Integral Tertentu, Kaidah Integral Tertentu 1-2 [PDF]

Citation preview

INTEGRAL, TERTENTU Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas) tertentu. Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area yang terletak di antara kurva y = f(x) dan sumbu horizontal –x, dalam suatu rentangan wilayah yang dibatasi oleh x = a dan x = b. Dalam integral taktentu kita temukan bahwa:



Jika kita ingin mengetahui hasil integrasi tersebut untuk suatu rentangan wilayah tertentu, katakanlah antara x = a dan x = b di mana a ˂ b, maka x dapat disubstitusi dengan nilai-nilai a dan b sehingga ruas kanan persamaan di atas menjadi:



F(b) – F (a) adalah hasil integral tertentu dari f(x) antara a dan b. Secara lengkap persamaan pertama tadi dapat dituliskan menjadi:



Notasi bʃa f(x) dx dibaca integral f(x) untuk rentang wilayah x dari a ke b. Selanjutnya – mengingat a ˂ b – a dinamakan batas-bawah integrasi, sedangkan b disebut batas-batas integrasi. Pemahaman tentang integral tertentu ini akan lebih gamblang dengan bantuan penjelasan grafis. Andaikan kita memiliki Y = f(x), dan hendak dihitung luas area di antara kurva y = f(x) dan sumbu horizontal x untuk rentangan dari x = a ke x = b. Langkah pertama yang harus dilakukan ialah menetapkan a dan b pada sumbu horizontal x, sehingga diperoleh suatu rentangan atau interval wilayah antara a dan b. Kemudian rentangan ini dibagi-bagi menjadi sebanyak n sub-rentangan ∆x1, yang sama lebar. Nilai masing-masing sub-rentangan tak lain adalah ∆x1, ∆(b – a)/n; dan karena masing-masing sub-rentangan sama lebarnya, maka ∆x1 = ∆x2 = ∆x3 = ................. = ∆x4. Langkah berikut-nya ialah menetapkan sebarang



nama untuk titik-titik yang membatasi tiap-tiap sub-rentangan, katakanlah X1. Perhatikan Gambar 11-1 di bawah ini:



Gambar 11-1 Nilai atau harga masing-masing titik yang membatasi tiap sub-rentangan adalah: x0 = a x1 = a + ∆x x2 = a + 2(∆x) x3 = a + 3(∆x) xn = a + n(∆x) = b Luas seluruh area di bawah kurva untuk rentangan dari a ke b, dengan perkataan lain dari x0 ke x1 adalah: f(x1) ∆ x1 + f(x2) ∆ x2 + ................ + ∆ Xn = n∑i = 1 f(xi) ∆ x1



Dalam hal ∆x sedemikian kecil-kecilnya atau mendekati nol, sementara sedemikian banyaknya atau mendekati tak terhingga, maka berlaku: lim n→ = n∑i = 1 f(xi) ∆ x1 = lim ∆x → 0 n∑i = 1 f(xi) ∆ x1 = bʃa f (x) dx Selain untuk menghitung luas suatu area antara sebuah kurva dan salah satu sumbu, integral tertentu dapat pula digunakan untuk menghitung luas suatu area yang terletak di antara dua kurva. Andaikan kita memiliki dua buah kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x), di mana f(x) ˂ g(x). Maka luas area antara kedua kurva ini untuk rentang wilayah dan ke b (a ˂ b) adalah: b



ʃa {g(x) – f (x)} dx = bʃa g(x) dx - bʃa f (x) dx



Gambar 11-2 KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU Untuk a ˂ c ˂ b, berlaku: 1.



b



ʃa g(x) dx = [ F (x)]ba = F (b) – F (a) Contoh: bʃa x4 dx = [ x5 ]5 = 1 [ x5 ]52 = 1 (3125 – 32) = 618,6 5



2.



5



5



a



ʃb f (x) dx = 0 Contoh: aʃb x4 dx = [ x5 ]25 = 1 [ x5]-3 = 1 (32 – 32) 5



5



5



3.



b



ʃa f (x) dx = - bʃa f (x) Contoh: 5ʃ2 x4 dx = 618,6 2



ʃ5 x4 dx = - [ x5 ]25 = - 1 [ x5 ]25



5



5



= - 1 (32 – 3125) = 618,6 5 4.



b



ʃa k f (x) dx = k bʃa f(x) dx Contoh: 5ʃ2 5 x4 dx = [ x5 ]52 = 3125 – 32 = 3093 5 3ʃ2 x4 dx = 5 (618,6) = 3093



5.



b



ʃa { f (x) dx + g (x) } dx = bʃa f (x) dx + bʃa g (x) dx Contoh: 5ʃ2 (x4 + 5x4) dx = 5ʃ2 x4 dx + 5ʃ2 5 x4 dx = 618,6 + 3093 = 3.711,6



6.



c



ʃa f(x) dx = cʃc f(x) dx = bʃa f(x) dx Contoh: 3ʃ2 x4 dx = 5ʃ3 x4 dx = [ x5 ]32 + [ x5 ]53 5



5



= 1 (243 – 32) + 1 (3125 – 243) = 618,6 5



5