Persamaan Kuadrat - LKPD Pertemuan 3 - KD.3.2 Kelas 9 (Ganjil) [PDF]

Citation preview

KOMPETENSI DASAR



****** 3.2



Menjelaskan persamaan kuadrat dan karakteristiknya berdasarkan akar-akarnya serta cara penyelesaiannya



******



TUJUAN PEMBELAJARAN



1. Menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan kuadrat berdasarkan koefisien-koefisiennya. 2. Menyusun suatu persamaan kuadrat



******



PETUNJUK PENGERJAAN



1. Setiap siswa diharuskan menyelesaikan seluruh permasalahan yang disajikan dalam LKPD yang diberikan. 2. Tuliskan jawaban pada lembaran kertas atau buku tugas 3. Tuliskan identitas diri pada lembaran jawaban 4. Setelah waktu selesai, setiap peserta didik dapat mengumpulkan scan / foto hasil jawaban melalui link google drive yang disediakan. 5. File diberi nama dengan format : Namalengkap-kelas 6. Selama mengerjakan jika terdapat permasalahan yang tidak dapat dipahami, peserta didik diperbolehkan bertanya pada pendidik.



Kegiatan 1



MENENTUKAN JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat



1A.



Berdasarkan rumus kuadratik diketahui bahwa 𝑥1 =



− 𝑏−√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 2𝑎



dan 𝑥2 =



− 𝑏+√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 2𝑎



Maka : 1) Jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah : − 𝑏 − √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏 + √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 + 2𝑎 2𝑎 −2𝑏 𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑎 −𝒃 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝒂 𝑥1 + 𝑥2 =



2) Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah : 𝑥1 𝑥2 =



− 𝑏 − √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏 + √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 × 2𝑎 2𝑎



𝑏 2 − (𝑏 2 − 4𝑎𝑐) 4𝑎2 4𝑎𝑐 𝒄 𝑥1 𝑥2 = = 4𝑎2 𝒂 𝑥1 𝑥2 =



KESIMPULAN : Rumus Jumlah akar-akar persamaan kuadrat Rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat



: :



𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝒙𝟏 𝒙 𝟐 =



𝒄 𝒂



−𝒃 𝒂



Mencoba Menentukan Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat



1B.



PERATIKAN CONTOH BERIKUT INI ! Pada persamaan −4𝑥 2 + 𝑥 + 3 = 0, 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 adalah akar-akar persamaan tersebut. Cobalah untuk mentukan nilai : a. 𝑥1 + 𝑥2 b. 𝑥1 . 𝑥2 c. −3𝑥1 − 3𝑥2 Jawab : 



Pada persamaan −4𝑥 2 + 𝑥 + 3 = 0 Nilai a = -4







Nilai b = 1



Nilai c = 3



Maka : 𝒃



𝟏



a. 𝑥1 + 𝑥2



= −



b. 𝑥1 . 𝑥2



=



c. −3𝑥1 − 3𝑥2



= −3𝑥1 − 3𝑥2



= − (−𝟒) =



𝑎 𝟑 (−4)



= −



𝟏 𝟒



𝟑 𝟒



= −3(𝑥1 + 𝑥2 ) 𝑏



= -3 (− 𝑎) 𝟏



3



= -3 (− (−𝟒)) = (− 4)



1C.



Latihan Soal Menentukan Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat



Pada persamaan 2𝑥 2 − 5𝑥 − 7 = 0 , 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 adalah akar-akar persamaan tersebut. Cobalah untuk mentukan nilai : a. 𝑥1 + 𝑥2 b. 𝑥1 . 𝑥2



c. 4𝑥1 . 7𝑥2 d. e.



1



1



𝑥1



+𝑥



2



𝑥1 2 + 𝑥2 2



Jawab : 



Pada persamaan 2𝑥 2 − 5𝑥 − 7 = 0 Nilai a = …







Nilai b = …



Nilai c = …



Maka : …



…



a. 𝑥1 + 𝑥2



= −



b. 𝑥1 . 𝑥2



=



c. 4𝑥1 . 7𝑥2



= 4 × … × … × 𝑥2



= −… =



𝑎 …



…



…



=



𝑎



…



…



= (4 × … )(… × 𝑥2 ) …



= (4 × … ) (…)



d.



1 𝑥1



+



1 𝑥2



…



=



(4 × … ) ( ) …



=



…



= =



…+…



𝑥1 ×… −



…



𝑎



…



𝑎 …



=



=



… … …



e. 𝑥1 2 + 𝑥2 2



…



…



…



…



×( ) = … …



= (𝑥1 + … )2 − 2(… × … ) … 2



…



= (− 𝑎 ) − … × 𝑎 … 2 … = ( ) − …× … …



=



… …



+ …



=



…+… …



=



… …



Kegiatan 2



MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT BARU



2A.



Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru



A. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar-akarnya Jika 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 merupakan akar-akar suatu persamaan kuadrat berlaku : (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )



=0



atau 𝒙𝟐 − (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 )𝒙 + 𝒙𝟏 𝒙𝟐 = 𝟎 Contoh : Diketahui suatu persamaan kuadrat akar-akarnya adalah -2 dan 5, tentukan persamaan kuadrat dari akar-akar tersebut ! Jawab : Cara 1 :  



𝑥1 = −2 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 = 5 Substitusikan nilai dari 𝑥1 dan 𝑥2 ke 𝒙𝟐 − (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 )𝒙 + 𝒙𝟏 𝒙𝟐 = 𝟎 Persamaan kuadrat dari 𝑥1 = −2 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 = 5 adalah 𝒙𝟐 − (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 )𝒙 + 𝒙𝟏 𝒙𝟐 = 𝟎 𝒙𝟐 − (−𝟐 + 𝟓)𝒙 + (−𝟐)(𝟓) = 𝟎 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎



Cara 2 : 



Langkah 1 : Substitusikan nilai 𝒙𝟏 & 𝒙𝟐 ke dalam persamaan (𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 ) = 0 𝑥1 = −𝟐 𝑥2 = 𝟓 (𝑥 + 𝟐)(𝑥 − 𝟓) = 0



(i)







Langkah 2 : Jabarkan (i) menjadi bentuk umum persamaan kuadrat (𝑥 + 𝟐)(𝑥 − 𝟓)



= 0



𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 = 0 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎



= 0



B. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Jika Diketahui Hubungan Akar-akar Persamaan Kuadrat Baru Dengan Akar-akar Persamaan Kuadrat Lainnya. Misalkan 𝛼 dan 𝛽 merupakan akar-akar persamaan kuadrat baru, 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat lama yang diketahui. Jika , 𝛽 dan 𝑥1 , 𝑥2 mempunyai hubungan tertentu, persamaan kuadrat baru dapat disusun dengan : 𝑥 2 − (𝛼 + 𝛽)𝑥 + 𝛼. 𝛽 = 0 Contoh : Jika 𝛼 dan 𝛽 adalah akar-akar persamaan 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎 , tentukan persamaan kuadrat baru yang mempunyai akar-akar 𝛼 + 2 dan 𝛽 + 2 ! Jawab : 



Dari persamaan 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎 , diperoleh a = 2 , b = -14 , c = 12







Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui : 𝛼+𝛽 =− 𝛼. 𝛽 =







𝑏



= − 2𝑎



(−14) 2(2)



=



14 4



=7



𝑐 12 = =6 𝑎 2



Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru yaitu 𝛼 + 2 dan 𝛽 + 2 adalah : (𝛼 + 2) + (𝛽 + 2) = (𝛼 + 𝛽) + 4 =7+4



= 11



(𝛼 + 2) × (𝛽 + 2) = 𝛼𝛽 + 2𝛼 + 2𝛽 + 4 = 𝛼𝛽 + 2(𝛼 + 𝛽) + 4 = 6 + 2(7) + 4 



= 24



Jadi persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah 𝛼 + 2 dan 𝛽 + 2 adalah : 𝑥 2 + ((𝛼 + 2) + (𝛽 + 2))𝑥 + (𝛼 + 2)(𝛽 + 2) = 0 𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥1 𝑥2 = 0 𝑥 2 + 11𝑥 + 24 = 0



2B.



Latihan Soal Menyusun Persamaan Kuadrat Baru



1. Dengan menggunakan bentuk (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 0 , tentukanlah bentuk persamaan kuadrat jika akar-akarnya adalah -5 dan 9 ! Jawab : 



Langkah 1 : Substitusikan nilai 𝒙𝟏 & 𝒙𝟐 ke dalam persamaan (𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 ) = 0 𝑥1 = … 𝑥2 = … (𝑥 + …)(𝑥 − …) = 0







(i)



Langkah 2 : Jabarkan (i) menjadi bentuk umum persamaan kuadrat (𝑥 + …)(𝑥 − …)



= 0



…𝟐 − … + … − … = 0 𝒙𝟐 − … − …



= 0



2. Suatu persamaan kuadrat



𝑥 2 − 7𝑥 + 6 = 0



akar-akarnya adalah



𝛼 𝑑𝑎𝑛 𝛽. Tentukan



persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah 𝛼 + 3 dan 𝛽 + 3 dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat ! Jawab : 



Langkah 1 : Tentukan nilai a, b, c pada persamaan tersebut Pada persamaan 𝑥 2 − 7𝑥 + 6 = 0 Nilai a = …











Nilai b = …



Nilai c = …



Langkah 2 : Tentukan nilai jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan tersebut 𝛼+ 𝛽



= −



𝛼 .𝛽



=



… 𝑎



… 𝑎



= − =



… …



(… )



…



=



… …



=…



=⋯



Langkah 3 : Tentukan nilai jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru



Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru (𝛼 + 3) + (𝛽 + 3) = 𝛼 + … + … + … = (𝛼 + … ) + … = …+ …



= …



Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru (𝛼 + 3)(𝛽 + 3)



=



𝛼 × (… + ⋯ ) + 3 × (… + ⋯ )



= 𝛼 × …+ 3…+ 3… + … = (𝛼 × … ) + 3(… + … ) + ⋯ = … + 3(… ) + … 



= …



Langkah 4 : Memasukkan nilai jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru ke bentuk umum persamaan 𝒙𝟐 − (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 )𝒙 + 𝒙𝟏 𝒙𝟐 = 𝟎 𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥1 𝑥2 = 0 𝑥 2 + ((𝛼 + 3) + (𝛽 + 3))𝑥 + (𝛼 + 2)(𝛽 + 2) = 0 𝑥2 − … 𝒙 + …



=0



3. Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥 2 − 15𝑥 + 9 = 0 adalah 𝑥1 dan 𝑥2 , persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 𝑥1 + 𝑥2 dan 𝑥1 . 𝑥2 adalah …….. 4. Akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 10𝑥 + 7 = 0 adalah 𝑥1 dan 𝑥2 , persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2𝑥1 − 3 dan 2𝑥2 − 3 adalah ……..



MENYELESAIKAN MASALAH KONTEKSTUAL



Kegiatan 3



BERKAITAN DENGAN PERSAMAAN KUADRAT



Cara Menyelesaikan Masalah Kontekstual Berkaitan Dengan Persamaan Kuadrat



3A.



Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan kuadrat. Berikut adalah langkah-langkah menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat : 1. Tuliskan sesuatu yang belum diketahui pada permasalahan tersebut dalam bentuk variabel tertentu, misalkan x , p, atau lainnya. 2. Tuliskan model matematika atau persamaan untuk permasalahan tersebut. 3. Tentukan penyelesaian dari persamaan tersebut. 4. Periksa kembali kebenaran jawaban yang telah diperoleh.



CONTOH : Ayah akan membangun kolam renang di halaman belakang rumah. Kolam renang tersebut akan dibangun dengan ukuran panjang x m dan lebar 10 m lebih pendek dari ukuran panjangnya. Jika luas kolam renang tersebut adalah 231 m2 , Berapakah keliling kolam renang tersebut ? Jawab :  Nyatakan hal yang belum diketahui pada permasalahan tersebut dalam bentuk variabel tertentu, misalkan x , p, atau lainnya. Panjang (p) = x Lebar



(l) = x - 10



 Tuliskan model matematika atau persamaan untuk permasalahan tersebut. Luas (L)



Keliling (k)



=p×l



= 231



= x (x - 10)



= 231



= 2p + 2l



 Tentukan atau hitung penyelesaian dari persamaan tersebut.



L



= x (x - 10)



231



= x2 – 10 x



0



= x2 – 10 x – 231



0



= (x - 21)(x + 10)



(x - 21) = 0



atau



(x + 10) = 0



x = 21



atau



x = -10



Karena panjang suatu kolam tidak mungkin negatif, maka x adalah 21 m. Sehingga : p



=x



= 21 m



l



= x -10 = 21 – 10



= 11 m



Jadi : Keliling



= 2p + 2l = 2(21) + 2(11)



3B.



1.



= 42 + 22



= 64 m.



Latihan Soal Menyelesaikan Masalah Kontekstual Berkaitan Dengan Persamaan Kuadrat



Suatu taman berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 2y dan lebar x akan dibangun pagar disekelilingnya. Luas ½ bagian taman itu adalah 36 m2. Jika panjang pagar yang digunakan adalah 44 m, dan nilai x > y , berapakah lebar dan panjang taman tersebut ?



2.



Siska memiliki lembaran karton berukuran besar dengan lebar 60 cm dan panjang 80 cm. Siska ingin memperkecil ukuran karton tersebut sehingga luasnya menjadi setengah luas mula-mula dengan cara memotong panjang dan lebarnya dengan besar yang sama. Berapa cm kah ukuran panjang dan lebar karton yang harus dipotong ?



3. Diketahui Andre berdiri di atas tebing yang tingginya 7m dari tanah sambil membawa bola. Ketika melempar bola tersebut dari tebing Andre selalu menggunakan kecepatan yang sama yaitu 11 m/s, sehingga ketinggian bola setelah dilempar dari tebing (h) dapat dirumuskan dengan h = -5t2 + 11t + 7 , dimana t merupakan simbol dari waktu dalam detik. Hitunglah



berapa lama waktu yang dibutuhkan agar bola yang dilempar dari tebing tersebut sampai ke tanah?



4.



2 cm



2 cm 2 cm



2 cm



2 cm



2 cm



2 cm



2 cm a



Suatu seng berbentuk persegi seperti gambar di atas. Seng tersebut akan dibuat menjadi kotak berbentuk balok tanpa tutup, sehingga pada keempat pojoknya perlu dipotong dengan bentuk persegi yang sisinya adalah 2 cm. Jika luas awalnya adalah 81 m2 , berapakah nilai a?