Stat Is Tika [PDF]

Citation preview

STATISTIKA A.



B.



ISTILAH DALAM STATISTIKA 1. Statistika Pengetahuan yang berkaitan dengan cara-cara pengumpulan, pengolahan atau analisis data dan penarikan kesimpulan berdasarkan analisa yang dilakukan. 2. Statistik Statistik adalah hasil pengolahan dan analisis data. Statistik dapat digunakan untuk menyatakan kumpulan data berbentuk bilangan yang disusun dalam bentuk tabel atau diagram yang menggambarkan karakteristik dari data tersebut. 3. Populasi Populasi adalah keseluruhan obyek yang akan diteliti. 4. Sampel Sampel adalah bagian dari populasi yang akan diteliti. 5. Datum Adalah informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan, dapat berupa angka, lambang, atau sifat. 6. Data Adalah kumpulan datum. Data dibedakan menjadi beberapa, yaitu:  Data kontinu, merupakan data yang diperoleh dari hasil pengukuran.  Data diskrit, data yang diperoleh dari hasil membilang atau menghitung.  Data kuantitatif, data yang berupa bilangan.  Data kualitatif, data yang dikategorikan menurut kualitas objek yang dipelajari.  Data primer, data yang dikumpulkan dan diolah sendiri oleh peneliti.  Data sekunder, data yang diperoleh dari pihak lain untuk selanjutnya diteliti. UKURAN PEMUSATAN DATA TUNGGAL 1. Rataan (Mean) Rataan ditentukan sebagai perbandingan jumlah semua nilai datum dengan banyaknya datum. Misalkan terdapat data 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , ⋯ , 𝑥𝑛 , maka rataannya adalah: 𝑛



𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛 1 𝑥̅ = = ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑛 𝑖=1



dengan : 𝑥̅ = rataan (mean) 𝑥𝑖 = nilai datum ke-i 𝑛 = banyak datum yang diamati (ukuran data) 2. Median (Nilai Tengah) Misalkan terdapat data 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , ⋯ , 𝑥𝑛 , dengan 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 < ⋯ < 𝑥𝑛 , maka median ditentukan dengan:  Jika n ganjil, maka Me = 𝑥1(𝑛+1) 2







Jika n genap, maka Me =



1 (𝑥𝑛 2 2



+ 𝑥(𝑛+1) ) 2



3.



C.



Modus Modus dari data 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , ⋯ , 𝑥𝑛 , adalah datum yang paling sering muncul atau datum dengan frekuensi terbesar. UKURAN LETAK DATA TUNGGAL 1. Kuartil 1



Terdapat tiga nilai kuartil, yaitu: 𝑥1(𝑛+1) , 𝑛 ganjil  Kuartil bawah: 𝑄1 = {𝑥14 , 𝑛 genap (𝑛+2)



4







𝑥1(𝑛+1) , 𝑛 ganjil Kuartil tengah (median) : 𝑄2 = {1 2







2



(𝑥𝑛 + 𝑥(𝑛+1) ) , 𝑛 genap 2



2



𝑥3(𝑛+1) , 𝑛 ganjil



Kuartil atas: 𝑄3 = {𝑥14 , 𝑛 genap (3𝑛+2) 4



2.



3.



4.



5. 6.



7.



Rataan Kuartil (𝑅𝑘 ) 1 𝑅𝑘 = (𝑄1 + 𝑄3 ) 2 Rataan Tiga Kuartil (𝑅𝑡 ) 1 𝑅𝑡 = (𝑄1 + 2𝑄2 + 𝑄3 ) 4 Jangkauan (𝑅) Jangkauan dinamakan juga rentang atau range. 𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 Jangkauan Antarkuartil Disebut juga hamparan (𝐻), 𝐻 = 𝑄3 − 𝑄1 Simpangan Kuartil (𝑄𝑑 ) 1 𝑄𝑑 = 𝐻 2 Desil 𝐷𝑖 = 𝑥𝑖(𝑛+1) 10



D.



UKURAN PENYEBARAN DATA TUNGGAL 1. Ragam



 x  x  



2



Nilai ragam/variansi diberikan oleh: s 2.



2



n



Simpangan Baku Nilai simpangan baku/standar deviasi/deviasi baku diberikan oleh : s 



s2



Contoh 1. Diberikan data 2, 5, 6, 8, 9. Hitunglah varians dan simpangan bakunya. Jawab : 2+5+6+8+9 = ⋯. 5 (2− )+ (5− 2



Mean : 𝑥̅ =



Varians : 𝑠 =



)+ (6−



)+ (8− 5



)+ (9−



)



=



Simpangan baku 𝑠 = √ Contoh 2. Tentukan nilai ragam dan standar deviasi dari data 6, 8, 5, 9, 7, 9, 10, 6, 7, 8, 9, 10. Jawab :



2



E.



TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI DATA BERKELOMPOK Perhatikan tabel berikut. Tabel 1. Distribusi Frekuensi Nilai Siswa Nilai Frekuensi 51 – 60 3 61 – 70 5 71 – 80 8 81 – 90 9 91 – 100 10 Jumlah 35 Pada Tabel 1terdapat beberapa istilah: a. Kelas Data pada Tabel 1 terdiri atas 5 kelas, yaitu kelas pertama 51 – 60, kelas kedua 61 – 70, ................................................................................................................................................... dan kelas kelima 91 – 100. b. Batas kelas Adalah nilai – nilai ujung di tiap kelas. Terdapat dua batas kelas, yaitu batas atas dan batas bawah. Sebagai contoh pada kelas pertama mempunyai batas bawah 51 dan batas atas 60, kelas kelima dengan batas bawah 91 dan batas atas 100. c. Tepi Kelas Terdapat dua tepi kelas pada masing-masing kelas, yaitu tepi kelas atas dan tepi kelas bawah, dengan: Tepi atas = batas atas + 0,5 Tepi bawah = batas bawah – 0,5 Sebagai contoh pada kelas pertama tepi bawah = 51 – 0,5 = 50,5 dan tepi atas = 60 + 0,5 = 60,5. d. Panjang kelas/Interval/Lebar Setiap kelas memiliki panjang kelas yang sama, yaitu: Panjang kelas = tepi atas – tepi bawah. Pada Tabel 1, panjang kelas = 10. Adapun cara membuat daftar distribusi frekuensi adalah sebagai berikut. 1. Tentukan nilai jangkauan (R), 𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 2. Tentukan banyak kelas (k), yaitu 𝑘 = 1 + 3,3 log 𝑛 𝑅



3. Tentukan panjang kelas, yaitu 𝑝 = 𝑘



4. Tetapkan batas bawah kelas pertama (b), 𝑏 ≤ 𝑥𝑚𝑖𝑛 dan 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 harus tercakup dalam kelas terakhir. 5. Hitung frekuensi dari tiap-tiap kelas. Contoh 3. Perhatikan nilai ulangan berikut. 78 48 47 73 80 79 86 79 79 83 89 69 90 92 81 77 69 70 91 37 55 80 73 72 67 71 84 50 64 92 82 85 89 34 82 72 73 42 85 87 91 92 75 70 89 71 66 74 79 90 60 71 96 90 87 80 69 73 98 94 79 58 70 76 62 59 82 81 59 66 88 62 75 62 87 69 65 87 78 74. Dari data tersebut, buatlah tabel distribusi frekuensinya. Jawab : Banyak data 𝑛 = 3



𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 = Sehingga 𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 = 𝑘 = 1 + 3,3 log 𝑛 =



𝑥𝑚𝑖𝑛 =



𝑅



Panjang kelas, 𝑝 = 𝑘 = Tetapkan batas bawah kelas pertama, 𝑏 =



( ingat bahwa 𝑏 ≤ 𝑥𝑚𝑖𝑛 )



Buat tabel, yaitu:



Nilai Ulangan



Tabel 2 Nilai Ulangan Turus/Tali



Frekuensi



Jumlah *Jumlah frekuensi harus sama dengan banyak data (𝑛). F.



UKURAN PEMUSATAN, LETAK dan PENYEBARAN DATA BERKELOMPOK 1. Mean Mean dari data berkelompok diberikan oleh: ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑥̅ = ∑ 𝑓𝑖 dengan: 𝑥̅ : mean 𝑓𝑖 : frekuensi kelas ke-i 1



𝑥𝑖 : titik tengah kelas ke-i, yaitu 𝑥𝑖 = 2(batas bawah kelas ke-i + batas atas kelas ke-i) 2.



Modus Modus data berkelompok adalah: 𝑀𝑜 = 𝐿 + (



𝑑1 )𝑝 𝑑1 + 𝑑2



dengan : Mo : modus L : tepi bawah kelas modus, dengan kelas modus adalah kelas dengan frekuensi terbesar. 𝑑1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya 𝑑2 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya 𝑝 : panjang kelas 4



3.



Kuartil Kuartil data berkelompok diberikan oleh: 𝑗 𝑛 − 𝑓𝑘𝑗 4 𝑄𝑗 = 𝐿𝑗 + ( )𝑝 𝑓𝑗 dengan: 𝑸𝒋 : kuartil ke-j (j = 1, 2, 3) 𝑗



𝑳𝒋 : tepi bawah kelas kuartil ke-j, kelas yang memuat bilangan 4 𝑛 𝑛 : ukuran data 𝑓𝑘𝑗 : jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ke-j 𝑓𝑗 : frekuensi kelas kuartil ke-j 𝑝 : panjang kelas *) 𝑄2 = median 4.



Desil Desil data berkelompok diberikan oleh: 𝑗 𝑛 − 𝑓𝑘𝑗 10 𝐷𝑗 = 𝐿𝑗 + ( )𝑝 𝑓𝑗 dengan: 𝑫𝒋 : desil ke-j (j = 1, 2, 3, ..., 9) 𝑳𝒋 : tepi bawah kelas desil ke-j, kelas yang memuat bilangan 𝑛 : ukuran data 𝑓𝑘𝑗 : jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-j 𝑓𝑗 : frekuensi kelas desil ke-j 𝑝 : panjang kelas



5.



Ragam dan Simpangan baku Ragam dari data berkelompok: 𝑠2 =



∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑛



Simpangan baku/standar deviasi: ∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑠=√ 𝑛 dengan: 𝑥̅ : mean 𝑓𝑖 : frekuensi kelas ke-i 𝑥𝑖 : titik tengah kelas ke-i 𝑛 : ukuran data Contoh 4. Berdasarkan Tabel 1, tentukan nilai dari: a. Median b. Modus c. Kuartil 5



𝑗 𝑛 10



d. Simpangan baku Jawab : Berdasarkan Tabel 1 diperoleh: Nilai Frekuensi 𝑥𝑖 51 – 60 3 61 – 70 5 71 – 80 8 81 – 90 9 91 – 100 10 Jumlah 35



𝑓𝑖 . 𝑥𝑖



Sehingga



6



𝑓𝑘



𝑥𝑖 − 𝑥̅



(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2



G.



PELUANG 1. Kaidah Pencacahan a. Aturan Penjumlahan Misalkan terdapat n kejadian yang saling lepas dengan: k1 adalah banyaknya cara pada kejadian pertama k2 adalah banyaknya cara pada kejadian kedua . . . kn adalah banyaknya cara pada kejadian ke-n maka banyaknya cara secara keseluruhan adalah: k1 + k2 + . . . + kn b. Aturan Perkalian Misalkan terdapat n tempat yang tersedia dengan: k1 adalah banyaknya cara mengisi tempat pertama k2 adalah banyaknya cara mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi . . . kn adalah banyaknya cara mengisi tempat ke-n setelah tempat pertama, kedua sampai ke-(n – 1) terisi maka banyaknya cara secara keseluruhan adalah: k1 x k2 x . . . x kn Contoh: Banyaknya rute perjalanan dari kota A ke B adalah 4 dan dari B ke C adalah 5 rute. Jika seseorang ingin melakukan perjalanan dari kota A ke C melalui B, maka banyaknya rute perjalanan yang dapat ditempuh adalah: _____________ c. Permutasi Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan. Misalnya permutasi 2 elemen dari 3 huruf a, b, c adalah ab, ac, ba, bc, ca dan cb. Contoh: 1. Tentukan banyaknya permutasi 3 elemen dari 3 huruf a, b, c. Jawab:



2. Tentukan banyaknya permutasi 3 elemen dari 4 huruf p, q, r, dan s. Jawab:



Faktorial Hasil kali berurutan dari bilangan 1 sampai n disebut n faktorial yang dilambangkan n!. Jadi: n! = 1 x 2 x 3 x . . . x (n – 1) x n Atau n! = n x (n – 1) x . . . x 3 x 2 x 1 dengan 1! = 1 dan 0! = 1. Contoh: 4! = 5! = 7



Permutasi dari elemen yang berbeda Banyaknya permutasi dari r elemen yang diambil dari n elemen yang tersedia dinotasikan dengan nPr ( atau nPr, 𝑃𝑟𝑛 , 𝑃(𝑛,𝑟) , 𝑃𝑛,𝑟 ) dan diberikan oleh: nPr



𝑛!



= (𝑛−𝑟)!



(𝑟 ≤ 𝑛)



Contoh: 1. Tentukan banyaknya permutasi 3 elemen dari 3 huruf a, b, c. Jawab:



2. Tentukan banyaknya permutasi 3 elemen dari 4 huruf p, q, r, dan s. Jawab:



Permutasi dari beberapa elemen yang sama Banyaknya permutasi n obyek dengan sejumlah n1 serupa, n2 serupa, . . . , nr serupa dengan (n1 + n2 + . . . + nr ≤ n) adalah: n𝑃



𝑛 𝑛! (𝑛1 ,𝑛2 ,⋯,𝑛𝑟 )=(𝑛 𝑛 ⋯𝑛 )= 𝑛1 !𝑛2 ! ⋯ 𝑛𝑟 ! 1 2 𝑟



Contoh: Tentukan banyaknya permutasi dari huruf-huruf pembentuk kata MATEMATIKA. Jawab:



Permutasi siklis Banyaknya permutasi siklis dari n elemen yang berbeda adalah 𝑃(siklis) = (𝑛 − 1)! Contoh: 1. Tentukan banyaknya cara suatu kelompok yang terdiri dari 7 siswa dapat diatur mengelilingi meja berbentuk lingkaran. Jawab: 2. Dengan mengikat secara bersama 5 manik yang berbeda warna, tentukan banyaknya gelang yang dapat dibuat. Jawab: Ada (5 – 1)! = 4! pengaturan manik pada gelang, tetapi separuh dari pengaturan manik dapat diperoleh dari separuh pengaturan lainnya hanya dengan memutar keliling gelang. Jadi terdapat ......................... gelang yang berbeda. d. Kombinasi Kombinasi adalah banyaknya cara memilih sebagian atau semua elemen tanpa memperhatikan susunan pemilihannya. Misalnya kombinasi 2 elemen dari 3 huruf a, b, c adalah ab, ac, dan bc. Banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen yang tersedia 𝑛 dilambangkan nCr , Cn, r , 𝐶𝑟𝑛 , ( ) dan diberikan oleh: 𝑟



8



nCr



=



𝑛! 𝑟!(𝑛−𝑟)!



Contoh: 1. Tentukan banyaknya cara suatu pasangan ganda putra bulu tangkis yang dapat disusun dari 10 pemain putra. Jawab :



2. Tentukan banyaknya diagonal pada suatu segi-6 beraturan. Jawab:



Latihan 1. Terdapat 4 jalur antara kota A dan B, dan 3 jalur antara kota B dan C. Tentukan banyaknya rute yang dapat ditempuh jika seseorang melakukan perjalanan: a. Dari A ke C melalui B b. Pulang-pergi dari A ke C melalui B dengan rute pulang tidak sama dengan rute berangkat. 2. Diberikan bilangan 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Dari bilangan tersebut akan disusun bilangan. Tentukan: a. Banyaknya bilangan ratusan yang dapat disusun jika tidak boleh ada pengulangan. b. Banyaknya bilangan yang dapat disusun kurang dari 400. c. Banyaknya bilangan ratusan ganjil yang dapat disusun. d. Banyaknya bilangan ratusan genap yang dapat disusun dengan tidak ada bilangan yang sama. 3. Diberikan bilangan 0, 2, 4, 5, 6, dan 9. Tentukan: a. banyaknya bilangan genap 3 angka berbeda yang dapat disusun. b. Banyaknya bilangan 3 angka kelipatan 5 c. Banyaknya bilangan 3 angka kelipatan 3 d. Banyaknya bilangan 3 angka kelipatan 5 tetapi bukan kelipatan 3. 4. Sederhanakanlah bentuk berikut. a. b. 5.



8. 9.



𝑛! (𝑛−𝑘+1)! (𝑛−𝑘−1)!



Tentukan nilai n dari bentuk berikut. a.



6. 7.



(𝑛+1)!



(𝑛−1)! (𝑛−3)!



= 72



b. 𝑛𝑃2 = 72 Dalam berapa cara 4 orang dapat duduk dalam satu baris pada kursi yang telah disediakan? Dalam berapa cara 5 orang A, B, C, D, dan E dapat foto bersama jika: a. A dan E selalu di ujung b. C dan D selalu bersama. c. D selalu ditengah d. A dan B tidak pernah bersama. Terdapat 6 bendera yang terdiri atas 4 bendera kuning dan 2 bendera merah. Tentukan banyaknya susunan yang dapat dibentuk dari bendera tersebut. Buktikan pernyataan berikut. 9



10.



11. 12. 13. 14. 15.



a. nCn-r = nCr b. nPr = r! x nCr Tentukan nilai dari n. a. nCn-2 = 36 b. nP4 = 20 x nC5 Berapa banyaknya segitiga yang dapat dibuat jika tersedia 5 titik? Dari 5 orang pria dan 4 wanita akan dipilih 6 orang pada suatu kepanitiaan. Jika 4 orang terpilih adalah pria, maka tentukan banyaknya cara pemilihan. Dari 5 buku yang tersedia, berapa banyak cara seseorang dapat memilih sekurang-kurangnya sebuah buku? Tentukan banyaknya cara memilih 2 tas atau lebih dari 6 tas yang tersedia. Suatu tim bulu tangkis terdiri dari 10 orang putra dan 5 orang putri. Dari tim ini akan dibuat pasangan ganda, baik ganda putra, ganda putri maupun campuran. Tentukan banyaknya pasangan ganda yang dapat dibuat.



10



e. Koefisien Binomial 3. Peluang Suatu Kejadian



11