Distribusi Statistika Terurut [PDF]

Citation preview

Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Distribusi Statistika Terurut bagian pertama



Andi Kresna Jaya [email protected] Jurusan Matematika



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Outline



1



Pendahuluan



2



Review Peluang



3



Statistika Inferensi



Back



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Outline



1



Pendahuluan



2



Review Peluang



3



Statistika Inferensi



Back



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Outline



1



Pendahuluan



2



Review Peluang



3



Statistika Inferensi



Back



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Sasaran pembelajaran: Kemampuan mahasiswa memahami konsep statistika terurut 1



2 3



Kemampuan memahami konsep peluang, peubah acak, sampel, dan statistik Ketepatan dalam penjelasan definisi statistika terurut Ketepatan dalam menentukan fkp marginal dari statistik terurut



Metode: Kuliah dan Diskusi Text book: Hogg dan Craig, Introduction to Mathematical Statistics; Casella dan Berger, Statistical Inference



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Opening 1



Jumlah sekawanan angsa liar adalah sepuluh kali akar jumlah angsa liar yang terbang dari danau menuju awan; 18 bagian lainnya terbang menuju hutan; dan masih tersisa 3 pasang lain sedang bercengkrama di air; berdekatan dengan ranting-ranting bunga teratai. Misalkan √ x adalah jumlah seluruh angsa, maka x = 10 x + 18 x + 6.



2



Jumlah lebah dalam suatu sarang adalah akar setengah jumlah lebah yang pergi untuk mengisap madu dari bunga melati; sedang yang lain 89 dari jumlah lebah sedang beterbangan; dan yang masih tersisa adalah seekor lebah betina di sarang dan seekor lebah pekerja di atas putik bunga. Berapa jumlah lebah dalam sarang tersebut? Misalkan y adalah jumlah lebah, maka y =



Andi Kresna Jaya [email protected]



py



Distribusi Statistika Terurut



2



+ 98 y + 1 + 1



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Opening 1



Jumlah sekawanan angsa liar adalah sepuluh kali akar jumlah angsa liar yang terbang dari danau menuju awan; 18 bagian lainnya terbang menuju hutan; dan masih tersisa 3 pasang lain sedang bercengkrama di air; berdekatan dengan ranting-ranting bunga teratai. Misalkan √ x adalah jumlah seluruh angsa, maka x = 10 x + 18 x + 6.



2



Jumlah lebah dalam suatu sarang adalah akar setengah jumlah lebah yang pergi untuk mengisap madu dari bunga melati; sedang yang lain 89 dari jumlah lebah sedang beterbangan; dan yang masih tersisa adalah seekor lebah betina di sarang dan seekor lebah pekerja di atas putik bunga. Berapa jumlah lebah dalam sarang tersebut? Misalkan y adalah jumlah lebah, maka y =



Andi Kresna Jaya [email protected]



py



Distribusi Statistika Terurut



2



+ 98 y + 1 + 1



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Opening 1



Jumlah sekawanan angsa liar adalah sepuluh kali akar jumlah angsa liar yang terbang dari danau menuju awan; 18 bagian lainnya terbang menuju hutan; dan masih tersisa 3 pasang lain sedang bercengkrama di air; berdekatan dengan ranting-ranting bunga teratai. Misalkan √ x adalah jumlah seluruh angsa, maka x = 10 x + 18 x + 6.



2



Jumlah lebah dalam suatu sarang adalah akar setengah jumlah lebah yang pergi untuk mengisap madu dari bunga melati; sedang yang lain 89 dari jumlah lebah sedang beterbangan; dan yang masih tersisa adalah seekor lebah betina di sarang dan seekor lebah pekerja di atas putik bunga. Berapa jumlah lebah dalam sarang tersebut? Misalkan y adalah jumlah lebah, maka y =



Andi Kresna Jaya [email protected]



py



Distribusi Statistika Terurut



2



+ 98 y + 1 + 1



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Opening 1



Jumlah sekawanan angsa liar adalah sepuluh kali akar jumlah angsa liar yang terbang dari danau menuju awan; 18 bagian lainnya terbang menuju hutan; dan masih tersisa 3 pasang lain sedang bercengkrama di air; berdekatan dengan ranting-ranting bunga teratai. Misalkan √ x adalah jumlah seluruh angsa, maka x = 10 x + 18 x + 6.



2



Jumlah lebah dalam suatu sarang adalah akar setengah jumlah lebah yang pergi untuk mengisap madu dari bunga melati; sedang yang lain 89 dari jumlah lebah sedang beterbangan; dan yang masih tersisa adalah seekor lebah betina di sarang dan seekor lebah pekerja di atas putik bunga. Berapa jumlah lebah dalam sarang tersebut? Misalkan y adalah jumlah lebah, maka y =



Andi Kresna Jaya [email protected]



py



Distribusi Statistika Terurut



2



+ 98 y + 1 + 1



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Definisi 1: Jika p = P(E ) adalah peluang kejadian E dari ruang sampel B, maka berlaku 1 2



3



P(E ) tak negatif P(E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En ) = P(E1 ) + P(E2 ) + · · · + P(En ), dengan Ei ∩ Ej = ∅, i 6= j P(B) = 1.



Definisi 2: Misalkan sebuah eksperimen acak dengan ruang sampel B, sebuah fungsi X disebut peubah acak jika X memetakan setiap unsur c ∈ B ke satu dan hanya satu unsur bilangan riil X (c) = x. Ruang peta X dinyatakan dengan A = {x|x = X (c), c ∈ B}. Misalkan f (x) sebuah P fungsi sehingga berlaku f (x) > 0, x ∈ A, dan A f (x) = 1. Peluang sebagai fungsi himpunan A ⊂ A dapat diekspresikan sebagai bentuk dari f (x) oleh bentuk Z X P(A) = p(x ∈ A) = f (x) atau P(A) = p(x ∈ A) = f (x)dx. A



A Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Definisi 1: Jika p = P(E ) adalah peluang kejadian E dari ruang sampel B, maka berlaku 1 2



3



P(E ) tak negatif P(E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En ) = P(E1 ) + P(E2 ) + · · · + P(En ), dengan Ei ∩ Ej = ∅, i 6= j P(B) = 1.



Definisi 2: Misalkan sebuah eksperimen acak dengan ruang sampel B, sebuah fungsi X disebut peubah acak jika X memetakan setiap unsur c ∈ B ke satu dan hanya satu unsur bilangan riil X (c) = x. Ruang peta X dinyatakan dengan A = {x|x = X (c), c ∈ B}. Misalkan f (x) sebuah P fungsi sehingga berlaku f (x) > 0, x ∈ A, dan A f (x) = 1. Peluang sebagai fungsi himpunan A ⊂ A dapat diekspresikan sebagai bentuk dari f (x) oleh bentuk Z X P(A) = p(x ∈ A) = f (x) atau P(A) = p(x ∈ A) = f (x)dx. A



A Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Definisi 1: Jika p = P(E ) adalah peluang kejadian E dari ruang sampel B, maka berlaku 1 2



3



P(E ) tak negatif P(E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En ) = P(E1 ) + P(E2 ) + · · · + P(En ), dengan Ei ∩ Ej = ∅, i 6= j P(B) = 1.



Definisi 2: Misalkan sebuah eksperimen acak dengan ruang sampel B, sebuah fungsi X disebut peubah acak jika X memetakan setiap unsur c ∈ B ke satu dan hanya satu unsur bilangan riil X (c) = x. Ruang peta X dinyatakan dengan A = {x|x = X (c), c ∈ B}. Misalkan f (x) sebuah P fungsi sehingga berlaku f (x) > 0, x ∈ A, dan A f (x) = 1. Peluang sebagai fungsi himpunan A ⊂ A dapat diekspresikan sebagai bentuk dari f (x) oleh bentuk Z X P(A) = p(x ∈ A) = f (x) atau P(A) = p(x ∈ A) = f (x)dx. A



A Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Definisi 1: Jika p = P(E ) adalah peluang kejadian E dari ruang sampel B, maka berlaku 1 2



3



P(E ) tak negatif P(E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En ) = P(E1 ) + P(E2 ) + · · · + P(En ), dengan Ei ∩ Ej = ∅, i 6= j P(B) = 1.



Definisi 2: Misalkan sebuah eksperimen acak dengan ruang sampel B, sebuah fungsi X disebut peubah acak jika X memetakan setiap unsur c ∈ B ke satu dan hanya satu unsur bilangan riil X (c) = x. Ruang peta X dinyatakan dengan A = {x|x = X (c), c ∈ B}. Misalkan f (x) sebuah P fungsi sehingga berlaku f (x) > 0, x ∈ A, dan A f (x) = 1. Peluang sebagai fungsi himpunan A ⊂ A dapat diekspresikan sebagai bentuk dari f (x) oleh bentuk Z X P(A) = p(x ∈ A) = f (x) atau P(A) = p(x ∈ A) = f (x)dx. A



A Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Definisi 1: Jika p = P(E ) adalah peluang kejadian E dari ruang sampel B, maka berlaku 1 2



3



P(E ) tak negatif P(E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En ) = P(E1 ) + P(E2 ) + · · · + P(En ), dengan Ei ∩ Ej = ∅, i 6= j P(B) = 1.



Definisi 2: Misalkan sebuah eksperimen acak dengan ruang sampel B, sebuah fungsi X disebut peubah acak jika X memetakan setiap unsur c ∈ B ke satu dan hanya satu unsur bilangan riil X (c) = x. Ruang peta X dinyatakan dengan A = {x|x = X (c), c ∈ B}. Misalkan f (x) sebuah P fungsi sehingga berlaku f (x) > 0, x ∈ A, dan A f (x) = 1. Peluang sebagai fungsi himpunan A ⊂ A dapat diekspresikan sebagai bentuk dari f (x) oleh bentuk Z X P(A) = p(x ∈ A) = f (x) atau P(A) = p(x ∈ A) = f (x)dx. A



A Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Definisi 1: Jika p = P(E ) adalah peluang kejadian E dari ruang sampel B, maka berlaku 1 2



3



P(E ) tak negatif P(E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En ) = P(E1 ) + P(E2 ) + · · · + P(En ), dengan Ei ∩ Ej = ∅, i 6= j P(B) = 1.



Definisi 2: Misalkan sebuah eksperimen acak dengan ruang sampel B, sebuah fungsi X disebut peubah acak jika X memetakan setiap unsur c ∈ B ke satu dan hanya satu unsur bilangan riil X (c) = x. Ruang peta X dinyatakan dengan A = {x|x = X (c), c ∈ B}. Misalkan f (x) sebuah P fungsi sehingga berlaku f (x) > 0, x ∈ A, dan A f (x) = 1. Peluang sebagai fungsi himpunan A ⊂ A dapat diekspresikan sebagai bentuk dari f (x) oleh bentuk Z X P(A) = p(x ∈ A) = f (x) atau P(A) = p(x ∈ A) = f (x)dx. A



A Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Definisi 1: Jika p = P(E ) adalah peluang kejadian E dari ruang sampel B, maka berlaku 1 2



3



P(E ) tak negatif P(E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En ) = P(E1 ) + P(E2 ) + · · · + P(En ), dengan Ei ∩ Ej = ∅, i 6= j P(B) = 1.



Definisi 2: Misalkan sebuah eksperimen acak dengan ruang sampel B, sebuah fungsi X disebut peubah acak jika X memetakan setiap unsur c ∈ B ke satu dan hanya satu unsur bilangan riil X (c) = x. Ruang peta X dinyatakan dengan A = {x|x = X (c), c ∈ B}. Misalkan f (x) sebuah P fungsi sehingga berlaku f (x) > 0, x ∈ A, dan A f (x) = 1. Peluang sebagai fungsi himpunan A ⊂ A dapat diekspresikan sebagai bentuk dari f (x) oleh bentuk Z X P(A) = p(x ∈ A) = f (x) atau P(A) = p(x ∈ A) = f (x)dx. A



A Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Fungsi distribusi peluang untuk peubah acak X dinyatakan oleh F (x) = P(X ≤ x), dengan sifat-sifat: 1 2 3



4



0 ≤ F (x) ≤ 1 F (x) monoton tak turun F (y ) = 0 untuk setiap titik y yang lebih kecil dari nilai terkecil pada ruang X F (z) = 1 untuk setiap titik z yang lebih besar dari nilai terbesar pada ruang X .



Fungsi distribusi F (x) = P(X ≤ x) adalah peluang kumulatif untuk semua nilai yang lebih kecil atau sama dengan x P F (x) = R w ≤x f (w ) , diskrit x F (x) = −∞ f (w )dw , kontinu



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Fungsi distribusi peluang untuk peubah acak X dinyatakan oleh F (x) = P(X ≤ x), dengan sifat-sifat: 1 2 3



4



0 ≤ F (x) ≤ 1 F (x) monoton tak turun F (y ) = 0 untuk setiap titik y yang lebih kecil dari nilai terkecil pada ruang X F (z) = 1 untuk setiap titik z yang lebih besar dari nilai terbesar pada ruang X .



Fungsi distribusi F (x) = P(X ≤ x) adalah peluang kumulatif untuk semua nilai yang lebih kecil atau sama dengan x P F (x) = R w ≤x f (w ) , diskrit x F (x) = −∞ f (w )dw , kontinu



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Fungsi distribusi peluang untuk peubah acak X dinyatakan oleh F (x) = P(X ≤ x), dengan sifat-sifat: 1 2 3



4



0 ≤ F (x) ≤ 1 F (x) monoton tak turun F (y ) = 0 untuk setiap titik y yang lebih kecil dari nilai terkecil pada ruang X F (z) = 1 untuk setiap titik z yang lebih besar dari nilai terbesar pada ruang X .



Fungsi distribusi F (x) = P(X ≤ x) adalah peluang kumulatif untuk semua nilai yang lebih kecil atau sama dengan x P F (x) = R w ≤x f (w ) , diskrit x F (x) = −∞ f (w )dw , kontinu



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Fungsi distribusi peluang untuk peubah acak X dinyatakan oleh F (x) = P(X ≤ x), dengan sifat-sifat: 1 2 3



4



0 ≤ F (x) ≤ 1 F (x) monoton tak turun F (y ) = 0 untuk setiap titik y yang lebih kecil dari nilai terkecil pada ruang X F (z) = 1 untuk setiap titik z yang lebih besar dari nilai terbesar pada ruang X .



Fungsi distribusi F (x) = P(X ≤ x) adalah peluang kumulatif untuk semua nilai yang lebih kecil atau sama dengan x P F (x) = R w ≤x f (w ) , diskrit x F (x) = −∞ f (w )dw , kontinu



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Fungsi distribusi peluang untuk peubah acak X dinyatakan oleh F (x) = P(X ≤ x), dengan sifat-sifat: 1 2 3



4



0 ≤ F (x) ≤ 1 F (x) monoton tak turun F (y ) = 0 untuk setiap titik y yang lebih kecil dari nilai terkecil pada ruang X F (z) = 1 untuk setiap titik z yang lebih besar dari nilai terbesar pada ruang X .



Fungsi distribusi F (x) = P(X ≤ x) adalah peluang kumulatif untuk semua nilai yang lebih kecil atau sama dengan x P F (x) = R w ≤x f (w ) , diskrit x F (x) = −∞ f (w )dw , kontinu



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Fungsi distribusi peluang untuk peubah acak X dinyatakan oleh F (x) = P(X ≤ x), dengan sifat-sifat: 1 2 3



4



0 ≤ F (x) ≤ 1 F (x) monoton tak turun F (y ) = 0 untuk setiap titik y yang lebih kecil dari nilai terkecil pada ruang X F (z) = 1 untuk setiap titik z yang lebih besar dari nilai terbesar pada ruang X .



Fungsi distribusi F (x) = P(X ≤ x) adalah peluang kumulatif untuk semua nilai yang lebih kecil atau sama dengan x P F (x) = R w ≤x f (w ) , diskrit x F (x) = −∞ f (w )dw , kontinu



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Definisi 3: Misalkan X adalah peubah acak kontinu. Jika X mempunyai fkp f (x) dan berlaku Z ∞ |x|f (x)dx < ∞ −∞



maka ekspektasi dari X adalah Z ∞ E (X ) = xf (x)dx. −∞



Demikian pula berlaku untuk X peubah acak diskrit. Jika X mempunyai fmp p(x) dan berlaku X |x|p(x) < ∞ x



maka ekspektasi dari X adalah X E (X ) = xp(x) < ∞. x Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Definisi 3: Misalkan X adalah peubah acak kontinu. Jika X mempunyai fkp f (x) dan berlaku Z ∞ |x|f (x)dx < ∞ −∞



maka ekspektasi dari X adalah Z ∞ E (X ) = xf (x)dx. −∞



Demikian pula berlaku untuk X peubah acak diskrit. Jika X mempunyai fmp p(x) dan berlaku X |x|p(x) < ∞ x



maka ekspektasi dari X adalah X E (X ) = xp(x) < ∞. x Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Definisi 3: Misalkan X adalah peubah acak kontinu. Jika X mempunyai fkp f (x) dan berlaku Z ∞ |x|f (x)dx < ∞ −∞



maka ekspektasi dari X adalah Z ∞ E (X ) = xf (x)dx. −∞



Demikian pula berlaku untuk X peubah acak diskrit. Jika X mempunyai fmp p(x) dan berlaku X |x|p(x) < ∞ x



maka ekspektasi dari X adalah X E (X ) = xp(x) < ∞. x Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Definisi 3: Misalkan X adalah peubah acak kontinu. Jika X mempunyai fkp f (x) dan berlaku Z ∞ |x|f (x)dx < ∞ −∞



maka ekspektasi dari X adalah Z ∞ E (X ) = xf (x)dx. −∞



Demikian pula berlaku untuk X peubah acak diskrit. Jika X mempunyai fmp p(x) dan berlaku X |x|p(x) < ∞ x



maka ekspektasi dari X adalah X E (X ) = xp(x) < ∞. x Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Teorema 1: Misalkan X adalah peubah acak dan misalkan Y = g (X ) untuk suatu fungsi g . 1



R∞ Jika X kontinu dengan fkp fX (x), −∞ |g (x)|fX (x)dx nilainya ada, maka ekspektasi dari Y ada dan diberikan oleh bentuk Z ∞ E (Y ) = g (x)fX (x)dx −∞



2



P Jika X diskrit dengan fmp pX (x), x |g (x)|pX (x) nilainya ada, maka ekspektasi dari Y ada dan diberikan oleh bentuk X E (Y ) = g (x)pX (x) x



Teorema 2: E [k1 g1 (X ) + k2 g2 (X )] = k1 E [g1 (X )] + k2 E [g2 (X )]



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Teorema 1: Misalkan X adalah peubah acak dan misalkan Y = g (X ) untuk suatu fungsi g . 1



R∞ Jika X kontinu dengan fkp fX (x), −∞ |g (x)|fX (x)dx nilainya ada, maka ekspektasi dari Y ada dan diberikan oleh bentuk Z ∞ E (Y ) = g (x)fX (x)dx −∞



2



P Jika X diskrit dengan fmp pX (x), x |g (x)|pX (x) nilainya ada, maka ekspektasi dari Y ada dan diberikan oleh bentuk X E (Y ) = g (x)pX (x) x



Teorema 2: E [k1 g1 (X ) + k2 g2 (X )] = k1 E [g1 (X )] + k2 E [g2 (X )]



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Teorema 1: Misalkan X adalah peubah acak dan misalkan Y = g (X ) untuk suatu fungsi g . 1



R∞ Jika X kontinu dengan fkp fX (x), −∞ |g (x)|fX (x)dx nilainya ada, maka ekspektasi dari Y ada dan diberikan oleh bentuk Z ∞ E (Y ) = g (x)fX (x)dx −∞



2



P Jika X diskrit dengan fmp pX (x), x |g (x)|pX (x) nilainya ada, maka ekspektasi dari Y ada dan diberikan oleh bentuk X E (Y ) = g (x)pX (x) x



Teorema 2: E [k1 g1 (X ) + k2 g2 (X )] = k1 E [g1 (X )] + k2 E [g2 (X )]



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Teorema 1: Misalkan X adalah peubah acak dan misalkan Y = g (X ) untuk suatu fungsi g . 1



R∞ Jika X kontinu dengan fkp fX (x), −∞ |g (x)|fX (x)dx nilainya ada, maka ekspektasi dari Y ada dan diberikan oleh bentuk Z ∞ E (Y ) = g (x)fX (x)dx −∞



2



P Jika X diskrit dengan fmp pX (x), x |g (x)|pX (x) nilainya ada, maka ekspektasi dari Y ada dan diberikan oleh bentuk X E (Y ) = g (x)pX (x) x



Teorema 2: E [k1 g1 (X ) + k2 g2 (X )] = k1 E [g1 (X )] + k2 E [g2 (X )]



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Misalkan X adalah sebuah peubah acak yang fkp(fmp) adalah f (x; θ), dengan θ dapat berupa sebuah bilangan real atau vektor real.Misalkan θ ∈ Ω ⊂ RP untuk p ≤ 1. Contoh: θ adalah vektor (µ, σ 2 ) untuk X yang berdistribusi N(µ, σ 2 ). Untuk X yang berdistribusi binomial, θ adalah p, peluang sukses. Jika θ tidak diketahui, informasi tentang θ dapat diperoleh dari sampel acak X1 , X2 , · · · , Xn . Dikatakan sampel acak artinya X1 , X2 , · · · , Xn adalah peubah-peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi peluang yang sama (iid). Sebuah statistik Y adalah sebuah fungsi dari sampel; dkl Y = Y (X1 , X2 , · · · , Xn ). Dalam banyak kasus di statistika inferensi, Y adalah (fungsi) penaksir titik untuk θ. Contoh: Misalkan X berdistribusi Bernoulli dengan parameter θ adalah peluang suksesnya. Statistik Y = X , proporsi sukses dalam sampel adalah penaksir titik untuk θ. Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Misalkan X adalah sebuah peubah acak yang fkp(fmp) adalah f (x; θ), dengan θ dapat berupa sebuah bilangan real atau vektor real.Misalkan θ ∈ Ω ⊂ RP untuk p ≤ 1. Contoh: θ adalah vektor (µ, σ 2 ) untuk X yang berdistribusi N(µ, σ 2 ). Untuk X yang berdistribusi binomial, θ adalah p, peluang sukses. Jika θ tidak diketahui, informasi tentang θ dapat diperoleh dari sampel acak X1 , X2 , · · · , Xn . Dikatakan sampel acak artinya X1 , X2 , · · · , Xn adalah peubah-peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi peluang yang sama (iid). Sebuah statistik Y adalah sebuah fungsi dari sampel; dkl Y = Y (X1 , X2 , · · · , Xn ). Dalam banyak kasus di statistika inferensi, Y adalah (fungsi) penaksir titik untuk θ. Contoh: Misalkan X berdistribusi Bernoulli dengan parameter θ adalah peluang suksesnya. Statistik Y = X , proporsi sukses dalam sampel adalah penaksir titik untuk θ. Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Misalkan X adalah sebuah peubah acak yang fkp(fmp) adalah f (x; θ), dengan θ dapat berupa sebuah bilangan real atau vektor real.Misalkan θ ∈ Ω ⊂ RP untuk p ≤ 1. Contoh: θ adalah vektor (µ, σ 2 ) untuk X yang berdistribusi N(µ, σ 2 ). Untuk X yang berdistribusi binomial, θ adalah p, peluang sukses. Jika θ tidak diketahui, informasi tentang θ dapat diperoleh dari sampel acak X1 , X2 , · · · , Xn . Dikatakan sampel acak artinya X1 , X2 , · · · , Xn adalah peubah-peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi peluang yang sama (iid). Sebuah statistik Y adalah sebuah fungsi dari sampel; dkl Y = Y (X1 , X2 , · · · , Xn ). Dalam banyak kasus di statistika inferensi, Y adalah (fungsi) penaksir titik untuk θ. Contoh: Misalkan X berdistribusi Bernoulli dengan parameter θ adalah peluang suksesnya. Statistik Y = X , proporsi sukses dalam sampel adalah penaksir titik untuk θ. Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Misalkan X adalah sebuah peubah acak yang fkp(fmp) adalah f (x; θ), dengan θ dapat berupa sebuah bilangan real atau vektor real.Misalkan θ ∈ Ω ⊂ RP untuk p ≤ 1. Contoh: θ adalah vektor (µ, σ 2 ) untuk X yang berdistribusi N(µ, σ 2 ). Untuk X yang berdistribusi binomial, θ adalah p, peluang sukses. Jika θ tidak diketahui, informasi tentang θ dapat diperoleh dari sampel acak X1 , X2 , · · · , Xn . Dikatakan sampel acak artinya X1 , X2 , · · · , Xn adalah peubah-peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi peluang yang sama (iid). Sebuah statistik Y adalah sebuah fungsi dari sampel; dkl Y = Y (X1 , X2 , · · · , Xn ). Dalam banyak kasus di statistika inferensi, Y adalah (fungsi) penaksir titik untuk θ. Contoh: Misalkan X berdistribusi Bernoulli dengan parameter θ adalah peluang suksesnya. Statistik Y = X , proporsi sukses dalam sampel adalah penaksir titik untuk θ. Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Misalkan X adalah sebuah peubah acak yang fkp(fmp) adalah f (x; θ), dengan θ dapat berupa sebuah bilangan real atau vektor real.Misalkan θ ∈ Ω ⊂ RP untuk p ≤ 1. Contoh: θ adalah vektor (µ, σ 2 ) untuk X yang berdistribusi N(µ, σ 2 ). Untuk X yang berdistribusi binomial, θ adalah p, peluang sukses. Jika θ tidak diketahui, informasi tentang θ dapat diperoleh dari sampel acak X1 , X2 , · · · , Xn . Dikatakan sampel acak artinya X1 , X2 , · · · , Xn adalah peubah-peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi peluang yang sama (iid). Sebuah statistik Y adalah sebuah fungsi dari sampel; dkl Y = Y (X1 , X2 , · · · , Xn ). Dalam banyak kasus di statistika inferensi, Y adalah (fungsi) penaksir titik untuk θ. Contoh: Misalkan X berdistribusi Bernoulli dengan parameter θ adalah peluang suksesnya. Statistik Y = X , proporsi sukses dalam sampel adalah penaksir titik untuk θ. Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Untuk sebuah peubah acak X yang kemudian diambil sampel acak beberapa hal yang menjadi permasalahan adalah 1



2



fkp (f (x)) atau fmp (p(x)) tidak diketahui secara lengkap (tidak ada asumsi distribusi untuk X ). Bentuk fkp atau fmp diketahui tetapi parameter θ tidak diketahui, dimana θ mungkin berupa vektor parameter.



Contoh: 1 2



3



X berdistribusi eksponential, Exp(θ), dengan θ tidak diketahui; X berdistribusi binomial, b(n, p), dengan n diketahui tapi p tidak diketahui; X berdistribusi gamma, Γ(α, β), dengan α dan β tak diketahui.



Untuk permasalahan di atas, fkp atau fmp untuk X akan dinyatakan dalam bentuk f (x; θ) atau p(x; θ), dengan θ ∈ Ω. Perhatikan contoh 1, Ruang parameternya adalah Ω = {θ|θ > 0}, parameter distribusi, θ ini tidak diketahui, sehingga kita akan mengestimasinya.



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Untuk sebuah peubah acak X yang kemudian diambil sampel acak beberapa hal yang menjadi permasalahan adalah 1



2



fkp (f (x)) atau fmp (p(x)) tidak diketahui secara lengkap (tidak ada asumsi distribusi untuk X ). Bentuk fkp atau fmp diketahui tetapi parameter θ tidak diketahui, dimana θ mungkin berupa vektor parameter.



Contoh: 1 2



3



X berdistribusi eksponential, Exp(θ), dengan θ tidak diketahui; X berdistribusi binomial, b(n, p), dengan n diketahui tapi p tidak diketahui; X berdistribusi gamma, Γ(α, β), dengan α dan β tak diketahui.



Untuk permasalahan di atas, fkp atau fmp untuk X akan dinyatakan dalam bentuk f (x; θ) atau p(x; θ), dengan θ ∈ Ω. Perhatikan contoh 1, Ruang parameternya adalah Ω = {θ|θ > 0}, parameter distribusi, θ ini tidak diketahui, sehingga kita akan mengestimasinya.



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Untuk sebuah peubah acak X yang kemudian diambil sampel acak beberapa hal yang menjadi permasalahan adalah 1



2



fkp (f (x)) atau fmp (p(x)) tidak diketahui secara lengkap (tidak ada asumsi distribusi untuk X ). Bentuk fkp atau fmp diketahui tetapi parameter θ tidak diketahui, dimana θ mungkin berupa vektor parameter.



Contoh: 1 2



3



X berdistribusi eksponential, Exp(θ), dengan θ tidak diketahui; X berdistribusi binomial, b(n, p), dengan n diketahui tapi p tidak diketahui; X berdistribusi gamma, Γ(α, β), dengan α dan β tak diketahui.



Untuk permasalahan di atas, fkp atau fmp untuk X akan dinyatakan dalam bentuk f (x; θ) atau p(x; θ), dengan θ ∈ Ω. Perhatikan contoh 1, Ruang parameternya adalah Ω = {θ|θ > 0}, parameter distribusi, θ ini tidak diketahui, sehingga kita akan mengestimasinya.



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Untuk sebuah peubah acak X yang kemudian diambil sampel acak beberapa hal yang menjadi permasalahan adalah 1



2



fkp (f (x)) atau fmp (p(x)) tidak diketahui secara lengkap (tidak ada asumsi distribusi untuk X ). Bentuk fkp atau fmp diketahui tetapi parameter θ tidak diketahui, dimana θ mungkin berupa vektor parameter.



Contoh: 1 2



3



X berdistribusi eksponential, Exp(θ), dengan θ tidak diketahui; X berdistribusi binomial, b(n, p), dengan n diketahui tapi p tidak diketahui; X berdistribusi gamma, Γ(α, β), dengan α dan β tak diketahui.



Untuk permasalahan di atas, fkp atau fmp untuk X akan dinyatakan dalam bentuk f (x; θ) atau p(x; θ), dengan θ ∈ Ω. Perhatikan contoh 1, Ruang parameternya adalah Ω = {θ|θ > 0}, parameter distribusi, θ ini tidak diketahui, sehingga kita akan mengestimasinya.



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Untuk sebuah peubah acak X yang kemudian diambil sampel acak beberapa hal yang menjadi permasalahan adalah 1



2



fkp (f (x)) atau fmp (p(x)) tidak diketahui secara lengkap (tidak ada asumsi distribusi untuk X ). Bentuk fkp atau fmp diketahui tetapi parameter θ tidak diketahui, dimana θ mungkin berupa vektor parameter.



Contoh: 1 2



3



X berdistribusi eksponential, Exp(θ), dengan θ tidak diketahui; X berdistribusi binomial, b(n, p), dengan n diketahui tapi p tidak diketahui; X berdistribusi gamma, Γ(α, β), dengan α dan β tak diketahui.



Untuk permasalahan di atas, fkp atau fmp untuk X akan dinyatakan dalam bentuk f (x; θ) atau p(x; θ), dengan θ ∈ Ω. Perhatikan contoh 1, Ruang parameternya adalah Ω = {θ|θ > 0}, parameter distribusi, θ ini tidak diketahui, sehingga kita akan mengestimasinya.



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Untuk sebuah peubah acak X yang kemudian diambil sampel acak beberapa hal yang menjadi permasalahan adalah 1



2



fkp (f (x)) atau fmp (p(x)) tidak diketahui secara lengkap (tidak ada asumsi distribusi untuk X ). Bentuk fkp atau fmp diketahui tetapi parameter θ tidak diketahui, dimana θ mungkin berupa vektor parameter.



Contoh: 1 2



3



X berdistribusi eksponential, Exp(θ), dengan θ tidak diketahui; X berdistribusi binomial, b(n, p), dengan n diketahui tapi p tidak diketahui; X berdistribusi gamma, Γ(α, β), dengan α dan β tak diketahui.



Untuk permasalahan di atas, fkp atau fmp untuk X akan dinyatakan dalam bentuk f (x; θ) atau p(x; θ), dengan θ ∈ Ω. Perhatikan contoh 1, Ruang parameternya adalah Ω = {θ|θ > 0}, parameter distribusi, θ ini tidak diketahui, sehingga kita akan mengestimasinya.



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Untuk sebuah peubah acak X yang kemudian diambil sampel acak beberapa hal yang menjadi permasalahan adalah 1



2



fkp (f (x)) atau fmp (p(x)) tidak diketahui secara lengkap (tidak ada asumsi distribusi untuk X ). Bentuk fkp atau fmp diketahui tetapi parameter θ tidak diketahui, dimana θ mungkin berupa vektor parameter.



Contoh: 1 2



3



X berdistribusi eksponential, Exp(θ), dengan θ tidak diketahui; X berdistribusi binomial, b(n, p), dengan n diketahui tapi p tidak diketahui; X berdistribusi gamma, Γ(α, β), dengan α dan β tak diketahui.



Untuk permasalahan di atas, fkp atau fmp untuk X akan dinyatakan dalam bentuk f (x; θ) atau p(x; θ), dengan θ ∈ Ω. Perhatikan contoh 1, Ruang parameternya adalah Ω = {θ|θ > 0}, parameter distribusi, θ ini tidak diketahui, sehingga kita akan mengestimasinya.



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Untuk sebuah peubah acak X yang kemudian diambil sampel acak beberapa hal yang menjadi permasalahan adalah 1



2



fkp (f (x)) atau fmp (p(x)) tidak diketahui secara lengkap (tidak ada asumsi distribusi untuk X ). Bentuk fkp atau fmp diketahui tetapi parameter θ tidak diketahui, dimana θ mungkin berupa vektor parameter.



Contoh: 1 2



3



X berdistribusi eksponential, Exp(θ), dengan θ tidak diketahui; X berdistribusi binomial, b(n, p), dengan n diketahui tapi p tidak diketahui; X berdistribusi gamma, Γ(α, β), dengan α dan β tak diketahui.



Untuk permasalahan di atas, fkp atau fmp untuk X akan dinyatakan dalam bentuk f (x; θ) atau p(x; θ), dengan θ ∈ Ω. Perhatikan contoh 1, Ruang parameternya adalah Ω = {θ|θ > 0}, parameter distribusi, θ ini tidak diketahui, sehingga kita akan mengestimasinya.



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Untuk sebuah peubah acak X yang kemudian diambil sampel acak beberapa hal yang menjadi permasalahan adalah 1



2



fkp (f (x)) atau fmp (p(x)) tidak diketahui secara lengkap (tidak ada asumsi distribusi untuk X ). Bentuk fkp atau fmp diketahui tetapi parameter θ tidak diketahui, dimana θ mungkin berupa vektor parameter.



Contoh: 1 2



3



X berdistribusi eksponential, Exp(θ), dengan θ tidak diketahui; X berdistribusi binomial, b(n, p), dengan n diketahui tapi p tidak diketahui; X berdistribusi gamma, Γ(α, β), dengan α dan β tak diketahui.



Untuk permasalahan di atas, fkp atau fmp untuk X akan dinyatakan dalam bentuk f (x; θ) atau p(x; θ), dengan θ ∈ Ω. Perhatikan contoh 1, Ruang parameternya adalah Ω = {θ|θ > 0}, parameter distribusi, θ ini tidak diketahui, sehingga kita akan mengestimasinya.



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Misalkan di dalam kotak, terdapat m bola yang diberi label 1, 2, · · · , m. Semua bola identik (kecuali pada pemberian labelnya). Eksperimen yang dilakukan adalah memilih sebuah bola secara acak dan mencatat bilangan yang diperoleh. Misalkan X adalah bilangan pada bola, maka distribusi peluang dari X adalah P(X = x) =



1 , untuk x = 1, 2, · · · , m. m



Perhatikan dalam situasi ini, banyaknya bola dalam kotak tidak ketahui. Ini berarti θ = m parameter yang tidak diketahui dan Ω adalah himpunan bilangan bulat positif. Untuk mendapatkan informasi tentang parameter m, kita ambil sampel dari pengambilan n bola, jadi kita akan mempunyai X1 , X2 , · · · , Xn , dengan Xi adalah angka pada pengambilan bola ke-i. Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Misalkan di dalam kotak, terdapat m bola yang diberi label 1, 2, · · · , m. Semua bola identik (kecuali pada pemberian labelnya). Eksperimen yang dilakukan adalah memilih sebuah bola secara acak dan mencatat bilangan yang diperoleh. Misalkan X adalah bilangan pada bola, maka distribusi peluang dari X adalah P(X = x) =



1 , untuk x = 1, 2, · · · , m. m



Perhatikan dalam situasi ini, banyaknya bola dalam kotak tidak ketahui. Ini berarti θ = m parameter yang tidak diketahui dan Ω adalah himpunan bilangan bulat positif. Untuk mendapatkan informasi tentang parameter m, kita ambil sampel dari pengambilan n bola, jadi kita akan mempunyai X1 , X2 , · · · , Xn , dengan Xi adalah angka pada pengambilan bola ke-i. Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Misalkan di dalam kotak, terdapat m bola yang diberi label 1, 2, · · · , m. Semua bola identik (kecuali pada pemberian labelnya). Eksperimen yang dilakukan adalah memilih sebuah bola secara acak dan mencatat bilangan yang diperoleh. Misalkan X adalah bilangan pada bola, maka distribusi peluang dari X adalah P(X = x) =



1 , untuk x = 1, 2, · · · , m. m



Perhatikan dalam situasi ini, banyaknya bola dalam kotak tidak ketahui. Ini berarti θ = m parameter yang tidak diketahui dan Ω adalah himpunan bilangan bulat positif. Untuk mendapatkan informasi tentang parameter m, kita ambil sampel dari pengambilan n bola, jadi kita akan mempunyai X1 , X2 , · · · , Xn , dengan Xi adalah angka pada pengambilan bola ke-i. Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Pengambilan sampel (sampling) ada berbagai macam, dua cara yang paling sering digunakan adalah 1



2



Sampling dengan pengembalian, di sini sebuah bola diseleksi secara acak, kemudian bilangannya dicatat, selanjutnya bola dikembalikan dalam kotak. Bola-bola dalam kotak kemudian diacak dan mengambil bola berikutnya. Dalam kasus ini, dapat dilihat bahwa X1 , X2 , · · · , Xn adalah peubah acak-peubah acak yang saling lepas dan berdistribusi identik dengan distribusi dari X . Sampel yang diperoleh dengan cara ini disebut Sampel acak. Sampling tanpa pengembalian, di sini n bola diseleksi secara acak. Jika bola-bola dipilih satu untuk suatu waktu, mereka tidak akan dikembalikan setelah masing-masing diambil. Dapat dimengerti dalam kasus ini, X1 , X2 , · · · , Xn tidak saling bebas, tapi setiap Xi mempunyai distribusi yang sama. Jenis sampling ini disebut sampling acak sederhana.



Jika m sangat jauh lebih besar dari n, kedua tipe sampling ini secara penerapannya akan sama. Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Pengambilan sampel (sampling) ada berbagai macam, dua cara yang paling sering digunakan adalah 1



2



Sampling dengan pengembalian, di sini sebuah bola diseleksi secara acak, kemudian bilangannya dicatat, selanjutnya bola dikembalikan dalam kotak. Bola-bola dalam kotak kemudian diacak dan mengambil bola berikutnya. Dalam kasus ini, dapat dilihat bahwa X1 , X2 , · · · , Xn adalah peubah acak-peubah acak yang saling lepas dan berdistribusi identik dengan distribusi dari X . Sampel yang diperoleh dengan cara ini disebut Sampel acak. Sampling tanpa pengembalian, di sini n bola diseleksi secara acak. Jika bola-bola dipilih satu untuk suatu waktu, mereka tidak akan dikembalikan setelah masing-masing diambil. Dapat dimengerti dalam kasus ini, X1 , X2 , · · · , Xn tidak saling bebas, tapi setiap Xi mempunyai distribusi yang sama. Jenis sampling ini disebut sampling acak sederhana.



Jika m sangat jauh lebih besar dari n, kedua tipe sampling ini secara penerapannya akan sama. Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Simple example 1 (Hogg et all, Introduction to Mathematical Statistics) The box contains m balls labeled from 1, 2, · · · , m and that the balls are identical except for the number. Suppose m is unknown. To estimate m we draw a random sample of the balls, X1 , X2 , · · · , Xn with replacement. The distribution of each Xi is P(X = x) = 1/m, for i = 1, 2, · · · , m. An intuitive point estimator of m is the statistics Y = max {X1 , · · · , Xn } This would appear to be a good estimator of m. But how far is Y from m? One way of answering this is to consider the distribution of Y . The support of Y is {1, 2, · · · , m}. To determine the cdf of Y , note that because Y is the maximum of the X observations, the event Y ≤ y , for 1 ≤ y ≤ m, is characterized as, {Y ≤ y } = {X1 ≤ y , X2 ≤ y , · · · , Xn ≤ y } =



n \



{Xi ≤ y }.



i=1 Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Simple example 1 (Hogg et all, Introduction to Mathematical Statistics) The box contains m balls labeled from 1, 2, · · · , m and that the balls are identical except for the number. Suppose m is unknown. To estimate m we draw a random sample of the balls, X1 , X2 , · · · , Xn with replacement. The distribution of each Xi is P(X = x) = 1/m, for i = 1, 2, · · · , m. An intuitive point estimator of m is the statistics Y = max {X1 , · · · , Xn } This would appear to be a good estimator of m. But how far is Y from m? One way of answering this is to consider the distribution of Y . The support of Y is {1, 2, · · · , m}. To determine the cdf of Y , note that because Y is the maximum of the X observations, the event Y ≤ y , for 1 ≤ y ≤ m, is characterized as, {Y ≤ y } = {X1 ≤ y , X2 ≤ y , · · · , Xn ≤ y } =



n \



{Xi ≤ y }.



i=1 Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Hence, using the fact that X1 , X2 , · · · , Xn are iid, the cdf of Y is,  n n Y [y ] , P[Y ≤ y ] = P[Xi ≤ y ] = (P[X ≤ y ])n = m i=1



where [y ] denotes the greatest integer less than or equal to y . Hence for 0 ≤ y ≤ m,   n [y ] 0 , if y < m −→ P[Yn ≤ y ] = 1 , if y = m m Thus Yn is a consistent estimate of m. Note that in this problem, E [X ] = P(m + 1)/2. Hence E [2X − 1] = m, where X = n−1 ni=1 Xi denotes the sample mean.



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Hence, using the fact that X1 , X2 , · · · , Xn are iid, the cdf of Y is,  n n Y [y ] , P[Y ≤ y ] = P[Xi ≤ y ] = (P[X ≤ y ])n = m i=1



where [y ] denotes the greatest integer less than or equal to y . Hence for 0 ≤ y ≤ m,   n [y ] 0 , if y < m −→ P[Yn ≤ y ] = 1 , if y = m m Thus Yn is a consistent estimate of m. Note that in this problem, E [X ] = P(m + 1)/2. Hence E [2X − 1] = m, where X = n−1 ni=1 Xi denotes the sample mean.



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Hence, using the fact that X1 , X2 , · · · , Xn are iid, the cdf of Y is,  n n Y [y ] , P[Y ≤ y ] = P[Xi ≤ y ] = (P[X ≤ y ])n = m i=1



where [y ] denotes the greatest integer less than or equal to y . Hence for 0 ≤ y ≤ m,   n [y ] 0 , if y < m −→ P[Yn ≤ y ] = 1 , if y = m m Thus Yn is a consistent estimate of m. Note that in this problem, E [X ] = P(m + 1)/2. Hence E [2X − 1] = m, where X = n−1 ni=1 Xi denotes the sample mean.



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Hence, using the fact that X1 , X2 , · · · , Xn are iid, the cdf of Y is,  n n Y [y ] , P[Y ≤ y ] = P[Xi ≤ y ] = (P[X ≤ y ])n = m i=1



where [y ] denotes the greatest integer less than or equal to y . Hence for 0 ≤ y ≤ m,   n [y ] 0 , if y < m −→ P[Yn ≤ y ] = 1 , if y = m m Thus Yn is a consistent estimate of m. Note that in this problem, E [X ] = P(m + 1)/2. Hence E [2X − 1] = m, where X = n−1 ni=1 Xi denotes the sample mean.



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Suppose X is a random variable with unknown mean θ. Let X1 , X2 , · · · , Xn be aP random sample from the distribution of X and let X = n−1 ni=1 Xi be the sample mean. Then because E (X ) = θ, the statistic X is an unbiased point estimator of θ. But how close is X to θ? Simple example 2 (Hogg et all, Introduction to Mathematical Statistics) Suppose that X has a normal N(θ, σ 2 ) distribution and that Pn 2 −1 σ is known. The distribution of X = n i=1 Xi is N(θ, σ 2 /n). √ because (X − θ)/(σ/ n) has a standard normal N(0, 1) distribution. X −θ √ < 2) 0.954 = P(−2 < σ/ n   σ σ = P X − 2√ < θ < X + 2√ . n n Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Suppose X is a random variable with unknown mean θ. Let X1 , X2 , · · · , Xn be aP random sample from the distribution of X and let X = n−1 ni=1 Xi be the sample mean. Then because E (X ) = θ, the statistic X is an unbiased point estimator of θ. But how close is X to θ? Simple example 2 (Hogg et all, Introduction to Mathematical Statistics) Suppose that X has a normal N(θ, σ 2 ) distribution and that Pn 2 −1 σ is known. The distribution of X = n i=1 Xi is N(θ, σ 2 /n). √ because (X − θ)/(σ/ n) has a standard normal N(0, 1) distribution. X −θ √ < 2) 0.954 = P(−2 < σ/ n   σ σ = P X − 2√ < θ < X + 2√ . n n Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Suppose X is a random variable with unknown mean θ. Let X1 , X2 , · · · , Xn be aP random sample from the distribution of X and let X = n−1 ni=1 Xi be the sample mean. Then because E (X ) = θ, the statistic X is an unbiased point estimator of θ. But how close is X to θ? Simple example 2 (Hogg et all, Introduction to Mathematical Statistics) Suppose that X has a normal N(θ, σ 2 ) distribution and that Pn 2 −1 σ is known. The distribution of X = n i=1 Xi is N(θ, σ 2 /n). √ because (X − θ)/(σ/ n) has a standard normal N(0, 1) distribution. X −θ √ < 2) 0.954 = P(−2 < σ/ n   σ σ = P X − 2√ < θ < X + 2√ . n n Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Suppose X is a random variable with unknown mean θ. Let X1 , X2 , · · · , Xn be aP random sample from the distribution of X and let X = n−1 ni=1 Xi be the sample mean. Then because E (X ) = θ, the statistic X is an unbiased point estimator of θ. But how close is X to θ? Simple example 2 (Hogg et all, Introduction to Mathematical Statistics) Suppose that X has a normal N(θ, σ 2 ) distribution and that Pn 2 −1 σ is known. The distribution of X = n i=1 Xi is N(θ, σ 2 /n). √ because (X − θ)/(σ/ n) has a standard normal N(0, 1) distribution. X −θ √ < 2) 0.954 = P(−2 < σ/ n   σ σ = P X − 2√ < θ < X + 2√ . n n Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Simple example (onlinecourses.science.psu.edu/stat414) Suppose a random sample of five rats yields the following weights (in grams): x1 = 602 x2 = 781 x3 = 709 x4 = 742 x5 = 633 What are the observed order statistics of this set of data? The observed order statistics are: y1 = 602 < y2 = 633 < y3 = 709 < y4 = 742 < y5 = 781



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Simple example (onlinecourses.science.psu.edu/stat414) Suppose a random sample of five rats yields the following weights (in grams): x1 = 602 x2 = 781 x3 = 709 x4 = 742 x5 = 633 What are the observed order statistics of this set of data? The observed order statistics are: y1 = 602 < y2 = 633 < y3 = 709 < y4 = 742 < y5 = 781



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Simple example (onlinecourses.science.psu.edu/stat414) Suppose a random sample of five rats yields the following weights (in grams): x1 = 602 x2 = 781 x3 = 709 x4 = 742 x5 = 633 What are the observed order statistics of this set of data? The observed order statistics are: y1 = 602 < y2 = 633 < y3 = 709 < y4 = 742 < y5 = 781



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut



Pendahuluan Review Peluang Statistika Inferensi



Closing



Andi Kresna Jaya [email protected]



Distribusi Statistika Terurut