋯ a 1n a21 a22 a23 ⋯ a 2n B= a31 a32 a33 ⋯ a3 n , maka: dapatkitanyatakan : ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m1 a m 2 a m3 ⋯ amn
( )( )
a 11 a 12 a 13 ⋯ a1 n ………… … a 21 a 22 a 23 ⋯ a2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ C=k . a 31 a 32 a 33 ⋯ a3 n = … … … … … ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ … ……… … am 1 am 2 am 3 a mn
Maka, untuksetiapelemenC ij =kaij (untuk semua i dan j) dikalikan denGan bilangan real terhadap suatu matriks disebut perkalian matriks pada skalar. Bilanganskalardapatdisimbolkandengan k. b. Untukmencaritotal keseluruhanbarangterhadaphargadari masing-masing alatmusikperkotadapatkitadapatkandenganmengalikanmatriks A terhdapmatriks B. Makakitadapatkan :
(
)(
10 20 10 15.500 .000 AB= 10 20 10 × 1.500 .000 20 10 10 5.0000 .000
)
(
………………………………………… AB= … … … … … … … … … … … … … … … … …………………………………………
(
………………………………………… AB= … … … … … … … … … … … … … … … … …………………………………………
)
)
( )
… .. AB= … .. . … ..
Berdasarperhitungan
di
kotaadalahmedansebanyak
...
ataspendapatandari , Surabaya
... , dan Makasar
m
asing-masing
... . operasiperaklain di
atasadalahcontohoperasimatriks A ..dan B .... bagaimanadenganperkalianmatriksberordo lain sepertiperkalianmatrik di bawahini ,cobahitunglah :
( ) () (
)( )
1 2 …………………………………… …… ….. A × B= 4 3 × 1 = … … … … … … … … … … … … … … … … = ….. 3 1 3 …………………………………… …… …..
Dariopersi-operasi di atas , dapatkitanyatakandalamperkalianmatriks A berordom× n terhadap matriks
B
n ×1
berordo
( ) ()
a11 a12 a13 ⋯ a1 n a21 a 22 a23 ⋯ a2 n A= a31 a32 a33 ⋯ a3 n dan B= jika ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ am 1 am 2 am 3 ⋯ amn
dapat
sehingga:
b11 b21 b31 ⋯ bn 1
(
……………………………………… ……………………………………… AB= … … … … … … … … … … … … … … … ……………………………………… ………………………………………
)
Perhatikanoperasi di atas, matriks A=[ aij ] berordo m× n dan matriks B=[ b ij ] mempunyai
hasil
terdefinisi
/
ada
hasilnya
jika
banyak
berordo n ×1
kolom
matriks
A .................................................................... Jika C=[ c ij ] adalah hasil perkalian dari matriks A dan matriks B. Elemen matriks C pada baris ke-i dan ke- j [ c ij ]
diperoleh dengan
cara ..........................................................................................................................................
Sifat-sifatperkalianmatriks Sebelumkitamemebahassifat-sifatperkalianmatriksyaitusifatasosiatif
dan
distributif.
Terlebihdulukita, bahassifatkomutatifjikadiaplikasikan pada perkalianmatriks.
(
)
10 30 10 A= 10 20 10 pada permasalahan sebelumnya. Kemudian Denganmenggunakanmatriks 20 10 10
(
)
2 2 1 diberikan B= 1 1 3 . Tentukan: 2 1 2
(
)(
)
10 30 10 2 2 1 A × B= 10 20 10 × 1 1 3 20 10 10 2 1 2
(
)(
… … … … … …. … … … … … … .. … … … … … … … … … … A × B= … … … … … …. … … … … … … .. … … … … … … .. = … … … … … … … … …. … … … … … … ... … … … … … … … … … …
(
)(
)
2 2 1 10 30 10 B× A= 1 1 3 × 10 20 10 2 1 2 20 10 10
)
(
)(
… … … … … …. … … … … … … .. … … … … … … … … … … B× A= … … … … … …. … … … … … … .. … … … … … … .. = … … … … … … … … …. … … … … … … ... … … … … … … … … … …
)
Cobaperhatikan, hasildarioperasiperkalian A × B dan B × A , apakah hasilanya sama? Apakah nilainilai yang seletak mempunyai elemen yang sama? Pada operasi perkalian yang telah kalian lakuakan di atas, nilai A × B … B × A artinya elemen-elemen yang seletak berbeda. Sehingga, sifat A × B=B × A .... pada perkalianmatriks.
1. Asosiatif Jika sifatkomutatiftidakberlaku pada perkalianmatriks. Makabagaimanadengansifatasoaatif. 3 dan (125 31), B=(−5 12 −1)
Cobahitunglahperkalianmatriksberikutini, jika di punyaimatriks A=
(
)
C= 2 −1 , hitunglah : 1 1 3 2 −1 5 3 … … … … × = × = ( 125 31)× ((−5 12 −1) ( 1 1 ) ) ( 12 1 ) ( … … ) ( … … )
A × ( B ×C )=
((( )) (
( A × B ) ×C=
)) (
)(
)(
)(
5 3 × −5 3 × 2 −1 = 11 12 × … … = … … 12 1 12 −1 1 1 −48 35 … … … …
)
Dari hasil di atasdapatdisimpulkan A × ( B ×C )=( A × B ) ×C . Maka jika , 3 matriks A , B dan C berorodo m× n disajikan sebagai berikut:
(
) (
) (
)
a11 ⋯ a1 n b11 ⋯ b 1 n c11 ⋯ c1 n A= ⋮ … ⋮ , B= ⋮ … ⋮ , C= ⋮ … ⋮ , am 1 … amn b m 1 … bmn c m 1 … c mn
(
)(
)(
a11 ⋯ a1 n b 11 ⋯ b1 n c 11 ⋯ c 1 n A × ( B ×C )= ⋮ … ⋮ × ⋮ … ⋮ × ⋮ … ⋮ am 1 … a mn bm 1 … bmn c m 1 … c mn
)(
(
))
a11 ⋯ a1 n … … … … ….. … … … … … … . … … … … ….. ¿ ⋮ … ⋮ × ⋮ … ⋮ … … … … ….. … … … … … … . … … … … ….. am1 … a mn ¿
(
))
……………………………………………… ………………. …………………………………………… ⋮ … ⋮ ……………………………………………… ………………… ……………………………………………
Berdasaroperasiperkalian di atasjikadipunyaimatriks A, matriks B dan matriks C masing-maisng berdordo
m× n
dapat
syarat......................
dikatan
memenuhi
sifat
asosiatif
perkalian
jika
memenuhi
2. Distributif Setelahkitamempelajarisifatasosiatifterhadapperkalianmatriks, sekarangkitaakanbeljaransifatdistributifperklaianterhadapmatriks. Misaldipunyaimatriks
(
) (
)
(
)
A= 5 3 , B= −5 3 dan C= 2 −1 , hitunglah : 12 1 12 −1 1 1
(
) ((
) ((
)) )
A ( B +C ) = 5 3 × −5 3 + 2 −1 12 1 12 −1 1 1
( …… ……) × (…… ……) … … ¿( … …) ( A × B ) + ( A+C )= ( 5 3 )× (−5 ( 12 1 12 … … … … ¿( + … …) ( … … ) ¿ ( … …) … … ¿
)) ((
))
)(
3 + 5 3 × 2 −1 −1 12 1 1 1
Dari perhitungan di atas, dapatdisimpulkanbahwa A ( B +C ) =( A × B )+ ( A +C ) . Hal tersebut maka berlaku jika dipunyai 3 matriks
(
) (
) ( )( )(
)
a11 ⋯ a1 n b11 ⋯ b 1 n c11 ⋯ c1 n A= ⋮ … ⋮ , B= ⋮ … ⋮ , C= ⋮ … ⋮ , maka: am 1 … amn b m 1 … bmn c m 1 … c mn
(
a11 ⋯ a1 n b11 ⋯ b 1n c 11 ⋯ c 1 n A ( B +C ) = ⋮ … ⋮ × ⋮ … ⋮ + ⋮ … ⋮ am 1 … amn b m 1 … bmn c m1 … c mn
(
)(
a11 ⋯ a1 n … … … … … .. ⋯ … … … … … .. ¿ ⋮ … ⋮ × ⋮ … ⋮ … … … … … .. … … … … … … .. am1 … a mn ¿
(
)
)
……………………………………………… …………… ……………………………………………… ⋮ … ⋮ ……………………………………………… …………… ………………………………………………
Perhatikanhasildarioperasiperkalian di atas, jikadipunyai 3 matriks A, matriks B Dan matriks C berorodom× n memenuhi sifat distributifperkalianjikamemenuhi .................................... Perkalianberulang pada suatumatriks
)
( 01 −10 ). Tentukan A
Diketahui A=
2013
!
Mari cermatilangkah-langkahberikut!
(
)(
)(
) (
)
A2= A . A= 0 −1 0 −1 = … 0 =−1 … 0 =… 1 0 1 0 0 … 0 …
Jika A2=…, maka A 4=…. Artinya untuk setiap matriks A kelipatan 4, akan ditemukan matriks identitas. Selanjutnya, 2013 dapat kita tuliskan sebagai berikut: 2013=4 ( 503 ) +1. Akibatnya, A
2013
=A
(4 ( 503 ) +1 )
503
1
=( A ¿¿ 4) . A ¿
Matriks A 4=I ,dan I n=I , n=1,2,3 , … ., akibatnya berlaku,
(
)
2013 … … . 503 ( A¿¿ 4) =I ¿. Oleh karna itu A =I . A=A= … …
Dari contoh di atas ,kitadapatmenyatakandefinisiperkalianberulnagsebagaiberikut : n
A =… ×… × …× … ×… A
sebanyak n faktor
Pada contoh A2013 di atas , kebetulan memeiliki pola yang menentukan hasilnya. Namunjikakitamenjumpaipersoalanuntukmenentukan An , n adalah bilangan asli dapat kalian seleseaikan dengan menentukan hasil kali matriks A sebanyak … .
Ayo menyimpulkan
1. Misalkandipunyaimatriks Am × n dengan elemen-elemenya a ij dan k adalah bilangan real dan C adalah hasil perkalian suatu matriks dengan bilangan real.
Perkalian skalar pada matriks
adalah ....................................................................... Dan dapat dituliskan C=… × …. 2. Matriks A=[ aij ] berordo m× n dan matriks B=[ b ij ] berordo n ×1 mempunyai hasil terdefinisi / ada hasilnya jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Elemen matriks C pada baris ke-i dan ke- j [ c ij ] diperoleh dengan cara ............................................................................................. ............................................... Sifat-sifatperkalian pada matriks: a. Asosiatif : ..................................... b. Distributif: ................................... Catatan : 2 buahmatriks A dan matriks B dapatdikalikanjikabanyakanyakolommatriks A samadenganbanykanya baris matriks B
3. Perkalianmberulang pada matriksdapatditentukandengan An =… ×… × …× … sebanyak n faktor
REFLEKSI DIRI Jawablahpertanyaandibawahinidenganjujur Bagaimana kalian sekarang? □
Bagian mana yang menurutmu paling sulitdaripelajaranini?
□
Apa yang akankamulakukanuntukmemperbaikihasilbelajarmu?
□
Kepadasiapakamuakanmemintabantuanuntukmemahamipelajaranini?
□
Jika kamudimintauntukmemberikanbintang 1 sampai 5, berapabintangakankamuberikan pada usaha yang telahkamulakukan?
RUBRIK PENILAIAN PERFORMA LEMBAR KERJA SISWA (LKS)
LKS – 1 N O 1.
2.
INDIKATOR Siswa memahami konsep penjumlahanmatriks
Siswa memahami konsep penguranganmatriks
BAGIAN LKS Kegiatan 1
Kegiatan 2 No.1
1 Terisi, namun tidak benar, atau Benar sekitar ≤ 50 % Terisi, namun tidak benar, atau Benar sekitar ≤ 50 %
SKOR 2 3 4 Terisi Terisi Terisi benar benar benar sekitar sekitar sekitar ¿ 50 %−≤ 75¿%75 %−≤ 90 ¿%90 %
Terisi Terisi Terisi benar benar benar sekitar sekitar sekitar ¿ 50 %−≤ 75¿%75 %−≤ 90 ¿%90 %
LKS 2 N O 1.
INDIKATOR Siswa memahami konsep perkalianmatriks
BAGIAN LKS Kegiatan 1
1 Terisi, namun tidak benar, atau Benar sekitar ≤ 50 %
SKOR 2 3 4 Terisi Terisi Terisi benar benar benar sekitar sekitar sekitar ¿ 50 %−≤ 75¿%75 %−≤ 90 ¿%90 %
LKS – 3 N O 1.
2.
INDIKATOR Siswamampumenentukannilaideterminanma triks ordo 2 x 2
Siswamampumenentukannilaideterminanma triks ordo 3 x 3
SKOR BAGIA N LKS 1 2 3 4 Kegiatan Terisi, Terisi Terisi Terisi 1 namun benar benar benar tidak sekitar sekitar sekitar ¿ 75 %%−≤ 90 ¿ 90 %% benar, ¿ 50 %−≤ 75 atau Benar sekitar ≤ 50 % Kegiatan Terisi, Terisi Terisi Terisi 2 namun benar benar benar tidak sekitar sekitar sekitar
¿ 75 %%−≤ 90 ¿ 90 %% benar, ¿ 50 %−≤ 75 atau Benar sekitar ≤ 50 %
LKS - 4 N O 1.
2.
INDIKATOR Siswamampumenentukannil ai invers matriks ordo 2 x 2
Siswamampumenentukannil ai invers matriks ordo 3 x 3
BAGIAN LKS Kegiatan 1
Kegiatan 2
1 Terisi, namun tidak benar, atau Benar sekitar ≤ 50 % Terisi, namun tidak benar, atau Benar sekitar ≤ 50 %
SKOR 2 3 4 Terisi Terisi Terisi benar benar benar sekitar sekitar sekitar ¿ 50 %−≤ 75¿% 75 %−≤ 90¿% 90 % Terisi Terisi Terisi benar benar benar sekitar sekitar sekitar ¿ 50 %−≤ 75¿% 75 %−≤ 90¿% 90 %
Pedomanpenilaianperforma Lembar KerjaSiswa
Nilai=
Jumlah skor yang diperoleh × 100 Total skor
KRITERIA UNTUK MENGUKUR KETERCAPAIAN TUJUAN PEMBELAJARAN DAN ASESMENNYA
N O. 1
Tujuanpembela Indikator Level jaran soal Menjelaskan Siswa mampu menentukan solusi L2 sistem persamaan linear tiga pengertian variabel matriks dan
Bentuks oal Esai
NomorS oal 1
Esai
2
jenis-jenisnya. Menjelaskan konsep transpose matriks. Menjelaskan konsep kesamaan matriks. Menjelaskan konsep operasi matriks. 2
Menjelaskan determinan matriks berordo 2×2. Menjelaskan determinan matriks berordo 3×3. Menyajikan masalah kontekstual
Siswa mampu menentukan L3 penyelesaian (HOT masalahdenganmemodelkannyaked S) alamsistem persamaan linear tiga variabel
yang berkaitan dengan matriks.
