Modul Opsi Dan Manajemen Keuangan [PDF]

Citation preview

Modul1 Teori Bunga,Anuitas, Obligasi Tujuan Pembelajaran dari matakuliah ini adalah : Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa 1. Memahami arti konsep teori bunga secara umum 2. Memahami konsep nilai sekarang suatu aliran dana 3. Memahami konsep nilai sekarang untuk aplikasi dalam matematika 4. Memahami konsep Obligasi dan Yield 5. Memahami konsep formula harga Obligasi Sedangkan capain pembelajaran matakuliah ini adalah agar mahasiswa 1. Mampu mengaplikasikan teori bunga 2. Mampu menghitung nilai sekarang dari suatu aliran dana 3. Mampu mengaplikasikan kombinasi nilai sekarang dan anuitas 4. Mampu menurunkan formula obligasi 5. Mampu menghitung nilai yield 6. Mampu menghitung harga obligasi Pada bab 1 ini akan dibahas tentang teori bunga secara singkat sebagai bahan dasar penyegaran dalam matakuliah ini, nilai sekarang atau present value, anuitas dan obligasi. Aplikasi teori bunga banyak digunakan dalam teori penentuan harga opsi dan pemodelan matematika keuangan lainnya, seperti obligasi.



1.1Bunga Majemuk 1.1.1 Bunga Nominal Jenis bunga tunggal adalah bunga yang diberikan sekali dalam setahun, dan bunga tersebut tidak mendapat bunga lagi untuk perhitungan bunga periode berikutnya. Bunga tunggal sudah jarang sekali dipakai di dunia perbankan. Kebanyakan bank-bank sekarang menghitung



dan membayar bunga dengan



frekuensi bulanan, atau mingguan, bahkan harian. Selanjutnya bunga tersebut akan diakumulasikan ke dalam rekening kita, dan diperhitungkan mendapat bunga periode berikutnya. Jadi bunga dibayarkan lebih sering atau beberapa kali dalam setahun. Suku bunga jenis ini disebut dengan suku bunga nominal. Simbol untuk suku bunga nominal yang dibayarkan m kali setahun adalah i(m) , dimana m adalah 1



bilangan bulat positip >1. Dengan suku bunga nominal sebesar i(m)setahun, kita artikan deposito atau tabungan akan mendapat suku bunga sebesar i(m)/m yang dibayarkan m kali setahun, bukan i(m) . Sebagai contoh, suku bunga nominal 6% konversi 3 bulanan (m = 4) tidak berarti setiap 3 bulan diberi bunga 6%, akan tetapi bunga yang diberikan adalah 6/4=1,5% setiap 3 bulan. Demikian juga dengan suku bunga nominal 6% konversi 1 bulanan. Artinya bunga diberikan setiap bulan sebesar 6%/12 = 0,5%. Sekarang kita bangun formula matematika untuk bunga majemuk tersebut. Misalkan dipunyai bunga majemuk konversi 3 bulanan. Bunga majemuk 3 bulanan dengan suku bunga tahunan i, maksudnya adalah suku bunga i/4 diberikan setiap 3 bulan sekali. Uang yang ditabungkan selama 3 bulan dibank, akan bertambah 1+ i(4)/4 kali. Jika uang tersebut dibiarkan lagi selama 3 bulan berikutnya, maka uang tersebut akan bertambah menjadi (1+ i(4)/4)2. Setelah satu tahun uangnya akan bertambah menjadi (1+ i(4)/4)4 kali. Dapat dibuktikan bahwa untuk sebarang i > 0, nilai (1+ i(4)/4)4> (1+ i(4)). Ini berarti bahwa pada tingkat suku bunga yang sama, bunga majemuk 3 bulanan akan memberikan pertambahan yang lebih besar dibandingkan dengan bunga 1 tahunan Dari ilustrasi di atas, dapat dibuat generalisasi formula nilai akumulasi untuk bunga majemuk m kali setahun. Selama setahun uang kita akan bertambah (1+ i(m)/m)m kali. Contoh 1.1Anda mempunyai rekening tabungan 1 juta rupiah di bank ABC. Bank memberikan suku bunga nominal 10%. Hitunglah uang anda setelah 1 tahun jika dihitung dengan menggunakan bunga majemuk tahunan dan bunga majemuk konversi 3 bulanan. Jawab. Dengan menggunakan formula suku bunga majemuk tahunan, uang anda setelah satu tahun akan membesar menjadi 1.100.000 rupiah. Sedangkan jika dihitung dengan menggunakan bunga majemuk 3 bulanan adalah



(



AV =1.000 .000 1+



0.10 4 =1.103.813 4



)



2



Dapat anda lihat bahwa suku bunga nominal 10% konversi tiga bulanan, memberikan suku bunga efektif 10,3813%, yang nilainya lebih besar dari suku bunga tahunan. Cobalah anda hitung dengan bunga majemuk konversi 1 bulanan. Tentu saja akan memberikan suku bunga efektif tahunan yang lebih besar dari suku bunga konversi 3 bulanan. Bagaimana formula atau rumus untuk bunga nominal dengan waktu investasi lebih dari 1 tahun? Formula untuk nilai akumulasi At pada suku bunga nominali(m) konversim/12 tahun selama t tahun secara umum adalah



(



i(m) A t = 1+ m



mt



)



,



dengan t menyatakan tahun.



Contoh 1.2.Melanjutkan soal no di atas, nilai akumulasi deposito setelah 2 tahun.



(



A t =2 =1.000.000 1+



0.10 4



2 ×4



)



=1.218.403



1.1.2 Bunga Majemuk Kontinu Selain pemberian bunga setiap bulan, minggu, atau setiap hari seperti yang dikatakan di atas, proses pemberian dan pemajemukan bunga dapat diberikan setiap jam, setiap menit, setiap detik dan seterusnya (setiap saat), atau dengan kata lain bunga diberikan terus menerus secara kontinu. Pemajemukan yang dilakukan secara



terus



menerus



ini



disebut



pemajemukan



kontinu



(continuous



compounding). Secara matematika, nilai m→∞, dan diperoleh nilai pemajemukan sebagai berikut :



(



i(m) lim 1+ m m→ ∞



mt



) =e



Bukti :



(



(m) mt



i Akan dibuktikan bahwa lim 1+ m m→∞



(m)



i t



) =e 3



(m)



i t



(



m→ ∞



i (m ) m



mt



)



1 m i (m )



( ) ( ( ))



lim 1+



= lim 1+ m→∞



1 ¿ lim 1+ m m →∞ i i (m )



m (m ) i t i( m)



(m )



m i t ( m) i



(m )



¿ ei



(m )



t



Sehingga rumus untuk pemajemukan kontinu adalah adalah bilangan natural yang nilainya



( m) t



A t =A 0 e i



, dengan e



2.7183… dan A0 adalah nilai awal



rekening. Sebagai contoh, anggaplah kita punya uang sebesar Rp.1 juta, i = 10% dan n=5 tahun. Pada berbagai periode pemajemukan per tahun, kita mendapatkan nilai akumulasi 5 tahun ke depan sebagai berikut : Periode Tahunan



Formula FV=1000.000 (1 + 0.1/1)1×5



Future Value 1.610.510



Setengah tahunan Bulanan Harian



FV=1000.000 (1 + 0.1/2)2×5 FV=1000.000 (1 + 0.1/12)12×5 FV=1000.000 (1 +



1.628.895 1.645.309 1.648.608



Kontinu



0.1/365)365×5 FV=1000.000e0.10×5



1.648.721



Terlihat bahwa semakin sering periode pemajemukan, semakin besar nilai akumulasi akhir karena bunga atas bunga diperoleh lebih sering, apalagi jika uang yang dibungakan sangat besar, perbedaan pemajemukan yang dihasilkan oleh bunga kontinu akan semakin besar dibandingkan dengan pemajemukan bulanan. Jika uang yang dibungakan relatif kecil, maka perbedaan antar pemajemukan tidak akan signifikan.



Latihan 1. Rekening P mendapat bunga tunggal sebesar 4% setahun. Sementara itu rekening Q mendapat bunga tunggal sebesar i% pertahun. Uang sebesar 1 juta 4



ditabungkan di rekening P dan 2 juta di rekening Q. Setelah 5 tahun, uang di kedua rekening P dan Q sama. Tentukan besarnya suku bunga i. 2. Anda meminjam uang 1 juta rupiah selama 90 hari dengan suku bunga efektif 8,5%. Berapakah total pembayaran yang harus anda sediakan untuk melunasi pokok dan bunga hutang anda ? 3. Hisam meminjam uang 200 juta untuk memperbesar usaha perkayuannya. Dia melunasi pinjaman di atas 4 tahun kemudian sebesar 260 juta. Berapakah suku bunga efektif tahunan dari pinjaman Hisam ? 4. Didi menginvestasikan uangnya 200 juta dalam dua usaha dengan bunga tunggal masing-masing 8% dan 7%. Jika total pendapatan pertahun dari dua investasi tersebut sebesar 15,175 jt, berapa juta kah modal yang diinvestasikan pada masing-masing usaha? 5. Misal anda mendepositokan 100 juta dengan suku bunga 6% (convertible quaterannualy). Enam bulan berikutnya anda mendepositokan lagi 200 juta. Berapa jutakah uang anda setelah dua tahun dari deposito yang kedua?



1.2 Nilai Sekarang (Present Value ) Selain kita bisa menentukan akumulasi nilai dari suatu investasi di masa yang akan datang, kita bisa juga menentukan nilai sekarang dari suatu nilai di masa yang akan datang. Kita sudah melihat bahwa uang sebesar 1 satuan akan menjadi 1+i pada akhir 1 tahun. Besaran 1+i sering disebut dengan faktor akumulasi , karena besaran tersebut mengakumulasikan dana sekarang ke dana masa yang akan datang. Jadi nilai sekarang sebesar 1 akan menjadikan uang kita menjadi sebesar 1+i pada akhir tahun. Marilah kita buat pertanyaan dari kejadian di atas. Berapa uang yang harus disediakan di awal tahun, agar pada akhir tahun uangnya menjadi 1+i. Jawabnya adalah 1. Berapakah uang yang harus anda sediakan (v), agar satu tahun lagi uang anda menjadi 1 ? Marilah kita formulasikan secara matematis konsep nilai sekarang di atas. Dari formula 1= v(1+i)1, diperoleh v = (1+i)-1. Jadi uang sebesar (1+i)-1 jika 5



diinvestasikan dengan suku bunga i selama 1 tahun akan menjadi 1. Sekarang kita gunakan simbol v = (1+i)-1 sebagai faktor diskon, karena besaran ini mendiskonto nilai investasi pada akhir periode ke nilai pada awal investasi. Sekarang kita bisa menggeneralisasi hasil di atas untuk periode waktu lebih besar dari 1, yaitu berapa modal yang harus disediakan di awal periode agar pada akhir periode t, modalnya menjadi sebesar A. 1. Bunga majemuk. Untuk bunga majemuk kita punya hubungan A= k(1+i)t, sehingga dipunyai nilai sekarang k = a-1(t) = A(1+i)-t = Av-t. 2. Bunga kontinu. Dengan menggunakan suku bunga kontinu diperoleh k = Ae-rt. Nilai sekarang banyak digunakan dalam pemodelan harga opsi. Dalam mencari harga opsi sendiri, kita menggunakan prinsip nilai sekarang. Harga opsi adalah nilai sekarang dari harga harapan keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo. Dengan memahami lebil awal konsep nilai sekarang, akan menjadi modal yang signifikan untuk mempelajari teori harga opsi. Contoh 1.3. Carilah nilai sekarang yang harus anda investasikan pada suku bunga 9%, agar nanti 3 tahun ke depan uang anda menjadi 1 milyard. Jawab. Perhitungan present value di atas akan diperbandingkan menggunakan dua metode 1. Bunga majemuk. Dengan menggunakan bunga majemuk, besarnya nilai sekarang yang dibutuhkan adalah a ( 3 )=



1.000.000 .000 =772.183 .480 ( 1+ 0.09 )3



a−1 ( 3 )=



1.000.000 .000 =763.379 .494 0,09 × 3 e



−1



2.



Bunga kontinu,



Contoh 1.4. Dipunyai suku bunga konstan 5%. Anda akan menerima uang tunai sebesar $500 satu tahun ke depan dan $1.500 dua tahun ke depan. Carilah nilai sekarang dari kedua arus uang tersebut. Jawab. 6



PV



= 500×(1/1.05)-1 + 1500(1/1.05)-2 = $1836.73



Contoh 1.5.Dengan menggunakan j12 = 12%, hitunglah nilai diskonto dari uang sejumlah Rp 100.000.000 yang jatuh tempo : a. 10 tahun lagi b. 25 tahun lagi Jawab. Dengan bunga nominal 12% setahun, maka diperoleh bunga perbulan adalah 1%. a. Untuk jangka waktu 10 tahun, berarti ada 120 bulan, sehingga diperoleh nilai sekarangnya adalah P = 100juta ×(1,01)-120 = 30, 299.477 juta b. Untuk jangka waktu 25 tahun, berarti ada 300 bulan, sehingga diperoleh nilai sekarangnya adaah P = 100juta ×(1,01)-120 = 5,053.448 juta Contoh 1.6. Berapa banyaknya uang yang harus disediakan agar dalam waktu kontinu ∆t, uang kita menjadi sebesar B rupiah ? Jawab. Misalkan uang tersebut adalah K, maka K = e-r∆t B Latihan Soal 1. Astri mendepositokan uangnya sebesar 1 juta dengan suku bunga nominal i (majemuk konversi enam bulanan). Sedangkan Andi mendepositokan uangnya sebesar 1,5 juta pada bank yang berbeda dan mendapat suku bunga tunggal i. Keduanya mendapatkan jumlah bunga yang sama selama 6 bulan terakhir pada tahun ke delapan. Hitunglah nilai i. 2. Hitunglah suku bunga nominal, konversi semesteran, yang memberikan suku bunga efektif tahunan i = 10%. 3. Dengan suku bunga tahunan tertentu, investasi sebesar 1 akan bertambah menjadi 2 dalam x tahun, investasi sebesar 2 akan bertambah menjadi 3 dalam y tahun, dan investasi sebesar 3 akan bertambah menjadi 15 dalam z tahun.



7



Selanjutnya investasi sebesar 6 akan bertambah menjadi 10 dalam n tahun. Carilah hubungan n terhadap x,y,z. 4. Pak Dwimenabung sebesar Rp 1000.000,00 dengan suku bunga majemuk sebesar 5%. Pada saat yang sama Pak Tri juga menabung sebesar Rp 630.000,00 tetapi bunga yang ia peroleh berdasar suku bunga tunggal sebesar k%. Uang Pak Dwi pada tahun kedua akan sama besar dengan uang Pak Tri pada tahun kelima. Berapakah besar suku bunga dari tabungan Pak Tri (k)? 5. Ayah anda mempunyai uang 50 juta dan ingin ditabungkan. Ayah anda berharap dalam waktu 15 tahun uang tersebut dapat menjadi 3 kali lipat. Bank dengan suku bunga tahunan berapa yang akan Anda rekomendasikan ?



1.3.Anuitas Harga obligasi dapat diterangkan sebagai nilai present value dari rangkaian pembayaran besarnya kupon dan pokok yang akan diterima pemegang obligasi. Untuk



itu



perlu



diterangkan



tentang



teori



anuitas



atau



rangkain



pembayaran.Anuitas yang pembayarannya pada akhir periode disebut dengan anuitas akhir atau annuity-immediate.Anuitas akhir sering juga disebut dengan anuitas biasa atau anuitas ordinary. Pada anuitas akhir ini, suku bunga perperiode juga dilambangkan dengan i. Sekarang kita lihat suatu anuitas dengan pembayaran 1 rupiah yang dibayarkan pada akhir periode selama n periode. Nilai sekarang (present value) dari anuitas akhir ini dilambangkan dengan



an



. Nilai ini adalah



nilai yang dibayarkan diawal untuk mendapatkan pembayaran sebesar 1 rupiah tiap akhir periode selama n periode.Nilai present value inilah yang digunakan sebagai dasar perhitungan produk anuitas. Kita dapat menurunkan formula nilai sekarang suatu anuitas akhir



an



sebagai



suatu present value dari masing-masing pembayaran. 1. Present value dari pembayaran 1 rupiah di akhir periode pertama adalah v. 2. Sedangkan present value dari pembayaran 1 rupiah yang dilakukan pada akhir periode ke dua adalahv2 . 8



3. Proses ini berlanjut sampai present value dari pembayaran 1 rupiah pada akhir periode ken adalah vn. 4. Nilai akumulasi total dari present value



an



sama dengan jumlahan



dari present value tiap-tiap pembayaran, yaitu an  v  v  ...  v 2



n 1



v



n



(1.1)



Formula present value anuitas akhir (1.1) di atas dapat disederhanakan menggunakan deret geometri dan diperoleh hasil an     2  ...   n 1   n 



1  n 1   n 1  n   1  i i



(1.2)



Contoh. Hitunglah a. Nilai sekarang dari pembayaran 1 rupiah di setiap akhir tahun selama 10 tahun, nilai i = 5% (< 10) b. Nilai akumulasi dari pembayaran 1 rupiah di akhir tahun selama n = 10 dan i = 5% (> 10) Contoh 1.3. Carilah nilai sekarang atau nilai tunai (present value) dari suatu anuitas yang membayar 4 juta pada akhir tengah tahunan selama 16 tahun dengan suku bunga 8% (convertible semiannually atau konversi 6 bulanan) Jawab.Nilai yang dicari adalah present value dari suatu anuitas selama 32 periode dengan suku bunga 4% dan pokok 4 juta rupiah. 



4  a32 0 ,04  4 



1



1 







32



  1, 04 0 , 04



 4  17 ,87355  71, 4942



Jadi jika anda membayar 71,4942 juta rupiah sekarang kepada lembaga penyelenggara program anuitas yang menerapkan bunga 8%, maka selama 16 tahun anda akan mendapat pembayaran 4 juta rupiah setiap akhir tengah tahunan. 9



Tentu saja perhitungan di atas tidak termasuk biaya administrasi dan biaya marketing yang bisa merubah angka-angka di atas.



1.4. Obligasi Return yang akan diperoleh dari investasi obligasi disebut yield. Sebelum memutuskan untuk berinvestasi obligasi, investor harus mempertimbangkan besarnya yield obligasi, sebagai faktor pengukur tingkat pengembalian tahunan yang akan diterima. Ada 2 (dua) istilah dalam penentuan yieldyaitu : a. Currrent yield adalahyield yang dihitung berdasarkan jumlah kupon yang diterima selama satu tahun terhadap harga obligasi tersebut. Current yield=



bungatahunan harga obligasi



Contoh: Jika obligasi PT XYZ memberikan kupon kepada pemegangnya sebesar 17% per tahun sedangkan harga obligasi tersebut adalah 98% untuk nilai nominal Rp 1.000.000.000, maka: Current Yield=



Rp 170.000.000 17 atau Rp 980.000.000 98



¿ 17.34



b. Yield to maturity (YTM) adalah tingkat pengembalian atau pendapatan yang akan diperoleh investor apabila memiliki obligasi sampai jatuh tempo. Formula YTM yang seringkali digunakan oleh para pelaku adalah YTM approximation atau pendekatan nilai YTM, sebagai berikut: R−P n x 100 R+ P 2



C+ YTM approximation=



Keterangan: 10



C = kupon n = periode waktu yang tersisa (tahun) R = redemption value (nilai Par) P = harga pembelian (purchase value) Contoh.Obligasi XYZ dibeli pada 5 September 2003 dengan harga 94.25% memiliki kupon sebesar 16% dibayar setiap 3 bulan sekali dan jatuh tempo pada 12 juli 2007. Berapakah besar YTM approximationnya ? Dari keterangan di atas diperoleh nilai-nilai C = 16% n = 3 tahun 10 bulan 7 hari = 3.853 tahun P = 94.25% R = 100% 100−94.25 3.853 x 100 100+ 94.25 2



16+ YTM approximation=



¿ 18.01



Hubungan antara Yielddengan Harga Obligasi Yield dan harga obligasi adalah 2 hal penting yang tidak dapat dipisahkan dalam teori estimasi kurva yield obligasi. Para investor akan selalu mempertimbangkan harga obligasi dengan yield yang akan diperoleh. Secara matematis, harga obligasi dapat dituliskan sebagai berikut : C1 C2 Cn Mn P=  ...   1 2 n (1  r ) (1  r ) (1  r ) (1  r ) n C



Mn 1  vn  i (1  r ) n



dimana P = harga obligasi Ct = kupon obligasi pada periode t Mn = nilai par dari obligasi r = tingkatyield yang diharapkan 11



Contoh.Dipunyai obligasi 150 juta, dengan kupon 10% pertahun, diketahui yield 12% pertahun. Berikut harga obligasinya 1  1,12 5 150 P  15  0,12 1,125  54, 07164  85,11403 139,1857 Disimulasikan untuk nilai yield 10% 1  1,15 150 P  15  5 0,1 1,1  56,86  93,14 150 Sedangkan untuk nilai yield 8% 1  1, 085 150 P  15  0, 08 1, 085  59,89  102, 09  161,98 Terlihat bahwa jika nilai yield sama dengan kupon, maka harga teori obligasi akan sama dengan nilai pokoknya, sedangkan jika nilai yield lebih kecil dari kupon rate yang diberikan, harga obligasi akan lebih besar dari nilai pokoknya. Sebaliknya, jika nilai yield lebih besar dari kupon rate, harga obligasi lebih kecil dibandingkan nilai pokoknya. Contoh. Carilah harga obligasi yang bernilai par $1000 selama 10 tahun dengan kupon 8.4% yang dibayar setiap 6 bulanan, dengan nilai redeemed $1050. Obligasi memberikan yield 10% konvertibel 6 bulanan. Jawab. 1  1, 0520 1050 P  42  0, 05 1, 0520  523, 4128  395, 734  919,1468 Latihan 1. Jika anda menginginkan mempunyai uang 1 M 10 tahun lagi, berapakah uang yang harus anda siapkan sekarang ? 12



2. Jika anda tidak kuat menyediakan uang sebesar yang harus disediakan hasil perhitungan pada no 1, dan anda hanya kuat menabung tiap tahun, berapakah uang yang anda depositkan tiap tahun ? 3. Suatu suatu obligasi memberikan bunga/kupon 10% selama 5 tahun. Jika diketahui yield sebesar 12%, berapakah harga obligasi di atas. 4. Bagaimana pengaruh yield terhadap harga obligasi di pasar ? 5. Disebut apakah Obligasi yang tidak memberikan kupon 6. Bagaimana penilaian harga obligasi tanpa bunga ?



13



Modul 2 Mekanisme Perdagangan Opsi Tujuan Pembelajaran dari matakuliah ini adalah : Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa 1. Memahami arti konsep berbagai jenis opsi 2. Memahami konsep Waktu jatuh tempo, keuntungan opsi, dll 3. Memahami konsep harga opsi Sedangkan capain pembelajaran matakuliah ini adalah agar mahasiswa 1. Mampu menghitung keuntungan opsi 2. Mampu menguraikan harga opsi



2.1 TIPE-TIPE OPSI Opsi adalah produk derivative saham dimana pemegang kontrak opsi tersebut dapat membeli atau menjual saham pada waktu dan harga tertentu.Dalam perdagangan opsi, terdapat bermacam-macam tipe opsi, baik yang secara resmi maupun yang tidak secara resmi diperdagangkan di bursa. Tipe opsi yang paling umum dikenal orang adalah tipe opsi berdasarkan haknya, yaitu opsi call (beli) dan opsi put (jual) seperti yang sudah disebutkan di Bab 2. 1. Opsi Call (Beli) Akan lebih mudah memahami mekanisme opsi call berdasarkan contoh. Misalkan seorang investor membeli kontrak opsi call tipe Eropa dengan harga kontrak $100 terhadap saham eBay. Harga saham eBay sekarang adalah $98 dan waktu jatuh tempo dari opsi call tersebut adalah 4 bulan atau 0.33 tahun. Harga opsi call tipe Eropa ini adalah $5. Karena opsi ini adalah opsi tipe Eropa, maka investor hanya bisa menjalankan opsi call nya pada waktu (tanggal) jatuh tempo saja. Jika harga saham pada waktu jatuh tempo kurang dari harga kontrak $100, investor memilih tidak akan menjalankan opsi callnya (jika opsi itu dijalankan oleh investor, maka investor harus membeli saham eBay seharga $100, padahal di 14



pasaran harganya lebih kecil dari $100). Pada kondisi ini, investor akan merugi sebesar $5 (besarnya harga premi opsi yang dibayar di awal). Jika harga saham di atas $100 pada waktu jatuh tempo, maka investor akan menjalankan opsi call tersebut. Misalkan harga saham pada waktu jatuh tempo adalah $115. Dengan menjalankan opsi call tersebut, investor dapat membeli saham eBay seharga $100 dari counterpart-nya dan sesegera mungkin menjual saham eBay tersebut dengan harga $115. Investor mendapatkan keuntungan $15 per lembar opsi. Jika transaksi di atas melibatkan 100 lembar opsi, maka keuntungan yang diperoleh investor adalah $1500. Selanjutnya jika investasi awal diperhitungkan, keuntungan bersih yang diperoleh investor menjadi $1500 - $500 = $1000. Dapat dilihat di sini bahwa keuntungan pemegang kontrak opsi dapat dirumuskan secara matematika dalam max(0, ST-K). Dari uraian di atas, dapat disebutkan peranan dari partisipan opsi call sebagai berikut: 1. Penjual kontrak opsi call mengeluarkan kontrak opsi dan menerima uang premi opsi. 2. Pembeli kontrak opsi call membayar premi opsi dan memegang kontrak opsi. 2. Opsi Put (Jual) Investor yang membeli opsi call seperti dijelaskan di atas, berharap harga saham pokok akan naik. Berbeda dengan opsi call, investor yang membeli opsi put berharap harga saham pokok akan turun, karena dia dapat mengambil keuntungan dari kondisi tersebut. Misalkan seorang investor membeli opsi put tipe Eropa untuk menjual 100 lembar saham IBM, dengan harga kontrak $70. Misalkan harga saham IBM sekarang $70. Misalkan harga saham sekarang adalah $65, dan waktu jatuh tempo opsi put tersebut adalah 3 bulan atau 0.25 tahun. Harga opsi put tersebut adalah $7. Investasi awal adalah $700. Karena tipe opsi put ini adalah tipe Eropa, maka opsi hanya bisa dijalankan 3 bulan lagi, jika harga saham di bawah $70. Misalkan harga saham IBM pada waktu jatuh tempo adalah $55. Investor pemegang opsi put, dapat menjual saham IBM seharga $70, kepada counterpartnya. Keuntungan opsi put tersebut sebesar $70 - $55 = $15 per lembar opsi put. 15



Jika



ada 100 lembar opsi, maka keuntungan opsi adalah $1500, tanpa



memperhitungkan investasi awal. Jika investasi awal diperhitungkan, maka keuntungan bersih menjadi $1500 - $700 = $800. Jika harga saham pada waktu jatuh tempo naik di atas $70, maka opsi put berlalu tanpa bernilai apapun, dan investor pembeli opsi merugi sebesar $700. Dapat dilihat di sini bahwa keuntungan pemegang kontrak opsi dapat dirumuskan secara matematika dalam max(0, K-ST). Dari uraian di atas, dapat disebutkan peranan dari partisipan opsi put (jual) sebagai berikut: 1. Penjual kontrak opsi put mengeluarkan kontrak kepada pembelidan



menerima uang premi harga opsi. 2. Pembeli kontrak opsi put



membayar uang premi harga opsi dan memegang kontrak opsi put. 3.Keuntungan Opsi Bagaimana formula untuk keuntungan opsi call? Keuntungan opsi merupakan fungsi dari harga kontrak opsi K dan harga saham pada waktu jatuh tempo ST dilihat dari sisi pembeli opsi. Biasanya uang yang dibayarkan untuk membeli opsi beli tidak diperhitungkan dalam perhitungan keuntungan opsi. Jika pada waktu jatuh tempo ST > K, maka pihak pemegang opsi akan menerima keuntungan sebesar ST-K. Sedangkan jika harga saham pada waktu jatuh tempo ST< K, maka pihak pemegang opsi tidak akan menerima keuntungan alias keuntungannya nol. Jadi secara matematika, keuntungan opsi dari sisi pemegang opsi call adalah max(ST - K, 0). Sebaliknya, keuntungan penjual opsi call adalah - max(ST - K, 0) = min(K - ST, 0) Bagaimana dengan opsi put? Pemegang opsi put akan menjalankan opsinya jika harga saham pada waktu jatuh tempo ST< K, dan memperoleh keuntungan sebesar K-ST. Jika pada waktu jatuh tempo harga saham ST> K, pemegang opsi put tidak akan menjalankan opsinya dan otomatis keuntungannya nol. Jadi secara matematis keuntungan opsi put dari sisi pemegang kontrak opsi adalah max(K - ST , 0) dan keuntungan dari sisi penjual opsi put adalah - max(K - ST , 0) = min(ST - K, 0)



2.2 Opsi Saham 16



Aset pokok (underlying asset) yang dapat dijadikan dasar untuk dikeluarkannya opsi relatif banyak, bahkan semua aset bisa dijadikan aset dasar produk derivatif opsi. Dari sekian banyak aset dasar tersebut, ada beberapa aset yang relatif populer di pasar bursa, yaitu saham, mata uang, indeks, future serta swap. Kebanyakan perdagangan opsi dilakukan di bursa. Di Amerika, bursa perdagangan opsi dilakukan di bursa Chicago Board Options Exchange (www.cboe.com), Philadelphia Stock Exchange (www.ptux.com), American Stock Exchange



(www.amex.com),



Pacific



Exchange



(www.pacifex.com),



dan



International Securities Exchange (www.iseoptions.com). Option diperdagangkan pada lebih dari 1,000 saham yang berbeda. Satu kontrak opsi memberikan hak untuk membeli atau menjual 100 lembar saham. 2.2.1Spesifikasi Opsi Saham Pada bab ini, kita akan menfokuskan pembahasan pada opsi saham. Seperti yang sudah disebutkan, opsi saham yang diperjualbelikan di berbagai bursa adalah tipe Amerika. Detail dari kontrak —waktu jatuh tempo (T), harga kontrak



(K),



bagaimana



jika



dividend



dikeluarkan,



dan



sebagainya—



dispesifikasikan oleh bursa. Spesifikasi opsi saham dapat diterangkan satu-persatu sebagai berikut: 1. Strike Price atau Harga Kontrak Bursa biasanya menyediakan beberapa harga kontrak untuk suatu opsi saham,



dengan selisih $2.50, $5, atau $10. Bursa akan menyediakan harga



kontrak dengan gradasi $2.50 ketika harga saham berada diantara $5 dan $25, gradasi $5 ketika harga saham berada diantara $25 dan $200, dan gradasi $10 untuk harga saham di atas $200. Untuk penentuan harga kontrak suatu opsi, biasanya dua atau tiga harga kontrak yang paling dekat dengan harga saham ditawarkan oleh bursa. Jika harga saham bergerak keluar dari range harga kontrak terendah dan tertinggi, bursa akan 17



mengeluarkan harga kontrak baru. Sebagai ilustrasi aturan ini, kita misalkan suatu saham dengan harga S0 = $84. Harga kontrak opsi call dan put yang ditawarkan dari saham tersebut kemungkinannya adalah $80, $85, and $90. Jika harga saham naik di atas $90, maka harga kontrak baru $95 akan ditawarkan; dan jika harga saham jatuh di bawah $80, maka harga kontrak baru $75 akan ditawarkan. 2. Deviden Ketika ada pembagian dividen yang cukup besar (lebih dari 10% dari harga saham), Komite Options Clearing Corporation (OCC) di Bursa CBOE (Chicago Board Options Exchange) dapat memutuskan untuk membuat penyesuaian terhadap opsi yang dijual di bursa. Contohnya dapat dilihat sebagai berikut.Pada tanggal 28 Mei, 2003, Gucci Group NV (GUC) menyatakan membagikan deviden sebesar 13.50 euros (sekitar $15.88) untuk setiap sahamnya dan keputusan ini disetujui opada rapat umum pemegang saham tahunan 16 Juli 2003. Dividen ini bernilai sekitar 16% dari harga saham pada saat diumumkan. Pada kasus ini, Komite OCC memutuskan untuk menyesuaikan harga opsi. Pemegang kontrak opsi call membayar 100 kali harga kontrak pada waktu jatuh tempo, dan menerima uang tunai $1.588 sebagai tambahan dari 100 lembar saham. (harga kontrak dikurangi $15,88 perlembar saham). Pemegang kontrak opsi put menerima 100 kali harga kontrak pada waktu jatuh tempo dan membayar uang tunai $1.588 sebagai tambahan dari 100 lembar saham. Penyesuaian ini memberikan pengaruh mengurangi harga kontrak sebesar $15,88. Penyesuaian untuk dividen yang besar tidak selalu dilakukan oleh bursa. Sebagai contoh, Deutsche Terminborse memilih untuk tidak menyesuaikan struktur opsi yang diperdagangkan di bursa ketika Daimler-Benz secara mengejutkan pada tanggal 10 Maret 1998 mengeluarkan dividen sebesar 12% dari harga saham. 3. Komisi Tipe dari pemesanan atau types of orders yang dapat didelegasikan kepada broker atau pialang untuk perdagangan opsi sama seperti pada perdagangan 18



future. Penugasan market order akan dijalankan secepatnya, limit order akan dijalankan pada harga terendah yang masih menguntungkan dan sebagainya. Misalnya seorang investor yang membeli kontrak opsi call dengan strike price K = $50 ketika harga saham S 0 = $49, dengan harga opsi call adalah C=$4.50, sehingga untuk 100 opsi call bernilai $450. Dari tabel 3.1, pembelian atau penjualan dari satu kontrak (100 opsi) selalu memerlukan biaya $30 (komisi maximum dan minimum $30 untuk kontrak pertama). Misalkan harga saham meningkat dan pada waktu jatuh tempo mencapai $60. Diasumsikan investor membayar komisi 1.5% dari perdagangan saham, komisi yang dibayar ketika opsi call dijalankan adalah 0.015 x $60 x 100 = $90. Total komisi yang dibayarkan adalah 30+90= $120, dan keuntungan bersih dari investor $1,000 - $450 - $120 = $430. Selain biaya komisi di atas, ada juga biaya yang harus dikeluarkan oleh investor opsi call yaitu perbedaan atau selisih harga jual dan harga beli yang berlaku di pasar. Misalkan pada contoh di atas, harga penjualan adalah $4.00 dan harga pembelian adalah $4.50 pada waktu investor membeli opsi call. Kita dapat mengasumsikan bahwa harga opsi yang wajar atau fair adalah $4.25, yaitu ratarata dari harga beli dan harga jual. Biaya tambahan untuk pembeli dan penjual opsi menurut sistem pasar opsi adalah selisih rata-rata selisih harga beli dan harga jual, yaitu $0.25 per opsi atau $25 per kontrak opsi. Tabel 2.1. Skedul komisi untuk pialang atau broker Volum perdagangan < $2,500 $2,500 to $10,000 > $10,000



Komisi* $20 + 2% dollar $45 + 1% dollar $120 + 0.25% dollar



* Maximal komisi adalah $30 per kontrak untuk lima kontrak pertama plus $20 untuk setiap tambahan kontrak. Minimal komisi adalah $30 per kontrak, dan $2 untuk setiap tambahan kontrak.



2.2 Harga dan Nilai Opsi 2.2.1 Harga Opsi



19



Harga opsi merupakan salah satu bahasan yang sangat menarik untuk dikaji. Orang selalu ingin mengetahui apakah harga opsi yang ditawarkan di pasaran cukup fair, murah, atau relatif mahal. Untuk tujuan itu, banyak sekali pakar matematika dan ekonomi keuangan yang berusaha memodelkan harga opsi sesuai



dengan



kondisi



yang



berlaku



di



pasaran.



Kemudian



mereka



membandingkan harga opsi di pasaran dengan harga opsi menurut model mereka. Tentu saja model yang dianggap baik adalah model yang bisa memprediksi harga opsi di pasaran dekat dengan harga opsi yang dihasilkan oleh model tersebut. 2.2.2 Nilai Opsi Dalam harga Opsi, terdapat dua komponen, yaitu Nilai Intrinsik dan Nilai Waktu. Jika kita tulis dalam bentuk persamaan matematika, maka : Harga Opsi = Nilai Intrinsik + Nilai Waktu Banyak definisi yang digunakan untuk menjelaskan apa itu Nilai Intrinsik dalam opsi. Di sini akan dipakai ‘definisi’ yang bisa dipakai baik untuk opsi Call maupun Put. Mari kita lihat sebuah ilustrasi opsi Call : Harga saham perusahaan XYZ adalah S0 = 3946. Misal ada Opsi Call dengan harga kontrak K = 3500. Tanpa memiliki opsi tersebut, jika kita ingin membeli saham XYZ, kita harus membayar harga 3946 atau 446lebih mahal dari harga kontrak. Jika kita lihat situasi di atas, saat ini opsi tersebut sudah mempunyai ‘manfaat’ sebesar 446. Nilai manfaat sebesar446 inimerupakan Nilai Intrinsik dari opsi call tersebut pada waktu sekarang. Misalkan minggu depan, harga saham XYZ naik menjadi 4500, maka Opsi Call akan mempunyai ‘manfaat’ sebesar 1000, dan nilai Intrinsiknya pun menjadi 1000. Bagaimana dengan Nilai Waktu opsi? Mari kita kembangkan contoh di atas. Misal opsi call dijual seharga 600.Dari persamaan matematika di atas, diperoleh Harga = Nilai Intrinsik + Nilai Waktu



20



Nilai Waktu= Harga – Nilai Intrinsik Nilai Waktu opsi call saham XYZ di atas adalah 154 (didapat dari 600-446). Jika Nilai Intrinsik dari opsi menggambarkan ‘manfaat’ opsi tersebut ’saat ini’, Nilai waktu menggambarkan adanya ‘waktu’ dan ‘harapan’ bahwa Nilai Intrinsik opsi tersebut masih bisa naik mengingat masih ada waktu jatuh tempo. Semakin dekat dengan waktu jatuh temponya, Nilai Waktu opsi akan semakin menurun. Nilai Waktu suatu opsi sama dengan 0 pada waktu jatuh tempo, karena saat itu opsi tersebut telah tidak mempunyai ‘waktu’ dan ‘harapan’ lagi. Latihan Soal 1. Harga saham XYZ saat ini adalah $39,46. Harga opsiput dengan K = 35 adalah $2,4 dan harga opsi put dengan K = 42,5 saat ini adalah $6,2. Berapakah Nilai Waktu dan Intrinsik opsi ? 2. Seorang arbitraser ingin menghitung yield deviden pada suatu saham ketika melihat opsi call dan put 5 tahun dengan data sebagai berikut: Harga saham $85, harga kontrak $90, suku bunga bebas resiko 5%, harga opsi call $10, dah harga opsi put $15. Berapakah yield deviden kontinu dari saham tersebut? a. b. c. d.



2.48% 4.69% 5.34% 7.71%



21



Modul3 Sifat-Sifat Harga Opsi Tujuan Pembelajaran dari matakuliah ini adalah : Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa 1. Memahami konsep batas bawah dan atas harga opsi call 2. Memahami konsep batas bawah dan atas harga opsi put 3. Memahami konsep penurunan formula put-call paritas Sedangkan capain pembelajaran matakuliah ini adalah agar mahasiswa 1. Mampu menghitung batas bawah dan atas harga opsi call 2. Mampu menghitung batas bawah dan atas harga opsi put 3. Mampu menghitung harga opsi berdasar prinsip put-call paritas



3.1 Batas Bawah dan Atas Harga Opsi Harga suatu opsi yang melebihi batas, akan mengundang kesempatan bagi para arbitraseruntuk selalu mengambil keuntungan. Demikian juga jika harga suatu opsi berada di bawah harga minimalnya, akan ada kesempatan bagi para arbitraser untuk menciptakan strategi yang selalu menguntungkan mereka. Untuk itu, harga opsi harus berada di antara interval harga minimal dan maksimalnya, agar tidak muncul para arbitraser yang selalu dapat bermain dalam situasi tersebut. 3.1.1Batas Atas Harga Opsi Call Opsi call tipe Amerika atau Europa memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli saham pada harga kontrak tertentu (K). Dalam kondisi apapun, harga opsi baik tipe Eropa dan Amerika tidak pernah melebihi harga saham pokoknya S0. Jadi, harga saham pokok merupakan batas atas dari harga opsi. Batas ini tentu saja sangat wajar mengingat opsi merupakan produk derivatif dari saham, sehingga diperoleh hubungan sebagai berikut c ≤ S0 and C ≤ S0 Jika hubungan ini dilanggar, maka seorang arbitraser dengan gampang akan membuat langkah yang jelas-jelas selalu menguntungkan dengan cara 22



membeli saham dan menjual opsi call saham tersebut. Logikanya sebagai berikut : Dengan membeli saham pokok, dan menjual opsi yang harganya lebih mahal dari harga saham, dia sudah mendapat keuntungan dari selisih harga saham dan opsi. Sementara dia masih memegang saham pokok. Pada waktu jatuh tempo, apapun yang terjadi pada harga saham, dia tinggal menyerahkan saham pokok kepada pembeli opsi call-nya. Contoh 4.1.Misalkan harga saham $10, dan harga opsi call untuk saham itu adalah $12.Seseorang dapat membeli saham seharga $10 dan mengeluarkan opsi untuk mendapatkan $12, sehingga mendapat keuntungan $2. Selanjutnya, apapun status kondisi opsi tersebut, baik in the money atau pun out of the money, dia akan selalu memperoleh keuntungan. Karena pada saat jatuh tempo, apapun yang terjadi, dia tinggal menyerahkan sahamnya kepada pembeli opsi call-nya dan dia mendapat keuntunganbersih sebesar $2 ditambah saham atau uang sebesar harga saham. 3.1.2 Batas Bawah Harga Opsi Call Harga minimal opsi call tanpa adanya pembayaran dividen saham adalah S0 - Ke-rT. Apabila suatu opsi call dijual lebih murah dari harga di atas, maka akan ada seorang arbitraser yang dapat menciptakan strategi sehingga selalu memperoleh keuntungan. Maka harga opsi call memenuhi c ≥ S0 - Ke-rT Pertama-tama kita lihat contoh numeriknya dan kemudian kita pikirkan suatu alasan yang lebih general. Contoh 4.2.Misalkan ada opsi call saham dengan data-data sebagai berikut: S 0 = $20, K = $18, r = 10% per tahun, dan T = 1 tahun. Pada kasus ini, dapat dihitung nilai S0 - Ke-rT = 20 - 18e-0.1*1 = $3.71. Berdasarkan hasil hitungan di atas, harga opsi minimal adalah $3.71.



23



Bagaimana jika ada orang yang menjual opsi call lebih murah dari harga di atas ? Misalkan ada opsi call seperti di atas dan dijual seharga $3.00. Seorang arbitraser dapat bermain pada kondisi seperti ini. Dia dapat meminjam untuk menjual saham atau short saham pokok dan membeli opsi call, sehingga dia memperoleh dana sebesar$20.00 - $3.00 = $17.00. Selanjutnya dia akan menginvestasikan uang tersebut pada tingkat suku bunga 10% per tahun, dan setahun kemudian uangnya berkembang menjadi 17e0.1 = $18.79. Satu tahun berikutnya, opsi memasuki waktu jatuh tempo. Kita lihat dua kondisi sebagai berikut : 1. Harga saham pada waktu jatuh tempo lebih besar dari harga kontrak K=$18.00. Arbitraser akan menjalankan opsinya, membeli saham pokok seharga $18.00, dan mengembalikan saham pinjaman. Pada kondisi ini dia akan dapat membuat keuntungan sebesar $18.79-$18.00 = $0.79. 2. Harga saham pada waktu jatuh tempo lebih kecil dari harga kontrak K = $18.00. Arbitraser tidak menjalankan opsi callnya, dan keuntungan yang diperolehnya adalah = $18.79 - ST. Keuntungan pada kondis ini lebih besar dari pada kondisi pertama > $18.79-$18 = $0.79. sebagai contoh jika harga saham $17.50, arbitraser dapat memperoleh keuntungan $18.79-$17.50 = $1.29. Jika harga saham $17.00, keuntungan arbitraser $ 1.79. Untuk alasan yang lebih formal, kita lihat dua portofolio berikut: Portfolio A Portfolio B



: Satu opsi call Eropa dan uang tunai sebesar Ke-rT , Bernilai c + Ke-rT : Satu saham, bernilai S0



Dalam portofolio A, uang tunai Ke-rT, jika diinvestasikan pada suku bunga bebas resiko r, pada waktu jatuh tempo T akan berkembang K. 1. Jika ST> K, opsi call dijalankan. Uang sebesar K digunakan untuk membayar saham, dan portofolio A akan bernilai ST . (Portofolio A, di 24



waktu awal dipunyai cash Ke-rT, pada waktu ekspirasi, uang berkembang menjadi K. Jika kondisi opsi in the money, Uang tersebut digunakan untuk menjalankan opsi, membeli saham seharga K, mendapatkan saham seharga ST). 2. Jika ST< K, opsi call tidak dijalankan, dan portofolio A bernilai K. Jadi pada waktu jatuh tempo T, portfolio A akan bernilai max(ST, K)dan portfolio B selalu bernilai ST pada waktu jatuh tempo T. Dari ilustrasi di atas, dapat diambil kesimpulan bahwa portofolio A selalu bernilai sama atau lebih besar dari portfolio B pada waktu jatuh tempo (Jika ST> K, maka portfolio A bernilai ST = portfolio B, jika ST< K, maka portfolio A bernilai K > portfolio B). Selanjutnya dengan menggunakan prinsip tidak ada kesempatan melakukan arbitrase, kondisi pada waktu jatuh tempo juga akan berlaku pada waktu sekarang. Jadi Portofolio A



c + Ke-rT ≥ S0 Portofolio B



atau



c ≥ S0 - Ke-rT



Karena harga opsi tidak mungkin negatif, c ≥ 0, maka harga call opsi minimal dapat dirumuskan sebagai berikut c ≥ max(S0 - Ke-rT, 0) Example 4.3.Misalkan ada opsi call Eropa dari suatu saham dengan data sebagai berikut :S0 = $51, K =$50, T = 0.5, dan r = 0.12. Dapat dihitung batas bawah harga opsi minimal adalah S0 - Ke-rT, or 51-50e-0.12*0.5 = $3.91.Jadi jika ada bursa yang menjual opsi tersebut di atas dengan harga di bawah batas minimal di atas, anda dapat memikirkan untuk melaksanakan strategi arbitrase seperti di atas.



3.1.3 Batas Atas Harga Opsi Put Opsi put tipe Amerika atau Eropa memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual saham pokok pada harga kontrak tertentu, K. Tidak peduli seberapa 25



harga saham akan turun, harga opsi put tidak akan lebih besar dari K. Jadi dipunyai hubungan, p≤ K and P ≤ K Untuk opsi put tipe Eropa, kita tahu bahwa pada waktu jatuh tempo, opsi put tidak dapat bernilai lebih dari K (Jika ST = 0, maka opsi put bernilai K-0 = K), sehingga harga opsi put (sekarang) tidak akan melebihi nilai sekarang (present value) K: p ≤ Ke-rT Jika hubungan ini dilanggar, maka akan ada seorang arbitraser yang dapat mengambil keuntungan dengan cara mengeluarkan atau menjual opsi put dan menaruh uang hasil penjualan opsinya pada bunga bebas resiko. Contoh 4.1.2Misalkan ada opsi put Eropa dengan harga kontrak 10, T = 0.5 tahun dan r = 1%. Dipunyai nilai Ke-rT = 10exp(-0.5*0.01) = 9.95. Jadi harga opsi put tidak boleh melebihi 9.95. Selanjutnya misal ada opsi put untuk kasus di atas dengan harga $10. Investor dapatmengeluarkan opsi jual untuk mendapat uang $10 dan menyimpannya di rekening bank dengan bunga 1%. Pada waktu jatuh tempo uang tersebut menjadi $10.05. Sekarang kita lihat kondisi pada waktu jatuh tempo 1. Jika opsi put dalam kondisi in the money (opsi put dijalankan), maka investor tersebut harus membeli saham pokok sebesar $10, dan dia masih mempunyai keuntungan sebesar $0.05 + saham. 2. Jika opsi put dalam kondisi out of the money (opsi put tidak dijalankan), keuntungannya $10,05,



3.1.4 Batas Bawah Harga Opsi Put Untuk opsi put tipe Eropa yang sahamnya tidak memberikan pembayaran dividen, batas bawah untuk harga opsi tersebut adalah Ke-rT - S0 Sekali lagi, pertama-tama akan diberikan contoh numerik dan selanjutnya kita lihat alasan atau argumen yang lebih formal. Misalkan dipunyai opsi put dengan 26



karakteristik sebagai berikut : S0 = $37, K = $40, r = 5% per tahun, dan T = 0.5 tahun. Pada kasus ini diperoleh, Ke-rT - S0 = 40e-0.05*0.5 - 37 = $2.01 Mari kita lihat situasi dimana harga opsi put Eropa $1.00, yang lebih murah dibandingkan harga teoritis of $2.01. Seorang arbitraser dapat menjalankan strategi meminjam uang $38.00 selama 6 bulan untuk membeli saham dan opsi put. Pada waktu jatuh tempo, arbitraser membutuhkan uang untuk membayar hutang sebesar 38e0.05*0.5 = $38.96. Sekarang kita lihat kondisi harga saham 1. Jika harga saham dibawah harga kontrak K=$40.00, arbitraser akan menjalankan opsinya dengan menjual saham seharga $40.00. Selanjutnya dia membayar hutangnya , dan memperoleh keuntungan sebesar $40.00$38.96 = $1.04. 2. Jika harga saham di atas harga kontrak K = $40.00, arbitraser tidak akan menjalankan opsi put-nya. Dia dapat menjual sahamnya di luar dengan harga di atas harga kontak K, dan membayar hutangnya. Keuntungan arbitraser pada kondisi ini lebih banyak dibandingkan dengan kondisi I. Sebagai contoh jika harga saham $42.00, keuntungan arbitraser $42.00$38.96 = $3.04 Argumen Formal Selain bukti secara empiris di atas, dapat juga diberikan bukti secara analisis yang lebih formal sebagai berikut. Kita berikan dua portofolio C dan D. Pada waktu T = 0, atau waktu sekarang atau waktu pembelian kontrak opsi, kedua portofolio di atas adalah sebagai berikut. Portfolio C: Satu saham pokok dan satu opsi put Eropa (p + S0) Portfolio D: Uang tunai sebesar Ke-rT Sekarang kita lihat situasi pada waktu jatuh tempo, T. 1. Jika ST< K, maka opsi put pada portofolio C akan dijalankan, saham dijual seharga K, jadi portofolio C bernilai K (Opsi put dilaksanakan, saham dijual seharga K). 27



2. Jika ST> K, maka opsi put tidak dijalankan, dan saham bernilai S T. Jadi portofolio C akan bernilai ST . Jadi



portfolio C berharga max(ST, K) pada waktu jatuh tempo T.



Selanjutnya kita lihat portofolio D. Uang tunai sebesar Ke-rT yang diinvestasikan pada suku bunga bebas resiko akan bernilai K pada waktu jatuh tempo T. Dapat diambil kesimpulan di sini bahwa portfolio C selalu bernilai sama dengan atau lebih besar dari portfolio D pada waktu jatuh tempo T. Selanjutnya dengan menggunakan prinsip bebas dari kesempatan arbitrase, portofolio C harus bernilai lebih besar atau sama dengan portfolio D pada saat sekarang, atau p + S0 ≥ Ke-rT p ≥ Ke-rT - S0 Selanjutnya karena harga opsi put tidak mungkin negatif, maka secara matematis harga opsi put tipe Eropa dapat dituliskan sebagai berikut : p ≥ max(Ke-rT - S0, 0) Contoh 4.4.Misalkan ada opsi put tipe Eropa dari suatu saham dengan data sebagai berikut S0 = 38$, K = 40$, T = 0.25 tahun atau 3 bulan , dan , r = 0.10. Dapat dihitung batas bawah atau harga terendah secara teori dapat dihitung sebagai berikut :Ke-rT – S0 = 40e-0.1*0.25 -38 = $1.01.



3.2 Put Call Parity Sekarang kita akan menurunkan hubungan penting antara harga opsi call dan harga opsi put dalam suatu persamaan matematis yang disebut dengan put-call parity. Marilah kita lihat dua portofolio yang sudah kita gunakan di atas, yaitu portofolio A dan C sebagai berikut : Portfolio A: Satu opsi call Eropa dan uang tunai sebesar Ke-rT , Bernilai c + Ke-rT Portfolio C: Satu saham pokok dan satu opsi put Eropa (p + S0) Dari penjelasan di atas, portofolio A dan C bernilai max(ST, K) pada waktu jatuh tempo opsi. Karena tipe opsi ini adalah opsi Eropa yang tidak dapat dijalankan sebelum waktu jatuh tempo, maka kedua portofolio ini juga akan



28



bernilai sama pada waktu sekarang. Jadi diperoleh hubungan matematis c + Ke -rT = p + S0. Hubungan matematis ini dikenal dengan nama put-call parity. Dari persamaan di atas, jika harga opsi call tipe Eropa diketahui, maka harga opsi put tipe Eropa dengan harga kontrak yang sama dan dari saham yang sama, dapat ditentukan. Begitu juga sebaliknya. Jika put call parity suatu opsi tidak terpenuhi, maka akan mucul kesempatan arbitrase. Marilah kita lihat kondisi berikut. Misalkan harga suatu saham S0= $31, harga kontrak K = $30, suku bunga bebas resiko r =10% per tahun, harga opsi call tipe Eropa 3-bulan C = $3, dan harga opsi put Eropa 3 bulan p = $2.25. Pada kasus ini, c + Ke -rT = $32.26, dan p + S0 = $33.25.Portfolio C lebih mahal relatif terhadap portfolio A. Stategi arbitrase untuk kondisi ini adalah membeli portfolio A dan melakukan short portfolio C. Jadi strateginya adalah membeli opsi dan shorting opsi put dan saham, menghasilkan arus uang positif sebesar $30.25 (beli opsi $3, mengeluarkan put $2.25 dan meminjam saham $31) -3 + 2.25 + 31 = $30.25. Uang sebesar $30.25 kita taruh di rekening selama 3 bulan dengan bunga 10% akan menjadi $31.02. Selanjutnya kita lihat dua kondisi pada waktu jatuh tempo 1. Jika harga saham melebihi $30, opsi call akan dijalankan (call dijalankan, dapat saham seharga K = $30, selanjutnya saham pinjaman dikembalikan. Opsi put yang dikeluarkan tidak dijalankan oleh pihak pembeli. Ia mendapat keuntungan $31.02-$30.00 = $1.02 ). 2. Jika harga saham dibawah $30, opsi put akan dijalankan (Call tidak dijalankan.Pembeli put akan menjalankan opsinya dan menjual saham ke arbitraser seharga $30. Selanjutnya arbitraser mengembalikan saham pinjaman. Dia mendapat keuntungan $31.02-$30.00 = $1.02 ). Sebagai contoh, misalkan harga opsi call $3 dan harga opsi put $ 1. Pada kasus ini diperoleh hubungan c + Ke-rT = 3 + 30e -0.1*0.25 = $32.26 dan p + S0 = 1+31 =$32.00. Dari hasil perhitungan di atas dapat dilihat bahwa Portfolio A lebih mahal dibandingkan dengan portfolio C. Seorang arbitraser dapat melakukan proses short terhadap sekuritas di portfolio A dan membeli sekuritas di portfolio 29



C untuk mengunci keuntungan. Strategi tersebut adalah melakukan short terhadap opsi call dan membeli opsi put dan saham dengan nilai investasi awal $31 + $1 $3 = $29. Selanjutnya modal tersebut selama 3 bulan dengan suku bunga 10% akan menjadi 29*exp(0.10*0.25) = $29.73. Selanjutnya kita lihat dua kejadian yang mungkin pada waktu jatuh tempo 1. Jika harga saham di atas $30, maka opsi put-nya tidak dijalankan, sahamnya dibeli oleh pemegang opsi call seharga $30. Sang Arbitraser harus membayar hutang sebesar $29.73 dan mendapat keuntungan $0.27. 2. Jika harga saham di bawah $30, maka arbitraser menjalankan opsi putnya, menjual saham seharga $30, membayar hutang sebesar $29.73 dan mendapat keuntungan $0.27. Pada dua kondisi di atas, dapat dilihat keuntungan sang arbitraser adalah $30.00$29.73 = $0.27. Kondisi di atas dapat ditabelkan sebagai berikut: Table 3.1Peluang Arbitrase ketika put-call parity tidak terpenuhi.Harga saham = $31; interest rate = 10%; harga opsi call = $3. Kedua opsi call dan put mempunyai harga kontrak $30 dan waktu jatuh tempo 3 bulan. Harga opsi put 3 bulan = $2.25



Harga opsi put 3 bulan = $1



Aksi Sekarang : Beli opsi call $3 Short opsi put menghasilkan $2.25 Short saham menghasilkan $31 Investasikan $30.25 selama 3 bulan



Aksi Sekarang: Pinjam $29 untuk 3 bulan Short opsi call menghasilkan $3 Beli opsi put $1 Beli saham $31



Tiga bulan ke depan Aksi jika ST> 30: Terima $31.02 dari investasi Eksekusi call untuk beli saham $30 Keuntungan bersih = $1.02



Aksi jika ST> 30: Call dieksekusi: jual saham $30 Bayar pinjaman $29.73 Keuntungan bersih = $0.27



Aksi jika ST< 30:



Aksi jika ST< 30:



Terima $31.02 dari investasi Put tereksekusi: beli saham $30 Keuntungan bersih = $1.02



Jalankan opsi put : jual saham $30 Bayar hutang $29.73 Keuntungan bersih = $0.27



30



3.3. Opsi Tipe Amerika Put-call parity hanya berlaku untuk opsi tipe Eropa.Walaupun begitu, masih dimungkinkan menurunkan sifat-sifat harga opsi tipe America.Dapat ditunjukkan bahwaselisih harga opsi call dan put tipe Amerika adalah sebagai berikut: S0 –K ≤ C- P ≤ S0 - Ke-rT



(4)



Contoh 4.Diketahui Opsi call tipe Amerika dengan harga kontrak K= $20 dan waktu jatuh tempo 5 bulan serta harga opsi sebesar $1.50. Misalkan harga saham S0 = $19 dan suku bunga bebas resiko adalah r = 10% per tahun. Dari persamaan di atas, diperoleh -1 ≤ C- P ≤-0.18 or 0.18 ≤P-C≤1, menunjukkan bahwa P-C terletak diantara $1dan $0.18. Dengan nilai harga opsi call $1.50, harga opsi put amerika P harus terletak diantara $1.68 dan $2.50. Dengan kata lain, batas atas dan bawah harga opsi put tipe amerika di atas adalah $2.50 dan $1.68. 3.3.1 Menjalankan Opsi Call Pada Awal Periode Bagian ini menunjukkan bahwa opsi call tipe amerika tidak akan pernah optimal dijalankan sebelum waktu jatuh tempo. Sebagai ilustrasi dimisalkan suatu opsi call tipe amerika dengan waktu jatuh tempo 1 bulan, harga saham berjalan $50 dan harga kontrak $40. Opsi call ini pada posisi in the money, dan pemegang kontrak opsi akan tergoda untuk segera menjalankan opsi callnya. Jika pemegang kontrak opsi menjalankan opsinya, ini bukanlah pilihan yang terbaik. Keuntungan dengan tetap memegang kontrak opsi call, ada peluang harga saham akan semakin meningkat sehingga keuntungan pemegang kontrak opsi call semakin besar. Argumen ini menunjukkan bahwa tidak ada keuntungan menjalankan opsi lebih awal jika investor berniat memegang saham selama sisa waktu ekspirasi. Bagaimana jika investor berpikir harga saham terlalu tinggi ?Apakah menjalankan opsi dan menjual saham pokok merupakan langkah yang tepat?Pada kasus ini lebih baik investor menjual opsi tersebut dibandingkan dengan menjalankannya. Opsi tersebut akan dibeli oleh investor lain yang menginginkan mempunyai



31



saham. Investor seperti ini pasti ada : Jika tidak harga saham sekarang tidak akan mencapai $50. Untuk argumen yang lebih formal, kita gunakan persamaan : c ≥ S0 – Ke-rT Selanjutnya, karena pemilik opsi call amerika mempunyai semua keuntungan untuk mengexercise opsi kapan saja dibanding tipe eropa, diperoleh C ≥ S 0 – KerT



. Dengan nilai r > 0, dan nilai e -rT> 1, diperoleh C > S0 - K. Jika menjalankan



opsi amerika di awal itu adalah tindakan yang optimal, maka C akan sama dengan S0 - K. Dapat kita simpulkan di sini bahwa menjalankan opsi tipe amerika di awal waktu tidak akan pernah optimal. Dapat diringkas di sini, ada dua alasan opsi tipe amerika seharusnya tidak dijalankan di awal waktu. 1. Nilai waktu atas uang. Dari perspektif pemegang kontrak opsi, membayar harga kontrak opsi di akhir lebih bernilai dibandingkan dengan membayar di awal. 2. Jaminan perlindungan dari penurunan harga saham. Sekali opsi call tersebut dijalankan, dan harga kontrak ditukar dengan harga saham, jaminan perlindungan dari penurunan harga saham akan hilang. 3.3.2 Menjalankan Opsi Put Pada Awal Periode Menjalankan opsi put tipe Amerika di periode awal sebelum jatuh tempo dapat menjadi pilihan yang optimal. Untuk opsi put tipe Amerika, disarankan jika kondisi in the money sudah terpenuhi, maka kontrak opsi put segera dijalankan. Sebagai ilustrasi, pandanglah situasi ekstrim sebagai berikut. Misalkan suatu opsi put tipe Amerika mempunyai harga kontrak $10 dan harga saham sekarang $0. Dengan menjalankan kontrak opsi sesegera mungkin, investor tersebut akan mendapatkan keuntungan $10. Jika investor menunggu, keuntungannya kemungkinan menjadi berkurang karena harga saham naik, dan juga keuntungannya tidak mungkin lebih dari $10, karena tidak ada harga saham negatif.Lebih jauh, menerima $10 sekarang lebih disukai dibandingkan



32



menerimanya nanti.Ini menunjukkan bahwa opsi harus sesegera mungkin dijalankan. Seperti opsi call, opsi put juga dapat dipandang sebagai perlindungan bagi investor dari penurunan harga saham dibawah level tertentu. Ada beberapa kondisi dimana menjalankan kontrak opsi put tipe Amerika di awal periode lebih disukai. Hal ini menuntun pada konsekuensi logis, harga opsi put tipe Amerika selalu lebih mahal dibandingkan dengan opsi put tipe Eropa. Latihan Soal 1. Dipunyai opsi put tipe eropa dari suatu saham yang berharga S 0 = $50. Opsi put tersebut mempunyai harga kontrak $40, waktu jatuh tempo 6 bulan. Sedangkan suku bunga bebas resiko dari bank central adalah 5%. Batas bawah dan atas dari harga opsi tersebut adalah a. $10 dan $40 b. $10 dan $39.01 c. $0 dan $40 d. $0 dan $39.01 2. Dipunyai opsi put tipe Eropa dengan waktu jatuh tempo 1 tahun yang dijual seharga $5 dari suatu saham seharga S0 = $25 dengan harga kontrak K = $27.5. Suku bunga bebas resiko satu tahun adalah 6%. Harga opsi call mana yang lebih dekat ? a. $0.00 b. $3.89 c. $4.10 d. $5.00 3. Dipunyai opsi call dan put tipe amerika dari suatu saham yang sama. Kedua opsi tersebut mempunyai waktu jatuh tempo 1 tahun dan harga kontrak $45. Harga saham pada waktu kontrak adalah $50 dan suku bunga tahunan 10%. Selisih harga kedua opsi tersebut adalah a. $4.95 b. $7.95 c. $9.35 d. $12.5 4. Sesuai dengan put call parity opsi Eropa, membeli sebuah opsi put pada saham ABC akan ekuivalen dengan a. Membeli opsi call, saham ABC dan ZCB (Zero Coupon Bond) 33



b. Membeli opsi call, menjual saham ABC dan membeli ZCB (Zero Coupon Bond) c. Menjual opsi call dan saham ABC serta membeli ZCB (Zero Coupon Bond) d. Membeli opsi call, menjual saham ABC dan ZCB (Zero Coupon Bond) 5. Yang mana yang mengakibatkan penurunan nilai opsi call tipe Eropa dari saham XYZ? I. XYZ mengeluarkan stock split 3 untuk 1 II. XYZ meningkatkan dividen tiga bulanan dari $0.15 to $.17 perlembar saham III.



Federal menurunkan menstimulasi ekonomi



suku



IV.



Investor percaya volatilitas saham XYZ menurun a. I dan II b. I dan III c. II dan IV d. II,III, dan IV



34



bunga



0.25%



dalam



rangka



Modul 4 Strategi Perdagangan Opsi Tujuan Pembelajaran dari matakuliah ini adalah : Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa 1. Memahami konsep strategi perdagangan opsi 2. Memahami konsep perbedaan antar strategi Sedangkan capain pembelajaran matakuliah ini adalah agar mahasiswa 1. Mampu menghitung keuntungan dan kerugian strategi opsi 2. Mampu membandingkan kelebihan dan kekurangan antar strategi 3. Mampu menganalisis strategi opsi yang cocok dengan suatu keadaan Para pakar perdagangan opsi telah menciptakan beberapa strategi portofolio bermain opsi dan saham yang dapat kita adopsi. Kebanyakan strategi yang mereka ciptakan dimaksudkan untuk menghindari kerugian yang besar, dengan konsekuensi keuntungan yang mereka peroleh relatif kecil. Bagi pemula dalam perdagangan opsi, disarankan untuk mengikuti beberapa strategi yang akan dibahas dengan harapan menghindari kerugian yang relatif besar. Jika sudah mahir dalam teori dan perdagangan opsi, anda dapat menciptakan satu



atau



beberapa strategi yang mungkin lebih baik dibandingkan dengan strategi-strategi yang sudah ada. Beberapa dari strategi akan kita jelaskan dan ilustrasikan sebagai berikut : 4.1. Protective Put Strategi protective put adalah strategi investasi memegang posisi long (membeli) suatu aset sekuritas, dan melindunginya dengan membeli opsi put sekuritas tersebut. Tujuan dari strategi ini adalah, melindungi aset (saham) dari penurunan harga yang sangat tajam. Strategi ini tetap mengandalkan perolehan keuntungan dari kenaikan harga aset (saham), sedangkan opsi put digunakan hanya untuk berjaga-jaga ketika harga aset (saham) turun. dibutuhkan untuk menjalankan strategi ini adalah S0 + P.



35



Modal yang



Ilustrasi keuntungan dari strategi ini dapat digambarkan sebagai berikut. Selama harga saham dibawah nilai K+P, strategi ini belum mampu memberikan keuntungan. Strategi protektif put ini akan memberi keuntungan jika harga saham di atas K+P. Strategi ini hanya layak dibandingkan dengan strategi membeli saham underlying saja, bukan membandingkannya dengan strategi membeli opsi put. Secara matematis, keuntungan investasi dengan strategi protektif put sebagai berikut : a. Untuk membeli saham dan put dia membutuhkan dana sebesar S0 + P b. Sahamnya pada waktu jatuh tempo akan menjadi ST. Dari opsi put yang dibelinya dia mendapatkan keuntungan sebesar max(0,K-ST). c. Keuntungannya totalnya adalah Profit = -S0–P +ST+ max(0,K-ST) Contoh4.1.Dipunyai strategi protektive (investor mempunyai saham dan melindunginya dengan membeli put seharga P =$3) dengan harga kontrak K = $20 dan S0 = $20. a. Jika pada waktu jatuh tempo, harga saham di bawah harga kontrak K=$20, maka investor dengan opsi put-nya dapat menjual saham dengan harga K =20, dan dia hanya rugi sebesar harga opsi put (P). b. Jika harga saham berada di antara harga K=$20 dan K+P=$23, investor mengalami kerugian bervariasi dari (0,P). Jika harga saham di atas harga K + P =$23, investor mulai mendapat keuntungan. Tabel 4.1. Perbandingan Protektif Put dan Saham



36



Dari ilustrasi tabel di atas dapat kita lihat bahwa strategi protektive put mampu memperkecil resiko investasi, kerugian investasi karena harga saham turun dapat dikontrol hanya sebesar harga opsi put. Berbeda dengan investasi pada saham tunggal, kerugiannya cukup besar mengikuti penurunan harga saham. Tentu saja sebagai akibat pengontrolan resiko tersebut, ada harga yang harus dibayar, yaitu tingkat keuntungan ketika harga saham naik masih dikoreksi dengan harga opsi put. 4.2. Covered call Strategi lainnya yang umum digunakan adalah untuk melindungi dari penurunan harga adalah covered call, yaitu suatu strategi membeli saham dan mengeluarkan atau menjual opsi call atas saham pokok. Strategi ini dilakukan oleh investorketika melihat ada kekuatiran turunnya harga saham, sehingga dia melindunginya dengan menjual opsi call. Secara matematis, keuntungan investasi dengan strategi covered call adalah sebagai berikut : d. Untuk membeli saham dia membutuhkan dana sebesar S 0, dan dari menjual opsi call dia dapat premi C. e. Sahamnya pada waktu jatuh tempo menjadi S T. Dari opsi yang dijualnya itu dia harus menyediakan keuntungan untuk pembelinya sebesar -max(0,ST-K). f. Keuntungan totalnya adalah Profit = ST-S0 + C - max(0,ST-K)



37



Contoh4.2 Berikut ini diberikan contoh strategi covered call : C = 3, K = 50, S0 = 50. Tabel di bawah memberikan ilustrasi keuntungan strategi ini dibandingkan dengan membeli saham saja. Tabel 4.2. Perbandingan Covered Call dan Saham



Jika harga saham pada waktu jatuh tempo ST = 45, maka opsi beli tidak dijalankan, dan investor covered call masih mengalami kerugian 45-50 + 3 = -2. Kerugian ini masih lebih kecil dibandingkan jika investor tidak menjual opsi call, karena dia akan mengalami kerugian sebesar 5.Jika harga saham pada waktu jatuh tempo ST = 55, maka opsi beli dijalankan, dan investor covered call menjual saham seharga K = 50. Investor covered call tidak mendapat keuntungan dari kenaikan harga saham, keuntungannya hanya dari menjual opsi call sebesar 3 . Dari ilustrasi pada tabel di atas, dapat dilihat strategi covered call mampu mengurangi resiko investasi, dan sebagai konsekuensinya keuntungan strategi ini juga lebih terbatas dibandingkan dengan strategi membeli saham saja. Perbandingan : Secara umum Strategi Protektif put lebih bagus/efisien dibandingkan dengan covered call, karena keuntungan Protektif put lebih besar dibandingkan dengan covered call, sedangkan kerugiannya juga lebih kecil. 4.3. Bull Call Spread, Bear Call Spread dan Butterfly Spread



38



Bull Call Spread. Dalamstrategi ini, investor mengkombinasikan pembelian opsi call pada harga kontrak yang rendah, KLow, dan menjual opsi call yang lain (saham sama) pada harga kontrak yang lebih tinggi, KHigh (ingat ! Bukan membeli opsi pada harga kontrak yang rendah dan menjualnya pada harga kontrak yang tinggi). Investor yang menerapkan strategi iniberharap harga saham akan naik, akan tetapi dia tidak percaya kenaikan harga saham akan berada di atas harga KH. Strategi ini didisain untuk mengambil profit dari kenaikan harga saham, sesuai dengan namanya yaitu ”bull” strategy. Investor Amerika mengilustrasikan kondisi bull adalah kondisi harga saham sedang bergairah, harga saham sedang naik, sesuai dengan tanduk banteng yang melengkung ke atas. Harapan saham berada Klow< ST< Khigh



Contoh 4.3.Seoranginvestor membeli opsi call pada harga CLow = 3$ dengan harga kontrak KL = 40. Dia juga menjual opsi call yang lain dengan harga opsi call C High =1 dengan harga kontrak KH = 50 (ingat, harga opsi call dengan harga kontrak yang lebih tinggi, akan lebih murah). Hitunglah keuntungan menerapkan strategi bull call spread ketika harga saham pada saat jatuh tempo ST = 45. Jawab. Secara matematis, keuntungan investasi dengan strategi bull call spread adalah sebagai berikut : g. Untuk membeli opsi call pada harga kontrak yang rendah, investor membutuhkan dana sebesar CL, dan dari



opsi call tersebut, ada



peluang keuntungan sebesar max(0,ST-KL). h. Investor menjual opsi call pada harga kontrak KH, dia mendapatkan uang sebesar CH. Dari opsi yang dijualnya itu dia harus menyediakan keuntungan untuk pembelinya sebesar -max(0,ST-KH). i. Keuntungannya totalnya adalah Profit = max(0,ST-KL)-max(0,ST-KH)-CL+CH Ketika harga saham pada saat jatuh tempo ST = 45, maka keuntungan yang diperolehnya adalah = 5 – 0 – 3 +1 = $3. 39



Ketika harga saham pada saat jatuh tempo ST = 40, maka profit yang diperoleh adalah -2. Ketika harga saham pada saat jatuh tempo ST = 55, maka keuntungan yang diperoleh investor adalah Profit = max(0,ST-KL)-max(0,ST-KH)-CL+CH = 15 –5 – 3 +1 = $8 Bagaimana jika harga saham pada saat jatuh tempo 60? Keuntungan yang diperoleh investor adalah = 20-10-3+1 = $8. Jadi dapat kita simpulkan di sini, ketika harga saham makin naik, keuntungan yang diperoleh dari strategi ini juga makin besar, akan tetapi keuntungan maksimumnya $8.



Tabel 4.3. Perbandingan Covered dan Bull Spread



Apabila kita lihat analisa keuntungan menggunakan strategi Bull di atas, maka resiko investasi dapat diminimalisir, sementara itu investor masih bisa berharap untuk mendapatkan keuntungan yang relatif baik. Akan tetapi jika dibandingkan dengan strategi hanya membeli opsi call pada harga kontrak KLow, terlihat lebih strategi Bull Spread kurang begitu menarik. Bear Call Spread. Selain strategi bull call spread, para peneliti mengembangkan juga strategi bear call spread. Pada strategi ini, investor membeli opsi call dengan harga kontrak yang relatif tinggi KHigh dan menjual opsi call yang lainnya pada harga kontrak yang relatif rendah K Low . Strategi ini dirancang untuk mengambil keuntungan dari penurunan harga saham, sesuai dengan namanya yaitu ”bear” 40



strategy. Investor Amerika mengilustrasikan kondisi bear adalah kondisi harga saham sedang bergerak turun, sesuai dengan beruang yang menghujamkan cakarnya menukik ke bawah.



Contoh 4.4. Seorang investor menerapkan strategi bear call spread dengan membeli opsi CH = 1$ pada harga kontrak K H = 50 dan menjual opsi CL = 3 pada harga kontrak KL = 40. Hitung keuntungan investor ketika harga saham pada saat jatuh tempo = 40. Jawab. Keuntungan strategi ini dapat diberikan sebagai berikut: Profit = max(0,ST-KH)-max(0,ST-KL)+CL-CH Ketika harga saham pada saat jatuh tempo = 40, maka profit investor adalah = 0 – 0 + 3 -1 = $2. Demikian juga ketika harga saham pada saat jatuh tempo = 35, keuntungan investor juga = 0-0+3-1 = $2. Dapat diambil kesimpulan di sini, keuntungan investasi menggunakan strategi ini adalah 2. Sekarang kita lihat ketika harga saham pada saat jatuh tempo = 55, keuntungan investasi adalah Profit = max(0,ST-KH)-max(0,ST-KL)+CL-CH = 5 –15 + 3-1 = -$8 Jadi dapat kita simpulkan di sini, ketika harga saham makin tinggi, kerugian dari strategi ini juga makin besar. Tabel 4.3. Perbandingan Covered dan Bull Spread



41



Butterfly Spread.Berikutnya akan kita perkenalkan dengan strategi perdagangan opsi yang melibatkan tiga macam transaksi. Strategi ini dinamakan dengan butterfly spreads. Strategi ini melibatkan pembelian opsi pada harga kontrak rendah KL, dan juga pembelian opsi pada harga kontrak tinggi K H, serta menjual 2 opsi call pada harga kontrak medium KM. Investor dari strategi butterfly spread ini berharap harga saham akan tetap dekat pada angka KM. Keuntungan total dari strategi ini adalah Profit = max(0,ST-KL)-2max(0,ST-KM)+max(0,ST-KH) - CL+2CM - CH Contoh 4.5.Seorang investor menerapkan stragegi butterfly sebagai berikut: j. Membeli opsi call CL = 7$ dengan harga kontrak KL = 55 k. Membeli opsi call CH = 2$ dengan harga kontrak KH = 65 l. Menjual 2 opsi call CM = 4$ dengan harga kontrak KM = 60 Hitunglah keuntungan investor ketika harga saham pada waktu jatuhtempo sama dengan 60. Profit = max(0,ST-KL)-2max(0,ST-KM)+max(0,ST-KH) - CL+2CM - CH = 5-2.0+0-7+2.4-2 = 4. Bagaimana jika harga saham pada saat jatuh tempo kurang dari atau sama dengan 55 (KL)? Keuntungan dari investasi adalah -1. Sedangkan jika harga saham 65, keuntungan dari investasi



= 10 –2*5+0-7+2*4-2 = -$1



Berikut tabel perhitungannya Tabel 4.4. Keuntungan Strategi Butterfly



42



4.4. Straddle, Strangle dan Collar. Straddle. Strategi berikut yang akan kita bahas adalah strategi Straddle. Strategi ini didesain dengan membeli opsi call dan opsi put pada harga kontrak dan waktu ekspirasi yang sama. Keuntungan total adalah Profit = max(0,ST-K)+max(0,K-ST)-C-P Contoh 4.6.Seorang investor opsi menerapkan strategi Straddle dengan membeli opsi call pada harga C = 3$ dengan harga kontrak K = 45, dia juga membeli opsi put seharga P =2 dengan harga kontrak yang sama. Hitunglah keuntungan opsi menggunakan strategi straddle ketika harga opsi pada waktu jatuh tempo 35. Jawab. Pada waktu jatuh tempo harga saham adalah 35, maka diperoleh keuntungan Profit = max(0,ST-K)+max(0,K-ST)-C-P = 0+10 – 3-2 = $5 Ketika harga saham pada waktu jatuh tempo lebih kecil atau sama dengan 40, keuntungan strategi ini sama dengan 0. Ketika harga saham pada saat jatuh tempo sama dengan 55, keuntungan investor menjadi 5. Simulasi keuntungan strategi ini secara lengkap dapat anda lihat pada tabel di bawah ini Tabel 4.5. Perbandingan Call, Put dan Straddle



43



Dapat kita lihat dari tabel keuntungan di atas, strategi ini akan memberikan keuntungan jika harga saham pada waktu jatuh tempo relatif kecil dibawah harga kontrak atau relatif tinggi di atas harga kontrak. Jadi strategi ini didesain jika investor merasa yakin harga saham akan turun atau naik drastis jauh dari harga kontrak. Strangle. Strategi berikutnya yang akan kita perkenalkan adalah strategi strangle. Strategi ini agak mirip dengan strategi straddle, hanya saja strategi ini didesain dengan membeli opsi call dan juga membeli opsi put pada harga kontrak yang tidak sama. Keuntungan totalnya adalah Profit = max(0,ST-KC)+max(0,KP-ST)-C-P Contoh 4.7. Seorang investor opsi menerapkan strategi strangle dengan membeli opsi call seharga C = 1.5$ dengan harga kontrak K C = 42 dan dia juga membeli opsi put seharga P =2 dengan harga kontrak KP = 45. Hitunglah keuntungan opsi dengan strategi strangle ketika harga saham pada saat jatuh tempo 40. Jawab: Keuntungan investor pada saat jatuh tempo adalah Profit = max(0,ST-KC)+max(0,KP-ST)-C-P = 0+5 –1.5-2 = $1.5 Keuntungan investor jika harga saham pada saat jatuh tempo = 35 Keuntungan investor pada saat jatuh tempo adalah



44



Profit = max(0,ST-KC)+max(0,KP-ST)-C-P = 0+10 –1.5-2 = $6.5 Keuntungan investor jika harga saham pada saat jatuh tempo = 50 Keuntungan investor pada saat jatuh tempo adalah Profit = max(0,ST-KC)+max(0,KP-ST)-C-P = 0+8 –1.5-2 = $4.5 Keuntungan investor jika harga saham pada saat jatuh tempo = 43 Keuntungan investor pada saat jatuh tempo adalah Profit = max(0,ST-KC)+max(0,KP-ST)-C-P = 1+2 –1.5-2 = -$0.5 Secara lengkap, keuntungan strategi ini dapat dibuat dalam tabel sebagai berikut : Tabel 4.6. Perbandingan Call, Put dan Strangle



Dapat kita lihat dari tabel keuntungan di atas, strategi ini akan memberikan keuntungan jika harga saham pada waktu jatuh tempo relatif kecil dibawah harga kontrak atau relatif tinggi di atas harga kontrak. Jadi strategi ini didesain jika investor merasa yakin harga saham akan turun atau naik drastis jauh dari harga kontrak. Collar. Strategi berikutnya yang akan kita perkenalkan adalah strategi collar. Strategi ini dijalankan dengan membeli saham underlying, menjual opsi call pada harga kontrak yang relatif tinggi, dan membeli opsi put pada harga kontrak yang lebih rendah. Keuntungan totalnya adalah 45



Profit = ST-S0- max(0,ST-KCall)+max(0,KPut-ST) Contoh 4.7. Seorang investor opsi menerapkan strategi collar dengan 1. membeli saham seharga $40.5 2. menjual opsi call pada harga kontrak Kcall= $50 seharga $9,8 3. membeli opsi put pada harga kontrak Kput = $40 seharga $9,5 Hitunglah keuntungan opsi dengan strategi collar ketika harga saham pada saat jatuh tempo $20. Jawab: Modal awal yang diperlukan adalah 40,2. Pada saat jatuh tempo modalnya menjadi 20 – 0 + (40-20) = 40. Keuntungan investor pada saat jatuh tempo adalah Profit = ST-S0- max(0,ST-KCall)+max(0,KPut-ST) + C-P = 20-40.5 -0+40-20 + 0.3 = -0.2 Keuntungan jika harga saham pada waktu jatuh tempo adalah 50. Jawab: Modal awal yang diperlukan adalah 40,2. Pada saat jatuh tempo modalnya menjadi 50 – 0 + 0 = 50. Keuntungan investor pada saat jatuh tempo adalah Profit = ST-S0- max(0,ST-KCall)+max(0,KPut-ST) + C-P = 50-40.5 -0+0 + 0.3 = 9.8 Secara lengkap, keuntungan strategi ini dapat dibuat dalam tabel sebagai berikut : Tabel 4.7. Perbandingan Call,Put,Collar



46



Dapat kita lihat dari tabel keuntungan di atas, strategi ini akan memberikan keuntungan jika harga saham pada waktu jatuh tempo naik di atas harga kontrak opsi put. Latihan Soal 1. Seorang investor sangat percaya bahwa suatu saham akan berubah secara signifikan selama beberapa bulan ke depan. Akan tetapi arah perubahan harganya tidak diketahui. Pasangan strategi mana yang paling mungkin menghasilkan keuntungan jika pergerakan harga saham seperti yang diharapkan? I. Short Butterfly spread II. Bearish calendar spread III. Long at the money straddle IV. Short Strangle a. I dan III b. I dan IV c. II dan III d. II dan IV Jawab : Strategi short butterfly spread akan menghasilkan keuntungan yang tertinggi dan strategi long straddle juga akan menghasilkan profit yang signifikan jika terdapat volatilitas yang tinggi pada harga saham. Sedangkan short strangle akan mengundang kerugian yang besar jika pergerakan harga saham bergerak terlalu tajam. 2. Strategi mana yang akan menciptakan bear spread? a. Membeli opsi call dengan strike price 45 dan menjual opsi call dengan harga kontrak 50 b. Membeli opsi call dengan strike price 50 dan membeli opsi put dengan harga kontrak 55 c. Membeli opsi put dengan strike price 45 dan menjual opsi put dengan harga kontrak 50 d. Membeli opsi call dengan strike price 50 dan menjual opsi call dengan harga kontrak 45 Strategi bear spread melibatkan pembelian opsi call dengan harga kontrak tinggi dan menjual opsi call dengan harga kontrak yang rendah. 47



3. Seorang investor yakin bahwa suatu saham akan naik atau turun sangat besar dalam beberapa bulan ke depan. Akan tetapi dia cenderung percaya harga saham akan turun. Strategi mana yang terbaik untuk investor ini? a. Protektif put b. At the money strip c. At the money strap d. Kombinasi top vertikal 4. Seorang investor membuat strategi long straddle dengan membeli opsi call April $30 seharga $4 dan put April $30 seharga $3. Jika harga saham pada waktu jatuh tempo $27, berapakah keuntungan dari strategi ini ? a. -$4 b. -$2 c. $2 d. $3 Jumlah dana yang diperlukan untuk menjalankan strategi ini adalah $7. Jika pada waktu jatuh tempo harga saham $27, maka opsi call tidak dijalankan, otomatis keuntungannya nol. Sedangkan menjalankan opsi put akan memberikan keuntungan $3. Jadi nilai dari strategi ini adalah -$4. 5. Dipunyai strategi opsi dimana seorang investor membeli satu opsi beli dengan harga kontrak $55 seharga $7, menjual 2 opsi call dengan harga kontrak $60 seharga $4 dan membeli satu opsi beli dengan harga kontrak $65 seharga $2. Jika harga saham turun menjadi $25, berapakah keuntungan atau kerugian strategi ini? a. -$3 b. -$1 c. $1 d. $2 Jawab. Strategi di atas adalah strategi butterfly spread dimana investor membeli suatu opsi call dengan harga kontrak rendah dan tinggi, dan menjual 2 opsi call dengan harga kontrak diantaranya. Jika harga saham pada waktu jatuh tempo $25, maka semua opsi call tidak dijalankan. Keuntungannya adalah sama dengan -$7-$2+2×$4 = -$1. a. Seorang manager portofolio ingin melindungi portofolio obligasinya dari perubahan suku bunga. Dia ingin membeli opsi put dengan harga kontrak di 48



bawah harga sekarang portofolio untuk melindungi dari kenaikan suku bunga. Dia juga ingin menjual opsi call dengan harga kontrak di atas harga portofolio sekarang untuk mengurangi biaya pembelian opsi put. Strategi apa yang direncanakan oleh manager tersebut? a. Bear Spread b. Strangle c. Collar d. Straddle b. Statement mana dari strategi perdagangan opsi yang tidak benar? i. Long strangle meliputi membeli opsi call dan opsi put dengan harga kontrak yang sama ii. Short bull spread adalah strategi menjual opsi call pada harga kontrak yang rendah dan menjual opsi call lain pada harga kontrak yang lebih tinggi iii. Vertical spread adalah strategi yang dibentuk dengan opsi yang mempunyai waktu jatuh tempo yang berbeda-beda iv. Long butterfly spread dibentuk dengan membeli dua opsi pada harga kontrak yang berbeda dan menjual dua opsi lain pada harga kontrak yang sama. a. i saja b. i dan iii c. i dan ii d. iii dan iv c. Strategi bearish dengan membeli opsi put pada harga kontrak $50 seharga $7, menjual dua opsi put pada harga kontrak $42 masing-masing seharga $4, dan membeli satu opsi put pada harga kontrak $37 seharga $2. Semua opsi put di atas mempunyai waktu jatuh tempo yang sama. Hitunglah keuntungan akhir perlembar saham dari strategi di atas jika harga saham $33 a. $1 per lembar b. $2 per lembar c. $3 per lembar d. $4 per lembar



Modal yang dibutuhkan adalah -7+2.4-2 = -1. Sedangkan keuntungannya adalah 17-2.9+4 = 3. Jadi total keuntungan perlembar saham adalah -1+3 = $2 perlembar. 49



50



Modul 5 Volatilitas Harga Saham Tujuan Pembelajaran dari matakuliah ini adalah : Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa 1. Memahami konsep volatilitas harga saham 2. Memahami konsep volatilitas tersirat suatu opsi Sedangkan capain pembelajaran matakuliah ini adalah agar mahasiswa 1. Mampu menghitung nilai volatilitas suatu saham 2. Mampu menghitung nilai volatilitas tersirat



Volatilitas Harga Saham Volatilitas atau volatilitireturn saham yang dinyatakan dengan σmerupakan standar deviasi dari logreturn saham pada periode tahunan. Volatilitas ini sering digunakan untuk mengukur tingkat resiko dari suatu saham. Nilai volatilitas berada pada interval yang positif yaitu antara 0 sampai dengan tak terhingga (



0     ). Walaupun volatilitas bisa bernilai besar sekali, pada kenyataannya, nilai volatilitas jarang lebih besar dari 1. Nilai volatilitas yang tinggi menunjukkan bahwa harga saham berubah (naik dan turun) dengan range yang sangat lebar. Sedangkan volatilitas dikatakan rendah jika harga saham jarang berubah atau cenderung konstan. Ada dua cara dalam mengestimasi volatilitas, yaitu dengan menggunakan data historis atau historical volatility dan menggunakan informasi volatilitas pasar hari ini atau implied volatility. 5.1 Estimasi VolatilitasHistoris Harga Saham Salah satu metode untuk mengestimasi volatilitas saham berkaitan dengan opsi adalah volatilitas historis, yaitu volatilitas yang dihitung berdasarkan pada harga-harga saham masa lalu, dengan anggapan bahwa perilaku harga saham di masa lalu dapat mencerminkan perilaku saham di masa mendatang.



51



Teknis untuk menghitung volatilitas historis adalah dengan mengambil n+1 harga saham, dihitung nlog returnnya (tingkat keuntungan yang diperoleh dari akibat melakukan investasi) sebagai berikut:



 S  Rt  ln t   S t 1  dimanaSt dan St-1 menotasikan harga pasar saham pada waktu ke t dan t-1. Selanjutnya dihitung rata-rata return saham: Rt 



1 n  Rt n t 1



dan variansi atau kuadrat standar deviasi : s2 



1 n 2   Rt  Rt  n  1 t 1



Volatilitas tahunan dihitung dengan rumus sebagai berikut: n







k



 R  R  t 1



t



2



t



n 1



(5.1)



Dimana k = banyaknya periode perdagangan dalam satu tahun. Jika datanya harian maka periode perdagangannya juga harian, k =252 hari. Jika datanya mingguan, maka periode perdagangannya juga mingguan, k = 52 minggu. Begitu juga dengan data bulanan. Biasanya cukup diambil antara 90 sampai dengan 180 data hari perdagangan untuk teknik estimasi volatilitas. Lambang umum untuk volatilitas saham adalah σ, yang dalam ilmu statistika digunakan untuk melambangkan parameter standard deviasi suatu populasi. Padahal nilai volatilitas dihitung dari sampel, jadi dari sisi penggunaan lambang σ untuk nilai volatilitas seperti menyalahi aturan statistika, akan tetapi perlu diingat bahwa hal ini sudah menjadi kebiasaan bagi para praktisi maupun peneliti opsi. Sebaiknya kita yang perlu menyesuaikan diri dengan perubahan ini. Contoh 5.1.Berikut ini diberikan ilustrasi penghitungan volatilitas menggunakan data historis dari suatu saham. Tabel 5.1.Data harga saham dan return Tanggal



Saham



52



return



ln



return 10/11/200 6 10/12/200 6 10/13/200 6 10/16/200 6 10/17/200 6 10/18/200 6 10/19/200 6 10/20/200 6 10/23/200 6 10/24/200 6 10/25/200 6 10/26/200 6 10/27/200 6 10/30/200 6 10/31/200 6 11/1/2006 :



73.23 75.26 75.02 75.4 74.29 74.53 78.99 79.95 81.46 81.05 81.68 82.19 80.41 80.42 81.08 79.16 :



1.02772 1 0.99681 1 1.00506 5 0.98527 9 1.00323 1 1.05984 2 1.01215 3 1.01888 7 0.99496 7 1.00777 3 1.00624 4 0.97834 3 1.00012 4 1.00820 7 0.97632 : VoL



0.02734 4 -0.00319 0.00505 3 -0.01483 0.00322 5 0.05812 0.01208 0.01871 1 -0.00505 0.00774 3 0.00622 4 -0.0219 0.00012 4 0.00817 3 -0.02397 : 0,3229



5.2 Implied Volatiliti. Sejauh ini, perhatian difokuskan pada penghitungan harga opsi teoritis berdasarkan estimasi parameter-parameternya seperti harga saham dasar, nilai volatilitas, suku bunga bebas resiko dan waktu ekspirasi. Sekarang coba anda lihat apa yang terjadi dalam praktek di pasar bursa, harga opsi pasar kebanyakan akan berbeda dari harga opsi teoritis. Bagaimana ini bisa terjadi?Salah satu alasannya adalah beberapa faktor tidak mengikuti model dengan baik Untuk mengatasi hal ini, kita membutuhkan model yang lebih baik dalam hal estimasi nilai volatilitas. Estimasi volatilitas baru yang akan diperkenalkan di sini adalah implied volatiliti.



53



Implied volatiliti adalah volatilitas pasar yang dipandang lebih realistik dibandingkan dengan volatilitas historis. Di pasar sudah tersedia data harga opsi, harga saham, harga kontrak, dan suku bunga bebas resiko serta waktu jatuh tempo.Tidak ada informasi mengenai nilai volatilitas, walaupun pada kenyataannya ada. Dengan menggunakan formula Black Scholes, nilai volatilitas opsi tersebut akan diestimasi. Untuk mendapatkan nilai volatilitas ini, dapat digunakan metode coba-coba maupun metode-metode ilmiah seperti interpolasi. Contoh5.2.Opsi saham Midwest secara teoritis dihitung menggunakan formula BS adalah 14.98 pence.Dari data, dihitung volatilitas historis 30%.Harga saham Midwest sekarang adalah 148 dan opsi tersebut mempunyai harga kontrak 150.Waktu ekspirasi 180 hari (1 tahun ada 365 hari kalender) dan suku bunga bebas resiko adalah 10%. Jika harga opsi di pasar 17 pence, berapa implied volatiliti dari opsi tersebut? Jawab. Dengan metode trial and error, nilai volatilitas 35,05% bersesuaian dengan harga opsi call teoritis BS sebesar 17 pence. Jadi implied volatiliti pasar untuk saham Midwest pada tanggal tersebut di atas adalah 35.05%. (Anda bisa mencoba memasukkan nilai volatilitas di sekitar 35, setelah mendapat interval yang paling mendekati, anda bisa memfokuskan pada nilai volatilitas antara 3 dan 3,1, dan akhirnya mendapatkan nilai estimasi 35,05% ) Banyak praktisi menyakini menggunakan implied volatiliti lebih informatif dibandingkan dengan volatilitas historis. 5.3. Estimasi Implied Volatiliti Dengan Interpolasi Salah satu metode untuk mengestimasi implied volatilitas adalah metode interpolasi linier.Metode ini cukup sederhana karena menggunakan kesamaan segitiga sebangun.



54



Gambar 5.1 Interpolasi linear untuk volatilitas Misalkan di pasaran dipunyai informasi pasangan harga opsi dan volatilitasnya sebagai berikut: (σn , C(σn); σn+1 , C(σn+1)). Dipunyai juga informasi suatu harga opsi sebesar C(σ*). Ingin dicari volatilitas yang bersesuaian dengan harga opsi tersebut. Dengan menggunakan interpolasi linear dibentuk segitiga besar ABCDE dan berdasarkan sifat 2 segitiga ABC dan ADE diperoleh : AB BC  AD DE



Selanjutnya diperoleh kesamaan dalam harga opsi dan nilai volatilitas sebagai berikut :



 n1   * C   n1   C   *   n1   n C  xn1   C   n  Nilai volatilitas dapat dihitung dari kesamaan di atas.



 *   n 1 



C   n1   C   *  n1   n  C  xn1   C   n 



Contoh5.3. Diketahui harga opsi perusahaan komputer Apple pada tanggal 1 januari 2007 adalah $4, dengan harga saham $ 40, harga kontrak $45, tingkat suku 55



bunga 4%, dan batas waktu opsi 6 bulan. Dengan menggunakan rumus Black Scholes diperoleh harga teoritis : Tabel 5.2. Perbandingan Volatilitas dan Harga Opsi Volatilitas 0,2 0,4 0,5 0,8



Harga opsi 0,8599 2,9528 4,02473 7,4469



Harga opsi di pasar $4. Dari perhitungan rumus BS pada tabel di atas diperoleh 2,9528 ≤ 4 ≤ 4,02473, yang berarti volatilitasnya terletak diantara 0,4 dan 0,5. Dengan menggunakan metode interpolasi diperoleh:



0,5   * 4,02473  4  0,5  0,4 4,02473  2,9528 0,5   *  0,02307 0,5  0,4



 *  0,5  0,002307  0,4936 Jadi dengan menggunakan metode interpolasi linier diperoleh nilai



implied



volatilitas dari harga opsi perusahaan komputer Apple pada tanggal 1 januari 2007 sebesar $4 adalah 49,36%. Estimasi Interpolasi Kuadratik. Dengan menggunakan interpolasi kuadratik dan mengambil pasangan data volatilitas dan harga opsi (0,2;0,8599),(0,4;2.9528), (0,8;7,446) diperoleh persamaan kuadratik sebagai berikut 1.2846 σ 2 +9.69367 σ −1.130 Selanjutnya dengan menyamadengankan 4, kita peroleh σ=0.4939. Jadi dengan metode interpolasi kuadratik diperoleh implied volatiliti sebesar 49,39%. Hasil ini sedikit berbeda dengan metode interpolasi linear. Latihan Soal. 1. Apakah implied volatilitas itu? Bagaimana volatilitas ini dihitung? 2. Carilah nilai implied volatilitas saham Midwest pada soal no 7.2 dengan menggunakan metode Interpolasi linier 56



3. Hitunglah volatilitas harga saham Indosat, Bank Mandiri, dan Astra saat ini. Anda bisa mendownload harga saham ketiganya melalui website yahoo_finance.com atau sumber lainnya. Anda bisa menggunakan data harga saham 3 bulan, atau 6 bulan atau 1 tahun dari sekarang. 4. Bisakah nilai volatilitas suatu saham yang didefinisikan dengan formula (7.1) di atas bernilai negatif ? Atau bernilai lebih besar dari angka 1? 5. Volatilitas dari suatu saham adalah 30% pertahun. Berapakah standard deviasi dari prosentase perubahan harga dalam satu hari?



57



Modul 6 Lemma Ito dan Simulasi Monte Carlo Tujuan Pembelajaran dari matakuliah ini adalah : Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa 1. Memahami konsep model matematika harga saham 2. Memahami konsep penggunaan simulasi dalam penentuan harga opsi Sedangkan capain pembelajaran matakuliah ini adalah agar mahasiswa 1. Mampu menurunkan formula harga saham dari model Lemma Ito 2. Mampu menghitung harga saham dari simulasi model gerak brown 3. Mampu melakukan simulasi monte carlo untuk opsi eropa 4. Mampu melakukan simulasi monte carlo untuk opsi amerika



6.1 Proses Ito Untuk Harga Saham Proses Wiener tergeneralisasi untuk suatu variabel random x dapat didefinisikan dalam dz sebagai dx = adt + bdz dengan a dan b adalah konstan. Model ini tidak cocok digunakan dalam ilmu keuangan untuk menggambarkan pergerakan harga saham. Kenapa proses Wiener tergeneralisir tidak cocok untuk menggambarkan pergerakan harga saham ? Ternyata model ini gagal dalam menangkap aspek kunci dari harga saham, yaitu ketidakpastian dari besarnya harga saham di masa mendatang proporsional terhadap harga saham. Proses ito merupakan proses Wiener tergeneralisir dimana parameter a dan b merupakan fungsi dari nilai variabel underlying x dan waktu t. Proses Ito dapat ditulis secara aljabar sebagai berikut : dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz



(6.1)



di mana dz = ε√dt. Untuk waktu diskrit, dimana Δt0, pada interval waktu yang pendek antara t dan t +Δt, perubahan variabel dari x ke x+Δx adalah Δx = a(x, t)Δt + b(x, t) ε√Δt 58



Diasumsikan bahwa drift dan variansi dari x tetap konstan, masing-masing sama dengan a(x, t) dan b(x, t)2 selama interval waktu antara t dan t + Δt.



Proses Harga Saham Model Wiener tergeneralisis gagal menggambarkan pergerakan harga saham. Karena tidak mampu mengakomodasi perubahan harga saham dipengaruhi oleh harga saham itu sendiri. Jelas bahwa asumsi expected drift rate yang konstan tidak cocok dan perlu diganti dengan asumsi bahwa nilai harapan keuntungan saham (expected return), yaitu expected drift dibagi dengan harga saham adalah constant. Jika S adalah harga saham pada waktu t, maka expected drift rate dari S adalah μS untuk suatu parameter μ yang konstan. Ini berarti bahwa dalam suatu interval waktu yang pendek, Δt, harapan pertambahannya adalah μSΔt. Parameter μ adalah nilai harapan pengembalian (expected rate of return) saham. Selanjutnya jika volatilitas dari harga saham selalu sama dengan nol, maka model ini akan menjadi ΔS = μSΔt Dalam pengertian limit, ketika Δt0, dS = μSdt atau dS/S = μdt.



Dengan



mengambil integral persamaan diferensial di atas antara waktu 0 dan T, kita peroleh hubungan ST = S0eμT



(6.2)



∫ dS/S = μt , t=0 sd T Ln ST – ln S0 = μT ST = S0eμT Dimana S0 dan ST adalah harga saham pada waktu 0 dan T. Persamaan (6.2) menunjukkan bahwa, ketika variansi rate sama dengan nol, harga saham akan tumbuh atau berkembang secara bunga berbunga kontinu dengan rate μ per satuan waktu. Dalam praktek, jelas bahwa harga saham mengandung volatilitas. Asumsi yang masuk akal adalah bahwa variabilitas dari prosentase return dalam suatu periode waktu yang pendek, Δt, adalah sama tanpa memandang harga saham. Dengan kata lain, seorang investor sama tidak pastinya mengenai 59



prosentase return ketika harga saham $50 maupun ketika harga saham $10. Hal ini menuntun kepada pemikiran bahwa standard deviasi dari perubahan dalam periode waktu yang pendek Δt harus proporsional terhadap harga saham dan hal ini menuntun kepada model dS = μSdt + σSdz atau dS/S = μdt + σdz dS/S = μdt + σ√dt ε



(6.3)



dimana µ adalah nilai harapan keuntungan dan σ adalah volatilitas.



6.2 Simulasi Monte Carlo untuk Harga Saham Suatu simulasi Monte Carlo dari proses stokastik dapat digunakan untuk mengembangkan beberapa pengertian alamiah mengenai proses harga saham pada persamaan (6.3). Contoh 6.3.Misalkan bahwa nilai harapan keuntungan dari suatu saham adalah 14% pertahun dan volatilitasnya ( standard deviasi dari return ) 20% per tahun. Dalam notasi kita punya µ = 0.14 dan σ = 0.20. Selanjutnya misalkan Δt = 0.01, yang berarti bahwa perubahan harga saham terjadi dalam interval waktu 0.01 tahun atau 3,65 hari. Dari persamaan (6.3), dipunyai ΔS = 0.14 × 0.01 S + 0.2√0.01 Sε atau ΔS = 0.0014S + 0.02Sε. Dengan mengetahui harga saham sekarang, serta mengambil angka random untuk ε dari software statistik, perubahan harga dapat kita hitung secara dinamik beberapa periode waktu ke depan. Suatu jalur untuk harga saham dapat disimulasikan dengan sampling secara berulang untuk ε dari N(0,1) dan mensubstitusinya ke persamaan (6.3). Perintah atau ekspresi =RAND() di software Excel menghasilkan suatu angka random antara 0 dan 1. Selanjutnya kita dapat menggunakan perintah NORMSINV untuk invers dari distribusi kumulatif



60



normal. Jadi perintah untuk menghasilkan sampel random dari distribusi normal standard dalam Excel adalah =NORMSINV(RAND()). Contoh 6.4. Misalkan dipunyai harga saham sekarang adalah $20. Dari contoh 6.3 dipunyai ΔS = 0,028 + 0,4ε. Untuk periode pertama, diperoleh dari sampel, ε sama dengan 0.52. Dari persamaan (6.3), perubahan harga saham selama periode waktu pertama adalah ΔS = 0.0014 x 20 + 0.02 x 20 x 0.52 = 0.236. Maka 3,65 hari lagi, harga saham menjadi 20 + 0.236 = $20,236. Selanjutnya nilai dari sampel ε untuk periode berikutnya adalah 1.44. Dari persamaan (3), perubahan selama periode waktu kedua adalah ΔS = 0.0014 x 20.236 + 0.02 x 20.236 x 1.44 = 0.611. Jadi, 3,65 hari berikutnya, harga saham menjadi 20,236+0.611 = $20,847; dan begitu seterusnya. Berikut diberikan hasil simulasi pada tabel 6.1 di bawah. Table 6.1. Simulasi harga saham untuk µ = 0.14 dan σ = 0.20 dengan periode waktu 0.01 tahun. Harga Saham Awal Periode 20.000 20.236 20.847 20.518 21.146 20.883 20.603 20.719 20.292 20.617 21.124



Sampel Random untuk ε 0.52 1.44 -0.86 1.46 -0.69 -0.74 0.21 -1.10 0.73 1.16 2.56



Perubahan harga saham Perperiode 0.236 0.611 -0.329 0.628 -0.262 -0.280 0.115 -0.427 0.325 0.507 1.111



6.3Formula Ito Untuk Harga Saham Seorang ilmuwan Jepang, K Ito menemukan hubungan stokastik untuk formula harga saham. Misalkan variabel x mengikuti proses Ito sebagai berikut : dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz, 61



(6.4)



dimana dz merupakan proses Wiener, a dan b adalah fungsi dari x dan t. Variabel x mempunyai drift rate a dan variansi rate b. Ito mengusulkan jika G suatu fungsi dari x dan t, maka dipunyai ekspansi deret Taylor sebagai berikut 2



2



( )



( )



2



( )



δG δG 1 δ G 1 δ G 1 δ G ∆ G= ∆x+ ∆t+ ∆ x2 + ∆ t 2+ ∆x ∆t 2 2 δx δt 2 δ x 2 δ t 2 δxδt



( ) ( )



Dengan mengabaikan suku yang berorder di atas Δt (Δt0, demikian juga dengan suku berorde di atas Δt) diperoleh δG δG 1 δ 2G ∆ G= ∆x+ ∆t+ ∆ x2 2 δx δt 2 δ x



( )



( ) ( )



(6.5)



Selanjutnya dengan melihat persamaan (4), diperoleh Δx = aΔt + bε√Δt , dan persamaan (5) menjadi ∆G =



=



2



( ) ( )(



δG δG 1 δ G ( 2 2 2 2 ∆x+ ∆t+ a Δt +b ε Δt +2 a bε Δt √ Δt ) δx δt 2 δ2 x



( ) ( )



2



δG δG 1 δ G 2 2 ) ∆x+ ∆t+ b ε Δt δx δt 2 δ2 x



( ) ( )



Diketahui E(ε2Δt) = Δt, karena nilai dari E(ε2) = 1.Ini dapat diartikan bahwa nilai ε2Δt mendekati nilai Δt, sehingga diperoleh ΔG =



2



( )



δG δG 1 δ G ( 2 ) ∆x+ ∆t+ b Δt δx δt 2 δ2 x



( ) ( )



(6.6) Dengan mengambil limit dari persamaan (6.9) diperoleh, δG δG 1 δ2G 2 dG= dx+ dt + b dt δx δt 2 δ2 x



( ) ( )



( )



(6.7)



selanjutnya, kita substitusi persamaan diferensial (4) dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz ke persamaan (7)dan diperoleh



(( ) ( ) ( ) ) ( ) 2



dG=



δG δG 1 δ G 2 δG a+ + b dt + b dz 2 δx δt 2 δ x δx



62



(6.8)



Ternyata dapat kita lihat, bahwa proses G juga mengikuti proses Ito, dengan drift rate



δG δG 1 δ 2 G 2 a+ + b dan standard deviasi δx δt 2 δ2 x



( ) ( ) ( )



( δGδx )b



.



Proses G diatas dapat kita aplikasikan untuk model persamaan differensial harga saham. Dipunyai dari persamaan (3), dS = μSdt + σSdz, mempunyai nilaia = μS, dan b = σS. Model harga saham ini merupakan model yang reasonable untuk menggambarkan pergerakan harga saham.



Dengan mengganti persamaan



diferensial dx dengan dS pada persamaan diferensial dG, diperoleh



(( ) ( ) ( ) ) ( ) 2



dG=



δG δG 1 δ G 2 2 δG μS+ + σ S dt+ σS dz 2 δS δt 2 δS δS



(6.9)



Contoh 6.5. Model Harga Saham Lognormal. Sekarang kita akan menggunakan lemma Ito untuk menurunkan proses Ln S. Diketahui model persamaan diferensial harga saham dS = μSdt + σSdz . Jawab. Dari persamaan diferensial harga saham di atas, disederhanakan menjadi dS/S = μdt + σdz. Sisi kanan dari model harga saham sudah tidak mengandung unsur S lagi. Selanjutnya Kita definisikan G = lnS, dan diperoleh δG/δS = 1/S ; δ2G/δS2 = -1/S2 ; δG/δt = 0. Dengan lemma Ito diperoleh



(( ) ( ) ( ) ) ( ) 2



dG=



δG δG 1 δ G 2 2 δG μS+ + σ S dt + σS dz 2 δS δt 2 δS δS



= (μ+0-½σ2)dt + σdz. d lnS = (μ- ½ σ2) dt + σdz ; Karena μ dan σ konstan, persamaan ini mengindikasikan bahwa



G = Ln S



mengikuti proses Wiener tergeneralisir. Proses ini mempunyai drift rate yang konstan (μ-0.5σ2)T dan variansi rate konstan σ2T. Perubahan pada Ln S antara waktu 0 dan T berdistribusi normal dengan mean (μ-0.5σ 2)T dan variansi σ2T. Ini berarti, 63



Dengan mengambil integral dari dua sisi dari 0 sampai dengan t diperoleh t



t



 d ln S (t , S )du    du   dW



u



0







0



ln St  ln S0



1 2  du 2











  t   Wt  12  2t



Jadi solusi dari PDS tersebut terhadap harga saham adalah (



S t =S 0 e μ−0.5σ



2



) t +σ W t



yang mengikuti suatu proses geometric Brownian motion. Selanjutnya dapat dibuktikan juga bahwa Ln ST — Ln S0 ~ N((μ -0.5σ2)T; σ2T) Ln ST



~ N(Ln S0 + (μ -0.5σ2)T; σ2T)



Persamaan di atas menunjukkan kepada kita bahwa Ln ST berdistribusi normal. Suatu variabel mempunyai distribusi lognormal jika log natural dari variabel tersebut berdistribusi normal. Jadi ST berdistribusi lognormal. Model dari perilaku harga saham yang telah kita kembangkan pada bab ini mengimplikasikan bahwa harga saham pada waktu T, berdistribusi lognormal. Standar deviasi dari log harga saham σ√T. Nilai ini sudah proporsional terhadap akar kuadrat panjang waktu yang diinginkan. Selanjutnya diperoleh Ln ST = ln S0 + (µ-0.5σ2)T +σWT



6.4 Metode Monte Carlo Standar Opsi put Eropa Kita dapat memprediksi harga opsi di pasaran dengan berbagai metode.Salah satu metode yang digunakan adalah metode simulasi Monte Carlo. Berikut diberikan algoritma atau langkah-langkah menentukan harga opsi put Eropa menggunakan metode simulasi MC. Misalkan suatu opsi dari suatu saham menghasilkan keuntungan opsi ataupayoff di waktu T. Dengan asumsi suku bunga konstan, kita dapat menilai harga opsi tersebut dengan langkah-langkah : 64



1. Simulasikan lintasan harga saham S secara random 2. Hitung keuntungan opsi 3. Diskontokan ekspektasi payoff pada suku bunga bebas risiko untuk mendapatkan estimasi harga opsi. 4. Ulangi langkah 1-3 sebanyak M kali 5. Hitung rata-rata M harga opsi sebagai harga opsi MC Contoh 6.1.Seperti telah dijelaskan sebelumnya, simulasi harga saham akan menggunakan persamaan (6.3) . Diketahui S0 = 300.000, dan K = 400.000. Dari simulasi tersebut kita dapatkan matriks S berikut : Tabel6.1. Contoh matriks harga saham



Dari simulasi lintasan harga saham, kemudian dihitung keuntungan opsi ataupayoff pada waktu jatuh tempo. Opsi put tipe Eropa menggunakan formula K-ST dengan K=400.000 adalah harga kontrak. Tabel 6.2 Matriks payoff opsiEropa



65



Sebagai contoh, nilai 148.621 pada tabel diatas didapat dari 400.000 -251.379.Nilai 0 pada tabel 6.2 di atas diperoleh karena harga saham lebih besar dibandingkan harga eksekusi (S ≥ K). Dari tabel 6.2 keuntungan opsi di atas, kemudian dihitung harga opsi dengan mendiskonto semua payoff kewaktu t0dan mengambil nilai rata-rata sebagai harga opsi simulasi MC. Tabel 6.3. Perhitungan diskonto ditiap-tiap lintasan untuk opsi put Eropa.



Maka estimasi harga opsi simulasi monte carloadalah



66



0  144.952  60.652  0  0  0  87.556  0  114.697  0 10 407.857  10  40.786 



Dari hasil perhitungan, didapat bahwa estimasi nilai opsi put sebesar 40.786. Artinya, harga wajar menurut hasil perhitungan dengan metode Monte Carlo Standar dari sebuah opsi put Eropa dengan data parameter yang telah diberikan adalah sebesar 40.786.Hasil di atas diperoleh dari simulasi singkat dan sederhana.Tentu saja untuk kondisi yang real di perdagangan sehari-hari, anda membutuhkan perulangan yang banyak dan untuk masing-masing lintasan terdapat banyak perubahan harga saham.



6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi Put Amerika (Sub bab ini ditulis bersama Andri Laksono Wibowo) Pada sub bab ini dijelaskan metode MCKTyang digunakan untuk mengaproksimasi harga opsi put Amerika. Metode ini terdiri dari tiga tahap sekuensial, pertama adalah mensimulasikan lintasan dari harga saham, menghitung matriks keuntungan opsi, menghitung waktu optimal eksekusi untuk tiap-tiap lintasan dan yang terakhir adalah menentukan harga opsi. Sebelum contoh penerapan akan diberikan skema sederhana metode MCKT ini. Algoritma Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Berikut adalah skema ilustrasi metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil yang telah dijelaskan : 1. 2.



Simulasi short rate Simulasi harga saham menggunakan input dari nilai short rate yang



3. 4.



telah disimulasikan terlebih dahulu Menghitungkeuntungan opsi pada tiap-tiap waktu tiap lintasan Menghitung waktu optimal untuk mengeksekusi opsi amerika a. Menentukan nilai YT-1 = e-rtfT , nilai diskonto keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo T ke waktu T-1, untuk semua lintasan . 67



b. Meregresikan YT-1 dengan nilai ST-1 dan rT-1 , selanjutnya diperoleh nilai YT-1(hat). c. Bandingkan nilai YT-1(hat) dengan fT-1. Jika nilai YT-1(hat) > fT-1 opsi tidak segera dieksekusi, dilanjutkan karena nilai harapannya lebih besar, dan sebaliknya. d. Ulangi proses 4-7 sampai waktu t =1. e. Untuk masing-masing lintasan diperoleh waktu yang optimal dan keuntungan opsi pada waktu tersebut. Harga opsi untuk masingmasing lintasan adalah nilai diskonto dari keuntungan optimal 5.



tersebut. Hitung rata-rata harga opsi semua lintasan sebagai harga opsi MCKT.



Contoh Penerapan Misalkan terdapat sebuah opsi put Amerika dengan assetinduk berupa saham. Diketahui S0= $30, σ = 30% dan tingkat hasil dividen sebesar 2%. Opsi tersebut dapat dieksekusi pada harga K = $40 pada saat t1, t2, dan t3, dimana saat t3adalah masa berakhirnya hak opsi, jadi panjang intervalnya adalah 1/3.Diketahui pula bahwa tingkat suku bunga bebas risiko saat ini adalah sebesar 2% ,memiliki volatilitas sebesar 5%. Simulasi akan dilakukan sebanyak 10 kali. Berikut ini langkah demi langkah bagaimana metode MCKT menentukan harga opsi put Amerika. Langkah 1 : Simulasi harga saham Seperti telah dijelaskan sebelumnya, simulasi harga saham Diperoleh hasil sebagai berikut :



Simulasi



Tabel6.4. Contoh matriks harga saham



1 2 3 4 5



S1 35.8715 24.4769 37.4912 26.5729 36.4138 68



Waktu S2 36.0240 26.4284 42.6973 40.3955 48.3065



S3 40.3944 25.1379 33.7813 45.7694 52.6561



danshort rate.



6 7 8 9 10



23.6772 29.8120 35.4810 25.9262 33.1194



32.9832 29.2504 39.5449 25.4813 30.4204



41.4610 31.0227 51.2307 28.2399 40.3741



yang terkait dengan matriks r berikut : Tabel 6.5. Contoh matriks short rate r1 0.0287 0.0287 0.0177 0.0248 0.0208 0.0204 0.0145 0.0190 0.0251 0.0255



Simulasi



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



Waktu r2 0.0325 0.0296 0.0239 0.0174 0.0200 0.0229 0.0083 0.0111 0.0313 0.0322



r3 0.0308 0.0305 0.0222 0.0173 0.0301 0.0250 0.0161 0.0102 0.0350 0.0262



Nilai 0.0287 (2,87%) pada baris dan kolom pertama matriks diatas didapat dari perhitungan berikut r  ti 1    0.02  .e



 3   0.08  1  e 0.02 13   0.05 1  e     



0.02 1







 3



2. 0.02  . 1



2.  0.02 







. 2



Nilai  2 yang terambil pada perhitungan tersebut adalah 0.8644. Selanjutnya nilai 0.0287, digunakan untuk mendapatkan nilai 35.8715 pada baris dan kolom pertama matriks harga saham. Yaitu  



S  ti 1   50.exp    



 0.3  0.0209  0.02  2



2  



  0.31 1  . 3 3 



  1



Nilai 1 yang terambil pada perhitungan tersebut adalah 0.316. Langkah 2 : Menghitung matriks payoff



69



Dari matriks S yang diperoleh, kemudian dihitung matriks payoff yang didapat apabila opsi dieksekusi segera dimasing-masing waktu yang ada dengan menggunakan formula



F  S j  t i    E  S j  ti 



dengan K = $40.



Simulasi



Tabel 6.6. Matriks payoff jika opsi dieksekusi segera



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



f1 4.1285 15.5231 2.5088 13.4271 3.5862 16.3228 10.1880 4.5190 14.0738 6.8806



Waktu f2 f3 3.9760 0 13.5716 14.8621 0 6.2187 0 0 0 0 7.0168 0 10.7496 8.9773 0.4551 0 14.5187 11.7601 9.5796 0



Sebagai contoh, nilai 4.1285 pada tabel diatas didapat dari $40 - 35.8715.Nilai 0 pada Tabel 3.6 di atas diperoleh karena harga saham lebih besar dibandingkan harga eksekusi (S≥K).Contohnya nilai 0 pada baris pertama dan kolom ketiga, $40.3944>$40. Tujuan yang ingin dicapai pada langkah 2 ini adalah untuk menemukan waktuoptimal yang memaksimumkan keuntungan opsi di tiap-tiap lintasan.Untuk tujuan tersebut, metode MCKT bekerja dari belakang (backward).Jika opsi put dalamkondisi in the money pada saat t2, pemegang opsi harus memutuskan apakah mengeksekusi pada saat tersebut atau menunggu hingga t3. Perlu diingat bahwa pada langkah ini hanya akan digunakan lintasan yang in the money karena membuat fungsi ekspektasi bersyarat dapat diestimasi lebih baik, dan hal ini juga meningkatkan efisiensi algoritma MCKT. Dari Tabel 3.6 yang merujuk pada matriks harga saham pada Tabel 3.4 dapat kita simpulkan bahwa terdapat 7 lintasan yang berada dalam kondisi in the money pada t2. 70



Misalkan S2menyatakan harga saham pada t2dan r2menyatakan short rate



Y2



pada t2. Hitung



sebagai diskonto f3dari t3 ke t2apabila opsi tidak dieksekusi



pada t2. Formula dan hasilnya adalah sebagai berikut Tabel 6.7.Formula Y2 Lintsn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



f3



r3



0 14.8621 6.2187 0 0 0 8.9773 0 11.7601 0



0.0308 0.0305 0.0222 0.0173 0.0301 0.0250 0.0161 0.0102 0.0350 0.0262



Rumus Y2 e-r3(1/3)*f3 0*exp(-0.0308*(1/3)) 14.8621*exp(-0.0305*(1/3)) 6.2187*exp(-0.0222*(1/3)) 0*exp(-0.0250*(1/3)) 8.9773*exp(-0.0161*(1/3)) 0*exp(-0.0102*(1/3)) 11.7601*exp(-0.0350*(1/3)) 0*exp(-0.0262*(1/3))



Y2 0 14.712 6,17285 0 8.9292 0 11.6238 0



Selanjutnya regresikan data Y2 sebagai variabel tak bebas (dependent) terhadap S2,r2sebagai regressor. Matriks X sesuai dengan persamaan (3.4) pada data regresi tabel adalah 1



S



 1 36.0240 0.0325 



 1 26.4284 0.0296 



 1 32.9832 0.0229



 X 1  1 1  1 



Dari



29.2504 0.0083 39.5449 0.0111 25.4813 0.0313 30.4204 0.0322



matriks



S2



r



X diatas



r2



 36.0240  2  26.4284  2  32.9832  2  29.2504  2  39.5449  2  25.4813 2  30.4204  2



kemudian



ekspektasibersyarat sebagai berikut



71



S *r



 0.0325  2  0.0296  2  0.0229  2  0.0083  2  0.0111 2  0.0313 2  0.0322  2



dapat



 36.0240   0.0325    26.4284   0.0296    32.9832   0.0229    29.2504   0.0083   39.5449   0.0111  25.4813   0.0313   30.4204   0.0322 



dihitung



koefisien



fungsi







' µ  ti   X  ti  X  ti 



   



    







1



X  ti  y  t i  '



355.2579  19.4697  1666.9192  0.2575  20304.5973  74.8020 



ˆ  355.2579  19.4697 S  1666.9192r  0.2575S 2 Y 2 2 2 2  20304.5973r2 2  74.8020S2 r2



Hasilnya, kita mendapatkan



aproksimasi fungsi ekspektasi bersyarat berikut:



Persamaan (3.8) merupakan aproksimasi fungsi ekspektasi bersyarat untuk keseluruhan kemungkinan lintasan pada



t2



menuju



t3



dengan menggunakan



sampel data tabel 3.7 yang hanya sebanyak 7 lintasan. Oleh karena itu, semakin banyak sampel lintasan yang diambil akan semakin akurat hasil yang diperoleh. Bandingkan nilai Y2(hat) dengan f2. Jika nilai Y2(hat) > f2 opsi tidak segera dieksekusi, dilanjutkan karena nilai harapannya lebih besar, dan sebaliknya. Berikut diberikan table perbandingan keuntungan segera dan keuntungan opsi apabila dilanjutkan Tabel 6.8. Nilai immediate exercise dan continuation saat t2 . Lintasan 1 2 3 4 5 6 7 8



f2 3.9760 13.5716 7.0168 10.7496 0.4551



Y2(hat) -0.0283 11.9277 0.8706 8.9812 -0.1977 72



keputusan eksekusi di t2 eksekusi di t2 eksekusi di t2 eksekusi di t2 eksekusi di t2



9 10



14.5187 9.5796



13.9163 -0.2048



eksekusi di t2 eksekusi di t2



Pada lintasan pertama, nilai 3.9760 pada kolom kedua adalah hasil dari $40-$36.0240, sedangkan nilai -0.0283pada kolom ketiga adalah hasil substitusi S2 = 36.0240 dan r2= 0.0325 kedalam persamaan (3.8). Pada lintasan pertama, nilai ekspektasi masa datang sebesar 0, lebih kecil dibandingkan nilai 3.9760 yang didapat apabila opsi dieksekusi pada saat t2 , sehingga mengeksekusi opsi pada t2 dilintasan pertama adalah keputusan optimal. Dari tabel 3.8,terlihat bahwa semua keputusan optimal pada saat



t2



. Hal



ini membuat kita mendapatkan matriks pada tabel 3.9. Pada matriks tersebut, opsi yang dieksekusi pada saat



t2



, fungsi keuntungannya pada



t3



harus bernilai 0,



karena opsi hanya dapat dieksekusi satu kali sepanjang masa opsi berlaku. Tabel 6.9.Matriks payoff hasil perbandingan t2 dan t3. t1 -



t2 3.9760 13.5716 0 0 0 7.0168 10.7496 0.4551 14.5187 9.5796



t3 0 0 6.2187 0 0 0 0 0 0 0



Langkah selanjutnya, kita lakukan kembali proses metode MCKT langkah kedua yang sama diatas pada waktu



t1



, untuk menentukan apakah opsi harus dieksekusi



pada waktu t1 .



73



kemudianY1 = e-rt f2 menyatakan diskonto keuntungan opsi pada waktu t 2 ke t1apabila opsi tidak dieksekusi. Selanjutnya regresikan Y1 dengan S1 dan r1 dan didapatkoefisien estimasi fungsi fungsi ekspektasi bersyarat seperti berikut.







' ˆ  ti   X  ti  X  ti 



  







1



X  ti  y  t i  '



18.1121  1.9833 



  3398.3536    0.0231   111165.1574    46.8977  Hasilnya, kita mendapatkan aproksimasi fungsi ekspektasi bersyarat berikut



yˆ1  18.1121  1.9833S1  3398.3536 r1  0.0231S12  111165.1574r12  46.8977 S1r1 Selanjutnya akan dibandingkan payoff yang didapat jika mengeksekusi pada



t1



(immediate exercise), yang ditunjukkan pada kolom kedua tabel 3.11, dengan nilai ekspektasi payoff (continuation) yang diberikan pada kolom ketiga tabel 3.11.dengan aturan jika nilai Y1(hat) > f1 opsi tidak segera dieksekusi, dilanjutkan karena nilai harapannya lebih besar, dan sebaliknya.



t Tabel 6.10. Perbandingan nilai immediate exercise dan continuation saat 1 . Lintasan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



F1 4.1285 15.5231 2.5088 13.4271 3.5862 16.3228 10.1880 4.5190 14.0738 6.8806



Y1(hat) 5.3446 13.9344 3.6216 7.7228 1.6534 6.4320 10.5745 3.4076 8.2549 4.5321 74



keputusan lanjutkan hak eksekusi di t1 lanjutkan hak eksekusi di t1 eksekusi di t1 eksekusi di t1 lanjutkan hak eksekusi di t1 eksekusi di t1 eksekusi di t1



Dari tabel 3.10, terlihat bahwa, keputusan optimal mengeksekusi di



t1



terjadi pada



lintasan ke 2, 4, 5, 6, 8, 9 dan 10.Hal ini membuat kita mendapatkan matriks payoff berikut. Tabel 6.11. Matriks payoff lintasan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



t1 0 15.5231 0 13.4271 3.5862 16.3228 0 4.5190 14.0738 6.8806



t2 3.9760 0 0 0 0 0 10.7496 0 0 0



t3 0 0 6.2187 0 0 0 0 0 0 0



Pada Tabel 3.11, dilintasan kedua, keempat, kelima, keenam, delapan, sembilan dan sepuluh keputusan optimal untuk mengeksekusi opsi terjadi pada t 1. Sedangkan untuk lintasan pertama dan ketujuh terjadi pada t2.Untuk lintasan ketiga, keputusan optimal terjadi pada saat terakhir opsi berlaku yaitu t3.



Langkah 3 : Menentukan nilai opsi Dari matriks payoff Tabel 3.12 tersebut, kemudian nilai opsi dapat diperoleh dengan mendiskonto semua payoff ke saat t0dan merata-ratakannya dengan banyaknya lintasan seperti pada tabel 3.13 berikut. Tabel 6.12. Perhitungan diskonto ditiap-tiap lintasan untuk opsi put Amerika. Lintasa n 1 2 3 4 5



Rumus nilai diskonto 3.9760*exp(-0.0325*(1/3)+(-0.0287*(1/3))) 15.5231*exp(-0.0287*(1/3)) 6.2187*exp(-0.0222*(1/3)+(-0.0239*(1/3))+(0.0177*(1/3))) 13.4271*exp(-0.0248*(1/3)) 3.5862*exp(-0.0208*(1/3)) 75



Nilai diskonto 3.8957 15.3751 6.0878 13.3166 3.5614



6 7 8 9 10



16.3228*exp(-0.0204*(1/3)) 10.7496*exp(-0.0083*(1/3)+(-0.0145*(1/3))) 4.5190*exp(-0.0190*(1/3)) 14.0738*exp(-0.0251*(1/3)) 6.8806*exp(-0.0255*(1/3))



16.212 10.6682 4.4904 13.9568 6.8223



Pada lintasan pertama, opsi dieksekusi pada t2, sehingga nilai 3.9760 darimatriks payoff (Tabel 3.12) didiskonto ke t0 (saat ini). Diketahui dari matriks short rate (Tabel 3.5), nilai short rate lintasan pertama pada t2adalah 0.0325 (3,25%) dan t1adalah 0.0287 (2.87%). Nilai saat ini dari 3.9760 adalah 3.9760.e



  



 



0.0325. 1  0.02387. 1 3 3



 3.8957



Maka estimasi nilai opsi yang diperoleh adalah







94.3863  9.4386 10



Dari hasil perhitungan, didapat bahwa estimasi nilai opsi sebesar $9.4386.Artinya, harga wajar menurut hasil perhitungan dengan metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil dari sebuah opsi dengan data parameter yang telah diberikan adalah sebesar $9.4386.



76



Modul7 Model Black-Scholes-Merton Tujuan Pembelajaran dari matakuliah ini adalah : Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa 1. Memahami konsep model harga saham BSM 2. Memahami konsep penentuan harga opsi model BSM 3. Memahami konsep formula harga opsi BSM Sedangkan capain pembelajaran matakuliah ini adalah agar mahasiswa 1. Mampu menurunkan formula Opsi Call model BSM 2. Mampu menurunkan formula Opsi Put model BSM 3. Mampu menghitung harga opsi call model BSM 4. Mampu menghitung harga opsi put model BSM



7.1 Formula Harga Opsi Model Black Scholes 7.1.1. Distribusi Probabilitas Harga Saham Model



yang



digunakan



untuk



mengembangkan



model



BSM



mengasumsikan harga saham berdistribusi lognormal. Dengan menggunakan sifat transformasi variabel random, diketahui bahwa ln dari variabel random berdistribusi lognormal akan berdistribusi normal, jadi diperoleh ln harga saham berdistribusi normal sebagai berikut



( ( ) 2



ln S T



σ N ln S 0+ μ− T , σ2T 2



Dimana ST



= harga saham pada waktu T



S0



= harga saham pada waktu 0



µ



= harapan keuntungan saham per tahun



σ



= volatilitas saham pertahun



77



)



(7.1)



Contoh7.1. Penghitungan mean and standard deviasi. Misalkan suatu saham mempunyai harga awal S0 = $25, harapan tingkat pengembalian 12%, dan volatilitas tahunan 20%. Hitunglah mean dan standard deviasi dari distribusi harga saham dalam 3 bulan ke depan. Jawab. Diketahui bahwa T = 3/12 = 0.25 tahun. Distribusi harga saham 3 bulan ke depan mengikuti



[(



(



ln S T N ln 25+ 0.12−



) )



0.22 0.25 , 0.22 × 0.25 2



]



Ln ST~N(3.244; 0.1). Karena Ln STberdistribusi normal, 95% nilai-nilainya akan berada dalam interval 1.96 standard deviasi dari mean-nya. Jadi, Ln STakan terletak antara 3.244 ± 1.96*0.1, atau exp3.244-1.96*0.1< ST< exp3.244+1.96*0.1 21.073 < ST< 31.187. Contoh 7.2Distribusi return. Misalkan suatu saham mempunyai harapan pengembalian tahunan 12% dan volatilitas tahunan 20%. Hitunglah mean dan standard deviasi dari distribusi probabilitas untuk rata-rata tingkat pengembalian majemuk kontinu selama 4 tahun. Jawab. Dari data yang disebutkan sebelumnya, kita dapat menghitung mean =   2  1



dan



2



= 0.12-0.22/2 = 0.10,



 standard deviasi = T



= 0.2/√4 = 0.10.



7.1.2 Expected Value. Dengan menggunakan sifat dari distribusi lognormal (ingat kembali ekspektasi distribusi normal dan lognormal), ST akan berdistribusi lognormal dan kita dapat menunjukkan bahwa nilai harapan dari ST , E ( S T ) =e



(



ln S0 + μ−



2



)



σ 1 2 T+ σ T 2 2



=S 0 e μT 78



Sedangkan variansinya adalah Var(ST)= S02 e2μT (eσ^2*T - 1) dimana µ = nilai harapan tingkat pengembalian. Contoh 7.3.Nilai harapan harga



saham. Misalkan suatu saham sekarang



berharga 25 dengan nilai harapan pengembalian tahunan 20% dan volatilitas 40%. Hitunglah nilai harapan harga saham 6 bulan ke depan.



Jawab. Nilai harapan harga saham dapat dihitung sebagai berikut E(ST)



= $25*e0.2*0.5 = $27.63.



Hasil ini cocok dengan definisi dari µsebagai nilai harapan tingkat pengembalian. Nilai variansi dari ST , var(ST), dapat ditunjukkan Var(ST)



= S02 e2μT (eσ^2*T - 1) = 625*e2*0.2*0.5*(e0.2*0.2*0.5-1) = 63,58.



Contoh 7.4. Misalkan suatu saham dimana harganya adalah $20, dan nilai harapan pengembaliannya adalah 20% pertahun serta volatilitas 40% per tahun. Dapat dihitung nilai-nilai harapan dan variansi E(ST) = 20*e0.2*1 = 24.43 dan Var(ST) = 400* e2*0.2*1 *(e0.4*0.4*1 -1) =103.54. Standard deviasi harga saham dalam 1 tahun adalah $10,18.



7.1.3 Distribusi Return Saham



79



Sifat lognormal dari harga saham dapat digunakan untuk mencari informasi distribusi probabilitas return saham atau tingkat pengembalian majemuk kontinu dari suatu saham antara waktu 0 dan T. Jika kita mendefinisikan tingkat pengembalian majemuk kontinu antara waktu 0 dan T sebagai x, maka diperoleh ST= S0exT Sehingga x=



1 ST ln T S0



Dari persamaan (7.1) diketahui jika ln ST berdistribusi normal dengan mean lnS 0 + (μ-σ2/2)T dan variansi σ2T, maka dapat dibuktikakn juga bahwa x berdistribusi normal dengan mean E(X)



(



1 ST 1 ln = E ( ln ST −ln S0 ) T S0 T



)



=



E



=



1 E ( ln S T ) −ln S 0 ] T[



=



μ−



σ2 2



Dan variansinya adalah V(X) = V =



(



1 ST 1 ln = V ( ln S T −ln S 0 ) T S0 T2



)



σ2 T



Sehingga dapat dituliskan X~N(μ-σ2/2,σ2/T) Jadi,tingkat pengembalian majemuk kontinu pertahun berdistribusi normal dengan mean (μ-σ2/2)dan standard deviasi σ/√T. Selanjutnya, dapat dihitung persamaan : E (ST) = S0eµT Ln E (ST) = ln S0 + μT



80



Mungkin kita tergoda untuk membuat manipulasi aljabar Ln E (ST) = ELn (ST), sehingga E [Ln (ST)-ln S0] = μT, atau E [Ln (ST/S0 )] = μT, yang akan menuntun kita pada E(R) = μ. Kita tidak dapat melakukan hal tersebut karena ln bukan fungsi linear. Faktanya adalah Ln E (ST) > ELn E(ST), sehingga E[ln(ST/S0)]