Makalah Fungsi Kuadrat [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN



A. Latar Belakang Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang pemecahannya terkait dengan konsep dan aturan-aturan dalam matematika. Secara khusus keterkaitan konsep dan prinsip-prinsip persamaan kuadrat, sering kita temukan dalam permasalahan kehidupan nyata yang menyatu atau bersumber dari fakta lingkungan budaya kita. Konsep persamaan kuadrat dapat dibangun atau ditemukan di dalam pemecahan permasalahan yang kita hadapi.



B. Rumusan Masalah 1. Apa Pengertian dan Bentuk Umum Fungsi Kuadrat? 2. Bagaimana Cara Membuat Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat? 3. Bagaimana Cara Menyusun Fungsi Kuadrat? 4. Bagaimana Cara Pemakaian (Aplikasi) Fungsi Kuadrat dan Grafiknya?



C. Tujuan 1. Dapat menjelaskan Pengertian dan Bentuk Umum Fungsi Kuadrat 2. Dapat mengetahui Cara Membuat Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat 3. Dapat mengetahui Cara Menyusun Fungsi Kuadrat 4. Dapat mengetahui Cara Pemakaian (Aplikasi) Fungsi Kuadrat dan Grafiknya



D. Manfaat Dengan adanya makalah ini, pembaca mampu menggunakan konsep dan prinsip fungsi kuadrat untuk memecahkan soal-soal dan pembaca mampu menjelaskan kaitan fungsi kuadrat dengan persamaan kuadrat.



1



BAB II PEMBAHASAN



A. Pengertian dan Bentuk Umum Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Fungsi ini berkaitan dengan persamaan kuadrat yang memiliki bentuk umum 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Bentuk umum fungsi kuadrat dapat dinyatakan dalam rumus 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta 𝑎 ≠ 0. Fungsi kuadrat f(x) dapat juga ditulis dalam bentuk 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. B. Grafik Fungsi Kuadrat 1) Sifat – Sifat Grafik Fungsi Kuadrat a. Grafik terbuka Grafik 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dapat terbuka ke atas atau ke bawah. Sifat ini ditentukan oleh nilai a. Jika a > 0 maka grafik terbuka ke atas, jika a < 0 maka grafik terbuka ke bawah.



b.



Titik puncak Grafik kuadrat mempunyai titik puncak atau titik balik. Jika grafik terbuka ke bawah, maka titik puncak adalah titik maksimum. Jika grafik terbuka ke atas maka, titik puncak adalah titik minimum.



2



c.



Sumbu Simetri Sumbu simetri membagi grafik kuadrat menjadi 2 bagian sehingga tepat berada di titik puncak. Karena itu, letaknya pada grafik 𝑎𝑥 2 + 𝑎



𝑏𝑥 + 𝑐 berada pada 𝑥 = − 2𝑎. d.



Titik Potong Sumbu y Grafik 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 memotong sumbu y di x = 0. Jika nilai x = 0 disubtitusikan ke dalam fungsi, diperoleh y = c. Maka titik potong berada di (0,c).



e.



Titik Potong Sumbu x Grafik kuadrat akan memotong sumbu x di y = 0, sehingga membentuk persamaan 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Akar – akar dari persamaan tersebut adalah absis dari titik potong. Oleh karena itu, nilai diskriminan (D) berpengaruh pada keberadaan titik potong sumbu x sebagai berikut : 



Jika D > 0, grafik memotong sumbu x di dua titik







Jika D = 0, grafik menyinggung sumbu x







Jika D < 0, grafik tidak memotong sumbu x



3



2) Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat 1. Tentukan titik potong dengan sumbu x (nilai y atau f(x) sama dengan 0). 2. Tentukan titik potong dengan sumbu y (nilai x = 0) 𝑏



3. Menentukan sumbu simetri 𝑥 = − 2𝑎. 𝑏



4. Menentukan titik puncak (− 2𝑎 , −



𝑏 2 −4𝑎𝑐 4𝑎



) atau hitung nilai puncak y



menggunakan substitusi/mengganti nilai x yang diperoleh pada perhitungan nomer 3 ke dalam persamaan f(x). Contoh Soal dan Pembahasan Gambarlah grafik fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 8!



-



Secara sepintas kita akan mengetahui sketsa grafik menggunakan nilai a dan D: 1. Nilai a = 1 > 0 artinya grafik akan terbuka ke atas 2. Nilai 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = (−2)2 − 4(1)(−8) = 4 + 32 = 36, nilai D > 0 artinya grafik akan memotong sumbu x pada dua titik. Langkah 1 : Tentukan titik potong dengan sumbu x (nilai y atau f(x) sama dengan 0) 𝑦=0 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = 0 (𝑥 − 4)(𝑥 + 2) = 0 𝑥 = 4 atau 𝑥 = −2 Jadi diperoleh titik potong dengan sumbu x (4,0) dan (-2,0)



4



Langkah 2 : Tentukan titik potong dengan sumbu y (nilai x = 0) 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 𝑦 = 02 − 0 − 8 𝑦 = −8 Jadi, titik potong sumbu y adalah (0,-8).



Langkah 3 : 𝑏



Menentukan sumbu simetri 𝑥 = − 2𝑎 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 Diketahui a = 1, b = -2, dan c = -8, maka sumbu simetri 𝑥 = −



−2 2



= 1.



5



Langkah 4 : 𝑏



Menentukan titik puncak (− 2𝑎 , −



𝑏 2 −4𝑎𝑐 4𝑎



)



𝑥=−



𝑏 −2 =− =1 2𝑎 2



𝑦=−



𝑏 2 − 4𝑎𝑐 (−2)2 − 4(1)(−8) 36 =− =− = −9 4𝑎 4(1) 4



Atau substitusi nilai x = 1 (hasil perhitungan pada langkah 3) pada persamaan 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 sehingga diperoleh : 𝑦 = 12 − 2(1) − 8 𝑦 =1−2−8 𝑦 = −9 Jadi



koordinat



titik



puncaknya



adalah (1,-9).



Selanjutnya tinggal menghubungkan titik-titik yang diperoleh sehingga menjadi kurva mulus seperti pada gambar berikut :



6



C. Menyusun Fungsi Kuadrat Dalam pembahasan sebelumnya kita telah mempelajari cara melukis sketsa grafik fungsi kuadrat. Sebaliknya, kita juga dapat membuat atau menentukan rumus fungsi kuadrat apabila diketahui sketsa grafik fungsi kuadrat itu. Proses ini disebut penyusunan fungsi kuadrat. Sebuah fungsi kuadrat dapat disusun dengan memperhatikan ciri-ciri yang terdapat pada grafik fungsi kuadrat itu. a. Jika grafik fungsi kuadrat itu memotong sumbu x di titik A(x1,0) dan B(x2,0) dan melalui sebuah titik lain, misalnya C(x,y), fungsi kuadratnya dapat disusun dengan rumus 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) Contoh Soal : Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (0,-5) dan memotong sumbu x di titik A(-5,0) dan B(1,0)! Jawab : Diketahui



: x1 = -5 x2 = 1



Grafik melalui titik (0,-5), maka diperoleh : y = a(x-x1)(x-x2) -5 = a(0+5)(0-1) -5 = -5a a=1 Fungsi kuadrat



y = a(x-x1)(x-x2) y = a(x+5)(x-1) y = 1(x+5)(x-1) y = (x+5)(x-1) y = x2-x+5x-5 y = x2+4x-5



b. Jika grafik fungsi kuadrat itu menyinggung sumbu x di titik A(x 1 , 0) dan melalui sebuah titik lain misalkan C(x,y), fungsi kuadratnya dapat disusun dengan rumus 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1 )2



7



Contoh Soal : Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di titik (1,0) dan melalui titik (0,-4). Tentukan fungsinya! Jawab : Diketahui : x1 = 1 y = -4 x=0 Fungsi kuadrat : f(x) = a(x-x1)2 -4 = a(0-1)2 a = -4 c. Titik puncak grafik fungsi kuadrat itu P(xp , yp) dan melalui sebuah titik lain, misalnya C(xc , yc) , fungsi kuadratnya dapat disusun dengan rumus 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑝)2 + 𝑦𝑝 Contoh Soal : Tentukan fungsi kuadrat yang mempunyai nilai ekstrim 6 untuk x = -2 dan bernilai 2 untuk x = -4! Jawab : Fungsi kuadrat y = a(x – xp)2 + 6 = a(x – 2)2 + 6 Grafik melalui titik (-4,2), maka diperoleh : y = a(x + 2)2 + 6 2 = a(-4 + 2)2 + 6 2 = 4a + 6 4a = -2 + 6 4a = 4 a = -1 d. Jika grafik fungsi kuadrat itu melalui tiga titik berlainan, yaitu A(x 1,y1) , B(x2,y2) dan C(x3,y3), fungsi kuadratnya dapat disusun dengn rumus 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐



8



Contoh Soal : Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik A(1,0) , B(-1,-6) dan C (2,6)! Jawab : Bentuk umum fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c Nilai a, b, dan c dapat dicari sebagai berikut : A(1,0) = a + b + c = 0 …………… (1) B(-1,06) = a – b + c = -6 …………… (2) C(2,6) = 4a+2b+c = 6 …………… (3) Eliminasi a dan c dari persamaan (1) dan (2) : a+b+c



=0



a–b+c



= -6



2b = 6 b



=3



Nilai b = 3 disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3), diperoleh : a–3+c



= -6



4a + 6 + c = 6



a+c



= -3



4a + c = 0 -3a= -3 a= 1



Nilai dari a = 1 dan b = 3 disubstitusikan ke persamaan (1) diperoleh : 1+3+c=0 c = -4 Fungsi kuadrat yang dimaksud adalah y = x2 + 3x - 4



D. Pemakaian (Aplikasi) Fungsi Kuadrat dan Grafiknya Perhatikan sebuah persegi dengan panjang sisinya x cm. Jika kelilingnya dinamakan K, maka keliling persegi itu dapat dinyatakan dengan rumus K = 4x. Rumus ini memasangkan setiap bilangan real positif x dengan tepat satu bilangan real positif K. Jadi rumus itu menentukan sebuah fungsi f pada himpunan bilangan real positif , sehingga f(x) = 4x suatu fungsi biasanya dinyatakan



9



dengan huruf yang sama dengan huruf pada rumusnya. Jadi fungsi keliling K dinyatakan dengan K(x) = 4x. Jika luas persegi itu kita namakan L, maka luas persegi itu dapat dinyatakan dengan rumus 𝐿 = 𝑥 2 . Rumus ini menentukan suatu fungsi L pada himpunan bilangan real positif, sehingga 𝐿(𝑥) = 𝑥 2 Fungsi kuadrat dan grafiknya seringkali kita gunakan untuk menyelesaikan soal-soal matematika, seperti pada contoh-contoh dibawah ini : Contoh Soal : Diketahui persegi panjang ABCD dengan sisi-sisi 8cm. Dan segitiga CEF didalamnya dengan titik E dan F berturut-turut terletak pada sisi AB dan AD, sehingga panjang AE = x cm dan panjang DF = 2x cm. Lihat gambar : a. Nyatakan Luas Segitiga CEF, segitiga EBC, dan segitiga CDF dalam x b. Tunjukan bahwa luas segitiga CEF dapat dinyatakan sebagai 𝐿 = 32 − 8𝑥 + 𝑥 2 c. Gambarlah grafik fungsi 𝐿 = 32 − 8𝑥 + 𝑥 2 dengan daerah asalah {𝑥 | 0 ≤ 𝑥 ≤ 8, 𝑥 ∈ 𝑅}



Penyelesaian : a. Luas AEF = Luas EBC = Luas CDF =



1 2



𝑥. (8 − 2𝑥) = 4𝑥 − 𝑥 2



1 2 1 2



(8 − 𝑥). 8 = 32 − 4𝑥 . 2𝑥 .8 = 8𝑥



b. Luas CEF = luas ACBD – luas AEF – luas EBC – luas CDF = ( 8 . 8) – ( 4𝑥 − 𝑥 2 ) − (32 − 4𝑥) − 8𝑥 = 64 − 4𝑥 + 𝑥 2 − 32 + 4𝑥 − 8𝑥 = 𝑥 2 − 8𝑥 + 32



10



c. Untuk menggambar grafik fungsi L (𝑥) = 𝑥 2 − 8𝑥 + 32, kita tentukan nilainilai x yang bulat dari daerah asal, kemudian menentukan nilai funsi f yang bersesuaian.



Perhatikan daftar berikut ini : X



0



1



2



3



4



5



6



7



8



x2



0



1



4



9



16



25



36



49



64



-8x



0



-8



-16



-16



-32



-40



-48



-56



-64



32



0



32



32



32



32



32



32



32



32



f(x)



32



25



20



17



16



17



20



25



32



Gambar titik-titik (0,32), (1,25), (2,20), (3,17), (4,16), (5,17), (6,20), (7,25), dan (8,32) Grafik fungsi L dapat diperoleh dengan menggambarkan kurva mulus melalui titik-titik itu.



11



BAB III PENUTUP A. KESIMPULAN Fungsi kuadrat adalah suatu persamaan dari variable yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Fungsi ini berkaitan dengan persamaan kuadrat yang memiliki bentuk umum 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Bentuk umum fungsi kudrat dapat dinyatakan dalam rumus 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta 𝑎 ≠ 0. Fungsi kuadrat f(x) dapat juga ditulis dalam bentuk 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. B. SARAN Penulis menyadari bahwa makalah di atas banyak sekali kesalahan dan jauh dari kesempurnaan, penulis akan memperbaiki makalah tersebut dengan berpedoman pada banyak sumber yang dapat di pertanggung jawabkan. Maka dari itu, penulis mengharapkan kritik dan saran mengenai pembahasan dalam kesimpulan di atas.



12



DAFTAR RUJUKAN Kuntarti, Sri Kurnianingsih,dan Sulistiono. 2006. Matematika SMA dan MA untuk Kelas X Semester 1, Jakarta : Esis Drs. Fahrurrozi. 2006. Tips dan Trik Menyiasati Matematika IPA,Yogyakarta: Teknomedia Press. Internet : http://pendidikanberkualitasbaik.blogspot.com/2012/02/materi-fungsi-kuadrat.html https://www.studiobelajar.com/fungsi-kuadrat/ https://idschool.net/sma/matematika-sma/cara-menggambar-grafik-fungsi-kuadrat/



13