Ukuran Keragaman - Stat Bio B [PDF]

Citation preview

UKURAN KERAGAMAN DATA Setelah kita pelajari ukuran pemusatan data dan ukuran letak, satu lagi ukuran yang harus diketahui adalah ukuran keragaman. Ukuran keragaman yang akan dipelajari adalah ragam atau variansi dan simpangan baku. Ragam atau Variansi Simpangan Baku ♦ Ragam atau variansi untuk data populasi diberi simbol σ2 , sedangkan ragam atau variansi untuk sampel diberi simbol s2. ♦ Jika kita mempunyai sampel berukuran n dengan data x1, x2, ... , xn dan memiliki rata-rata ¯x , maka ragam atau variansi dari data tersebut didefinisikan sebagai berikut: n



∑ ( x i−¯x )2 i=1



n−1 s = …………………………………………………….(1) Adapun simpangan baku untuk data sampel didefinisikan sebagai akar kuadrat dari ragamnya dan dirumuskan sebagai berikut: 2



s= √ s2 =



√



n



∑ ( xi −¯x )2 i=1



n−1 .………………………………………(2) Bentuk lain untuk rumus ragam sampel adalah:



( ∑ (∑ ) ) n



n



s2 =



i =1



x 2i −



2



n



i=1



n( n−1)



xi



……………………………………………(3)



Contoh 1: Tentukan ragam dan simpangan baku dari data sampel berikut: 48, 50, 52, 55, 57, 69, 81, 84 Jawab: *) Rata-rata hitungnya adalah: 8



∑ xi



(48 + 50 + 52 + 55 + 57 + 69 + 81 + 84 ) 496 n 8 = = 8 = 62 Untuk memudahkan perhitungan dapat dibuat tabel seperti berikut: ¯x =



i=1



xi 48 50 52 55 57 69 81 84 Jumlah



( xi - x ) 16 12 10 7 5 7 19 22



( xi - x )2 196 144 100 49 25 49 361 484 1408



1



Sehingga diperoleh: 8



∑ ( x i−¯x )2



1408 = 7 = 201,14



i=1



7



Ragam = s2 =



√ s2= √201 ,14 ≈ 14,18.



Simpangan baku = s =



Apabila digunakan rumus (3) untuk menentukan ragam, tabel yang dibuat untuk perhitungan adalah sebagai berikut: xi 48 50 52 55 57 69 81 84



xi2 2304 2500 2704 3025 3249 4761 6561 7056



8



 xi  i 1



8



x



496



i 1



Sehingga diperoleh:



(



2







i



32160



( ))



n



n ∑ x 2i − i =1



n



∑ xi



2



i=1



n( n−1)



Ragam = s2 =



2 257280−246016 11264 (8 .32160−( 496) ) 8 .7 = = 56 = 56 = 201,14



Simpangan baku = s =



√ s2= √201 ,14 ≈ 14,18.



♦ Untuk data sampel yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, s2 ditentukan sebagai berikut: n



∑ f i ( x i −¯x ) 2 i=1



n−1 s = …………………………………………………………..(4) Adapun simpangan bakunya juga didefinisikan sebagai: 2



s= √ s2 =



√



n



∑ f i ( x i −¯x ) 2 i=1



n−1



……….………………………………………(5)



Bentuk lain untuk rumus ragam data sampel yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi adalah:



2



( ∑ (∑ ) ) n



n



i =1



f i x2i −



2



n



i =1



f i xi



n(n−1) s2 = …………………………………………….…(6) dengan xi : tanda kelas dan n : jumlah frekuensi. Contoh 2: Hitunglah ragam dan simpangan baku dari data sampel berikut: Nilai fi 31 – 40 4 41 – 50 3 51 – 60 11 61 – 70 21 71 – 80 33 81 – 90 15 91 – 100 3 Jumlah 90 Jawab: Untuk memudahkan perhitungan dapat dibuat tabel berikut: Nilai



Titik Tengah (xi)



fi



31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100



35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5



4 3 11 21 33 15 3



fi xi



|xi - x | 34,8 24,8 14,8 4,8 5,2 15,2 25,2



142 136,5 610,5 1375, 5 2491, 5 1282, 5 286,5 Jumlah 90 6325 Rata-rata hitung untuk data pada tabel tersebut adalah:



(xi - x )2 1211,04 615,04 219,04 23,04 27,04 231,04 635,04



fi (xi - x )2 4844,16 1845,12 2409,44 483,84 892,32 3456,60 1905,12



15845,6



7



∑ f i xi



i=1 ¯x = 7



∑ fi i=1



6325 = 90 = 70,3



Jadi, ragam dan simpangan bakunya adalah: 90



∑ f i ( x i −¯x )2 i=1



Ragam = s2 = 89 Simpangan baku = s =



15845,6 = 89 = 178,04



√ s2= √178 ,04 = 13,34.



Apabila akan menggunakan rumus (6) untuk menentukan ragam, tabel yang perlu dibuat adalah sebagai berikut:



3



Nilai 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 Jumlah



Titik Tengah (xi) 35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5



fi 4 3 11 21 33 15 3 90



fi xi 142 136,5 610,5 1375,5 2491,5 1282,5 286,5 6325



xi2 1260,25 2070,25 3080,25 4290,25 5700,25 7310,25 9120,25



fixi2 5041 6210,75 33882,75 90095,25 188108,25 109653,75 27360,75 460352,5



Sehingga diperoleh:



( ∑ (∑ ) ) n



n



i =1



f i x2i −



2



n



i =1



f i xi



n( n−1)



Ragam = s2 =



( 90 . 460352, 5−( 6325 )2) ( 41431725−40005625 ) 1426100 = 8010



= 90 . 89 Simpangan baku = s =



= 8010



= 178,04



√ s2= √178 ,04 = 13,34.



Menghitung Ragam dan Simpangan Baku dengan Cara Pengkodean Anda telah mengetahui cara menghitung rata-rata hitung menggunakan cara pengkodean. Cara tersebut dapat juga digunakan untuk menghitung ragam (variansi) dan simpangan baku pada data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi. Rumusnya adalah sebagai berikut:



[



k



n∑ i=1



f i c 2i −



(∑ ) i=1



n(n−1)



s =p dengan s2 = ragam (variansi) p = panjang kelas k = banyak kelas n = banyaknya data fi = frekuensi kelas ke-i ci = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … 2



2



2



k



f i ci



]



…………………………...............................(7)



Contoh 3: Hitunglah ragam dan simpangan baku data pada contoh 2 dengan cara pengkodean! Jawab: Untuk memudahkan perhitungan dibuat tabel sebagai berikut:



4



Nilai



Titik Tengah (xi) 35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5



31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 Jumlah Dari tabel tersebut diperoleh: p = 10 n = 90



fi



ci



fi c i



fi ci2



4 3 11 21 33 15 3 90



-4 -3 -2 -1 0 1 2



-16 -9 -22 -21 0 15 6 -47



64 27 44 21 0 15 12 183



∑ fi ci = -47 ∑ fi ci2 = 183



Jadi, ragam dan simpangan bakunya adalah:



Ragam = s2 = (10)2



[



[



90. 183−(−47 )2 90. 89



16470−2209 = 100 8010 = 100(1,78) = 178



Simpangan baku = s =



]



]



√ 178 = 13,34



5



6