Statistika SMA [PDF]

Citation preview

8. STATISTIKA A. Ukuran Pemusatan Data 1) Rata-rata a. Data tunggal:



x + x 2 + x 3 + ... + x n X= 1 n



b. Data terkelompok: Cara konvensional



X=



∑ fi ⋅ x i ∑ fi



Cara sandi



 ∑f ⋅u X = Xs +  i i  ∑ fi



 c 



Keterangan: fi = frekuensi kelas ke-i xi = Nilai tengah data kelas ke-i



Xs = Rataan sementara , pilih xi dari data dengan fi terbesar ui c



= …, -2, -1, 0, 1, 2 … , disebut kode. 0 merupakan kode untuk Xs = panjang kelas interval SOAL



PENYELESAIAN 1. UN 2005 Untuk menyelesaikannya, terlebih dahulu dibuat Berat badan dari 40 siswa dalam kg tercatat tabel distribusi frekuensinya pada tabel di samping. Rataan berat badan tersebut adalah … data xi fi ui fi·ui Berat 35 – 39 4 -2 -8 fi (kg) 40 – 44 11 -1 -11 35 – 39 4 45 – 49 47 12 0 0 40 – 44 11 50 – 54 7 1 7 45 – 49 12 55 – 59 4 2 8 50 – 54 7 60 – 64 2 3 6 55 – 59 4 2 40 Σ 60 – 64 2 c = 49,5 – 44,5 = 5 a. 46,20  f i ⋅ ui  c b. 47 X = Xs +    f c. 47,25 i   d. 47,50  2  e. 49,50 = 47 +  5



∑ ∑



Jawab : c



 40  10 = 47 + 4 × 10



= 47 + 0,25 = 47,25 …..……………………………..…(c)



SIAP UN IPA 2014 Statistika



http://www.soalmatematik.com 2) Rataan Gabungan (penggabungan rata-rata 2 atau lebih kelompok data)



Xg =



n1 ⋅ x1 + n2 ⋅ x 2 + n3 ⋅ x 3 + ... n1 + n 2 + n3 + ...



dengan n1, n2, n3, … : banyaknya data kelompok 1, kelompok 2, kelompok 3 … dst



x1 , x 1 , x 1 ... : nilai rata-rata data kelompok 1, kelompok 2, kelompok 3 … dst SOAL 1. EBTANAS 2002 Siswa suatu kelas terdiri dari tiga kelompok penyumbang korban bencana banjir. Kelompok I, II, dan III masingmasing terdiri dari 10, 12, dan 18 siswa. Jika rata-rata sumbangan kelompok I adalah Rp 10.000,00, rata-rata sumbangan kelompok II adalah Rp 11.000,00, dan rata-rata sumbangan seluruh kelas adalah Rp 9.400,00, maka rata-rata sumbangan kelompok III adalah … a. Rp 7.500,00 b. Rp 8.000,00 c. Rp 8.500,00 d. Rp 9.000,00 e. Rp 10.000,00



PENYELESAIAN Kasus dalam soal ini berkaitan dengan rataan gabungan, karena ada dua atau lebih kelompok data



n1 ⋅ x1 + n 2 ⋅ x 2 + n3 ⋅ x 3 n1 + n2 + n3 10 × 10.000 + 12 × 11.000 + 18 × a 9.400 = 10 + 12 + 18 100.000 + 132.000 + 18a 9.400 = 40 232.000 + 18a 9.400 = 40 Xg =



232.000 + 18a = 9.400 × 40 232.000 + 18a = 376.000 18a = 376.000 – 232.000 18a = 144.000 a=



Jawab : b



2. UAN 2003 Pada ulangan matematika, diketahui nilai rata-rata kelas adalah 58. Jika rata-rata nilai matematika untuk siswa laki-laki 64 dan rata-rata untuk siswa perempuan 56, maka perbandingan banyak siswa lakilaki dan perempuan adalah … a. 1 : 6 b. 1 : 3 c. 2 : 3 d. 3 : 2 e. 3 : 4 Jawab : b



144.000 = 8.000 ……………(b) 18



Kasus dalam soal ini berkaitan dengan rataan gabungan, karena ada dua kelompok data



n1 ⋅ x1 + n2 ⋅ x 2 n1 + n2 a ⋅ 64 + b ⋅ 56 58 = a+b Xg =



58(a + b) = 64a + 56b 58a + 58b = 64a + 56b 58b – 56b = 64a – 58a {2b = 6a}×



1 6b



2b 6a = 6b 6b 1 a = 3 b Jadi, a: b = 1 : 3 …………………………….(b)



SIAP UN IPA 2014 Statistika



http://www.soalmatematik.com 3) Median Median adalah data yang berada tepat ditengah, setelah data tersebut diurutkan. a. Data tunggal: x1, x2, x3, …, xn: median merupakan data ke ½(n + 1) atau Me = X 1 ( n +1) 2



b. Data terkelompok: Me = Q2







Q2 = LQ 2 + 







1N− 2



∑ fk  c 



fQ 2



SOAL 1. UN 2010 PAKET B Perhatikan tabel berikut! Data Frekuensi 10 – 19 2 20 – 29 8 30 – 39 12 40 – 49 7 50 – 59 3 Median dari data pada tabel adalah … a. 34,5 + b. 34,5 + c. 29,5 + d. 29,5 + e. 38,5 + Jawab: c



16−10 × 10 12 16−10 × 9 12 16−10 × 9 12 16−10 × 10 12 16−10 × 10 12



fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil fQ2 = Frekuensi kelas kuartil ke 2 N = Jumlah seluruh data LQ2 = tepi bawah kelas yang memuat kelas kuartil ke 2 c = panjang kelas interval



PENYELESAIAN Untuk mencari nilai median atau kuartil ke-2 (Q2) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk) fk Nilai fi 10 – 19 2 2 20 – 29 8 10 30 – 39 12 22 ⇐ Kelas Me 40 – 49 7 29 50 – 59 3 32 i) menentukan letak kuartil Median XQ2 = 12 N = 12 × 32 = 16 Data ke-30 terletak di kelas ke-3, karena kelas ke- 3 memuat data ke-11 s.d data ke-22 Dari kelas ke-3 diperoleh data sbb: LQ2 = 30 – 0,5 = 29,5 1N = XQ2 = 16, 2



∑ fk



= 10



fQ2 c



= 12, = 39,5 – 30,5 = 9



 1 N −∑ f k  c    16 − 10  Q2 = 29,5 +  9 ………………….(c)  12 



ii) Me = LQ 2 +  2 f Q2



SIAP UN IPA 2014 Statistika



http://www.soalmatematik.com SOAL 2. UN 2007 PAKET B Perhatikan tabel berikut! Median dari data yang disajikan berikut adalah … Nilai Frekuensi 20 – 24 2 25 – 29 8 30 – 34 10 35 – 39 16 40 – 44 12 45 – 49 8 50 – 54 4 a. 32 b. 37,625 c. 38,25 d. 43,25 e. 44,50 Jawab : b



PENYELESAIAN Tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai fi fk 20 – 24 2 2 25 – 29 8 10 30 – 34 10 20 35 – 39 16 36 ⇐ Kelas Me 40 – 44 12 48 45 – 49 8 56 50 – 54 4 60 60 Σ i) menentukan letak kuartil Median XQ2 = 12 N = 12 × 60 = 30 Data ke-30 terletak di kelas ke-4, karena kelas ke- 4 memuat data ke-21 s.d data ke-36 Dari kelas ke-4 diperoleh data sbb: LQ2 = 35 – 0,5 = 34,5 1N = XQ2 = 30, 2



∑ fk



= 20



fQ2 c



= 16, = 39,5 – 34,5 = 5



 1 N −∑ f k  c    30 − 20  Q2 = 34,5 +  5  16  2× 5× 5 1 = 34,5 + = 34,5 + 3 2×8 8



ii) Me = LQ 2 +  2 f Q2



= 37,625 ………………(b) (jangan repot-repot menghitung nilai 18 berapa, cukup menghitung nilai pendekatannya saja, yaitu 34,5 + 3,… = 37,5 lebih………………..(b)



SIAP UN IPA 2014 Statistika



http://www.soalmatematik.com 4) Modus Modus adalah data yang sering muncul atau berfrekuensi terbesar.




Data terkelompok:



c 1 Mo = L mo +   d + d  1 2 Lmo = tepi bawah kelas modus d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya d



SOAL



PENYELESAIAN 1. UN 2012/A13 kelas modus ada di kelas ke-4 karena memiliki Data yang diberikan dalam tabel frekuensi frekuensi tertinggi yaitu 12 sebagai berikut: • Dari kelas ke-4 diperoleh data Kelas Frekuensi Lmo = 50 – 0,5 = 49,5 c = 59,5 – 49,5 = 10 20 – 29 3 d1 = 12 – 8 = 4 30 – 39 7 d2 = 12 – 9 = 3 40 – 49 8 50 – 59 12 d1  60 – 69 9 Mo = L mo +  c 70 – 79 6 d  1 +d2  80 – 89 5  4  = 49,5 +  10 3+ 4 Nilai modus dari data pada tabel adalah ... D. 49,5 + 40 A. 49,5 − 40 = 49,5 + 40 ……………………….(D) 7 7 B. 49,5 − 36 7



E. 49,5 +



C. 49,5 + 36 7



Jawab : D



7



48 7



2. UN 2011 PAKET 12 Modus dari data pada table berikut adalah ... Ukuran Frekuensi 1–5 3 6 – 10 17 11 – 15 18 16 – 20 22 21 – 25 25 26 – 30 21 31 – 35 4 A. 20,5 + 34 ⋅ 5



D. 20,5 – 34 ⋅ 5



3 ⋅5 B. 20,5 + 25



E. 20,5 – 73 ⋅ 5



C. 20,5 +



3 7



⋅5



Jawab: C



kelas modus ada di kelas ke-5 karena memiliki frekuensi tertinggi yaitu 25 • Dari kelas ke-5 diperoleh data Lmo = 21 – 0,5 = 20,5 c = 25,5 – 20,5 = 5 d1 = 25 – 22 = 3 d2 = 25 – 21 = 4 d1  Mo = L mo +  c d  1 +d2 



 3  = 20,5 +  5 3+ 4 = 20,5 + 73 ⋅ 5 …………………….(C)



SIAP UN IPA 2014 Statistika



http://www.soalmatematik.com SOAL 3. UN 2011 PAKET 46 Distribusi nilai ulangan matematika di kelas XIIA : Nilai Frekuensi 50 – 54 2 55 – 59 4 60 – 64 8 65 – 69 16 70 – 74 10 75 – 79 2 Modus dari data pada tabel adalah … A. 64,5 + 6 ⋅ 86 D. 64,5 – 6 ⋅ 8+86 B. 64,5 + 5 ⋅ 86 C. 64,5 + 5 ⋅ 8+86



d1  Mo = L mo +  c  d1 + d 2 



 8  = 64,5 +  5 ………………………..(c) 8+ 6



E. 64,5 – 5 ⋅ 8+86 Jawab: B



4. UN 2010 PAKET A Perhatikan tabel berikut! Berat Frekuensi Badan (kg) 40 – 45 5 46 – 51 7 52 – 57 9 58 – 63 12 64 – 69 7 Modus dari data pada tabel tersebut adalah … A. 57,5 + 27 D. 57,5 – 18 8 8 B. 57,5 + 18 8



E. 57,5 – 27 8



C. 57,5 – 15 8



Jawab: B



5. UN 2004



Modus dari data pada gambar adalah … a. 13,05 b. 13,50 c. 13,75 d. 14,05 e. 14,25 Jawab : e



PENYELESAIAN kelas modus ada di kelas ke-4 karena memiliki frekuensi tertinggi yaitu 16 • Dari kelas ke-4 diperoleh data Lmo = 65 – 0,5 = 64,5 c = 69,5 – 64,5 = 5 d1 = 16 – 8 = 8 d2 = 16 – 10 = 6



kelas modus ada di kelas ke-4 karena memiliki frekuensi tertinggi yaitu 12 • Dari kelas ke-4 diperoleh data Lmo = 58 – 0,5 = 57,5 c = 63,5 – 57,5 = 6 d1 = 12 – 9 = 3 d2 = 12 – 7 = 5 Mo = L mo + 



d1  c d  1 +d2 



 3  6 3+5



= 57,5 + 



= 57,5 + 18 ……………………….(b) 8 kelas modus ada di kelas ke-3 karena batang ke-3 memiliki frekuensi tertinggi yaitu 14 • Dari kelas ke-3 diperoleh data Lmo = 10,5 c = 15,5 – 10,5 = 5 d1 = 14 – 8 = 6 d2 = 14 – 12 = 2 Mo = Lmo +



(



d1 d1 + d 2



)c



 6  = 10,5 +  5 6+ 2 30 = 10,5 + 8 15 = 10,5 + 4 = 10,5 + 3,75 = 14,25 …………………..(e)



SIAP UN IPA 2014 Statistika



http://www.soalmatematik.com SOAL 6. UAN 2003 f



10



6 3



4



PENYELESAIAN kelas modus ada di kelas ke-3 karena batang ke-3 memiliki frekuensi tertinggi yaitu 10 • Dari kelas ke-3 diperoleh data Lmo = 23,5 c = 28,5 – 23,5 = 5 d1 = 10 – 4 = 6 d2 = 10 – 6 = 4



(



d



)



Mo = Lmo + d +1d c 1 2 13,5 18,5 23,5 28,5 33,5 Nilai



Modus dari data pada histogram di atas adalah … a. 25,0 b. 25,5 c. 26,0 d. 26,5 e. 27,0 Jawab : d



 6  5 6+ 4 30 = 23,5 + 10 = 23,5 + 



= 23,5 + 3 = 26,5………… ……………………..(d)



SIAP UN IPA 2014 Statistika



http://www.soalmatematik.com B. Ukuran Letak 1) Kuartil Kuartil adalah membagi bentangan data menjadi empat bagian sama panjang setelah data tersebut di urutkan dari yang terkecil (Xmin) sampai yang terbesar (Xmaks), seperti pada bagan di bawah ini.



Xmin, Q1, Q2, Q3, dan Xmaks disebut dengan statistika 5 serangkai: a. Data tunggal: (i) Tentukan median (Q2) dengan cara membagi bentangan data menjadi dua bagian (ii) Q1 (kuartil bawah) merupakan median data bentangan sebelah kiri (iii) Q3 (kuartil atas) merupakan median data bentangan sebelah kanan b. Data terkelompok



 i N−∑ fk  c   



Qi = L Qi +  4  f Qi



i = jenis kuartil (1, 2, atau 3) fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil fQi = Frekuensi kelas kuartil N = Jumlah seluruh data LQi = tepi bawah kelas yang memuat kelas kuartil c = panjang kelas interval



SOAL 1. UN 2013 Kuartil bawah data pada table berikut ini adalah … Berat Badan (Kg) Frekuensi 30 – 34 4 35 – 39 10 40 – 44 14 45 – 49 7 50 – 54 5 A. 31,5 B. 36,5 C. 37,5 D. 42,5 E. 45,9 Jawab : C



 1 N −∑ f k  c ii) Q1 = LQ1 +  4 f Q1    10 − 4  Q1 = 34,5 +  5  10  =34,5 + 3 = 37,5 ………………….(C)



PENYELESAIAN Untuk mencari nilai kuartil bawah (Q1) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai fi fk 30 – 34 4 4 35 – 39 10 14 ⇐ Kelas Q1 40 – 44 14 28 45 – 49 7 35 50 – 54 5 40 i) menentukan letak kuartil bawah XQ1 = 14 N = 14 × 40 = 10 Data ke-10 terletak di kelas ke-2, karena kelas ke- 2 memuat data ke-5 s.d data ke-14 Dari kelas ke-2 diperoleh data sbb: LQ1 = 35 – 0,5 = 34,5 1 N = XQ1 = 10, 4



∑ fk



=4



fQ1 c



= 10, = 39,5 – 34,5 = 5



SIAP UN IPA 2014 Statistika



http://www.soalmatematik.com SOAL 2. UN 2013 Tabel berikut memuat data tinggi badan sejumlah siswa Tinggi Badan Frekuensi 150 – 154 4 155 – 159 5 160 – 164 10 165 – 169 5 170 – 174 6 Kuartil bawah dari data pada tabel tersebut adalah … A. 157,3 B. 157,5 C. 158,0 D. 167,3 E. 168,0 Jawab : C



PENYELESAIAN Untuk mencari nilai kuartil bawah (Q1) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai fi fk 150 – 154 4 4 ⇐ Kelas Q1 155 – 159 5 9 160 – 164 10 19 165 – 169 5 24 170 – 174 6 30 i) menentukan letak kuartil bawah XQ1 = 14 N = 14 × 30 = 7,5 Data ke-7,5 terletak di kelas ke-2, karena kelas ke- 2 memuat data ke-5 s.d data ke-9 Dari kelas ke-2 diperoleh data sbb: LQ1 = 155 – 0,5 = 154,5 1 N = XQ1 = 7,5, 4



∑



fk = 4  14 N −∑ f k  fQ1 = 5, c ii) Q1 = LQ1 +  f Q1 c = 159,5 – 154,5 = 5    7,5 − 4  Q1 = 154,5 +  5  5  = 154,5 + 3,5 = 158 …………….(C) 3. UN 2013 Untuk mencari nilai kuartil bawah (Q1) dibuat tabel Tabel berikut adalah hasil pengukuran tinggi frekuensi kumulatif (fk) badan sekelompok siswa. Nilai fi fk Tinggi Badan f 150 – 154 4 4 150 – 154 4 155 – 159 10 14 ⇐ Kelas Q1 155 – 159 10 160 – 164 6 20 160 – 164 6 165 – 169 8 28 165 – 169 8 170 – 174 4 32 170 – 174 4 175 – 179 8 40 175 – 179 8 i) menentukan letak kuartil bawah Kuartil bawah dari data pada tabel tersebut XQ1 = 14 N = 14 × 40 = 10 adalah … Data ke-10 terletak di kelas ke-2, karena kelas A. 155,5 cm ke- 2 memuat data ke-5 s.d data ke-14 B. 156,5 cm C. 157,5 cm Dari kelas ke-2 diperoleh data sbb: D. 158,5 cm LQ1 = 155 – 0,5 = 154,5 E. 159,5 cm 1 N = XQ1 = 10, 4 Jawab : C  1 N −∑ f k  fk = 4 c ii) Q1 = LQ1 +  4 f Q1 fQ1 = 10,   c = 159,5 – 154,5 = 5  10 − 4  Q1 = 154,5 +  5  10  = 154,5 + 3 = 157,5 …………….(C)



∑



SIAP UN IPA 2014 Statistika



http://www.soalmatematik.com SOAL 4. UN 2013 Kuartil bawah data pada table berikut ini adalah … Nilai Frekuensi 31 – 40 3 41 – 50 5 51 – 60 10 61 – 70 11 71 – 80 8 81 – 90 3 A. 48,5 B. 51,5 C. 52,5 D. 54,5 E. 58,5 Jawab : C



PENYELESAIAN Untuk mencari nilai kuartil bawah (Q1) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai fi fk 31 – 40 3 3 41 – 50 5 8 51 – 60 10 18 ⇐ Kelas Q1 61 – 70 11 29 71 – 80 8 37 81 – 90 3 40 i) menentukan letak kuartil bawah XQ1 = 14 N = 14 × 40 = 10 Data ke-10 terletak di kelas ke-3, karena kelas ke- 3 memuat data ke-9 s.d data ke-18 Dari kelas ke-3 diperoleh data sbb: LQ1 = 51 – 0,5 = 50,5 1 N = XQ1 = 10, 4



 1 N −∑ f k  c ii) Q1 = LQ1 +  4 f Q1    10 − 8  Q1 = 50,5 +  10  10  = 50,5 + 2 = 52,5 …………..….(C) 5. UN 2013 Kuartil bawah pada data pada tabel berikut ini adalah … Upah harian Banyak (Rp) karyawan 50 – 54 3 55 – 59 5 60 – 64 10 65 – 69 16 70 – 74 14 75 – 79 8 80 – 84 4 A. 59,5 B. 60,7 C. 62,5 D. 63,0 E. 64,5 Jawab : D



 1 N −∑ f k  c ii) Q1 = LQ1 +  4 f Q1   15 − 8   Q1 = 59,5 +  5 10   = 59,5 + 3,5 = 63,0 …………..….(D)



∑ fk



=8



fQ1 c



= 10, = 60,5 – 50,5 = 10



Untuk mencari nilai kuartil bawah (Q1) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai fi fk 50 – 54 3 3 55 – 59 5 8 60 – 64 10 18 ⇐ Kelas Q1 65 – 69 16 34 70 – 74 14 48 75 – 79 8 56 80 – 84 4 60 i) menentukan letak kuartil bawah XQ1 = 14 N = 14 × 60 = 15 Data ke-15 terletak di kelas ke-3, karena kelas ke- 3 memuat data ke-9 s.d data ke-18 Dari kelas ke-3 diperoleh data sbb: LQ1 = 60 – 0,5 = 59,5 1 N = XQ1 = 15, 4



∑ fk



=8



fQ1 c



= 10, = 59,5 – 64,5 = 5



SIAP UN IPA 2014 Statistika



http://www.soalmatematik.com SOAL 6. UN 2013 Data pada tabel berikut merupakan hasil ulangan harian matematika di suatu kelas. Kuartil atas dari data tersebut adalah … Nilai Frekuensi 41 – 50 2 51 – 60 3 61 – 70 11 71 – 80 7 81 – 90 4 91 – 100 5 A. 70,5 B. 73,0 C. 80,5 D. 83,0 E. 85,5 Jawab : D



 3 N −∑ f k  c ii) Q3 = LQ3 +  4 f Q3    24 − 23  Q3 = 80,5 +  10  4  = 80,5 + 2,5 = 83,0 …………..….(D) 7. UN 2013 Nilai kuartil atas dari data pada tabel berikut adalah … Nilai F 40 – 47 2 48 – 55 3 56 – 63 5 64 – 71 9 72 – 79 7 80 – 87 3 88 – 95 1 A. 71,5 B. 72,0 C. 73,5 D. 75,5 E. 76,5



 3 N −∑ f k  c ii) Q3 = LQ3 +  4 f Q3    22,5 − 19  Q3 = 71,5 +  8 7   = 71,5 + 4 = 75,5 …………..….(D)



PENYELESAIAN Untuk mencari nilai kuartil atas (Q3) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai fi fk 41 – 50 2 2 51 – 60 3 5 61 – 70 11 16 71 – 80 7 23 81 – 90 4 27 ⇐ Kelas Q3 91 – 100 5 32 i) menentukan letak kuartil atas XQ3 = 34 N = 34 × 32 = 24 Data ke-23 terletak di kelas ke-5, karena kelas ke- 5 memuat data ke-24 s.d data ke-27 Dari kelas ke-5 diperoleh data sbb: LQ3 = 81 – 0,5 = 80,5 3 N = XQ3 = 24, 4



∑ fk



= 23



fQ3 c



= 4, = 90,5 – 80,5 = 10



Untuk mencari nilai kuartil atas (Q3) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai fi fk 40 – 47 2 2 48 – 55 3 5 56 – 63 5 10 64 – 71 9 19 72 – 79 7 26 ⇐ Kelas Q3 80 – 87 3 29 88 – 95 1 30 i) menentukan letak kuartil atas XQ3 = 34 N = 34 × 30 = 22,5 Data ke-22,5 terletak di kelas ke-5, karena kelas ke5 memuat data ke-20 s.d data ke-26 Dari kelas ke-5 diperoleh data sbb: LQ3 = 72 – 0,5 = 71,5 3 N = XQ3 = 22,5, 4



∑ fk



= 19



fQ3 c



= 7, = 79,5 – 71,5 = 8



SIAP UN IPA 2014 Statistika



http://www.soalmatematik.com SOAL 8. UN 2013 Tabel berikut menyajikan data berat badan sekelompok siswa Berat Badan (kg) Frekuensi 45 – 49 3 50 – 54 6 55 – 59 10 60 – 64 12 65 – 69 15 70 – 74 6 75 – 79 4 Kuartil atas data dalam tabel tersebut adalah … 



A. 66  



B. 67  



C. 67  



D. 68  E.



 68 



PENYELESAIAN Untuk mencari nilai kuartil atas (Q3) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai fi fk 45 – 49 3 3 50 – 54 6 9 55 – 59 10 19 60 – 64 12 31 65 – 69 15 46 ⇐ Kelas Q3 70 – 74 6 52 75 – 79 4 56 i) menentukan letak kuartil atas XQ3 = 34 N = 34 × 56 = 42 Data ke-22,5 terletak di kelas ke-5, karena kelas ke5 memuat data ke-32 s.d data ke-46 Dari kelas ke-5 diperoleh data sbb: LQ3 = 65 – 0,5 = 64,5 3 N = XQ3 = 42 4



∑ fk



= 31



fQ3 c



= 15, = 69,5 – 64,5 = 5



 3 N −∑ f k  c ii) Q3 = LQ3 +  4 f Q3    42 − 31  Q3 = 64,5 +  5  15  11 2 = 64 12 + = 64 12 + 3 3 3



= 64 + 3 +



3 6



+



4 6







= 68 ……..….(D)



SIAP UN IPA 2014 Statistika



http://www.soalmatematik.com SOAL 9. UN 2009 PAKET A/B Perhatikan table berikut! Nilai kuartil atas (Q3) dari data yang disajikan adalah … Nilai Frek 40 – 49 7 50 – 59 6 60 – 69 10 70 – 79 8 80 – 89 9 Jumlah 40



PENYELESAIAN Tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai fi fk 40 – 49 7 7 50 – 59 6 13 60 – 69 10 23 70 – 79 8 31 ⇐ Kelas Q3 80 – 89 9 40 40 Σ i) menentukan letak kuartil atas XQ3 =



a. b. c. d. e.



54,50 60,50 78,25 78,50 78,75



Jawab : c



3 3 × N = × 40 = 30 4 4



Data ke-30 terletak di kelas ke-4, karena kelas ke- 4 memuat data ke-24 s.d data ke-31 Dari kelas ke-4 diperoleh data sbb: LQ3 = 70 – 0,5 = 69,5



i n = XQ3 = 30 4 ∑ f k = 23 =8 fQ3 c = 79,5 – 69,5 = 10



 4i N − ∑ f k  c  f Qi   30 − 23   Q3 = 69,5 +  10  8  70 35 = 69,5 + = 69,5 + 8 4 3 = 69,5 + 8 4



ii) Qi = L Qi +  



= 69,5 + 8,75 = 78,25 ………………………………..(c)



SIAP UN IPA 2014 Statistika



http://www.soalmatematik.com SOAL 10. UN 2008 PAKET A/B Perhatikan tabel berikut! Nilai kuartil atas (Q3) dari data yang disajikan adalah … Nilai Frek 151 – 155 4 156 – 160 7 161 – 165 12 166 – 170 10 171 – 175 7 a. b. c. d. e.



167 167,5 168 168,5 169



Jawab : e



PENYELESAIAN Tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai fi fk 151 – 155 4 4 156 – 160 7 11 161 – 165 12 23 166 – 170 10 33 ⇐ Kelas Q3 171 – 175 7 40 40 Σ i) menentukan letak kuartil atas XQ3 =



3 3 × N = × 40 = 30 4 4



Data ke-30 terletak di kelas ke-4, karena kelas ke- 4 memuat data ke-24 s.d data ke-33 Dari kelas ke-4 diperoleh data sbb: LQ3 = 166 – 0,5 = 165,5



i n = XQ3 = 30 4 ∑ f k = 23 fQ3 = 10 c = 170,5 – 165,5 = 5



 4i N − ∑ f k  c  f Qi    30 − 23  Q3 = 165,5 +  5  10  7×5 = 165,5 + 2×5



ii) Qi = L Qi +  



= 165,5 +3,5 = 169 ……………………(e)



SIAP UN IPA 2014 Statistika



http://www.soalmatematik.com SOAL 11. UN 2007 PAKET A



PENYELESAIAN Tabel frekuensi kumulatif fi 3 5 10 9 8 5 40



Nilai ulangan harian dari suatu kelas disajikan dengan histogram seperti pada gambar. Kuartil bawah data tersebut adalah… a. 76 b. 74,5 c. 73,5 d. 72,5 e. 71,5 Jawab : c



fk 3 8 18 27 35 40



⇐ Kelas Q1



(i) menentukan letak kuartil bawah XQ1 =



1 1 × N = × 40 = 10 4 4



Data ke-10 terletak di kelas ke-3, karena kelas ke- 3 memuat data ke-9 s.d data ke-18 Dari kelas ke-3 (lihat diagram) diperoleh data sbb: LQ1 = 12 (75 + 70) = 72,5



i n = XQ1 = 10 4 ∑ f k = 8 ………………..lihat tabel di atas = 10 fQ1 c = 75 – 70 = 5 Jadi:



 4i N − ∑ f k   Qi = L Qi +   f Qi c    10 − 8  Q1 = 72,5 +  5  10  10 = 72,5 + 10 = 72,5 + 1 = 73,5………………………………..…(c)



SIAP UN IPA 2014 Statistika



http://www.soalmatematik.com SOAL 12. UAN 2003 Perhatikan tabel berikut! Nilai Frekuensi 30 – 39 1 40 – 49 3 50 – 59 11 60 – 69 21 70 – 79 43 80 – 89 32 90 – 99 9 Kuartil bawah dari data yang tersaji pada tabel distribusi di atas adalah … a. 66,9 b. 66,6 c. 66,2 d. 66,1 e. 66,0 Jawab: b



PENYELESAIAN Tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai fi fk 30 – 39 1 1 40 – 49 3 4 50 – 59 11 15 60 – 69 21 36 ⇐ Kelas Q1 70 – 79 43 79 80 – 89 32 111 90 – 99 9 120 i) menentukan letak kuartil bawah XQ1 = 1 × N = 1 × 120 = 30 4 4 Data ke-30 terletak di kelas ke-4, karena kelas ke- 4 memuat data ke-16 s.d data ke-36 Dari kelas ke-4 diperoleh data sbb: LQ1 = 60 – 0,5 = 59,5



i n = XQ1 = 30 4 ∑ f k = 15 fQ1 = 43 c = 69,5 – 59,5 = 10



 4i N − ∑ f k   ii) Qi = L Qi +   f Qi c    30 − 15  Q1 = 59,5 +  10  21  50 = 59,5 + 7 = 59,5 + 7,1 = 66,6…………….. ……………………(b)



9. PELUANG A. Kaidah Pencacahan 1.



Aturan perkalian Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan n tahap yang berurutan, dimana tahap pertama terdapat a1 cara yang berbeda dan seterusnya sampai dengan tahap ke-n dapat terjadi dalam an cara yang berbeda , maka total banyaknya cara peristiwa tersebut dapat terjadi adalah a1 × a2 × a3 × ... × an.



SOAL 1. UN 2013 Dari angka-angka 1, 2, 3, dan 4 akan dibentuk bilangan genap yang terdiri dari tiga angka berbeda. Banyak bilangan genap yang terbentuk adalah …



A. 18 B. 16 C. 12 D. 8 E. 6 Jawab : C 2. UN 2013 Banyak bilangan terdiri dari 3 angka berbeda dan lebih dari 200 yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 adalah … A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 E. 75 Jawab : C 3. UN 2013 Banyak bilangan terdiri dari 3 angka berbeda lebih dari 200 yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 5, 7, 9 adalah … A. 100 B. 92 C. 80 D. 78 E.68 Jawab : A



PENYELESAIAN



S = {1, 2, 3, 4} ⇒ n(s) = 4 Nilai tempat III II I 2 3 2 : 2×3×2 = 12…….....(C) Keterangan I. tempat satuan ada 2 pilihan bilangan genap {2, 4} II. tempat puluhan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan III. tempat ratusan ada 3 – 1 = 2 pilihan bilangan



S = {1, 2, 3, 4, 5} ⇒ n(s) = 5 I 4



Nilai tempat II III 4 3 : 4×4×3 = 48…….....(C)



Keterangan I. tempat ratusan x ≥ 2 ada 4 pilihan II. tempat puluhan ada 5 – 1 = 4 pilihan bilangan III. tempat satuan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan



S = {1, 2, 3, 5, 7, 9} ⇒ n(s) = 6 I 5



Nilai tempat II III 5 4 : 5×5×4 = 100…….....(A)



Keterangan I. tempat ratusan x ≥ 2 ada 5 pilihan II. tempat puluhan ada 6 – 1 = 5 pilihan bilangan III. tempat satuan ada 5 – 1 = 4 pilihan bilangan



SIAP UN IPA 2014 Peluang http://www.soalmatematik.com



SOAL 4. UN 2013 Dari angka 2, 3, 6, dan 8 dibuat bilangan kurang dari 500 yang terdiri dari 3 angka berbeda. Banyak bilangan yang dapat di bentuk adalah …



A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 E. 12 Jawab : E 5. UN 2013 Dari angka 3, 5, 6, 7 dan 9 akan dibentuk bilangan genap yang terdiri dari tiga angka berbeda. Banyak bilangan yang lebih dari 400 dan kurang dari 800 adalah … A. 36 B. 20 C. 19 D. 18 E. 17 Jawab : A 6. UN 2013 Dari angka-angka 2, 3, 4, 5, 6, dan 8 akan dibentuk bilangan terdiri dari tiga angka berlainan. Banyak bilangan antara 300 dan 700 yang dapat dibentuk dari angka-angka tersebut adalah … A. 144 B. 120 C. 100 D. 80 E. 24 Jawab : C 7. UN 2013 Banyak bilangan terdiri dari angka berlainan antara 100 dan 400 yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 adalah … A. 36 B. 48 C. 52 D. 60 E. 68 Jawab : A



PENYELESAIAN



S = {2, 3, 6, 8} ⇒ n(s) = 4 I 2



Nilai tempat II III 3 2 : 2×3×2 = 12…….....(E)



Keterangan I. tempat ratusan x < 5 ada 2 pilihan II. tempat puluhan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan III. tempat satuan ada 3 – 1 = 2 pilihan bilangan



S = {3, 5, 6, 7, 9} ⇒ n(s) = 5 I 3



Nilai tempat II III : 3×4×3 = 36…….....(A) 4 3



Keterangan I. tempat ratusan 4 ≤ x < 8 ada 3 pilihan II. tempat puluhan ada 5 – 1 = 4 pilihan bilangan III. tempat satuan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan



S = {2, 3, 4, 5, 6, 8} ⇒ n(s) = 6 I 5



Nilai tempat II III 5 4 : 5×5×4 = 100…….....(C)



Keterangan I. tempat ratusan 3 ≤ x < 8 ada 5 pilihan II. tempat puluhan ada 6 – 1 = 5 pilihan bilangan III. tempat satuan ada 5 – 1 = 4 pilihan bilangan



S = {1, 2, 3, 4, 5} ⇒ n(s) = 5 I 3



Nilai tempat II III 4 3 : 3×4×3 = 36 ..….....(A)



Keterangan I. tempat ratusan 1 ≤ x < 4 ada 3 pilihan II. tempat puluhan ada 5 – 1 = 4 pilihan bilangan III. tempat satuan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan



149 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Peluang http://www.soalmatematik.com



SOAL 8. UN 2013 Empat siswa dan dua siswi akan duduk berdampingan. Apabila siswi selalu duduk paling pinggir, banyak cara mereka duduk adalah … A. 24 B. 48 C. 72 D. 108 E. 120 Jawab : B 9. UN 2013 Terdapat 2 siswa laki-laki dan 5 siswa perempuan duduk berdampingan pada kursi berjajar. Jika siswa laki-laki duduk di ujung, banyak cara mereka duduk berdampingan adalah … A. 240 B. 120 C. 42 D. 21 E. 10 Jawab : A 10. UN 2012/C37 Bilangan terdiri dari 4 angka disusun dari angka-angka 1,2,3,5,6,dan 7. Banyak susunan bilangan dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh berulang) adalah … A. 20 B. 40 C. 80 D. 120 E. 360 Jawab : E



11. UN 2010 PAKET B Dalam ruang tunggu, terdapat tempat duduk sebanyak kursi yang akan diduduki oleh 4 pemuda dan 3 pemudi. Banyak cara duduk berjajar agar mereka dapat duduk selangseling pemuda dan pemudi dalam satu kelompok adalah … a. 12 b. 84 c. 144 d. 288 e. 576 Jawab : c



PENYELESAIAN •



4 siswa duduk di tengah dan 2 siswi selalu di pinggir = 4! × 2! =4×3×2×2 = 48 …………………………(B)



•



5 wanita duduk di tengah dan 2 pria selalu di ujung = 5! × 2! =5×4×3×2×2 = 240 …………………………(A)



S = {1, 2, 3, 5, 6, 7} ⇒ n(s) = 6 I 6



Nilai tempat II III IV 3 5 4



: 6×5×4×3 = 360…….(E)



Keterangan I. tempat ribuan ada 6 pilihan bilangan II. tempat ratusan ada 6 – 1 = 5 pilihan bilangan III. tempat puluhan ada 5 – 1 = 4 pilihan bilangan IV. tempat puluhan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan



Cara duduk selang-seling pemuda dan pemudi adalah: 4! × 3! = 144 cara Kursi berjajar mulai dari kursi ke-1 s.d ke-7 k1 k2 k3 k4 k5 k6 k7 L P L P L P L 4 3 3 2 2 1 1 Banyaknya cara duduk pemuda × pemudi (4×3×2×1) (3×2×1) = 144



150 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Peluang http://www.soalmatematik.com



SOAL 12. UN 2009 PAKET A/B Ada 5 orang anak akan foto bersama tigatiga di tempat penobatan juara I, II, dan III. Jika salah seorang diantaranya harus selalu ada dan selalu menempati tempat juara I, maka banyak foto berbeda yang mungkin tercetak adalah … a. 6 b. 12 c. 20 d. 24 e. 40 Jawab : b



13. EBTANAS 2002 Dari angka-angka : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak ada angka yang berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 320 adalah … a. 60 b. 80 c. 96 d. 109 e. 120 Jawab : d



PENYELESAIAN



I 1



Tempat juara II III 4 3



: 1×4×3 = 12 ……….(b)



Keterangan I. hanya ada 1 orang ……………………1 pilihan II. 5 orang – 1 ……. ……………….….. 4 pilihan III. 4 orang – 1 ……. ……………….…..3 pilihan



Bilangan yang lebih besar dari 320 kemungkinannya adalah: (i) ratusan : 3………………………ada 1 pilihan puluhan : 2 ………………….…..ada 1 pilihan satuan : x > 0, x ≠ {3, 2}..…….ada 4 pilihan 1 1 4 :1×1×4=4 (ii) ratusan : 3……………………...ada 1 pilihan puluhan : x1 > 2, x1 ≠ 3……….…ada 3 pilihan satuan : x2 ≠ {3, x1}, ………….ada 5 pilihan 1 3 5 : 1 × 3 × 5 = 15 (iii) ratusan : x1 > 3………………….ada 3 pilihan puluhan : x2 ≠ x1……….………...ada 6 pilihan satuan : x3 ≠ { x1, x2}, ………….ada 5 pilihan 3 6 5 : 3 × 6 × 5 = 90 Jadi, jumlah seluruh bilangan yang mungkin adalah: 4 + 15 + 90 = 109 ……………………………..(d)



151 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Peluang http://www.soalmatematik.com



2. Permutasi Permutasi adalah pola pengambilan yang memperhatikan urutan (AB ≠ BA), jenisnya ada 3, yaitu: n! a) Permutasi dari beberapa unsur yang berbeda; n Pr = (n − k)! n! b) Permutasi dengan beberapa unsur yang sama; n Pn1 , n2 , n3 = ,n1 + n2 + n3 + … ≤ n n1 ! n1 ! n1 ! c) Permutasi siklis (lingkaran); n Psiklis = (n − 1)! SOAL 1. UN 2013 Tujuh anak akan duduk pada tiga kursi A, B, dan C secara berdampingan. Banyak kemungkinan mereka duduk adalah … A. 35 B. 60 C. 120 D. 180 E. 210 Jawab : E



2. UN 2013 Lima anak akan duduk pada tiga kursi A, B, dan C secara berdampingan. Banyaknya kemungkinan mereka duduk adalah …



A. 60 B. 45 C. 25 D. 20 E. 10 Jawab : A 3. UN 2013 Enam anak A, B, C, D, E, dan F akan berfoto berjajar dalam satu baris. Banyaknya cara berfoto jika B, C, dan D harus selalu berdampingan adalah …



A. 144 B. 360 C. 720 D. 1.080 E. 2.160



PENYELESAIAN •



Tujuh anak akan duduk pada tiga kursi secara berdampingan : P37 = 7 × 6 × 5 = 210 ……………….(E)



•



Lima anak akan duduk pada tiga kursi secara berdampingan : P35 = 5 × 4 × 3 = 60 ……………….(A)



Jumlah kelompok ada 4, yaitu • 3 kelompok masing-masing terdiri atas 1 orang • 1 kelompok terdiri atas 3 anggota ∴ banyak cara mereka berfoto 4 kelompok × 3 anggota P44 × P33 = (4 × 3 × 2) × (3 × 2)



= 144 ……………………………(A)



Jawab : A



152 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Peluang http://www.soalmatematik.com



SOAL 4. UN 2013 Dua keluarga yang masing-masing terdiri dari 2 orang dan 3 orang ingin foto bersama. Banyak posisi foto yang berbeda dengan anggota keluarga yang sama selalu berdampingan adalah … A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 E. 96 Jawab : A 5. UN 2013 Dari 5 calon pengurus OSIS akan dipilih ketua, wakil, dan sekretaris. Banyak cara pemilihan tersebut adalah …



PENYELESAIAN Jumlah kelompok ada 2, yaitu • 1 kelompok terdiri atas 2 anggota • 1 kelompok terdiri atas 3 anggota ∴ banyak cara mereka berfoto 2 kelompok × 2 anggota × 3 anggota P22 × P22 × P33 = 2 × 2 × (3 × 2)



= 24…….. ………………(A)



Memilih 3 pengurus dari 5 calon P35 = 5 × 4 × 3 = 60 ………………………(D)



A. 10 B. 15 C. 45 D. 60 E. 68 Jawab : D 6. UN 2013 Pada musyawarah karang taruna akan dipilih pengurus organisasi yang baru, terdiri dari ketua, sekretaris, bendahara, dan koordinator olah raga. Dari hasil seleksi lolos 6 orang calon pengurus. Banyak susunan pengurus yang dapat di bentuk adalah … A. 360 B. 240 C. 120 D. 45 E. 15 Jawab : A 7. UN 2012/E52 Banyak susunan kata yang dapat di bentuk dari kata”WIYATA” adalah…. A. 360 kata B. 180 kata C. 90 kata D. 60 kata E. 30 kata Jawab : A



Memilih 4 pengurus dari 6 calon P46 = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 ………………(A)



Kasus ini diselesaikan dengan metode permutasi berulang karena dari kata ”WIYATA” ada unsur yang sama yaitu: huruf A ada 2 S = {W, I, Y, A, T, A} ⇒ n(S) = 6 6! Sehingga P = = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 ………….(A) 2!



153 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Peluang http://www.soalmatematik.com



SOAL 8. UN 2012/A13 Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari Ayah, Ibu, dan 5 orang anaknya akan makan bersama duduk mengelilingi meja bundar. Jika Ayah dan Ibu duduknya selalu berdampingan, maka banyak cara mereka duduk mengelilingi meja bundar tersebut adalah.... A. 120 B. 240 C. 720 D. 1.020 E. 5.040 Jawab : B



PENYELESAIAN Kasus ini merupakan permutasi siklis karena mereka duduk di meja bundar. P = (7 – 2)! ⋅ 2! ................... ada 2 orang yang harus duduk berdampingan = 5! × 2! = (5×4×3×2×1)(2×1) = 240 …………………………………………(B)



9. UN 2010 PAKET A Kasus ini diselesaikan dengan metode permutasi Dari 10 calon pengurus OSIS akan dipilih karena pemilihan memperhatikan jabatan ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak 10! 10 P3 = cara memilih pengurus OSIS adalah … (10 − 3)! a. 720 cara 10! b. 70 cara = c. 30 cara 7! d. 10 cara = 10 × 9 × 8 e. 9 cara = 720 …………………………….(a) Jawab : a



154 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Peluang http://www.soalmatematik.com



3. Kombinasi Kombinasi adalah pola pengambilan yang tidak memperhatikan urutan (AB = BA). n! Kominasi dari beberapa unsur yang berbeda adalah n C r = (n − r )!⋅r! SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2011 PAKET 12 Seorang siswa diwajibkan mengerjakan 8 Karena soal no. 1 s.d no. 4 harus dikerjakan maka dari 10 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib siswa tinggal memilih 4 soal lagi dari 6 soal yang dikerjakan. Banyak pilihan yang harus belum di tentukan, sehingga banyaknya cara memilih diambil siswa tersebut adalah … adalah: a. 10 6! 6 × 5 × 4! = = 3 × 5 = 15 ………….(b) 4C6 = b. 15 2!×4! 2 × 4! c. 20 d. 25 e. 30 Jawab : b 2. UN 2011 PAKET 46 Setiap 2 warna yang berbeda dicampur Peristiwa pencampuran 2 buah warna adalah dapat menghasilkan warna baru yang khas. termasuk masalah kombinasi karena walaupun urutan Banyak warna baru yang khas apabila pencampuran 2 warna tersebut di tukar, hasilnya disediakan 5 warna yang berbeda adalah adalah tetap sama. Sehingga banyaknya warna khas yang terbentuk adalah : … a. 60 5! 5 × 4 × 3! = = 5 × 2 = 10 ………….(d) 2C5 = b. 20 2!×3! 2 × 3! c. 15 d. 10 e. 8 Jawab : d Mengambil bola adalah kasus yang tidak 3. UN 2010 PAKET A Sebuah kotak berisi 4 bola putih dan 5 bola memperhatikan urutan, maka diselesaikan dengan biru. Dari dalam kotak diambil 3 bola metode kombinasi sekaligus, banyak cara pengambilan • Mengambil 3 bola dan paling sedikit 2 bola biru sedemikian hingga sedikitnya terdapat 2 kemungkinannya adalah: bola biru adalah … 5! 1. 2 B dan 1 P : 5C2 × 4C1 = × 4 = 10 × 4 a. 10 cara 2!⋅3! b. 24 cara 5! c. 50 cara 2. 3 B : 5C3 = = 10____ + 2!⋅3! d. 55 cara = 50 ……(c) e. 140 cara Jawab : c



4. UN 2010 PAKET B Diketahui 7 titik dan tidak ada 3 titik atau lebih segaris. Banyak segitiga yang dapat dibentuk dari titik-titik tersebut adalah … a. 10 b. 21 c. 30 d. 35 e. 70 Jawab : d



Menarik garis adalah kasus yang tidak memperhatikan urutan, maka diselesaikan dengan metode kombinasi. Membuat segitiga adalah menarik garis dari 3 buah titik yang tidak segaris, sehingga jumlah segitiga yang terbentuk adalah: 7 × 6 × 5 × 4! 7! = = 35 …………………(d) 7C3 = 3!⋅4! 3 × 2 × 4!



155 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Peluang http://www.soalmatematik.com



SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2005 Dari 10 orang finalis suatu lomba Karena dalam pemilihan tidak menyebutkan kecantikan akan dipilih secara acak 3 peringkat, maka kasus ini dapat diselesaikan dengan yang terbaik. Banyak cara pemilihan metode kombinasi, yaitu kombinasi 3 dari 10. tersebut ada … cara 10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7! C310 = = a. 70 3!⋅(10 − 3)! 3!⋅7! b. 80 10 ⋅ 9 ⋅ 8 c. 120 = d. 160 3⋅ 2 e. 220 = 10 · 3 · 4 = 120 ……………(c) Jawab : c 6. UAN 2003 Dalam suatu ujian terdapat 10 soal, dari nomor 1 sampai nomor 10. Jika soal nomor 3, 5, dan 8 harus dikerjakan dan peserta ujian hanya diminta mengerjakan 8 dari 10 soal yang tersedia, maka banyak cara seorang peserta memilih soal yang dikerjakan adalah … a. 14 b. 21 c. 45 d. 66 e. 2.520 Jawab : b 7. EBTANAS 2002 Pada sebuah bidang datar terdapat 15 titik yang berbeda. Melalui setiap 2 titik yang berbeda dibuat sebuah garis lurus. Jumlah garis lurus yang dapat dibuat adalah … a. 210 b. 105 c. 90 d. 75 e. 65 Jawab : b



Mengerjakan soal ujian tidak perlu memperhatikan urutan, maka diselesaikan dengan metode kombinasi. Jumlah soal yang harus dikerjakan 8 dari 10 nomor yang ada, tapi 3 soal harus dikerjakan sehingga untuk mencapai 8 soal harus memilih lagi 5 soal dari 7 soal yang tersisa. Banyaknya cara memilih adalah:



C57 =



7! 7 ⋅ 6 ⋅ 5! = (7 − 5)!⋅5! 2 ⋅ 5! = 7 · 3 = 21 …………………(b)



Pada saat membuat garis lurus, orang tidak akan memperhatikan urutannya, yang penting dua titik dihubungkan maka akan terbentuk sebuah garis lurus Maka kasus ini diselesaikan dengan metode kombinasi, yaitu kombinasi 2 dari 15.



C 15 2 =



15! 15 ⋅ 14 ⋅ 13! = 2!⋅(15 − 2)! 2 ⋅ 13!



= 15 · 7 = 105 ……………...(b)



156 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Peluang http://www.soalmatematik.com



B. Peluang Suatu Kejadian



a) Kisaran nilai peluang : 0 ≤ P(A) ≤ 1 n( A ) , n(A) banyaknya kejadian A dan n(S) banyaknya ruang sampel b) P(A) = n(S) c) Peluang komplemen suatu kejadian : P(Ac) = 1 – P(A) d) Peluang gabungan dari dua kejadian : P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) e) Peluang dua kejadian saling lepas : P(A∪B) = P(A) + P(B) f) Peluang dua kejadian saling bebas : P(A∩B) = P(A) × P(B) P( A ∩ B) g) Peluang kejadian bersyarat ( A dan B tidak saling bebas) : P(A/B) = P(B) CATATAN: Percobaan Melempar 2 Dadu Banyaknya kejadian pada pelemparan dua buah dadu dapat di sajikan dalam table berikut 2 3 4 5 6 7 Jumlah ke-2 mata dadu 12 11 10 9 8 Banyaknya kejadian



1



SOAL 1. UN 2012/A13 Dua buah dadu dilempar undi bersamasama satu kali. Peluang muncul mata dadu berjumlah 5 atau 7 adalah… 1 A. 9 1 B. 6 5 C. 18 2 D. 3 5 E. 9 Jawab : C 2. UN 2012/B25 Dua buah dadu dilempar undi bersamaan sebanyak satu kali. Peluang kedua mata dadu yang muncul tidak ada yang sama adalah ... A. 16 B. C. D. E.



1 3 1 2 2 3 5 6



Jawab : E



2



3



4 5 6 PENYELESAIAN



S = ruang sample kejadian melempar 2 dadu n(S) = 6 × 6 = 36 misal kejadian A = muncul mata dadu berjumlah 5 ⇒ n(A) = 4 B = muncul mata dadu berjumlah 7 ⇒ n(B) = 6 (lihat catatan untuk melihat jumlah n(A) atau n(B))



P(A ∪B) = P(A) + P(B) n( A) n( B) 4 6 + + = = n( s ) n( s ) 36 36 10 5 = = …………(C) 36 18



S = ruang sample kejadian melempar 2 dadu n(S) = 6 × 6 = 36 A = kejadian muncul kedua mata kembar = {(1,1), (2,2), ... (6,6)} n(A) = 6 sehingga Ac = kejadian muncul kedua mata dadu yang muncul tidak ada yang sama n(Ac) = 36 – 6 = 30 P(Ac) =



n( A c ) 30 5 = = ....................................(E) n( S ) 36 6



157 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Peluang http://www.soalmatematik.com



SOAL 3. UN 2012/E52 Dalam kotak terdapat 3 kelereng merah dan 4 kelereng putih, kemudian di ambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah…. 12 3 A. D. 35 35 4 22 B. E. 35 35 7 C. Jawab : E 35



PENYELESAIAN S = ruang sample pengambilan 3 kelereng dari 7 (3M + 4P) kelereng 7! 7 × 6 × 5 × 4! n(S) = 7C3 = = = 35 3!⋅4! 3 × 2 × 4! A = kejadian pengambilan 3 kelereng dengan paling sedikit 2 kelereng putih n(A) = {2P , 1M} + 3P = 4C2 × 3C1 + 4C3 4! 4 × 3 × 2! ×3+4= × 3 + 4 = 18 + 4 = 22 = 2!⋅2! 2 ⋅ 2! n( A) 22 Jadi , P(A) = = …………………….(E) n( S ) 35



4. UN 2011 PAKET 12 Dari dalam kantong berisi 8 kelereng n(s) = mengambil 2 kelereng dari 18 kelereng merah dan 10 kelereng putih akan diambil 18! 18 × 17 × 16! = 2C18 = = = 9 × 17 = 153 2 kelereng sekaligus secara acak. Peluang 2!×16! 2 × 16! yang terambil 2 kelereng putih adalah … n(A) = mengambil 2 kelereng dari 10 kelereng putih 20 56 a. 153 d. 153 10! 10 × 9 × 8! = = 5 × 9 = 45 = 2C10 = 28 90 2!×8! 2 × 8! b. 153 e. 153 Jadi: 45 c. 153 Jawab : c n( A) 45 ………………………….(c) P(A) = = 153 n( S ) 5. UN 2011 PAKET 46 Dalam kantong terdapat 4 kelereng merah n(s) = mengambil 2 kelereng dari 9 kelereng dan 5 kelereng biru. Jika dari kantong 9! 9 × 8 × 7! = 2C9 = = =9×4 diambil dua kelereng sekaligus, maka 2!×7! 2 × 7! peluang mendapatkan kelereng satu warna n(A) = mengambil 1 merah dan 1 biru merah dan satu warna biru adalah … = 1C4× 1C5 = 4 × 5 9 a. 81 d. 95 Jadi: n( A) b. 20 e. 45 P(A) = = 94××45 = 95 ……………………….(d) 81 n( S ) c. 94 Jawab : d 6. UN 2010 PAKET A Kotak A berisi 2 bola merah dan 3 bola putih. Kotak B berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Dari masing-masing kotak diambil satu bola. Peluang bola yang terambil bola merah dari kotak A dan bola putih dari kotak B adalah … 1 A. 40 D. 25 3 B. 20



31 E. 40



C. 83



Jawab : B



n(SA) = isi kotak A : 2M + 3P = 5 n(M) = kejadian terambil 1 M dari 2M = 2 n(SB) = isi kotak B : 5M + 3P = 8 n(P) = kejadian terambil 1 P dari 3P = 3 Peluang terambil satu bola merah dari kotak A dan bola putih dari kotak B. Soal ini menggunakan kata hubung dan sehingga peluangnya adalah: P(M ∩ P) = P(M) × P(P) 2 3 = × 5 8 3 ……………….……….(B) = 20



158 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Peluang http://www.soalmatematik.com



SOAL 7. UN 2010 PAKET B Sebuah kotak berisi 4 bola merah, 3 bola putih, dan 3 bola hitam. Diambil sebuah bola secara acak, peluang terambil bola merah atau hitam adalah … a. 45 7 b. 10



c. 63 d. e.



PENYELESAIAN n(s) = Isi kotak : 4M + 3P + 3H = 10 n(A) = kejadian terambil 1 M dari 4 M = 4 n(B) = kejadian terambil 1 H dari 3 H = 3 Soal ini menggunakan kata hubung atau sehingga Peluang terambil bola merah atau hitam adalah: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)



4 3 + 10 10 7 = …………………………………(b) 10



=



2 6 1 10



Jawab : b



8. UN 2009 PAKET A/B Pak Amir akan memancing pada sebuah kolam yang berisi 21 ikan mujair, 12 ikan mas, dan 27 ikan tawes. Peluang Pak Amir mendapatkan ikan mas untuk satu kali memancing adalah … 1 a. 15 b. 15



n(s) = isi kolam : 21 Mujair + 12 Mas + 27 Tawes = 60 n(A) = kejadian terambil 1 mas dari 12 mas = 12 Peluang mendapatkan ikan mas untuk satu kali memancing:



n( A) n( S ) 12 = 60 1 = ……………………………………..(b) 5



P(A) =



7 c. 20 9 d. 20



e. 45 Jawab: b



9. UN 2008 PAKET A/B • n(S) = 15 (4m + 8k + 3b) Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola • A = kejadian terambilnya 1 bola kuning merah, 8 bola kuning, dan 3 bola biru. n(A) = 8 Jika dari kotak diambil satu bola secara • B = kejadian terambilnya 1 bola biru acak, peluang terambil bola kuning atau n(B) = 3 biru adalah … a. 1 pada soal, peluangnya menggunakan kata atau 4 b. 15 sehingga peluangnya adalah P(A∪B) • P(A∪B) = P(A) + P(B) 7 c. 15 n( A) n( B) = + 8 d. 15 n( S ) n ( S ) e.



11 15



Jawab : e



=



8 3 11 = …………………(e) + 15 15 15



159 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Peluang http://www.soalmatematik.com



SOAL 10. UN 2007 PAKET A Pada sebuah lemari pakaian tersimpan 5 baju putih dan 3 baju biru. Jika diambil dua baju secara acak satu persatu berturutturut tanpa pengembalian, maka peluang terambil pertama baju putih dan kedua baju biru adalah … a. b. c. d. e.



15 64 15 56 5 14 8 15 3 4



PENYELESAIAN Kasus pada soal ini adalah kejadian tidak saling bebas, karena setelah melakukan pengambilan obyeknya tidak dikembalikan lagi. • n(S1) = jumlah obyek mula-mula = 8 (5p + 3b) n(A) = jumlah baju putih mula-mula = 5 • n(S2) = sisa obyek setelah pengambilan pertama = 7 (4p + 3b) …………..sisa baju putih 4 …………..baju biru tetap 3 n(B/A) = sisa baju biru setelah pengambilan pertama = 3 • P(A∩B) = P(A) × P(B/A) =



n( A) n( B / A) 5 3 × = × 8 7 n( S1 ) n( S 2 ) =



Jawab : b



15 ………..(b) 56



11. UN 2007 PAKET B • S = 2 dadu, dadu memiliki 6 buah sisi (1,2,3,4,5,6) Dua buah dadu dilempar undi satu kali. n(S) = 62 = 36 Peluang munculnya mata dadu jumlah 5 • A = muncul mata dadu berjumlah 5 atau 9 adalah … = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} a. 1 n(A) =4 18 b. c. d. e.



5 36 2 9 1 4 1 3



Jawab : c



12. UN 2006 Seorang peneliti memprediksikan dampak kenaikan harga BBM terhadap kenaikan harga sembako dan kenaikan gaji pegawai negeri. Peluang harga sembako naik adalah 0,92 sedangkan peluang gaji pegawai negeri tidak naik hanya 0,15. Bila prediksi ini benar, maka besar peluang gaji pegawai negeri dan harga sembako naik adalah … a. 0,78 d. 0,65 e. 0,12 b. 0,75 c. 0,68 Jawab : a



• B



= muncul mata dadu berjumlah 9 = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} n(B) = 4



pada soal, peluangnya menggunakan kata atau sehingga peluangnya adalah P(A∪B) • P(A∪B) = P(A) + P(B) n( A) n( B ) = + n( S ) n( S ) 4 4 1 1 2 + = = + = ………..(c) 36 36 9 9 9



P(A) = 0,92 P(Bc) = 0,15 ⇒ P(B) = 1 – 0,15 = 0,85 Soal menggunakan kata dan sehingga peluangnya adalah P(A∩B) • P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0,92 × 0,85 = 0,78 ………………………………(a)



160 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Peluang http://www.soalmatematik.com



SOAL 13. UN 2004 Dari setumpuk kartu bridge yang terdiri dari 52 kartu, diambil sebuah kartu secara acak. Peluang munculnya kartu raja (king) atau kartu wajik adalah … A. 4



PENYELESAIAN n(S) = 52, dengan komposisi sbb n(A) = raja = 4 (wajik, love, keriting, daun) n(B) = wajik = 13 n(A∩B) = raja wajik = 1



D. 17



pada soal, peluangnya menggunakan kata atau sehingga peluangnya adalah P(A∪B) • P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) E. n( A) n( B) n( A ∩ B) = + − Jawab : C n( S ) n( S ) n( S ) 16 4 13 1 = = ……………(c) + − 52 52 52 52 14. UAN 2003 • A = penduduk yang memiliki telepon Berdasarkan survey yang dilakukan pada = 100% - 20% = 80% wilayah yang berpenduduk 100 orang • Bc = penduduk yang tidak memiliki computer diperoleh data sebagai berikut: = 50% 20% penduduk tidak memiliki telepon 50% penduduk tidak memiliki komputer soal menggunakan kata tetapi/dan, 10% penduduk memiliki komputer, tetapi sehingga peluangnya adalah P(A∩Bc) tidak memiliki telepon. • P(A∩Bc) = P(A) × P(Bc) 80 50 Jika dari wilayah itu diambil satu orang × = secara acak, peluang ia memiliki telepon, 100 100 tetapi tidak punya komputer adalah … 4 × 10 × 100 = A. 0,2 D. 0,6 10 × 10 × 100 B. 0,4 E. 0,8 = 0,4 ……………………………….(b) C. 0,5 Jawab : b 15. EBTANAS 2002 • S = 2 dadu, dadu memiliki 6 buah sisi (1,2,3,4,5,6) Dua dadu dilempar bersama. Peluang n(S) = 62 = 36 muncul mata dadu berjumlah 7 adalah … • A = muncul mata dadu berjumlah 7 A. 1 D. 1 12 3 = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} 1 1 n(A) =6 B. E. 9 2 6 1 n( A) • P(A) = = = ……………..………(c) 1 C. Jawab : c n( S ) 36 6 6 16. EBTANAS 2002 • S = 3 orang anak, jenis kelamin ada 2 (pria P, dan Sebuah keluarga merencanakan wanita W) mempunyai tiga orang anak. Peluang n(S) = 23 = 8 keluarga tersebut mempunyai paling sedikit dua anak laki-laki adalah … • A = lahir paling sedikit 2 pria (P) 1 1 = {PPW, WPP, PWP, PPP} A. D. 8 2 n(A) = 4 B. 1 E. 3 3 4 n( A) 4 • P(A) = = 3 C. Jawab : d n( S ) 8 8 52 13 B. 52 16 C. 52



52 18 52



=



1 ………………….……(d) 2



161 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



10. LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran 1) Lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari–jarinya (r) (x – a)2 + (y – b)2 = r2 2) Bentuk umum persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Pusat (– ½ A, –½B) dan jari–jari: r =



( 1 A) 2 + ( 1 B) 2 − C 2



2



3) Jarak titik P(x1,y1) terhadap garis ax + by + c = 0 adalah:



r=



ax1 + by1 + c a 2 + b2 SOAL



1. UN 2013 Persamaan lingkaran berdiameter 10 dan berpusat di titik (–5, 5) adalah … A. x2 + y2 + 10x – 10y + 25 = 0 B. x2 + y2 – 10x + 10y + 25 = 0 C. x2 + y2 – 5x + 5y + 25 = 0 D. x2 + y2 + 5x – 10y + 25 = 0 E. x2 + y2 – 10x + 10y – 25 = 0 Jawab : A 2. UN 2013 Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik (4, –3) dan berdiamater 8 cm adalah … A. x2 + y2 – 8x + 6y = 0 B. x2 + y2 + 8x – 6y + 16 = 0 C. x2 + y2 – 8x + 6y + 16 = 0 D. x2 + y2 + 8x – 6y + 9 = 0 E. x2 + y2 – 8x + 6y + 9 = 0 Jawab : E



PENYELESAIAN Diameter D = 10 → jari–jari r = ½ (10) = 5 Pusat (a, b) = (–5, 5) • Persamaan lingkarannya adalah : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⇔ (x + 5)2 + (y – 5)2 = 52 ⇔ x2 + 10x + 25 + y2 – 10y + 25 – 25 = 0 ⇔ x2 + y2 + 10x – 10y + 25 = 0…………..(A)



Diameter D = 8 → jari–jari r = ½ (8) = 4 Pusat (a, b) = (4, –3) • Persamaan lingkarannya adalah : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⇔ (x – 4)2 + (y + 3)2 = 42 ⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 6y + 9 – 16 = 0 ⇔ x2 + y2 – 8x + 6y + 9 = 0…………..(E)



SIAP UN IPA 2014 Lingkaran http://www.soalmatematik.com



SOAL 3. UN 2013 Sebuah lingkaran memiliki titik pusat (2, 3) dan berdiameter 8 cm. Persamaan lingkaran tersebut adalah … A. x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0 B. x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 C. x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 D. x2 + y2 + 4x + 6y + 3 = 0 E. x2 + y2 + 4x – 6y + 3 = 0 Jawab : A 4. UN 2013 Persamaan lingkaran dengan pusat (5, 2) dan berdiameter 2√13 adalah … A. x2 + y2 + 10x + 4y + 34 = 0 B. x2 + y2 + 4x + 10y + 16 = 0 C. x2 + y2 – 10x – 10y + 16 = 0 D. x2 + y2 – 10x – 4y + 16 = 0 E. x2 + y2 – 10x – 4y + 34 = 0 Jawab : D 5. UN 2013 Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4, –3) dan berdiameter 4√17 adalah … A. x2 + y2 – 8x + 6y – 57 = 0 B. x2 + y2 – 8x + 6y – 43 = 0 C. x2 + y2 – 8x – 6y – 43 = 0 D. x2 + y2 + 8x – 6y – 15 = 0 E. x2 + y2 + 8x – 6y – 11 = 0 Jawab : B



6. UN 2013 Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, –1) dan berdiameter 4√10 adalah … A. x2 + y2 – 4x – 2y – 35 = 0 B. x2 + y2 – 4x + 2y – 35 = 0 C. x2 + y2 – 4x + 2y – 33 = 0 D. x2 + y2 + 4x – 2y – 35 = 0 E. x2 + y2 + 4x – 2y – 33 = 0 Jawab : B



PENYELESAIAN Diameter D = 8 → jari–jari r = ½ (8) = 4 Pusat (a, b) = (2, 3) • Persamaan lingkarannya adalah : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⇔ (x – 2)2 + (y – 3)2 = 42 ⇔ x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 – 16 = 0 ⇔ x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0…………..(A)



Diameter D = 2√13 → jari–jari r = ½ (2√13) = √13 Pusat (a, b) = (5, 2) • Persamaan lingkarannya adalah : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⇔ (x – 5)2 + (y – 2)2 = (√13)2 ⇔ x2 – 10x + 25 + y2 – 4y + 4 – 13 = 0 ⇔ x2 + y2 – 10x – 4y + 16 = 0…………..(D)



Diameter D = 4√17 → jari–jari r = ½ (4√17) = 2√17 Pusat (a, b) = (4, –3) • Persamaan lingkarannya adalah : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⇔ (x – 4)2 + (y + 3)2 = (2√17)2 ⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 6y + 9 – 4(17) = 0 ⇔ x2 + y2 – 8x + 6y – 43 = 0…………..(B)



Diameter D = 4√10 → jari–jari r = ½ (4√10) = 2√10 Pusat (a, b) = (2, –1) • Persamaan lingkarannya adalah : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⇔ (x – 2)2 + (y + 1)2 = (2√10)2 ⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 – 4(10) = 0 ⇔ x2 + y2 – 4x + 2y – 35 = 0…………..(B)



163 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Lingkaran http://www.soalmatematik.com



SOAL 7. UN 2013 Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4, 0) dan berdiameter 6√2 adalah … A. x2 + y2 – 8x – 2 = 0 B. x2 + y2 + 8x – 2 = 0 C. x2 + y2 – 8x – 34 = 0 D. x2 + y2 – 8x – 34 = 0 E. x2 + y2 + 8x – 34 = 0 Jawab : A 8. UN 2013 Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (–1, 3) dan berdiameter √40 adalah … A. x2 + y2 – 6x – 2y = 0 B. x2 + y2 + 2x + 6y = 0 C. x2 + y2 – 2x – 2y = 0 D. x2 + y2 + 2x – 6y = 0 E. x2 + y2 – 2x – 6y = 0 Jawab : D 9. UN 2006 Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, – 10) dan menyinggung garis



PENYELESAIAN Diameter D = 6√2 → jari–jari r = ½ (6√2) = 3√2 Pusat (a, b) = (4, 0) • Persamaan lingkarannya adalah : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⇔ (x – 4)2 + (y – 0)2 = (3√2)2 ⇔ x2 – 8x + 16 + y2 – 9(2) = 0 ⇔ x2 + y2 – 8x – 2 = 0…………..(A) Diameter D = √40 = 2√10 jari–jari r = ½ (2√10) = √10 Pusat (a, b) = (–1, 3) • Persamaan lingkarannya adalah : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⇔ (x + 1)2 + (y – 3)2 = (√10)2 ⇔ x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 – 10 = 0 ⇔ x2 + y2 + 2x – 6y = 0………………...(D) •



3x – y 3 – 3 = 0 adalah … a. x2 + y2 – 2x + 20y + 76 = 0 b. x2 + y2 – x + 10y + 76 = 0 c. x2 + y2 – 2x + 20y + 126 = 0 d. x2 + y2 – x + 10y + 126 = 0 e. x2 + y2 – 2x – 20y + 76 = 0 Jawab : a



r=



=



ax1 + by1 + c a2 + b2



3 ⋅ 1 + 3 ⋅ (−10) − 3 3 + 2



•



•



10. EBTANAS 2002 Titik (a, b) adalah pusat lingkaran x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. Jadi 2a + b = … a. 0 b. 2 c. 3 d. –1 e. –2



Jarak garis singgung g: 3x – y 3 – 3 = 0 ke pusat lingkaran (1, – 10) sama dengan panjang jari–jarinya: lihat rumus A.3)



( 3)



2



=



10 3



=5



2 3



Pusat lingkaran = (1, – 10) = (–½A, –½B,) Maka A = –2, B = 20 dan C = a 2 + b2 – r 2 C = 12 + (– 10)2 – 52 = 76 Persaman lingkaran: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 x2 + y2 – 2x + 20y + 76 = 0 ……………(a)



pusat lingkaran : rumus A.2) (– ½ A, –½B) = (a, b) = (– ½ ( –2), –½ ⋅ 4) = (1, –2) Jadi: 2a + b = 2(1) + (–2) = 0 ……………….(a)



Jawab : a



164 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Lingkaran http://www.soalmatematik.com



B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran 1) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran a) Garis singgung lingkaran: x2 + y2 = r2 x x1 + y y1 = r2 b) Garis singgung lingkaran : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2 c) Garis singgung lingkaran : x2 + y2 + Ax + By + C = 0 xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0 2) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) di luar lingkaran, langkah–langkahnya: 1. Tentukan persamaan garis kutub = garis singgung lingkaran pada a) 2. Substitusikan persamaan garis kutub yang telah diperoleh ke persamaan lingkaran, maka akan diperoleh dua buah titik singgung pada lingkaran. 3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui kedua titik yang telah diperoleh. 3) Garis singgung lingkaran dengan gradien m diketahui 2 2 2  Garis singgung lingkaran (x – a) + (y – b) = r dengan gradien m y – b = m(x – a) ± r m 2 + 1 SOAL 1. UN 2012/E25 Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ... A. x = 2 dan x = –4 B. x = 2 dan x = –2 C. x = –2 dan x = 4 D. x = –2 dan x = –4 E. x = 8 dan x = –10 Jawab : A 2. UN 2011 PAKET 12 Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik (7, 1) adalah … a. 3x – 4y – 41 = 0 b. 4x + 3y – 55 = 0 c. 4x – 5y – 53 = 0 d. 4x + 3y – 31 = 0 e. 4x – 3y – 40 = 0 Jawab : d



PENYELESAIAN Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 memiliki: Pusat (–1, 3) dan jari–jari r =



9=3



Dipotong garis y = 3, dan melalui pusat lingkaran maka garis singgungnya adalah: x = a – r = –1 – 3 = –4 dan x = a + r = –1 + 3 = 2 jadi garis singgungnya adalah x = 2 dan x = –4………………………..(A) •



periksa posisi titik (7, 1) terhadap lingkaran l : x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 72 + (1)2 – 6(7) + 4(1) – 12 = 0, karena hasilnya sama dengan nol maka titik (7, 1) ada pada lingkaran, sehingga langkah penyelesaiannya menggunakan rumus B.1.c)



•



Menentukan persamaan garis singgung Pada lingkaran l: x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik P(7, 1) xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0 7x + y + ½(–6)(x + 7) + ½(4)(y + 1) – 12 = 0 7x + y – 3x – 21 + 2y + 2 – 12 = 0 4x + 3y – 31= 0 ………………………..(d)



165 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Lingkaran http://www.soalmatematik.com



SOAL 3. UN 2011 PAKET 46 • Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y +11 = 0 di titik (2, –1) adalah … a. x – y – 12 = 0 b. x – y – 4 = 0 c. x – y – 3 = 0 d. x + y – 3 = 0 e. x + y + 3 = 0 Jawab : c •



PENYELESAIAN periksa posisi titik (2, –1) terhadap lingkaran l : x2 + y2 – 6x + 4y + 11 = 0 22 + (–1)2 – 6(2) + 4(–1) + 11 = 0, karena hasilnya sama dengan nol maka titik (2, –1) ada pada lingkaran, sehingga langkah penyelesaiannya menggunakan rumus B.1.c) Menentukan persamaan garis singgung Pada lingkaran l: x2 + y2 – 6x + 4y + 11 = 0 di titik P(2, –1) xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0 2x – y + ½(–6)(x + 2) + ½(4)(y – 1) + 11 = 0 2x – y – 3x – 6 + 2y – 2 + 11 = 0 –x + y + 3 = 0 x – y – 3 = 0 ….………………………..(c)



4. UN 2010 PAKET A Persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 5)2 = 80 yang sejajar dengan garis y – 2x + 5 = 0 adalah … a. y = 2x – 11 ± 20 b. y = 2x – 8 ± 20 c. y = 2x – 6 ± 15 d. y = 2x – 8 ± 15 e. y = 2x – 6 ± 25 Jawab : a



•



Gradien m Garis h : y – 2x + 5 = 0 ⇔ y = 2x – 5, maka mh = 2 garis singgung g // h, maka mg = mh = 2



•



pusat P(a, b) = P(3, – 5)



•



jari–jari r = 80 maka persamaan garis singgungnya adalah: lihat rumus B.3) y – b = m(x – a) ± r m 2 + 1 y + 5 = 2(x – 3) ± y = 2x – 6 – 5 ±



80 ⋅ 2 2 + 1 400



y = 2x – 11 ± 20……………….(a)



166 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Lingkaran http://www.soalmatematik.com



SOAL 5. UN 2010 PAKET B Salah satu persamaan garis singgung lingkaran (x – 4)2 + (y – 5)2 = 8 yang sejajar dengan garis y – 7x + 5 = 0 adalah … a. y – 7x – 13 = 0 b. y + 7x + 3 = 0 c. –y – 7x + 3 = 0 d. –y + 7x + 3 = 0 e. y – 7x + 3 = 0 Jawab : e



PENYELESAIAN •



Gradien m Garis h : y – 7x + 5 = 0 ⇔ y = 7x – 5, maka mh = 7 garis singgung g // h, maka mg = mh = 7



•



pusat P(a, b) = P(4, 5)



•



jari–jari r = 8 maka persamaan garis singgungnya adalah: lihat rumus B.3) y – b = m(x – a) ± r m 2 + 1 y – 5 = 7(x – 4) ±



8 ⋅ 72 + 1



y = 7x – 28 + 5 ±



6. UN 2009 PAKET A/B Lingkaran (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16 memotong garis y = 4. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong lingkaran dan garis tersebut adalah … a. y = 8 – x b. y = 0 dan y = 8 c. x = 0 dan x = 8 d. y = x + 8 dan y = x – 8 e. y = x – 8 dan y = 8 – x Jawab : c 7. UN 2008 PAKET A/B Persamaan garis singgung melalui titik (2, 3) pada lingkaran x2 + y2 = 13 adalah … a. 2x – 3y = 13 b. 2x + 3y = –13 c. 2x + 3y = 13 d. 3x – 2y = –13 e. 3x + 2y = 13



400



y = 7x – 23 ± 20 y – 7x + 23 ± 20 = 0 …………….(e) Lingkaran l: (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16 memiliki: Pusat (4, 4) dan jari–jari r = 16 = 4 Dipotong garis y = 4, dan melalui pusat lingkaran maka garis singgungnya adalah: x = a – r = 4 – 4 = 0 dan x=a+r=4+4=8 jadi garis singgungnya adalah x = 0 dan x = 8………………………..(c)



Persamaan garis singgung lingkaran •



periksa posisi titik (2, 3) terhadap lingkaran l : x2 + y2 = 13 x2 + y2 = 22 + 32 = 13, maka titik ada pada lingkaran, sehingga langkah penyelesaiannya menggunakan



Jawab : c



rumus B.1.a) •



Menentukan persamaan garis singgung Pada lingkaran l: x2 + y2 = 13 di titik (2, 3) xx1 + yy1 = r2 2x + 3y = 13……….……………. (c)



167 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Lingkaran http://www.soalmatematik.com



SOAL 8. UN 2007 PAKET A Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik P(7, –5) adalah… a. 4x – 3y = 43 b. 4x + 3y = 23 c. 3x – 4y = 41 d. 10x + 3y = 55 e. 4x – 5y = 53



PENYELESAIAN •



periksa posisi titik (7, –5) terhadap lingkaran l : x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 72 + (–5)2 – 6(7) + 4(–5) – 12 = 0, maka titik pada lingkaran, sehingga langkah penyelesaiannya menggunakan rumus B.1.c)



•



Menentukan persamaan garis singgung Pada lingkaran l: x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik P(7, –5) xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0 7x – 5y + ½(–6)(x + 7) + ½(4)(y –5 ) – 12 = 0 7x – 5y – 3x – 21 + 2y – 10 – 12 = 0 4x – 3y – 43 = 0 4x – 3y = 43 ……………………..(a)



Jawab : a



9. UN 2007 PAKET B Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 2x + 2y –2 = 0 yang bergradien 10 adalah… a. y = 10x – 10 ± 2 101 b. y = 10x – 11 ± 2 101



•



gradien m = 10



•



pusat P = (– ½A, – ½B) = (– ½(–2), – ½(2)) = (1, –1)



•



jari–jari r =



a 2 + b2 − C



= 12 + ( −1) 2 − ( −2) = 2



c. y = –10x + 11 ± 2 101



maka persamaan garis singgungnya adalah: lihat rumus B.3)



d. y = –10x ± 2 101 e. y = 10x ± 2 101



y – b = m(x – a) ± r m 2 + 1



Jawab : b



y – (–1) = 10(x – 1) ± 2 10 2 + 1 y + 1 = 10x – 10 ± 2 101 y = 10x – 11 ± 2 101 ……………….(b)



10. UN 2005 Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0 di titik P(5, 3) adalah… a. 3x – 4y + 27 = 0 b. 3x + 4y – 27 = 0 c. 3x + 4y –7 = 0 d. 3x + 4y – 17 = 0 e. 3x + 4y –7 = 0 Jawab : b



•



periksa posisi titik (5, 3) terhadap lingkaran l : x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0 52 + 32 – 4(5) + 2(3) – 20 = 0, maka titik pada lingkaran, sehingga langkah penyelesaiannya menggunakan rumus B.1.c)



•



Menentukan persamaan garis singgung Pada lingkaran l: x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0 di titik P(5,3) xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0 5x + 3y + ½(– 4)(x + 5) + ½(2)(y + 3) – 20 = 0 5x + 3y – 2x –10 + y + 3 – 20 = 0 3x + 4y – 2x – 27 = 0 ……………………..(b)



168 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Lingkaran http://www.soalmatematik.com



SOAL 11. UN 2004 Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x – 8y + 15 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y = 6 adalah … a. 2x – y + 3 = 0 b. 2x – y + 5 = 0 c. 2x – y + 7 = 0 d. 2x – y + 13 = 0 e. 2x – y + 25 = 0 Jawab : b



PENYELESAIAN •



• •



Gradien m Garis h : x + 2y = 6 ⇔ y = – ½ x + 3, maka mh = – ½ garis singgung g ⊥ h, maka mg ⋅ mh = – 1 {mg ⋅ (– ½) = – 1}× (–2) mg = 2 pusat P = (– ½A, – ½B) = (– ½(–4), – ½(–8)) = (2, 4) jari–jari r =



a2 + b2 − C



= 2 2 + 4 2 − 15 = 5 maka persamaan garis singgungnya adalah: lihat rumus B.3) y – b = m(x – a) ± r m 2 + 1 y – 4 = 2(x – 2) ±



12. UAN 2003 Salah satu garis singgung yang bersudut 120º terhadap sumbu X positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik (7, 6) dan (1, –2) adalah …



•



•



a. y = – x 3 + 4 3 +12



= tan (–60)º = − 3 Ujung diameter titik (7, 6) dan (1, –2), maka (i) Diameter lingkaran D



(7 − 1) 2 + (6 − (−2)) 2



= 100 = 10 jari–jari r = ½D = ½(10) = 5 (ii) Pusat lingkaran P(a, b) Pusat = 12 (7 + 1, 6 + (–2))



c. y = – x 3 + 4 3 – 4 d. y = – x 3 – 4 3 – 8 e. y = – x 3 + 4 3 + 22 Jawab : a



y – 4 = 2x – 4 ± 5 2x – y ± 5 = 0 ……………………….(b) Gradien garis singgung m m = tan 120º = tan (180 – 60) º



D=



b. y = – x 3 – 4 3 +8



5 ⋅ 22 + 1



•



= 12 (8, 4) = (4, 2) Persamaan garis singgung lingkaran Dari perhitungan di atas diperoleh: Pusat P(4, 2) , gradien m = − 3 dan jari–jari r = 5, maka persamaan garis singgungnya adalah: lihat rumus B.3) y – b = m(x – a) ± r m 2 + 1 y – 2 = − 3 (x – 4) ± 5 ( 3 ) 2 + 1 y–2= −x 3 + 4 3 ±5⋅2 y = − x 3 + 4 3 + 2 ± 10, jadi: (i) y = − x 3 + 4 3 – 8 atau (ii) y = − x 3 + 4 3 + 12 …………….(a)



169 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



11. SUKU BANYAK A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x – b)· H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax – b)· H(x) + S, maka S = F( b ) a



3) F(x) : [(x – a)(x – b)], maka S(x) = (x – a)S2 + S1, dengan S2 adalah sisa pembagian pada tahap ke–2 Dengan H(x): Hasil pembagian dan S: sisa pembagian



B. Teorema Faktor (x – b) adalah faktor dari f(x) bila S = f(b) = 0



C. Akar Rasional Persamaan Suku Banyak Bentuk umum : axn + bxn –1 + cxn –2 + … + d = 0. Akar–akarnya adalah x1, x2, …, xn. 1) x1 + x2 + …+ xn = − b a



2) x1 · x2 · …· xn =



d a



(bila berderajat genap)



3) x1 · x2 · …· xn = − da (bila berderajat ganjil) 4) x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 + … = c a



SOAL 1. UN 2013 Suku banyak  = 2  +   + 10 + 3 habis dibagi  + 1. Salah satu faktor linear lainnya adalah …



A.  − 3 B.  + 1 C. 2 + 1 D. 2 + 3 E. 3 + 2 Jawab : C



PENYELESAIAN f(x) habis dibagi  + 1 sehingga f(–1) = 0 –1



2



p



10



3



–2



–p+2



p – 12



+ 2



p – 2 – p + 12 p – 9 = 0 p=9 Hasil h(x)



h(x) = 2x2 + (9 – 2)x + (–9 + 12) = 2x2 + 7x + 3 ………………ingat cara memfaktorkan 1 = (2x + 6)(2x + 1) = (x + 3)(2x + 1) 2 Jadi, faktor yang lain (x + 3) dan (2x + 1) ……. (C)



SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak http://www.soalmatematik.com



SOAL 2. UN 2013 Salah satu faktor linear suku banyak  = 2  +   − 17 + 10 adalah  + 2. Salah satu faktor linear yang lainnya adalah …



A.  + 5 B.  − 5 C.  − 2 D. 2 + 1 E. 2 − 3 Jawab : B



3. UN 2013 Salah satu faktor linear suku banyak  = 2  +   − 11 + 6 adalah  + 2. Faktor linear yang lain adalah …



A. 2 + 1 B. 2 + 3 C.  − 3 D.  − 2 E.  − 1 Jawab : C



PENYELESAIAN f(x) habis dibagi  + 2 sehingga f(–2) = 0 –2



2



p –4



–17 –2p + 8



10 4p + 18



+ 2



p – 4 –2p – 9



4p + 28 = 0 p = –7



Hasil h(x) h(x) = 2x2 + (–7 – 4)x + (–2)( –7) – 9 = 2x2 – 11x + 5 ……………….…ingat cara memfaktorkan 1 = (2x – 10)(2x – 1) = (x – 5)(2x – 1) 2 Jadi, faktor yang lain (x – 5) dan (2x – 1) ……. (B) f(x) habis dibagi  + 2 sehingga f(–2) = 0 –2



2



a –4



–11 –2a + 8



6 4a + 6



+ 2



a – 4 –2a – 3



4a + 12 = 0 a = –3



Hasil h(x) h(x) = 2x2 + (–3 – 4)x + (–2)( –3) – 3 = 2x2 – 7x + 3 ……………….…ingat cara memfaktorkan 1 = (2x – 6)(2x – 1) = (x – 3)(2x – 1) 2 Jadi, faktor yang lain (x – 3) dan (2x – 1) ……. (C)



171 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak http://www.soalmatematik.com



SOAL 4. UN 2013 Suku banyak  = 2  −   − 28 + 15 habis dibagi  − 5. Salah satu faktor linear lainnya adalah …



A.  − 3 B.  + 2 C. 2 − 1 D. 2 + 1 E. 3 − 1 Jawab : C



PENYELESAIAN f(x) habis dibagi  − 5 sehingga f(5) = 0 5



2



–p



–28



15



10



– 5p + 50



–25p + 110



+ 2 –p +10 –5p + 22



–25p + 125 = 0 p=5



Hasil h(x)



h(x) = 2x2 + (–5 + 10)x + (–5)( 5) + 22 = 2x2 + 5x – 3 ……………….…ingat cara memfaktorkan 1 = (2x + 6)(2x – 1) = (x + 3)(2x – 1) 2 Jadi, faktor yang lain (x + 3) dan (2x – 1) ……. (C) 5. UN 2013 Bila 2 − 1 adalah faktor dari  = 4  +   −  + 3, salah satu faktor linear yang adalah …



A.  + 1 B.  − 1 C.  + 3 D. −2 + 1 E.  − 3 Jawab : E



f(x) habis dibagi 2 − 1 sehingga f( ½ ) = 0 ½ 4



p 2



–1 ½p+1



3 ¼p



+ 4 p+2 ½p Hasil h(x)



¼p+3=0 p = –12



h(x) = 4x2 + (–12 + 2)x + ½ (– 12) = 4x2 – 10x – 6 ……………….…ingat cara memfaktorkan = ¼ (4x – 12)(4x + 2) = (x – 3)(4x + 2) Jadi, faktor yang lain (x – 3) dan (4x + 2) ……. (E)



172 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak http://www.soalmatematik.com



SOAL 6. UN 2013 Salah satu faktor dari suku banyak  = 2  − 5  +  + 3 adalah  + 1. Faktor linear lainnya dari suku banyak tersebut adalah … A.  − 1 B.  − 2 C.  + 2 D. 2 − 1 E. 2 + 1



PENYELESAIAN f(x) habis dibagi  + 1 sehingga f(–1 ) = 0 –1



2



–5



p



3



–2



7



–p – 7



–7



p+7



+ 2



Hasil h(x)



–p–4=0 p = –4



Jawab : D h(x) = 2x2 – 7x + (– 4 + 7) = 2x2 – 7x + 3 ……………….…ingat cara memfaktorkan = ½ (2x – 6)(2x – 1) = (x – 3)(2x – 1) Jadi, faktor yang lain (x – 3) dan (2x – 1) ……. (D) 7. UN 2013 Diketahui salah satu faktor linear dari suku banyak  = 2  − 3  +  − 15 + 6 adalah 2 − 1. Faktor linear lainnya dari suku banyak tersebut adalah … A.  − 5 B.  − 2 C.  + 1 D.  + 2 E.  + 3 Jawab : D



f(x) habis dibagi 2 − 1 sehingga f( ½ ) = 0 ½ 2



–3



p – 15



1



–1



2 –2



p – 16



6 ½p–8



+



Hasil h(x)



½p–2=0 p=4



h(x) = 2x2 – 2x + (4 – 16) = 2x2 – 2x – 12 ……………….…ingat cara memfaktorkan = ½ (2x + 4) (2x – 6) = ( x + 2) (2x – 6) Jadi, faktor yang lain (x + 2) dan (2x – 6) ……..(D)



173 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak http://www.soalmatematik.com



SOAL 8. UN 2013 Diketahui  + 2 adalah salah satu faktor suku banyak  = 2  − 3  − 11 + . Salah satu faktor linear lainnya dari suku banyak tersebut adalah … A. 2 + 1 B. 2 − 3 C. 2 + 3 D.  + 3 E.  − 3



PENYELESAIAN f(x) habis dibagi  + 2 sehingga f(–2 ) = 0 –2



2



–3



–11



p



–4



14



–6



–7



3



+ 2



Hasil h(x)



p–6=0 p=6



Jawab : E h(x) = 2x2 – 7x + 3 ……………….…ingat cara memfaktorkan = ½ (2x – 6)(2x – 1) = (x – 3)(2x – 1) Jadi, faktor yang lain (x – 3) dan (2x – 1) ……. (E) 9. UN 2012/C37 Suku banyak berderajat 3, Jika dibagi (x2 – x – 6) bersisa (5x – 2), Jika dibagi (x2 – 2x – 3) bersisa (3x + 4). Suku banyak tersebut adalah … A. x3 – 2x2 + x + 4 B. x3 – 2x2 – x + 4 C. x3 – 2x2 – x – 4 D. x3 – 2x2 + 4 E. x3 + 2x2 – 4 Jawab : D



i) f(x) jika dibagi (x2 – x – 6) bersisa (5x – 2) f(x) = (x2 – x – 6)H(x) + (5x – 2) = (x + 2)(x – 3)H(x) + (5x – 2) f(3) = 5(3) – 2 = 13 ii) f(x) jika dibagi (x2 – 2x – 3) bersisa (3x + 4) f(x) = (x2 – 2x – 3)H(x) + (3x + 4) = (x + 1)(x – 3)H(x) + (3x + 4) f(3) = 3(3) + 4 = 13 cek poin: jawaban akan benar jika f(3) = 13 D. f(x) = x3 – 2x2 + 4 f(3) = 33 – 2⋅32 + 4 = 13 ................benar



174 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak http://www.soalmatematik.com



SOAL 10. UN 2012/D49 Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x2 + 2x – 3) bersisa (3x – 4), jika di bagi (x2 – x – 2) bersisa (2x + 3). Suku banyak tersebut adalah…. A. x3 – x2 – 2x – 1 B. x3 + x2 – 2x – 1 C. x3 + x2 + 2x – 1 D. x3 + x2 – 2x – 1 E. x3 + x2 + 2x + 1 Jawab : B



PENYELESAIAN i) f(x) jika dibagi (x2 + 2x – 3) bersisa (3x – 4) f(x) = (x2 + 2x – 3)H(x) + (3x – 4 ) = (x + 3)(x – 1) H(x) + (3x – 4 ) f(1) = 3(1) – 4 = –1 ii) f(x) jika dibagi (x2 – x – 2) bersisa (2x + 3). f(x) = (x2 – x – 2)H(x) + (2x + 3) = (x + 1)(x – 2) H(x) + (2x + 3) f(–1) = 2(–1) + 3 = 1 cek poin: jawaban akan benar jika f(1) = –1 dan f(–1) = 1 B. f(x) = x3 + x2 – 2x – 1 F(1) = 13 + 12 – 2(1) – 1 = –1 ................benar f(–1) = (–1)3 + (–1)2 – 2(–1) – 1 = 1 .....benar



11. UN 2012/B25 Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x2 + x – 2) bersisa (2x – 1), jika dibagi (x2 + x – 3) bersisa (3x – 3). Suku banyak tersebut adalah ... A. x3 – x2 – 2x – 3 B. x3 – x2 – 2x + 3 C. x3 – x2 + 2x + 3 D. x3 – 2x2 – x + 2 E. x3 – 2x2 + x – 2 Jawab : B 12. UN 2012/E52 Suatu suku banyak berderajat 3 jika dibagi x2 – 3x + 2 bersisa 4x – 6 dan jika dibagi x2 – x – 6 bersisa 8x – 10.Suku banyak tersebut adalah…. A. x3 – 2x2 + 3x – 4 B. x3 – 3x2 + 2x – 4 C. x3 + 2x2 – 3x – 7 D. 2x3 + 2x2 – 8x + 7 E. 2x3 + 4x2 – 10x + 9 Jawab : A



i) f(x) jika dibagi (x2 + x – 2) bersisa (2x – 1) f(x) = (x2 + x – 2)H(x) + (2x – 1) = (x + 2)(x – 1) H(x) + (2x – 1) f(1) = 2(1) – 1 = 1 ii) f(x) jika dibagi (x2 + x – 3) bersisa (3x – 3). f(x) = (x2 + x – 3)H(x) + (2x + 3) pembagi tidak dapat difaktorkan cek poin: jawaban akan benar jika f(1) = 1 B. f(x) = x3 – x2 – 2x + 3 f(1) = 13 –12 – 2(1) + 3 = 1 .........benar i) f(x) jika dibagi (x2 – 3x + 2) bersisa (4x – 6) f(x) = (x2 – 3x + 2)H(x) + (4x – 6) = (x – 1)(x – 2)H(x) + (4x – 6) f(1) = 4(1) – 6 = –2 ii) f(x) jika dibagi (x2 – x – 6) bersisa (8x – 10). f(x) = (x2 – x – 6)H(x) + (8x – 10) = (x + 2)(x – 3) H(x) + (8x – 10) f(3) = 8(3) – 10 = 14 cek poin: jawaban akan benar jika f(1) = –2 dan f(3) = 14 3 A. f(x) = x – 2x2 + 3x – 4 f(1) = 13 –2(1)2 + 3(1) – 4 = –2 .........benar f(3) = 33 –2(3)2 + 3(3) – 4 = 14 .........benar



175 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak http://www.soalmatematik.com



SOAL 13. UN 2011 PAKET 12 Diketahui suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b. Jika P(x) dibagi (x – 1) sisa 11, dibagi (x + 1) sisa – 1, maka nilai (2a + b) = … a. 13 b. 10 c. 8 d. 7 e. 6 Jawab : c



14. UN 2011 PAKET 46 Diketahui suku banyak f(x) = ax3 + 2x2 + bx + 5, a ≠ 0 dibagi oleh (x + 1) sisanya 4 dan dibagi oleh (2x – 1) sisanya juga 4. Nilai dari a + 2b adalah … a. –8 b. –2 c. 2 d. 3 e. 8 Jawab : b



PENYELESAIAN Gunakan teorema sisa (i) P(x) dibagi (x – 1) sisa 11 → P(1) = 11 P(1) = 2(1) 4 + a(1)3 – 3(1)2 + 5(1) + b 11 = 2 – 3 + 5 + a + b a + b = 11 – 4 = 7 ………………………….(1) (ii) P(x) dibagi (x + 1) sisa –1 → P(–1) = –1 P(–1) = 2(–1) 4 + a(–1)3 – 3(–1)2 + 5(–1) + b –1 = 2 – 3 – 5 – a + b –a + b = –1 + 6 = 5 ………………….…….(2) Dari (1) dan (2) a+b=7 –a + b = 5 _ 2a = 2 a = 1 …. Substitusi ke (1) • a + b = 7 ………. Kedua ruas di tambah a ⇔ 2a + b = 7 + a = 7 + 1 = 8 ………….(c) Gunakan teorema sisa (i) f(x) dibagi (x + 1) sisa 4 → f(–1) = 4 f(–1) = a(–1)3 + 2(–1)2 + b(–1) + 5 4=–a–b+2+5 a + b = 7 – 4 = 3 ……………………………(1) (ii) f(x) dibagi (2x – 1) sisa 4 → f(½ ) = 4 f(½ ) = a(½ )3 + 2(½ )2 + b(½ ) + 5 4 = 18 a + 12 b + ½ + 5 { 18 a + 12 b = 4 – 5½ = – 32 }× 8 a + 4b = –12 …………………………….…(2) Dari (1) dan (2) a+b =3 a + 4b = –12 _ –3b = 15 b= –5 …. Substitusi ke (1) • a + b = 3 ………. Kedua ruas di tambah b ⇔ a + 2b = 3 + b = 3 + (–5) = –2 ……...(b)



176 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak http://www.soalmatematik.com



SOAL 15. UN 2011 PAKET 12 Diketahui (x – 2) dan (x – 1) adalah factor– faktor suku banyak P(x) = x3 + ax2 –13x + b. Jika akar–akar persamaan suku banyak tersebut adalah x1, x2, x3, untuk x1> x2> x3 maka nilai x1 – x2 – x3 = … a. 8 b. 6 c. 3 d. 2 e. –4 Jawab : d



PENYELESAIAN Gunakan teorema factor (x – 2) dan (x – 1) factor dari P(x), maka P(2) = P(1) = 0 k1 = 2



1



a 2



1 a+2 K2 = 1



1 1 a+3



Dikali k1 = 2



–13



b



2a + 4 4a – 18 2a – 9



+ 4a + b – 18 = 0 …(1)



a+3 + 3a + 6 = 0……………….(2) dan



Dikali k2 = 1



Dari (2) diperoleh : Sisa = 3a + 6 = 0 → a = –2 Hasil bagi = x + (a + 3) = x + (–2 + 3) = x + 1 Jadi, factor –faktor dari P(x) adalah: P(x) = (x +1) (x – 1) (x – 2) = 0 Diperoleh akar–akar P(x) : x = {–1, 1, 2} Jadi, x1 = 2, x2 = 1, x3 = –1, sehingga: x1 – x2 – x3 = 2 – 1 – (–1) = 2 …………………..(d) 16. UN 2011 PAKET 46 Faktor–faktor persamaan suku banyak x3 + px2 – 3x + q = 0 adalah (x + 2) dan (x – 3). Jika x1, x2, x3 adalah akar–akar persamaan suku banyak tersebut, maka nilai x1 + x2 + x3 = …. a. –7 b. –5 c. –4 d. 4 e. 7 Jawab : d



Gunakan teorema factor (x + 2) dan (x – 3) factor dari P(x), maka P(–2) = P(3) = 0 k1= –2



1



p



–3



–2



–2p + 4 4p – 2



1 p–2



–2p + 1



3



3p + 3



K2 = 3



1 p+1 Dikali k1 = 2



q + 4p + q – 2 = 0 …(1)



+ p + 4 = 0……………….(2) dan



Dikali k2 = 1



Dari (2) diperoleh : Sisa = p + 4 = 0 → p = –4 Gunakan rumus jumlah akar-akar suku banyak x1 + x2 + x3 =



− b − (−4) = = 4…………………(D) a 1



177 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak http://www.soalmatematik.com



SOAL 17. UN 2010 PAKET A Diketahui (x – 2) adalah faktor suku banyak f(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2. Jika f(x) dibagi (x + 3), maka sisa pembagiannya adalah – 50. nilai (a + b) = … a. 10 b. 4 c. –6 d. –11 e. –13 Jawab: c



PENYELESAIAN Gunakan teorema factor • (x – 2) faktor dari f(x), maka f(2) = 0 • f(x) dibagi (x + 3) sisa –50, maka f(–3) = –50 f(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2 f(2) = 2⋅23 + a⋅22 + b⋅2 – 2 = 0 4a + 2b + 16 – 2 =0 4a + 2b + 14 =0 4a + 2b = –14 2a + b = – 7…………(1) f(–3) = 2(–3)3 + a(–3)2 + b(–3) – 2 = –50 –54 – 2 + 9a – 3b = –50 –56 + 9a – 3b = –50 9a – 3b = 6 3a – b = 2 ……(2) dari (1) dan (2) 2a + b = –7 3a – b = 2___ + 5a = –5 a = –1 dengan menggunakan pers(1) dapat dicari a + b 2a + b = – 7 ……. Kedua ruas dikurangi a 2a – a + b = – 7 – a a + b = –7 – (–1) = –6……………….(c)



178 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak http://www.soalmatematik.com



SOAL 18. UN 2010 PAKET B Suku banyak 2x3 + ax2 + bx + 2 dibagi (x + 1) sisanya 6, dan dibagi (x – 2) sisanya 24. Nilai 2a – b = … a. 0 b. 2 c. 3 d. 6 e. 9 Jawab: e



PENYELESAIAN Gunakan teorema faktor • f(x) dibagi (x + 1) sisa 6, maka f(–1) = 6 • f(x) dibagi (x – 2) sisa 24, maka f(2) = 24 f(x) = 2x3 + ax2 + bx + 2 f(–1) = 2⋅(–1)3 + a⋅(–1)2 + b⋅(–1) + 2 = 6 –2 + a – b + 2 = 6 a – b = 6 …(1) f(2) = 2(2)3 + a(2)2 + b(2) + 2 = 24 16 + 2 + 4a + 2b = 24 4a + 2b = 6 2a + b = 3 ……..(2) dari (1) dan (2) a–b =6 2a + b = 3___ + 3a = 9 a=3 dengan menggunakan pers(1) dapat dicari 2a – b a – b = 6 ……. Kedua ruas ditambah a a+a–b =6+a 2a – b = 6 + 3 = 9……………….(e)



19. UN 2009 PAKET A/B Suku banyak f(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 4 dan bila dibagi (x + 3) bersisa – 5. Suku banyak g(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 2 dan bila dibagi (x + 3) bersisa 4. Jika h(x) = f(x) ⋅ g(x), maka sisa pembagian h(x) oleh (x2 + 2x – 3) adalah … a. 6x + 2 b. x + 7 c. 7x + 1 d. –7x + 15 e. 15x – 7 Jawab : c



x2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1) Gunakan teorema sisa P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (x – 1) ⋅ H(x) + 4………………….……(1) f(x) = (x + 3) ⋅ H(x) – 5………………….……(2) q(x) = (x – 1) ⋅ H(x) + 2………………………(3) q(x) = (x + 3) ⋅ H(x) + 4………………….…...(4) f(x)·g(x) = (x + 3)(x – 1) ⋅ H(x) + (ax + b) …...(5) f(1)·g(1) = 4(2) = a + b ……. (1), (3), (5) f(–3)·g(–3) = –5(4) = –3a + b_ _ …(2), (4), (5) 28 = 4a a=7 karena a = 7, maka sudah bisa dilihat jika jawaban yang benar : 7x + 1 ………………...(c)



179 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak http://www.soalmatematik.com



SOAL 20. UN 2008 PAKET A/B Salah satu faktor suku banyak P(x) = x3 – 11x2 + 30x – 8 adalah … a. (x + 1) b. (x – 1) c. (x – 2) d. (x – 4) e. (x – 8) Jawab : d 21. UN 2007 PAKET A Suku banyak f(x) dibagi (x + 1) sisanya 10 dan jika dibagi (2x – 3) sisanya 5. Jika suku banyak f(x) dibagi (2x2 – x – 3), sisanya adalah … a. –2x + 8 b. –2x + 12 c. –x + 4 d. –5x + 5 e. –5x +15 Jawab : a



PENYELESAIAN Untuk menyelesaikannya gunakan cek point Lihat rumus B (x – b) adalah faktor dari P(x) bila P(b) = 0 P(x) = x3 – 11x2 + 30x – 8 Lihat pilihan d. (x – 4) ⇒ b = 4 Jawaban akan benar jika P(4) = 0 P(4) = (4)3 – 11(4)2 + 30(4) – 8 = 0....... BENAR



Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: 2x2 – x – 3 = (2x – 3)(x + 1) P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (x + 1) ⋅ H(x) + 10...……………………(1) f(x) = (2x – 3) ⋅ H(x) + 5……………………...(2) f(x) = (2x – 3)(x + 1) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh: f (−1) = 10 = −a + b f ( 32 ) = 5 = 32 a + b {5 = − 52 a} × − 52



−



a= –2 substitusi a = – 2 ke f(–1) 10 = –a + b 10 = –(–2) + b b=8 Jadi, sisa = –2x + 8………………….……….(a) Cara Cepat f(x) : (x + 1) sisa 10 ⇒ –1 10 f(x) : (2x – 3) sisa 5 ⇒



3 2



5



f(x) : (2x2 – x – 3) sisa –4y = 5x + (–1.5 – 3.10) y= −



5 35 y+ 4 4



= −



5 3 y +8 4 4



180 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak http://www.soalmatematik.com



SOAL 22. UN 2007 PAKET B Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x + 2) adalah 4, jika suku banyak tersebut dibagi (2x – 1) sisanya 6. Sisa pembagian suku banyak tersebut oleh 2x2 + 3x – 2 adalah … a. b.



4x +53 5 5 4x+22 5 5



c. 4x + 12 d. 4x + 4 e. 4x – 4 Jawab : a



PENYELESAIAN Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: 2x2 + 3x – 2 = (x + 2)(2x – 1) P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (x + 2) ⋅ H(x) + 4…..……………………(1) f(x) = (2x – 1) ⋅ H(x) + 6………………………(2) f(x) = (x + 2)(2x – 1) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh: f (−2) = 4 = −2a + b f ( 12 ) = 6 = 12 a + b {−2 = − 52 a} × − 52



−



a = 45 substitusi a = 45 ke f(–2) 4 = –2a + b 4 = –2( 45 ) + b 4 = – 85 + b b = 4 + 1 53 = 5 35



23. UN 2006 Akar–akar persamaan x3 – x2 + ax + 72 = 0 adalah x1, x2, dan x3. Jika salah satu akarnya adalah 3 dan x1< x2 < x3, maka x1 – x2 – x3 = … a. –13 b. –7 c. –5 d. 5 e. 7 Jawab : e



Jadi, sisa = 45 x + 5 35 …………………….(a) Gunakan rumus B Salah satu akar dari persamaan x3 – x2 + ax + 72 = 0, adalah 3, maka f(3) = 0 perhatikan bahan berikut:



berdasarkan bagan di atas diperoleh: (i) f(3) = 3a + 90 0 = 3a + 90 0 = a + 30 a = – 30 (ii) hasil bagi H(x) = x2 + 2x + a + 6 = x2 + 2x – 30 + 6 = x2 + 2x – 24 = (x – 4)(x + 6) sehingga diperoleh: x3 – x2 – 30x + 72 = (x – 4)(x – 3)(x + 6), maka akar– akarnya adalah x = {4, 3, –6} Jadi: x1 – x2 – x3 = 4 – 3 – (–6) = 7 …………..(e)



181 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak http://www.soalmatematik.com



SOAL 24. UN 2005 Sisa pembagian suku banyak (x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1) oleh (x2 – x – 2) adalah … a. –6x + 5 b. –6x – 5 c. 6x + 5 d. 6x – 5 e. 6x – 6 Jawan : a



PENYELESAIAN Gunakan metode bagan Pembagi : x2 – x – 2, maka a = 1, b = –1 , c = – 2



berdasarkan bagan di atas diperoleh : sisa = – 6x + 5 ……………………………..(a)



25. UN 2004 Gunakan metode bagan Suku banyak x4 – 2x3 – 3x – 7 dibagi Pembagi : (x – 3)(x + 1) = x2 – 2x – 3 , maka dengan (x – 3)(x + 1), sisanya adalah … a = 1, b = –2 , c = – 3 a. 2x + 3 b. 2x – 3 c. –3x – 2 d. 3x – 2 e. 3x + 2 Jawab : e berdasarkan bagan di atas diperoleh : sisa = 3x + 2 ……………………………..(e) 26. UAN 2003 Suatu suku banyak F(x) dibagi (x – 2) sisanya 5 dan (x + 2) adalah faktor dari F(x). Jika F(x) dibagi x2 – 4, sisanya adalah … a. 5x – 10 b.



5 x+5 4 2



c. 5x + 10 d. –5x + 30 e.



−5x+ 7 4



2



Jawab : b



Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (x – 2) ⋅ H(x) + 5………………………(1) f(x) = (x + 2) ⋅ H(x) + 0……………………...(2) f(x) = (x – 2)(x + 2) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh: f(2) = 5 = 2a + b f(–2) = 0 = –2a + b_ _ 5 = 4a a = 54 substitusi a = 54 ke f(–2) 0 = – 2a + b 0 = –2( 54 ) + b b = 52 Jadi, sisa = 54 x + 52 …………………….(b)



182 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak http://www.soalmatematik.com



SOAL 27. EBTANAS 2002 Suku banyak f(x) dibagi 2x –1 sisanya 7 dan x2 + 2x – 3 adalah faktor dari f(x). Sisa pembagian f(x) oleh 2x2 + 5x – 3 adalah … a. 2x + 6 b. 2x – 6 c. –2x + 6 d. x + 3 e. x – 3 Jawab : a



PENYELESAIAN Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: (x2 + 2x – 3) = (x + 3)(x – 1) (2x2 + 5x – 3) = (2x – 1)(x + 3) P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (2x – 1) ⋅ H(x) + 7………………………(1) f(x) = (x + 3)(x – 1) ⋅ H(x) + 0………………...(2) (x + 3)(x – 1) merupakan faktor dari f(x) sehingga sisa = 0 f(x) = (2x – 1)(x + 3) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh: f( 12 ) = 7 = 12 a + b f(–3) = 0 = –3a + b_ _ { 7 = 3 12 a = 72 a}× 72 a=2 substitusi a = 2 ke f(–3) 0 = – 3a + b 0 = –3(2) + b b=6



28. EBTANAS 2002 Suku banyak (2x3 + ax2 – bx + 3) dibagi oleh (x2 – 4) bersisa (x + 23). Nilai a + b = … a. –1 b. –2 c. 2 d. 9 e. 12 Jawab : e



Jadi, sisa = 2x + 6 ………………………….(a) Gunakan metode bagan Pembagi : x2 – 4 , maka a = 1, b =0 , c = – 4



berdasarkan bagan di atas diperoleh :



Dari kesamaan di atas dapat diketahui jika: 8–b =1 ⇒b=8–1=7 =5 3 + 4a = 23 ⇒ a = 20 4 jadi: a + b = 5 + 7 = 12 ………………………(e)



183 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



12. FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS FUNGSI A. Domain Fungsi (DF) 1. F(x) = f ( x ) , DF semua bilangan R, dimana f(x) ≥ 0 2. F(x) =



f (x) , DF semua bilangan R, dimana g(x) ≠ 0 g(x)



B. Komposisi Fungsi 1. (f o g)(x) = f(g(x)) 2. (g o f)(x)



= g(f(x))



3. (f o g o h)(x) = f(g(h(x))) SOAL 1. UN 2013 Diketahui  =   −  + 3 dan  = 3 − 2. Fungsi komposisi  adalah … A. 3  − 4 + 3 B. 3  − 3 + 7 C. 3  + 5 + 3 D. 6  − 12 + 9 E. 9  − 15 + 9 Jawab : E 2. UN 2013 Diketahui  =   − 5 + 2 dan  = 2 − 3. Fungsi komposisi  = … A. 4  + 22 + 26 B. 4  − 22 + 26 C. 4  − 2 + 26 D. 2  − 10 + 1 E. 2  + 10 − 7 Jawab : B 3. UN 2013 Diketahui  =   − 4 + 6 dan  = 2 + 3. Fungsi komposisi  = … A. 2  − 8 + 5 B. 2  − 8 + 7 C. 4  + 4 + 3 D. 4  + 4 + 15 E. 4  + 4 + 27 Jawab : C



PENYELESAIAN  =   −  + 3 dan  = 3 − 2  =  = 3 − 2 = 3 − 2 − 3 − 2 + 3 = 9  − 12 + 4 − 3 + 2 + 3 = 9  − 15 + 9 …………(E)



 =   − 5 + 2 dan  = 2 − 3  =  = 2 − 3 = 2 − 3 − 52 − 3 + 2 = 4  − 12 + 9 − 10 + 15 + 2 = 4  − 22 + 26 ………(B)



 =   − 4 + 6 dan  = 2 + 3  =  = 2 + 3 = 2 + 3 − 42 + 3 + 6 = 4  + 12 + 9 − 8 − 12 + 6 = 4x  + 4x + 3 ……………(C)



SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL 4. UN 2013 Diketahui  =  + 3 dan  =   − 5 + 1. Fungsi komposisi = … A.   +  − 5 B.   +  + 10 C.   +  + 13 D.   − 5 + 13 E.   − 5 + 4 Jawab : A 5. UN 2013 Diketahui  =  − 4 dan  =   − 3 + 7. Fungsi komposisi = … A.   − 3 + 3 B.   − 3 + 11 C.   − 11 + 15 D.   − 11 + 27 E.   − 11 + 35 Jawab : E 6. UN 2013 Diketahui fungsi  = 2 + 7 dan  =   − 6 + 1. Fungsi komposisi = … A.   + 4 + 2 B. 2  − 4 + 8 C. 2  − 12 + 9 D. 4  + 16 + 8 E. 8  + 22 + 50 Jawab : D



PENYELESAIAN



 =  + 3 dan  =   − 5 + 1  =  =  + 3 =  + 3 − 5 + 3 + 1 =   + 6 + 9 − 5 − 15 + 1 = x  + x-5 ……..…………(A)



 =  − 4 dan  =   − 3 + 7  =  =  − 4 =  − 4 − 3 − 4 + 7 =   − 8 + 16 − 3 + 12 + 7 = x  -11x + 35 ……………(E)



 = 2 + 7 dan  =   − 6 + 1  =  = 2 + 7 = 2 + 7 − 62 + 7 + 1 = 4  + 28 + 49 − 12 − 42 + 1 = 4x  + 16x + 8 ……………(D)



185 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL 7. UN 2013 Diketahui fungsi  = 2 − 1 dan  = 3  −  + 5. Fungsi komposisi = … A. 6  − 4 − 11 B. 6  − 4 + 9 C. 12  − 14 + 9 D. 12  − 10 + 9 E. 12  − 10 + 3 Jawab : C 8. UN 2012/A13 Diketahui fungsi f(x) = 3x – 1, dan g(x) = 2x2 – 3. Komposisi fungsi (gοf)(x) = … A. 9x2 – 3x + 1 B. 9x2 – 6x + 3 C. 9x2 – 6x + 6 D. 18x2 – 12x – 2 E. 18x2 – 12x – 1 Jawab : E



9. UN 2012/D49 Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x2 + 2x – 3. Komposisi fungsi (gof)(x) = .. A. 2x2 + 4x – 9 B. 2x2 + 4x – 3 C. 2x2 + 6x – 18 D. 2x2 + 8x E. 2x2 – 8x Jawab : -



10. UN 2012/B25 Diketahui fungsi g(x) = x + 1 dan f(x) = x2 + x – 1. komposisi fungsi (fοg)(x) = ... A. x2 + 3x + 3 B. x2 + 3x + 2 C. x2 – 3x + 1 D. x2 + 3x – 1 E. x2 + 3x + 1 Jawab : E



PENYELESAIAN  = 2 − 1 dan  = 3  −  + 5  =  = 2 − 1 = 32 − 1 − 2 − 1 + 5 = 34  − 4 + 1 − 2 + 1 + 5 = 12  − 12 + 3 − 2 + 6 = 12x  -14x + 9 ……………(C)



f(x) = 3x – 1 g(x) = 2x2 – 3. (gοf)(x) = g(f(x)) = g(3x – 1) = 2(3x – 1)2 – 3 = 2(9x2 – 6x + 1) – 3 = 18x2 – 12x – 1 …………….(E)



f(x) = 2x – 3 g(x) = x2 + 2x – 3. (gοf)(x) = g(f(x)) = g(2x – 3) = (2x – 3)2 + 2(2x – 3) – 3 = 4x2 – 12x + 9 + 4x – 6 – 3 = 4x2 – 8x



g(x) = x + 1 f(x) = x2 + x – 1. (fοg)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)2 + (x + 1) – 1 = x2 + 2x + 1 + x + 1 – 1 = x2 + 3x + 1 ..........................(E)



186 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL



PENYELESAIAN



11. UN 2012/E52 Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x2 – 4x. Komposisi (fοg)(x) =….. D. 2x2 – 8x –2 A. 2x2 + 8x + 2 2 B. 2x – 8x + 2 E. 2x2 – 8x –1 C. 2x2 – 8 + 1 Jawab : C



f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 – 4x. (fοg)(x) = f(g(x)) = f(x2 – 4x) = 2(x2 – 4x) + 1 = 2x2 – 8x + 1 .........................(C)



12. UN 2011 PAKET 12 Diketahui f(x) = 2x + 5 dan x −1 , x ≠ −4 , maka (fοg)(x) = … g(x) = x+4 7x + 2 7 x + 18 , x ≠ −4 , x ≠ −4 A. D. x+4 x+4 2x + 3 7 x + 22 , x ≠ −4 , x ≠ −4 E. B. x+4 x+4 2x + 2 , x ≠ −4 C. Jawab : d x+4



(fοg)(x) = f(g(x) ………………….rumus B.1 x −1 = f( ) x+4 x −1 = 2( )+5 x+4 2x − 2 = +5 x+4 5( x + 4) + 2 x − 2 = x+4 5 x + 2 x + 20 − 2 = x+4 7 x + 18 , x ≠ −4 ………………..(d) = x+4



13. UN 2011 PAKET 46 Fungsi f dan g adalah pemetaan dari R ke R yang dirumuskan oleh f(x) = 3x + 5 dan 2x , x ≠ −1 . Rumus (gοf)(x) adalah … g(x) = x +1 6x 6x + 5 , x ≠ −6 , x ≠ −2 a. d. x+6 3x + 6 5x + 5 5x + 5 , x ≠ −1 , x ≠ −2 b. e. x +1 3x + 6 6 x + 10 , x ≠ −2 c. Jawab : c 3x + 6 14. UN 2010 PAKET A Diketahui fungsi f(x) = 3x – 5 dan g(x) = 4 x − 2 , x ≠ 3 . Nilai komposisi fungsi 6 − 4x 2 (g ο f)(2) adalah …



(gοf)(x) = g(f(x) ………………….rumus B.1 = g(3x + 5) 2(3 x + 5) = (3 x + 5) + 1



a. 14



d. 1



b. 24



e. 8



c. 0



Jawab : d



=



6 x + 10 , x ≠ −2 ………………….(c) 3x + 6



(g ο f)(2) = g(f (2)) ……………rumus B.1 = g{3(2) – 5} = g(1) = 4(1) − 2 = 2 6 − 4(1) 2



= 1 …………(d)



187 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL



PENYELESAIAN



15. UN 2010 PAKET B Diketahui fungsi f(x) = x + 1 , x ≠ 3 , dan x−3



2



g(x) = x + x + 1. Nilai komposisi fungsi (g ο f)(2) = … a. 2 b. 3 c. 4 d. 7 e. 8 Jawab : d 16. UN 2009 PAKET A/B Diketahui fungsi-fungsi f : R → R didefinisikan dengan f(x) = 3x – 5, g : R → R didefinisikan x −1 , x ≠ 2. dengan g(x) = 2− x Hasil dari fungsi (f o g)(x) adalah … 2 x + 13 , x ≠ −8 x+8 2 x + 13 , x ≠ −2 x+2 − 2 x − 13 ,x ≠ 2 −x+2 8 x − 13 ,x≠2 −x+2 8x + 7 ,x≠2 −x+2



a. b. c. d. e.



Jawab : d 17. UN 2007 PAKET A Diketahui f : R → R, g : R → R dirumuskan oleh f(x) = x2 – 4 dan g(x) = 2x – 6. Jika (f o g)(x) = –4, nilai x = … A. –6 D. 3 atau –3 B. –3



E. 6 atau –6



C. 3



Jawab : c



18. UN 2007 PAKET B Diketahui f : R → R, g : R → R dirumuskan oleh f(x) = x – 2 dan g(x) = x2 + 4x – 3. Jika (g o f)(x) = 2, maka nilai x yang memenuhi adalah … a. –3 atau 3 b. –2 atau 2 c. –1 atau 2 d. 1 atau –2 e. 2 atau –3



(g ο f)(2) = g(f (2)) ……………rumus B.1 = g ( 22−+13 ) = g(–3) = (–3)2 + (–3) + 1 =9–3+1 = 7 ……………………………(d)



(fοg)(x) = f(g(x))



( ) = 3(2x−−1x ) − 5



= f 2x−−1x



=



3x − 3 5(2 − x) − 2− x 2− x



=



3x − 3 − 10 + 5 x 2− x



=



8 x − 13 , x ≠ 2 …………………..(d) −x+2



(fοg)(x) = f(g(x)) = f(2x – 6) = (2x – 6)2 – 4 –4 = 4x2 – 24x + 36 – 4 0 = x2 – 6x + 9 0 = (x – 3)(x – 3) x = 3 ………………………………….(c)



(gοf)(x) = g(f(x)) = g(x – 2) 2 = (x – 2)2 + 4(x – 2) – 3 2 = x2 – 4x + 4 + 4x – 8 – 3 0 = x2 – 9 0 = (x + 3) (x – 3) x = {–3, 3} …………………………(a)



Jawab : a



188 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL 19. UN 2006 Jika g(x) = x + 3 dan (f o g)(x) = x2 – 4, maka f(x – 2) = … a. x2 – 6x + 5 b. x2 + 6x + 5 c. x2 – 10x + 21 d. x2 – 10x – 21 e. x2 + 10x + 21



PENYELESAIAN f(g(x)) = (fοg)(x) …………….rumus B.1 f(x + 3) = x2 – 4 ………. misal : x + 3 = y f(y) = (y – 3)2 – 4 x=y–3 2 = y – 6y + 5 f(x – 2) = (x – 2)2 – 6(x – 2) + 5 = x2 – 4x + 4 – 6x + 12 + 5 = x2 – 10x + 21 ……………………..(c)



Jawab : c 20. UN 2005 Diketahui g(x) = 2x + 5 dan (f ο g) = 4x2 + 20x + 23. Rumus fungsi f(x) adalah … a. x2 – 2 b. 2x2 – 1 c. d. e.



1 x2 2 1 x2 2 1 x2 2



–2



f(g(x)) = (fοg)(x) …………….rumus B.1 f(2x + 5) = 4x2 + 20x + 23 misal : 2x + 5 = y x = 12 (y – 5), maka pers. menjadi f(y) = 4{ 12 (y – 5)}2 + 20( 12 (y – 5)) + 23 = 4{ 14 (y2 – 10y + 25)} + 10(y – 5) + 23



+2 –1



Jawab : c 21. UN 2004 Suatu pemetaan f : R → R, g : R → R dengan (q ο f)(x) = 2x2 + 4x + 5 dan g(x) = 2x + 3, maka f(x) = … a. x2 + 2x + 1 b. x2 + 2x + 2 c. 2x2 + x + 2 d. 2x2 + 4x + 2 e. 2x2 + 4x + 1



= y2 – 10y + 25 + 10y – 50 + 23 = y2 – 2 f(x) = x2 – 2 ………………………….(a) g(f(x))



= (gοf)(x) …………….rumus B.1



2f(x) + 3 = 2x2 + 4x + 5 2f(x) = 2x2 + 4x + 2 f(x) = x2 + 2x + 1 …………………….(a)



Jawab : a 22. UAN 2003 Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120, maka nilai p =… a. 30 b. 60 c. 90 d. 120 e. 150



g(f(x)) = f(g(x)) g(2x + p) = f(3x + 120) 3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p 6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p 3p – p = 6x – 6x + 240 – 120 2p = 120 p = 60 ………………………(b)



Jawab : b



189 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL



PENYELESAIAN



23. EBTANAS 2002 Jika f(x) = x + 1 dan (f o g)(x) = 2 x − 1 , maka fungsi g adalah g(x) = … a. 2x – 1 b. 2x – 3 c. 4x – 5 d. 4x – 3 e. 5x – 4



(fοg)(x) = f(g(x)) 2 x −1 = 4(x – 1)



g ( x ) + 1 ….. kuadratkan kedua ruas



= g(x) + 1



4x – 4 – 1 = g(x) 4x – 5



= g(x) …………………………….(c)



Jawab : c



190 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi http://www.soalmatematik.com



C. Invers Fungsi 1. (f o g)– 1 (x) = (g– 1 o f– 1)(x) ax + b − dx + b , maka f– 1(x) = 2. f(x) = cx + d cx − a a –1 x 3. f(x) = log x, maka f (x) = a 4. f(x) = ax, maka f– 1(x) = alog x SOAL



PENYELESAIAN



1. UN 2013



2x ; x ≠ −5 . Invers fungsi x+5  adalah !  = … Diketahui g ( x) =



5x ; x≠2 x−2 5x B. ; x≠2 2−x 5x C. ; x ≠ −2 x+2 A.



− 5x ; x ≠ −2 x−2 5x E. ; x ≠ −2 −x−2



D.



Ingat: bahwa untuk f(x) =



g ( x) =



ax + b − dx + b , maka f– 1(x) = cx + d cx − a 2x 2x + 0 = diperoleh : x+5 x+5 − 5x + 0 x−2 − 5x = x − 2 ; x ≠ −2 …………..(D)



!  =



Jawab : D



2. UN 2013



x+3 ; x ≠ 1 . Invers fungsi  x −1 adalah !  = …



Diketahui g ( x) =



x+3 ; x ≠1 x −1 x+3 B. ; x ≠ −1 x +1 x +1 C. ; x≠3 x−3 A.



x +1 ; x ≠ −3 x+3 x −1 E. ; x≠3 x−3



D.



f(x) =



ax + b − dx + b , maka f– 1(x) = cx + d cx − a



x+3 diperoleh x −1 x+3 !  = ; x ≠ 1 …………………(A) x −1 g ( x) =



Jawab : A



3. UN 2013



x +1 Diketahui g ( x) = ; 2x − 3  adalah !  = … 3x − 1 1 ; x≠ A. 2x − 1 2 3x + 1 1 B. ; x≠ 2x − 1 2 − 3x − 1 1 C. ; x≠ 2x − 1 2



Ingat: bahwa untuk



Ingat: bahwa untuk



3 x ≠ . Invers fungsi 2 3x − 1 1 ; x≠− 2x + 1 2 − 3x + 1 1 E. ; x≠− 2x + 1 2



D.



f(x) =



ax + b − dx + b , maka f– 1(x) = cx + d cx − a



x +1 diperoleh 2x − 3 3x + 1 1 !  = ; x ≠ …………………(B) 2x − 1 2 g ( x) =



Jawab : B



191 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL



PENYELESAIAN



4. UN 2013 Ingat: bahwa untuk x −1 1 ; x ≠ − . Invers fungsi ax + b − dx + b 2x + 1 2 f(x) = , maka f– 1(x) = !  adalah   = … cx + d cx − a 2x + 1 1 − 2x A. ; x ≠1 D. ; x ≠ −1 x −1 x −1 x +1 g ( x) = diperoleh x +1 1 2x − 1 2x + 1 B. ; x≠ ; x ≠ −1 E. − x −1 −1 1 − 2x 2 x +1 !  = × x−2 2x − 1 − 1 ; x ≠1 C. Jawab : B x +1 1 1− x ; x ≠ …………………(B) = 1 − 2x 2 Diketahui g ( x) =



5. UN 2013



x−4 7 ; x ≠ − . Invers 2x + 7 2 ! fungsi  adalah   = … Diketahui g ( x) =



7x − 4 1 ; x≠− 2x + 1 2 x−2 7 B. ; x≠ 7 − 4x 4 2x − 7 C. ; x ≠ −4 x+4



A.



x+4 7 ; x≠ 2x − 7 2 7x + 4 1 E. ; x≠ 1 − 2x 2 D.



Jawab : E



Ingat: bahwa untuk f(x) =



ax + b − dx + b , maka f– 1(x) = cx + d cx − a



x−4 diperoleh 2x + 7 − 7x − 4 − 1 !  = × −1 2x − 1 7x + 4 1 = ; x ≠ …………………(E) 1 − 2x 2 g ( x) =



6. UN 2013



3x + 2 1 ; x ≠ . Invers 4x − 1 4 ! fungsi  adalah   = … x+2 3 3x − 4 1 A. ; x≠ D. ; x≠− 4x − 3 4 2x + 1 2 4x − 1 2 4x − 3 B. ; x≠− E. ; x ≠ −2 3x + 2 3 x+2 3x + 4 1 C. ; x≠ Jawab : A 2x − 1 2 Diketahui fungsi g ( x) =



Ingat: bahwa untuk f(x) =



ax + b − dx + b , maka f– 1(x) = cx + d cx − a



3x + 2 diperoleh 4x − 1 x+2 3 !  = ; x ≠ ………………..(A) 4x − 3 4 g ( x) =



192 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL



PENYELESAIAN



7. UN 2013



5x + 2 1 ; x ≠ . Invers fungsi 3x − 1 3  adalah  !  = … Diketahui f ( x ) =



1 2 − 5x 2− x 1 ; x≠− D. ; x≠− 3x + 1 3x + 1 3 3 3x − 1 1 x−2 5 B. ; x≠− ; x≠− E. 5x + 2 3 3x + 5 3 x+2 5 C. ;x ≠ Jawab : C 3x − 5 3 8. UN 2013 3x + 4 2 Diketahui f ( x ) = ; x ≠ . Bila  !  5x − 2 5 adalah Invers dari ,  !  = …



Ingat: bahwa untuk f(x) =



A.



3x + 5 1 ; x≠ 4x − 2 2 3x − 4 2 B. ; x≠ 5x + 2 5 2x + 4 3 C. ; x≠ 5x − 3 5



Ingat: bahwa untuk f(x) =



5x − 3 ; x ≠ −2 2x + 4 5x + 3 E. ; x≠2 2x − 4



y = alog x



a. y = 3x



ax + b − dx + b , maka f– 1(x) = cx + d cx − a



3x + 4 diperoleh 5x − 2 2x + 4 3  !  = ; x ≠ ………………..(C) 5x − 3 5 f ( x) =



Jawab : C



9. UN 2011 PAKET 12 Persamaan grafik fungsi inversnya pada gambar di bawah ini adalah … Y



5x + 2 diperoleh 3x − 1 x+2 5  !  = ; x ≠ ………………..(C) 3x − 5 3 f ( x) =



D.



A.



ax + b − dx + b , maka f– 1(x) = cx + d cx − a



•



Tentukan rumus persamaan grafik Grafik melalui titik (8, -3), maka: -3 = a log 8 ⇒ a– 3 = 8 (a–1) 3 = 23 a–1 = 2 1 a



b. y = (1,0)



8



0 –3



a = 12



c. y = X



=2



Jadi, persamaan grafiknya adalah



d. y =



1 x



e. y = 2 Jawab : d



y = f(x) = 2 log x x Maka f’(x) = 12 ………………………….(d)



Ingat rumus C.3



193 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL 10. UN 2011 PAKET 46 Persamaan grafik fungsi inversnya pada gambar di bawah ini adalah … Y



Grafik melalui titik (3, 1), maka: 1 = a log 3 ⇒ a1 = 3



x



a. y = 3 y = alog x



1 0



•



PENYELESAIAN Tentukan rumus persamaan grafik



X



1



a= 3



b. y =



Jadi, persamaan grafinya adalah



c. y =



y = f(x) = 3 log x



d. y = e. y = 3– x Jawab : a



Maka f’(x) = 3x ………………………….(a)



3



11. UN 2010 PAKET A/B Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini! –x Y y=2



Ingat rumus C.3



()



x y = f(x) = 2– x = (2–1) x = 12 , maka



f – 1(x) =



1 2



log x ……………………(b)



Ingat rumus C.4



X



0



Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah…. A. y = 2log x D. y = –2 log x B. y =



1 2



log x



C. y = 2 log x



1



E. y = – 2 log x Jawab : b



194 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL 12. UN 2009 PAKET A/B Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut! y=a



PENYELESAIAN •



Tentukan rumus persamaan grafik Grafik melalui titik (– 1 , 2) sehingga: y = ax 2 = a–1



Y



x



4



2 = 1a a= 1



2



2



1 ¼ –2 –1 0



1



2



3



X



f – 1 (x) =



Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah … A. 2logx D. 2logx 1 2



B.



(2 )



x jadi: y = f(x) = 1



log x



E.



C. 2 log x



− 12



1 2



log x ……………………(b)



Ingat rumus C.4



log x



Jawab : b



13. UN 2010 PAKET A Jika f – 1(x) adalah invers dari fungsi f(x) = 2 x − 4 , x ≠ 3 . Maka nilai f – 1(4) = … x−3



INGAT: ax + b − dx + b f(x) = , maka f– 1(x) = cx + d cx − a = 2x − 4 x−3 f – 1(x) = 3 x − 4 x−2 f – 1(4) = 3( 4) − 4 = 8 = 4 ……………..(b) 4−2 2



a. 0 b. 4 c. 6 d. 8 e. 10 Jawab : b



f(x)



14. UN 2010 PAKET A Dikatahui f(x) = 1 − 5 x , x ≠ −2 dan f – 1(x) adalah x+2



invers dari f(x). Nilai f – 1 ( –3 ) = … a. 43 b. 2 c. 52 d. 3 e. 72 Jawab : e



INGAT: ax + b − dx + b f(x) = , maka f– 1(x) = cx + d cx − a f(x) = 1 − 5 x = − 5 x + 1 x+2 x+2 f – 1(x) = − 2 x + 1 x+5 − 2( −3) + 1 –1 f (–3) = −3+5 = 7 ………………………(e) 2



195 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL 15. UN 2008 PAKET A/B Fungsi f : R → R didefinisikan dengan f(x) = 3 x + 2 , x ≠ 1 . 2x − 1 2 Invers dari f(x) adalah f – 1 (x) = … A. x − 2 , x ≠ − 3 2x + 3 2 x−2 3 B. ,x≠ 2x + 3 2 x+2 3 C. ,x ≠ 3 − 2x 2



D. x + 2 , x ≠ 3 2x − 3 2 x+2 3 E. ,x≠− 2x + 3 2



INGAT: ax + b − dx + b f(x) = , maka f– 1(x) = cx + d cx − a = 3x + 2 2x − 1



f(x)



f – 1 (x) =



f(x) = 2 x −1 , x ≠ −4 .



INGAT: ax + b − dx + b f(x) = , maka f– 1(x) = cx + d cx − a



3



Invers dari fungsi f adalah f-1(x) = … a. b. c. d. e.



4 x −1 , x 3x + 2 4 x +1 , x 3x − 2 4 x +1 , x 2 − 3x 4 x −1 , x 3x − 2 4 x +1 , x 3x + 2



x+2 ………………… ………(d) 2x − 3



Jawab : d



16. UAN 2003 Fungsi f : R → R didefinisikan sebagai 3x + 4



PENYELESAIAN



≠ −2 ≠ ≠ ≠ ≠



3 2 3 2 3 2 3 −2 3



f(x)



=



f– 1(x) = =



2x −1 3x + 4 − 4x − 1 − 1 × 3x − 2 − 1 4x + 1 2 ,x ≠ …………………(c) 3 − 3x + 2



Jawab : c



196 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



13. LIMIT FUNGSI A. Limit fungsi aljabar f (a) 0 f ( x) = , maka lim Jika diselesaikan dengan cara sebagai berikut: x → a g ( x) g ( a) 0 1. Difaktorkan, jika f(x) dan g(x) bisa difaktorkan 2. Dikalikan dengan sekawan pembilang atau penyebut jika f(x) atau g(x) berbentuk akar 3. Menggunakan dalil L’Hospital jika f(x) dan g(x) bisa di turunkan




f ( x ) f ' (a ) = x → a g ( x ) g ' (a ) lim



Cara Cepat



 b  2⋅c .=  . × x →a c − dx + e −d  1



1) lim



bx



1 b − cx + d −c . .=  × x →a ex − f  e  2⋅b



2) lim



SOAL 1. UN 2012/C37 5x = .... Nilai lim x →0 3 − 9 + x A. –30 B. –27 C. 15 D. 30 E. 36 Jawab : A



PENYELESAIAN Cara biasa:



5x



lim



x →0 3 −



⇔ lim



x →0



9+ x 5x



3− 9+ x



×



3+ 9+ x 3+ 9+ x



⇔ lim



5 x(3 + 9 + x ) 9 − (9 + x)



⇔ lim



5 x(3 + 9 + x ) −x



x →0



x →0



⇔ lim − 5(3 + 9 + x ) = − 5(3 + 9 + 0 ) x →0



= –5(3 + 3) = –30 ………………..(A)



Cara cepat



 5  2×3 =  × x →0 3 − 9 + x 1  − 1 = –30 lim



5x



SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL 2. UN 2012/D49 1− x Nilai lim = …. x→1 2 − x + 3 A. 8 B. 4 C. 0 D. – 4 E. – 8 Jawab : B



PENYELESAIAN Cara biasa: 1− x lim x→1 2 − x + 3 1− x



⇔ lim



2− x+3



x→1



×



2+ x+3 2+ x+3



⇔ lim



(1 − x)( 2 + x + 3 ) 4 − ( x + 3)



⇔ lim



(1 − x)( 2 + x + 3 ) (1 − x)



x →1



x →1



⇔ lim(2 + x + 3 ) = 2 + 1 + 3 x →1



=2+2 = 4 ………………………..(B)



Cara cepat



 −1 2 × 2 =  × x →1 2 − x + 3 1  −1 =4 1− x



lim



3. UN 2012/B25



Cara Biasa



2 − x +1 = ... x−3 x→3



2 − x +1 x−3 x→3



Nilai lim A. − 14



B. − 12 C. 1 D. 2 E. 4 Jawab : A



lim



( 2 − x + 1) ( 2 + x + 1) × x →3 ( x − 3) ( 2 + x + 1)



⇔ lim ⇔ lim



x →3 ( x



⇔ lim



x →3 ( x



4 − ( x + 1) − 3)(2 + x + 1) − ( x − 3) − 3)(2 + x + 1)



⇔ lim



x →3 ( 2 +



−1 x + 1)



= =



−1 2 + 3+1



−1 ...............................(A) 4



Cara cepat



1 2 − x + 1  −1 =  × x−3 x→3  1  2× 2 −1 = 4 lim



198 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL 4. UN 2011 PAKET 21 ( x − 4) Nilai lim =… x →4 x − 2 a. 0 b. 4 c. 8 d. 12 e. 16 Jawab : b



PENYELESAIAN Cara Biasa



( x − 4)



lim



x − 2)



x→4 (



×



( x + 2) ( x + 2)



( x − 4)( x + 2) ( x − 4) x→ 4



⇔ lim ⇔ lim



x+2 =



x→ 4



4+2



= 2 + 2 = 4 ………(b) Cara cepat



5. UN 2011 PAKET 46 Nilai lim



x→ 2



x2 − 2 x− 2



=…



a. 2 2 b. 2



( x − 4)



1 2 × 2 =  × x →4 x − 2 1 1 =4 Cara Biasa lim



( x − 4)



lim



x − 2)



x→4 (



×



( x + 2) ( x + 2)



( x − 2) 2



lim



x→ 2



(x − 2)



c. 2 d. 0



⇔ lim



e. − 2 Jawab : a



⇔ lim x + 2 =



×



(x + 2) (x + 2)



( x 2 − 2)( x + 2 )



x→ 2



x→ 2



( x 2 − 2) 2+ 2



= 2 2 ……………….…..(a) Cara cepat : Gunakan dalil l’Hospital



x2 − 2



 2x  = lim   = 2 2 x→ 2  1  x→ 2 x − 2 lim



199 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL 6. UN 2010 PAKET A



  3x  = …. Nilai dari lim  x →0 9 + x − 9 − x   a. 3 b. 6 c. 9 d. 12 e. 15 Jawab : c



PENYELESAIAN Cara Biasa 3x ( 9 + x + 9 − x) × x→0 ( 9 + x − 9 − x ) ( 9 + x + 9 − x ) lim



⇔ lim 3 x ( 9 + x + 9 − x ) x →0 9 + x − (9 − x ) 3x( 9 + x + 9 − x ) 2x ⇔ 32 ( 9 + 9 ) = 32 (6)



⇔ lim



x →0



= 9 ………………..………..(c)



Cara cepat



   3  2× 9 + 0 3x  ×  =  lim  x →0 9 + x − 9 − x  1   1 − (−1) 



 3 2×3 =  × 1 2 =9 7. UN 2010 PAKET B



8   2 − 2  = …. x → 0 x − 2 x − 4 



Nilai dari lim  a. 14 b. 12 c. 2 d. 4 e. ∞ Jawab : b



8  …… samakan penyebut  2 lim  − 2  x → 0 x − 2 x − 4  ⇔ lim 2( x + 2) − 8 x → 0 ( x − 2)( x + 2) x 2 − 4



⇔ lim 2 x + 4 − 8 x→0 ( x − 2)( x + 2) 2x − 4 ⇔ lim ……………....faktorkan x→0 ( x − 2)( x + 2) ⇔ lim



2( x − 2)



x→0 ( x − 2)( x + 2)



=



2 2+2



= 12 ………….……….(b)



200 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL 8. UN 2009 PAKET A/B x+2 Nilai lim adalah … x →−2 5 x + 14 − 2 a. 4 b. 2 c. 1,2 d. 0,8 e. 0,4 Jawab : d



PENYELESAIAN Cara Biasa lim



x+2



x →−2



5 x + 14 − 2



5 x + 14 + 2



×



5 x + 14 + 2



( x + 2)( 5 x + 14 + 2) x →−2 (5 x + 14) − 4



⇔ lim ⇔ lim



x →−2



( x + 2)( 5 x + 14 + 2) ……...faktorkan 5 x + 10



( x + 2)( 5 x + 14 + 2) x →−2 5( x + 2)



⇔ lim



( 5 x + 14 + 2) x → −2 5



⇔ lim ⇔



x→2



x 2 − 5x + 6 x 2 + 2x − 8



a. 2 b. 1 c.



1 3



d.



1 2



e.



− 16



5



=…



x 2 − 5x + 6



( x − 2)( x − 3) x→2 x 2 + 2 x − 8 x →2 ( x − 2)( x + 4) x−3 = lim x→2 x + 4 2−3 = = − 16 …………(e) 2+4 lim



= lim



Cara II. Gunakan dalil l’Hospital



Jawab : e



lim



x →2



x 2 − 5x + 6 x + 2x − 8 2



2x − 5 …….turunkan x →2 2 x + 2



= lim =



x→1



x 2 − 5x + 4 x −1 3



a. 3 b. 2 12 c. 2 d. 1 e. –1 Jawab : e



2( 2) − 5 = − 16 2( 2) + 2



Gunakan dalil l’Hospital



10. UN 2007 PAKET A Nilai lim



4 4+2 = = 0,8…….(d) 5 5



=



Cara Cepat x+2 1 2× 2 4 lim =  × = = 0,8 x →−2 5 x + 14 − 2 1 5 5 Cara I. faktorkan



9. UN 2008 PAKET A/B Nilai dari lim



5(−2) + 14 + 2



=…



lim



x →1



x 2 − 5x + 4 x3 −1



= lim



3x 2 2(1) − 5



x →1



=



2x − 5



…….turunkan



3(1) 2 −3 = = – 1 …………….(e) 3



201 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL 11. UN 2007 PAKET B Nilai lim



x→3



9− x



Cara Biasa



2



4 − x2 + 7



=…



a. 8 b. 4 c.



PENYELESAIAN



x →3



⇔ lim



4 − x2 + 7



⇔ lim



(4 + x 2 + 7 )



×



(4 + x 2 + 7 )



9 − x 2 (4 + x 2 + 7 ) 16 − ( x 2 + 7)



x →3



9 4



d. 1 e. 0 Jawab : a



9 − x2



lim



9 − x 2 (4 + x 2 + 7 ) 9 − x2



x →3



⇔ lim (4 + x 2 + 7 ) = 4 + 32 + 7 x →3



= 4 + 16 = 4 + 4 = 8 ………….(a)



Cara Cepat



 − 2x  2 × 4 = lim  =8 × x →3 1 4 − x 2 + 7 x→3 − 2 x  9 − x2



lim



12. UN 2006



Cara Biasa



4 + 2x − 4 − 2x =… x x →0



4+ 2 x − 4 − 2 x x x→0



lim



Nilai lim a. 4 b. 2 c. 1 d. 0 e. –1 Jawab : c



⇔ lim



x →0



⇔ lim



x →0



⇔ lim



x →0



⇔



×



( 4 + 2 x + 4− 2 x ) ( 4 + 2 x + 4− 2 x )



4 + 2 x − (4 − 2 x) x( 4 + 2 x + 4 − 2 x ) 4x x( 4 + 2 x + 4 − 2 x )



4 4 + 2x + 4 − 2x 4



4 + 2(0) + 4 − 2(0)



= =



4 4+ 4



4 = 1 …………..(c) 2+2



Cara Cepat lim



x →0



4 + 2x − 4 − 2x x



 2 − (−2)  1  =1 ⇔  ×  1 2 × 4 + 2 ⋅ 0  



202 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL



PENYELESAIAN



13. UN 2004



Cara I. faktorkan



 1



6







 1 6   …...samakan penyebut lim  − x → 3 x − 3 x 2 − 9 



 = … − Nilai lim  x → 3 x − 3 x 2 − 9  −1



b.



1 6 1 3



⇔ lim



1 2



⇔ lim



c. d.



x+3







a.



6







 ⇔ lim  − x→3 ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) 



6



x−3 x→3 ( x − 3)( x + 3) 1 1 1 = = ………………… (b) x →3 x + 3 3+3 6



e. 1 Jawab : b



Cara II. Gunakan dalil l’Hospital



 1 6   ….samakan penyebut lim  − x → 3 x − 3 x 2 − 9   x+3



  x→3 x − 9 x −9 x−3 1 ⇔ lim = lim …………….. turunkan 2 x→3 x − 9 x→3 2 x 1 1 = = ……………..(b) 2(3) 6 ⇔ lim 



14. UAN 2003



2



−



6



2



Cara Biasa



Nilai dari lim



x →2



4− x



2



3 − x2 + 5



a. –12 b. –6 c. 0 d. 6 e. 12 Jawab: d



=…



4 − x2



lim



x→2 3 −



⇔ lim



3 + x2 + 5 3 + x2 + 5



(4 − x 2 )3 + x 2 + 5 9 − ( x 2 + 5)



x→2



⇔ lim



x2 + 5



×



(4 − x 2 )(3 + x 2 + 5 ) (4 − x 2 )



x→2



⇔ lim 3 + x 2 + 5 = 6 ………… (d) x→2



Cara Cepat



 − 2x  2 × 3 = =6 × x →2 1  − 2x  3 − x2 + 5 lim



4 − x2



203 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi http://www.soalmatematik.com



B. Limit fungsi trigonometri sin ax ax a 1. lim = lim = x→0 bx x→0 sin bx b ax a tan ax = lim = x→0 bx x→0 tan bx b lim



2.



Catatan Identitas trigonometri yang biasa digunakan a. sin2 x + cos2 x = 1 2 b. 1 – cos A = 2 sin ( 12 A)



1 = csc x sin x 1 = secan x d. cos x c.



e. cos A – cos B = – 2 sin 12 (A + B) ⋅ sin 12 (A – B) f.



cos A sin B = ½{sin(A + B) – sin(A – B)} SOAL



1. UN 2013



PENYELESAIAN 4 sin 2 x 4 sin 2 x ⋅ sin 2 x = lim x → 0 x tan 2 x x →0 x tan 2 x 4⋅2⋅2 = = 8………….(E) 1⋅ 2 2



2



4 sin 2 x =… x → 0 x tan 2 x D. 4 E. 8 Jawab : E



Nilai dari lim A. -8 B. -4 C. 0 2. UN 2013



Nilai dari lim x →3



x tan(2 x − 6) =… sin( x − 3)



lim



lim x →3



x ⋅ 2( x − 3) x →3 ( x − 3)



= lim



A. 0 B.



x tan(2 x − 6) x tan 2( x − 3) = lim x →3 sin( x − 3) sin( x − 3)



 



=3· 2 = 6 ……………………….(E)



C. 2 D. 3 E. 6 Jawab : E 3. UN 2013 1 − cos 4 x 2 x tan 2 x 2



Nilai lim



x →0



A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 E. 14 Jawab : B



sin 2 4 x 1 − cos 2 2 x = lim x →0 x →0 2 x tan 2 x x sin 2 x 4 x ⋅ 4x = lim x →0 2 x ⋅ 2 x = 4 ………………………(B)



lim



204 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL 4. UN 2013



PENYELESAIAN sin 2 2 x 1 − cos 2 x = lim x →0 x → 0 x sin 2 x x sin 2 x 2x ⋅ 2x = lim x →0 x ⋅ 2 x = 2 ………………………(A) 2



1 − cos 2 2 x x →0 x sin 2 x



Nilai lim



A. 4 B. 2 C. 0 D. -2 E. -4 Jawab : A



lim



5. UN 2013 Nilai dari lim x→2



(2 x + 1) tan( x − 2) x2 − 4



(2 x + 1)( x − 2) (2 x + 1) tan( x − 2) = lim 2 x→2 x →2 ( x + 2)( x − 2) x −4



lim



A. 5 B. 2,5 C. 2 D. 1,5 E. 1,25 Jawab : E



2x + 1 x →2 x + 2 2(2) + 1 = 2+2 = 1,25 ……………(E)



= lim



6. UN 2013 Nilai dari lim x →1



sin 2 ( x − 1) =… x 2 − 2x + 1



lim x →1



sin 2 ( x − 1) ( x − 1)( x − 1) = lim 2 x − 2 x + 1 x →1 ( x − 1)( x − 1)



A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. ∞ Jawab : B



= 1…………………(B)



7. UN 2013 ( x 2 − 4) tan( x + 2) x→2 sin 2 ( x + 2)



Nilai dari lim A. -4 B. -3 C. 0 D. 4 E. ∞ Jawab : C



( x 2 − 4) tan( x + 2) x→2 sin 2 ( x + 2)



lim



( x + 2)( x − 2)( x + 2) = 2 – 2 = 0……..(C) x →2 ( x + 2)( x + 2)



⇔ lim



205 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL



PENYELESAIAN



8. UN 2013 1 x 2 Nilai lim =… x →0 x tan x 2 sin 2



 



A. -2



D.



B. -1



E. 1



C.



 − 



1 1 1 x 2⋅ x⋅ x 2 lim = lim 2 2 x →0 x tan x x →0 x⋅x 2 sin 2



=



 



……………(D)



Jawab : D



9. UN 2012/C37 1 − cos 2 x = .... Nilai lim x →0 x tan 2 x A. –2 D. 1 B. –1 E. 2 C. 0 Jawab : D



2 sin x ⋅ sin x 1 − cos 2 x = lim x →0 x →0 x tan 2 x x tan 2 x 2 ⋅1⋅1 = 1⋅ 2 = 1 …………………..(D)



10. UN 2012/D49 cos 4 x − 1 Nilai lim = …. x →0 x tan 2 x A. 4 B. 2 C. – 1 D. – 2 E. – 4 Jawab : E 11. UN 2012/B25 x tan x Nilai lim = ... x →0 1 − cos 2 x



cos 4 x − 1 x →0 x tan 2 x − (1 − cos 4 x) ⇔ lim x →0 x tan 2 x − 2 sin 2 x ⋅ sin 2 x − 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⇔ lim = x →0 x tan 2 x 1⋅ 2 = –4 …….......(E)



A. − 12 B. 0



lim



lim



x tan x x tan x = lim x → 0 x →0 1 − cos 2 x 2 sin x ⋅ sin x 1⋅1 = 2 ⋅1⋅1



lim



= 12 .............................(C)



C. 12 D. 1 E. 2 Jawab : C 12. UN 2011 PAKET 12



 1 − cos 2 x  Nilai lim  = … x→0 2 x sin 2 x  a. 18



d. 12



b. 16



e. 1



c. 14



Jawab : d



 1 − cos 2 x  lim   …………… identitas a. x→0 2 x sin 2 x  2 sin 2 x x→0 2 x sin 2 x



⇔ lim



2 sin x ⋅ sin x 2 ⋅ 1 ⋅ 1 1 = = ………(d) 2⋅2 2 x →0 2 x sin 2 x



⇔ lim



206 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL 13. UN 2011 PAKET 46  1 − cos 2 x  Nilai lim  = … x→0 1 − cos 4 x  a. − 12 b. −



1 d. 16



1 4



e.



c. 0



1 4



Jawab : e



PENYELESAIAN



 1 − cos 2 x  lim   x→0 1 − cos 4 x  2 sin 2 x



⇔ lim



x→0 2 sin 2



2x 2



2



 sin x  1 1 ⇔ lim   =   = ………..…(e) x→0 sin 2 x  2 4



14. UN 2010 PAKET A



 cos 4 x sin 3 x   = …. x → 0 5x 



Nilai dari lim  a. 53



d. 15



b. 1



e. 0



c. 53



Jawab : c



 cos 4 x sin 3x  lim   x →0 5x  ⇔ lim



1 {sin( 4 x + 3x) − sin(4 x − 3x)} 2



x →0



5x



sin 7 x − sin x x →0 10 x



⇔ lim



7 − 1 = 6 = 3 …………….…….(c) ⇔ = 10 10 10 5



15. UN 2010 PAKET B



 sin x + sin 5 x   = …. x → 0 6x 



Nilai dari lim  A. 2



D. 13



B. 1



E. –1



C. 12



Jawab : B



16. UN 2009 PAKET A/B x 2 + 6x + 9 adalah .. x→−3 2 − 2 cos(2 x + 6)



Nilai dari lim a. 3 b. 1 c. d. e.



1 2 1 3 1 4



 sin x + sin 5 x  lim   x → 0 6x  ⇔ 16 + 56 = 66 = 1 ……………………(b)



x 2 + 6x + 9 x→−3 2 − 2 cos(2 x + 6) lim



( x + 3) 2 x →−3 2(1 − cos(2 x + 6))



⇔ lim



1 ( x + 3) 2 × x →−3 2 2 sin 2 ( x + 3)



⇔ lim ⇔ lim



x →−3



1 1 × = 14 ………………….(e) 2 2



Jawab : e



207 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL 17. UN 2007 PAKET A



PENYELESAIAN



2 x sin 3x x → 0 1 − cos 6 x 2 x sin 3 x ⇔ lim x →0 2 sin 2 3 x lim



2 x sin 3x =… x → 0 1 − cos 6 x



Nilai lim a. –1 b. – 1



2 x ⋅ 3x 1 = …..…………..(d) x →0 2 ⋅ 3x ⋅ 3 x 3



⇔ lim



3



c. 0 1 3



d.



e. 1 Jawab : d 18. UN 2007 PAKET B



lim



sin( x − 2)



sin( x − 2) 2



A. – 1



2



D. 



− 3x + 2 sin( x − 2) ⇔ lim x → 2 ( x − 1)( x − 2)



B. – 1



E. 1



⇔ lim



C. 0



Jawab : e



Nilai lim



x→2 x



2



− 3x + 2



x→2 x



=… 



3



x→2



19. UN 2006



Gunakan dalil l’Hospital



cos x − sin π Nilai lim



x → π3



a. – 1



2 b. – 1 3



c.



1 1 = = 1 …………….(e) 2 −1 x −1



π x − 6 2



6



cos x − sin π =…



3



lim



π x − 6 2



x → π3



⇔ lim



x→ π



3



3



6



…………..…..turunkan



− sin x − 0 0 − 12



⇔ lim 2 sin x = 2 sin π3 x → π3



3



= 2 ⋅ 12 3 =



d. –2 3



3 …….…(c)



e. –3 3 Jawab : c 20. UN 2005 Nilai lim



sin 12 x



x → 0 2x (x



2



+ 2 x − 3)



a. –4 b. –3 c. –2 d. 2 e. 6 Jawab : c



lim



=…



sin 12 x



x → 0 2x (x



⇔ lim



2



+ 2 x − 3) 1



×



sin 12 x 2x



x 2 + 2x − 3 1 12 ⇔ lim × 2 x →0 x + 2 x − 3 2 x →0



⇔



1 × 6 = − 13 × 6 = – 2 …………….(c) 0+0−3



208 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL 21. UN 2004



1 − cos 4 x



Nilai lim



x →0



x



2



lim



=…



x2



x →0



2 sin 2 2 x



x2 2 sin 2 x sin 2 x ⇔ lim ⋅ x →0 x x x→0



⇔ 2 · 2 · 2 = 8 ………………….…………(e)



22. UAN 2003



Gunakan dalil l’Hospital



Nilai dari lim x→



π



cos 2 x =… cos x − sin x



4



cos 2 x ………..turunkan x → π4 cos x − sin x



lim



− 2 sin 2 x x → π4 − sin x − cos x



⇔ lim



a. – 2 b. – 12



d.



1 − cos 4 x



⇔ lim



a. –8 b. –4 c. 2 d. 4 e. 8 Jawab : e



2



c. 12



PENYELESAIAN



2



⇔



2



2 sin π2



sin π4 + cos π4



e. 2 2



=



=



23. EBTANAS 2002 1 sin x



lim



2+



1 2



2



=



1 2



2



2 …………..… (d)



2



Jawab: d



x → 14 π



2 ⋅1



− 1



x−



cos x =… 1π 4



Gunakan dalil l’Hospital



lim



1 sin x



−



x−



x → 14 π



1 cos x 1π 4



a. –2 2



⇔ lim



b. – 2 c. 0



csc x − sec x ……………… turunkan x − 14 π



⇔ lim



− csc x ⋅ cot x − sec x ⋅ tan x 1



d.



x→ 1 π 4



x→ 1 π 4



2



⇔ − csc 14 π ⋅ cot 14 π − sec 14 π ⋅ tan 14 π



e. 2 2 Jawab : a 24. EBTANAS 2002



cos x − cos 5x =… x tan 2 x x →0



Nilai dari lim a. b. c. d. e.



–4 –2 4 6 8



Jawab : d



⇔ − 2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 = –2 2 ………………(a)



cos x − cos 5x x tan 2 x x →0 lim



⇔ lim



− 2 sin 12 (6 x) ⋅ sin 12 (−4 x)



x →0



x tan 2 x 2 sin 3x ⋅ sin 2 x ⇔ lim x →0 x tan 2 x 2 ⋅ 3x ⋅ 2 x = 6…………………..(d) ⇔ lim x →0 x ⋅ 2 x



209 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi http://www.soalmatematik.com



C. Limit Mendekati Tak Berhingga 1.



ax n + bx n −1 + ...



lim



+ dx m −1 + ... a a. p = , jika m = n c



x → ∞ cx m



= p , dimana:



b. p = 0, jika n < m c. p = ∞, jika n > m 2.



lim



x →∞



(



)



ax + b ± cx + d = q, dimana:



a. q = ∞, bila a > c b. q = 0, bila a = c c. q = –∞, bila a < c



3.



b−q lim  ax 2 + bx + c − ax 2 + qx + r  = rumus ini dapat dikembangkan lagi menjadi x →∞   2 a bentuk: b − 2 pd i) lim  ax 2 + bx + c − px + d )  = ,………..dengan p2 = a x →∞   2 a 2bc − q ii) lim  bx + c − ax 2 + qx + r  = , …….…… dengan b2 = a x → ∞  2 a SOAL



PENYELESAIAN



1. UN 2013 Nilai dari 5 − 4 x + 3x + 4 − 3x + 3x 2x 2



lim



x →∞



2



A. 0 



B. √3 



Karena derajat pembilang = derajat penyebut, maka gunakan rumus C.1.a lim



x →∞



5 − 4 x + 3x 2 + 4 − 3x + 3x 2 2x 3+ 3 = √3 …………………………(C) 2



⇔



C. √3 D. 2√3 E. ∞ Jawab : C 2. UN 2013 Nilai dari lim ( 4 x 2 − 8 x + 6 − 4 x 2 + 16 x − 3 ) = …



Gunakan rumus C.3 lim ( 4 x 2 − 8 x + 6 − 4 x 2 + 16 x − 3 ) =



x →∞



x →∞



A. –6 B. –4 C. 4 D. 6 E. 10 Jawab : A



⇔



− 8 − 16 2 4



=



b−q 2 a



− 24 = – 6 ……………….(A) 2⋅2



210 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL 3. UN 2013 Nilai dari lim ( 4 x 2 + 3 x + 4 − 2 x + 1) = … x →∞



A.



" − 



B. 0



PENYELESAIAN Gunakan rumus C.3.i) b − 2 pd lim ( 4 x 2 + 3 x + 4 − 2 x + 1) = x →∞ 2 a 3 − 2(−2)(1) 3 + 4 7 ⇔ = = ……………….(D) 2⋅2 4 2 4







C.  D.



" 



E. ∞ Jawab : D 4. UN 2013



Gunakan rumus C.3.i)



Nilai dari lim ( 25 x 2 − 9 x − 16 − 5 x + 3) = … x →∞



#



A. − $



lim ( 25 x 2 − 9 x − 16 − 5 x + 3) =



x →∞



⇔



#



− 9 − 2(−5)(3)



=



2 25



B. − $



b − 2 pd 2 a



− 9 + 30 21 = …………(C) 2⋅5 10







C. $ #



D. $ E. ∞ Jawab : C 5. UN 2013



Gunakan rumus C.3.i)



Nilai dari lim ( 4 x 2 − 8 x + 3 − 2 x − 4) = … x→∞



A. –8 B. –6 C. 2 D. 6 E. 8 Jawab : B 6. UN 2013 Nilai lim ( 9 x 2 − 6 x − 1 − (3x + 1)) = … x →∞



A. –2 B. –1 C. 0 D. 1 E. 2 Jawab : A



lim ( 4 x 2 − 8 x + 3 − 2 x − 4) =



x→∞



⇔



− 8 − 2(−2)(−4)



=



2 4



b − 2 pd 2 a



− 8 − 16 = – 6 ………(B) 2⋅2



Gunakan rumus C.3.i) lim ( 9 x 2 − 6 x − 1 − (3x + 1)) =



x →∞



⇔



− 6 − 2(−3)(−1) 2 9



=



b − 2 pd 2 a



−6−6 = – 2 ………(A) 2⋅3



211 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL 7. UN 2013 Nilai dari lim (( 2 x − 1) − 4 x 2 − 6 x − 5 ) = … x→∞



A. 4 B. 2



PENYELESAIAN Gunakan rumus C.3.ii) 2bc − q lim (( 2 x − 1) − 4 x 2 − 6 x − 5 ) = x→∞ 2 a 2(2)(−1) − (−6) − 4 + 6 1 ⇔ = = …………(D) 2⋅2 2 2 4



C. 1 



D.  



E.  Jawab : D 8. UN 2009 PAKET A/B Nilai lim



x →∞



Soal ini bisa langsung dijawab tanpa perlu dihitung terlebih dahulu.



5x + 4 − 3x + 9 ) =… 4x



Gunakan rumus C.2) Karena derajat pembilang < derajat penyebut, maka:



a. 0 1 2



b.



c. 1 d. 2 e. 4 Jawab : a 9. UN 2005 Nilai lim



x →∞



lim



x →∞



(



Gunakan rumus C.3.i)



)



( x →∞



x(4 x + 5) − 2 x + 1 = …



lim



D.



B. 14



E. ∞



C. 12



Jawab : D



)



x(4 x + 5) − 2 x + 1 =



b − 2 pd



2 a 5 − 2(−2)(1) 5 + 4 9 ⇔ = = …………(D) 2⋅2 4 2 4



9 4



A. 0



5x + 4 − 3x + 9 ) = 0 ……….(a) 4x



10. UAN 2003



Gunakan rumus C.3.ii)



Nilai lim  ( 2 x + 1) − 4 x 2 − 3x + 6  =



  2bc − q 2 lim  ( 2 x + 1) − 4 x − 3x + 6  =  2 a x →∞ 



…



⇔



x →∞ 



a.



3 4







2(2)(1) − (−3) 2 4



=



4+3 7 = ………(C) 2⋅2 4



b. 1 c.



7 4



d. 2 e.



5 2



Jawab : c



212 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN



SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi http://www.soalmatematik.com



SOAL 11. EBTANAS 2002 Nilai lim ( x − x 2 − 5x ) = … x →∞



a. 0 b. 0,5 c. 2 d. 2,5 e. 5 Jawab : d



PENYELESAIAN Gunakan rumus C.3.ii) 2bc − q 2 lim ( x − x − 5x ) = 2 a x →∞ ⇔



2(1)(0) − (−5) 2 1



=



0+5 = 2,5………(D) 2



213 Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN