TR 6 - Cyonita Evi Debora - 4202411014 - PSPM 20A [PDF]

Citation preview

Tugas Rutin 6 Nama



: Cyonita Evi Debora



NIM



: 4202411014



Kelas



: PSPM 2020 A



Mata Kuliah



: Teori Peluang



Dosen Pengampu



: Prof. Dr. Pargaulan Siagian, M.Pd.



Tugas 1 1. Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tetukan kemungkinan muncul: a. angka genap b. angka kuadrat Jawab : n(S) = 6 a. angka genap = {2, 4, 6} = n(S) = 3 P(genap) =



3



=



6



𝟏 𝟐



b. angka kuadrat = {1 dan 4} 2



P(kuadrat) =



6



=



𝟏 𝟑



2. Di dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah, 2 bola putih, dan 5 bola kuning. Dari dalam kotak tersebut di ambil satu bola. Tentukan kemungkinan bahwa bola yang terambil berwarna: a. merah b. putih atau kuning Jawab : n(S) = 10 a. merah = 3 P(merah) = b. putih = 2 =



𝟑 𝟏𝟎 2 10



kuning = 5 =



5 10



P(putih  kuning) =



2 10



+



5 10



=



𝟕 𝟏𝟎



3. selembar kartu di ambil dari seperangkat kartu bridge. Tentukan bahwa kartu yang



terambil : a. berwarna merah b. As c. Gambar Jawab : n(S) = 52 a. Kartu berwana merah = 26 P(Merah) =



26



=



52



𝟏 𝟐



b. As = 4 P(As) =



4 52



𝟏



=



𝟏𝟑



c. Gambar = 3 x 4 = 12 12



P(Gambar) =



52



=



𝟑 𝟏𝟑



4. Hasil ujian matematika dari 100 siswa adalah sebagai berikut: 5 orang mendapat nilai A, 20 orang niali B, 40 orang C, 19 orang nilai D dan 16 orang nilai E. Jika dipanggil seorang siswa, berapa kemungkinan bahwa yang terpanggil adalah: a. mendapat nilai A b. yang lulus ( mendapat nialai A,B, dan C) Jawab : n(S) = 100 a. nilai A = 5 orang P(A) =



5 100



=



b. nilai A = 5 =



𝟐𝟎 1



20



nilai B = 20 = nilai C = 40 = P(Lulus) =



𝟏



1 20



20 100 40 100



= =



1 5 2 5



1



2



5



5



+ +



=



𝟏𝟑 𝟐𝟎



5. Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama. Tentukan kemungkinan bahwa jumlah angka kedua mata dadu;



a. sama dengan 6 b. lebih dari 10 Jawab : n(S) = 36 a. berjumlah 6 = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} = 5 P(6) =



𝟓 𝟑𝟔



b. >10 = {(5,6), (6,5), (6,6)} = 3 P(>10) =



3 36



=



𝟏 𝟏𝟐



6. Seorang ibu mempunyai 3 anak. Tentukan kemungkinan bahwa ibu tersebut: a. mempunyai dua anak pria dan satu anak wanita b. tidak mempunyai anak pria Jawab : n(S) = 8 a. 2L dan 1P = {(LLP), (PLL), (LPL)} = 3 P(2L dan 1P) =



𝟑 𝟖



b. 3P = {(PPP)} = 1 P(3P) =



𝟏 𝟖



7. Didalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah, 5 bola putih. Dari dalam kotak tersebut di ambil 4 bola. Tentukan kemugkinan bahwa keempat bola itu terdiri dari dua bola berwarna merah dan dua bola berwarna putih. Jawab : n(S) = 9 n1 = 4 r1 = 2 (bola merah = M) n2 = 5 r2 = 2 (bola putih = N) P(M  N) =



n1C r1 . n2C r2 sC r1+r2



=



4C 2 . 5C 2 9C4



=



4! 5! . 2!(4−2)! 2!(5−2)! 9! 4!(9−4)!



=



6.10 126



=



60 126



=



𝟏𝟎 𝟐𝟏



8. Lima orang siswa A, B, C, D, dan E membentuk sebuah barisan. Berapakan kemungkinanan bahwa A dan B berada dipinggir.



Jawab : Banyak cara A dan B dipinggir = 2! = 2 Banyak cara C, D, E baris = 3! = 6 Jadi, banyak kemungkinan bahwa A dan B dipinggir = 2 x 6 = 12



9. Dua orang ibu berbelanja ke toko X sekali dalam seminggu. Berapa kemungkinanan bahwa kedua ibu tersebut berbelanja pada hari yang; a. sama b. berurutan Jawab : Jumlah hari n(S) = 72 = 49 a. hari sama = {(senin,senin), (selasa,selasa), (rabu,rabu), (kamis,kamis), (jumat,jumat), (sabtu,sabtu), (minggu,minggu)} = 7, karena bisa ibu 1 yang belanja terlebih dulu atau ibu 2 yang belanja terlebih dulu maka 2 x 7 = 14 P(sama) =



𝟏𝟒 𝟒𝟗



b. hari berurutan = {(senin,selasa), (selasa,rabu), (rabu,kamis), (kamis,jumat), (jumat,sabtu), (sabtu,minggu)} = 6, karena bisa ibu 1 yang belanja terlebih dulu atau ibu 2 yang belanja terlebih dulu maka 2 x 6 = 12 P(berurutan) =



𝟏𝟐 𝟒𝟗



10. Enam pecatur indonesia akan dikirim keluar negeri sebanyak 3 orang untuk mengikuti pertandingan catur international. Dua di antara 6 orang tersebut tidak akur, berapa kemungkinannya bahwa yang tidak akur itu hanya satu yang dikirim. Jawab : Banyak kemungkinan pemain catur terpilih n(S) = 6C3 =



6! 3!(6−3)!



=



6! 3!3!



=



6.5.4.3! 3!3!



=



6.5.4 3.2.1



= 20



Banyak kemungkinan pemain tidak akur n(E) = 6C2 =



6! 2!(6−2)!



=



6! 2!4!



=



6.5.4! 2!4!



=



6.5 2.1



= 15



Sehingga, kemungkinan pemain catur yang tidak akur terpilih P(E) =



𝑛(𝐸) 𝑛(𝑆)



=



15 20



=



𝟑 𝟒



11. Dua buah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan kemungkinan bahwa jumlah angka kedua mata dadu tidak sama dengan 5. Jawab : n(S) = 36 banyaknya yang sama dengan 5 = P(5) = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} = 4 P(5) =



4 36



=



1 9



Peluang bukan sama dengan 5 = P(5’) = 1 – P(5) = 1 –



1 9



=



𝟖 𝟗



12. Selembar kartu di ambil dari seperangkat kartu bridge. Tentukan kemungkinan bahwa kartu yang terambil As dan Gambar. Jawab : a. As = 4 P(As) =



4 52



=



𝟏 𝟏𝟑



b. Gambar = 3 x 4 = 12 P(King) =



12 52



=



𝟑 𝟏𝟑



13. Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah, 5 bola putih. Di dalam kotak tersebut di ambil 2 bola. Tentukan kemungkinan bahwa kedua bola warnanya tidak sama. Jawab : Banyak kemungkinan bola terambil = 9C2 =



9! 2!(9−7)!



=



9! 2!7!



=



9.8.7! 7!2!



=



9.8 2.1



= 36



Bola warnanya tidak sama = (1 merah, 1 putih) 4C1



=



5C1



=



4! 1!(4−1)! 5! 1!(5−1)!



= =



4! 1!3! 5! 1!4!



= =



4.3! 1!3! 5.4! 1!4!



4



= =4 1 5



= =5 1



4 x 5 = 20 Sehingga, banyak kemungkinan bahwa kedua bola warnanya tidak sama adalah



=



20 36



𝟓 𝟗



14. Sebuah dadu dan satu uang logam dilemparkan bersama-sama. Tentukan kemungkinan bahwa ;



a. dadu mengeluarkan angka ganjil dan uang mengeluarkan angka b. dadu mengeluarkan angka ganjil atau uang mengeluarkan angka Jawab : n(S) dadu = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6 n(S) uang = {A, G} = 2 n(A) ganjil = { 1,3,5} = 3 n(B) angka = {A} = 1 3



P(A) =



6



=



1 2



1



P(B) =



2 1



1



𝟏



2



2



𝟒



a. P(A  B) = P(A) × P(B) = × = b. P(A  B) = P(A) + P(B) =



1 2



1



+ =1 2



15. Di dalam kotak pertama terdapat 2 bola merah dan 3 bola putih, sedangkan kotak kedua terdapat 2 bola putih, dan 3 bola kuning. Dari masing-masing kotak di ambil satu bola. Tentukan kemungkinan bahwa kedua bola di ambil berwarna ; a. sama b. beda Jawab : n(S) kotak 1= 5 n(S) kotak 2 = 5 n(A) merah kotak 1 = 2 n(B) putih kotak 1 = 3 n(C) putih kotak 2 = 3 n(D) kuning kotak 2 = 2 P(A) = P(B) = P(C) = P(D) =



2 5 3 5 3 5 2 5 3



3



𝟗



5



5



𝟐𝟓



a. P(B  C) = P(B) × P(C) = × =



b. Kemungkinan 1 (merah kotak 1, putih kotak 2) 2



3



6



5



5



25



P(A  C) = P(A) × P(C) = × =



Kemungkinan 1 (merah kotak 1, kuning kotak 2) 2



2



4



5



5



25



P(A  D) = P(A) × P(D) = × =



Kemungkinan 1 (putih kotak 1, kuning kotak 2) 3



2



6



5



5



25



P(B  D) = P(B) × P(D) = × =



Jadi, kemungkinan terambil bola yang berbeda dari tiap – tiap kota adalah 6 4 6 𝟏𝟔 + + = 25 25 25 𝟐𝟓 Tugas 2 1. Ari kota A ke kota B dapat di tempuh dengan 2 cara, dari kota B ke kota C dapat di tempuh dengan 3 cara. Berapa cara dapat di tempuh dari kota A ke kota C melalui kota B? Jawab: Diketahui dari kota A ke kota B = 2 cara Dari kota B ke kota C = 3 cara Banyaknya cara yang dapat ditempuh dari kota A ke kota C melalui kota B yaitu Banyaknya cara = 2 × 3 = 6 cara



2. Dari kota A ke kota B dapat di tempuh dengan 2 cara, dari kota A ke kota C dapat di tempuh dengan 3 cara, dari kota B ke kota D dapat di tempuh dengan 3 cara, dari kota C ke kota D dapat di tempuh dengan 4 cara. Berapa cara dapat ditempuh dari kota A ke kota D? Jawab: A – B – D = 2 × 3 = 6 cara A – C – D = 2 × 4 = 8 cara Banyaknya cara yang ditempuh dari kota A ke kota D = 6 + 8 = 14 cara



3. Tentukan banyaknya bilangan ganjil terdiri dari 3 angka dan lebih dari 300 dapat di susun dari angka angka 0,1,2,3,4 dan 5. Jawab: Untuk susunan bilangan dengan ratusan 3



5P2



5!



= (5−2)! =



5.4.3! 3!



= 20 Untuk susunan bilangan dengan ratusan 5 5P2



5!



= (5−2)! =



5.4.3! 3!



= 20 Banyaknya bialngan ganjil yang terdiri dari 3 angka dan lebih dari 300 yaitu = 20 + 20 = 40 bilangan



4. Suatu gedung mempunyai 6 pintu masuk. Empat orang hendak memasuki gedung tersebut. Berapa cara mereka dapat memasuku gedung dengan pintu yang berlainan. Jawab: Diketahui : Jumlah Pintu = 6 Banyak orang yang ingin masuk = 4 Banyaknya cara mereka memasuki gedung dengan pintu berlainan yaitu 6C4



6!



= (6−4)!4! = =



6.5.4! 2!4! 30 2



= 15 5. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari tiga angka dapat disusun dari angka angka 1,2,3,4,5 bila pemakaian angka yang tidak berulang. Berapa pula jika boleh berulang. Jawab: a. Untuk tidak berulang Banyaknya angka yang dapat menajdi ratusan = 5 bilangan Banyaknya bialgnan yang dapat menjadi satuan = 4 bilangan Banyaknya bilangan yang dapat menjadi satuan = 3 bialngan Maka banyaknya bilangan yang dapat dibentuk jika tidak berulang yaitu 5 × 4 × 3 = 60 bilangan b. Untuk yang berulang



Banyaknya angka yang dapat menajdi ratusan = 5 bilangan Banyaknya bialgnan yang dapat menjadi satuan = 5 bilangan Banyaknya bilangan yang dapat menjadi satuan = 5 bilangan Maka banyaknya bilangan yang dapat dibentuk jika berulang yaitu 5 × 5 × 5 = 125 bilangan



6. Dari 5 buah bola,terdapat 3 bola berwarna merh dan 2 buah berwarna putih. Berapa banyak cara untuk menyusun ke lima bola tersebut secara berdampingan? Jawab: Banyaknya cara menyusun bola merah 5C3



5!



= (5−3)!3! = =



5.4.3! 2!3! 20 2



= 10 Banyaknya cara menyusun bola putih 5C2



5!



= (5−2)!2! = =



5.4.3! 3!2! 20 2



= 10 Banyaknya cara menyusun bola secara berdampingan 5C3 × 5C2 =



10 × 10



= 100 cara



7. Di dalam suatu kotak 5 buah bola merah dan 4 bola puith. Dari kotak terebut di ambil 5 bola. Berapa banyak cara memperoleh kelima bola tersebut terdiri dari 3 bola merah dan 2 bola putih. Jawab: Bola merah = 5 Bola putih = 4 Seluruh bola = 9 Banyaknya cara mengambil bola merah



5C3



5!



= (5−3)! 3! = =



5.4.3! 2!3! 20 2



= 10 Banyaknya cara mengambil bola merah 4C2



4!



= (4−2)! 2! = =



4.3.2! 2!2! 12 2



=6 Banyaknya cara mengambil 3 bola merah dan 2 bola putih 5C3 × 4C2 =



10 × 6



= 60 cara



8. Tentukan ruang sampel pada percobaan melemparkan sekeping uang logam satu kali. Jawab: S = {MUKA, BELAKANG} n(S) = 2



9. Tentukan ruang sampel pada percobaan melemparkan sebuah dadu satu kali. Tuliskan kejadian “muncul mata bilangan ganjil”. Jawab: S = {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6 Peluang munculnya kejadian mata bilangan ganjil yaitu Dadu ganjil = A A = {1,3,5} n(A) = 3 3



P(A) = 6 𝟏



=𝟐



10. Tentukan ruang sampel pada percobaan dua bola sekaligus dari dalam sebuah kotak yang berisi dua bola berwarna merah dan 3 bola berwrna putih. Jawab: Bola merah = M Bola putih = P S = {(M,M), (M,P),(P,M),(P,P)} n(S) = 4



11. Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan nilai kemungkinan muncul bilangan genap. Jawab: S = {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6 A = {2,4,6} n(A) = 3 𝑛(𝐴)



P(A) = 𝑛(𝑆) 3



=6 𝟏



=𝟐 12. Didalam sebuah kotak terdapat 2 bola merah, 2bola putih, 3 bola biru. Dari dalam kotak diambil satu bola. Tentukan nilai kemungkinan bola yang terambil warna biru? Jawab: n(S) = 7 n(A) = 3 𝟑



P(A) = 𝟕



13. 2 buah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan nilai kemungkinan jumlah angka ke dua dadu sama dengan 10. Jawab : Berjumlah 10, yaitu (4,6) ; (5,5) ; (6,4).Jumlah harapan muncul 10 = 3, total kemungkinan 36, maka kemungkinan = harapan/total kejadian = 3/36 = 1/12



14. Sebuah kotak berisi 5 bola warna merah dan 3 bola putih. Kita ambil 3 bola dari kotak tersebut, tentukan nilai peluang bahwa ketiga tersebut terdiri dari 2 bola merah dan 1 bola putih. Jawab : =



𝑐25 𝑥𝑐13 𝑐38



5! 3! 𝑥 2! (5 − 2)! 1! (3 − 1)! = 8! 3! (8 − 3)! 5! 3! 𝑥 1! 2! 2! 3! = 8! 3! 5! 5𝑥4 3 𝑥 = 2𝑥1 1 8𝑥7𝑥6 3𝑥2𝑥1 5𝑥4𝑥3𝑥3𝑥2𝑥1 = 8𝑥7𝑥6𝑥2𝑥1 5𝑥3 = 2𝑥7𝑥2 𝟏𝟓 = 𝟐𝟖 15. Jika dilemparkan sebauh dadu sebanyak 300 kali. Berapa kalikah kita harapakan muncul angka 6. Jawab: Banyak percobaan = 300, harapan muncul angka 6 = 1. Setiap 1 percobaan, peluang muncul angka 6 = 1/6, jika dilakukan 300 kali percobaan, maka 1/6 x 300 = 50 kali Jadi, angka 6 diharapkan muncul sebanyak 50 kali.



16. 2 buah dadu di tos. Tentukan nilai kemungkinan bahwa jumlah mata kedua dadu > 3 Jawab: Banyaknya angka lebih dari 3 = 33, banyak kejadian = 36 Maka peluang = 33/36 = 11/12



17. Nilai kemyngkinan besok hari akan turun hujan adalah 2/5. tentukan nilai kemungkinan bahwa besok hari tidak turun hujan. Jawab: Kemungkinan turun hujan adalah 2/5, maka kemungkinan tidak turun hujan adalah 1 – 2/5 = 3/5



18. 2 buah dadu dilemparkan. Tentukan nilai kemungkinan jumlah angka kedua dadu sama dengan 4 atau 6. Jawab: Banyaknya angka 4 atau 6 = 8, banyak kejadian = 36 Maka peluang = 8/36 = 2/9



19. Di dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah dan 4 bola putih. Di dalam kotak tersebut diambil dua boa. Tentukan nila kemungkinan bahwa kedua bola itu berwarna sama. Jawab: Kedua merah =



𝑐23 𝑐27



3! 2! (3 − 2)! = 7! 2! (7 − 2)! 3! 2! = 1! 7! 2! 5! 3 = 21 Kedua putih 𝑐24 = 7 𝑐2 4! 2! (4 − 2)! = 7! 2! (7 − 2)!



4! 2! = 2! 7! 2! 5! 6 = 21 Maka peluang kedua sama adalah 3/21 + 6/21 = 9/21 =3/7



20. Dadu merah dan dadu putih di tos. Tentukan nilai kemungkinan: a. pada dadu merah muncul angka satu b. pada dadu putih muncul angka enam c. pada dadu merah muncul angka satu dan pada dadu putih muncul angka enam Jawab: a. pada dadu merah muncul angka 1 Kemungkinan muncul 6, seluruh kejadian 36, peluang = 6/36 = 1/6 b. pada dadu putih muncul angka 6 Kemungkinan muncul 6, seluruh kejadian 36, peluang = 6/36 = 1/6 c. pada dadu merah muncul angka 1 dan dadu putih angka 6 Kemungkinan muncul 1, seluruh kejadian 36, peluang = 1/36



21. Di dalam kotak pertama terdapat 2 bola merah dan 2 bola putih, sedangkan dalam kotak kedua terdapat 2 bola merah dan 3 bola putih. Dari masing masing kotak di ambil satu bola. Tentukan nilai kemungkinan bahwa kedua bola yang terambil: a. berwarna merah b. ada yang berwarna merah Jawab: a. Peluang kedua bola terambil merah Peluang kotak 1 (merah) x Peluang kotak 2 (merah) = 2/4 x 2/5 = 4/20 = 1/5 b. Salah satunya merah Peluang kedua kotak merah + Peluang kotak 1 merah + Peluang kotak 2 merah = 1/2 x 2/5 + 1/2 x 3/5 + 1/2 x 2/5 = 2/10 + 3/10 + 2/10 = 7/10



22. Di dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah dan 4 bola putih. Dari dalam kotak itudi ambil sebuah bola secara berurutan sebanyak dua kali. Setelah bola pertama diambil, bola dikembalikan kemudian mengambil bola kedua. Tentukan nilai kemungkinan bahwa yang terambil: a. bola merah pada pengembalian pertama dan kedua b. bola merah pada pengembalian pertama dan putih pada pengembalian ke dua Jawab: a. bola merah pada pengambilan pertama dan kedua Peluang bola merah pengambilan 1 x Peluang bola merah pengambilan 2 = 3/7 x 3/7 = 9/49 b. bola merah pada pengambilan pertama dan putih pengambilan kedua Peluang bola merah pengambilan 1 x Peluang bola putih pengambilan 2 = 3/7 x 4/7 = 12/49



23. Di dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah dan 4 bola putih. Di dalam kotak tersebut di ambil 2 bola secara berturut- turut tanpa pengembalian. Tentukan nilai kemungkinan bahwa kedua bola tersebut berwarna merah. Jawab: Peluang kedua bola terambil merah Peluang bola merah pengambilan 1 x Peluang bola merah pengambilan 2 = 3/7 x 2/6 = 6/42 = 1/7



24. Di dalam kotak pertama terdapat 2 bola merah dan 3 bola putih. Di dalam kotak kedua terdapat 3 bola merah dan 4 bola putih. Dari dalam kotak di ambil satu bola. Jika bola yang terambil berwarna merah, tentukan nilai kemungkinan bahwa bola tersebut berasal dar kotak pertama. Jawab: Peluang berasal dari kotak 1, teorema bayes = (Peluang kotak 1 x Peluang merah kotak 1) : {(Peluang kotak 1 x Peluang merah kotak 1) + = (Peluang kotak 2 x Peluang merah kotak 2)}



= (1/2 x 2/5) : {(1/2 x 2/5) + (1/2 x 3/7)} = 2/10 : (2/10 + 3/14) = 2/10 : 58/140 = 14/29



Tugas 3 1.



Ali,Budi, Candra dan Dadang akan bekerja secara bergilir. Banyaknya urutan bekerja yang dapat disusun dengan ali selalu pada giliran terakhir…………… Jawaban: Misalkan A=Ali B=Budi C=Candra D=Dadang Banyak Susunan denagn Ali selalu giliran terakhir 1) (B − C − D − A) 2) (D − B − C − A) 3) (C − D − B − A) 4) (B − D − C − A) 5) (D − C − B − A) 6) (C − B − D − A) Total ada 6 susunan cara Atau dengan filling slot: 𝑛! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 𝑛 n = banyaknya objek yang diacak→ (4 − 1) = 3 ∴ 3! = 1 × 2 × 3 = 𝟔 𝐬𝐮𝐬𝐮𝐧𝐚𝐧 𝐜𝐚𝐫𝐚 𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛: 𝐁



2. Banyaknya bilangan ganjil yang terdiri dari tiga angka dan lebih dari 300 dapat disusun dari angka-angka1,2,3,4,5 dan 6 tanpa ulang, adalah………. Jawaban: Dapat kita cari dengan menggunakan cara dibawah ini. 1) Jika ratusannya adalah 3 Puluhan dan satuannya adalah sebagai berikut: =4×2



=8 2) Jika ratusannya adalah 4 Puluhan dan satuannya adalah sebagai berikut: =4 × 3 = 12 3) Jika ratusannya adalah 5 Puluhan dan satuannya adalah sebagai berikut: =4 × 2 =8 4) Jika ratusannya adalah 5 Puluhan dan satuannya adalah sebagai berikut: =4 × 3 = 12 Jadi Banyaknya bilangan ganjil yang terdiri dari tiga angka dan lebih dari 300 Adalah 8 + 12 + 8 + 12 = 𝟒𝟎 𝐜𝐚𝐫𝐚 𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛: 𝐀



3.



Dari 7 orang pengurus organisasi akan dipilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara. Banyak cara pemilihan pengurus terseut adalah……. Jawaban: Terdapat 4 posisi yang harus ditempati oleh ketujuh orang pengurus organisasi tersebut, yakni ketua, wakil ketua sekretaris, dan bendahara. Karena keempat posisi tersebut berbeda atau A − B − C − D ≠ B − C − D − A Berarti penyelesaiannya dapat kita gunakan dengan menggunakan permutasi P(7,4) = 7!/(7 − 4)! = (7 × 6 × 5 × 4 × 3!)/3! = 𝟖𝟒𝟎 𝐜𝐚𝐫𝐚 Berarti terdapat 𝟖𝟒𝟎 𝐜𝐚𝐫𝐚 pemilihan pengurusan 𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛: 𝐄



4.



Pada suatu tiang diikatkan bendera 4 berwarn amerah, 2 biru, dan 2 hijau. Setiap susunan mempunyai arti yang berbeda. Banyaknya susunan bendera yang mungkin adalah…… Jawaban:



Karena susunan bendera mempunyai makna yang berbeda, maka untuk menacari banyaknya cara dalam penyusunan bendera dapat dicari dengan cara sebagai berikut: Banyak cara =



8! 4! × 2! × 2!



Banyak cara =



8×7×6×5×4×3×2×1 = 𝟒𝟐𝟎 𝐜𝐚𝐫𝐚 4! × 2! × 2!



Jadi terdapat 𝟒𝟐𝟎 𝐜𝐚𝐫𝐚 susunan bendera yang mungkin 𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛: 𝐄



5.



Berapa cara yang berlainan dapat disusun 5 orang duduk di kursi yang melingkar? Jawaban: Bentuk soal ini dapat kita selesaikan dengan menggunakan permutasi siklik dimana banyaknya cara adalah (n − 1) ! Banyak cara = (n − 1)! Banyak cara = (5 − 1)! Banyak cara = 4! Banyak cara = 4 × 3 × 2 × 1 = 𝟐𝟒 𝐜𝐚𝐫𝐚



Jadi terdapat 𝟐𝟒 𝐜𝐚𝐫𝐚 dalam membentuk susunan 5 orang duduk di kursi yang melingkar 𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛: 𝐃



6. Dari 8 orang pemain bulu tangkis, akan dibentuk pasangan ganda. Banyaknya pasangan ganda yang dapat di bentuk adalah… 𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛𝐚𝐧: Bentuk soal ini dapat kita selesaikan dengan menggunakan metode kombinasi, dikarenakan pemasangan pemain tidak memerhatikan urutan. C(8,2) =



8! (8 − 2)! 2!



8×7×6×5×4×3×2×1 6! 2! 8×7×6×5×4×3×2×1 𝐶(8,2) = = 𝟐𝟖 6! 2! 𝐶(8,2) =



Jadi terdapat 𝟐𝟖 cara pemasangan ganda yang dapat terbentuk 𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛: 𝐂



7.



Koefisien X5 dari hasil penjabaran







adalah Jawaban: Kita dapat menggunakan segitiga pascal dimana (a + b)7 = a7 + 7a6 b + 21a5 b2 + 35a4 b3 + 35a3 b4 + 21a2 b5 + 7ab6 + b7 Jadi dapat kita simpulkan sebagai berikut: (x 3 − x −1 )7 = x 21 − 7x17 + 21x13 − 35x 9 + 35x 5 + 21x + 7x −3 − x −7 Jadi dapat kita lihat bahwa koefisien dari x 5 adalah 𝟑𝟓 𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛: 𝐃



8.



Jika dua dadu dilambangkan bersama- sama maka peluang munculnya jumlah mata ke dua dadu 8 adalah….. Jawaban: n(s) = 36 n(x) = 5 P(x) = n(x)/n(s) P(x) = 𝟓/𝟑𝟔 𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛: 𝐂



9.



Suatu kantong berisi 7 bola, masing masing bola bernomor 1,2,3,4,5,6 dan 7. daribola diambil secara acak dari kantong tersebut. Peluang yang terambil dua boladenganjumlah nomornya bilangan genap adalah:….. Jawaban: n(s) = C(7,2) =



7! 7 × 6 × 5! = = 21 (7 − 2)! 2! 5! 2!



n(x) = C(4,2) + C(3,2) = 𝑃(𝑥) =



4! 3! + =6+3=9 (4 − 2)! 2! (3 − 2)! 2!



𝑛(𝑥) 9 𝟑 = = 𝑛(𝑠) 21 𝟕



Jadi Peluang yang terambil adalah dua bola dengan jumlah nomornya bilangan genap adalah 𝟑/𝟕 𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛: 𝐀



10. Pada percobaan melempar tiga keping uang logam 120 kali, frekuensi harapan kejadian muncul dua gambar, adalah……. Jawaban: Frekuensi harapan = Peluang dikali banyaknya percobaan P(x) = n(x)/n(s) 𝑃(𝑥) =



3! /23 2! 1!



𝑃(𝑥) = 3/8 Frekuensi harapan = 3/8 ×120 Frekuensi Harapan= 45 𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛: 𝐂



11. Dalam kotak pertama terdapat 4 bola merah dan 3 bola biru, kotak kedua terdapat 7bola merah dan 3 bola putih. Dari masing-masing kotak diambil satu bola merahdarikotak pertama dan putih padakotak keduaadalah...... Jawaban: 4 3 × 7 10 𝟏𝟐 P(x) = 𝟕𝟎 P(x) =



𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛: 𝐂



12. Sebuah kotak berisi 2 bola merah dan 6 bola putih. Dari dalam kotak diambil 7 bolaberturut-turut dua kali tanpa pengembalian. Peluangterambil bola pertama merahdanbola keduaputih adalah........ Jawaban: Peluang pengambilan pertama = 2/8 Peluang pengambilan kedua = 6/7 P = 2/8 × 6/7 P = 12/56 P = 3/14



Jawab: D



Tugas 4 1. Satu dadu dilambungkan satu kali, probabilitas bahwa mata yang muncul minimum 4 adalah: Jawab : n(A)



= minimum 4 (4,5,6) = jlh 3



n(S)



= 6 (jlh mata dadu)



P(A)



= n(A)/n(S) = 3/6 =½



2. Dari kedua kejadian B dan C, diketahui P(B)=0,7;P(C)=0,75;(P  C)=0,50; maka P(BcCc ) adalah….. Jawab : 𝑃(𝐵 𝐶 ) = 1 − 𝑃(𝐵) = 1 − 0,7 = 0,3 𝑃(𝐶 𝐶 ) = 1 − 𝑃(𝐶) = 1 − 0,75 = 0,25 𝑃(𝐵 𝐶 ) + 𝑃(𝐶 𝐶 ) = 0,3 + 0,25 = 0,55 𝑃(𝐵 𝐶 𝐶 𝐶 ) = 𝑃(𝐵 𝐶 ) + 𝑃(𝐶 𝐶 ) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) 𝑃(𝐵 𝐶 𝐶 𝐶 ) = 0,55 − 0,50 = 𝟎, 𝟎𝟓 3. Jika Adan B dua kejadian dengan P(A)= 9/20 , P(B)= 8/15 dan (P  B)= 1/5 ; maka: (P  B)’ sama dengan: Jawab : 9 11 = 20 20 8 7 𝑃 (𝐵 )′ = 1 − 𝑃 (𝐵 )′ = 1 − = 15 15 𝑃(𝐴)′ = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 −



𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)′ = 𝑃(𝐴)′ 𝑥 𝑃(𝐵)′ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)′ =



11 7 𝟕𝟕 𝑥 = 20 15 𝟑𝟎𝟎



4. Andaikan seorang pria dapat hidup sampai 60 tahun kemungkinannya 3/5 , dan seorang wanita dapat hidup sampai 60 tahun probabilitasnya 4/5 . Maka probabilitas kedua orang itu dapat hidup sampai 60 tahun adalah: Jawab :



P(A)



= 3/5



P(B)



= 4/5



𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑥 𝑃(𝐵) 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =



𝟑 𝟒 𝟏𝟐 𝒙 = 𝟓 𝟓 𝟐𝟓



5. Dari Mahasiswa jurusan maematika FMIPA Unimed siperoleh informasi bahwa 45% dari mahasiswa tersebut adalah putra, dan 20 % dari mahasiswa tersebut berasal dari tapanuli. Jika seorang mahasiswa tersebut ditunjuk secara random dan didapat mahasiswa putra yang berasal dari Tapanuli, adalah…. Jawab : P(L)



= 0,45



P(W) = 0,55 P(T/L) = 0,2 (peluang laki-laki berasal dari Tapanuli) 𝐿 0,45 𝑥 0,2 𝑃( ) = (0,45 𝑥 0,2) + (0,55 𝑥 0,8) 𝑇 𝐿 0,09 𝑃( ) = 𝑇 0,53 𝑳 𝑷 ( ) = 𝟎, 𝟏𝟔𝟗𝟖 𝑻 atau P(L)



= 0,45



P(T/L) = 0,2 P(L/T)



= 0,45 x 0,2 = 0,09



6. Probabilitas seseorang akan terserang penyakit typhus pada suatu ketika 0,15 dan probabilitas bahwa mengalami penyakit usus akan sakit kalau ia terserang typhus adalah 0,35; maka probabilitas bahwa seseorang akan terserang kedua penyakit itu adalah; Jawab : P(A)



= 0,15



P(B)



= 0,35



➢ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) 𝑥 𝑃(𝐵) = 0,15 x 0,35 = 0,0525



7. Kalau A dan B dua kejadian yang bebas satu sama lain, dan diketahui bahwa P(A)= 1/3 ,(P  B)= 5/6 ; maka P(B) sama dengan: Jawab : 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 5 1 = + 𝑃𝐵 6 3 5 1 𝟏 𝑃(𝐵) = − = 6 3 𝟐 8. Terdapat dua kotak, kotak I dan II dimana kotak I memulai 8 kartu yang bernomor 1-8; kotak II memuat 1-6. Sebuah kotak diambil secara acak kemudian kartunya di ambil. Jika yang terambil kartu yang bernomor ganjil maka satu kartu di ambil lagi dari kotak yang lain, dan bila yang terambil kartu yang bernomor genap maka kartu di ambil lagi dari kotak yang sama, maka probabilitas bahwa kedua kartu yang terambil bernomor genap adalah: Jawab:



1 2 1 2



GJ 1 2



I 1 2



1 2



1 2



1 2



GJ GP GJ



GP 3 7



1 2



GP GJ



GJ 1 2



II 1 2



4 7



3 5



GP GJ



GP 2 5



GP



Probabilitas Kedua kartu yang terambil nomor genap : ( Peluang kotak A x peluang pengambilan genap kotak A x Peluang pengambilan kedua genap kotak A ) + Peluang Kotak B x Peluang pengambilan genap kotak B x Peluang pengambilan kedua genap kotak B ).



Probabilitas Kedua kartu yang terambil nomor genap



:



(1⁄2 𝑥 4⁄8 𝑥 3⁄7) + (1⁄2 𝑥 3⁄6 𝑥 2⁄5) = 3⁄28 + 1⁄10 = 𝟓𝟖⁄𝟐𝟖𝟎 9. Dua orang pemburu, membidikkan senapannya bersama-sama pada seekor rusa.pemburu I mempunyai probabilitas bahwa tembakannya tepat mengenai sasaran ialah 0,7; sedang pemburu kedua probabilitas bahwa tembakannya tepat mengenai sasaran adalah 0,8 karena memang ia seorang pemburu yang sudah berpengalaman. Jika rusa mati tertembaj maka probabilitas bahwa rusa tertembak oleh pemburu pertama adalah Jawab : P(I) = P(II) = ½ P(T/I) = 0,7 P(T/II) = 0,8 𝑇 𝑃(𝐼) 𝑥 𝑃 ( ) 𝐼 𝐼 𝑃( ) = 𝑇 𝑇 𝑇 (𝑃(𝐼) 𝑥 𝑃 ( 𝐼 ) + 𝑃(𝐼𝐼) 𝑥 𝑃 (𝐼𝐼 ) = =



0,5 𝑥 0,7 (0,5 𝑥 0,7)+ (0,5 𝑥 0,8) 𝟎,𝟑𝟓 𝟎,𝟕𝟓



= 𝟎, 𝟒𝟔𝟔𝟔𝟔



10. Diketahui kotak A, kotak B, dan kotak C, dimana kotak A berisi 4 kelereng merah dan 6 kelereng biru, kotak B berisi 3 kelereng merah dan 2 kelereng biru, dan kotak C berisi 2 kelereng merah dan 1 kelereng biru. Sebuah kotak di ambil secara random dan sebuah kelereng biru di ambil dari kotak tersebut, maka probabilitas bahwa terambil kelereng biru adalah;. Jawab : P(A) =P(B)=P(C) =1/3 P(B/A) = 6/10 (biru) P(B/B) = 2/5 (Biru) P(B/C) = 1/3 (Biru) Probabilitas terambil kelereng biru adalah



1 6 1 2 1 1 ( 𝑥 )+ ( 𝑥 )+( 𝑥 ) 3 10 3 5 3 3 𝟔 𝟐 𝟏 𝟒𝟎 + + = 𝟑𝟎 𝟏𝟓 𝟗 𝟗𝟎 11. Jika batere hasil suatu pabrik sebagai berikut; 40% dihasilkan oleh mesin A; 35% dihasilkan oleh mesin B; dan 20% dihasilkan oleh mesin C. sedang 4$ dari hasil mesin A cacat, 2% dari mesin B cacat dan 4% dari mesin C cacat. Di ambil secara acak, maka hasil bahwa yang terambilcacat dari hasil mesin A adalah: Jawab : P(A)



= 0,4



P(R/A)



= 0,04



P(B)



= 0,35



P(R/B)



= 0,02



P(C)



= 0,2



P(R/C)



= 0,04



Probabilitas terambil cacat dari mesin A adalah 𝐴 0,4 𝑥 0,04 𝑃( ) = (0,4 𝑥 0,04) + (0,35 𝑥 0,02) + (0,2 𝑥 0,04) 𝑅 𝐴 0,016 𝑃( ) = 𝑅 0,016 + 0,007 + 0,008 𝑨 𝟎, 𝟎𝟏𝟔 𝑷( ) = 𝑹 𝟎, 𝟎𝟑𝟏 12. Dalam suatu klub olahraga diketahui bahwa 4% dari anggota laki-laki dan 2% dari anggota wanita yang mempunyai tinggi badan 170 cm. di samping itu diketahui bahwa 70% anggota klub itu adalah laki-laki. Jika seurang dipiih secara random dan ternyata tingginya adalah 170 cm. berapakah probabilitasnya bahwa dia adalahanggota laki-laki? Jawab : P(L)



= 0,7



P(W) = 0,3 P(T/L) = 0,04 P(T/W) = 0,02 𝐿 0,4 𝑥 0,7 𝑃( ) = (0,7 𝑥 0,04) + (0,3 𝑥 0,02) 𝑇 𝑳 𝟎, 𝟎𝟐𝟖 𝑷( ) = = 𝟎, 𝟖𝟐𝟑𝟓 𝑻 𝟎, 𝟎𝟑𝟒



13. Dalam suatu negara dilakukan pemilihan presiden. Dalam negara tersebut, terdapat 3 partai peserta sebagai kontestan, masing-masing D,P dan N. Dengan memilih sebagai berikut: 40% konsisten D, 50% konsisten P, 10% konsisten N. Ada 3 orang calon presiden yang akan dipilih dari ketiga orang tersebut, masing-masing A,B dan C. Kontestan memberikan suara dengan distribusi sebagai berikut; 80% dari partai D; 50% dari partai P dan 15% dari partai N memilih B; selanjutnya 10 % dari partai D, 15% dari partai P dan 75% dari partai N memilih C. Jika seorang dipilih secara acak dan ternyata ia memilih B maka probabilitasnya bahwa ia seorang kaum dari partai D adalah; Jawab : P(D)



= 0,4



P(B/D)



= 0,8



P(P)



= 0,5



P(B/P)



= 0,5



P(N)



= 0,1



P(B/N)



= 0,15



𝐷 0,4 𝑥 0,8 𝑃( ) = (0,4 𝑥 0,8) + (0,5 𝑥 0,5) + (0,1 𝑥 0,15) 𝐵 𝐷 0,32 𝑃( ) = 𝐵 0,32 + 0,25 + 0,015 𝑫



𝟎,𝟑𝟐



𝑷 (𝑩) = 𝟎,𝟓𝟖𝟓 Tugas 5 1. Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tetukan kemungkinan muncul: a. angka genap b. angka kuadrat Jawab : n(S) = 6 c. angka genap = {2, 4, 6} = n(S) = 3 P(genap) =



3 6



=



𝟏 𝟐



d. angka kuadrat = {1 dan 4} P(kuadrat) =



2 6



=



𝟏 𝟑



2. Di dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah, 2 bola putih, dan 5 bola kuning. Dari dalam kotak tersebut di ambil satu bola. Tentukan kemungkinan bahwa bola yang terambil berwarna:



c. merah d. putih atau kuning Jawab : n(S) = 10 a. merah = 3 P(merah) = b. putih = 2 =



𝟑 𝟏𝟎 2 10



kuning = 5 =



5 10



P(putih  kuning) =



2 10



+



5 10



=



𝟕 𝟏𝟎



3. selembar kartu di ambil dari seperangkat kartu bridge. Tentukan bahwa kartu yang terambil : a. berwarna merah b. As c. Gambar Jawab : n(S) = 52 d. Kartu berwana merah = 26 P(Merah) =



26 52



=



𝟏 𝟐



e. As = 4 P(As) =



4 52



=



𝟏 𝟏𝟑



f. Gambar = 3 x 4 = 12 P(Gambar) =



12 52



=



𝟑 𝟏𝟑



4. Hasil ujian matematika dari 100 siswa adalah sebagai berikut: 5 orang mendapat nilai A, 20 orang niali B, 40 orang C, 19 orang nilai D dan 16 orang nilai E. Jika dipanggil seorang siswa, berapa kemungkinan bahwa yang terpanggil adalah: c. mendapat nilai A d. yang lulus ( mendapat nialai A,B, dan C) Jawab : n(S) = 100



a. nilai A = 5 orang P(A) =



5



=



100



1



b. nilai A = 5 =



20



nilai B = 20 = nilai C = 40 = P(Lulus) =



𝟏 𝟐𝟎



1 20



20 100 40 100



= =



1 5 2 5



1



2



5



5



+ +



=



𝟏𝟑 𝟐𝟎



5. Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama. Tentukan kemungkinan bahwa jumlah angka kedua mata dadu; c. sama dengan 6 d. lebih dari 10 Jawab : n(S) = 36 a. berjumlah 6 = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} = 5 P(6) =



𝟓 𝟑𝟔



b. >10 = {(5,6), (6,5), (6,6)} = 3 P(>10) =



3 36



=



𝟏 𝟏𝟐



6. Seorang ibu mempunyai 3 anak. Tentukan kemungkinan bahwa ibu tersebut: a. mempunyai dua anak pria dan satu anak wanita b. tidak mempunyai anak pria Jawab : n(S) = 8 c. 2L dan 1P = {(LLP), (PLL), (LPL)} = 3 P(2L dan 1P) =



𝟑 𝟖



d. 3P = {(PPP)} = 1 P(3P) =



𝟏 𝟖



7. Didalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah, 5 bola putih. Dari dalam kotak tersebut



di ambil 4 bola. Tentukan kemugkinan bahwa keempat bola itu terdiri dari dua bola berwarna merah dan dua bola berwarna putih. Jawab : n(S) = 9 n1 = 4 r1 = 2 (bola merah = M) n2 = 5 r2 = 2 (bola putih = N) P(M  N) =



n1C r1 . n2C r2 sC r1+r2



=



4C 2 . 5C 2 9C4



=



4! 5! . 2!(4−2)! 2!(5−2)! 9! 4!(9−4)!



=



6.10 126



=



60 126



=



𝟏𝟎 𝟐𝟏



8. Lima orang siswa A, B, C, D, dan E membentuk sebuah barisan. Berapakan kemungkinanan bahwa A dan B berada dipinggir. Jawab : Banyak cara A dan B dipinggir = 2! = 2 Banyak cara C, D, E baris = 3! = 6 Jadi, banyak kemungkinan bahwa A dan B dipinggir = 2 x 6 = 12



9. Dua orang ibu berbelanja ke toko X sekali dalam seminggu. Berapa kemungkinanan bahwa kedua ibu tersebut berbelanja pada hari yang; c. sama d. berurutan Jawab : Jumlah hari n(S) = 72 = 49 a. hari sama = {(senin,senin), (selasa,selasa), (rabu,rabu), (kamis,kamis), (jumat,jumat), (sabtu,sabtu), (minggu,minggu)} = 7, karena bisa ibu 1 yang belanja terlebih dulu atau ibu 2 yang belanja terlebih dulu maka 2 x 7 = 14 P(sama) =



𝟏𝟒 𝟒𝟗



b. hari berurutan = {(senin,selasa), (selasa,rabu), (rabu,kamis), (kamis,jumat), (jumat,sabtu), (sabtu,minggu)} = 6, karena bisa ibu 1 yang belanja terlebih dulu atau ibu 2 yang belanja terlebih dulu maka 2 x 6 = 12 P(berurutan) =



𝟏𝟐 𝟒𝟗



10. Enam pecatur indonesia akan dikirim keluar negeri sebanyak 3 orang untuk



mengikuti pertandingan catur international. Dua di antara 6 orang tersebut tidak akur, berapa kemungkinannya bahwa yang tidak akur itu hanya satu yang dikirim. Jawab : Banyak kemungkinan pemain catur terpilih 6!



n(S) = 6C3 =



3!(6−3)!



=



6! 3!3!



=



6.5.4.3! 3!3!



=



6.5.4 3.2.1



= 20



Banyak kemungkinan pemain tidak akur 6!



n(E) = 6C2 =



2!(6−2)!



=



6! 2!4!



=



6.5.4! 2!4!



=



6.5 2.1



= 15



Sehingga, kemungkinan pemain catur yang tidak akur terpilih P(E) =



𝑛(𝐸)



=



𝑛(𝑆)



15 20



=



𝟑 𝟒



11. Dua buah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan kemungkinan bahwa jumlah angka kedua mata dadu tidak sama dengan 5. Jawab : n(S) = 36 banyaknya yang sama dengan 5 = P(5) = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} = 4 P(5) =



4 36



=



1 9



Peluang bukan sama dengan 5 = P(5’) = 1 – P(5) = 1 –



1 9



=



𝟖 𝟗



12. Selembar kartu di ambil dari seperangkat kartu bridge. Tentukan kemungkinan bahwa kartu yang terambil As dan Gambar. Jawab : a. As = 4 P(As) =



4 52



=



𝟏 𝟏𝟑



b. Gambar = 3 x 4 = 12 P(King) =



12 52



=



𝟑 𝟏𝟑



13. Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah, 5 bola putih. Di dalam kotak tersebut di ambil 2 bola. Tentukan kemungkinan bahwa kedua bola warnanya tidak sama. Jawab :



Banyak kemungkinan bola terambil = 9C2 =



9! 2!(9−7)!



=



9! 2!7!



=



9.8.7! 7!2!



=



9.8 2.1



= 36



Bola warnanya tidak sama = (1 merah, 1 putih) 4C1



=



5C1



=



4! 1!(4−1)! 5! 1!(5−1)!



= =



4! 1!3! 5! 1!4!



= =



4.3! 1!3! 5.4! 1!4!



4



= =4 1 5



= =5 1



4 x 5 = 20 Sehingga, banyak kemungkinan bahwa kedua bola warnanya tidak sama adalah



=



20 36



𝟓 𝟗



14. Sebuah dadu dan satu uang logam dilemparkan bersama-sama. Tentukan kemungkinan bahwa ; a. dadu mengeluarkan angka ganjil dan uang mengeluarkan angka b. dadu mengeluarkan angka ganjil atau uang mengeluarkan angka Jawab : n(S) dadu = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6 n(S) uang = {A, G} = 2 n(A) ganjil = { 1,3,5} = 3 n(B) angka = {A} = 1 P(A) = P(B) =



3 6



=



1 2



1 2 1



1



𝟏



2



2



𝟒



a. P(A  B) = P(A) × P(B) = × = b. P(A  B) = P(A) + P(B) =



1 2



1



+ =1 2



15. Di dalam kotak pertama terdapat 2 bola merah dan 3 bola putih, sedangkan kotak kedua terdapat 2 bola putih, dan 3 bola kuning. Dari masing-masing kotak di ambil satu bola. Tentukan kemungkinan bahwa kedua bola di ambil berwarna ; a. sama b. beda Jawab : n(S) kotak 1= 5



n(S) kotak 2 = 5 n(A) merah kotak 1 = 2 n(B) putih kotak 1 = 3 n(C) putih kotak 2 = 3 n(D) kuning kotak 2 = 2 P(A) = P(B) = P(C) = P(D) =



2 5 3 5 3 5 2 5 3



3



𝟗



5



5



𝟐𝟓



c. P(B  C) = P(B) × P(C) = × =



d. Kemungkinan 1 (merah kotak 1, putih kotak 2) 2



3



6



5



5



25



P(A  C) = P(A) × P(C) = × =



Kemungkinan 1 (merah kotak 1, kuning kotak 2) 2



2



4



5



5



25



P(A  D) = P(A) × P(D) = × =



Kemungkinan 1 (putih kotak 1, kuning kotak 2) 3



2



6



5



5



25



P(B  D) = P(B) × P(D) = × =



Jadi, kemungkinan terambil bola yang berbeda dari tiap – tiap kota adalah 6 4 6 𝟏𝟔 + + = 25 25 25 𝟐𝟓 Tugas 5A 1. Berapa pasang terbentuk dari nomor STNK mobil yang terdiri dari 2 huruf seri ganda dibelakang nomor angka yang dapat dibuat di Provinsi Sumatera Utara? Misalnya satu contoh BK 1889 ZE Jawab : Huruf untuk membuat seri ganda di belakang nomor angka = A – Z, n = 26 Jumlah huruf yang dibuat = 2, r = 2 Karena pembuatan nomor seri pada plat mobil bisa berulang, maka : Pn = nr P26 = 262 P26 = 676 Jadi, ada 676 pasang plat mobil yang dapat terbentuk.



2. Berapa pasang calon yang dapat terjadi bila ada 6 terdapat calon gubernur dan wakil gubernur Sumatera Utara pada tahun 2024. Adapun calon gubernur tersebut adalah yang berinitial nama: A, B, C, D, E, dan F. Jawab : Banyak calon adalah 6 orang, maka n = 6 Karena akan dipilih 2 orang untuk berpasang, maka r = 2 Jadi, banyak pasangan permutasi 2 dari 6 𝑛!



P(n,r) = (𝑛−𝑟)! 6!



P(6,2) = (6−2)! =



6! 4!



=



6.5.4! 4!



= 30



Jadi, terdapat 30 pasang calon gubernur dan wakil gubernur. 3. Seandainya terdapat 8 partai politik tahun 2024 di Indonesia, masing-masing partai politik: A, B, C, D, E, F, G, dan H yang mempunyai perolehan suara dengan besaran: 15 %, 14 %, 10 %, 16 %, 10 %, 11 %, 17 %, dan 7 %. Sebuah partai politik bisa mencalonkan presiden bila memperoleh suara minimal 20 %, sehingga dengan demikian partai ini tidak bisa berdiri sendiri mencalonkan presiden, harus bergabung dengan partai lain. Berapa pasang partai politik yang dapat bisa bergabung mencalonkan presiden nantinya? Jawab : 𝑛!



P(n,r) = (𝑛−𝑟)! 8!



8!



P(8,2) = (8−2)! = 6! =



8.7.6! 6!



= 56



Tetapi ada 3 pasang yang tidak memenuhi syarat yaitu, (C dan H), (E dan H), dan (F dan H). Maka, pasangan partai yg bisa mancalonkan sebanyak 56 – 3 = 53 pasang partai. 4. Bila dalam perpisahan Kelas XII A salah satu SMAN di Medan yang mempunyai anggota sebanyak 38 siswa, kemudian mereka berbaris dengan wali kelas bapak Drs. Amandus Manurung, dan Kepala Sekolah Drs. T. Rizal Nurdin bersalaman satu persatu mulai dari belakang menyalam kepala sekolah dan wali kelas secara bergantian. Berapa kali bersalamankah yang terjadi? Jawab : 38 siswa bersalaman dengan kepala sekolah dan wali kelas, maka n = 38 dan r = 3 𝑛!



C(n,r) = 𝑟!(𝑛−𝑟)! 38!



38!



C(38,2) = 2!(38−2)! = 2!36! =



38.37.36! 2!36!



=



38.37 2.1



= 703



jadi, ada sebanyak 703 kali bersalaman. 5. Dalam sebuah kotak ada 8 kelereng merah dan 4 kelereng biru. Peluang terambil 3 kelereng merah sekaligus adalah? Jawab : Banyak ruang sampel



12!



12!



C(12,3) = 3!(12−3)! = 3!9! =



12.11.10.9! 3!9!



=



12.11.10 3.2.1



= 220



Banyak kelereng merah terambil 8!



8!



C(8,3) = 3!(8−3)! = 3!5! =



8.7.6.5! 3!5!



8.7.6



= 3.2.1 = 56



Banyak kelereng biru terambil 4!



4!



4!



C(4,0) = 0!(4−0)! = 0!4! = 1.4! = 1 Peluang kelereng merah terambil 3 kelereng P(A) = P(A) =



𝑘𝑒𝑙𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ.𝑘𝑒𝑙𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝑏𝑖𝑟𝑢 56.1 220



𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑟𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 𝟏𝟒



= 𝟓𝟓



6. Tentukan banyak permutasi kata “Teori” Jawab: P(n,n) = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 kata 7. Tentukan banyak permutasi kata “Peluang” Jawab: P(n,n) = 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040 kata 8. Tentukan banyak permutasi kata “Tugas” Jawab: P(n,n) = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 kata 9. Tentukan banyak permutasi kata “Sinaga” Jawab : Banyak huruf “Widodo” = n = 6 k1 = huruf s = 1 k2 = huruf i = 1 k3 = huruf n = 1 k4 = huruf a = 2 k5 = huruf g = 1 P(n,k1,k2,k3) = 𝑘



𝑛! 1 𝑘2 𝑘3



6!



6.5.4.3.2!



P(6,1,1,1,2,1) = 1!1!1!2!1! = 1.1.1.2!.1 =



6.5.4.3 1



= 360 kata



10. Tentukan banyak permutasi kata “Widodo” Jawab: Banyak huruf “Widodo” = n = 6 k1 = huruf w = 1 k2 = huruf i = 1 k3 = huruf d = 2 k4 = huruf o = 2 P(n,k1,k2,k3) = 𝑘



𝑛! 1 𝑘2 𝑘3



6!



6.5.4.3.2!



P(6,1,1,2,2) = 1!1!2!2! = 1.1.2.1.2! =



6.5.4.3 2



= 180 kata



Tugas 6 1. Ada tiga kotak yaitu: Kotak I, Kotak II, dan Kotak III dimana setiap kotak : Kotak I berisi 10 bola lampu, 5 di antaranya mati. Kotak II berisi 6 bola lampu, 2 di antaranya mati. Kotak III berisi 8 bola lampu, 3 di antaranya mati. Diambil suatu kotak secara random, kemudian dari kotak yang terambil, diambil satu bola secara random. Berapakah probabilitas bahwa bola yang terambil bola lampu mati. Jawab :



1 2 1 3



Hidup



I 1 2



1 3



1 3



Mati Hidup



II



1 3



2 3



3 8



Mati Hidup



III 5 8



Mati



Peluang mengambil satu kotak dari 3 kotak secara random adalah



1 3



.



Jadi, peluang yang terambil kotak I = peluang yang terambil kotak II = peluang yang terambil kotak III. Dari kotak I yang berisi 10 bola lampu, 5 lampu mati dan 5 lampu hidup 5



Jadi, peluang terambil lampu mati dari kotak I adalah 10 =



1 2



Dari kotak II yang berisi 6 bola lampu, 2 lampu mati dan 4 lampu hidup Jadi, peluang terambil lampu mati dari kotak II adalah



2 6



=



1 3



Dari kotak III yang berisi 8 bola lampu, 3 lampu mati dan 5 lampu hidup Jadi, peluang terambil lampu mati dari kotak III adalah Sehingga peluang terambil bola lampu mati adalah 1 1



1 1



1 3



. +3.3+3.8 =



3 2



1 6



+



1 9



+



1 8



=



29 72



3 8



Jadi, peluang terambil bola lampu mati adalah



2.



𝟐𝟗 𝟕𝟐



Ada dua buah kotak yaitu kotak A dan kotak B. Kotak A memuat 8 kartu bernomor 1 sampai 8, kotak B memuat 6 kartu bernomor 1 sampai 6. Sebuah kotak dipilih secara random, dan sebuah kartu diambil. Jika yang terambil kartu bernomor ganjil maka satu kartu diambil lagi dari kotak lain. Dan jika kartu yang terambil kartu bernomor genap maka kartu diambil lagi dari kotak yang sama. Hitunglah probabilitas bahwa kedua kartu yang terambil bernomor genap. Jawab :



1 2 1 2



A 1 2



1 2



1 2



4 7



3 7



1 2



GP GJ



GP



1 2



1 2



GJ



GJ



GP GJ



GJ 1 2



B 1 2



GP



3 5



GJ



GP GP



2 5



Peluang mengambil satu kotak dari 2 kotak secara random adalah



1 2



.



Jadi, peluang yang terambil kotak A = peluang yang terambil kotak B. Dari kotak A yang berisi 8 kartu angka, 4 angka ganjil (GJ) dan 4 angka genap (GP) Peluang terambilnya angka genap atau angka ganjil adalah



1 2



. Misal, dari kotak A



terambil angka ganjil maka diambil kartu dari kotak B, sehingga peluang dari kotak A terambil angka ganjil adalah



1 2



dan jika terambil angka genap maka peluangnya



adalah kartu yang tersisa di dalam kotak A yaitu



3 7



Dari kotak B yang berisi 6 kartu angka, 3 angka ganjil (GJ) dan 3 angka genap (GP) Peluang terambilnya angka genap atau angka ganjil adalah



1 2



. Misal, dari kotak B



terambil angka ganjil maka diambil kartu dari kotak A, sehingga peluang dari kotak 1



B terambil angka ganjil adalah



2



dan jika terambil angka genap maka peluangnya



adalah kartu yang tersisa di dalam kotak A yaitu



2 5



Sehingga peluang terambil kartu angka genap adalah 1 1 3



1 1 2



2 2 7



2 2 5



. . + . .



=



3 28



+



1 10



=



29 140



Jadi, peluang terambil kartu angka genap adalah



3.



𝟐𝟗 𝟏𝟒𝟎



Sebuah kotak berisi dua mata uang logam. Sebuah mata uang mempunyai sisi muka (M) dan sisi yang lain sisi belakang (B), sedangmata uang yang kedua semua sisinya sisi muka (M). Sebuah mata uang diambil secara acak dari kotak itu dan dilambungkan. Jika lambungan itu menghasilkan sisi muka (M), maka mata uang yang lain dilambungkan. Tetapi jika lambungan menghasilkan sisi belakang (B), maka mata uang sama dilambungkan lagi. Tentukan probablitas bahwa lambungan kedua menghasilkan sisi muka (M). Jawab : 1 2 1 2



1 2



1 M



M 1 2



I 1 2



1 2



1 II



M



B 1 2



B M



M 1 2



B



Peluang dilambungkannya satu uang logam dari 2 uang logam secara random adalah 1 2



.



Jadi, peluang logam I dilambungkan = peluang logam II dilambungkan. Dari kotak yang berisi 2 uang logam, diantaranya satu uang logam dengan 2 sisi yaitu muka (M) dan belakang (B) dan satu uang logam dengan kedua sisinya muka. Dari uang logam I, deketahui peluang menghasilkan sisi muka atau belakang sama 1



yaitu, 2 . Misal, dari uang logam I menghasilkan muka maka mata uang dari uang logam II dilambungkan, sehingga peluang dari uang logam II terambil 1 karena mata



uang logam II hanya memiliki satu sisi dan jika terambil sisi belakang maka 1



peluangnya adalah 2 . Dari uang logam II, deketahui peluang menghasilkan muka adalah 1. Misal, dari uang logam II terambil muka maka mata uang dari uang logam I dilambungkan, 1



sehingga peluang dari uang logam II terambil adalah 2 . Sehingga peluang menghasilkan sisi muka adalah 1 1



1 1



1



1



1



2 2



2 2



2



2



2



. . 1 + . . + . 1.



=



1 4



1



1



8



4



+ +



=



5 8



Jadi, peluang menghasilakan sisi muka adalah



4.



𝟓 𝟖



Diketahui tiga kotak I, II, dan II. Kotak I berisi 4 kelereng (m), dan 6 kelereng biru (b); kotak II berisi 3 kelereng merah dan 2 kelereng biru, dan kotak III berisi 4 kelereng merah dan 2 kelereng biru. Sebuah kotak diambil secara random dan sebuah kelereng biru diambil dari kotak tersebut. Berapa probablitas bahwa yang terambil kelereng biru, berapa probablitas bahwa yang terambil kelereng merah? Jawab :



2



M 1 3



I 3 5



1 3 1 3



II



2 5



5



B 3 5



M



B



2 3



M III 1 3



B



Peluang mengambil satu kotak dari 3 kotak secara random adalah



1 3



.



Jadi, peluang yang terambil kotak I = peluang yang terambil kotak II = peluang yang terambil kotak III. Dari kotak I yang berisi 10 kelereng, 4 kelereng merah dan 6 kelereng biru 4



Jadi, peluang terambil kelereng merah dari kotak I adalah 10 =



2 5



dan peluang



6



terambil kelreng biru dari kotak 1 adalah 10 =



3 5



Dari kotak II yang berisi 5 kelereng, 3 kelereng merah dan 2 kelereng biru Jadi, peluang terambil kelereng merah dari kotak II adalah kelereng biru dari kotak II adalah



3



dan peluang terambil



5



2 5



Dari kotak III yang berisi 6 kelereng, 4 kelereng merah dan 2 kelereng biru Jadi, peluang terambil kelereng merah dari kotak III adalah terambil kelereng biru dari kotak III adalah



2 6



=



4 6



=



2 3



dan peluang



1 3



Sehingga peluang terambil kelereng merah adalah 1 2



1 3



1 2



. +3.5+3.3 =



3 5



2 15



+



1 5



+



2 9



=



25 45



=



𝟓 𝟗



Dan peluang terambilnya kelereng biru adalah 1 3



1 2



1 1



. +3.5+3.3 =



3 5



1 5



2



+ 15 +



1 9



=



20 45



=



𝟒 𝟗



Jadi, peluang terambil kelereng merah adalah



adalah



5.



𝟓 𝟗



dan peluang terambil kelereng biru



𝟒 𝟗



Kotak A berisi 588 kelereng merah (m) dan 12 kelereng putih (p). Kotak B berisi 291 kelereng merah (m) dan 4 kelereng putih (p). Kotak C berisi 96 kelereng merah (m) dan 4 kelereng putih (p). Semua kelereng di kumpulkan dalam kotak D. Satu kelereng diambil secara acak dari kotak D. Jika yang termbil kelereng merah (m), berapakah probabilitas bahwa yang terambil itu berasal dari kotak C? 147 150



Jawab : 1 3



M A 3 150



1 3



D



291 295



P M



B 1 3



4 295



24 25



P M



C 1 25



P



Peluang mengambil satu kotak dari 3 kotak secara random adalah



1 3



.



Jadi, peluang yang terambil kotak A = peluang yang terambil kotak B = peluang yang terambil kotak C. Dari kotak A yang berisi 600 kelereng, 588 kelereng merah dan 12 kelereng putih Jadi, peluang terambil kelereng merah dari kotak A adalah



588 600



=



147 150



Dari kotak B yang berisi 295 kelereng, 291 kelereng merah dan 4 kelereng putih Jadi, peluang terambil kelereng merah dari kotak B adalah



291 295



Dari kotak C yang berisi 100 kelereng, 96 kelereng merah dan 4 kelereng putih 96



Jadi, peluang terambil kelereng merah dari kotak C adalah 100 =



24 25



Peluang terambilnya satu kelereng merah dari seluruh jumlah kelereng merah adalah 588+291+96 600+295+100



=



975 995



=



195 199



Sehingga peluang terambil kelereng merah dari kotak C adalah 1 24 195



.



.



3 25 199



4.680



= 14.925 =



𝟑𝟏𝟐 𝟗𝟗𝟓



Jadi, peluang terambil kelereng merah adalah



6.



𝟑𝟏𝟐 𝟗𝟗𝟓



Dari dua kotak diketahui bahwa kotak A berisi 3 bola kuning dan 2 bola hitam. Kotak B berisi 2 bola kuning dan 5 bola hitam. Satu kotak diambil secara random, dan dari kotak yang termbil itu diambil secara acak satu bola kemudian dimasukkan ke dalam kotak yang lain. Dari kotak yang lain, diambil satu bola secara random. Hitung probabilitas bahwa bola yang terambil berwarna sama. Jawab : 3



Kuning 1 2



A



5



Hitam = 8



3 5



2



Hitam



1 2



Kuning = 8



2 2 7 Kuning



Kuning = 8 6



Hitam = 8 4



Kuning = 6 2



Hitam = 6



B



3



5 7



Hitam



Kuning = 6 3



Hitam = 6



Peluang mengambil satu kotak dari 2 kotak secara random adalah



1 2



.



Jadi, peluang yang terambil kotak A = peluang yang terambil kotak B. Dari kotak A yang berisi 5 bola, 3 bola kuning dan 2 bola hitam



Jadi, peluang terambil bola kuning dari kotak A adalah



dan bola hitam



3 5



, peluang bola kuning



1 3



5 8



3



1 3



8



2



. Peluang terambil bola hitam dari kotak A adalah 5 , peluang bola



2



6



kuning 8 dan bola hitam 8 Dari kotak B yang berisi 7 bola, 2 bola kuning dan 5 bola hitam



Jadi, peluang terambil bola kuning dari kotak B adalah



dan bola hitam



2 7



, peluang bola kuning



1 3



2 6



4



1 3



6



5



. Peluang terambil bola hitam dari kotak B adalah 7, peluang bola



3



3



kuning 6 dan bola hitam 6 Sehingga peluang terambil bola dengan warna yang sama adalah 1 3 3



1 2 6



1 2 4



1 5 3



(2 . 5 . 8 + 2 . 5 . 8) + (2 . 7 . 6 + 2 . 7 . 6) 9



12



8



15



21



23



3.604



𝟗𝟎𝟏



= (80 + 80) + (84 + 84) = 80 + 84 = 6.720 = 𝟏.𝟔𝟖𝟎 = 𝟎, 𝟓𝟑𝟔𝟑 Jadi, peluang terambil bola dengan warna yang sama adalah 𝟎, 𝟓𝟑𝟔𝟑



7. Dalam suatu perkumpulan olah raga diketahui bahwa 5 % dari anggota laki-laki dan 2 % dari anggota wanita yang mempunyai tinggi badan 182 cm. Di samping itu, diketahui 65 % anggota adalah laki-laki. Jika seseorang dipilih secara random dan ternyata tingginya 182 cm, berapa probabilitas bahwa ia seorang anggota laki-laki? Jawab : Misalkan :



A = kejadian bahwa seorang anggota yang tingginya 182 cm. L = kejadian bahwa yang terpilih seorang anggota laki-laki. W = kejadian bahwa yang terpilih seorang anggota perempuan. maka :



A/L = kejadian bahwa terpilih seorang anggota laki-laki yang tingginya 182 cm. A/W = kejadian bahwa terpilih seorang anggota perempuan yang tingginya 182 cm. Peluang kejadian ini, masing-masing adalah : 65



P(L) = 65% = 100 35



P(W) = 100%- 65% = 35% = 100 5



P(A/L) = 5% = 100 2



P(A/W) = 2% = 100 Maka, peluang terpilih seorang anggota laki-laki, jika diketahui tingginya 182



cm(L/A) adalah P(L/A) =



P(L). P(A/L) P(L). P(A/L) + P(W). P(A/W)



65 5 325 . 325 𝟔𝟓 100 100 = = 10000 = = = 𝟎, 𝟖𝟐𝟐𝟕 65 5 35 2 395 395 𝟕𝟗 . + . 100 100 100 100 10000 Jadi, terpilih seorang anggota laki-laki, jika diketahui tingginya 182 cm(L/A) adalah 𝟔𝟓 𝟕𝟗



= 𝟎, 𝟖𝟐𝟐𝟕



8. Dua orang pemburu menembakkan senapannya bersama-sama, pada seekor kijang. Pemburu pertama mempunyai probabilitas bahwa tembakannya tepat mengenai sasaran ialah 0,8. Sedang pemburu kedua probabilitas bahwa tembakannya tepat mengenai sasaran ialah 0,6 karena memang ia seorang pemburu yang sudah berpengalaman. Jika kijang itu mati tertembak, berapakah peluangnya bahwa kijang itu tertembak oleh pemburu pertama? Jawab : 1 2



A



0,8



1 B 2



0,6



Misalkan : T = kejadian kijang mati tertembak, A = kejadian bahwa tembakan dari pemburu I



B = kejadian bahwa tembakan dari pemburu II Maka : T/A = kejadian kijang mati tertembak pemburu I T/B = kejadian kijang mati tertembak pemburu II Peluang kejadian itu, masing-masing adalah : P(A) = P(B) =



1 2



P(T/A) = 0,8 =



8 10



P(T/B) = 0,6 =



6 10



Sehingga, peluang kijang itu mati tertembak oleh pemburu I (A/T) adalah :



1 8 P(A). P(T/A) 2 . 10 P(A/T) = = = 1 8 1 6 P(A). P(T/A) + P(B). P(T/B) . + . 2 10 2 10



4 10 = 𝟒 = 𝟎, 𝟓𝟕𝟏𝟒 7 𝟕 10 𝟒



Jadi, peluang kijang itu mati tertembak oleh pemburu I (A/T) adalah 𝟕 = 𝟎, 𝟓𝟕𝟏𝟒 9. Dari seluruh rakyat di suatu Negara, dalam pemilihan umum tersebut tercatat pemilih: 50 % Republik, 30 % Demokrat, dan 20 % kaum Independent. Ada 3 orang calon dalam pemilihan umum itu, yaitu seorang dari kaum Republik (R), seorang dari kaum Demokrat (D), dan seorang dari kaum Independen (I). Distribusi suara yang diperoleh ketiga calon itu sebagai berikut: 80 % kaum republik, 5 % kaum demokrat , dan 15 % kaum independent memilih R. 5 % kaum Republik, 85 % kaum Demokrat, dan 10% independen memilih D. 15% kaum Republik, 10% kaum Demokrat, dan 75% kaum independen memilih I. Jika seorang dipilih secara random dan ternyata ia memilih I , berapakah probabilitas bahwa ia seorang Republik? Jawab : Misalkan :



A = kejadian bahwa pemilih dari kaum Republik B = kejadian bahwa pemilih dari kaum Republik C = kejadian bahwa pemilih dari kaum Independen Maka : I/A = kejadian bahwa kaum Republik memilih calon dari kaum Independen I/B = kejadian bahwa kaum Demokrat memilih calon dari kaum Independen I/C = kejadian bahwa kaum Independent memilih calon dari kaum Independen Peluang kejadian itu, masing-masing adalah



P(A) = 50% = 1/2 P(B) = 30% = 2/5 P(C) = 20% = 3/20 P(I/A) = 15% = 3/20 P(I/B) = 10% = 1/20 P(I/C) = 75% = 3/4 Sehingga, peluang bahwa seseorang adalah kaum Republic, jika diketahui ia memilih



independent (A/I) adalah P(A/I) =



P(A). P(I/A) P(A). P(I/A) + P(B). P(I/B) + P(C). P(I/C)



50 15 750 . 100 750 𝟏𝟓 100 10000 = = = = = 𝟎, 𝟐𝟗𝟒𝟏 50 15 30 10 20 75 2550 2550 𝟓𝟏 100 . 100 + 100 . 100 + 100 . 100 10000 Jadi, probabilitas seorang Republik memilih Independen adalah



𝟏𝟓 𝟓𝟏



= 0,2941



10. Dari kotak petasan, ternyata 25 kotak adalah petasan yang dibuat pabrik A, 35 kotak dibuat oleh B, dan 40 kotak dibuat oleh pabrik C. Petasan yang dibuat pabrik A ratarata 5 % rusak. Petasan yang dibuat oleh pabrik B rata-rata 3 % rusak dan petasan yang dibuat oleh pabrik C rata-rata 2 % rusak. Kotak-kotak petasan ini dibungkus dengan kotak yang lebih besar . Kemudian sebuah kotak diambil secara random dan sebatang petasan dicoba, ternyata petasan itu rusak. Berapakah probabilitas bahwa itu adalah hasil pabrik B. Jawab: Misalkan: R = Kejadian petasan yang terambil rusak. A = Kejadian petasan yang terambil hasil pabrik A. B = Kejadian petasan yang terambil hasil pabrik B. C = Kejadian petasan yang terambil hasil pabrik C. Maka : R/A = kejadiaan bahwa yang terambil dari hasil pabrik A rusak R/B = kejadian bahwa yang terambil dari hasil pabrik B rusak R/C = kejadian bahwa yang terambil dari hasil pabrik C rusak Peluang kejadian ini, masing-masing adalah : 25



P(A) = 100



35



P(B) = 100 40



P(C) = 100 5



P(R/A) = 5% = 100 3



P(R/B) = 3% = 100 2



P(R/C) = 2% = 100 Sehingga, peluang kejadian bahwa yang terambil berasal dari kotak B yang petasannya rusak (B/R) adalah : P(B/R) =



P(B). P(R/B) P(A). P(R/A) + P(B). P(R/B) + P(C). P(R/C)



35 3 105 . 100 105 𝟐𝟏 100 10000 = = = = = 𝟎, 𝟑𝟑𝟖𝟕 310 25 5 35 3 40 2 310 𝟔𝟐 10000 100 . 100 + 100 . 100 + 100 . 100 Jadi, peluang kejadian bahwa yang terambil berasal dari kotak B yang petasannya 𝟐𝟏



rusak (B/R) adalah 𝟔𝟐 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟖𝟕 11. Tersedia 3 kantong, kantong A, kantong B, dan kantong C. dimana kantong A berisi



2 manik-manik merah (m) dan 5 manik-manik putih (p); kantong B berisi 2 manik– manik merah (m) dan 1 manik-manik putih (p); dan kantong C berisi 2 manik-manik merah (m) dan 3 manik-manik putih (p). Satu kantong diambil secara random kemudian 1 manik - manik diambil secara random. Jika yang terambil itu manicmanik merah (m), berapakah probabilitas bahwa yang terambil itu berasal dari kantong A? 2 7



Jawab : 1 3



M



A 5 7



1 3 1 3



B



P 2



1 3



2 5



M P M



C



3 5



P



Peluang mengambil satu kantong dari 3 kantong secara random adalah



1 3



.



Jadi, peluang yang terambil kantong A = peluang yang terambil kantong B = peluang yang terambil kantong C. Dari kantong A yang berisi 7 manik, 2 manik merah dan 5 manik putih 2



Jadi, peluang terambil manik merah dari kotak atau P(M/A) adalah 7 dan peluang 5



terambil manik putih adalah 7 Dari kantong B yang berisi 3 manik, 2 manik merah dan 1 manik putih 2



Jadi, peluang terambil manik merah dari kotak B atau P(M/B) adalah 3 dan peluang 1



terambil manik putih adalah 3 Dari kantong C yang berisi 5 manik, 2 manik merah dan 3 manik putih 2



Jadi, peluang terambil manik merah dari kotak C atau P(M/C) adalah 5 dan peluang 3



terambil manik putih adalah 5 Sehingga, peluang terambil manik warna merah dari kantong A adalah P(A/M) =



P(A). P(M/A) P(A). P(M/A) + P(B). P(M/B) + P(C). P(M/C)



1 2 2 .7 𝟏𝟓 3 = = 21 = = 𝟎, 𝟐𝟏𝟏𝟐 1 2 1 2 1 2 142 𝟕𝟏 . + . + . 3 7 3 3 3 5 315 𝟏𝟓



Jadi, peluang terambilnya manik – manik merah dari kantong A adalah 𝟕𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟏𝟏𝟐 12. Andaikan dari mahasiswa sebanyak 100 orang ternyata 35 orang dari jurusan



matematika, 40 orang jurusan fisika, dan 25 orang dari jurusan kimia. Diminta pendapatnya tentang statistika,ternyata 80% mahasiswa jurusan matematika,15% mahasiswa jurusan fisika,dan 40% mahasiswa jurusan kimia tertarik akan hal itu. Jika seorang mahasiswa dipilih secara acak, dan ternyata ia tertarik pada statistika. Berapakah probabilitas mahasiswa itu jurusan matematika? Jawab : Misalkan : A = kejadian bahwa seseorang tertarik pada Statistika M = kejadian yang terpilih dari jurusan Matematika F = kejadian yang terpilih dari jurusan Fisika K = kejadian yang terpilih dari jurusan Kimia



Maka : A/M = kejadiaan bahwa jurusan matematika tertarik statistika A/F = kejadian bahwa jurusan fisika tertarik statistika A/K= kejadian bahwa jurusan kimia tertarik statistika Peluang kejadian ini, masing-masing adalah : 35



P(M) = 100 40



P(F) = 100 P(K) =



25 100 80



P(A/M) = 80% = 100 15



P(A/F) = 15% = 100 40



P(A/K) = 40% = 100 Sehingga, peluang kejadian bahwa seorang yang terpilih mahasiswa jurusan Matematika, diketahui ia tertarik pada statistika (M/A) adalah :



P(M/A) =



P(M). P(A/M) P(M). P(A/M) + P(F). P(A/F) + P(K). P(A/K)



35 80 100 . 100 = = 35 80 40 15 25 40 . + . + . 100 100 100 100 100 100



2.800 10000 = 2.800 = 𝟕 = 𝟎, 𝟔𝟑𝟔𝟒 4.400 4.400 𝟏𝟏 10000



Jadi, peluang kejadian bahwa seorang yang terpilih mahasiswa jurusan Matematika, 𝟕



diketahui ia tertarik pada statistika (M/A) adalah 𝟏𝟏 = 𝟎, 𝟔𝟑𝟔𝟒 13. Dari 3 kotak pinsil,kotak 1 berisi 3 pensil berwarna biru dan 5 pensil berwarna kuning . kotak II berisi 2 pensil berwarna kuning. Kotak II berisi 2 pensil berwarna biru dan 1 berwarna kuning. Dan kotak III berisi 2 pensil berwarna biru dan 3 pensil berwarna kuning. Sebuah kotak diambil secara random, dan sebuah pensil harus diambil dari dalam kotak. Jika diambil pensil berwarna kuning, berapakan probabilitas bahwa yang terambil pensil dari kotak 1. Jawab :



3 8



B



1 3



I



5 8



1 3



K 2



1 II 3



B K



1



3



B



III K 2



Peluang mengambil satu kotak dari 3 kotak secara random adalah



1 3



.



Jadi, peluang yang terambil kotak I = peluang yang terambil kotak II = peluang yang terambil kotak III. Dari kotak I yang berisi 8 pensil , 3 pensil biru dan 5 pensil kuning 3



Jadi, peluang terambil pensil biru dari kotak I adalah 8 dan peluang terambilnya



pensil kuning atau P(K/I) adalah



1 3



5 8



Dari kotak II yang berisi 3 pensil , 2 pensil biru dan 1 pensil kuning 2



Jadi, peluang terambil pensil biru dari kotak III adalah 3 dan peluang terambilnya



pensil kuning atau P(K/II) adalah



1 3



1 3



Dari kotak III yang berisi 5 pensil , 2 pensil biru dan 3 pensil kuning 2



Jadi, peluang terambil pensil biru dari kotak III adalah dan peluang terambilnya 5



pensil kuning atau P(K/III) adalah



3



1 3



5



Sehingga, peluang terambilnya pensil warna kuning dari kotak 1 adalah P(I/K) =



P(I). P(K/I) P(I). P(K/I) + P(II). P(K/II) + P(III). P(K/III)



1 5 5 .8 𝟕𝟓 3 = = 24 = = 𝟎, 𝟒𝟎𝟏 187 1 5 1 1 1 3 𝟏𝟖𝟕 . + . + . 360 3 8 3 3 3 5



𝟕𝟓



Jadi, peluang terambilnya manik – manik merah dari kantong A adalah 𝟏𝟖𝟕 = 𝟎, 𝟒𝟎𝟏



14. Dalam sebuah dompet terdapat tiga mata uang logam. Mata uang I berpermukaan sama, yaitu M, mata uang II mempunyai sisi M dan sisi B, sedang mata uang III berat sebelah, sehingga mata uang probabilitas muncul sisi M adalah 1/3. Satu mata uang diambil secara random dan dilambungkan. Berapa probabilitas bahwa hasil lambungan adalah sisi M? Jawab :



1 3



1



I



M 1 2



1 3



M



II



1 3



1 2



III



B



1 3



M



2 3



B



Peluang diambil dan dilambungkannya satu uang logam dari 3 uang logam secara random adalah



1 3



.



Jadi, peluang logam I dilambungkan = peluang logam II dilambungkan = peluang logam III dilambungkan. Dari kotak yang berisi 2 uang logam, diantaranya satu uang logam dengan 2 sisi yaitu muka (M) dan belakang (B) dan satu uang logam dengan kedua sisinya muka. Dari uang logam I, diketahui menghasilkan sisi muka sehingga peluangnya adalah 1. Dari uang logam II, diketahui menghasilkan sisi muka dan belakang sehingga peluang sisi muka adalah



1 2



1



dan sisi belakang adalah 2 .



Dari uang logam III, diketahui menghasilkan sisi berat sebalah, dimana sisi belakang lebih berat dari muka, sehingga peluang sisi muka adalah 2 3



1 3



.



Sehingga peluang menghasilkan sisi muka adalah 1 3



1 1



1



3 2



3 3



.1+ . + .



1



=



1 3



1



1



6



9



+ +



=



22 36



𝟏𝟏



= 𝟏𝟖 = 𝟎, 𝟔𝟏𝟏𝟏



Jadi, peluang menghasilakan sisi muka adalah



𝟏𝟏 𝟏𝟖



= 0,6111



dan sisi belakang adalah



15. Di suatu sekolah terdapat 25 % dari siswa putra dan 10 % dari siswa putri belajar Matematika. Seandainya seorang siswa dipilih secara random, dan ternyata ia belajar matematika. Tentukanlah peluang bahwa siswa yang terpilih itu siswa putri, jika banyaknya siswa putri di sekolah itu 60 % dari seluruh siswa! Jawab : Misalkan :



M = kejadian bahwa seorang siswa belajar matematika. L = kejadian bahwa yang terpilih seorang siswa laki-laki. W = kejadian bahwa yang terpilih seorang siswa perempuan. maka :



M/L = kejadian bahwa terpilih seorang siswa laki-laki belajar matematika. M/W = kejadian bahwa terpilih seorang siswa perempuan belajar matematika. Peluang kejadian ini, masing-masing adalah : 60



P(W) = 60% = 100 40



P(L) = 100%- 60% = 40% = 100 25



P(A/L) = 25% = 100 10



P(A/W) = 10% = 100 Maka, peluang terpilih seorang siswa perempuan yang belajar matematika(W/M)



adalah P(W/M) =



P(W). P(M/W) P(L). P(M/L) + P(W). P(M/W)



60 10 600 . 100 600 𝟑 100 10000 = = = = = 𝟎, 𝟑𝟕𝟓 1.600 40 25 60 10 1.600 𝟖 10000 100 . 100 + 100 . 100 𝟑



Jadi, terpilih seorang siswa perempuan yang belajar matematika(W/M) adalah 𝟖 = 𝟎, 𝟑𝟕𝟓



16. Andaikan dari 1000 orang sarjana pendidikan yang bekerja di Departemen



Pendidikan Nasional, 60 % laki-laki dan 40 % perempuan. Jika diketahui bahwa 55 % sarjana pendidikan laki-laki lulusan Universitas Negeri Medan yang bekerja di Departemen itu adalah laki-laki. Jika seorang alumni dipilih secara random dan ternyata ia laki-laki. Berapakah probalitas bahwa laki-laki itu alumni Universitas Negeri Medan?



Jawab : Misalkan :



S = kejadian bahwa sarjana UNIMED bekerja di Departemen Pendidikan. L = kejadian bahwa yang terpilih sarjana laki-laki bekerja di Departemen Pendidikan. W = kejadian bahwa yang terpilih sarjana perempuan bekerja di Departemen Pendidikan. maka :



S/L = kejadian bahwa terpilih sarjana laki-laki UNIMED bekerja di Departemen Pendidikan. S/W = kejadian bahwa terpilih sarjana perempuan UNIMED bekerja di Departemen Pendidikan. Peluang kejadian ini, masing-masing adalah : 60



P(L) = 60% = 100 40



P(W) = 40% = 100 55



P(S/L) = 55% = 100 45



P(S/W) = 100% - 55% = 45% = 100 Maka, peluang terpilihnya sarjana laki-laki yang bekerja di Departemen Pendidikan dan



merupakan alumni UNIMED (L/S) adalah P(L/S) =



P(L). P(S/L) P(L). P(S/L) + P(W). P(S/W)



60 55 . 100 100 = = 60 55 40 45 . + . 100 100 100 100



3.300 10000 = 3.300 = 𝟑𝟑 = 𝟎, 𝟔𝟒𝟕 5.100 5.100 𝟓𝟏 10000



Jadi, terpilih seorang siswa perempuan yang belajar matematika(L/S) adalah



𝟑𝟑 𝟓𝟏



=



𝟎, 𝟔𝟒𝟕



17. Sebuah kotak berisi Sembilan kartu bernomor 1 sampai 9. Sebuah kotak yang lain berisi lima kartu bernomor 1 sampai 5. Sebuah kotak dipilih secara random. Jika yang diambil kartu bernomor genap, berapakah probabilitas bahwa kartu itu berasal dari kotak pertama? Jawab :



5



Ganjil 1 2



I Genap 4



Ganjil



3



1 2



II Genap 2



Peluang mengambil satu kotak dari 2 kotak secara random adalah



1 2



.



Jadi, peluang yang terambil kotak I = peluang yang terambil kotak II. Dari kotak I yang berisi 9 nomor, 5 nomor ganjil dan 4 nomor genap. 5



Jadi, peluang terambil nomor ganjil dari kotak I adalah 9 dan peluang terambilnya



genap atau P(I/G) adalah



1 3



4 9



Dari kotak II yang berisi 5 nomor, 3 nomor ganjil dan 2 nomor genap. 3



Jadi, peluang terambil nomor ganjil dari kotak II adalah 5 dan peluang terambilnya



genap atau P(II/G) adalah



2



1 3



5



Sehingga, peluang terambilnya nomor genap dari kotak 1 adalah P(G/I) = P(I). P(I. G) =



1 4 𝟐 . = = 𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐 2 9 𝟗 𝟐



Jadi, peluang terambilnya nomor genap dari kotak 1 adalah = 𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟗



Tugas 7 1. Tiga mata uang seimbang dilambungkan bersama. X menyatakan “banyaknya sisi M yang muncul pada pelambungan tiga mata uang bersama”. Tentukan : a. Ruang sampel percobaan b. Nilai-nilai fungsi probabilitas variabel random x c. Persamaan fungsi distribusi variabel random x Jawab : Tiga mata uang seimbang dilambungkan bersama, karena mata uang seimbang berarti:



1



P(MMM) = P(BBB) =



2



a. S = {(MMM),(MMB),(MBM),(MBB),(BBB),(BMM),(BMB),(BBM)}. X(s)



0



1



2



3



f(x)



1 8 1 8



3 8 4 8



3 8 7 8



1 8



F(x)



1



b. X(s) = 0,1,2,3 1



f(0) = P(BBB) = 8 3



f(1) = P(MBB,BMB,BBM) = 8 3



f(2) = P(MMB,MBM,BMM) = 8 1



f(3) = P(MMM) = 8 0, untuk x < 0 1



, untuk 0 ≤ x < 1



8



c. F(x) =



4



, untuk 1 ≤ x < 2



8 7



, untuk 2 ≤ x < 3



8



1, untuk x ≤ 3



2. Tiga mata uang dilambungkan bersama. Ketiga mata uang tidak seimbang sehingga probabilitas muncul sisi M pada tiap -tiap mata uang



3 4



dan probabilitas



1



muncul sisi B pada tiap-tiap mata uang 4. X menyatakan “banyaknya sisi M yang muncul” pelambungan tiga mata uang tadi. Jawab : 3



Tiga mata uang dilambungkan bersama dengan satu sisi berat sebelah, yaitu M = 4 dan B



=



1 4



S = {(MMM),(MMB),(MBM),(MBB),(BBB),(BMM),(BMB),(BBM) }. 3 3 3



P(MMM) = . . = 4 4 4



27 64



3 3 1



9



4 4 4



64



P(MMB) = . . =



3 1 3



9



4 4 4



64



P(MBM) = . . = 3 1 1



3



4 4 4



64



P(MBB) = . . = 1 3 3



9



4 4 4



64



P(BMM) = . . = 1 3 1



3



4 4 4



64



1 1 3



3



P(BMB) = . . = P(BBM) = . . = 4 4 4



64



1 1 1



1



4 4 4



64



P(BBB) = . . =



X(s) = 0,1,2,3 1



f(0) = P(BBB) = 64 9



f(1) = P(MBB,BMB,BBM) = 64 27



f(2) = P(MMB,MBM,BMM) = 64 27



f(3) = P(MMM) = 64 0, untuk x < 0 1



X(s)



0



1



2



3



10



f(x) F(x)



9 64 10 64



27 64 37 64



27 64



37



1 64 1 64



64



F(x) =



, untuk 0 ≤ x < 1



, untuk 1 ≤ x < 2 64 , untuk 2 ≤ x < 3



64



1, untuk x ≤ 3



1



3. Dua dadu dilambungkan bersama. X menyatakan “banyaknya mata dadu yang muncul pada dadu pertama, dikurangi banyaknya mata yang muncul pada dadu kedua”. Tentukan F x ! Jawab : Dua dadu dilambungkan bersama. X menyatakan banyaknya mata dadu yang muncul pada dadu pertama, dikurangi banyaknya mata yang muncul pada dadu kedua. Maka: S = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1), (1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3) ,(1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)}, (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6)} Dari semua sempel diatas jika dadu pertama dikurang dadu kedua maka hasilnya



adalah -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5. Sehingga probabilitasnya adalah X(s) = -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 f(-5) = P(1,6) = f(-4) = P(2,6) = f(-3) = P(3,6) = f(-2) = P(4,6) = f(-1) = P(5,6) = f(0) = P(6,6) = f(1) = P(6,5) = f(2) = P(6,4) = f(3) = P(6,3) = f(4) = P(6,2) = f(5) = P(6,1) =



1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6



36 5 36



X(s)



f(x)



F(x)



-5



1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36



1 36 3 36 6 36 10 36 15 36 21 36 26 36 30 36 33 36 35 36



4 36 3 36



-4



2 36



-3



1 36



-2 0, untuk x < -5 1



-1



, untuk -5 ≤ x < -4



36



3



0 , untuk -4 ≤ x < -3



36 6



, untuk -3 ≤ x < -2 36 10



, untuk -2 ≤ x < -1



1 2



36



F(X) =



15



, untuk -1 ≤ x < 0



36



3



21



, untuk 0 ≤ x < 1



36



4



26



, untuk 1 ≤ x < 2



36 30



, untuk 2 ≤ x < 3



36 33



, untuk 3 ≤ x < 4



36 35



, untuk 4 ≤ x < 5



36



1, untuk x ≤ 5



5



1



4. Dua orang pasien diperiksa golongan darahnya, sehingga dapat ditentukan golongannya ialah A B AB atau O. X menyatakan “banyaknya pasien yang mempunyai golongan darah O”. Kemudian tentukanlah a. Ruang sampel b. Nilai-nilai variable random x c. Nilai-nilai fungsi probabilitas variable random x, dan d. F(x) jawab : Diperiksa golongan darah dari dua orang pasien, dan X menyatakan banyaknya pasien yang mempunyai golongan darah “o”



a. S = {(A,A),(A,B),(A,AB),(A,O),(B,A),(B,B),(B,AB),(B,O),(AB,A),(AB,B),(AB,AB), (AB,O),(O,A),( O,B),(O,AB),(O,O)}



b. X(s) = 0,1,2 c. f(0) = P((A,A),(A,B),(A,AB),(B,A),(B,B),(B,AB),(AB,A),(AB,B),(AB,AB)) = 9/16 f(1) = P((A,O),(B,O),(AB,O),(O,A),(O,B),(O,AB)) = 6/16 f(2) = P((O,O)) = 1/16



0, untuk x < 0 9



X(s)



0



1



2



f(x)



9 16



6 16



1 16



F(x)



9 16



15 16



1



, untuk 0 ≤ x < 1



16



d. F(x) =



15



, untuk 1 ≤ x < 2 16 1, untuk x ≤ 5