RPP Vektor 2 [PDF]

Citation preview

PEMERINTAH KABUPATEN BLORA DINAS PENDIDIKAN PEMUDA DAN OLAH RAGA SMA NEGERI 1 CEPU Alamat : Jl. Diponegoro No. 55 Cepu Telp (0296) 421158. Fax. 421158 Website : www.sman1cepu.sch. E-mail : [email protected] RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMA NEGERI 1 CEPU Mata Pelajaran : Matematika-Peminatan Kelas/Semester : X/1 Materi Pokok : Vektor Alokasi Waktu : 30 × 45 menit Tahun Pelajaran : 2019/2020 A. Kompetensi Inti KI 1: Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. KI 2: Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. KI 3: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. KI 4: Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan. B. Kompetensi Dasar 3.2 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antarvektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga. Indikator Pencapaian Kompetensi: 1. Mengetahui pengertian dan notasi vektor 2. Menentukan komponen dan panjang vektor 3. Memahami konsep operasi penjumlahan dan pengurangan dua vektor 4. Menentukan resultan dari penjumlahan dan pengurangan dua vector 5. Memahami sifat-sifat operasi aljabar pada vektor (penjumlahan, pengurangan, dn perkalian vektor dengan skalar) 6. Membuktikan dan menggunakan konsep tiga titik segaris (kolinear) 7. Menentukan operasi perkalian (dot product) dua vector 8. Menentukan sudut antara dua vector 9. Menentukan proyeksi vektor orthogonal antara 2 vektor 10. Menentukan panjang vektor proyeksi (proyeksi skalar orthogonal)



4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua Indikator Pencapaian Kompetensi: 1. Menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan operasi vector 2. Menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan panjang vector 3. Menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan sudut antara 2 vektor C. Tujuan Pembelajaran Melalui proses mengamati, menanya, mengumpulkan informasi/mencoba, mengasosiasi, dan mengomunikasi siswa dapat: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.



Mengetahui pengertian dan notasi vektor Menentukan komponen dan panjang vektor Memahami konsep operasi penjumlahan dan pengurangan dua vektor Menentukan resultan dari penjumlahan dan pengurangan dua vector Memahami sifat-sifat operasi aljabar pada vektor (penjumlahan, pengurangan, dn perkalian vektor dengan skalar) Membuktikan dan menggunakan konsep tiga titik segaris (kolinear) Menentukan operasi perkalian (dot product) dua vector Menentukan sudut antara dua vector Menentukan proyeksi vektor orthogonal antara 2 vektor Menentukan panjang vektor proyeksi (proyeksi skalar orthogonal) Menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan operasi vector Menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan panjang vector Menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan sudut antara 2 vektor



D. Materi Pembelajaran Fakta 1. Masalah kontekstual yang diselesaikan dengan sifat-sifat vektor. 2. Aplikasi fisika yang diselesaikan dengan menggunakan vektor. 3. Masalah kontekstual yang berkaitan dengan soal aplikasi vektor atau soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi. Konsep 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.



Sifat-sifat operasi aljabar vektor. Operasi perkalian skalar dua vektor. Definisi besaran skalar dan besaran vektor. Definisi dua vektor yang sama. Besar vektor dalam bidang dan ruang. Segmen garis. Definisi perkalian skalar dua vektor. Vektor satuan. Sudut antara dua vektor. Proyeksi skalar orthogonal dan proyeksi vektor orthogonal.



Prosedur 1. Langkah-langkah menentukan besar vektor dalam bidang dan ruang. 2. Langkah-langkah menentukan proyeksi skalar orthogonal. 3. Langkah-langkah menentukan proyeksi vektor orthogonal. Metakogtif: Siswa menyelesaikan soal kontekstual tentang vektor dengan cara kreatif



E. Materi Pembelajaran Terlampir F. Metode Pembelajaran 1. Pendekatan : saintifik 2. Model Pembelajaran : pembelajaran berbasis masalah, discovery learning 3. Metode : diskusi kelompok, diskusi kelas, tanya jawab, dan penugasan G. Media, Alat, dan Sumber Pembelajaran 1. Media Pembelajaran : website, flash, dan powerpoint 2. Alat dan Bahan : alat tulis, kertas, dan kertas grafik H. Sumber Belajar a. Buku Matematika Kelas XII Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama Widya halaman 59-118. b. Buku-buku lain yang relevan, informasi melalui media cetak, dan internet. I.



Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran Pertemuan 1 (2 jp) Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 1: Orientasi siswa kepada masalah 



Siswa menjawab sapaan guru, berdoa, dan mengondisikan diri siap belajar Guru memberi apersepsi dengan menginformasikan kegunaan vektor 15 menit dalam menentukan posisi suatu benda. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran Guru menyampaikan pokok-pokok/cakupan materi pembelajaran



Kegiatan  Pembuka   



Mengamati 



Siswa mengamati perbandingan antara besaran skalar dan besaran vektor. Siswa mengamati penulisan dan notasi vektor. Siswa mengamati definisi dua vektor yang saling berlawanan. Siswa mengamati konsep jumlah vektor di R2 Siswa mengamati konsep selisih vektor di R2 Siswa mengamati konsep hasil kali vektor dengan skalar di R2



    



Menanya Kegiatan Inti



     



Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai perbandingan antara besaran skalar dan besaran vektor. 60 menit Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai penulisan dan notasi vektor. Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai definisi dua vektor yang saling berlawanan. Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai konsep jumlah vektor. Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai selisih vektor. Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai hasil kali vektor dengan skalar.



Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Mengeksplorasi   



Siswa mengerjakan latihan 5.1 sampai dengan 5.4 mengenai notasi dan kesamaan dua vektor. Siswa dibagi dalam beberapa kelompok untuk mengerjakan latihan 5.5 dan 5.8 mengenai operasi aljabar vektor di R2. Guru membimbing dan menilai kemampuan siswa dalam melakukan aktivitas.



Mengasosiasi    



Siswa diminta untuk mendiskusikan kesimpulan dari latihan 5.1 sampai dengan 5.4 yang telah diperoleh. Siswa diminta untuk mendiskusikan kesimpulan dari latihan 5.5 dan 5.8 yang telah diperoleh. Siswa diminta menyimpulkan hasil dari latihan 5.1 dan 5.8 Guru membimbing dan menilai kemampuan siswa dalam merumuskan kesimpulan



Mengomunikasikan     



Perwakilan beberapa siswa mempresentasikan dan menjelaskan kesimpulan mengenai perbedaan antara skalar dan vektor di depan kelas. Perwakilan beberapa siswa mempresentasikan dan menjelaskan kesimpulan mengenai jumlah, selisih, dan hasil kali vektor dengan skalar. Guru memberi penguatan terhadap kesimpulan yang disampaikan siswa. Guru menilai kemampuan siswa berkomunikasi lisan.



Penutup  Kegiatan Penutup



    



Siswa bersama guru menyimpulkan materi pembelajaran yang telah dipelajari. Siswa merefleksi penguasaan materi yang telah dipelajari. Siswa melakukan evaluasi pembelajaran. 15 menit Siswa saling memberikan umpan balik hasil dari evaluasi pembelajaran yang telah dicapai. Siswa mendengarkan arahan guru untuk materi pada pertemuan selanjutnya. Guru memberian Pekerjaan rumah pada siswa.



Pertemuan 2 (1jp) Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 1: Orientasi siswa kepada masalah  Kegiatan  Pembuka   



Mengucapkan salam pembuka, cek presensi. Guru memberikan apersepsi Guru mengajak siswa mengingat kembali materi sebelumnya. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran Guru menyampaikan model pembelajaran yang akan digunakan



10



Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Kegiatan Inti



Fase 2: Mengorganisasikan siswa untuk belajar       



Alokasi Waktu



Guru membentuk membentuk kelompok siswa yang relatif heterogen (dari sisi kemampuan, gender, budaya, maupun agama) Guru memberi kesempatan siswa untuk menyelesaikan PR di papan tulis. 5 siswa maju sesuai pilihan acak. Guru memeriksa pekerjaan siswa yang lain. Guru meminta siswa mengamati penyelesaian di depan. Informasi apa saja yang diperoleh. Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat. Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar.



Fase 3: Membimbing penyelidikan individu dan kelompok   



Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat. Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar. Guru membimbing penyelidikan dalam menemukan penyelesaian yang tepat.



25



Fase 4: Mengembangkan dan menyajikan hasil karya  



Dengan berdiskusi kelompok, siswa menyelesaikan latihan sub bab A nomor selanjutnya. Memberi kesempatan kepada kelompok yang berani maju menyelesaikan soal berikutnya lebih dulu.



Fase 5: Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah     Kegiatan Penutup



  



Siswa diarahkan untuk membuat kesimpulan Guru memberikan penekanan pada bagian-bagian yang penting dari yang telah dipelajari Siswa mengerjakan kuis. Siswa dan guru mengadakan refleksi dari kegiatan pembelajaran yang telah berlangsung. Guru memberikan tugas di rumah untuk membuat ringkasan materi tentang persamaan eksponen. Guru menginformasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya dan memberi motivasi agar siswa mempersiapkan diri. Menutup pembelajaran dengan mengucapkan salam



10



Pertemuan 3 (2 jp) Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 1: Orientasi siswa kepada masalah 



Siswa menjawab sapaan guru, berdoa, dan mengondisikan diri siap belajar Guru memberi apersepsi dengan menginformasikan kegunaan vektor 15 menit dalam menentukan posisi suatu benda. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran Guru menyampaikan pokok-pokok/cakupan materi pembelajaran



Kegiatan  Pembuka   



Mengamati 



Siswa mengamati perbandingan antara besaran skalar dan besaran vektor. Siswa mengamati penulisan dan notasi vektor. Siswa mengamati definisi dua vektor yang saling berlawanan. Siswa mengamati konsep jumlah vektor di R3 Siswa mengamati konsep selisih vektor di R3 Siswa mengamati konsep hasil kali vektor dengan skalar di R3



    



Menanya      Kegiatan Inti







Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai perbandingan antara besaran skalar dan besaran vektor. Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai penulisan dan notasi vektor. Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai definisi dua vektor yang saling berlawanan. Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai konsep jumlah vektor. Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai selisih vektor. Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru 60 menit mengenai hasil kali vektor dengan skalar.



Mengeksplorasi   



Siswa mengerjakan latihan 5.1 sampai dengan 5.4 mengenai notasi dan kesamaan dua vektor. Siswa dibagi dalam beberapa kelompok untuk mengerjakan latihan 5.5 dan 5.8 mengenai operasi aljabar vektor di R3. Guru membimbing dan menilai kemampuan siswa dalam melakukan aktivitas.



Mengasosiasi    



Siswa diminta untuk mendiskusikan kesimpulan dari latihan 5.1 sampai dengan 5.4 yang telah diperoleh. Siswa diminta untuk mendiskusikan kesimpulan dari latihan 5.5 dan 5.8 yang telah diperoleh. Siswa diminta menyimpulkan hasil dari latihan 5.1 dan 5.8 Guru membimbing dan menilai kemampuan siswa dalam merumuskan kesimpulan



Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Mengomunikasikan      



Kegiatan Penutup



    



Perwakilan beberapa siswa mempresentasikan dan menjelaskan kesimpulan mengenai perbedaan antara skalar dan vektor di depan kelas. Perwakilan beberapa siswa mempresentasikan dan menjelaskan kesimpulan mengenai jumlah, selisih, dan hasil kali vektor dengan skalar. Guru memberi penguatan terhadap kesimpulan yang disampaikan siswa. Guru menilai kemampuan siswa berkomunikasi lisan. Siswa bersama guru menyimpulkan materi pembelajaran yang telah dipelajari. Siswa merefleksi penguasaan materi yang telah dipelajari. Siswa melakukan evaluasi pembelajaran. Siswa saling memberikan umpan balik hasil dari evaluasi pembelajaran 15 menit yang telah dicapai. Siswa mendengarkan arahan guru untuk materi pada pertemuan selanjutnya. Guru memberian Pekerjaan rumah pada siswa.



Pertemuan 4 (1jp) Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 1: Orientasi siswa kepada masalah  Kegiatan  Pembuka    Kegiatan Inti



Mengucapkan salam pembuka, cek presensi. Guru memberikan apersepsi Guru mengajak siswa mengingat kembali materi sebelumnya. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran Guru menyampaikan model pembelajaran yang akan digunakan



10



Fase 2: Mengorganisasikan siswa untuk belajar       



Guru membentuk membentuk kelompok siswa yang relatif heterogen (dari sisi kemampuan, gender, budaya, maupun agama) Guru memberi kesempatan siswa untuk menyelesaikan PR di papan tulis. 5 siswa maju sesuai pilihan acak. Guru memeriksa pekerjaan siswa yang lain. Guru meminta siswa mengamati penyelesaian di depan. Informasi apa saja yang diperoleh. Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat. Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar.



25



Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 3: Membimbing penyelidikan individu dan kelompok   



Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat. Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar. Guru membimbing penyelidikan dalam menemukan penyelesaian yang tepat.



Fase 4: Mengembangkan dan menyajikan hasil karya  



Dengan berdiskusi kelompok, siswa menyelesaikan latihan sub bab A nomor selanjutnya. Memberi kesempatan kepada kelompok yang berani maju menyelesaikan soal berikutnya lebih dulu.



Fase 5: Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah     Kegiatan Penutup



  



Siswa diarahkan untuk membuat kesimpulan Guru memberikan penekanan pada bagian-bagian yang penting dari yang telah dipelajari Siswa mengerjakan kuis. Siswa dan guru mengadakan refleksi dari kegiatan pembelajaran yang telah berlangsung. Guru memberikan tugas di rumah untuk membuat ringkasan materi tentang persamaan eksponen. Guru menginformasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya dan memberi motivasi agar siswa mempersiapkan diri. Menutup pembelajaran dengan mengucapkan salam



10



Pertemuan 5 (2jp) Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Orientasi siswa kepada masalah   Kegiatan Pembuka



    



Siswa menjawab sapaan guru, berdoa, dan mengondisikan diri siap belajar. Guru bertanya mengenai materi yang telah disampaikan pada pertemuan 15 menit sebelumnya. Guru memberi apersepsi dengan memperlihatkan suatu vektor yang dapat dinyatakan dalam vektor-vektor posisi. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran. Guru menyampaikan pokok-pokok/cakupan materi pembelajaran.



Mengamati Kegiatan Inti



  



Siswa mengamati konsep vektor posisi. 60 menit Siswa mengamati langkah-langkah menyatakan vektor dari suatu garis berarah. Siswa mengamati langkah-langkah menyatakan vektor dalam bidang.



Kegiatan



Deskripsi Kegiatan       



Siswa mengamati langkah-langkah menyatakan vektor pada bidang dalam vektor satuan. Siswa mengamati konsep besar vektor pada bidang. Siswa mengamati langkah-langkah menyatakan vektor dalam ruang. Siswa mengamati konsep besar vektor dalam ruang. Siswa mengamati operasi jumlah, selisih, dan hasil kali vektor dengan skalar secara aljabar. Siswa mengamati dan memahami beberapa sifat operasi aljabar vektor. Siswa mengamati dan memahami kesamaan vektor.



Menanya       



Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai konsep vektor posisi. Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai vektor dalam bidang. Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai besar vektor pada bidang. Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai vektor dalam ruang. Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai besar vektor dalam ruang. Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai operasi jumlah, selisih, dan hasil kali vektor dengan skalar skalar secara aljabar. Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai kesamaan vektor.



Mengeksplorasi        



Siswa mengerjakan Latihan 2.2 mengenai vektor posisi. Siswa mengerjakan Latihan 2.3 mengenai penentuan besar vektor pada bidang. Siswa mengerjakan Latihan 2.4 mengenai penentuan besar vektor pada ruang. Siswa mengerjakan Kegiatan 2.3 mengenai langkah-langkah menemukan operasi vektor secara aljabar. Siswa mengerjakan Latihan 2.5 mengenai operasi aljabar vektor. Siswa mengerjakan Kegiatan 2.4 mengenai langkah-langkah menemukan sifat- sifat operasi vektor secara aljabar. Siswa mengerjakan Latihan 2.6 mengenai kesamaan vektor. Guru membimbing dan menilai kemampuan siswa dalam melakukan aktivitas



Mengasosiasi      



Siswa dibagi menjadi berkelompok kemudian mendiskusikan hasil dari Kegiatan 2.3. Siswa dibagi menjadi berkelompok kemudian mendiskusikan hasil dari Kegiatan 2.4. Siswa diminta menyimpulkan hasil dari Latihan 2.2, Latihan 2.3, Latihan 2.4, Kegiatan 2.3, Latihan 2.5, Kegiatan 2.4, dan Latihan 2.6. Guru membimbing dan menilai kemampuan siswa dalam merumuskan kesimpulan.



Alokasi Waktu



Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Mengomunikasikan     



Kegiatan Penutup



   



Perwakilan masing-masing kelompok mempresentasikan hasil diskusi kelompoknya mengenai kesimpulan dari Kegiatan 2.3 di depan kelas. Perwakilan masing-masing kelompok mempresentasikan hasil diskusi kelompoknya mengenai kesimpulan dari Kegiatan 2.4 di depan kelas. Guru memberi penguatan terhadap kesimpulan yang disampaikan siswa. Guru menilai kemampuan siswa berkomunikasi lisan. Siswa bersama guru menyimpulkan materi pembelajaran yang telah dipelajari. Siswa merefleksi penguasaan materi yang telah dipelajari. Siswa melakukan evaluasi pembelajaran. 15 menit Siswa saling memberikan umpan balik hasil dari evaluasi pembelajaran yang telah dicapai Siswa mendengarkan arahan untuk materi pada pertemuan selanjutnya.



Pertemuan 6 (1jp) Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 1: Orientasi siswa kepada masalah  Kegiatan  Pembuka    Kegiatan Inti



Mengucapkan salam pembuka, cek presensi. Guru memberikan apersepsi Guru mengajak siswa mengingat kembali materi sebelumnya. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran Guru menyampaikan model pembelajaran yang akan digunakan



10



Fase 2: Mengorganisasikan siswa untuk belajar 



Guru membentuk membentuk kelompok siswa yang relatif heterogen (dari sisi kemampuan, gender, budaya, maupun agama)  Guru memberi kesempatan siswa untuk menyelesaikan PR di papan tulis.  5 siswa maju sesuai pilihan acak.  Guru memeriksa pekerjaan siswa yang lain.  Guru meminta siswa mengamati penyelesaian di depan. Informasi apa saja yang diperoleh.  Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat.  Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar. Fase 3: Membimbing penyelidikan individu dan kelompok   



Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat. Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar. Guru membimbing penyelidikan dalam menemukan penyelesaian yang tepat.



25



Kegiatan



Alokasi Waktu



Deskripsi Kegiatan Fase 4: Mengembangkan dan menyajikan hasil karya  



Dengan berdiskusi kelompok, siswa menyelesaikan latihan sub bab A nomor selanjutnya. Memberi kesempatan kepada kelompok yang berani maju menyelesaikan soal berikutnya lebih dulu.



Fase 5: Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah     Kegiatan Penutup



  



Siswa diarahkan untuk membuat kesimpulan Guru memberikan penekanan pada bagian-bagian yang penting dari yang telah dipelajari Siswa mengerjakan kuis. Siswa dan guru mengadakan refleksi dari kegiatan pembelajaran yang telah berlangsung. Guru memberikan tugas di rumah untuk membuat ringkasan materi tentang persamaan eksponen. Guru menginformasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya dan memberi motivasi agar siswa mempersiapkan diri. Menutup pembelajaran dengan mengucapkan salam



10



Pertemuan 7 (2jp) Kegiatan



Alokasi Waktu



Deskripsi Kegiatan Orientasi siswa kepada masalah 



Kegiatan Pembuka



  



Siswa menjawab sapaan guru, berdoa, dan mengondisikan diri siap belajar. Guru bertanya mengenai materi yang telah disampaikan pada pertemuan sebelumnya. Guru mengajukan pertanyaan yang berhubungan dengan syarat titiktitik yang sejajar dan segaris. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran.



15 menit



Mengamati  Siswa mengamati masalah tiga titik segaris.  Siswa mengamati letak suatu titik pada segmen garis.  Siswa mengamati vektor posisi titik yang terletak pada segmen garis.  Siswa mengamati soal dan pembahasan pada Ayo Kerjakan Soal Seleksi. Kegiatan Inti



Menanya  Siswa berdiskusi dan tanya jawab bersama teman sebangku dan mengenai masalah tiga titik segaris.  Siswa berdiskusi dan tanya jawab bersama teman sebangku dan mengenai letak suatu titik pada segmen garis.  Siswa berdiskusi dan tanya jawab bersama teman sebangku dan mengenai vektor posisi titik yang terletak pada segmen garis.  Siswa berdiskusi dan tanya jawab bersama teman sebangku dan mengenai soal dan pembahasan pada Ayo Kerjakan Soal Seleksi.



guru 60 menit guru guru guru



Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Mengeksplorasi  Siswa mengerjakan Latihan 2.7 mengenai masalah tiga titik segaris.  Siswa mengerjakan Latihan 2.8 mengenai vektor posisi titik pembagi ruas garis.  Siswa mengerjakan Kegiatan 2.5 mengenai menentukan bangun datar yang terbentuk dari vektor-vektor posisi yang diketahui.  Guru membimbing dan menilai kemampuan siswa dalam melakukan aktivitas Mengasosiasi  Siswa diminta untuk mendiskusikan kesimpulan dari Kegiatan 2.5 yang telah diperoleh.  Siswa diminta menyimpulkan hasil dari Latihan 2.7, Kegiatan 2.8, dan Kegiatan 2.5.  Guru membimbing dan menilai kemampuan siswa dalam merumuskan kesimpulan Mengomunikasikan  Perwakilan beberapa siswa mempresentasikan dan menjelaskan kesimpulan mengenai vektor posisi titik yang terletak pada segmen garis.  Guru memberi penguatan terhadap kesimpulan yang disampaikan siswa  Guru menilai kemampuann siswa berkomunikasi lisan   Kegiatan Penutup  



Siswa bersama guru menyimpulkan materi pembelajaran yang telah dipelajari. Siswa mereview penguasaan materi yang telah dipelajari dengan mengerjakan Review Konsep Subbab A dan Latihan Subbab A. 15 menit Siswa saling memberikan umpan balik hasil dari evaluasi pembelajaran yang telah dicapai. Siswa mendengarkan arahan untuk materi pada pertemuan selanjutnya.



Pertemuan 8 (1jp) Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 1: Orientasi siswa kepada masalah  Kegiatan  Pembuka    Kegiatan Inti



Mengucapkan salam pembuka, cek presensi. Guru memberikan apersepsi Guru mengajak siswa mengingat kembali materi sebelumnya. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran Guru menyampaikan model pembelajaran yang akan digunakan



10



Fase 2: Mengorganisasikan siswa untuk belajar  



Guru membentuk membentuk kelompok siswa yang relatif heterogen (dari sisi kemampuan, gender, budaya, maupun agama) Guru memberi kesempatan siswa untuk menyelesaikan PR di papan tulis.



25



Kegiatan



Deskripsi Kegiatan     



Alokasi Waktu



5 siswa maju sesuai pilihan acak. Guru memeriksa pekerjaan siswa yang lain. Guru meminta siswa mengamati penyelesaian di depan. Informasi apa saja yang diperoleh. Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat. Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar.



Fase 3: Membimbing penyelidikan individu dan kelompok 



Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat.  Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar.  Guru membimbing penyelidikan dalam menemukan penyelesaian yang tepat. Fase 4: Mengembangkan dan menyajikan hasil karya 



Dengan berdiskusi kelompok, siswa menyelesaikan latihan sub bab A nomor selanjutnya.  Memberi kesempatan kepada kelompok yang berani maju menyelesaikan soal berikutnya lebih dulu. Fase 5: Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah     Kegiatan Penutup



  



Siswa diarahkan untuk membuat kesimpulan Guru memberikan penekanan pada bagian-bagian yang penting dari yang telah dipelajari Siswa mengerjakan kuis. Siswa dan guru mengadakan refleksi dari kegiatan pembelajaran yang telah berlangsung. Guru memberikan tugas di rumah untuk membuat ringkasan materi tentang persamaan eksponen. Guru menginformasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya dan memberi motivasi agar siswa mempersiapkan diri. Menutup pembelajaran dengan mengucapkan salam



10



Pertemuan 9 (2jp) Kegiatan



Kegiatan awal



Rincian Kegiatan



Alokasi Waktu



Pendahuluan/Kegiatan Awal  Siswa menjawab sapaan guru, berdoa, dan mengondisikan diri siap belajar.  Guru bertanya mengenai materi yang telah disampaikan pada pertemuan sebelumnya. 15 menit  Guru memberi apersepsi dengan menanyakan pembuktian dua buah vektor yang saling tegak lurus.  Guru menyampaikan tujuan pembelajaran.  Guru menyampaikan pokok-pokok/cakupan materi pembelajaran.



Kegiatan inti



Mengamati  Siswa mengamati definisi perkalian skalar.  Siswa mengamati dua buah vektor yang saling tegak lurus.  Siswa mengamati hubungan besar vektor dan perkalian skalar.  Siswa memahami perkalian skalar vektor-vektor satuan.  Siswa mengamati hasil kali skalar dinyatakan dalam bentuk komponen.  Siswa memahami aplikasi perkalian skalar pada fisika. Menanya  Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan mengenai definisi perkalian skalar.  Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan mengenai dua buah vektor yang saling tegak lurus.  Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan mengenai hubungan besar vektor dan perkalian skalar.  Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan mengenai perkalian skalar vektor-vektor satuan.  Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan mengenai hasil kali skalar dinyatakan dalam bentuk komponen.  Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan mengenai aplikasi perkalian skalar pada fisika



guru guru guru guru guru guru



Mengeksplorasi  Siswa diminta mengerjakan Latihan 2.9 mengenai dua vektor saling 60 menit tegak lurus.  Siswa diminta mengerjakan Latihan 2.10 mengenai aplikasi perkalian skalar dalam fisika.  Guru membimbing dan menilai kemampuan siswa dalam melakukan aktivitas Mengasosiasi  Siswa diminta untuk mendiskusikan kesimpulan dari Latihan 2.9 dan Latihan 2.10 yang telah diperoleh.  Siswa diminta menyimpulkan hasil dari Latihan 2.9 dan Latihan 2.10.  Guru membimbing dan menilai kemampuan siswa dalam merumuskan kesimpulan Mengomunikasikan  Perwakilan beberapa siswa mempresentasikan dan menjelaskan kembali mengenai definisi perkalian skalar.  Perwakilan beberapa siswa mempresentasikan dan menjelaskan kesimpulan mengenai dua buah vektor yang saling tegak lurus.  Perwakilan beberapa siswa mempresentasikan dan menjelaskan kesimpulan mengenai hubungan besar vektor dan perkalian skalar.  Perwakilan beberapa siswa mempresentasikan dan menjelaskan kesimpulan mengenai perkalian skalar vektor-vektor satuan.  Perwakilan beberapa siswa mempresentasikan dan menjelaskan kesimpulan mengenai hasil kali skalar dinyatakan dalam bentuk komponen.



 Perwakilan beberapa siswa mempresentasikan dan menjelaskan kesimpulan mengenai aplikasi perkalian skalar pada fisika.  Guru memberi penguatan terhadap kesimpulan yang disampaikan siswa.  Guru menilai kemampuan siswa berkomunikasi lisan.



Penutup



 Siswa bersama guru menyimpulkan materi pembelajaran yang telah dipelajari.  Siswa merefleksi penguasaan materi yang telah dipelajari.  Siswa melakukan evaluasi pembelajaran.  Siswa saling memberikan umpan balik hasil dari evaluasi pembelajaran 15 menit yang telah dicapai.  Siswa mendengarkan arahan guru untuk materi pada pertemuan selanjutnya.



Pertemuan 10 (1jp) Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 1: Orientasi siswa kepada masalah  Kegiatan  Pembuka    Kegiatan Inti



Mengucapkan salam pembuka, cek presensi. Guru memberikan apersepsi Guru mengajak siswa mengingat kembali materi sebelumnya. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran Guru menyampaikan model pembelajaran yang akan digunakan



10



Fase 2: Mengorganisasikan siswa untuk belajar       



Guru membentuk membentuk kelompok siswa yang relatif heterogen (dari sisi kemampuan, gender, budaya, maupun agama) Guru memberi kesempatan siswa untuk menyelesaikan PR di papan tulis. 5 siswa maju sesuai pilihan acak. Guru memeriksa pekerjaan siswa yang lain. Guru meminta siswa mengamati penyelesaian di depan. Informasi apa saja yang diperoleh. Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat. Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar.



Fase 3: Membimbing penyelidikan individu dan kelompok   



Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat. Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar. Guru membimbing penyelidikan dalam menemukan penyelesaian yang tepat.



25



Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 4: Mengembangkan dan menyajikan hasil karya  



Dengan berdiskusi kelompok, siswa menyelesaikan latihan sub bab A nomor selanjutnya. Memberi kesempatan kepada kelompok yang berani maju menyelesaikan soal berikutnya lebih dulu.



Fase 5: Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah     Kegiatan Penutup



  



Siswa diarahkan untuk membuat kesimpulan Guru memberikan penekanan pada bagian-bagian yang penting dari yang telah dipelajari Siswa mengerjakan kuis. Siswa dan guru mengadakan refleksi dari kegiatan pembelajaran yang telah berlangsung. Guru memberikan tugas di rumah untuk membuat ringkasan materi tentang persamaan eksponen. Guru menginformasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya dan memberi motivasi agar siswa mempersiapkan diri. Menutup pembelajaran dengan mengucapkan salam



10



Pertemuan 11 (2jp) Kegiatan



Kegiatan awal



Kegiatan inti



Rincian Kegiatan



Alokasi Waktu



Pendahuluan/Kegiatan Awal  Siswa menjawab sapaan guru, berdoa, dan mengondisikan diri siap belajar.  Guru bertanya mengenai materi yang telah disampaikan pada pertemuan sebelumnya. 15 menit  Guru memberi apersepsi dengan mengajukan pertanyaan yang berkaitan dengan sudut antara vektor.  Guru menyampaikan tujuan pembelajaran.  Guru menyampaikan pokok-pokok/cakupan materi pembelajaran. Mengamati  Siswa mengamati konsep sudut antara dua vektor.  Siswa mengamati konsep sifat-sifat perkalian skalar.  Siswa mengamati konsep sifat-sifat identitas dari perkalian skalar. Menanya  Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru 60 menit mengenai sudut antara dua vektor.  Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai sifat-sifat perkalian skalar.  Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai sifat-sifat identitas dari perkalian skalar.



Mengeksplorasi  Siswa diminta mengerjakan Latihan 2.11 mengenai sudut antara dua vektor.  Siswa diminta mengerjakan Kegiatan 2.6 mengenai penurunan sifatsifat perkalian skalar.  Siswa diminta mengerjakan Latihan 2.12 mengenai pengaplikasian sifat perkalian skalar pada vektor.  Guru membimbing dan menilai kemampuan siswa dalam melakukan aktivitas Mengasosiasi  Siswa dibagi menjadi berkelompok kemudian mendiskusikan hasil dari Kegiatan 2.6.  Guru membimbing dan menilai kemampuan siswa dalam merumuskan kesimpulan Mengomunikasikan  Perwakilan masing-masing kelompok mempresentasikan dan menjelaskan kembali mengenai sudut antara dua vektor.  Perwakilan masing-masing kelompok mempresentasikan dan menjelaskan kembali mengenai sifat-sifat perkalian skalar.  Perwakilan masing-masing kelompok mempresentasikan dan menjelaskan kembali mengenai sifat-sifat identitas dari perkalian skalar.  Guru memberi penguatan terhadap kesimpulan yang disampaikan siswa.  Guru menilai kemampuan siswa berkomunikasi lisan. Penutup  Siswa bersama guru menyimpulkan materi pembelajaran yang telah dipelajari.  Siswa merefleksi penguasaan materi yang telah dipelajari.  Siswa melakukan evaluasi pembelajaran. 15 menit  Siswa saling memberikan umpan balik hasil dari evaluasi pembelajaran yang telah dicapai.  Siswa mendengarkan arahan guru untuk materi pada pertemuan berikutnya.



Penutup



Pertemuan 12 (1jp) Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 1: Orientasi siswa kepada masalah  Kegiatan  Pembuka   



Mengucapkan salam pembuka, cek presensi. Guru memberikan apersepsi Guru mengajak siswa mengingat kembali materi sebelumnya. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran Guru menyampaikan model pembelajaran yang akan digunakan



10



Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Kegiatan Inti



Fase 2: Mengorganisasikan siswa untuk belajar       



Alokasi Waktu



Guru membentuk membentuk kelompok siswa yang relatif heterogen (dari sisi kemampuan, gender, budaya, maupun agama) Guru memberi kesempatan siswa untuk menyelesaikan PR di papan tulis. 5 siswa maju sesuai pilihan acak. Guru memeriksa pekerjaan siswa yang lain. Guru meminta siswa mengamati penyelesaian di depan. Informasi apa saja yang diperoleh. Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat. Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar.



Fase 3: Membimbing penyelidikan individu dan kelompok   



Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat. Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar. Guru membimbing penyelidikan dalam menemukan penyelesaian yang tepat.



25



Fase 4: Mengembangkan dan menyajikan hasil karya  



Dengan berdiskusi kelompok, siswa menyelesaikan latihan sub bab A nomor selanjutnya. Memberi kesempatan kepada kelompok yang berani maju menyelesaikan soal berikutnya lebih dulu.



Fase 5: Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah     Kegiatan Penutup



  



Siswa diarahkan untuk membuat kesimpulan Guru memberikan penekanan pada bagian-bagian yang penting dari yang telah dipelajari Siswa mengerjakan kuis. Siswa dan guru mengadakan refleksi dari kegiatan pembelajaran yang telah berlangsung. Guru memberikan tugas di rumah untuk membuat ringkasan materi tentang persamaan eksponen. Guru menginformasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya dan memberi motivasi agar siswa mempersiapkan diri. Menutup pembelajaran dengan mengucapkan salam



10



Pertemuan 13 (2jp) Kegiatan



Kegiatan awal



Kegiatan inti



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Pendahuluan/Kegiatan Awal  Siswa menjawab sapaan guru, berdoa, dan mengondisikan diri siap belajar.  Guru bertanya mengenai materi yang telah disampaikan pada pertemuan sebelumnya. 15 menit  Guru memberi apersepsi dengan menanyakan panjang proyeksi vektor dan diselesaikan oleh siswa dengan cara apapun.  Guru menyampaikan tujuan pembelajaran.  Guru menyampaikan pokok-pokok/cakupan materi pembelajara . Mengamati  Siswa mengamati vektor satuan.  Siswa mengamati proyeksi skalar orthogonal.  Siswa mengamati proyeksi vektor orthogonal. Menanya  Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai vektor satuan.  Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai proyeksi skalar orthogonal.  Siswa melakukan tanya jawab bersama teman sebangku dan guru mengenai proyeksi vektor othogonal. Mengeksplorasi  Siswa diminta mengerjakan Latihan 2.13 mengenai vektor satuan.  Siswa diminta mengerjakan Latihan 2.14 mengenai proyeksi skalar orthogonal dan proyeksi vektor orthogonal.  Guru membimbing dan menilai kemampuan siswa dalam melakukan aktivitas 60 menit Mengasosiasi  Siswa diminta untuk mendiskusikan kesimpulan dari Latihan 2.13 dan Latihan 2.14 yang telah diperoleh.  Siswa diminta menyimpulkan hasil dari Latihan 2.13 dan Latihan 2.14.  Guru membimbing dan menilai kemampuan siswa dalam merumuskan kesimpulan Mengomunikasikan  Perwakilan beberapa siswa mempresentasikan dan menjelaskan kembali mengenai vektor satuan.  Perwakilan beberapa siswa mempresentasikan dan menjelaskan kesimpulan mengenai proyeksi skalar orthogonal.  Perwakilan beberapa siswa mempresentasikan dan menjelaskan kesimpulan mengenai proyeksi vektor orthogonal.  Guru memberi penguatan terhadap kesimpulan yang disampaikan siswa.  Guru menilai kemampuan siswa berkomunikasi lisan.



Penutup



Penutup  Siswa bersama guru menyimpulkan materi pembelajaran yang telah dipelajari.  Siswa merefleksi penguasaan materi yang telah dipelajari.  Siswa melakukan evaluasi pembelajaran. 15 menit  Siswa saling memberikan umpan balik hasil dari evaluasi pembelajaran yang telah dicapai.  Siswa mendengarkan arahan guru untuk materi pada pertemuan selanjutnya.



Pertemuan 14 (1jp) Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 1: Orientasi siswa kepada masalah  Kegiatan  Pembuka    Kegiatan Inti



Mengucapkan salam pembuka, cek presensi. Guru memberikan apersepsi Guru mengajak siswa mengingat kembali materi sebelumnya. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran Guru menyampaikan model pembelajaran yang akan digunakan



10



Fase 2: Mengorganisasikan siswa untuk belajar       



Guru membentuk membentuk kelompok siswa yang relatif heterogen (dari sisi kemampuan, gender, budaya, maupun agama) Guru memberi kesempatan siswa untuk menyelesaikan PR di papan tulis. 5 siswa maju sesuai pilihan acak. Guru memeriksa pekerjaan siswa yang lain. Guru meminta siswa mengamati penyelesaian di depan. Informasi apa saja yang diperoleh. Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat. Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar.



Fase 3: Membimbing penyelidikan individu dan kelompok   



Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat. Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar. Guru membimbing penyelidikan dalam menemukan penyelesaian yang tepat.



Fase 4: Mengembangkan dan menyajikan hasil karya  



Dengan berdiskusi kelompok, siswa menyelesaikan latihan sub bab A nomor selanjutnya. Memberi kesempatan kepada kelompok yang berani maju menyelesaikan soal berikutnya lebih dulu.



25



Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 5: Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah     Kegiatan Penutup



  



Siswa diarahkan untuk membuat kesimpulan Guru memberikan penekanan pada bagian-bagian yang penting dari yang telah dipelajari Siswa mengerjakan kuis. Siswa dan guru mengadakan refleksi dari kegiatan pembelajaran yang telah berlangsung. Guru memberikan tugas di rumah untuk membuat ringkasan materi tentang persamaan eksponen. Guru menginformasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya dan memberi motivasi agar siswa mempersiapkan diri. Menutup pembelajaran dengan mengucapkan salam



10



Pertemuan 15 (2jp) Kegiatan



Rincian Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 1: Orientasi siswa kepada masalah



Kegiatan awal



  



 



Mengucapkan salam pembuka, cek presensi. Guru memberikan apersepsi Guru memberikan masalah dari Buku hal 241 atau masalah yang lebih kontekstual yang dapat dibuat tentang proyeksi Orthogonal 15 menit suatu vektor pada vektor lain. Kemudian guru memberi kesempatan siswa untuk mengamati dan memikirkan solusinya. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran Guru menyampaikan model pembelajaran yang akan digunakan



Fase 2: Mengorganisasikan siswa untuk belajar Kegiatan inti



    



Guru membentuk membentuk kelompok siswa yang relatif heterogen (dari sisi kemampuan, gender, budaya, maupun agama) Guru memberikan beberapa penjelasan tentang Proyeksi Skalah Orthogonal antara dua vektor. Siswa bersama kelompoknya menemukan rumus proyeksi vektor. Guru menunjuk perwakilan 2 kelompok untuk menuliskan rumusnya di depan kelas. Anggota kelompok membantu. Guru meminta siswa mengamati. Informasi apa saja yang diperoleh.



Fase 3: Membimbing penyelidikan individu dan kelompok  



Dalam kelompok masing-masing, siswa menyelesaiakan Latihan 5.15 hal. 244. mencari informasi tentang langkah-langkah penyelesaian. Guru mengawasi dan membimbing penyelidikan dalam penyelesaiannya.



Fase 4: Mengembangkan dan menyajikan hasil karya  



Dengan berdiskusi kelompok, siswa menyelesaikan permasalahan masing-masing. Salah satu perwakilan kelompok menunjukkan penyelesaiannya.



60 menit



Fase 5: Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah     Penutup



  



Siswa diarahkan untuk membuat kesimpulan Guru memberikan penekanan pada bagian-bagian yang penting dari yang telah dipelajari Siswa mengerjakan kuis. Siswa dan guru mengadakan refleksi dari kegiatan pembelajaran yang telah berlangsung. Guru memberikan PR dari Buku Paket Matematika Kelas X Ayo Kerjakan soal Seleksi hal 245 tentang proyeksi orthogonal dua vektor. 15 menit Guru menginformasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya dan memberi motivasi agar siswa mempersiapkan diri. Menutup pembelajaran dengan mengucapkan salam



Pertemuan 16 (1jp) Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 1: Orientasi siswa kepada masalah  Kegiatan  Pembuka    Kegiatan Inti



Mengucapkan salam pembuka, cek presensi. Guru memberikan apersepsi Guru mengajak siswa mengingat kembali materi sebelumnya. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran Guru menyampaikan model pembelajaran yang akan digunakan



10



Fase 2: Mengorganisasikan siswa untuk belajar       



Guru membentuk membentuk kelompok siswa yang relatif heterogen (dari sisi kemampuan, gender, budaya, maupun agama) Guru memberi kesempatan siswa untuk menyelesaikan PR di papan tulis. 5 siswa maju sesuai pilihan acak. Guru memeriksa pekerjaan siswa yang lain. Guru meminta siswa mengamati penyelesaian di depan. Informasi apa saja yang diperoleh. Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat. Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar.



Fase 3: Membimbing penyelidikan individu dan kelompok 



Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat.  Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar.  Guru membimbing penyelidikan dalam menemukan penyelesaian yang tepat. Fase 4: Mengembangkan dan menyajikan hasil karya  



Dengan berdiskusi kelompok, siswa menyelesaikan latihan sub bab A nomor selanjutnya. Memberi kesempatan kepada kelompok yang berani maju menyelesaikan soal berikutnya lebih dulu.



25



Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 5: Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah     Kegiatan Penutup



  



Siswa diarahkan untuk membuat kesimpulan Guru memberikan penekanan pada bagian-bagian yang penting dari yang telah dipelajari Siswa mengerjakan kuis. Siswa dan guru mengadakan refleksi dari kegiatan pembelajaran yang telah berlangsung. Guru memberikan tugas di rumah untuk membuat ringkasan materi tentang persamaan eksponen. Guru menginformasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya dan memberi motivasi agar siswa mempersiapkan diri. Menutup pembelajaran dengan mengucapkan salam



10



Pertemuan 17 (2jp) Kegiatan



Rincian Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 1: Orientasi siswa kepada masalah



Kegiatan awal



  



 



Mengucapkan salam pembuka, cek presensi. Guru memberikan apersepsi Guru memberikan masalah dari Buku hal 253 atau masalah yang lebih kontekstual yang dapat dibuat tentang pembuktian teorema 15 menit Ceva. Kemudian guru memberi kesempatan siswa untuk mengamati dan memikirkan solusinya. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran Guru menyampaikan model pembelajaran yang akan digunakan



Fase 2: Mengorganisasikan siswa untuk belajar Kegiatan inti



   



Guru membentuk membentuk kelompok siswa yang relatif heterogen (dari sisi kemampuan, gender, budaya, maupun agama) Guru memberikan tugas kepada masing-masing kelompok untuk menyelesaikan Latihan subbab B hal. 250. Siswa bersama kelompoknya menyelesaikan soal-soal tersebut. Guru meminta siswa mengamati dengan baik penyelesaian masingmasing nomor. Informasi apa saja yang diperoleh.



Fase 3: Membimbing penyelidikan individu dan kelompok Dalam kelompok masing-masing, siswa mencari informasi tentang 60 menit langkah-langkah penyelesaian.  Dengan berdiskusi kelompok, siswa mengerjakan soal-soal kontekstual atau soal cerita tentang vektor dipand dibimbing oleh guru.  Guru mengawasi dan membimbing peyelesaiannya. Fase 4: Mengembangkan dan menyajikan hasil karya 



 



Dengan berdiskusi kelompok, siswa menyelesaikan permasalahan masing-masing. Salah satu perwakilan kelompok menunjukkan penyelesaiannya di depan kelas untuk beberapa nomor.







Hasil seluruhnya di tulis di kertas foliodi jilid rapi kemudian dikumpulkan sebagai tugas produk.



Fase 5: Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah     Penutup



 



Siswa diarahkan untuk membuat kesimpulan Guru memberikan penekanan pada bagian-bagian yang penting dari yang telah dipelajari Siswa mengerjakan kuis. Siswa dan guru mengadakan refleksi dari kegiatan pembelajaran yang telah berlangsung. Guru menginformasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan 15 menit berikutnya dan memberi motivasi agar siswa mempersiapkan diri. Menutup pembelajaran dengan mengucapkan salam



Pertemuan 18 (1jp) Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 1: Orientasi siswa kepada masalah  Kegiatan  Pembuka    Kegiatan Inti



Mengucapkan salam pembuka, cek presensi. Guru memberikan apersepsi Guru mengajak siswa mengingat kembali materi sebelumnya. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran Guru menyampaikan model pembelajaran yang akan digunakan



10



Fase 2: Mengorganisasikan siswa untuk belajar     



Guru membentuk membentuk kelompok siswa yang relatif heterogen (dari sisi kemampuan, gender, budaya, maupun agama) Guru memberi kesempatan siswa untuk mengajukan pertanyaan terkait materi vektor yang telah dipelajari, bagian mana yang belum dipahami. Guru meberikan penjelasan dan jawaban atas pertanyaan yang disampaikan siswa. Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat. Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil membantu menjawab pertanyaan dari siswa lain.



Fase 3: Membimbing penyelidikan individu dan kelompok   



Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat. Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar. Guru membimbing penyelidikan dalam menemukan penyelesaian yang tepat.



Fase 4: Mengembangkan dan menyajikan hasil karya  



Dengan berdiskusi kelompok, siswa menyelesaikan latihan sub bab B nomor selanjutnya. Memberi kesempatan kepada kelompok yang berani maju menyelesaikan soal berikutnya lebih dulu.



25



Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 5: Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah     Kegiatan Penutup



 



Siswa diarahkan untuk membuat kesimpulan Guru memberikan penekanan pada bagian-bagian yang penting dari yang telah dipelajari Siswa mengerjakan kuis. Siswa dan guru mengadakan refleksi dari kegiatan pembelajaran yang telah berlangsung. Guru menginformasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya dan memberi motivasi agar siswa mempersiapkan diri. Menutup pembelajaran dengan mengucapkan salam



10



Pertemuan 19 (2jp) Kegiatan



Rincian Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 1: Orientasi siswa kepada masalah



Kegiatan awal



  



 



Mengucapkan salam pembuka, cek presensi. Guru memberikan apersepsi Guru memberikan masalah dari Buku hal 253 atau masalah yang lebih kontekstual yang dapat dibuat tentang pembuktian teorema 15 menit Ceva. Kemudian guru memberi kesempatan siswa untuk mengamati dan memikirkan solusinya. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran Guru menyampaikan model pembelajaran yang akan digunakan



Fase 2: Mengorganisasikan siswa untuk belajar Kegiatan inti



    



Guru membentuk membentuk kelompok siswa yang relatif heterogen (dari sisi kemampuan, gender, budaya, maupun agama) Guru memberikan beberapa petunjuk tentang pembuktian teorema ceva. Siswa bersama kelompoknya menyelesaikan pembuktiannya. Guru menunjuk perwakilan 2 kelompok untuk menyelesaikan permasalahan yang disampaikan tadi di depan kelas. Anggota kelompok membantu. Guru meminta siswa mengamati kedua penyelesaian. Informasi apa saja yang diperoleh.



Fase 3: Membimbing penyelidikan individu dan kelompok   



Dalam kelompok masing-masing, siswa mencari informasi tentang langkah-langkah pembuktian. Dengan berdiskusi kelompok, siswa mengerjakan soal-soal kontekstual atau soal cerita tentang vektor dipandu, dibimbing oleh guru. Guru mengawasi dan membimbing penyelidikan dalam penyelesaiannya.



60 menit



Fase 4: Mengembangkan dan menyajikan hasil karya  



Dengan berdiskusi kelompok, siswa menyelesaikan permasalahan masing-masing. Salah satu perwakilan kelompok menunjukkan penyelesaiannya.



Fase 5: Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah     Penutup



  



Siswa diarahkan untuk membuat kesimpulan Guru memberikan penekanan pada bagian-bagian yang penting dari yang telah dipelajari Siswa mengerjakan kuis. Siswa dan guru mengadakan refleksi dari kegiatan pembelajaran yang telah berlangsung. Guru memberikan PR dari Buku Paket Matematika Kelas X latihan akhir bab III halaman 133 tentang persamaan dan pertidaksamaan 15 menit eksponen. Guru menginformasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya dan memberi motivasi agar siswa mempersiapkan diri. Menutup pembelajaran dengan mengucapkan salam



Pertemuan 20 (1jp) Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 1: Orientasi siswa kepada masalah  Kegiatan  Pembuka    Kegiatan Inti



Mengucapkan salam pembuka, cek presensi. Guru memberikan apersepsi Guru mengajak siswa mengingat kembali materi sebelumnya. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran Guru menyampaikan model pembelajaran yang akan digunakan



10



Fase 2: Mengorganisasikan siswa untuk belajar       



Guru membentuk membentuk kelompok siswa yang relatif heterogen (dari sisi kemampuan, gender, budaya, maupun agama) Guru memberi kesempatan siswa untuk menyelesaikan PR di papan tulis. 5 siswa maju sesuai pilihan acak. Guru memeriksa pekerjaan siswa yang lain. Guru meminta siswa mengamati penyelesaian di depan. Informasi apa saja yang diperoleh. Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat. Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar.



Fase 3: Membimbing penyelidikan individu dan kelompok   



Bersama-sama siswa yang lain memeriksa penyelesaian di depan, membetulkan yang kurang tepat. Dengan memberi kesempatan siswa yang lain memberikan pendapatnya tentang jawaban yang lebih tepat. Memberikan apresiasi kepada siswa yang berhasil menyelesaikan dengan baik, lancar dan benar. Guru membimbing penyelidikan dalam menemukan penyelesaian yang tepat.



25



Kegiatan



Deskripsi Kegiatan



Alokasi Waktu



Fase 4: Mengembangkan dan menyajikan hasil karya  



Dengan berdiskusi kelompok, siswa menyelesaikan latihan sub bab A nomor selanjutnya. Memberi kesempatan kepada kelompok yang berani maju menyelesaikan soal berikutnya lebih dulu.



Fase 5: Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah     Kegiatan Penutup



  



Siswa diarahkan untuk membuat kesimpulan Guru memberikan penekanan pada bagian-bagian yang penting dari yang telah dipelajari Siswa mengerjakan kuis. Siswa dan guru mengadakan refleksi dari kegiatan pembelajaran yang telah berlangsung. Guru memberikan tugas di rumah untuk membuat ringkasan materi tentang persamaan eksponen. Guru menginformasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya dan memberi motivasi agar siswa mempersiapkan diri. Menutup pembelajaran dengan mengucapkan salam



10



J. Teknik Penilaian 1.



Jenis/Teknis Penilaian Penilaian dilakukan melalui penilaian proses dan penilaian hasil. Penilaian proses dilakukan melalui observasi kelompok dan kerja individu, praktikum, presentasi, dan laporan tertulis. Sedangkan penilaian hasil dilakukan melalu tes tertulis.



2.



Bentuk Instrumen Penilaian a. Instrumen kinerja presentasi menggunakan lembar pengamatan kinerja presentasi dengan fokus penilaian pada: komunikasi, sistematika penyajian, wawasan, keberanian, antusias, dan penampilan. b. Instrumen observasi penilaian sikap kerja kelompok menggunakan pengamatan dalam hal sikap kerja sama, bertanggung jawab, toleran, dan disiplin. c. Instrumen observasi penilaian sikap kerja individu menggunakan lembar pengamatan sikap santun, jujur, peduli dalam mempelajari matematika. d. Instrumen observasi penilaian sikap kinerja presentasi menggunakan lembar pengamatan sikap responsif dan proaktif serta peduli dalam mempelajari hakekat ilmu dan peran matematika untuk diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Contoh bentuk instrumen terlampir.



3.



Pedoman Penskoran Pedoman penskoran terlampir.



Cepu, Juli 2018 Mengetahui, Kepala SMA N 1 CEPU



Guru Mata Pelajaran



Drs. DIANA JOHAN NUSANTO NIP. 19620827 198602 1 003



ANIEF ALFIANI, S.Si NIP. 198301242010012018



LAMPIRAN a.



Lembar Kinerja Presentasi PENILAIAN KINERJA PRESENTASI Mata Pelajaran



: Matematika



Materi



: Vektor



Alokasi Waktu



: 3 × 45 menit



Nama : NIS



:



Kelas : No. 1 2 3 4 5 6



Aspek yang dinilai



1



Penilaian 2



3



Komunikasi Sistematika penyampaian Wawasan Keberanian Antusias Penampilan



Rubrik: Aspek yang dinilai Komunikasi Sistematika penyampaian Wawasan Keberanian Antusias Penampilan



1 Tidak ada komunikasi



Penilaian 2 Komunikasi sedang



Wawasan kurang Tidak ada keberanian



Sistematika penyampaian sedang Wawasan sedang Keberanian sedang



Tidak antusias



Antusias sedang



Penampilan kurang



Penampilan sedang



Penyampaian tidak sistematis



3 Komunikasi lancar dan baik Sistematika penyampaian baik Wawasan luas Keberanian baik Antusias dalam kegiatan Penampilan baik



b.



Lembar Penilaian Projek INSTRUMEN PENILAIAN PROJEK Mata Pelajaran



: Matematika



Nama Projek



: Pembuktian Teorema Ceva dan Aplikasinya



Alokasi Waktu



: 3 × 45 menit



Guru Pembimbing



:



Nama : NIS



:



Kelas : No.



Aspek



1



Perencanaan: a. Latar belakang b. Rumusan masalah c. Tujuan penulisan Pelaksanaan: a. Ketepatan membuat balok b. Orisinalitas laporan c. Mendeskripsikan tentang bahan dan alat, serta teknik dalam membuat balok d. Struktur/logika penulisan disusun dengan jelas sesuai metode yang digunakan e. Bahasa yang digunakan sesuai EYD dan komunikatif f. Daftar pustaka yang dapat dipertanggungjawabkan (ilmiah) Laporan projek a. Kesimpulan sesuai dengan rumusan masalah b. Sara relevan dengan kajian dan berisi pesan untuk peningkatan kecintaan terhadap hasil karya



2



3



Skor (1-5) 1 2 3 4 5



c.



Lembar Observasi Penilaian Sikap Kerja Kelompok LEMBAR OBSERVASI PENILAIAN SIKAP KERJA KELOMPOK Mata Pelajaran



: Matematika Peminatan



Kelas



:X



Materi Pokok



: Vektor



No.



Nama Peserta didik



1 2 3 4 5



Kerja sama (1)



Dst



Keterangan pengisian skor: 1. Kurang 2. Cukup 3. Baik 4. Sangat baik



Observasi Tanggung Toleran Disiplin jawab (2) (3) (4)



Jumlah Skor



Nilai



d.



Lembar Observasi Penilaian Sikap Kerja Individu LEMBAR OBSERVASI PENILAIAN SIKAP KERJA INDIVIDU Mata Pelajaran



: Matematika Peminatan



Kelas



:X



Materi Pokok



: Vektor



Observasi Nama Menghargai Cinta No Peserta Santun Jujur karya damai didik sendiri (1) (2) (3) (4) 1 2 3 4 5 Dst Keterangan pengisian skor: 1. Kurang 2. Cukup 3. Baik 4. Sangat baik



Menghargai Jumlah karya orang Nilai Skor lain (5)



e.



Lembar Observasi Penilaian Sikap Kinerja Presentasi LEMBAR OBSERVASI PENILAIAN SIKAP KINERJA PRESENTASI Mata Pelajaran



: Matematika Peminatan



Kelas



:X



Materi Pokok



: Vektor



Observasi Nama Peduli Peduli Menghargai Jumlah No. Peserta Responsif Proaktif Nilai lingkungan sesama karya seni Skor didik (1) (2) (3) (4) (5) 1 2 3 4 5 Dst Keterangan pengisian skor: 1. Kurang 2. Cukup 3. Baik 4. Sangat baik



f.



Lembar Penilaian Portofolio FORMAT PENILAIAN PORTOFOLIO Sekolah



:



Mata Pelajaran



: Matematika



Durasi Waktu



:



Nama Peserta didik



:



Kelas/Semester



:



No.



Pencapaian Indikator



1 2 3



Persiapan Perencanaan Penulisan



Kriteria Waktu Struktur Penyampaian Ket. Tanggapan Publikasi kalimat konsep



Lampiran



: Materi Pembelajaran



VEKTOR PENGERTIAN VEKTOR



Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah. Suatu vektor dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah. Nilai (besar) vektor dinyatakan dengan panjang garis dan arahnya dinyatakan dengan tanda panah. Notasi vektor biasanya dengan menggunakan tanda anak panah di atasnya atau bisa juga dengan menggunakan huruf kecil yang tebal. Suatu vektor biasanya juga bisa dinyatakan dengan pasangan terurut bilangan real atau bisa juga dengan menggunakan  2 matriks kolom. Misalnya: a  2,3    . Maksudnya vektor tersebut 2 ke arah kanan dan 3 ke  3 arah atas. Vektor AB berarti titik A sebagai titik pangkal dan titik B sebagai ujung. Vektor BA dengan vektor AB besarnya (panjangnya) sama, hanya arahnya saling berlawanan. Jadi jika vektor AB dinyatakan dengan u maka vektor suka dinyatakan dengan - u . B



B



-u



u



A



A



Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. Artinya suatu vektor letaknya bisa di mana saja asalkan besar dan arahnya sama. Contoh 1: Pada balok di bawah ini , tentukan vektor lain yang sama dengan vektor AB ! H



G



D



C E A



F B



Jawab : …………………………………………………………………………………………………………………… ……….… A. VEKTOR DI RUANG DIMENSI DUA



1. VEKTOR POSISI Vektor posisi yaitu vektor yang posisi (letaknya) tertentu. Misalnya AB merupakan vektor posisi dimana pangkalnya di titik A dan ujungnya di titik B. Atau misalnya OA yaitu vektor posisi yang awalnya di titik pusat dan ujungnya di titik A. Vektor posisi OA, OB, OC dan seterusnya biasanya diwakili oleh vektor dengan huruf kecil misalnya a, b, c



OA  a, OB  b, OC  c .



dan sebagainya. Jadi



AB  OB  OA  b  a



Contoh 3 : Jika titik A(1,2) dan B(5,9) maka tentukan AB ! Jawab :…………………………………………………………………………………………………………………… ……… 2. VEKTOR NEGATIF (VEKTOR INVERS) Vektor negatif (invers) dari vektor a sering ditulis - a yaitu vektor yang panjangnya sama tetapi arahnya berlawanan.



maka b = - a



b



a



3. OPERASI PADA VEKTOR DI RUANG DIMENSI DUA 3.1 PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR Jika k suatu bilangan real maka k a adalah suatu vektor yang panjangnya k kali lipat panjang a . Jika k positif maka searah dengan a dan jika k negatif maka berlawanan arah dengan a . a



-3 a 2a



3.2 PENJUMLAHAN VEKTOR Penjumlahan 2 vektor dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu aturan segitiga dan dengan aturan jajargenjang. Penjumlahan 2 vektor dengan aturan segitiga yaitu dengan mempertemukan ujung vektor yang satu ( a ) dengan awal vektor yang lain ( b ), sehingga resultan (hasil penjumlahan vektor) kedua vektor adalah awal vektor yang satu ( a ) ke ujung vektor yang lain ( b ). Sedangkan penjumlahan dengan aturan jajargenjang yaitu dengan mempertemukan kedua awal vektor, kemudian membuat vektor kembarannya pada masing-masing ujung kedua vektor sehingga membentuk suatu bangun jajargenjang. Resultan kedua vektor adalah awal pertemuan kedua vektor tersebut ke ujung pertemuan kedua vektor tersebut. Contoh 4 : Tentukan a  b dari vektor-vektor di bawah ini ! a



b



Jawab : Cara I (aturan segitiga) : a



b



ab



Cara II (aturan jajargenjang) :



b



a ab



Penjumlahan untuk 3 vektor atau lebih digunakan aturan poligon yang merupakan pengembangan dari aturan segitiga. Contoh 5 : Tentukan a  b  c  d dari vektor-vektor di bawah ini : d



a



b



c



Jawab : b



c



a d abcd



3.3 SELISIH DUA VEKTOR Selisih dua vektor a dan b ditulis a  b dapat dipandang sebagai penjumlahan a dengan b (vektor invers b ). Jadi a  b = a   b



 



Contoh 5 : Tentukan a  b jika diketahui : Jawab: -b



a



a



b



a b



LATIHAN SOAL 1. Perhatikan gambar berikut : X



b



Y



a



c Z W



M



Jika WX = a, XY = b, dan YZ = c, dan M merupakan titik tengah WZ, nyatakan dalam vektor a, b dan c untuk vektor-vektor berikut : a. WY b. ZX c. WZ d . WM e. MY



2. Perhatikan gambar berikut : Q



b



R



a E P



c F S



Jika PQ = a, QR = b dan RS = c. Titik E dan F berturut-turut titik tengah RS dan QS. Nyatakan dalam a, b dan c untuk vektor-vektor : a. PR b. RP c. PS d . QE e. PF f . FR



3. Diberikan vektor-vektor berikut :



a



b



c



Jika panjang vektor a = 2 cm, b = 1 cm dan c = 2,5 cm, maka lukislah dengan aturan poligon vektor-vektor di bawah ini : a. a + b +c b. a - 2b + 3c c. 2a – b – c 4. Diketahui ABCDEF adalah segienam beraturan. Jika BC dan FC masing-masing mewakili vektor b dan 2a, maka nyatakan vektor-vektor AB, CD dan BE dengan a dan b. 5. P, Q dan R berturut-turut adalah titik tengah sisi AB, BC dan AC suatu segitiga ABC. Jika O adalah sembarang titik dalam segitiga ABC, maka tunjukkan bahwa OA  OB  OC  OP  OQ  OR .



B.VEKTOR DI RUANG DIMENSI TIGA Vektor basis (vektor satuan) di ruang dimensi tiga biasanya dinyatakan dengan i, j dan k . i vektor satuan searah sumbu OX , j vektor satuan searah sumbu OY dan k vektor satuan searah sumbu OZ . Jadi misalnya vektor OP  u  a i  b j  ck dapat digambarkan sebagai berikut : Z



c O



b



Y



a



X



a  Bentuk vektor di atas dapat juga dinyatakan dengan vektor kolom OP  u  b   c  1. OPERASI PADA VEKTOR DI RUANG DIMENSI TIGA 1.1 PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN DUA VEKTOR Jika u  a i  b j  c k dan v  p i  q j  r k maka :



u  v  a  p i  b  q  j  c  r  k u  v  a  p i  b  q  j  c  r  k Contoh 2: Jika a  5 i  3 j  4k dan b  i  7 j  5k maka tentukan a  b dan b  a ! Jawab : ………………………………………………………………………………………………………… …………………



1.2 PERKALIAN SKALAR DENGAN VEKTOR Jika u  a i  b j  c k dan n suatu skalar bilangan real maka : n u  na i  nb j  nc k



Contoh 3 : Jika a  3 i  2 j  5k maka tentukan 10 a ! Jawab : ………………………………………………………………………………………………………… ……………….



LATIHAN SOAL 1. Nyatakan dalam vektor-vektor posisi dari titik-titik di bawah ini : a. A(1,2,3) b. B(2,-1,-3) c. C(0,2,4) d. D(0,1,0) 2. Diberikan titik P(2,4,3) dan Q(1,-5,2). a. Nyatakan vektor posisi OP dan OQ dalam vektor satuan i, j dan k b. Tentukan vektor PQ dalam satuan i, j dan k 3. Ulangi soal no. 2 untuk P(0,-1,5) dan Q(1,0,-2) 4. Ditentukan vektor-vektor r 1 =2i+ 4j – 5k dan r 2 = i + 2j + 3k Tentukan : a. r = r 1 + r 2 b. r = 2r 1 - 3r 2



 0   2    1 1         5. Carilah nilai a, b dan c jika : a  2   b  1   c  0   1 !  1   0   1  1        



 3   1   2        6. Buktikan bahwa vektor-vektor   2 ,   3  dan  1  membentuk sebuah segitiga !  1   5    4       7. Tunjukkan bahwa vektor yang melalui titik-titik (2,2,3) dan (4,3,2) sejajar dengan vektor-vektor yang melalui titik-titik (5,3,-2) dan (9,5,-4)! 8. Diketahui P(6,4,2), Q(8,6,4) dan R(2,2,2). Tunjukkan bahwa OPQR adalah jajargenjang !



C.RUMUS PERBANDINGAN Misalkan titik P pada garis AB dengan perbandingan AP : PB = m : n. Perhatikan gambar di bawah ini ! A a



m p



O



n



B



b



AP : PB  m : n 



pa m  b p n



p (m  n)  mb  na 



p



 n p  na  mb  m p



mb  na mn



Jadi : p



mb  n a mn



Jadi jika titik A( xA1, yA , z A ) dan B( xB , yB , zB ) maka koordinat :



P(



mxA  nxB myA  nyB mz A  nz B , , ) mn mn mn



Titik P bisa membagi AB dengan perbandingan di dalam seperti di atas atau bisa juga dengan perbandingan di luar, maksudnya titik P di luar ruas garis AB. Jika arah perbandingannya berlawanan harus dengan menggunakan tanda negatif. Contoh 1: Diketahui titik A(1,2,3) dan titik B(4,8,12). Jika titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan AP : PB = 1 : 2. Tentukan koordinat titik P ! Jawab : ………………………………………………………………………………………………………… ………………… Contoh 2: Diketahui titik A(-1,0,1) dan titik B(2,2,2). Jika titik P membagi AB di luar dengan perbandingan AP : PB = 3 : -1. Tentukan koordinat titik P ! Jawab : ………………………………………………………………………………………………………… …………………



LATIHAN SOAL 1. Gambarlah garis AB yang panjangnya 6 cm. Titik C adalah titik pada AB. Tandailah letak titik C sedemikian sehingga : a. AC : CB = 2 : 1 b. AC : CB = 3 : 1 c. AC : CB = 3 : -2 d. AC : CB = 1 : -3 2. Tentukan koordinat C jika : a. A(3,2), B(9,5) dan AC : CB = 2 : 1 b. A(-1,-3), B(7,5) dan C titik tengah dari AB c. A(-3,-2), B(7,3) dan AC : CB = 3 : 2 3. R adalah titik pada perpanjangan PQ. Tentukan koordinat R jika : a. P(2,1), Q(4,7) dan PR : RQ = 3 : -2 b. P(-1,-2), Q(4,0) dan PR : RQ = -2 : 1 4. M adalah titik pada garis PQ. Tentukan koordinat M jika : a. P(1,0,2), Q(5,4,10) dan PM : MQ = 3 : 1 b. P(-3,-2,-1), Q(0,-5,2) dan PM : MQ = 4 : -3 5. Titik sudut segitiga ABC adalah A(6,-9,-3), B(2,3,0) dan C(3,5,2). T adalah titik potong garis berat dari B ke sisi AC. Tentukan koordinat titik T ! 1 6. Dalam segitiga ABC, Z adalah titik berat segitiga ABC. Tunjukkan bahwa z = (a + b + c ) 3 7. Pada segitiga ABC, titik E pada AC sedemikian sehingga AE : EC = 3 : 1 dan titik D pada BC sedemikian sehingga BD : DC = 1 : 2. Tunjukkan bahwa ED dapat dinyatakan dengan vektor a, b 1 ( -3a + 8b – 5c) dan c sebagai 12



D. PANJANG VEKTOR 1. MODULUS VEKTOR (PANJANG VEKTOR) DI RUANG DIMENSI DUA



a  Modulus (panjang) suatu vektor a   1  yaitu  a2 



a  a1  a2



  2 Contoh 2 : Diketahui vektor u    , tentukan  3 



u !



2



2



Jawab : ……………………………………………………………………………………………………… 2. MODULUS VEKTOR (PANJANG VEKTOR) DI RUANG DIMENSI TIGA Panjang suatu vektor u  a i  b j  c k adalah u  a 2  b 2  c 2



Contoh 1 : Jika diketahui a  2 i  3 j  k maka tentukan a ! Jawab : ……………………………………………………………………………………………………………… ………………… LATIHAN SOAL



 3    1. Hitunglah panjang vektor   2   5    2. Hitunglah jarak antara titik A(-5,-4,-1) dan B(3,2,-1) 3. Jika a = i – 2j + 2k dan b = 3i + 6j – 2k, maka hitunglah : a. a b.



b



c. a–b 4. Vektor posisi titik P dan Q adalah p = 2i – j + 3k dan q = 4i + 2j – 3k a. Tentukan PQ b. Hitunglah PQ 5. Segitiga ABC dengan A(3,-1,5), B(4,2,-5) dan C(-4,0,3). Jika D merupakan titik tengah sisi BC, hitunglah panjang garis AD ! 6. Koordinat titik A(7,-5,5), B(7,-3,4) dan C(7,-4,2). Tunjukkan bahwa segitiga ABC siku-siku sama kaki !   3  1   2        7. AB, BC dan CD masing-masing wakil dari vektor   1 ,  5  dan   4  . Tunjukkan bahwa A  2    3  1        dan D berimpit dan segitiga ABC siku-siku !



E. PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR Hasil kali skalar dua vektor a dan b ditulis a  b yang didefinisikan sebagai berikut :



a  b  a b cos



dimana  sudut antara vektor a dan b .



a



 b



Contoh 1 : Jika a  4 dan b  6 dan sudut antara a dan b adalah 60 maka tentukan a  b ! Jawab : …………………………………………………………………………………………………………………… ………….



SIFAT-SIFAT HASIL KALI SKALAR 1. Dua vektor yang saling sejajar : a  b  a b cos 0  a b 2. Dua vektor yang saling tegak lurus : a  b  a b cos 90  0 3. Dua vektor yang berlawanan arah : a  b  a b cos180   a b 4. Bersifat komutatif : a  b  b  a 5. Bersifat distributif : a  b  c  a  b  a  c











PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR DALAM BENTUK KOMPONEN Jika a  a1i  a2 j  a3 k dan b  b1i  b2 j  b3 k maka



a  b  a1b1  a2b2  a3b3



  1  0     Contoh 2 : Diketahui a   2  dan b   4  maka tentukan a  b ! 3  2     Jawab : …………………………………………………………………………………………………………………… ……………



LATIHAN SOAL



1  1. Jika i = 0  , j =   0  a. i . i b. i . j c. i . k d. j . j e. j . k f. k . k



0  1  dan k =   0 



0  0  , tentukan :   1 



2. Tentukan a . b jika  adalah sudut antara a dan b dari : a. a = 3, b = 4 dan   60 b.



a



= 2,



b



= 1 dan   120



3. Diketahui a = 2i + 5j + k dan b = i – 2j – k. Tentukan : a. a . b b. b . a c. a . a 4. Diketahui A(1,,0,-1), B(-2,-1,3) dan C(1,1,1). Jika a wakil dari vektor BA dan b wakil dari vektor BC , hitunglah a . b



5. Diketahui jajargenjang ABCD dengan A(2,3,1), B(4,5,2) dan D(2,-1,4). Hitunglah vektor AB. AC 6. Diketahui a = 4, a. a . (a + b) b. a . (a – b) c. (a + b) . (a + b) d. (a – b) . (a + b)



b



= 6 dan sudut antara a dan b adalah 120 . Hitunglah :



7. Diketahui



b



=1,



a



= 3,



8. Diketahui vektor a . b = 6. Hitunglah



c



= 4 dan a + b + c = 0. Hitunglah a . b + b . c + c . a a+b



jika



a-b



= 17



F. SUDUT ANTARA DUA VEKTOR Sudut antara vektor a dan b adalah cos 



ab ab



  1  0     Contoh 1: Diketahui a   2  dan b   4  . Tentukan sudut antara a dan b ! 3  2     Jawab : a  b  ................. a  ................. b  ................. cos  ...............    .......



LATIHAN SOAL



2  3   1. Tentukan kosinus sudut antara vektor  1 dan  2   2   6  2. Hitunglah besar sudut AOB jika : a. A(4,2,-1) dan B(2,-2,4) b. A(1,0,1) dan B(0,1,-1) 3. Tentukan kosinus sudut antara vektor a = 3i + 7j + 2k dan b = i + j – 6k 4. Tentukan nilai m jika a = mi – 2j + k dan b = 2mi + mj – 4k saling tegak lurus. 5. Diketahui A(-5,5,7), B(-3,4,7) dan C(-4,2,7). Perlihatkan bahwa segitiga ABC adalah siku-siku dengan menggunakan perkalian skalar ! 6. Diketahui A(1,4,4), B(0,2,3) dan C(1,0,2). Hitunglah besar sudut-sudut segitiga ABC. 7. Diketahui A(-2,-1,3), B(4,2,3) dan D(3,-1,1). C membagi AB dengan perbandingan 2 : 1. Tunjukkan bahwa sudut ACD siku-siku dengan menggunakan perkalian skalar ! 8. Diketahui A(1,0,1), B(4,6,10), C(5,-2,8) dan D(9,6,6). P membagi AB dengan perbandingan 2 : 1 dan Q adalah titik tengah CD. a. Tentukan vektor yang diwakili oleh AB, CD dan PQ b. Buktikan bahwa PQ tegak lurus AB dan CD



G. PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR 1. PROYEKSI SKALAR ORTOGONAL Perhatikan gambar di bawah ini :



A a



 O



B c



C



b



Karena OC  c  a cos dan cos 



ab



maka :



ab Panjang proyeksi vektor a terhadap b yaitu



OC  c 



ab b



1  3     Contoh 1: Diketahui a   2  dan b   4  . Tentukan panjang proyeksi vektor a terhadap b !  2  0     Jawab :



a  b  .............. b  ................ c  ................



2. VEKTOR SATUAN



Vektor satuan vektor a =



a a



1   Contoh 2 : Tentukan vektor satuan vektor b   2  !  3   Jawab : ………………………………………………………………………………………………………………… 3. VEKTOR PROYEKSI Perhatikan gambar di bawah ini : A a







c



O



b



B



C



OC  c  c x vektor satuan b 



ab b



x



b







b



Jadi proyeksi vektor a terhadap b adalah :



ab 2



b



b



c



ab 2



b



b Contoh 3 : Tentukan vektor proyeksi dari vektor a terhadap b pada contoh 1 di atas ! Jawab : …………………………………………………………………………………………………………………… LATIHAN SOAL 1. Diketahui a = 2i + 2j - k dan b =6 i - 3 j + 2k. Tentukan : a. panjang proyeksi dan vektor proyeksi a terhadap vektor b b. panjang proyeksi dan vektor proyeksi b terhadap vektor a 2. Diketahui P(2,4,3) dan Q(1,-5,2). O adalah titik pangkal. Tentukan : a. panjang proyeksi dan vektor proyeksi p terhadap vektor q b. panjang proyeksi dan vektor proyeksi q terhadap vektor p 3. Diketahui P(3,2,-1) dan Q(-4,-2,3) serta a = -3i + 4j + k a. Tentukan panjang proyeksi a pada vektor PQ b. Tentukan panjang proyeksi dan vektor proyeksi PQ terhadap a 4. Diketahui P(3,5,0), Q(1,3,-1) dan R(-1,4,1). Hitung panjang vektor proyeksi PQ terhadap vektor 5. 6. 7. 8.



PR Diketahui a = 6, b = 8 dan sudut antara a dan b sama dengan 45 . Hitung panjang vektor proyeksi dan vektor proyeksi a terhadap b Tentukan proyeksi a = 4i - 3j + k pada garis yang melalui titik-titik (2,3,-1) dan (-2,-4,3) Diketahui p = -3i + mj + nk dan q =-2i + j + 2k. Jika p = 3 6 , maka tentukan nilai m dan n agar panjang proyeksi p pada q sama dengan 2 satuan 1 3 1 Vektor proyeksi 2i + j + 3k terhadap vektor i + 3j – pk adalah i + j - k. Tentukan nilai p ! 2 2 2



Lampiran 2 A. Jurnal Penilaian Sikap JURNAL GURU MATA PELAJARAN Satuan Pendidikan Tahun Pelajaran Kelas/ Semester Mata Pelajaran No. ....... .......



Waktu .................... ..........…..



: SMA Negeri 1 Cepu : 2018/2019 : X/ 2 : Matematika Peminatan Nama Peserta Didik ............................. .............…….



Butir Sikap ................. ......…...



Kejadian/ Perilaku ......................................... ..................………….



Positif/ Negatif .................... ........……



Tindak Lanjut .......................... ...........……...



B. Lembar Penilaian Kegiatan 2.1 Rubrik Penilaian Sikap Spiritual dan Sikap Sosial Kegiatan 2.1 Sikap yang Dinilai



No.



Berdoa Sebelum Mempelajari Pengertian Vektor BT



1.



….



Sikap Sosial



Sikap Spiritual



Nama Peserta Didik



….



Disiplin Melakukan Kegiatan Menganalisis Pengertian Vektor



Santun Mengemukakan Hasil Kegiatan



MT MB



M



BT



MT



MB



M



BT



MT



MB



M



….



….



….



….



….



….



….



….



….



….



Keterangan: BT : Belum Tampak MT : Mulai Tampak MB : Mulai Berkembang M : Membudaya Keterangan Skor: M :4 MB :3 MT : 2 BT : 1 Guru dapat menggunakan aspek peserta didik.



….



Kriteria Nilai : A = 80-100 :4 B = 70-79 :3 C = 60-69 :2 D = < 60 :1 sikap spiritual dan sosial yang lain sesuai dengan kondisi



C. Lembar Penilaian Kegiatan 2.2 Rubrik Penilaian Sikap Spiritual, Sikap Sosial dan Pengetahuan Kegiatan 2.2 Aspek yang Dinilai



No.



1.



Nama Peserta Didik



….



Sikap Spiritual Menghargai Pendapat Teman yang Berbeda Agama



Sikap Sosial



Pengetahuan



Jujur dalam Mendeskripsikan Vektor Posisi dan Vektor Nol



Ketepatan Penyelesaian Masalah



Ketepatan Kesimpulan



….



….



….



….



Keteran gan



Pedoman Penskoran Kegiatan 2.2 No. 1.



Aspek yang Dinilai



Skor



3.



Menghargai pendapat teman yang 1, jika menghargai; 0, jika tidak menghargai berbeda agama Jujur dalam mendeskripsikan vektor 1, jika jujur; 0 jika tidak jujur posisi dan vektor nol Ketepatan penyelesaian masalah 1, jika tepat; 0, jika tidak tepat



4.



Ketepatan kesimpulan



2.



1, jika tepat’ 0, jika tidak tepat



D. Lembar Penilaian Kegiatan 2.3 Rubrik Penilaian Sikap Spiritual, Sikap Sosial dan Pengetahuan Kegiatan 2.3 Sikap Spiritual No.



Nama Peserta Didik



Bersyukur dapat menganalisis Operasi Vektor di Bidang



1.



….



….



Aspek yang Dinilai Sikap Sosial Pengetahuan Responsif Melakukan Ketepatan Kegiatan Ketepatan Penyelesaian Menganalisis Kesimpulan Masalah Operasi Vektor di Bidang ….



….



….



Pedoman Penskoran Kegiatan 2.3 No. 1.



Aspek yang Dinilai



Skor



3.



Bersyukur dapat menganalisis operasi 1, jika bersyukur; 0, jika tidak bersyukur vektor di bidang Responsif melakukan kegiatan 1, jika responsif; 0, jika tidak responsif menganalisis operasi vektor di bidang Ketepatan penyelesaian masalah 1, jika tepat; 0, jika tidak tepat



4.



Ketepatan kesimpulan



2.



1, jika tepat’ 0, jika tidak tepat



Keteran gan



E.



Lembar Penilaian Unjuk Kerja Aspek yang Dinilai



No.



1.



Sikap Spiritual Berdoa Sebelum dan Sesudah Kegiatan Unjuk Kerja



Nama Peserta Didik



….



Sikap Sosial Tanggung jawab menyelesaikan Kegiatan Unjuk Kerja …..



…..



Pengetahuan Keterampilan Menggambar Benda di Koordinat Cartesius



Keterangan



Ketepatan Langkah



Ketepatan hasil Operasi Vektor



….



….



….



….



Pedoman Penskoran Kegiatan 2.3 No. 1.



Skor



Berdoa sebelum dan sesudah kegiatan 1, jika berdoa; 0, jika tidak berdoa unjuk kerja Tanggung jawab menyelesaikan 1,jika tanggung jawab; 0, jika tidak tanggung kegiatan unjuk kerja jawab



2.



F.



Aspek yang Dinilai



3.



Ketepatan langkah



1, jika tepat; 0, jika tidak tepat



4.



Ketepatan hasil operasi vektor



1, jika tepat; 0, jika tidak tepat



5.



Keterampilan menggambar benda di 1, jika terampil; 0, jika tidak terampil koordinat Cartesius



Lembar Penilaian Kegiatan 2.4 dan 2.5 Rubrik Penilaian Sikap Spiritual, Sikap Sosial dan Pengetahuan Kegiatan 2.4 dan 2.5



No.



Nama Peserta Didik



1.



….



Sikap Spiritual Menghargai Pendapat Teman lain yang Berbeda Agama ….



Aspek yang Dinilai Sikap Sosial



Pengetahuan



Santun Mempresentasikan Hasil Analisis



Ketepatan Penulisan Rumus



Ketepatan Hasil Analisis



….



….



….



Pedoman Penskoran Kegiatan 2.4 dan 2.5 No. 1.



Aspek yang Dinilai



Skor



3.



Menghargai pendapat teman lain yang 1, jika menghargai; 0 jika tidak menghargai berbeda agama Santun mempresentasikan hasil 1, jika santun; 0, jika tidak santun analisis Ketepatan penulisan rumus 1, jika tepat; 0, jika tidak tepat



4.



Ketepatan hasil analisis



2.



1, jika tepat’ 0, jika tidak tepat



Keteran gan



G. Lembar Penilaian Kegiatan 2.6 Rubrik Penilaian Sikap Spiritual, Sikap Sosial dan Pengetahuan Kegiatan 2.6



No.



Nama Peserta Didik



1.



….



Sikap Spiritual Berdoa Sebelum Mendeskripsik an Vektor unit dan Vektor Basis



Aspek yang Dinilai Sikap Sosial



Pengetahuan



Kerja Sama Membuat Pemetaan



Ketepatan Membuat Pemetaan



Ketepatan Kesimpulan



….



….



….



….



Keteran gan



….



Pedoman Penskoran Kegiatan 2.6 No. 1.



Aspek yang Dinilai



Skor



2.



Berdoa sebelum mendeskripsikan 1, jika berdoa; 0, jika tidak berdoa vektor unit dan vektor basis Kerja sama membuat pemetaan 1, jika kerja sama, 0,jika tidak kerja sama



3.



Ketepatan membuat pemetan



1, jika sesuai; 0, jika tidak sesuai



4.



Ketepatan kesimpulan



1, jika tepat’ 0, jika tidak tepat



H. Lembar Penilaian Kegiatan 2.7 dan 2.8 Rubrik Penilaian Sikap Spiritual, Sikap Sosial dan Pengetahuan Kegiatan 2.7 dan 2.8



No.



Nama Peserta Didik



1.



….



Sikap Spiritual Menghargai Pendapat Teman yang Berbeda Agama ….



Aspek yang Dinilai Sikap Sosial



Pengetahuan



Peduli terhadap Teman yang Mengalami Kesulitan



Ketepatan Membuat Pemetaan



Ketepatan Kesimpulan



….



….



….



Pedoman Penskoran Kegiatan 2.7 dan 2.8 No. 1.



Aspek yang Dinilai



Skor



2.



Berdoa sebelum mendeskripsikan 1, jika berdoa; 0, jika tidak berdoa vektor unit dan vektor basis Kerja sama membuat pemetaan 1, jika kerja sama, 0,jika tidak kerja sama



3.



Ketepatan membuat pemetan



1, jika sesuai; 0, jika tidak sesuai



4.



Ketepatan kesimpulan



1, jika tepat’ 0, jika tidak tepat



Keteran gan



….



I.



Lembar Penilaian Kegiatan 2.9 Rubrik Penilaian Sikap Spiritual, Sikap Sosial dan Pengetahuan Kegiatan 2.9



No.



Nama Peserta Didik



1.



….



Sikap Spiritual Berdoa sebelum Kegiatan Merumuskan Vektor Segaris dan Sebidang



Aspek yang Dinilai Sikap Sosial



Pengetahuan



Rasa ingin Tahu Vektor Segaris dan Sebidang



Berpikir Kritis Menyelesaikan Maslah



Ketepatan Kesimpulan



….



….



….



….



Keteran gan



….



Pedoman Penskoran Kegiatan 2.9 No. 1. 2.



J.



Aspek yang Dinilai



Skor



Berdoa sebelum kegiatan merumuskan 1, jika berdoa, 0, jika tidak berdoa vektor segaris dan sebidang Rasa ingin tahu terhadap vektor segaris 1, jika rasa ingin tahu, 0, jika tidak rasa ingn dan sebidang tahu



3.



Berpikir kritis menyelesaikan masalah



1, jjka kritis; 0, jika tidak kritis



4.



Ketepatan kesimpulan



1, jika tepat’ 0, jika tidak tepat



Lembar Penilaian Kegiatan 2.10 Rubrik Penilaian Sikap Spiritual, Sikap Sosial dan Pengetahuan Kegiatan 2.10



No.



Nama Peserta Didik



1.



….



Sikap Spiritual Bersyukur dapat Merumuskan Panjang Suatu Vektor ….



Aspek yang Dinilai Sikap Sosial



Pengetahuan



Jujur dalam Merumuskan Panjang Suatu Vektor



Ketepatan Rumus Phytagoras



Ketepatan Hasil Analisis



….



….



….



Pedoman Penskoran Kegiatan 2.10 No. 1.



Aspek yang Dinilai



Skor



3.



Bersyukur dapat merumuskan panjang 1, jika bersyukur, 0, jika tidak bersyukur suatu vektor Jujur dalam merumuskan panjang 1, jika jujur, 0, jika tidak jujur suatu vektor Ketepatan Rumus Phytagoras 1, jjka tepat; 0, jika tidak tepat



4.



Ketepatan hasil analisis



2.



1, jika tepat’ 0, jika tidak tepat



Keteran gan



….



K. Lembar Penilaian Kegiatan 2.11 Rubrik Penilaian Sikap Spiritual, Sikap Sosial dan Pengetahuan Kegiatan 2.11



No.



Nama Peserta Didik



1.



….



Sikap Spiritual Mempelajari Materi Pembagian Ruas Garis sebagai Bentuk Rasa Syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa



Aspek yang Dinilai Sikap Sosial Pengetahuan Bekerja sama Menemukan Rumus Ketepatan Kesesuaian Pembagian Analaisis Kesimpulan Ruas Garis dalam Ruang



….



….



….



….



Keteran gan



….



Pedoman Penskoran Kegiatan 2.11 No. 1.



Skor



3.



Mempelajari materi pembagian ruas 1, jika mempelajari; 0, jika tidak mempelajari garis sebagai bentuk rasa syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa. Bekerja sama menemukan rumus 1, jika kerja sama; 0, jika tidak kerja sama pembagian ruas garis dalam ruang Ketepatan analisis 1, jika tepat; 0, jika tidak tepat



4.



Kesesuaian kesimpulan



2.



L.



Aspek yang Dinilai



1, jika sesuai; 0, jika tidak sesuai



Lembar Penilaian Kegiatan 2.12 Rubrik Penilaian Sikap Spiritual, Sikap Sosial dan Pengetahuan Kegiatan 2.12



No.



Nama Peserta Didik



1.



….



Sikap Spiritual Bersyukur dapat Membuktikan Perkalian Skalar Dua Vektor ….



Aspek yang Dinilai Sikap Sosial



Pengetahuan



Percaya Diri Mengemukakan Hasil Analisis



Ketepatan Rumus Perkalian Skalar Dua Vektor



….



….



Keteran Ketepatan gan Rumus Besar Sudut Antara Dua Vektor ….



Pedoman Penskoran Kegiatan 2.12 No. 1. 2. 3. 4.



Aspek yang Dinilai Bersyukur dapat membuktikan perkalian skalar dua vektor Percaya diri mengemukakan hasil analisis Ketepatan rumus perkalian skalar dua vektor Ketepatan rumus besar sudut antara dua vektor



Skor 1, jika bersyukur; 0, jika tidak bersyukur 1, jika percaya diri; 0, jika tidak percaya diri 1, jika tepat; 0, jika tidak tepat 1, jika tepat; 0, jika tidak tepat



….



M. Lembar Penilaian Tugas Portofolio Rubrik Penilaian Tugas Portofolio Skor No.



Aspek yang Dinilai



1.



Kelengkapan tugas



2.



Pembuatan laporan



0



1



Pedoman penskoran: Beri tanda centang (√) pada kolom skor di atas. Skor 1, jika peserta didik melakukan kegiatan dengan tepat. Skor 0, jika peserta didik melakukan kegiatan tidak tepat. N. Lembar Penilaian Kegiatan 2.13 Rubrik Penilaian Sikap Spiritual, Sikap Sosial dan Pengetahuan Kegiatan 2.13



No.



Nama Peserta Didik



1.



….



Sikap Spiritual Berdoa Sebelum Merumuskan Proyeksi Skalar Skalar Orthogonal



Aspek yang Dinilai Sikap Sosial



Pengetahuan



Santun Mempresentasika n Hasil Kerja di Depan Kelas



Ketepatan Analisis



Ketepatan Kesimpulan



….



….



….



….



Keteran gan



….



Pedoman Penskoran Kegiatan 2.12 No. 1.



Aspek yang Dinilai



Skor



3.



Berdoa sebelum merumuskan proyeksi 1, jika berdoa; 0 jika tidak berdoa skalar orthogonal Santun mempresentasikan hasil kerja di 1, jika santun; 0, jika tidak santun depan kelas Ketepatan Analisis 1, jika tepat; 0, jika tidak tepat



4.



Ketepatan Kesimpulan



2.



1, jika tepat; 0, jika tidak tepat



O. Tugas Projek Rubrik Penilaian Tugas Projek Aspek yang Dinilai



No.



1.



Nama Peserta Didik



….



Sikap Spiritual



Sikap Sosial



Berdoa sebelum Menyusun Makalah



Bekerja sama Menyusun Makalah



Berpikir Kritis



Ketepatan Hasil Diskusi



….



….



….



….



Pengetahuan



Keterampilan Terampil Mencari Buku



Keterampilan Menyusun Makalah



Keterangan



….



Pedoman Penskoran Tugas Projek No.



P.



Aspek yang Dinilai



Skor



1.



Berdoa sebelum menyusun makalah



1, jika berdo; 0, jika tidak bedoa



2.



Kerja sama menyusun makalah



1, jika kerja sama; 0 jika tidak kerja sama



3.



Berpikir kritis



1, jika kritis; 0, jika tidak kritis



4.



Ketepatan hasil diskusi



1, jika tepat; 0, jika tidak tepat



5.



Terampil mencari buku



1, jika terampil; 0, jika tidak terampil



6.



Keterampilan menyusun makalah



1, jika terampil; o, jika tidak terampil



Penilaian Pengetahuan Ulangan Harian Vektor Tes tulis : Digunakan untuk menilai pengetahuan peserta didik dalam materi Vektor Petunjuk : Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar dan teliti! 1.



2.



3.



Pada balok ABCD.EFGH diketahui vektor ̅̅̅̅ DC mewakili 𝑢̅, ̅̅̅̅ EH mewakili 𝑣̅ , dan ̅̅̅̅ GC mewakili 𝑤 ̅. Nyatakan hasil operasi vektor berikut dalam 𝑢̅, 𝑣̅ , dan 𝑤 ̅. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ a. 𝐴𝐻 + DF +BC. b. ̅̅̅̅ AC + ̅̅̅̅ DE - ̅̅̅̅ BH. Diketahui koordinat titik P (4, -2, 3), Q (1, -3, 6), dan R (-2, 5, 0). Jika 𝑢̅= ̅̅̅̅ PQ dan 𝑣̅ = ̅̅̅̅ QR, tentukan hasil operasi berikut. a. 𝑢̅ + 𝑣̅ b. 4𝑢̅ − 2𝑣̅ 7 −1 Diketahui 𝑎̅ = dan 𝑏̅ = ( ). Tentukan vektor 𝑐̅ yang memenuhi kesamaan berikut. −5 3 a. 2𝑎⃗ + 4𝑏⃗⃗ = 𝑐⃗ − 𝑎⃗ b. 6𝑎⃗ − 5𝑏⃗⃗ + 2𝑐⃗ = 3𝑎⃗ + 4𝑐⃗



4.



Diketahui koordinat titik A(-2, 0, 1), B (x, 3, -1), dan C (6, x+y, -3). Jika A, B, dan C segaris, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ! tentukan nilai ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB . AC



5.



Diketahui koordinat titik A (1, 2, 3) dan B (3, 1, 2). Jika titik C pada perpanjangan AB dengan perbandingan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BC = 2:1. Tentukan. a. Koordinat titik C; b. Panjang vektor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC.



6.



7. 8.



9.



Diketahui segitiga ABC dengan titik A (2, 4, -1), B (-4, 7, 5), dan C( 2, 4, -5). Titik P pada AB sehingga AP : PB = 2:1. Jika 𝑢 ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB dan 𝑣⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ CP, tentukan: a. koordinat titik P; b. hasil 𝑢 ⃗⃗. 𝑣⃗. −2 2 Diketahui ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB = (−4) dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BC = (1). Tentukan besar sudut BAC! 2 1 Diketahui tiga vektor 𝑢 ⃗⃗, 𝑣⃗, dan 𝑤 ⃗⃗⃗ dengan |𝑢 ⃗⃗|= 4, |𝑣⃗|= 8, dan |𝑤 ⃗⃗⃗|= 6. Jika ∠(𝑢 ⃗⃗, 𝑣⃗)= 900 dan ∠(𝑣⃗, 𝑤 ⃗⃗⃗)= 1200, hitunglah |𝑢 ⃗⃗ + 𝑣⃗ + 𝑤 ⃗⃗⃗| ! 𝑥 −2 Diketahui vektor 𝑎⃗ = ( 𝑦 ) dan vektor 𝑏⃗⃗ = ( 4 ). Jika proyeksi skalar ortogonal 𝑎⃗ pada 12 −4 ⃗𝑏⃗ adalah − 19 dan panjang vektor 𝑎⃗=13, tentukan nilai x dan y! 3



1 3 10. Diketahui vektor 𝑎⃗ = (−2) dan vektor 𝑏⃗⃗ = ( 1 ). −1 −3 Tentukan: a. Vektor 𝑐⃗ = 2𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ ; b. Proyeksi vektor ortogonal 𝑐⃗ pada 𝑎⃗. Rubrik Penilaian : No. 1.



Jawaban a. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐻 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐹 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 = −𝑤 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑣⃗ + 𝑢 ⃗⃗ − 𝑤 ⃗⃗⃗ − 𝑣⃗ + 𝑣⃗ =𝑢 ⃗⃗ + 𝑣⃗ − 2𝑤 ⃗⃗⃗



Skor 5



⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b. 𝐴𝐶 𝐷𝐸 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐻 = 𝑢 ⃗⃗ + 𝑣⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (−𝑤) + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (−𝑣) − {𝑣⃗ − 𝑤 ⃗⃗⃗ − 𝑣⃗} ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑣 + 2𝑢



5 2.



5



a. 2𝑎⃗+4𝑏⃗⃗ = 𝑐⃗ − 𝑎⃗ 𝑐⃗ = 3𝑎⃗ + 4𝑏⃗⃗ 7 −1 = 3( )+ 4( ) −5 3 21 −4 )+( ) −15 12 17 =( ) −3 b. 6𝑎⃗ − 5𝑏⃗⃗ + 2𝑐⃗ = 3𝑎⃗ + 4𝑐⃗ 𝑐⃗ = 6𝑎⃗ − 3𝑎⃗ − 5𝑏⃗⃗ 1 𝑐⃗ = {3𝑎⃗ − 5𝑏⃗⃗ + 2𝑐⃗} =(



2 1



5



7 −1 𝑐⃗ = {3 ( ) − 5 ( )} 2 5 3 1 21 −5 = {( ) − ( )} 2 −15 15 1 26 = {( )} 2 −30 13 =( ) −15



⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2: 1 3. a. 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 −𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 −𝑂𝐵



=



5



2 1



⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 2𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 = 2𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 = 2𝑂𝐵 𝑂𝐴



3 1 = 2 (1) − (2) 2 3 1 6 = ( 3) − ( 2) 4 3



Jadi koordinat titik 𝐶 (5,1,1)



5 = ( 1) 1



b.



⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 1 5 = ( 1) − ( 2) 3 1 4 = (−1) −2



⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐴𝐶



5



= √42 + (−12 ) + (−22 ) = √16 + 1 + 4



= √21 .



4.



10 C



𝑢 ⃗⃗



𝑣⃗



2



A



1 P



B



⃗⃗



1𝑎⃗⃗+2𝑏 a. 𝑃⃗⃗ = 1+2



=



2 −4 ( 4 )+2( 7 ) 5 −1 3



2 −8 1 = 3 {( 4 ) + ( 14 )} −1 10 −6 1 = 3 ( 18 ) 9



−2 =( 6 ) 3



Jadi koordinat titip 𝑃(−2,6,3)



⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣⃗ = 𝐶𝑃 −2 2 −4 ( 6 )−( 4 )= ( 2 ) 3 −5 8



𝑢 ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 6.8 −4 2 = ( 7 )−( 4 ) 5 −1 −6 =( 3 ) 6



𝑢 ⃗⃗. 𝑣⃗ = (−6). (−4) + 3.2 +



= −24 + 6 + 48



𝑢 ⃗⃗. 𝑣⃗ = 30



5.



⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. (𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝑂𝐵 𝑥 𝑥 6 −2 ( 3 ) − ( 0 ) = 𝑘. ((𝑥 + 𝑦) − ( 3 )) −1 −1 1 −3 6−𝑥 𝑥+2 ( 3 ) = 𝑘. (𝑥 + 𝑦 − 3) −2 −2



−2 = 𝑘. (−2) 𝑘=1



𝑥 + 2 = 𝑘. (6 − 𝑥) 𝑥 + 2 = 1. (6 − 𝑥) 𝑥+2=6−𝑥 2𝑥 = 4 𝑥=2



3 = 𝑘(𝑥 + 𝑦 − 3) 3 = 1(2 + 𝑦 − 3) 𝑦 =3+1 𝑦=4



⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 2 −2 4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = (3) − ( 0 ) = ( 3 ) 1 1 −2



⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 6 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 6 ) − ( 3 ) 𝐵𝐶 −3 −1 4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 3 ) 𝐵𝐶 −2



⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4.4 + 3.3 + (−2)(−2) 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 16 + 9 + 4 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 29 𝐴𝐵



10



6.



10 C



A



B



⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 −2 2 = (−4) + (1) 2 1 0 = (−3) 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 = (−2). 0 + (−4). (−3) + 2.3 = 0 + 12 + 6 = 18 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵.𝐴𝐶



Cosα= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗



⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐴𝐵 |.|𝐴𝐶



= = = = =



18 √(−2)2 +(−4)2 +22 .√02 +(−3)2 +32 18 √4+16+4.√9+9 18 √24.√18 18 6.4.9.2 18 2.3.√4.3 1



= √3 2 α



= 300



7.



10



𝑣⃗



0



|𝑢 ⃗⃗| = 4



𝑤 ⃗⃗⃗



1200 90 1500



𝑢 ⃗⃗



|𝑣⃗| = 8 |𝑤 ⃗⃗⃗| = 6 < (𝑢 ⃗⃗. 𝑣⃗) = 900 < (𝑣⃗. 𝑤 ⃗⃗⃗) = 1200 |𝑢 ⃗⃗ + 𝑣⃗ + 𝑤 ⃗⃗⃗| = (𝑢 ⃗⃗ + 𝑣⃗ + 𝑤 ⃗⃗⃗). (𝑢 ⃗⃗ + 𝑣⃗ + 𝑤 ⃗⃗⃗) =𝑢 ⃗⃗. 𝑢 ⃗⃗ + 𝑢 ⃗⃗. 𝑣⃗ + 𝑢 ⃗⃗. 𝑤 ⃗⃗⃗ + 𝑣⃗. 𝑢 ⃗⃗ + 𝑣⃗. 𝑣⃗ + 𝑣⃗. 𝑤 ⃗⃗⃗ + 𝑤 ⃗⃗⃗. 𝑢 ⃗⃗ + 𝑤 ⃗⃗⃗. 𝑣⃗ + 𝑤 ⃗⃗⃗. 𝑤 ⃗⃗⃗ 2 0 0 = |𝑢 ⃗⃗| + |𝑢 ⃗⃗|. |𝑣⃗|. 𝑐𝑜𝑠90 + |𝑢 ⃗⃗|. |𝑤 ⃗⃗⃗|. 𝑐𝑜𝑠150 + |𝑢 ⃗⃗|. |𝑣⃗|. 𝑐𝑜𝑠900 + 2 0 0 0 |𝑣⃗| + |𝑣⃗|. |𝑤 ⃗⃗⃗|. 𝑐𝑜𝑠120 + |𝑢 ⃗⃗|. |𝑤 ⃗⃗⃗|. 𝑐𝑜𝑠150 + |𝑤 ⃗⃗⃗|. |𝑣⃗|. 𝑐𝑜𝑠120 + |𝑣⃗|2 = |𝑢 ⃗⃗|2 + |𝑣⃗|2 + |𝑤 ⃗⃗⃗|2 + 2. |𝑢 ⃗⃗|. |𝑣⃗|. 𝑐𝑜𝑠900 + 2. |𝑢 ⃗⃗|. |𝑤 ⃗⃗⃗|. 𝑐𝑜𝑠1500 + 0 2. |𝑣⃗|. |𝑤 ⃗⃗⃗|. 𝑐𝑜𝑠120 1



1



= 42 + 82 + 62 + 2.4.8.0 + 2.4.6. (− √3) + 2.8.6. (− ) 2 2 = 16 + 64 + 36 + 0 − 24√3 − 48 = 68 − 24√3



8.



5



a. 𝑐⃗ = 2𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ 3 1 = 2. (−2) + ( 1 ) −1 −3 3 2 = (−4) + ( 1 ) −2 −3 5 = (−3) −5 𝑐⃗.𝑎⃗⃗



b. proyeksi vector oriogonal 𝑐⃗ pada 𝑎⃗ = |𝑎⃗⃗|2 1 5.1+(−3)(−2)+(−5)(−1) = . (−2) 2 2 2 1 +(−2) +(−1) −1 1 5+6+5 = . (−2) 1+4+1 −1 1 16 = (−2) 6 −1 8⁄ 3 −16 = ⁄3 −8⁄ ( 3)



9.



5



⃗⃗



𝑎⃗⃗.𝑏 Proyeksi scalar orthogonal 𝑎⃗ pada 𝑏⃗⃗ = ⃗⃗ |𝑏|



−



19 9



=



−2𝑥+4𝑦−48 √(−2)2 +4 2 +(−4)2



6𝑥 − 4𝑦 + 18 = 19√4 + 16 + 16 6𝑥 − 4𝑦 + 18 = 19√36 6𝑥 − 4𝑦 + 18 = 19.6 6𝑥 − 4𝑦 + 18 = 144 6𝑥 − 4𝑦 = 96 3𝑥 − 2𝑦 = 48 2𝑦 = 3𝑥 − 48 3



𝑦 = 𝑥 − 24 …………(1) 2



|𝑎⃗| = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 122 132 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 144 𝑥 2 + 𝑦 2 = 169 − 144 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 …………………(2) Persamaan (1) disubtitusikan ke persamaan (2) 3



𝑥 2 + ( 𝑥 − 24)2 = 25 2



9



𝑥 2 + 𝑥 2 − 72𝑥 + 576 = 25 4 9



𝑥 2 + 𝑥 2 + 479 = 0 4



4𝑥 2 + 9𝑥 2 + 1916 = 0 13𝑥 2 + 1916 = 0



10



10.



⃗⃗.𝑣 ⃗⃗ 𝑢



Proyeksi vector orthogonal 𝑢 ⃗⃗ pada 𝑣⃗ = |𝑣⃗⃗|2 . 𝑣⃗ 1 9



. (8𝑖 − 8𝑗 + 4𝑘) =



2𝑎−2−2 22 +(−2)2 +12



. (2𝑖̂ − 2𝑗̂ + 𝑘̂ )



8 2 2𝑎−4 (−8) = (−2) 9 9 4 1 8 2 (−8) = 2𝑎 − 4 (−2) 4 1 4𝑎 − 8 8 (−8) = (−4𝑎 + 8) 4 2𝑎 − 4 8 = 4𝑎 − 8 4𝑎 = 16 𝑎=4 1



⃗⃗.𝑣⃗⃗ 𝑢



Proyeksi vector orthogonal 𝑣⃗ pada 𝑢 ⃗⃗ = |𝑢⃗⃗|2 . 𝑣⃗ =



2.4−4 4 2 +12 +(−2)2



4 (1) 21 −2 16⁄ 21 = 4⁄21 −8 ( ⁄21) =



4 (1) −2



4



Total skor Kriteria penilaian Nilai =



Jumlah Skor yang Diperoleh Skor Maksimum



x 100



100



Q. Pengayaan Untuk memperdalam pemahaman peserta didik, diberikan materi pengayaan mengenai hasil kali vektor tripel sebagai berikut : Hasil kali vektor tripel adalah (𝐴̅ × 𝐵̅ ) × 𝐶̅ dan 𝐴̅ × (𝐵̅ × 𝐶̅ ). Pada hasil kali vektor tripel, tanda kurung diperlukan karena nilainya akan berubah jika letak kurungnya ditukar. Misalkan (𝑖 × 𝑖) × 𝑗 = 0 × 𝑗 = 0,sedangkan 𝑖 × (𝑖 × 𝑗) = 𝑖 × 𝑘 = −𝑗. Sifat vektor adalah (𝐴̅ × 𝐵̅ ) × 𝐶̅ ≠ 𝐴̅ × (𝐵̅ × 𝐶̅ ) 1. Misal diketahui 𝐴̅ = 2𝑖 + 2𝑗 − 𝑘, 𝐵̅ = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘, dan 𝐶̅ = 3𝑖 + 𝑗 − 2𝑘. tentukan hasil kalii vektor tripel: a. (𝐴̅ × 𝐵̅ ) × 𝐶̅ b. 𝐴̅ × (𝐵̅ × 𝐶̅ ) Penyelesaian : a b. 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 𝑗 𝑘 ̅ ̅ ̅ ̅ 𝐴 × 𝐵 = |2 2 −1| 𝐵 × 𝐶 = |1 1 1 | 3 1 −2 1 1 1 = (2 + 1)𝑖 + (−1 − 2)𝑗 + (2 − 2)𝑘 = (−2 − 1)𝑖 + (3 + 2)𝑗 + (1 − 3)𝑘 = 3𝑖 − 3𝑗 = −3𝑖 + 5𝑗 − 2𝑘 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 𝑗 𝑘 (𝐴̅ × 𝐵̅ ) × 𝐶̅ = |3 −3 0 | 𝐴̅ × (𝐵̅ × 𝐶̅ ) = | 2 2 −1| 3 1 −2 −3 5 −2 = (6 − 0)𝑖 + (0 + 6)𝑗 + (3 + 9)𝑘 = (−4 + 5)𝑖 + (3 + 4)𝑗 + (10 + 6)𝑘 = 6𝑖 + 6𝑗 + 12𝑘 = 𝑖 + 7𝑗 + 16𝑘



R. Remidi Materi Remidi:



𝑥 ̅̅̅̅ = ( 2 Jika 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) dan 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 ), maka 𝐴𝐵 𝑦



2



⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(𝑥2 − 𝑥1 |𝐴𝐵



)2



+ (𝑦2 − 𝑦1



−𝑥2 ⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑦2 ), sehingga panjang 𝐴𝐵 adalah



)2



Pertanyaan: 4𝑡 1.a. Posisi sebuah titik dalam ruang pada suatu waktu 𝑡 diberikan oleh vektor (−2𝑡). Pada 𝑡 waktu 𝑡 = 1, titik itu berada pada titik 𝑃 dan pada waktu 𝑡 = 2 berada pada titik 𝑄. tentukan jarak 𝑃𝑄. b. Titik 𝐴(3, −2, 𝑞) dan 𝐶(−12, 𝑝 − 1, 28) segaris untuk nilai 𝑝 dan 𝑞



Penyelesaian : 1.a. Untuk 𝑡 = 1 titik berada pada titik 𝑃 adalah (4, −2, 1) Untuk 𝑡 = 2 titik berada pada titik 𝑃 adalah (8, −4, 2) ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(8 − 4)2 + (−4 + 2)2 + (2 − 1)2 = √21 |𝑃𝑄 Jadi jarak 𝑃𝑄 adalah √21



−12 3 1 b. (−2) = (2 𝑝 − 3), baris pertama: 3 = 𝑚 − 12  𝑚 = −4 𝑞 7 diperoleh : −2 = −4. (𝑝 − 3), 𝑝 = 7 dan 𝑞 = −4.7 = −28



Pedoman penskoran: Skor setiap soal 50, jika peserta didik menjawab benar dan lengkap Skor setiap soal 30-40, jika peserta didik menjawab benar dan tidak lengkap Skor setiap soal 10-20, jika peserta didik menjawab salah Skor setiap soal 0, jika peserta didik tidak menjawab